УДК 621.3Г2.061 Элементы качественной теории нелинейных элек- трических цепей. Сииицкий Л. А. Издательской объединение «Вища школа», 1975, с. 152. В книге изложены методы качественного иссле- дования поведения нелинейных электрических и электронных цепей, а также их дискретных мо- делей, используемых при расчете на ЦВМ. Приведены алгоритмы формирования уравнений состояний цепи, рассмотрены их структура и свой- ства. Сопоставлены свойства уравнений состоя- ний и разностных уравнений, используемых в ка- честве моделей при анализе процессов на ЦВМ. Книга рассчитана на научных и инженерно-тех- нических работников, аспирантов и студентов старших курсов вузов. Ил. 26. Библиогр. 48. 30401-063 С ——————— 232-75 М225(04)-75 (© ИЗДАТЕЛЬСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ. «НИЩА ШКОЛА». l'i7o ВВЕДЕНИЕ Развитие теории нелинейных электрических целей про- исходит, главным образом, за счет разработки количественных методов анализа. В основе разработок лежат классические работы Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского. При- менение их к исследованию нелинейных цепей позволило обосно- вать метод .медленно изменяющихся амплитуд Ван-дер-Поля и обобщить его настолько, что он стал одним из основных методов анализа. Характерным для этого метода является предположение о близости колебаний к синусоидальным или же к модулирован- ным, но с синусоидальной несущей. Выполнение этой предпосыл- ки для множества радиоэлектронных устройств обеспечило столь широкое распространение метода Крылова-Боголюбова-Митрополь- ского. Для исследования систем с резко выраженной нелинейностью, когда предпосылка о близости 'колебаний к синусоидальным ока- зывается мало пригодной, получил распространение метод припа- совывания, основы которого были заложены в работах Папалекси и Андронова. Особенно широко этот метод применяется при анализе выпрямительных, инвертирующих и импульсных уст- ройств. Наряду с применением традиционных методов численного ана- лиза для расчета нелинейных цепей были разработаны специаль- но приспособленные методы. Здесь в первую очередь следует отме- тить метод точек, созданный благодаря работам В. Ю. Ломоно- сова и Г. Е. Пухова. Роль количественных методов значительно возросла в результате внедрения ЦВМ. Достижения в области качественной теории не столь велики, более того, новые данные не всегда находят отклик в теории цепей. Иногда это относится даже к результатам, полученным при реше- нии задач, постановка которых была обусловлена запросами тео- рии цепей. Что касается качественных результатов, полученных на основе специфических методов теории цепей, то они весьма немногочис- ленны. Можно предположить, что сложившееся положение вполне соответствует внутренней логике развития теории цепей и запросам практики. Однако такой вывод был бы неверным. Прежде всего именно широкое развитие численных методов расчета с использо- ванием ЦВМ требует более внимательного качественного анализа задачи на предварительной стадии расчета. Приведем несколько примеров, иллюстрирующих это положение. Рассмотрим задачу о расчете цепи, содержащей нелинейное отрицательное сопротивление. Вследствие неоднозначности его вольт-амперной характеристики возможны случаи, когда решение дифференциальных уравнений задачи не существует .при f>to, где fy — момент достижения экстремума на вольт-амперной характе- ристике нелинейного элемента. Известно, что при такой ситуации обычно вводится гипотеза «скачка», которая может быть подтвер- ждена только 'путем рассмотрения другой, более сложной цепи, учитывающей малые реактивные параметры. Очевидно, что числен- ное решение подобных задач на ЦВМ возможно только в случае, когда в рассматриваемой цепи решения не обрываются в точках экстремума, иначе в программу должен быть введен алгоритм для распознавания характера поведения системы в критических точ- ках. В обоих случаях необходимо предварительное изучение каче- ственных особенностей рассматриваемой цепи. Рассмотрим вторую задачу о расчете периодического режима нелинейной цепи. Так как обычно начальные условия, соответ- ствующие периодическому режиму, заранее неизвестны, то при ана- лизе задаются некоторыми, в достаточной степени произвольными, начальными условиями, затем каким-либо численным методом производится интегрирование дифференциальных уравнений до тех пор, пока решение не приблизится к искомому периодическому режиму. Такой способ расчета безупречен и позволяет полностью выяснить свойства периодического режима, когда последний един- ственен, то есть система обладает свойствами конвергенции. Для неконвергентных систем подобный путь, вообще говоря, неприемлем. В этом случае, задавая различные начальные усло- вия, можно получить различные стационарные режимы. Причем, если заранее не получены хотя бы наиболее общие сведения о их числе и характере, решение задачи путем перебора достаточно большого количества начальных условий не сулит успеха. Можно привести еще много примеров, свидетельствующих о том, что качественные особенности исследуемой цепи в значи- тельной степени предопределяют численные методы анализа. Точно так же правильная интерпретация численных методов расчета и исключение неверных результатов тем более эффективны, чем больше сведений о цели имеет исследователь. Роль качественных сведений также чрезвычайно велика при по- иске новых явлений и устройств, могущих найти применение в ра- 4 диоэлектронике. Качественные данные относительно того или иного класса схем позволяют более сознательно подходить к проблемам синтеза нелинейных целей с заданными свойствами. К примеру, выделение класса цепей, в которых возможно только одно поло- жение равновесия или один периодический режим, дает возмож- ность не рассматривать подобные цепи при разработке триггера или других многоустойчивых элементов. С другой стороны, только этот класс схем можно использовать при разработке усилителей, функциональных преобразователей и других устройств, характери- зующихся однозначной зависимостью между входным и выходным воздействием. Наряду с качественным исследованием электронных цепей в по- следние годы приобрели большое значение вопросы качественного исследования их дискретных моделей, используемых при анализе с помощью ЦВМ. Под дискретной моделью здесь и далее понима- ется динамическая система, описываемая разностными уравнения- ми, полученными в результате применения к дифференциальным уравнениям цепи одного из методов численного интегрирования. Сначала эти проблемы принадлежали к кругу задач, рассматри- ваемых вычислительной математикой. Однако огромное влияние, которое оказывают они на точность и трудоемкость расчета при- вели к тому, что исследование качественных особенностей вычис- лительных алгоритмов стало уделом специалистов в области радио- электроники. Те же результаты, полученные в вычислительной математике, нуждаются в интерпретации в терминах теории цепей. Хорошим примером важности качественного исследования диск- ретных моделей может служить проблема малых постоянных вре- мени. Известно, что в первые годы внедрение ЦВМ для расчета* цепей встретилось с трудностями при расчете схем с боль- шим разбросом постоянных времени. Причина состояла в том, что применявшиеся до середины 60-х годов дискретные модели цепей оказывались неустойчивыми, если шаг интегрирования превосхо- дил наименьшую из постоянных времени цепи. Эта особенность оказалась присущей всем дискретным моделям, которые основы- вались на явных формулах численного интегрирования (метод Эйлера, Рунге-Кутта и др.). Обнаружение свойства устойчивости (Л-устойчивость по Далквисту [34]) некоторых типов дискретных моделей цепей позволило полностью устранить трудности, связан- ные с проблемой малых постоянных времени для линейных цепей с постоянными параметрами. Однако для линейных цепей с переменными параметрами, а также для нелинейных цепей вопрос об устойчивости дискретных моделей (если известно, что этим свойством обладает исходная непрерывная система) еще не получил удовлетворительного реше- ния. Его изучению посвящено совсем незначительное количество 5 работ, среди которых в первую очередь необходимо упомянуть работы М. А. Скалкиной, К. Г. Валеева, Ю. В. Ракитского, Г. Стет- тера [24, 25, 48]. Само собой разумеется, сопоставление устойчивости того или иного установившегося режима в дискретной модели и непрерыв- ной цепи еще не может служить основанием для вывода относи- тельно адекватности модели исходной задачи. Не говоря уже о количественных соотношениях, с точки зрения качественных осо- бенностей к модели нужно предъявлять более строгие требования, если речь идет об анализе нелинейных систем. Дискретная модель должна обладать теми же установившимися режимами, что и ис- ходная цепь, и структура фазового пространства должна быть аналогичной. Это свойство в дальнейшем называется качественным соответствием модели исходной цепи. Изложенные выше проблемы составляют предмет данной ра- боты. Описание электрических цепей ведется на языке уравнений состояния. Это оказалось необходимым для того, чтобы в макси- мальной степени использовать известные результаты качественной теории дифференциальных уравнений. В первой главе рассматри- вается структура уравнений состояния цепи и методика их получе- ния. Результаты главы основываются на работах, опубликованных в периодической печати. Во второй главе изучены качественные характеристики нелиней- ных цепей. Для исследования применяется второй метод Ляпу- нова. Известно, что многие из приведенных результатов были по- лучены ранее энергетическим методом, подробное изложение ко- торого можно найти в монографии Л. В. Данилова [12]. Поэтому в данной работе сведено до минимума применение энергетического метода. Можно надеяться, что сопоставление ре- зультатов, полученных двумя этими методами, .'позволит сделать некоторые выводы относительно целесообразности применения каждого из них. В третьей главе изучаются качественные свойства дискретных моделей. Наибольшее внимание уделено изучению качественного соответствия модели и ее прообраза — непрерывной цепи. Получены некоторые новые результаты, касающиеся парамет- рических и нелинейных цепей. Показана возможность и целесооб- разность построения дискретной теории цепей, минуя рассмотрение непрерывной цели и процесса дискретизации ее уравнений. ГЛАВА I УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В первой главе рассмотрена методика получения урав- нений состояния электрических цепей и изучена их структура в различных случаях. Первый параграф посвящен составлению уравнений состояния для наиболее простого случая, когда все элементы цепи являются двухполюсниками. Показано, что возможность описания цепи с по- мощью уравнений состояния в значительной степени определяется свойствами безреактивной части цепи. Поэтому в следующих двух параграфах рассмотрены уравнения безынерционных цепей и изу- чены условия существования и единственности их решений. Именно последние обеспечивают возможность описания цепи с помощью уравнений состояния и их определимость. Наряду с безынерцион- ными цепями, образованными двухполюсными резисторами, изуче- ны уравнения целей с многополюсными резистивными элементами. Введено понятие о разделимом резистивном многополюснике, ко- торый характеризуется тем, что в уравнения многополюсника, каж- дая из входных переменных (ток или напряжение) входит адди- тивно. Показано, что структура уравнений ^-цепи, образованной двухполюсными элементами и разделимыми многополюсниками, одинакова. Уравнения, описывающие подобные цепи названы урав- нениями Бондаренко—Сэндберга, которые первыми получили по- добные соотношения и изучили их особенности [6, 43]. Структура уравнений состояния рассмотрена в двух последних параграфах. Показано, что уравнение состояния /PLC-цепи может быть приведено к виду ^-Л/ООЧ-/^), at где х — вектор переменных состояния, Л — квадратная полуоп- ределенно положительная матрица; f(x) — вектор-функция, .каж- дая составляющая которой зависит только от одной составляющей вектора х (.при отсутствии вырождении) либо (--) — симметри- \дх! ческая определенно положительная матрица (для вырожденной цепи): F(t) — вектор-функция внешних воздействий. Изучены усло- вия, когда матрица Л определенно положительна. Описана мето- дика получения уравнений состояния для цепей, образованных многополюсными элементами. Результаты главы служат основой для изучения качественных свойств электрических цепей и их дискретных моделей в двух по- следующих главах. § 1. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ Состояние цепи в 'некоторый момент времени /о можно охарактеризовать частично или полностью, если указать значения некоторых токов и напряжений элементов цепи. В частности, зада- ние всех токов и напряжений на элементах полностью определяет 1^ R состояние цепи. Вполне очевидно, что не все напряжения и токи могут быть выбраны произвольно, так как их зна- чения должны быть согласованы с уравнениями Кирхгоффа, определяю- щими соединение элементов цепи, и уравнениями элементов. С другой сто- роны, задание только части токов или Рис. 1. Цепь второго порядка, напряжений может оказаться не доста- ;. точным для полного описания состоя- ния цепи. К примеру, задание напряжения Uc для схемы рис. 1 еще не определяет полностью состояния цепи, так как ток IL может быть выбран независимо от Uc. Однако Uc и 1ь уже однозначно определяют все остальные переменные в момент to. Действительно, для схемы рис. 1. • ^ + I, I/. U^ = И — 11^. 'R ~ г- " R Пара (lie, IL.) не является единственно возможной для полного описания состояния рассматриваемой цепи. Этому же требованию удовлетворяют пары (IL, ir), (1ь. in) и т. д., но не удовлетворяет пара (Uc, г'д). Вместо того, чтобы рассматривать совокупность переменных, характеризующих состояние цепи, в дальнейшем введем в рас- смотрение вектор состояния х, компонентами которого служат отдельные переменные состояния. Определение. Вектор х переменных, характеризующих со- стояние цепи, называется полным, если для каждого значения х существуют единственные значения всех остальных переменных (то есть токов и напряжений для всех элементов), согласующиеся с уравнениями Кирхгоффа и уравнениями элементов цепи. Замечание 1. Приведенное определение ^предполагает воз- можность произвольного выбора всех составляющих вектора х от —оо до оо (x^R", где /?" обозначает действительное п-мерное Эвклидово пространство). Поэтому для схемы рис. 2, а не существует полного вектора состояний, если зависимость •ф(г) для катушки индуктивности соот- ветствует рис. 2, б. В этом случае, если принять в качестве векто- ра х (одномерного) потокосцепление i|5 или ток i, цепь не может [u(t^) . \ находиться в состоянии при |^|>i|3s и токе i>max '——, г," Никакие другие переменные также не могут быть выбраны в каче- стве переменных состояния. V V.--7————— ^——-<^\ б Рис. 2. Цепь (а), для которой не существует Рис. 3. Представление цепи' полный вектор состояний при зависимости (p(t'), в виде безреактивного мно- определяемой графиком (б), гополюсника и двухполюс- ных .реактивных элементов. Замечание 2. Для безреактивной цепи не может существо- вать полного вектора состояний. Само понятие полного вектора 'предполагает возможность существования бесконечного множе- ства (континиума) состояний цепи, что невозможно для безреак- тивной цепи. Замечание З.В некоторых случаях для определения пе- ременных по вектору состояний х и внешних воздействий u(t} требуется задание производных u(t) первого и более высоких порядков. В дальнейшем всюду будет рассматриваться полный вектор состояний, поэтому для .краткости он именуется «вектор состоя- ний». Вектор состояния, как это было видно на простом примере, можгт выбираться различными способами. Однако при анализе цепей распространена единая методика выбора переменных состоя- ния и соответствующего им вектора. Принято в качестве перемен- ных состояния выбирать напряжения (заряды) емкостей и токи (потокосцепления) индуктивностей. При таком выборе облегча- ется расчет всех токов напряжении и ветвей по заданному вектору состояний. Заменив емкости источниками напряжений, а индуктивности источниками токов (рис. 3), определение токов и напряжений в ос- тальных ветвях возможно путем расчета безреактивной цепи. Если беэреактивная цепь имеет единственное положение равновесия при всех значениях источников токов и напряжений, то выбранный вектор состояний действительно полный. Обозначим через у вектор токов и напряжений тех ветвей, ко- торые не вошли в вектор состояния х, ы-.вектор внешних воздей- ствий; тогда связь между и, х, у представляет собой систему урав- нений вида (f(x, у, t, u)=0, (I.I) где ср /п-мерная вектор-функция, т — размерность вектора у. Для полноты вектора х необходимо и достаточно, чтобы (1.1) имело единственное решение у=у(х, и, t) для всех значений х. (1.2) Вектор (;01.тояний для цепей с сосредоточенными параметрами удовлетворяет некоторому обыкновенному дифференциальному / dx уравнению, которое будучи разрешенным относительно „, полу- чило название уравнения состояний dx dt где х га-мерная вектор-функция. Итак, уравнения нелинейной электрической цели 'при олисании ее поведения с помощью вектора состояний имеют вид (1.3) dx ., . ^ „ =f(x,y,t,u); (р (х, у, t, и) = 0. (1.4а) (1.46) Если уравнение (1.46) разрешено относительно у, то подставив значение у(х, и, t) в (14а), получим систему dx ,, ,. „-= / [х, и, t); dt у=у{х, и, t). (1.4в) (1.4г) Наиболее просто уравнение состояния можно получить, если представить исследуемую цепь в виде безреактивного 2/г-по'люс- 10 ника (рис. 3), к п-парам зажимов которого 'подключены реактив- ные элементы (индуктивности и ем,кости). Тогда, приняв во внимание, что в число составляющих вектора у входят токи емкостей и напряжения индуктивностей, на основе (12) получим D(^)^-y(x,y,Q. (1.5) dt где у (х, и, t) вектор-столбец, полученный из у(х, и, t) путем отбора составляющих, определяющих токи в емкостях и напряжения на '=/,^) U,=FU} Рис. 4. Цепь (в) и ее схема замещения (б) для составления уравнений состояния. индуктивностях, D(x) диагональная матрица, ненулевые элементы которой дифференциальные индуктивности и емкости. Умножив (1.5) слева на D-1 придем к уравнению (1.3), где f(x, и. t}=D-^x)~y(x, и, t). Пример 1. Получение уравнений состояний для схемы (рис. 4, а). Представим цепь (рис. 4, а) в виде чеплрехполюсника М, к одной из пар зажимов которого подключен источник напряжения U==u,c, к другой — источник тока /=г'ь, заменяющие емкость и индуктивность соответственно. Век- тор у для рассматриваемой цепи представляет совокупность тока ic и напря- жения UL ~ Г tc 1 У=\ I UL J Исходя из структуры многополюсника получим t'c=—t't+A(Ol—lie); UL=llc—Ft{iL), где ft(u) и Fs(i) уравнения вольтамперных характеристик резисторов / и 2 со- ответстаенно. Представим теперь ic и UL в виде d! dt dq due dt due. UL= ^-=^) diL due dt dt dt dt где C(Uc) и L(iL) дифференциальные емкость и иядуктивность. Тогда оконча- тельно уравнения состояния получим в виде duc l tt I ^ . •, ^b ——— = ————— [/1 ("1-"c) -lb] ; ———— elf C(ii,i dt i-a^. Очевидно, что вектор состоянии в данном случае равен Г Ис1 а матрица D(x) •С (и,]; О Из общих рассуждении и приведенного примеоа следует, что, когда в качестве переменных используются напряжения и токи на реактивных элементах, в уравнения состояния входят дифферен- циальные параметры реактивных элементов. Если характеристики реактивных элементов заданы в виде q=q(Uc) и •ф='ф(^'1,), то опе- рация дифференцирования выполняется, в .процессе составления уравнений, которая 'при численном решении мало желательна. Поэтому нередко в качестве переменных состояния предпочи- тают принимать заряды емкостей и потокосцелления индуктивно- стей. Методика составления уравнений состояния, рассмотренная выше, претерпевает при этом небольшие изменения. Тогда левая часть уравнения (1.5) равна „ и уравнения состояний имеют вид dx dt где z(x) — вектор-функция, определяющая зависимость напряже- ний на емкостях и токов в 'индуктивностях от зарядов и потоко- оцеплений соответственно. В частности, для .примера 1 при таком выборе переменных имеем dq = f, [и, (t)- и, (q)]-i, (ф); ^ = и, (д) - F, \i, (ф)]. at di Описанная методика составления уравнений состояния не при- менима в тех случаях, когда для нелинейного безреактивного 2/г-по- люсника уравнения (1.1) не могут быть разрешены относительно у. В частности, это имеет место в том случае, когда вектор состоя- ний нельзя представить в виде множества напряжений и токов всех емкостей и индуктивностей. Определение 1. Цепь называется D-вырожденной, если в ней содержится хотя бы один контур (или одно сечение), образо- ванный емкостными (индуктивными) ветвями и неуправляемыми источниками ЭДС (тока). 12 2. Цепь называется В-вырожденной, если в ней содержится хо- тя бы один контур (или одно сечение), образованный индуктивны- ми (емкостными) ветвями и неуправл .емыми источниками ЭДС (тока). Очевидно, что в D-вырожденной цепи вектор состояний не мо- жет включать в себя в качестве составляющих напряжения (заря- ды), токи (потокосцепления) всех емкостей и индуктивностей. Если в цепи имеется емкостный контур (рис. 5), то только k—1 напряжений могут быть выбраны независимо, a k-roe. напряжение Рис. 5. Емкостный контур цепи. Рис. 6. Цепь с вырождением •О-типа. находится из условия 2и,—е&=0. Аналогичное соотношение по- i лучается для токов индуктивного сечения. Таким образом, раз- мерность вектора состояний в вырожденной цепи меньше, чем общее количество реактивных элементов цепи. Размерность век- тора х, а, следовательно, и порядок системы (1.3) называется сте- пенью сложности цепи [31]; 'разность между количеством реактив- ных элементов и степенью сложности естественно определить, как степень D-.вырождения цепи. Степень вырождения цепи равна сумме независимых емкостных контуров и независимых индуктив- ных сечений. Вектор состояния х Р-вырожденной цепи может быть полным, в смысле приведенного выше определения. Он однозначно опре- деляет значения всех переменных, однако для нахождения токов емкостей и напряжений индуктивностей потребуются значения про- изводных внешних воздействий. Пример 2. Рассмотрим цепь (рис. 6). Приняв в качестве вектора состояний напряжение ui, находим Ul . U—III ^r. 1т Гг Однако, имея ui, токи ii и it нельзя определить, так как они связаны только од- ним равенством i,,+ii=i,,+'"». 13 Второе соотношение может быть получено, если продифференцировать равен- ство Й1+Й2=Я(^) и выразить производные от напряжении через токи. В результате получим 1 ; 1 . _ du Ci 1 Сг 2 dt ' В JTO равенство входит производная от приложенной ЭДС; поэтому токи ii и tz могут быть определены только в том случае, если ,в данный момент известны не только внешние воздействия, но и их первые производные. Наличие в цепи вырождении 5-типа также позволяет понизить порядок системы уравнений состояния, однако при этом размерность полного вектора состояний не изменяется. Действительно, для каждого контура, образованного индуктивностями и ис- точниками ЭДС, справедливо равенство d^ dt также как для каждого емкостного сечения имеем dqp dt •=i(t), где e(f), j(t) — сумма ЭДС (токов), входящих в данное сечение (контур). В результате .интегрирования этих уравнений получаем соотношения, пред- ставляющие зависимость между переменными состояния i^s и с/р: т * .W * « » ^ 9p(0==J' j(t}dt+ V^pW. P-I о "J! Поэтому при формировании уравнений состояния в некоторых случаях це- лесообразно учитывать также вырождения 5-типа. Так как вырождения в цепи весьма распространены, то опи- санная выше процедура получения уравнений состояния имеет ог- раниченное применение. Кроме того, трудно рассчитывать, что для достаточно сложной нелинейной цели уравнения безреаки.вной части (1) могут быть получены без изучения структуры нелиней- ного безынерционного многополюсника. Поэтому более распро- странен метод составления уравнений состояния, основанный на выборе нормального дерева цепи [46]. Этот метод применим только для цепей, состоящих из двухпо- люсных элементов. Существующая пока тенденция представления 14 многополюсных элементов при помощи эквивалентных схем, обра- зованных двухполюсниками, оправдывает в значительной мере подобную ограниченность метода. Однако но мере совершенство- вания методов математического описания многополюсных элемен- тов такой подход к составлению уравнений состояния возможно потребует в недалеком будущем пересмотра с тем, чтобы в каче- стве равноправных элементов цепи рассматривались нелинейные многополюсные элементы. После этих замечаний обратимся непосредственно к рассмот- рению методики составления уравнений состояния. Для построения нормального дерева элементы цепи распола- гают в таком порядке: неуправляемые источники ЭДС, емкости, резисторы, индуктивности, неуправляемые источники тока; пред- полагается, что отсутствуют замкнутые контуры, образованные неуправляемыми источниками ЭДС, и сечения, образованные ис- точниками тока. Несоблюдение этих условий немедленно влечет за собой нарушение законов Кирхгоффа при произвольном выборе ЭДС и токов источников токов. Нормальное дерево включает в первую очередь источники ЭДС., затем емкости, резисторы и в последнюю очередь индуктив- ности. Благодаря такой методике построения дерева емкостные ветви могут быть хордами только в том случае, когда в цепи со- держатся контуры, образованные источниками ЭДС и емкостями. С другой стороны, в дерево попадают индуктивные ветви только тогда, когда в цепи имеются сечения, образованные источниками тока (неуправляемыми) и индуктивностями. Обозначим теперь множество неуправляемых источников ЭДС Se„; емкостных ветвей 5в; резистивных ветвей 5е; индуктивных вет- вей 5;;; емкостных хорд Sa; резистивных хорд 5р; индуктивных хорд Sy; неуправляемых источников тока 5у„. Тогда матрица кон- туров, соответствующая выбранному нормальному дереву, имеет следующую структуру | fan /'oS„ Pai 0 О Е Ff:. ^5 ^ О /•Л ^о f-'r. ^ ^lA •^7.6 /'V,' ^7,.' (1.6) Здесь приняты следующие обозначения: Еу.а, ?pp, Еу/, ?\,„vc — ВД11" ничные матрицы, размеры которых По., п^, Пу, Пу, равны числу эле- ментов множеств Sa, 5р, 5у, 5у„, соответственно. Первые Пу. строк матрицы В относятся к контурам, порождаемым емкостными хор- дами. В силу принятого способа построения дерева эти контуры содержат только емкостные ветви и источники ЭДС. Следующие /гр строк определяют контуры, порождаемые резистивными хорда- 15 ми. По той же причине, что и ранее эти контуры не содержат ин- дуктивных ветвей. Далее идут «у строк соответствующих контурам, порождаемым индуктивными хордами и Лу, строк контуров, опре- деляемых источниками тока. Матрица контуров в дальнейшем будет использоваться в неко- торых случаях в блочной форме 5=[^ F], (1.7) где Ев — единичная матрица, размер которой равен числу хорд; значение матрицы F легко устанавливается при сопоставлении (1.6), (1.7). Как известно, матрица сечений Q для выбранного дерева, опре- деляется из В следующим образом Q=[-FT ЕЛ (1.8) где Т — знак транспонирования; EQ — единичная матрица, раз- мер которой совпадает с количеством ветвей дерева. Уравнения Кирхгоффа для рассматриваемой цепи в соответст- вии с (1.6)—(1.8) могут быть представлены в виде уравнений кон- туров и уравнений сечений Ua+Fa6Us=Fa6,U(i; (^.9а) U{, + Ff,(,U(, + F pells == FftS,Uo; и.,' + Fye,Uf, + FyeUs + Pvi^ = Руб^и, u.,.,4 F-^iifi-r F^fUe+F-,-^11-:-^ F;,,f,,Uo, (1.96) (I.9s) (I.9r) где Ua, iip, щ. — векторы падений напряжения на емкостных, ре- зистивных, индуктивных хордах; и^ — вектор падения напряже- ния на неуправляемых источниках тока; Uf,, Up, u^ — векторы па- дений напряжения на емкостных, резистивных индуктивных вет- вях; «о — вектор внешних ЭДС. Уравнение (I.9r), определяющее падение напряжения на источ- никах тока, так же как и приводимое ниже уравнение (l.lOa) для токов к источниках ЭДС при выводе уравнений состояния не ис- пользуются. Уравнения сечений: 0; ^7о • FV.,, la — Fy^ /p — /у^ ^ '/a?. Is — '08 <|i -- Г ^ If, -Г' <'. = 'Т"У"и' -^U-^U+^/^/o; т • - /Sc <т + ^ = F^JQ, где /о — вектор неуправляемых источников тока. ifi (I.lOa) (1.106) (1.10в) (I.Юг) Порядок уравнений состояний для изучаемой цепи равен Пд+Яу, так как число емкостей, образующих множество Sa, и индуктивно- стей, входящих в 5;, равно степени вырождения цепи. При выборе составляющих вектора состояний х есть несколько возможностей. Наиболее естественно принять в качестве х вектор, образованный либо из йа и if, то есть х-[Ч ш' либо из зарядов и потокосцеплений емкостей индуктивностей. Тогда -^ напряжения емкостей и& и токи индуктивностей i-, определим, исхо- дя из заданных характеристик реактивных элементов "б=«б('7б); ^=tv(4\). (I.11) Прообразом будущих уравнений состояния служат уравнения ^ П.9в) и (1.106), которые представляются в виде ^» ^ф ^ ^T=-^(^)-^A---^";+"^); ^8 = ^ W + ^ h + ^ I. +Уо ^). (1.12) где iie(t) и je(t} — вектор-функции внешних воздействий, то есть u<' (t) •= F^ "0; Уо (О = F1[,fl^a• Для того, чтобы (1.12) превратить в уравнение состояния, не- обходимо выразить входящие в них Ые, <р, "е и is, через ^у и qe,. Если при этом для каждого из возможных значений ^у, qe сущест- вуют единственные значения Ue, /р, и^ и ia, то вектор состояний х = является полным. Рассмотрим оставшиеся уравнения из системы (1.9) и (1.10). Для определения UE, г'р воспользуемся уравнениями (1.96), (1.10в), которые представим в виде системы: УР + FpeUs = "ор (0 —^рб"а (с/б); (1-13) - ^ h + ^ == ^ (0 + /^ Ч (Фт)- где и^ == ^ ^; у^ = ^у-р. , -——-^-. 2-3107 '•••IVVftr l^ Исключение из (1.12) ia и и; потребует привлечения соотноше- ний (1.9а) и (I.lOr). Для этого продифференцируем сначала (1.9а) по /. В резуль- тате получим (ди\ . {QuAdq, de(t) I "I/IC'I 6 I ^0 \/ / Т 1 Л '1 д— *а+^аа a—j——='—————, (I-14) \^/ \ 0 - ^А (9. ^ 0 Jгje W; •(S'-iW' Ч —— • ^t\4' Т d^ dt ^ = ^8 'р (9, Ф, t) + F^ I, (ф, 0 + u,(t). (1.21) Конкретизация функций, входящих в правые части уравнений состояния, будет выполнена в последующих параграфах для от- дельных классов цепей. Система (121), в отличие от (1.15), не содержит производных по времени от внешних воздействий, а также дифференциальных параметров реактивных элементов. В этом и состоит преимуще- ство выбранной совокупности переменных состояний. Вектор сос- тояния х= [ \ однозначно определяет все переменные цепи за W исключением токов емкостей и напряжений индуктивностей. Для определения этих переменных необходимо дополнительно знать производные во времени от внешних воздействий. Рассмотрим, для примера, как определяются токи емкостей. Для этого продифференцируем по времени (1.17) и (1.9а). Тогда получим (1.22) h - ^ I. = ^; ^ С,-' i, + C.-i /, = /^ и,. Нетрудно показать, что матрица коэффициентов ,, [Е, Н== с Г-1 Г-11 /\8"6 "а системы линейных уравнений (1.22) неособенная, если все емкости из 5е имеют монотонные вольт-кулонные характеристики. Действи- тельно, на основе детерминантного соотношения [18] имеем det//=det[?,+^-1^]. Матрица в квадратных скобках определенно положительна, и, сле- довательно, detH=/=0. Итак, (1.22) имеет единственное решение, определяющее токи всех емкостей. На основе (1.18) и (I.lOr) аналогично определяются напряжения индуктивностей. 2t § 2. УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ БЕЗРЕАКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ В настоящем параграфе с целью подготовки данных для изучения качественного поведения безреактивных цепей рассмот- рена методика получения уравнений нелинейной безреактивной цепи и изучена их структура. Начнем с цепей, образованных двухполюсными элементами. В простейшем случае, когда в цепи отсутствуют замкнутые конту- ры и сечения, образованные только нелинейными резисторами, Рис. 7. Нелинейная без- реактивная цепь в виде линейного многополюс- ника д нелинейных двух- полюсников. / г п \л j гп-полюсник \\ ^ Л(2 \^—//' исследуемая схема имеет вид рис. 7. При этом 2/г-полюс.ник N со- держит только линейные р-езисторы и внутренние источники и мо- жет быть описан в гибридной системе координат, причем в качестве независимых переменных могут быть выбраны п любых токов и напряжений, образующих вектор и 2/г-полюсника N. Остальные га-токов и напряжений (вектор ау) определяются уравнением w=Hv+Wo. (I.23) Если вектор гибридных независимых переменных совпадает с вектором токов i (напряжений и), то матрица Н переходит в мат- рицу сопротивлений R (нроводимостей G), то есть имеем u=--—Ri+Uo (I.24a) или 1=—Gu+iy. (1.246) Для рассматриваемого случая матрицы R и G симметрические, полуопределенно положительные. На основании (1.23), (I.24a), (1.246) получим уравнение рас- сматриваемой нелинейной цепи. Для этого необходимо учесть, что существует зависимость меж- ду векторами w и v, определяемая уравнениями нелинейных рези- сторов. Примем • w=F(v). (I.25) В рассматриваемом случае вектор-функция F(v) может быть представлена в виде F(v)=[Ft(Vt), Fs(u2),..., Fniun)?, 22 то есть каждая составляющая зависит только от одной перемен- ной. Подставив (1.25) и (1.23), получим уравнение нелинейной резистивной цепи f (о) +/fy = дао, (1.26) которое назовем уравнением Бондаренко-Сэндберга. Следует отметить, что к форме (1.26) могут быть сведены урав- нения произвольной нелинейной резистивной цепи, то есть можно снять ограничения относительно недопустимости чисто нелинейных контуров и сечений. Для этого не следует представлять цепь в соответствии с рис. 7, а составить уравнения, основываясь на специально выбранном дереве цепи (подобно нормальному дереву Брайента для RLC- цепей). При построении дерева, применяется правило, что прежде всего в него включаются источники напряжения, затем нелинейные ре- зисторы и только после этого линейные резисторы. Приняв, что цепь не содержит замкнутых контуров, образованных источниками ЭДС (е) и сечений, состоящих только из источников тока (/'), при- ходим к заключению, что все е входят в дерево, а j — в хорды. Если в цепи отсутствуют замкнутые контуры, состоящие из ис- точников ЭДС и нелинейных резисторов, то последние входят только в дерево. В противном случае часть из них будет хордами. Обозначим LH, ^-л, L], Те, Тц, Гл множества нелинейных, линей- ных хорд, источников тока, ЭДС, нелинейных, линейных ветвей соответственно. Вследствие принятого порядка построения дерева матрица кон- туров имеет вид ^н ^нн О -1 в Е, = 1^л /^Ь (1.27) F F F. Г! • JH 1Л. где Ел единичная матрица, размер которой определяется количе- ством хорд (независимых контуров). Известно, что матрица сечений Q при этом определяется соот- ношением Q=[-FT?r]; (I.28) ЕТ — единичная матрица, размер которой равен числу ветвей дерева. Обозначим напряжения и токи ветвей дерева соответственно е, I. а напряжения и токи хорд — и, j (с соответствующими ин- дексами). 23 Тогда уравнения Кирхгоффа согласно формулам (1.27), (1.28) имеют вид: "н 4- /WH = F»ee; (I. 29a) У, + /^н+^ли^ = F^e; (1.296) ",+^н+^.,=^; (1.29в) - ^-/н - ^Ул - /^ + i, = 0; (1.30а) - ^нА - ^нУл - /ГнУ = ^ == 0; (I. 306) - F]^ - FTJ + ^ - 0. (1.30в) В дальнейшем соотношения (1.29в) и (1.30а) могут потребовать- ся только при вычислении токов источников ЭДС и напряжений на источниках тока. Исключим из полученных уравнений вл, 1л, и.л, ]л- Для этого воспользуемся (1.296) и (1.30в). Примем, что "л==^Л: e^Rrl,' где RL и Рт матрицы сопротивлений, которые для цепи, не содер- жащей управляемых источников, диагональны. Тогда получим /?л Л + F^ ^т 1» = V - ^.н <,; (1.31) -^Ул+^-^лУ- (1.32) Подставив 1'л из (1.32) в (1.31), получим (^ + F^ ^т ^)Л = V + ^ е, - F^R,F.^j. Следовательно, y,=-G(f,«^+?-), (I.33) где О = (^L+ ^л^л)-'; E - F^^J - F^. Выразим теперь /л в (1.306) в соответствии с (1.33) ^н GF^ - F^ + I, (<'„) = b, (1.34) и запишем (1.29а) в виде ^нв^н+Ув(/н)=б2, t>,=-F^GE; b,=F„e. (I.35) Уравнения (1.34) и (1.35) можно представить одним уравнением относительно неизвестного вектора -[Ч ш 24 которое принимает форму Бондаренко-Сэндберга Ну+Ф(и)=Ь, причем в данном случае //= рт-\ ни 1 F,. ; Ф(У) - ^ (^н) 1 . "н (Л) ' н 'Н VH (1.36) Заметим, что для цепи, не содержащей замкнутых контуров из источников ЭДС 'и нелинейных резисторов, уравнение (1.35) отпадает. В этом случае H^F^GF^, Ф(г0=г„(е„); Ь=Ь,. Для резистивной цепи, когда отсутствуют управляемые источники (матрицы Рн и Рт диагональные с положительными элементами), матрица Н полуопределенно положительна. При выводе (1.36) никаких предложений относительно харак- теристик нелинейных разисторов не делалось. Однако при немоно- тонных вольт-амперных характеристик не исключается возмож- ность, что функция Ф(и) неоднозначна. При выбранном способе составления уравнений Ф(и) однозначна, если все нелинейные ре- зисторы дерева Л^-типа, а хорд 5-типа. Практически всегда можно добиться того, что Ф(о) однозначная функция, если отступить от описанной выше процедуры выбора дерева, а руководствоваться тем правилом, что резисторы Л^-типа включаются в дерево, а 5-ти- па в хорды. Тогда в уравнениях Бондаренко-Сэндберга функция Ф(У) будет неоднозначной, только при невозможности выбрать дерево указанного типа, то есть при существовании в цепи замк- нутых контуров, образованных источниками ЭДС и резисторами Л^-типа, либо сечений из источников тока и резисторов 5-типа. Рассмотренный алгоритм составления уравнений безреактив- ных цепей можно применить также к цепям, содержащим много- полюсные нелинейные элементы. Граф Г цепи М, образованной из многополюсников, условимся строить по правилам, аналогичным построению графа цепи, обра- зованной из двухполюсных элементов. Каждому двухполюснику цепи М (рис. 8) соответствует ребро графа. Узлы, в которых соединяются полюсы двухполюсников или многополюсников, являются вершинами графа. Если в узле соеди- няются полюсы только двух многополюсных элементов, то этому узлу можно не ставить в соответствие вершину графа. Многопо- люсный элемент в графе представляется в виде вершины, которая соединяется ребрами с полюсами данного многополюсника. Вер- шины, соответствующие многополюсным элементам, в отличие от вершин, соответствующих узлам, изображаются кружком несколь- :ко большего диаметра (рис. 9) черного цвета. Следовательно, -согласно приведенному правилу построения графа можно считать, что каждому ребру .соответствует двухполюсный элемент цепи, а вершинам либо узлы (вершины первого рода), либо многополюс- ные элементы (вершины второго рода). Рис. 8. Цепь с много-полюс- ными элементами. Рис. 9. Граф цепи с мно- гополюсными элемента- ми. Для составления уравнений Кирхгоффа выберем некоторое де- рево 5 графа М. Обозначим множество ветвей дерева 5г, а мно- жество хорд Si,. Матрица контуров для графа Г, порожденная деревом 5, имеет вид Вг=[Е; F], где Е — единичная матрица, размер которой равен числу хорд множества SL, число столбцов матрицы В соответствует количе- ству ребер графа Г. Если бы в цепи отсутствовали многополюсные элементы, то уравнения второго закона Кирхгоффа для цепи опре- делялись соотношением Bf. ы==0, Вг м==0, (1.37) вектор напряжений элементов цепи; UL — век- .где и^ тор напряжений хорд; и.т — вектор напряжений ветвей дерева «S. Для цепи с многополюсными элементами матрица В/, должна •быть расширена за счет учета сторон многополюсника, входящих в соответствующий контур. Пусть Л1 — матрица инциденции «контур—сторона многопо- люсника», то есть строкам матрицы М отвечают контуры, порож- даемые множеством хорд SL, столбцам — стороны всех многопо- люсных элементов цепи. Элемент на пересечении строки и столб- да равен ± 1 (направление определяется хордой, породившей контур), если соответствующая сторона многополюсника входит в данный контур, и нулю — в противном случае. 26 Тогда матрица контуров в цепи В представится в следующем виде В=[В^ М}=[ЕРим}, а уравнения второго закона Кирхгоффа Ви-^0, U=[UL UT НмУ, где (1.38) (1.39) им — вектор напряжений сторон многополюсников входящих в М. Система уравнений (1.39) должна быть дополнена уравнениями второго закона Кирхгоффа для каждого из многополюсников в от- дельности. Нетрудно понять, что эти уравнения не вошли в (1.39), вследствие принятой методики. Запишем эти уравнения в виде (1.40) Матрица Вм имеет количество строк, равное числу многополюсных элементов, а количество столбцов — числу сторон многополюс- ников. Если положительное направление сторон выбрать одина- ковым в пределах каждого многополюсника, то матрица Вм при- мет вид В Г1 1 1 . .. 1 о о о о о . ..о о о о о . ..о 1 1 1 о о . .. о о о о о о . .. 1 1 1 Матрица сечений для графа Г, порождаемая деревом S, имеет вид (1.31) Q=[_FT; fi (1.41) Для справедливости (1.41) необходимо одно условие: положи- тельные направления токов и напряжений для всех элементов цепи должны совпадать, либо быть противоположными. Уравнения Кирхгоффа, следующие из первого закона для гра- фа Г, имеют вид Q;=0, (I.42) где i-\'A IL —- вектор токов хорд, IT — вектор токов ветвей дерева. Система (1.42) является в то же время уравнениями Кирхгоффа цепи М, 27 так как в ней учтены соотношения для отдельных многополюсни- ков (каждый из них представлен вершиной в графе Г). Уравнения безреактивных элементов цепи можно представить в виде вектор-функции u=f(i} или i=f-i(u}. (1.43) Отметим, что (1.43) распадается на совокупность независимых уравнений в соответствии с количеством не связанных между собой элементов. В отличие от (1.43) в качестве независимых перемен- ных принимаются не обязательно токи или напряжения. Описы- вать элементы цепи можно при помощи гибридных параметров. Однако на первом этапе ограничимся тем, что независимыми переменными выступают токи или напряжения. Это позволит очень быстро установить структуру уравнений цепи с многополюсными элементами и сопоставить с аналогичными уравнениями цепи, со- стоящей только из двухполюсников. Прежде чем приступить к составлению уравнений многополюс- ной цепи полезно отметить, что используя (1.40) вектор напряже- ний сторон им можно выразить через вектор напряжений им неза- висимых сторон, которые в дальнейшем применяются при описании свойств многополюсников. Обозначим UQ векторы независимых источников ЭДС. Тогда (1.39) примет вид UL+FiiT+MiiM=Uo. (I.44) Примем теперь, что ребрам графа Г соответствуют линейные двухполюсники, а нелинейные двухполюсники в дальнейшем рас- сматриваются как многополюсные элементы цепи. Тогда запишем уравнение цепи Ub+FuT=Uo—Мим, (1-45) —FтiL+iт=0•, уравнения линейных двухполюсников иь=Рь1ь', ит=Рт1т, (1.46) (1.47) где RL, Рт — диагональные матрицы с положительными (точнее с неотрицательными) коэффициентами; и уравнения многополюс- ных элементов 1'м=Ф(Ум). (1.48) Если подставить (1.47) в (1.44), то получим систему относитель- но вектора i. В результате решения имеем - R, FRA .-F'' Е \ Ч;-И ^ГГ-^Ч (1.49) 28 ИЛИ I ••= [Я = [я 1 [^ + FRr^-11"o - Ми^]. L'd \_'т\ 1-т] L' т] Выразим теперь 1м через i, то есть 1м = Ki (1.50) (1.51) К [^1 [RL + FRrF7'}-1 ^о - Ми^\=Ф(и^), и подставим полученное значение i из (1.50) в (1.51), а 1м из ^1.51) в (1.48). Тогда приходим к уравнению многополюсной цепи ~в виде (1.52) которое приведет к стандартной форме Аим+Ф(им)=Ь, (1.53) где Л=К ^ \[R^+FR^F^-1 M; b-K^^R.+FR^]-^. (1.54) Отличие уравнения (1.53) от аналогичного для цепи с двухпо- люсными элементами заключается в том, что составляющие век- тор-функций Ф(«м) зависят от нескольких составляющих вектора UM. Отметим, что уравнения многополюсных элементов в процессе составления уравнений цепи никаким преобразованиям не подвер- гаются и функция Ф(ым) в неизменном виде присутствуют в (1.53). Обратимся теперь к частному случаю, когда уравнения всех нелинейных многополюсников имеют вид t=G(p(u), (I.55) где G — квадратная неособенная матрица размера m—1; ср(ы) — вектор-функция, каждая составляющая которой зависит только от одной составляющей вектора и; m — число полюсов. Многополюсники этого вида в дальнейшем называют разде- лимыми. В качестве примера разделимого многополюсника можно ука- зать на транзистор при использовании модели Эберса-Молла. Действительно, уравнения транзистора в соответствии с этой моделью имеют вид: "эб "ко ',=^(^-l)-a-/oк(g"•• "эб "Кб ^=-а7^"» -1)+1ок^"° -1), 29 где г"э, tft — токи эмиттера и коллектора; cti, a — инверсный и прямой коэффициенты усиления по току; изб, "кб — напряжения эмиттер- база и коллектор—база, Чц — постоянная. В матричной форме эти уравнения имеют вид /оэ(е»° - 1) В этом случае G / т -аЛ |/оэ(е"" - 1) ' ; <р(й) ==' / »/ок(<"^ - 1), Представим совокупность уравнений разделимых многополюс- ников данной цепи в виде 1м=Смфм("м), где См — квазидиагональная матрица, отдельными блоками ко- торой служат G — матрицы отдельных многополюсников; <рм, им — вектор-функция токов и вектор напряжений отдельных многопо- люсников, расположенных в соответствующем порядке. Так как матрица Ом неособенная, то, умножив (1.53) слева на G^1, получим Яим+фм("м)=&, (1.56) где H^G^H; b=G-^b. Уравнение (1.56), в отличие от (1.53), содержит нелинейную вектор-функцию (рм, каждая составляющая которой зависит толь- ко от одной переменной. В этом отношении система (1.55) полно- стью аналогична уравнениям цепи, составленным только из двух- полюсных элементов. Описанная методика составления уравнений состояния основы- вается на возможности представления уравнений многополюсных элементов в виде (1.48), а также на предположении, что матрица R = R^ + FR^ неособенная. Первая предпосылка всегда соблюдается для диодно-транзис- торных цепей. Поэтому обратимся сразу же ко второму условию. 30 К сожалению, невозможно указать необходимые и достаточные условия, при которых R неособенная, однако существуют простые достаточные условия. Приняв, что матрицы RL и Rr диагональные с неотрицательными элементами, можно считать, что если все элементы матрицы RL положительны, то матрица R неособенная. Этот вывод следует из того факта, что матрица FRrF7' полуопре- деленно положительна. Таким образом, если среди хорд нет элементов с нулевым со- противлением, то описанный метод составления уравнений приво- дит к цели. Если все элементы Рт положительны, а ранг матрицы RT совпадает с рангом F, то FRrF1' положительно определенна, следовательно в этом случае R также неособенная матрица. Итак, безынерционные цепи, в которых нелинейные резисторы являются двухполюсниками либо разделимыми многополюсника- ми, описываются уравнениями типа Бондаренко-Оэндберга. Это позволяет в более конкретной форме представить уравнения сос- тояния (1.4) нелинейной цепи. Для этого следует обратить внима- ние на то, что внешние воздействия входят линейно в вектор, (1.36) и (1.56). Так как в качестве внешних воздействий в уравнениях состоя- ния (1.46) выступают x(t) и u(t}, то система (1.4) принимает вид ^=^^"(0); at (1.57) где М, N — некоторые постоянные матрицы, значения которых в каждом конкретном случае отделяются соотношениями, приве- денными при выводе уравнений (1.36) и (1.56). § 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ БЕЗЫНЕРЦИОННОЙ ЦЕПИ В этом параграфе за исходное примем уравнение цен» в наиболее общей форме f(y)=b, (I.58) где f(y) вектор-функция неизвестных, образующих вектор Ь (это токи и напряжения нелинейных резисторов, если придерживаться методики составления уравнений, приведенной в предыдущем па- раграфе); Ь — постоянный вектор, составляющие которого линей- но зависят от внешних источников ЭДС и токов. 31 Согласно теореме Пале [38] необходимыми и достаточными условиями существования и единственности решения (1.58) для всех Ь являются: 1- f(y)' yy^R" неперерывна и дифференцируема; 2. Якобиан det W=det f^Uo yy^R"; \dy) .3. Um\lf(y)\\=oo. || у || , »• Прежде всего рассмотрим приложение теоремы Пале к цепям ? нелинейными двухполюсниками и разделимыми многополюсни- ками, описанным уравнением Бондаренко-Сэндберга Ци)=Ни+Ф(и)=Ь, р котором каждая составляющая вектор-функции Ф(У) зависят только от одной составляющей вектора и. Вопрос о существова- нии и единственности решений системы изучен в [43—45]. Матрица Якоби представляет собой где W=H+D„ ?>„=diag((Di'(oi),..., Ф(у„)). Необходимое и достаточное условие того, что det W^O ?лри условии, что все Ф/>0, состоит в том, что матрица Н должна принадлежать классу Ру [44]. Классы матриц Ро(Р), введенные в [37], характеризуются одним из .перечисленных ниже свойств, которые между собой эквивалентны: 1. Все главные мнноры матриц класса Ра(Р) неотрицательны (положительны). 2. Для каждого вектора х=^0 существует индекс k такой, что Xhyh'^0(Xhyk>0), гдег/=/и иА(=Ро(Р). 3. Для каждого вектора x^=Q существует диагональная матри- ца Dx>0 такая, что скалярное произведение (Ах, ад^ оо). 4. Все вещественные собственные числа А и главных миноров матрицы неотрицательны (положительны). Из свойства 2 следует, что полуопределенно положительные (определенно положительные) матрицы принадлежат к классу Ро(Р). Из структуры матрицы Н, входящей в (1.36) видно, что она является полуопределенно положительной. Отсюда вытекает тео- рема, установленная Р. Даффином в 1947 году. 32 Цепи, образованные из линейных и нелинейных строго моно- тонных резисторов, при произвольных внешних воздействиях име- ют одно и только одно положение равновесия при условии, что limufe(tft)=oo k=l,..., п. l^l — Установить принадлежность матрицы Н к классу Рц для цепей с разделимыми многополюсниками непросто и пока что здесь по- лучены весьма скромные результаты. Определение. Квадратная матрица А называется доми- нантной по строкам (столбцам), если выполняются неравенства ^>si 7=1 /-•• а, i = 1,2, ...,п а, а /-' /*' Если в приведенных неравенствах заменить знак > на ^. то матрица А, удовлетворяющая этим неравенствам, называется сла- бо доминантной. Доказано [44], что если квадратная матрица А доминантна по столбцам (строкам) и если квадратная матрица В слабо доми- нантна по столбцам (строкам), то тогда матрица Л-1 Ве:Ро (если матрица В доминантна по столбцам строчкам, то Л~1 В^Р). Основываясь на этом факте, можно доказать, что цепи, у кото- рых все транзисторы включены по схеме с общей базой, имеют единственное положение равновесия. Предполагается, что все ос- тальные элементы цепи имеют неубывающие вольт-амперные ха- рактеристики. При этом принимается, что транзистор описывается уравне- нием f^f 1 -»Л^1("з)\ \iJ {-о. 1 Л^("к)/ Объединяя уравнения всех транзисторов в единое векторно- матричное уравнение, получим i=TF(u), где i, и — векторы токов и напряжений транзисторов, Т — квази- диагональная блочная матрица, каждый из блоков которой пред- ставляет матрицу 2Х2 вида / 1 -«Л — я 3-3107 33 где a, ai — прямой и инверсный коэффициенты усиления но току соответствующего транзистора. Представим теперь цепь, в которую включено k транзисторов, в виде 2k+ 1-иолюсника, с подключенными к полюсам транзисто- рами. При этом базы всех транзисторов подключены к общему полюсу, относительно которого производится отсчет всех напря- жений. Сначала рассмотрим случай, когда все двухполюсные резисто- ры линейны. Предположим, что существует матрица проводимо- стей G для рассматриваемого 2й+1-иолюсника, и, следовательно, связь между напряжениями и токами полюсов может быть пред- ставлена в виде i=—Gu+lo. Заметим, что матрица G в том случае, когда все напряжения отсчитываются от общего полюса, доминантна. Подставив в урав- нения многополюсника значения токов из уравнений транзистора, получим Gu+TF(u)=f», или T-^Gu+F(u}=T,4o. Так как матрицы Т и G доминантны, то T-^G^P. Отсюда сле- дует, что цепь с подключением транзисторов по схеме с общей базой имеет единственное положение равновесия. Действительно, пусть u.w и ы<2) два несовпадающих вектора на- пряжений, которым соответствуют два различных положения рав- новесия. Тогда имеем ЯиО+^ыО^Г^/о; где Вычитая из второго уравнения первоее, получим H(uW-uW) +F(uW)—F{uW) =0. Вектор-функция F(u) такова, что каждая ее составляющая явля- ется монотонной функцией только от одной составляющей векто- ра и. Поэтому F(uW)—F(uW)^Du(u^—uW), где Он — диагональная матрица с неотрицательными элементами. Следовательно, имеем (H+Du)(u^-u^')=0. Так как Н<=Р, то det(H+Du) =т^0, что означает u^=uw. Этим доказывается единственность решения. Распространим полученный результат на цепи в которых име- ются нелинейные резисторы с монотонными характеристиками. Предположим, что в цепи, содержащей транзисторы с включе- нием по схеме с общей базой и нелинейные монотонные резисто- ры, возможно существование двух положений равновесия. Каж- дым нелинейный резистор может быть заменен источником ЭДС с последовательно включенным линейным резистором так, что значения тока и напряжения нелинейного резистора и линейного эквивалента в обоих положениях равновесия совпадают. Тогда положение равновесия неединственно и в схеме, где нет нелинейных резисторов заменены линейными эквивалентными схе- мами. Это противоречит доказанному выше, и, следовательно, включение нелинейных резисторов с монотонными характеристи- ками не изменяет свойства единственности. Приведенные аргументы служат доказательством несколько более общего факта: если в цепи, которая имеет единственное положение равновесия, заменить произвольное число линейных резисторов нелинейными с монотонными характеристиками, то единственность положения равновесия не нарушается. Предыдущие рассуждения основывались на том, что для 2А+1 пслюсника существует матрица проводимостей G. Это облегчает доказательство, однако можно несколько более сложным путем показать, что единственность положения равновесия сохраняется и в тех случаях, когда матрица G не существует. Теорема П&ле может быть также применена к некоторым це- пям, образованным из нелинейных многополюсных элементов, ко- торые не удовлетворяют условию разделимости. Определение. Вектор-функция f(y) называется строго мо- нотонной, если для всех yW, у(2• ^R" выполняется неравенство ^OT—W1'),^2'-^1')^^'2-^2 а>0. (1.59) Нетрудно показать, что строго монотонная функция удовлетворя- ет условиям теоремы Пале. Согласно лемме Демидовича [13] имеем /- НУ21 - У" II2 < (/ (У121) -W), У121 --y'-X A„ \\yW—yW i2. (I FO) Am и Лщ -- наименьшие и наибольшие значения собственных чисел снмметризованной матрицы Якоби - И "Т" I—i функции/ (у). 2[\ду/ \ду]\ З* 35 Определение. Квадратная матрица В (у), y^R'1 называ- ется равномерно определенно положительной, если существует по ложительное число а>0 такое, что yтB(y)y^a\\y\\2 yy^R». Таким образом, если матрица Якоби f(y) равномерно опреде- ленно положительна, то f(y) строго монотонная. Из монотонности f(y) вытекает равномерная определенная по- ложительность матрицы (—). Действительно, при достаточно ма- W •лой норме ||'^(2)—г/оЦ с точностью до малых высших порядков (W) -.W1). У"'1 - У^ == (^ - y^^f-} СУ'2"- v111).. Сопоставив это соотношение с (1.59), заключаем, что(-' j равномер- \ду/ но определенно положительна. Таким образом, необходимое и достаточное условие строгой монотонности сводится к определенной № .положительности матрицы —. W Последнее .означает, что detW^O. \ду] Далее, тюложив у^^у, г/(i)=0, имеем (f(y)-f(O), У)^аПaiH-||f(0)l|. Отсюда следует Ит||^(г/)!!=оо. y'-^ao Итак, при выполнении (.1.59) условия теоремы Пале удовлетворе- ны и система (1.58) имеет единственное решение. Отметим, что этот результат был получен без применения теоремы Пале в [41]. 36 Если известно, что (1.58) имеет решение, то для его единствен- ности на f(y) могут быть наложены менее обременительные огра- ничения. Достаточно выполнения неравенства (f(Уm)-f(УW), yW-yW)>0. (I.63) Действительно, предположив, что система (1.58) имеет два раз- личных решений г/<2) и у^, приходим к выводу, что (/OT-W), yw-yw)=o, это противоречит (1.63). § 4. СТРУКТУРА УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ^LC-ЦЕПИ БЕЗ ВЫРОЖДЕНИИ Если в цепи отсутствуют вырождения, то векторы пере- менных состояния при двух подходах, рассмотренных в предыду- щем параграфе, и сами уравнения (1.15а), (1.156) и (1.18) совпа- дают. Рассмотрим сначала эти уравнения для случая, когда все ре- зисторы линейны. Тогда система может быть представлена в виде:. /?Р • IP + ^Ре • »е = "Oft (0—/•'(«)"( и Fye равны п& и п-,, то есть количеству емкостей и индуктивностей цепи соответственно. Мож- но указать простые топологические признаки, когда эти условия выполняются. Для этого необходимо и достаточно, чтобы в цепи 5(ре) (у) * все емкости были короткозамкнутыми, а в цепи 5(ре) *(б> все индуктивности разомкнутыми *. Fp(, служит /•'-матри- цей для цепи 5(s -i* Чтобы ее ранг был равен п& необходимо и достаточно в множес. 'е 5р иметь подмножество хорд, падения напряжений на которых пределяют падения напряжений на емко- стях 5в. Это значит, что для каждой емкости существует хотя бы один контур, образованный резисторами из множества 5р и дан- ной емкостью в цепи Sipis)* . Поэтому закорачивание элементов р приводит к тому, что все емкости оказываются короткозамкнуты- л fln»^"/> •"'----- •' Определение обозначении вида Sig^/.млано на стр 55. 38 ми. Аналогично доказывается второе положение, относящееся к индуктивным элементам. Матрицу Л можно представить в несколько ином виде, если найти решение (1.64) для каждого из векторов t'p и lie. Из второго уравнения системы (1.64) при /ое=0 имеем «,=Gr4^ i,+^i}, подставив его в первое уравнение системы (1.64) при Ыор=0, полу- чи м- С^+ЗД-1^)^ или ^ - - (/?з + W^ )-1 (^ " + /У^)- ;. ^ _ (р, 4- F. G-W- )-1 (^ и + F„G^F4). (I.68) Аналогичные преобразования дают ". == (G + ^ ^V (^- i + ^ V^"). (I-69) После подстановки (1.68), (1.69) в (1.12) приходим к следующему представлению матрицы Л: /W+ W^)-1^ -^+W+WF^)-^G^ А ----- Lг^г^/^^u, -г -э."Э 'р. Если ввести обозначения F„+^ (А + ^ V V ^ V ^ W + ^ ^г1 ^)-1 ^ (1.70) (1.71) / Т '-7/ Л= Л ц Л^ Л 21 "22- то сопоставив (1,70) и (1.71) нетрудно убедиться, что Лц и Лг2 симметрические полуопределенно положительные матрицы, а Aia=—A^ . Матрицы Лц и Лгг определенно положительны только в том случае, когда ранги Fpa и F-,s. равны соответственно Пв и п-у. Если реактивные элементы также линейны, то f(x)=D-i•x, где D-i — матрицы обратных емкостей и индуктивностей; „_, \L-1 0 1 О С-1. Матрица С-1 всегда диагональна, a L~1 только в том случае, когда в цепи отсутствуют взаимные индуктивности. Следовательно, для линейной цепи уравнение состояния (1.67) преобразуется к виду ^=_AD-1 x+F(t). (1.72) dt Отметим, что форма (1.72) сохраняется также для цепей с пе- ременными параметрами. Если от времени зависят только реак- тивные параметры, то матрица Л остается постоянной, a D=D(t). Матрица Л переменная в цепях с изменяющимися во времени сопротивлениями резисторов. В том случае, когда в качестве переменных состояний прини- мается вектор '-и то форма уравнения (1.72) изменяется, и после преобразования получаем D^=-Af+F(t). (I.73) Однако в случае изменяющихся во времени реактивных элементов имеем ^[D^-n^-A.f+F^. (1.74) at До сих пор рассматривались цепи, которые содержат только линейные резисторы. Если попытаться распространить полученные результаты на цепи с нелинейными резисторами, то возникают трудности обусловленные тем, что вместо линейной системы (1.64) приходится искать решение нелинейной системы (1.13). Для неко- торых случаев оказывается целесообразным формально сохранить систему (1.13), однако, при этом Д?р и Gg следует рассматривать как статические сопротивления нелинейных элементов, значения которых зависят от режима работы. Можно считать, что /?р и Gg являются функцией вектора состояний х, так как он однозначно определяет значения всех электрических величин цепи. При этом сохраняются свойства положительности сопротивлений /?р и про- аодимостей Gg независимо от значения вектора х. Таким образом, для нелинейной цепи с нелинейными резисторами матрица Л за- висит от вектора состояний х. Однако установленное выше свой- ство неотрицательности Л сохраняется и в этом случае, причем это свойство имеет место для всех значений х. Важным классом цепей с нелинейными резисторами, для кото- рых могут быть получены уравнения состояния в явной форме, являются так называемые полные цепи. Определение f46]. Цепь называется полной, если все эле- менты матрицы Fpe нули. 40 Термин «полный» в данном случае указывает на полноту цепи с точки зрения количества реактивных элементов. Их достаточно для выбора такого дерева, при котором напряжение на любой резистивной хорде выражается через напряжения емкостных вет- вей, а ток каждой резистивной ветви выражается через токи ин- дуктивных хорд. Нетрудно заметить, что цепь, каждый резистор которой зашунтирован емкостью либо с каждым резистором по- следовательно включена индуктивность, является полной. Тогда система (1.13) принимает вид "Р="Ор—^Р6"6; ie=^Oe+Fr, Ч- (1.75) Пусть все резисторы множества (3 управляемые напряжением (в частности являются монотонными), а множества 8 управляемы то- ком (или монотонные). Тогда, воспользовавшись уравнениями вольтамперных характеристик fp=/p(Up); Ue=Ue(ie), уравнения состояния цепи (1.78) представим в виде го -л 1л» о ^(Ф)1+[-^о ]K(^+^S)]+M "«ш L о ^[^(иоэ-^йо)] ш W] dt\.q\ В частном случае, когда параллельно каждому резистору мно- жества 5р включена емкость, а последовательно с резисторами множества Se включены индуктивности Uop==0 И /og=0, матрицы Fyc. и F^6 становятся единичными. Точнее, матрицы F'/s и .Fpe содержат один ненулевой элемент в каждой строке. Измене- нием порядка нумерации элементов их можно превратить в еди- ничные матрицы. Это позволяет свести уравнения цепи к более простому виду ГО-f. L^o т° r^wi-J"^0 1Г"(^ Ч п с-Г \_иь {q}\ О ^Л/р(йг). + " . (1.76) \)е Заметим, что в (1.76) каждая составляющая вектор-функций Ue, /g зависит только от одного аргумента, то есть от одной составляю- щей if, ив соответственно. Другой особенностью системы (1.76) является то, что правая часть содержит отдельно функции коор- динат и времени, то есть переменные х и t не перемешаны. В этом смысле уравнение (1.76) аналогично уравнению состояния цепи с линейными резисторами. Можно несколько расширить класс цепей, для которых возмож- но получить в явном виде уравнения состояния, если в множествах 5р и Se, выделить подмножества нелинейных резисторов 5рн и 5ен. 41 Тогда для получения решения системы (1.13) относительно 'и Me в -явном виде достаточно, чтобы матрица Fpe выразилась [^ °1 О О то есть нулевыми должны быть блоки, которые соответствуют эле- ментам множеств 5рн и 5ен. Этому условию удовлетворяют в част- ности цепи, в которых каждый элемент множества 5рн зашунти- .рован емкостью, а последовательно с элементами из 5ен включены индуктивности. Примером 'этого класса схем являются диодно- транзисторные схемы. Действительно, в модели транзистора каж- .дый из диодов зашунтирован емкостью. Если схема не содержит 'емкостных контуров, то все емкости входят в дерево. Поэтому диоды образуют множества Spu, и вышеприведенные условия вы- полняются. Этот факт нередко используется при разработке, про- грамм анализа на ЦВМ диодно-транзисторных цепей. Несколько иной подход для установления структуры цепей без вырождении был предпринят в работе Брайтона и Мозера [32]. Рассуждения Брайтона и Мозера опираются на теорему Телегена [22], согласно которой для произвольной электрической цепи имеет место равенство Si^u-O, где i, и — векторы токов и напряжений всех ветвей цепи, причем Каждый из них удовлетворяет уравнениям Кирхгоффа для данной Цепи. В остальном же их выбор произволен. Теорема Телегена справедлива независимо от типа элементов, входящих в данную цепь, так как она является прямым следствием законов Кирхгоф- фа. Из теоремы Телегена вытекает соотношение \llтdi= iTdu^O, Ь' V г г (1.77) если криволинейны интегралы взяты по кривой Г в п-мерном пространстве, на которой удовлетворяются законы Кирхгоффа. Соотношение (1.77) для цепи без вырождении D-типа предста- вим в виде [<^+ \^di,+ ^d^=0. _ _dP dt ди„' dt д'^ или 'W О -1 д_Р (1.81) О L^x)] дх где !б, Л. С„. (х) = diag '-' <у \ Л 1 —— U I U fk | i /^ Ч. № LO -1,\ Г^ ^(.)=diag|^„. единичные матрицы размера Пв и Пу. du d'b " di Тлт In-t 43 Уравнение (1.81) справедливо для цепей, содержащих нелиней- ные резисторы. Более того (1.81) можно распространить на неко- торые классы схем, содержащие многополюсные элементы. Для с этого необходимо, чтобы интеграл \ ир<11ц не зависел от пути инте- *J Г грирования. Последнее имеет место в том случае, если матрица Якоби системы функций ид(1ц) является симметрической. Можно получить выражение для квазипотенциала Р в явном виде, если сопоставить (1.67) и (1.81). Приравняв правые части, получим /^Ч.^-^,), (1.82) [О Lg\ дх Учитывая, что f^°l-dlaJ \ \ 1 |о ^J~dlag[7Г^У••••)7^)J• (1.83) В таком случае из (1.82) получим дР дх где r(x}=diag[f/(xi),..., fn(xn)]; Л=-/Л, причем, как это следует из (1.70), матрица А оказывается симмет- рической. Тогда нетрудно заметить, что функция Р, удовлетворяющая (1.83), имеет вид P=[f(x)V.A^-f(x). (I.84) § 5. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЦЕПЕЙ С ВЫРОЖДЕНИЯМИ И С МНОГОПОЛЮСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Рассмотренные в предыдущем параграфе классы цепей весьма просты по топологии и виду применяемых элементов. Поэ- тому и структура уравнений состояния для них достаточно проста. Теперь целесообразно рассмотреть, какие изменения претерпе- вают уравнения состояния цепи при более сложной топологической структуре и усложнении характеристик элементов цепи. Прежде всего, рассмотрим влияние вырождении в цепи на вид уравнений состояния. Для того, чтобы получить наиболее четкое представле- ние о характере изменений, обратимся сначала к цепям с линей- ными резисторами в случае вырождении D-типа. 44 Если в качестве переменных состояния выбраны '-Ь и qs, то есть Гф 1 х= 'т, ы то в системе (1.12) в дополнение к уже проделанным .в § 4 преоб- разованиям проводится исключение переменных и^, ia. Эти преоб- разования проводились в § 1 и в результате была получена систе- ма уравнений (1.15а), (1.156), которая может быть представлена в виде ^N-D-fP ~F^\iA+\~FV or"IГ6t+ dt[q,\~ \W 0 JN'l 0 FWh\\' (1.85) dt [FJpC,/ +^с^1_Л^ + „l.r. , J+^_ где p+D, 01. D,=^L^-' [ 0 ?+DJ' a=/^CJ?„pCo1 Подставив в (1.85) значение вектора 6 из (1.65), получим L 1?} 'г Ч + -^s о J ^ oirG-mr^ oiir^-i |о -FW^ ^J[o -f?Jlk(^)J где Ф(0 обозначает вектор внешних воздействий. Отличие (1.86) от соответствующего уравнения (1.66), относяще- гося к случаю, когда вырождения отсутствуют, состоит в том, что вектоп-функция в правой части (1.86), зависящая от переменных состояния, умножается слева на матрицу D~1. Матрица D может быть представлена в виде произведения сим- метрической положительно определенной матрицы на диаго- нальную ^\L^W^ \ 1[S-1 Ч. L о Cs-r^sC^JLo Св-Ч Отметим, что вектор-функция Ф(<) зависит не только от внеш- них ЭДС iio(t) и источников тока ja{t), но также и от их первых производных во времени. 45 Обозначив, как и ранее, в левой части (1.86) выражение, за- ключенное в фигурные скобки, через А, получим ^-0-1(;,)Л./(л;)+Ф(^. (1.87) at Можно придать (1.87) более удобную форму, если ввести вектор состояний / 1дх\ df Ы^-0"1^-^^)' (1.88) где (дх} W /дх\-1 I (JV \ — 1 Умножив (1.88) слева на — . получим W/ (1.89) где D„ О 0 C^+C^F^C^C^i' В отличие от D матрица Ds симметрическая (положительно полу- определенная), что несколько облегчает качественное исследова- ние (1.89). В частном случае, когда цепь линейна, уравнение (1.89) при- нимает вид ^-о,л./+о,„Ф«),о,^- Таким образом, в случае вырождении .0-тппа Л-матрпца не яв- ляется полуопределенно положительной. Можно только указать на то, что А представляет произведение двух полуопределенно поло- жительных матриц Ds и Л, причем первая из них симметрическая. Если в качестве переменных состоянии принять в соответствии с (1.19) линейные комбинации потокосцеплений и зарядов ^ п У' то структура уравнений состояния несколько изменяется. Напомним, что ф и <7 определяются соотношениями ^=^+F^, q=q6—F^qa. Такой подход, как уже указывалось в § 1, обладает тем неос- поримым преимуществом, что в уравнения состояния не входят производные от внешних источников тока и ЭДС. 46 Для цепи с линейными разисторамп, если принять, за; основу уравнения (1.18), исключив переменные г'р и Ые в соответствии с уравнениями (1.13), получим выражение, аналогичное (1.66) ^ dt[q) = -Л (W^ \Иь (q.),l in^}\ \ie W (1.90), где матрица А определяется соотношениями (1.67), и (Г. 70), из пре-. дыдущего параграфа. Для того, чтобы выразить 4'т " 9в через •ф и q используются системы уравнений (1.16)—(1.19), (1.20), (I.Юг) и (1.9а) соответ-. ственно. В результате, в правых частях полученных уравнении состояния функции i-f н ив могут быть представлены в виде 1у=^[гМ^)]; "a="e[, xW, /). (1.936) dt В этих уравнениях xW — вектор переменных состояний k-го многополюсника, t'W, uW, как и ранее, ток и напряжения полюсов. Гак как не исключается возможность изменения во времени от- дельных параметров, то в первые части (1.93а), (1.936) явно вхо- 48 дит время, однако для упрощения записи в дальнейшем не запи- сывается как один из аргументов f и Ф: Напряжения и в (1.93) выступают в качестве независимых источников ЭДС. Возможны и другие формы уравнений состояния, когда в (1.93) вместо и входит вектор i или некоторый гибридный вектор, составляющими которого служат как токи, так и напря- жения полюсов. Уравнение (1.93) определяет токи полюсов при известных напря- жениях и и значениях переменных состояния х. В соответствии со сделанным замечанием вместо i здесь может фигурировать другой вектор, образованный из составляющих i и и, не вошедших в(1.93а). Если все элементы цепи, обладающие реактивностями, отнести к разряду многополюсников, то, как и в § 2, вне многополюсников будут находиться только линейные резисторы. Тогда соотношение (1.53) из § 2 сохраняет силу, если Ф определяется в соответствия с (1.93). В результате получим Аи+Ф(и,х)==Ь, (1.94) где и — вектор напряжения многополюсников цепи; х — вектор переменных состояний цепи. Решение системы (1.94) дает u=U(x). (I.95) Предполагается, что структура цепи такова, что (1.95) пред- ставляет собой однозначную функцию х. Следует отметить, что условия определимости цепи при наличии многополюсных элемен- тов изучены еще недостаточно полно. Однако можно утверждать, что диодно-транзисторные схемы при учете емкостей всех р-п пере- ходов удовлетворяют условию определимости. Объединение уравнений состояния (1.93а) отдельных много- полюсников в одну систему приводит к уравнению вида ^=/(Х,У). (1.96) Подставив (1.95) в (1.96), получим уравнения состояния цепи, в ко- торые в качестве неизвестных входит только вектор состояний dx (1.97) dt r>s гассмотрим теперь в качестве примера уравнения состояния отдельных многополюсных элементов и структуру уравнений цепи, содержащих эти элементы. Транзистор (модель Эберса-Молла). Зависимость токов t'a, ih от напряжений Ыэб и u^g определяется соотношениями эб ко 1 U. ^=^(^)^?+/оэ(е"» -1)-я, /ок(е "--!); (1.98а) эб ^С.М^-а/оэО?"" -1)+^к(^"'-1). (1.986) d/ Систему (1.98а), (1.986) можно рассматривать как уравнения состояния многополюсника, у которого вектором состояния служит х = (1.99) причем, в отличие от (1.93а), в правую часть входят полюсные токи многополюсника ih, is- Тогда уравнение (1.95-) должно определять зависимость полюсных напряжений от токов и переменных состоя- ния. В данном случае (1.95) принимает простой вид и=х. Поэтому для диодно-транзисторных цепей, если они не содер- жат других типов нелинейных элементов, отпадает необходимость в решении нелинейных уравнений вида (1.94). В этом частном случае, (1.94) линейно и оказывается возможным получить в явном виде зависимость вектора тока i от переменных состояния х. Таким образом, формирование уравнений нелинейной цепи с многополюсными элементами оказывается достаточно близким к случаю решения той же проблемы, но для цепи, образованной из двухполюсников. Исходя из изложенного следует, что для диод- но-транзисторных цепей можно формировать уравнения состояния без применения эквивалентной схемы транзистора, а основываясь на его уравнениях состояния. Утверждать, что подобный подход имеет явные преимущества рано, однако многое говорит в его пользу. Действительно, при формировании уравнений состояния транзистора выполняется некоторая единообразная для всех тран- зисторов работа и соответствующие данные вводятся в машину. Поэтому можно ожидать, что программа формирования уравнений многополюсных цепей окажется более экономичной. Причем по мере развития машинных методов расчета можно ожидать, что будет накапливаться материал по описанию уравнений состояний более сложных блоков, что в свою очередь позволит упростить задачу анализа сложных схем. ГЛАВА II ОСНОВНЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Изучение качественных свойств электрических цепей в этой главе начинается с рассмотрения предпосылок, при которых уравнения состояния, описывающие процессы в цепи имеют реше- ния при произвольных начальных условиях хотя бы на ограни- ченном интервале времени. Подобные цепи названы определимы- ми [33]. Показано, что свойство определимости может не выпол- няться, например, при немонотонных характеристиках нелинейных резисторов. Условия определимости получены как для цепей, обра- зованных двухполюсными, так и многополюсными элементами. Большое внимание уделено исследованию устойчивости поло- жений равновесия при постоянных внешних воздействиях. Так как начинать отсчет переменных всегда можно от значений, соответ- ствующих положению равновесия, то анализ устойчивости ведется на основе уравнений состояния в отсутствие внешних воздействий. Следует иметь в виду, что перенос начала координат изменяет свойство нелинейных элементов цепи. Это относится к нелинейным резисторам с немонотонной характеристикой и многополюсными резистивными элементами. Так, если для нелинейного резистора с немонотонной характе- ристикой всегда соблюдается условие i'u(t)>0, то есть элемент потребляет мощность из цепи, то при переносе начала координат в точку, расположенную на падающем участке, резистор в некото- рых режимах ведет себя как генератор. Для цепей, в которых возможно существование нескольких по- ложений равновесия целесообразно исследование устойчивости по Ляпунову каждого из них, то есть устойчивости в малом. Основное внимание уделено исследованию устойчивости в це- лом, то есть при произвольных начальных условиях для систем с единственным положением равновесия. Установление устойчивости позволяет доказать для этого клас- са цепей при некоторых дополнительных условиях ограниченность решений и диссипативность системы при наличии внешних воздей- ствий, ограниченных во времени. К сожалению, большинство полу- ченных результатов, касающихся асимптотической устойчивости 4* 51 в целом, относится только к ^LC-цепям с монотонными характе- ристиками резистивных элементов. Выделение класса цепей с много- полюсными резистивными элементами (например, с транзистора- ми), для которых имеет место асимптотическая устойчивость в целом положения равновесия, сталкивается с серьезными мате- матическими трудностями. Это обстоятельство .не следует вос- принимать как нечто ненормальное. Известно, что аналогичная задача об абсолютной устойчивости систем управления, решению которой было посвящено огромное количество работ в течение последних тридцати лет, еще весьма далека от окончательного решения. Третий параграф главы посвящен изучению ограниченности решений и установлению диссипативности. Несмотря на то, что в реальных устройствах при ограниченном внешнем воздействии реакция в любом элементе устройства также ограничена, в мо- делях цепи это свойство может не соблюдаться. Основной причиной является пренебрежение потерями в некоторых из реактивных эле- ментов цепи. Но учет потерь во всех реактивных элементах цепи привел бы к неоправданному усложнению задачи. Поэтому опре- деление условий разумной идеализации задачи, при которой сохра- няется свойство ограниченности решений, будет чрезвычайно важным. В четвертом параграфе рассматривается поведение систем при периодическом внешнем воздействии. Выведены условия сущест- вования в цепи устойчивого в целом периодического режима (цепи такого вида названы конвергентными). Показана связь свойства конвергенции с устойчивостью положения равновесия некоторой вспомогательной цепи. В последнем параграфе рассмотрены возможные типы режимов в нелинейных цепях. В нем собраны известные факты нелинейной теории цепей, а также дана попытка интерпретации в терминах теории цепей некоторых результатов качественной теории обыкно- венных уравнений. § 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ ВПРАВО Представляя уравнение цепи в виде dx dt (П.1) нельзя заранее быть уверенным в однозначности функции f(x,t) и выполнении для системы (11.1) условий существования и един- ственности решения задачи 1<оши. Это обстоятельство известно с давних пор и более того, нередко задачи, не удовлетворяющие 52 условию однозначности правой части, с успехом решались при использовании аналитических методов. Применение ЦВМ не допускает подобной ситуации, так как при этом исключается возможность использования обычных про- грамм численного интегрирования. В крайнем случае, заранее должно быть известно, что для изучаемого класса цепей возможно нарушение условий существования с тем, чтобы предусмотреть это в алгоритме решения. Обратимся к простым примерам цепей, в которых возможно невыполнение условий существования решения. i~s ^—1——'—|——| 1 Рис. 10. а Релаксационный /^Ь\ генератор на газоразрядной лампе; б Вольт-амперная характеристика газоразряд- ной лампы. На рис. 10,а показана схема релаксационного генератора на газозарядном приборе, на рис. 10,6 — его вольт-амперная харак- теристика. При достижении точек характеристики Ai или Лг пред- полагается, что ток скачком изменяет свое значение и изображаю- щая точка скачком переходит с участка I на участок III. Дифференциальное уравнение схемы (рис. 10, а) имеет вид dii„ 1 (11.2) dt где /("с) — уравнение вольт-амперной характеристики газозаряд- ной лампы. Как видим, правая часть (11.2) не является однознач- ной функцией и.с, вследствие немонотонности характеристики (рис. 10, б). Казалось бы, что задав начальные условия /=0 и Uc=="co и ука- зав на каком участке характеристики находится изображающая точка, можно избавиться от этой неоднозначности. Однако это справедливо только частично. Если в процессе изменения пере- менных lie принимает значение Uc, либо Ыс, дальнейшее поведение системы становится неопределенным, если Гб>[гд|, где Гд диффе- ренциальное сопротивление в точке О, являющееся положением равновесия цепи. Действительно, в точке Ыс, правая часть (11.2) diic ^ положительна, то есть —. должно возрастать. С другой стороны, при движении от точки Ыс, как по участку I, так и по участку II напряжение Uc убывает. Следовательно, решение системы (11.2) в точке Uc, не существует. Аналогичное заключение справедливо и для точки «.с,- 53 Цепи, в которых существует единственное решение для конеч- ного интервала времени при произвольном выборе начальных условий и внешних воздействий, назовем определимыми [33]. Для установления условий определимости необходимо восполь- зоваться результатами относительно возможности существования и единственности решений нелинейных безреактивных цепей, ко- торые были изложены в главе первой во втором и третьем па- раграфах. Если существуют и являются единственными решения систем (1.13), (1.16), (1.17), (1.19), (1.20) относительно йр, tg; ty, ^; <7 ||^||->.оо ^;|1^м lim ||(7б(Уб)1|==оо; lim \\Ua(qa) II =00. 1("ill-r°° . '1?„11^°° Это непосредственно следует из теоремы Пале, так как яко- биан правых частей обеих систем нигде не обращается в нуль. Действительно, матрица как сумма кососимметрической матрицы п диагональной с поло- жительными элементами, определенно положительна, что гаранти- рует неравенс1во нулю якобиана. Совершенно аналогичное соот- 54 ношение соблюдается и для системы (1.16)—(1.20). Итак, при указанных условиях всегда существуют ознозначные функции иб=Кб('7); t\,==t\,(i);). Обратимся теперь к системе (1.13). В третьем параграфе пер- вой главы было доказано существование и единственность решения для цепей, в которых резистивными элементами служат двухпо- люсные элементы с монотонными характеристиками. Отсюда сразу же вытекает определимость ^LC-цепей с монотонными характерис- тиками резисторов. Когда же в цепи есть резисторы с немонотонными характерис- тиками, определимость может и не иметь места, как это следует из приведенного выше, примера. Однако для этого класса цепей также не трудно указать условия, которые обеспечивают опре- делимость. В приведенном примере невыполнение условий определимости объясняется тем, что не учтены динамические свойства резистора с немонотонной характеристикой. В данном случае это резистор S-типа и простейший учет его динамических свойств сводится к включению последовательно с ним индуктивности. Учет динамиче- ских свойств резисторов //-типа производится включением парал- лельной емкости [4]. Можно показать, что если все резисторы S-типа имеют последовательную индуктивность, а Л^-типа парал- лельную емкость, то цепь определима. Доказательством этого слу- жит структура уравнений (1.13). Действительно, при соблюдении указанных выше условий все резисторы УУ-типа оказываются хор- дами, то есть принадлежат к множеству Sp, а 5-типа — ветвями нормального дерева (множество Se). При этом напряжение ыр на резисторе Л^-типа однозначно определяется той переменной состоя- ния, которая связана с емкостью, шунтирующей этот резистор. Аналогично ток i'е резистора S-типа определяется переменной, ха- рактеризующей состояние последовательной индуктивности. Итак, уравнение (1.13) имеет единственное решение, что и доказывает определимость цепи. В несколько более общей форме эти положения послужили основой для теоремы Дезора-Катценелсона [33], которая относится к широкому классу цепей. Прежде, чем приводить эту теорему не- обходимо ввести несколько определений. Пусть электрическая цепь N содержит некоторое множество ветвей А. Обозначим !\(А}* цепь, полученную из N после удаления (разрыва) всех ветвей множества A, YV(A) — цепь, полученную из N после закорачивания всех ветвей множества А, Л^д-цепь, полу- ченную из N путем удаления (разрыва) всех ветвей, кроме тех, что принадлежат к А. Кроме того, S* N в дальнейшем обозначает цепь, полученную из N путем разбиения ее на максимальное число разделимых цепей. йГ, Теорема. Пусть цепь N, образованная независимыми источ- никами ЭДС и тока, нелинейными (зависящими от времени) ре- зисторами, емкостями и индуктивностями (без взаимных индук- тивно ст ей), такова, что емкости в N или управляемы, зарядом. или монотонно возрастающие, управляемые напряжением; резис- торы либо управляемы напряжением, либо током; индуктивности или управляемые потоком, или монотонно возрастающие, управ- ляемые током. Предполагается, что N и N(E}(I}* связные, нераз- делимые цепи. Цепь N определима, если: 1. Емкостная цепь N^c удовлетворяет следующим требо- ваниям: а) разомкнутые ветви S*N(H)C управляются зарядом и содер- жат все управляемые зарядом емкости, которые не являются мо- нотонно возрастающими; б) всякая подцепь 5* N^c, которая содержит более одного элемента, имеет дерево, состоящее из ветвей с монотонно возрас- тающими, управляемыми зарядом характеристиками, а все хор- ды — монотонно возрастающие, управляемые напряжением; в) короткозамкнутые элементы S * N^c управляются напря- жением. 2. Резистивная цепь S * N(EC}R удовлетворяет следующим тре- бованиям: а) разомкнутые ветви управляются током и -содержат все уп- равляемые током резисторы, которые не являются монотонно возрастающими. б) каждая подцепь, которая содержит более одного элемента, имеет дерево с монотонно возрастающими, управляемыми током ветвями, а все хорды — монотонно возрастающие, управляемые напряжением. в) короткозамкнутые резисторы управляются напряжением и к ним принадлежат все управляемые напряжением резисторы с немонотонно возрастающими характеристиками. 3. Индуктивная цепь 5 * N(ECR)L удовлетворяет следующим условиям: а) замкнутые ветви управляются током; б) каждая подцепь, которая содержит более чем один элемент, имеет дерево с монотонно возрастающими, управляемыми током ветвями. в) короткозамкнутые элементы управляются потоком и содер- жат все управляемые потоком индуктивности с немонотонными характеристиками. 4. Для произвольного конечного интервала и для всех момен- тов времени характеристики элементов цепи удовлетворяют усло- виям Липшица по отношению к следующим переменным: ветви дерева: емкости по отношению к заряду, резисторы и индуктивно- сти по отношению к току; хорды: емкости и резисторы по отноше- 56 пню к напряжению, индуктивности по отношению к потокосцен- лению. Теорема сформулирована в весьма общей форме. Ввиду того, что допускается существование емкостей и индуктивностей с немо- нотонными характеристиками, значительно усложнились условия теоремы. Если отвлечься от этих абстрактных не существующих пока элементов, то условия 1 и 3 отпадают. Условиям теоремы безусловно удовлетворяют цепи, в которых инерционные свойства нелинейных резисторов с немонотонными характеристиками учтены путем шунтирования емкостью резисто- ров N-типа (управляемых напряжением) и последовательного вклю- чения индуктивности с резисторами 5-типа (управляемые током). В этом случае все элементы Л^-типа при переходе от М к S * N(EC)K оказываются короткозамкнутыми, а -S-типа разомкнутыми. Важное значение имеет обобщение теоремы на цепи с много- полюсными элементами. Неопределимые цепи в схемах с электрон- ными лампами и транзисторами — явление обычное. В качестве- наиболее простого примера можно привести ламповые или полу- проводниковые мультивибраторы, для которых при пренебрежении' межэлектродными емкостями (емкостями р—п-переходов) не су- ществует решений в окрестности некоторых точек и приходится" вводить гипотезу о скачке. Для установления определимости цепей с многополюсными эле- ментами используется тот же метод, что и при исследовании цепей,. образованных из двухполюсников. После замены емкостей источ- никами ЭДС, а индуктивностей — источниками тока, полученная резистивная цепь должна иметь единственное решение при всех возможных значениях напряжений и токов внешних источников. Тогда проблема определимости сводится к единственности решения безреактивной цепи, и критерии единственности, которые приве- дены в третьем параграфе главы первой, могут быть превращены в критерии определимости. При таком подходе к проблеме определимости целесообразно обобщить понятие резистора со строго монотонной вольт-амперной характеристикой на многополюсники. Для резисторов такого типа в равной степени можно пользоваться характеристиками двух видов f==(pi(u) или u=(pu(t). Рассмотрим теперь резистивный п+1 полюсник. Его состояние характеризуется п-токами и га-напряжениями. Между этими 2ге-ве- личинами существует /z-зависнмостей. Поэтому, задав «'-токов и напряжений, которые в дальнейшем называются независимыми переменными, можно определить п остальных. Однако для некото- рых типов многополюсников выбор независимых переменных не может быть произвольным. Например, для транзистора независи- 37 В соответствии с (III.96) дискретная модель индуктивности по- прежнему содержит обычный резистор, вольт-амперная характе- ристика которого о и -== ~- 6 (г, т} h и резистор типа R-( с характеристикой v (т)= - ^^(/re—l), (т- 1)). h В отличие от предыдущего случая эквивалентная схема содер- жит дополнительный элемент — управляемый источник напряже- Рис. 26. Дискретные эк- вивалентные схемы (а) индуктивности (б) ем- кости. б ния Ыт(т), управление которым производится напряжением и с единичным запаздыванием, то есть 11г(т) ==—и(т—1). Совершенно аналогично, положив х, равным заряду, a f — току, получим соотношение для дискретной емкости f(m) =—t(m—l)+ ^q(u(m), m)—^q(u(m—\), m—1), (III.97) которое, наряду с уже введенными в рассмотрение элементами, содержит управляемый источник тока 1х(т), управляемый током i с единичным запаздыванием. Эквивалентные схемы индуктивности и емкости представлены на рис. 26. Рассмотрение на основе этой модели колебательного контура без потерь подтверждает, что соответствующая дискретная цепь консервативна. Однако для моделей с переменными и тем более с нелинейными параметрами это свойство не сохраняется. ЛИТЕРАТУРА квазипериодических движениях. 1. Андронов А. А., В и т т А. А. О Журнал прикладной физики, 1930, № 6, 'вып. 1. 2. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., М а и е р А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М., «Наука», 1963. 3. Бессонов Л. А. Автоколебания в электрических цепях со сталью. М., ГЭИ, 1958. 4. Б е с с о н о в Л. А. Нелинейные электрические цепи М. «Высшая шко- ла», 1964. 5. Боголюбов В. Е. Некоторые особенности режимов работы нелинейных резонансных систем. Пятая международная конференция по нелинейным коле- баниям. Тезисы докладов. Киев, 1969. 6. Бондаренко В.М. Вопросы анализа нелинейных электрических и элек- тронных цепей. Киев, «Наукова думка», 1967. 7. Бондаренко В. М., П ф е н и н г В. В. Комплекс алгоритмов и программ машинного .проектирования электрических и электронных схем. Тезисы докладов XXI Украинской научно-технической конференции, посвященной 60-летию образо- вания СССР, Дню радио, Дню связиста, 'вып. 10. Львов, 1972. 8. Брайтон Р., Густавсон Ф., Хэчтел Г. Новый эффективный алго- ритм 'решения дифференциальных алгебраических уравнений с использованием неявных формул. — В сб.: Автоматизация 'в проектировании. М., «Мир», 1972. 9. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Пятая летняя мате- матическая школа. Киев, АН УССР, 1968. 10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1967. 11. Данилов Л. В. Нелинейные конвергентные электрические цепи.— «Теоретическая электротехника», 1970, 'вып. 9. 12. Д а н и л о в Л. В. Электрические цепи с нелинейными /р-элементами. М., «Связь», 1974. 13.Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., «Наука», 1967. 14. Ефимов Ю. Н. Исследование условий самовозбуждения параметрона с переменной индуктивностью. — «Изв. вузов. Радиотехника», 1962, № 3. 15. Калахан Д. Методы машинного расчета электронных схем. М., «Мир», 1970. 16. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., Физматгиз, 1959. 17. Л а-С а л л ь Ж., Л е ф ш е ц С. Исследование устойчивости прямым ме- тодом Ляпунова. М., «Мир», 1964. 18. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управ- ления. М., «Мир», 1967. 19. Машинное проектирование (обзор). — «Электроника», 1967, №19, 24, 25; 1966, № 1, 2, 3, 8, 9, 14, 18, 24. 20. Немыцкий В. В. Об установившихся режимах в нелинейных системах. Труды I Международного конгресса по автоматическому управлению. М., АН СССР, 1961. 21. П а в л ю к Э. И., С и н и ц к и и Л. А., Ш м н г е л ь с к и и Я. А. Об асимп- тотической устойчивости в целом положения равновесия в нелинейных электри- ческих цепях. — «Теоретическая электротехника», 1974, вып. 17. 22. Пенфилд П., С пен с Р., Дюинкер С. Энергетическая теория элек- трических цепей. М., «Энергия», 1974. колебаний. М., «Нау- 23. П л и с с В. А. Нелокальные проблемы теории ка», 1964. 149 24. В алее в К. Г., Ракитский Ю. В. Об отыскании разностными ме- тодами областей неустойчивости решений системы линейных дифференциальных уравнений. — В сб.: Численные методы решения дифференциальных и интеграль- ных уравнений и квадратурные формулы. М., «Наука», 1964. 25. С к а л к и н а М. А. О связи между устойчивостью решений дифферен- циальных и конечно-разностных уравнений. Прикладная математика и механика 1955, т. 19. 26. С и н и ц к и и Л. А. О периодическом режиме в электрической цепи, содержащей нелинейные сопротивления. — «Автоматический контроль и измери- тельная техника», 1960, вып. 4. 27. Хьюз В. Нелинейные электрические цепи. М., «Энергия», 1967. 28. Ч е зари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обык- новенных дифференциальных уравнений. М., «Мир», 1964. 29. Чемодане в Б. К. Математические основы теории автоматического регулирования. М., «Высшая школа», 1971. 30. Bashkow Т. R. The A matrix new network description IRE Trans Circuit Theory, 1957, vol. CT-4, p. 117—119. 31.Bryant P. R. The order of complexity of electrical networks Proc. Inst. Elec. Eng. 1959, vol. 106. 32. Brayton R. К. and Moser J. K. A theory of nonlinear networks 1, II. Quart. Appl. Math. 1964, vol. 22. 33. D e s о e r C. A. and Katzenelson J. Nonlinear RLC networks. Bell Syst. Techn. J. 1965, vol. 44. 34. D a h 1 q u i s t G. A special stability problem for linear multistep methods BIT. 1963, vol. 3, p. 27—43. 35. D e s о e r С. A., P a i g e A. Linear time varying Q—С Networks: Stable and Unstable. IRE Trans. on CT, 1963, vol. CT-10. 36. D e s о e r C. A. Linearity vs nonlinearity and asymptotic stability in the large. IEE Trans. on CT. 1965, vol. CT-12. 37. F i e d 1 e r M. and P t a k V. Some generalization of positive definiteness and monotonicity Numerische mathematik, 9, 1966, p. 163—172. 38.Greenspan D. A new explicit discrete mechanics with applications Journal of the Franklin Institute. 1972, vol. 294, N 4. 39. Н о 1 z m a n n C. A. and L i u R. On the dynamical equations of nonlinear networks with n-coupled elements. Proc. 1965, 3-rd. Ann. Allerton Conf. on Circuit and Systhem theory. F. 536—545. 40. Kuh E. S. and Rohrer R. The state variable approach to network analysis. Proc. IEEE. 1965, vol. 53, p. 672—686. 41. Ohtsuki T. and Watanabe H. State-Variable Analysis of RLC networks containing Nonlinear Coupling Elements IEEE Trans. Circuit Theory. 1969, vol. CT-16, p. 26—38. 42. P a 1 a i s R. S. Natural operations on differential forms. Trans. Am. Math. Soc. 1959, vol. 92. 43. S a n d b e r g J. W. Nonlinear transistor Networks. Bell Syst. Tech. J. 1969, vol. 48. 44. S a n d b e r g J. WJ and W i 1 s о n A. N. Some theorems on properties of DC equations of nonlinear networks. Bell Syst. Tech. J. 1969, vol. 48. 45. S a n d b e r g J. W. and W i 1 s о n A. N. Existence and uniqueness of solution for the equation of nonlinear DC networks. SIAM Appl. Math. 1972, vol. 22, N 2. 46. Stern T. E. On the equations of nonlinear networks. IEEE Trans. Circuit Theory. 1966, vol. CT-13, p. 74—81. 47. V а г a i у a P. P. and L i u R. Normal form and stability of a class of coupled nonlinear networks IEEE Trans. on Circuit Theory. 1966, vol. CT-13, p. 413—418. 48. S t e 11 e r H. I. Stability of discretization of infinite intervals. Lect. Not. in Math. Vol. 228, 1971. СОДЕРЖАНИЕ Введение .. . . . . . . . . . . . . . . . 3 Глава I. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ .... 7 § 1. Составление уравнений состояния ........ 8 § 2. Уравнения нелинейных безреактивных цепей ..... 22 § 3. Существование и единственность положения равновесия нели- нейной безынерционной цепи .......... З! § 4. Структура уравнений состояния RLC-wm без вырождении . 37 § б. Уравнения состояния цепей с вырождениями и с многополюс- ными элементами ............. 44 Глава II. ОСНОВНЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ЦЕПЕЙ ............ 51 § 1. Существование и единственность решения. Неограниченная про- должаемость вправо ............ 52 § 2. Устойчивость в целом и экспоненциальная устойчивость авто- номных цепей .............. 61 § 3. Об ограниченности и диссипативности электрических цепей . 74 § 4. Свойство конвергентное™ ........... 82 § 5. Об установившихся режимах в нелинейных цепях .... 91 Глава III. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРИ- ЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ............. 102 § 1. Качественное 'соответствие для линейных цепей с постоянными параметрами . ............. 103 § 2. Качественное соответствие для линейных параметрических цепей 111 § 3. Качественное соответствие для численных алгоритмов с пере- менным шагом .............. 124 § 4. Качественное соответствие для нелинейных цепей . . . . 128 § 5. Численное интегрирование уравнений нелинейных релаксацион- ных цепей ............... 138 § 6. Теория дискретных электрических цепей ....... 142 Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Синицкий Лев Аронович ЭЛЕМЕНТЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ .НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Издательское объединение «Вища школа» Издательство при Львовском государственном университете Редактор Т. К. Горелик Обложка художника В. А. Лужина Художественный редактор Э. А. Каменщик Технический редактор Т. М. Веселовский Корректор Г. М. М и н ь к о в. Сдано в набор 28.01 1975 г. Подписано к печати 11.06. 1975 г. Формат бумаги 60X841Лв. Бумага типогр. № 1. Физ. печ. л. 9,5. Усл. печ. л. 8,83. Уч.-изд. л. 8,47. Тираж 2750. БГ 12023. Цена 95 коп. Зак. № 3107. Издательство издательского объединения «Вища школа» при Львовском государственном универ- ситете. Львов, Университетская, 1. Областная книжная типография Львовского об- ластного управления по делам издательств, по- лиграфии и книжной торговли. Львов, Стефа- ника, 11. Л. А. Синицкий ЭЛЕМЕНТЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ИЗДАТЕЛЬСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ «ВИЩА ШКОЛА. ИЗДАТЕЛЬСТВО ПРИ ЛЬВОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕГСИТЕТЕ Львов — 1975