ББК 22.162

К60
УДК 517.5

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функ-
ций и функционального анализа: Учебник для вузов. — 6-е изд.,
испр. — М.: Наука.- Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. —624с.—
ISBN 5-02-013993-9

Содержит строгое систематизированное изложение основ функцио-
нального анализа и тонких вопросов теории функций действительного
переменного.

Основой явился куре функционального анализа (вначале «Ана-
лиз III»), читавшийся академиком А. Н. Колмогоровым в течение ряда
лет на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломо-
носова.

5-е изд. — 1981 г.

Для студентов университетов, аспирантов, преподавателей, а
также для научных работников в области математики и в смежных
областях.

Ил. 24. Библиогр. 57 назв.

1602080000 — 074

К ———„„ ,..„. g„——— 46-89                   © Издательство «Наука».
053 (02)-89                             — Главная редакция

физико-математической

TCRM ^П^тЧОСПС)                          литературы, 1976;

labiN b-UZ-Ul^yyo-У                       « изменениями, 1989

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие В. М. Тихомирова   ..............    11

Предисловие к четвертому изданию   ............     13

Предисловие к третьему изданию     ............     13

Из предисловия ко второму изданию ............     14

Основные обозначения ...................    16

Глава I
Элементы теории множеств

§ 1. Понятие множества. Операции над множествами ....     17
1. Основные определения (17). 2. Операции над множества-
ми (18).

§ 2. Отображения. Разбиения на классы ..........    21

1. Отображение множеств. Общее понятие функции (2Ц.

2. Разбиение на классы. Отношения эквивалентности (23).

§ 3. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества    26
1. Конечные и бесконечные множества (26). 2. Счетные
множества (28).   3. Эквивалентность множеств   (30).

4. Несчетность множества действительных чисел  (32).

5. Теорема Кантора — Бернштенна (34). 6. Понятие мощ-
ности множества (34).

§ 4. Упорядоченные множества. Трансфинитные числа ....    38
1. Частично упорядоченные множества (38). 2. Отобра-
жения, сохраняющие порядок (39). 3. Порядковые типы.
Упорядоченные множества (39). 4. Упорядоченная сумма
упорядоченных множеств (41). 5. Вполне упорядоченные
множества. Трансфинитные числа (41). 6. Сравнение по-
рядковых чисел (44). 7. Аксиома выбора, теорема Цермело
и другие эквивалентные им утверждения (46). 8. Трансфи-
ннтная индукция (48).

§ 5. Системы множеств   ..................    49

1. Кольцо множеств (49). 2. Полукольцо множеств (51).
3. Кольцо, порожденное полукольцом (53). 4. о-алгебры
(54). 5. Системы множеств и отображения (55).

Глава Н
Метрические и топологические пространства

§ 1. Понятие метрического пространства ..........     57

1. Определение и основные примеры (57). 2. Непрерывные
отображения метрическил пространств. Изомегрия (65).

I*

4                                              ОГЛАВЛЕНИИ

§ 2. Сходимость. Открытые и замкнутые множества .....    67
1. Предельные точки. Замыкание (67). 2. Сходимость
(69). 3. Плотные подмножества (70). 4. Открытые и зам-
кнутые множества (71). 5. Открытые и замкнутые множества
на прямой (73).

§ 3. Полные метрические пространства ...........    78

1. Определение и примеры полных метрических пространств
(78). 2. Теорема о вложенных шарах (81). 3. Теорема
Бэра (83). 4. Пополнение пространства (83).

§ 4. Принцип сжимающих отображений и его применения . .    87
1. Принцип сжимающих отображений (87). 2. Простейшие
применения принципа сжимающих отображении  (88).
3. Теоремы существования и единственности для дифферен-
циальных уравнений (91), 4. Применение принципа сжима-
ющих отображений к интегральным уравнениям (94).

§ 5. Топологические пространства   .............    98

1. Определение и примеры топологических пространств
(98). 2. Сравнение топологий (100). 3. Определяющие си-
стемы окрестностей. База. Аксиомы счетности (101). 4. Схо-
дящиеся последовательности в Т (106). 5. Непрерывные
отображения. Гомеоморфизм (107). 6. Аксиомы отделимо-
сти (109). 7. Различные способы задания топологии в про-
странстве. Метризуемость (114).

§ 6. Компактность .....................    115

1. Понятие компактности (115). 2. Непрерывные отобра-
жения компактных пространств (118). 3. Непрерывные и
полунепрерывные функции на компактных пространствах
(118). 4. Счетная компактность (121). 5. Предкомпактные
множества (123).

§ 7. Компактность в метрических пространствах .......    J24

1. Полная ограниченность (124). 2. Компактность и полная
ограниченность (126). 3. Предкомпактные подмножества в
метрических пространствах (127). 4. Теорема Арцела (128).
5. Теорема Пеано (130). 6. Равномерная непрерывность.
Непрерывные отображения метрических компактов (132).
7. Обобщенная теорема Арцела (133).

§ 8. Непрерывные кривые в метрических пространствах ....   135

Глава III
Нормированные и топологические линейные пространства

§ 1. Линейные пространства ................    139

1. Определение и примеры линейных пространств (139).

2. Линейная зависимость (142). 3. Подпространства (142).
4. Фактор-пространства (144). 5. Линейные функционалы
(145). 6. Геометрический смысл линейного функционала
(147).

§ 2. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема

Хана — Банаха ....................   149

1, Выпуклые множества и выпуклые тела (149). 2, ОДНО-


ОГЛАВЛЕНИЕ                   5

родно-выпуклые функционалы (152). 3. Функционал Мин-
ковского (153). 4. Теорема Хана—Банаха (156). 5. Отдели-
мость выпуклых множеств в линейном пространстве (160).

§ 3. Нормированные пространства .............    i61

1. Определение и примеры нормированных пространств
(161). 2. Подпространства нормированного пространства
(163). 3. Фактор-пространства нормированного простран-
ства (164).

§ 4. Евклидовы пространства   ...............    166

1. Определение евклидовых пространств (166). 2. Примеры
(169). 3. Существование ортогональных базисов, ортогона-
лизация (171). 4. Неравенство Бесселя. Замкнутые орто-
гональные системы (173). о. Полные евклидовы пространства.
Теорема Рисса — Фишера (177). 6. Гильбертово простран-
ство. Теорема об изоморфизме (180). 7. Подпространства,
ортогональные дополнения, прямая сумма (183). 8. Ха-
рактеристическое свойство евклидовых пространств (187).
9. Комплексные евклидовы пространства (191).

§ 5. Топологические линейные пространства   ........    194

1. Определение и примеры (194). 2. Локальная выпуклость
(197). 3. Счетно-нормироваиные пространства (198).

Глава IV
Линейные функционалы и линейные операторы

§ 1. Непрерывные линейные функционалы  .........   203

1. Непрерывные линейные функционалы в топологических
линейных пространствах (203). 2. Линейные функционалы
на нормированных пространствах (204). 3. Теорема Хана —
Банаха в нормированном пространстве (208). 4. Линейные
функционалы в счетно-нормированном пространстве (211).

§ 2. Сопряженное пространство   ..............    211

1. Определение сопряженного пространства (211). 2. Силь-
ная топология в сопряженном пространстве (212). 3, При-
меры сопряженных пространств (215). 4. Второе сопряжен-
ное пространство (221).

§ 3. Слабая топология и слабая сходимость ..........    223

1. Слабая топология и слабая сходимость в линейном то-
пологическом пространстве (223). 2. Слабая сходимость
в нормированных пространствах (225). 3. Слабая топология
и слабая сходимость в сопряженном пространстве (229).
4. Ограниченные множества в сопряженном пространстве
(231).

§ 4. Обобщенные функции .................   235

1. Расширение понятия функции (235). 2. Пространство
основных функций (236). 3. Обобщенные функции (237).
4. Действия над обобщенными функциями (239). 5. Достаточ-
ность запаса основных функций (243). 6. Восстановление
функции по производной. Дифференциальные уравнения
в классе обобщенных функций (244). 7. Некоторые обоб-
щения (247).

б                                             ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 5. Линейные операторы ..................   251

1. Определение и примеры линейных операторов (2.51).

2. Непрерывность и ограниченность (255). 3. Сумма и про-
изведение операторов (257). 4. Обратный оператор, обра-
тимость (259). 5. Сопряженные операторы (265). 6. Сопря-
женный оператор в евклидовом пространстве. Самосопря-
женные операторы (267). 7. Спектр оператора. Резоль-
вента (269).

§ 6. Компактные операторы ................   272

1. Определение и примеры компактных операторов (272).

2. Основные свойства компактных операторов (277). 3. Соб-
ственные значения компактного оператора (281). 4. Ком-
пактные операторы в гильбертовом пространстве (282).
5. Самосопряженные компактные операторы в Н (282).

Глава V
Мера, измеримые функции, интеграл

§ 1. Мера плоских множеств ................   288

1. Мера элементарных множеств (288). 2. Лебегова мера
плоских множеств (293). 3. Некоторые дополнения и обоб-
щения (301).

§ 2. Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца

на кольцо. Аддитивность и о-аддитивность .......    303

1. Определение меры (303). 2. Продолжение меры с полу-
кольца на порожденное им кольцо (304). 3. о-аддитив-
ность (307).

§ 3. Лебегово продолжение меры   .............   311

1. Лебегово продолжение меры, определенной на полуколь-
це с единицей (311). 2. Продолжение меры, заданной на
полукольце без единицы (314). 3. Расширение понятия
измеримости в случае о-конечной меры (317). 4. Продолже-
ние меры по Жордану (326). 5. Однозначность продолже-
ния меры (322).

4. Измеримые функции   .................   323

1. Определение и основные свойства измеримых функций
(323). 2. Действия над измеримыми функциями (325). 3. Эк-
вивалентность (327). 4. Сходимость почти всюду (328).
5. Теорема Егорова(329). 6. Сходимость по мере (330). 7. Те-
орема Лузина. С-свойство (333).

5. Интеграл Лебега ...................    334

1. Простые функции (335). 2. Интеграл Лебега для простых
функций (336). 3. Общее определение интеграла Лебега
на множестве конечной меры (338). 4. о-аддитивность и аб-
солютная непрерывность интеграла Лебега (341). 5. Пре-
дельный переход под знаком интеграла Лебега (346). 6. Ин-
теграл Лебега по множеству бесконечной меры (350). 7. Срав-
нение интеграла Лебега с интегралом Римана (352).

§ 6. Прямые произведения систем множеств и мер. Теорема

Фубипи   .......................   355

1. Произведение систем множеств (355). 2. Произведения

ОГЛАВЛЕНИЕ                      у

мер (357). 3. Выражение плоской меры через интеграл
линейной меры сечений и геометрическое определение ин-
теграла Лебега (360). 4. Теорема Фубини (363).

Глава VI

Неопределенный интеграл Лебега.
Теория дифференцирования

§ 1. Монотонные функции. Дифференцируемость интеграла по

верхнему пределу   ..................   368

1. Основные свойства монотонных функций (368). 2. Диффе-
ренцируемость монотонной функции (372). 3. Производная
интеграла по верхнему пределу (380).

§ 2. Функции с ограниченным изменением ..........   381

§ 3. Производная неопределенного интеграла Лебега  ....    387

§ 4. Восстановление функции по ее производной. Абсолютно

непрерывные функции .................   389

§ 5. Интеграл Лебега как функция множества. Теорема Радо-
на—Никодима  ....................   400

1. Заряды. Разложение Хана и разложение Жордана (400).

2. Основные типы зарядов (404). 3. Абсолютно непрерыв-
ные заряды. Теорема Радона — Никодима (404).

§ 6. Интеграл Стилтьеса ..................    408

1. Меры Стилтьеса (408). 2. Интеграл Лебега — Стилтьеса
(411). 3. Некоторые применения интеграла Лебега—,Стилть-
еса в теории" вероятностей .(413). 4. Интеграл Римана—
Стилтьеса (415)"". БГПредельный переход под знаком ин-
теграла Стилтьеса (419). 6. Общий вид линейных непрерыв-
ных функционалов в пространстве непрерывных функций
(423).

Глава VII
Пространства суммируемых функция

§ 1. Пространство Ц ...................    430

1. Определение и основные свойства пространства /,i (430).

2. Всюду плотные множества в L; (432).

§ 2. Пространство La  ...................    436

1. Определение и основные свойства (436^. 2. Случай бес-
конечной меры (440). 3. Всюду плотные множества в Ly.
Теорема об изоморфизме (442). 4. Комплексное простран-
ство L, (443). 5. Сходимость в среднем кнадратичном и ее
связь с другими типами сходимости функциональных по-
следовательностей (444).

§ 3. Ортогональные системы функций в Lg. Ряды по ортогэналь-

ным системам .....................   447

1. Тригонометрическая система. Тригонометрический ряд
Фурье (447). 2. Тригонометрические сиогемы на отрезке
[О, л] (450). 3. Ряд Фурье в комплексной форме (451).

8                                              ОГЛАВЛЕНИЕ

4. Многочлены Лежандра (453). 5. Ортогональные системы в
произведениях. Кратные ряды Фурье (455). 6. Многочлены,
ортогональные относительно данного веса (458). 7. Ортого-
нальный базис в пространствах L^ (—оо, оо) и Ly, (0, оо)
(459). 8. Ортогональные многочлены с дискретным весом
(461). 9. Системы Хаара и Радемахера — Уолша (463).

Глава VIII
Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье

§ 1. Условия сходимости ряда Фурье     ..........   466

1. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке
(466). 2. Условия равномерной сходимости ряда Фурье
(473).

§ 2. Теорема Фейера   ...................   476

1. Теорема Фейера (476). 2. Полнота тригонометрической
системы. Теорема Вейерштрасса (480). 3. Теорема'Фейера
для пространства L] (481).

§ 3, Интеграл Фурье  ...................   481

1. Основная теорема (481). 2. Интеграл Фурье в комплекс-
ной форме (485).

§ 4. Преобразование Фурье, свойства и применения ......   486

1. Преобразование Фурье и формула обращения (486).

2. Основные свойства преобразования Фурье (491). 3. Полно-
та функций Эрмита и Лагерра (494). 4. Преобразование
Фурье быстро убывающих бесконечно дифференцируемых
функций (495). 5. Преобразование Фурье и свертка функ-
ций (496). 6. Применение преобразования Фурье к реше-
нию уравнения теплопроводности (497). 7. Преобразова-
ние Фурье функций нескольких переменных (500).

§ 5. Преобразование Фурье в пространстве La (—оо, оо) . . .    503
1. Теорема Планшереля (503). 2. Функции Эрмита (507).

§ 6. Преобразование Лапласа  ...............    511

1. Определение и основные свойства преобразования Лап-
ласа (511). 2. Применение преобразования Лапласа к ре-
шению дифференциальных уравнений (операторный метод)
(512).

§ 7. Преобразование Фурье — Стилтьеса ..........    515

1. Определение преобразования Фурье—Стилтьеса (515). 2.
Применения преобразования Фурье — Стилтьеса в теории
вероятностей (517).

§ 8. Преобразование Фурье обобщенных функций ......   519

Глава IX
Линейные интегральные уравнения

§ 1. Основные определения. Некоторые задачи, приводящие

к интегральным уравнениям ..............   523

ОГЛАВЛЕНИЕ                   9

1. Типы интегральных уравнений (523). 2. Примеры задач,
приводящих к интегральным уравнениям (524).

§ 2. Интегральные уравнения Фредгольма ..........   528

1. Интегральный оператор Фредгольма (528). 2. Уравнения
с симметрическим ядром (532). 3. Теоремы Фредгольма.
Случай вырожденных ядер (533). 4. Теоремы Фредгольма
для уравнений с произвольными ядрами (536). 5. Уравнения
Вольтерра (542). 6. Интегральные уравнения первого рода
(542).

§ 3. Интегральные уравнения, содержащие параметр. Метод

Фредгольма ......................    544

1. Спектр компактного оператора в Н (544). 2. Отыскание
решения в виде ряда по степеням К. Детерминанты Фред-
гольма (545).

Глава Х

Элементы дифференциального исчисления
в линейных пространствах

§ 1. Дифференцирование в линейных пространствах . .....   551

1. Сильный дифференциал (дифференциал Фреше) (551).

2. Слабый дифференциал (дифференциал Гато) (553). 3. Фор-
мула конечных приращений (554). 4. Связь между слабой
и сильной дифференцируемостью (555). 5. Дифференцируе-
мые функционалы (557). 6. Абстрактные функции (557).
7. Интеграл (557). 8. Производные высших порядков (560).
9. Дифференциалы высших порядков (563). 10. Формула
Тейлора (563).

§ 2. Теорема о неявной функции и некоторые ее применения.    565
1. Теорема о неявной функции (565). 2. Теорема о зависи-
мости решения дифференциального уравнения от началь-
ных данных (569). 3. Касательные многообразия. Теорема
Люстерника (570).

§ 3. Экстремальные задачи .................    574

1. Необходимое условие экстремума (574). 2. Второй диф-
ференциал. Достаточные условия экстремума функциона-
ла (578). 3. Экстремальные задачи с ограничениями (581).

§ 4, Метод Ньютона ....................   584

Дополнение
Банаховы алгебры

§ 1. Определения и примеры банаховых алгебр ........   589

1. Банаховы алгебры, изоморфизмы банаховых алгебр (589).

2. Примеры банаховых алгебр (590). 3. Максимальные
идеалы (592).

Ю                                            ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 2. Спектр и резольвента .................    593

1. Определения и примеры (593), 2. Свойства спектра (594).
3. Теорема о спектральном радиусе (596).

§ 3. Некоторые вспомогательные результаты .........    597

1. Теорема о фактор-алгебре (597). 2. Три леммы (598).

§ 4. Основные теоремы   ..................    599

1. Линейные непрерывные мультипликативные функционалы
и максимальные идеалы (599). 2. Топология во множестве
Л. Основные теоремы (600). 3. Теорема Винера; упраж-
нения (603).

Список литературы ..... ................    607

Распределение литературы по главам ..........    609

Предметный указатель . ............. .....    610

ПРЕДИСЛОВИЕ В. М. ТИХОМИРОВА

Это издание выходит после смерти Андрея Нико-
лаевича Колмогорова. Он был инициатором создания
в рамках университетского образования курса теории
функций и функционального анализа, получившего более
короткое название «Анализ III». Андрей Николаевич
разработал программу, был первым лектором этого курса
на механико-математическом факультете МГУ (1946/47 гг.),
а при повторном чтении (1952/53 гг.) задумал написать
учебник. Для этой цели А. Н. Колмогоров привлек Сер-
гея Васильевича Фомина (читавшего аналогичный курс
на физическом факультете), научные, педагогические и
человеческие качества которого он очень высоко ценил.
Так образовался авторский коллектив, создавший заме-
чательную книгу, по которой на протяжении почти трид-
цати пяти лет ведется преподавание курса «Анализ III»
в большинстве наших университетов.

Первое издание учебника вышло отдельными выпу-
сками — в 1954 и 1960 г. в издательстве МГУ. Считаю
необходимым сказать здесь о большой роли, которую
сыграли в судьбе того издания (1954 г.) Т. Д. Вентцель
и О. С. Кулагина. Они вели подробный конспект лекций
Андрея Николаевича, потом авторы доверили им (тогда
еще студентам) роль редакторов издания, и они испол-
няли ее с высоким чувством ответственности.

В замысле курса «Анализ III» отразились разнообраз-
ные общие педагогические идеи А. Н. Колмогорова.
Прежде всего — о единстве абстрактной и прикладной
математики, о необходимости (как сказано в предисловии
ко второму изданию) «приучить студентов к двойному
зрению: с одной стороны, следить за внутренней логикой
теории множеств, общей теории непрерывных отображе-
ний метрических и топологических пространств, линейных
пространств и функционалов и операторов на них, чистой
теории меры и интегрирования в общих «престранствах
с мерой», с другой — не упускать из виду обслуживаемую
этими более абстрактными областями математики проб-
лематику классического и даже прикладного анализа».

Далее, А. Н. Колмогоров всегда пропагандировал
мысль о необходимости «синтетических» курсов, идею

12              ПРЕДИСЛОВИБ В. М. ТИХОМИРОВА

образования, как бы напоминающего движение по спи-
рали, где обучающийся со все более и более высокого
уровня обозревает весь пройденный путь. В этом учеб-
нике осуществляется синтез идей, с которыми уже на
начальном этапе образования студенту приходилось стал-
киваться в курсах классического анализа «Анализ I»,
алгебры, геометрии и дифференциальных уравнений («Ана-
лиз II»). Сам же курс «Анализ III» объединил материал,
ранее входивший на мехмате в курсы теории функций
действительного переменного, функционального анализа,
интегральных уравнений, вариационного исчисления и др.
Андрей Николаевич считал, что университетские учеб-
ники должны быть написаны просто и доступно, с при-
влечением большого числа примеров, которые служили
бы мотивировкой для развития абстрактной теории. Так
и написана эта книга.

Сначала учебник был очень кратким (и это соответ-
ствовало первоначальному замыслу А. Н. Колмогорова),
но затем авторы решили значительно расширить материал
книги с тем, чтобы преподаватели различных универси-
тетов могли отбирать для себя то, что им более всего под-
ходит. Это расширение было, в основном, осуществлено
С. В. Фоминым при втором, третьем и четвертом изданиях.
По просьбе авторов тогда мною было написано «Допол-
нение», посвященное банаховым алгебрам. И здесь снова
хочется сказать о большой помощи авторам в тот период
работы над книгой ее редакторов — Д. П. Желобенко
(1960 г.), Ф. В. Широкова (1972 г. — третье издание)
и В. М. Алексеева (1976 г. — четвертое издание). Смерть
С. В. Фомина прервала его работу над книгой, многие
замыслы (в основном связанные с переработкой десятой
главы) остались нереализованными. С пятого издания
существенных изменений не вносилось. В этом издании
несколько модифицирован список литературы.

Учебник А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина пере-
издавался в издательстве «Наука» в 1968, 1972, 1976
и 1981 г. Он был переведен на многие иностранные языки:

выдержал два издания на английском и японском язы-
ках, был издан в ГДР, ЧССР и ВНР, переведен на фран-
цузский и испанский языки. В 1988 г. вышел в изда-
тельстве «Мир» на языке дари.

Уверен, что еще долгое время книга А. Н. Колмого-
рова и С. В. Фомина будет нужна новым поколениям
математиков.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ

Это издание выходит уже после смерти Сергея Василье-
вича Фомина. Он успел, однако, проделать всю основную
работу по усовершенствованию книги. Существенно пере-
работана десятая глава. В ней добавлен параграф, по-
священный теореме о неявной функции и изменен параграф
«Экстремальные задачи». Эти изменения повлекли за собой
необходимость изменений в четвертой главе (следствия
из теоремы Хана—Банаха и теоремы Банаха об обратном
операторе).

Текст книги был просмотрен В. М. Алексеевым и
В. М. Тихомировым, которым я выражаю искреннюю
благодарность.

Л. Колмогоров

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

При подготовке нового издания мы сохранили общий
план книги и постарались не увеличивать ее объем.
Вместе с тем весь текст книги был заново просмотрен и
отредактирован. Большую помощь в этой работе нам
оказал Ф. В. Широков. В главах I и IV сделаны некоторые
перестановки и изменения, облегчающие, на наш взгляд,
переход от более простых понятий к более сложным
(например, от банаховых пространств к более общим
в гл. IV). Довольно существенно переработано изложение
теории меры (гл. V).

В последние годы в курс «Анализ III» часто включа-
ются элементы теории банаховых алгебр и спектрального
анализа. Поэтому мы сочли целесообразным включить
в нашу книгу написанное В. М. Тихомировым дополне-
ние, посвященное этим вопросам.

Л. Колмогоров
С, Фомин

14       из ПРЕДИСЛОВИЯ ко ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Первое издание «Элементов теории функций и функ-
ционального анализа» вышло двумя отдельными выпу-
сками в 1954 и 1960 годах. Появление этих выпусков
было связано с включением в конце 40-х годов в про-
грамму механико-математического факультета МГУ курса
«Анализ III», объединявшего элементы теории меры и
теории функций, интегральные уравнения, сведения из
функционального анализа, а позже и вариационное ис-
числение. Этот курс, читавшийся в МГУ сперва А. Н. Кол-
могоровым, а потом и другими лекторами, в том числе
С. В. Фоминым, вошел в дальнейшем в программы и
других университетов.

В свое время замена в МГУ отдельных курсов теории
функций действительного переменного, интегральных
уравнений и вариационного исчисления единым курсом
«Анализ III» вызвала большие споры. Перед курсом была
поставлена задача приучить студентов к двойному зре-
нию: с одной стороны, следить за внутренней логикой
развития теории множеств, общей теории непрерывных
отображений метрических и топологических пространств,
линейных пространств и функционалов и операторов на
них, чистой теории меры и интегрирования в общих
«пространствах с мерой», с другой, — не упускать из
виду обслуживаемую этими более абстрактными областями
математики проблематику классического и даже при-
кладного анализа.

При решении этой задачи мы в планировке книги
отдаем предпочтение абстрактной линии построения курса.
От общей теории множеств (глава I) можно перейти к ме-
трическим и топологическим пространствам и их непре-
рывным отображениям (глава II) либо непосредственно
к пространствам с мерой (без топологии) и интегрирова-
нию в них (глава V). В главах III и IV изучаются линей-
ные пространства и линейные функционалы и операторы
в них. От этих глав возможен прямой переход к главе Х
(нелинейные дифференцируемые операторы и функцио-
налы). В главе VII изучаются линейные пространства
суммируемых функций. Лишь в главах VI и VIII внима-
ние, по существу, сосредоточено на функциях действи-
тельного переменного.

Хотя в первую очередь в нашей книге излагаются
общие понятия теории функций и функционального ана-

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ         ]5

лиза, внимание к примыкающей сюда классической про-
блематике читатель может проследить почти во всех
главах. Включение в книгу глав VI (теория дифференци-
рования), VIII (тригонометрические ряды и интеграл
Фурье) и IX (линейные интегральные уравнения) при-
водит к тому, что сейчас наша книга охватывает всю
программу принятого в МГУ курса «Анализ III», кроме
вариационного исчисления. Мы не включили этот раздел
в нашу книгу, ограничившись лишь изложением в главе Х
самых первых представлений о нелинейном функциональ-
ном анализе.

В новом издании, как и в первоначальном, значитель-
ное место занимает общая теория меры. В последнее
время появилось довольно много изложений теории инте-
грирования, основанной на схеме Даниеля, не исполь-
зующей аппарата теории меры. Мы полагаем, однако, что
теория меры достаточно важна и сама по себе, независимо
от введения понятия интеграла, и заслуживает включения
в университетский курс.

Включение новых глав заметно увеличило объем книги,
Старые главы тоже существенно переработаны и в них
включены новые параграфы (например, о порядковых
типах и трансфинитных числах, топологических  про-
странствах, обобщенных функциях и др.).

Перерабатывая нашу книгу и включая в нее новые
разделы, мы старались, однако, сохранить в ней тот
сравнительно элементарный стиль изложения, который
был выдержан, как нам кажется, в первом издании.
Мы надеемся, что она найдет свое естественное место
в университетском преподавании наряду с другими ру-
ководствами, в частности, с книгой Г. Е. Шилова «Мате-
матический анализ, специальный курс», в которой более
подчеркнута аналитическая сторона дела, а интерес к ме-
трическим и топологическим пространствам, мерам и т. д.
как самостоятельным объектам культивируется в меньшей
степени.

А. Колмогоров
С. Фомин

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Авербух В.И.,Смолянов О. Г. Теория дифференциро-
вания в линейных топологических пространствахУ/УМН. — 1967 —
Т. XXII, вып. 6. — С. 200—260.

2. Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и
функций.—М.: Гостехиздат, 1948.

3. А х и е з е р Н. И., Г л а з м а н И. М. Теория линейных опера-
торов. —М.: Наука, 1966.

4. Б а н а х С. Курс функшонального анал!зу. — Кшв: Радяньска
школа, 1948.

5. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям
самосопряженных операторов. — Киев: Наукова думка, 1965.

6. Б о х н е р С. Лекции об интегралах Фурье.— М.: Физматгиз, 1962.

7. Б у р б а к и Н. Общая топология. Основные структуры — 2-е

изд. —М.: Наука, 1968.
в.Бурбаки Н. Теория множеств. — М.: Мир, 1965.

9.Бурбаки Н. Топологические векторные пространства — М •
ИЛ, 1959.

10. В и л е н к и н Н. Я. и др. Функциональный анализ. — М :

Наука, 1964.

11. В и н е р Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. — М.:

Физматгиз, 1963.

12. В и н е р Н., П э л и Р. Преобразование Фурье в комплексной
области. —М.: Наука, 1964.

13. Г е л ь ф а н д И. М., Р а и к о в Д. А., Ш и л о в Г. Е. Комму-
тативные нормированные кольца.—М.: Физматгиэ, 1960.

14. Г е л ь ф а н д И. М., Ш и л о в Г. Е. Обобщенные функции и дей-
ствия над ними. — 2-е изд. — М.: Физматгиз, 1959.

15. Г е л ь ф а н д И. М., Ш и л о в Г. Е. Пространства основных и
обобщенных функций.—М.: Физматгиз, 1958.

16. Г е л ь ф а н д И. М., Ш и л о в Г. Е. Некоторые вопросы теории
дифференциальных уравнений, — М.: Фиэматгиз, !958.

17. Г е л ь ф а н д И. М., В и л е н к и н Н. Я. Некоторые примене-
ния гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы простран-
ства.—М.: Физматгиз, 1961.

18. Г о х б е р г И. Ц., К р е и н М. Г. Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов.—М.: Наука, 1965.

19. Г о х б е р г И. Ц., К р е и н М. Г. Теория вольтерровых операторов
в гильбертовом пространстве и ее приложения.—М.: Наука
1967.

20. В у лих Б. 3. Теория полуупорядоченных пространств.—М.:

Физматгиз, 1961.

21.Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая
теория.—М.; ИЛ, 1962.

22.Данфорд Н., Шварц Дж. Т, Линейные операторы. Спек-
тральная теория.—М,: Мир, 1966,

608                    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

23. Д э й М. Линейные нормированные пространства.—М.: ИЛ,
1961.

24. Д ь е д о н н е Ж. Основы современного анализа.—М.: Мир,

1964.

25. 3 и г м у н д А. Тригонометрические ряды, т. 1, 2. —М.: Мир,

1965.

26. И о с и д а К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.

27. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная
математнка//УМН. — 1948. — Т. III, вып. 6. — С. 89—185.

28. Канторович Л.В.,Акилов Г. П. Функциональный ана-
лиз. — 2-е изд. — М.: Наука, 1977.

29. К ел л Дж. Л. Общая топология.—М.: Наука, 1968.

30. Красносельский М.А. Топологические методы в теории
нелинейных дифференциальных уравнений.—М.: Гостехиздат,
1956.

31.Куратовский К. Топология, т. 1. — М.: Мир, 1966.

32. Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. —
М.: ГТТИ, 1934.

33. Л о э в М. Теория вероятностей.—М.: ИЛ, 1962.

34. Л ю м и с Л. Введение в абстрактный гармонический анализ, —
М.: ИЛ, 1956.

35. М и х л и н С. Г. Лекции по интегральным уравнениям. — М.:

Физматгиз, 1959.

36. М о р е н К. Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965.

37. Н а и м а р к М. А. Нормированные кольца. — 2-е изд. — М.:

Наука, 1968.

38. Н а и м а р к М. А. Линейные дифференциальные операторы. —
2-е изд. —М.: Наука, 1969.

39. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. —
2-е изд.—М.: Гостехиздат, 1957.

40. П л е с н е р А. И. Спектральная теория линейных операторов. —
М.: Наука, 1965.

41. Рисе Ф., Надь Б. С. Лекции по функциональному анализу. —
2-е изд.—М.: Мир, 1979.

42. Робертсон А., Робертсон В. Топологические вектор-
ные пространства.—М.: Мир, 1967.

43. Р у д и н У. Основы математического анализа. —М.: Мир, 1966.

44. С а к с С. Теория интеграла. — М.: ИЛ, 1949.

45. Т и т ч м а р ш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. —М.:

Гостехиздат, 1948.

46. Т р и к о м и Ф. Интегральные уравнения. — М.: ИЛ, 1960.

47. Френкель А.,Бар-ХиллелИ. Основания теории мно-
жеств. — М.: Мир, 1966.

48. Х а л м о ш П. Теория меры. — М.: ИЛ, 1953.

49. Х а л м о ш П. Конечномерные векторные пространства.—М.:

Физматгиз, 1963.

50. X а л м о ш П. Лекции по эргодической теории. — М.; ИЛ, 1959.

51. X и л л Е., Филине Р. Функциональный анализ и полугруп-
пы. —М.: ИЛ, 1962.

52. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный
курс. — 2-е изд. — М,: МГУ, 1984.

53. Ш и л о в Г. Е., Г у р е в и ч Б. Л. Интеграл, мера и производ-
ная. Общая теория.—М.: Наука, 1967.

54. Шилов Г.Е.,Фан Дык Тинь. Интеграл, мера и производная
на линейных пространствах.—М,: Наука, 1967.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ                    609

55 Эдварде Р. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1967.

56. S с h w а г t z L. Theorie des distributions, I, II. — Paris, 1951.

57. F r a e n k e 1 A. Abstract set theory. — Amsterdam, 1953.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ГЛАВАМ

Глава     I. 2; 8; 47; 56.

Глава    И. 2; 4; 7; 24; 29; 31.

Глава   III. 4; 9; 10; 13; 15; 17; 20; 21; 23; 24; 26; 27; 28; 34;

36; 37; 41; 42; 49; 51; 55.
Глава   IV. 3—5; 13—19; 21—23; 26; 34; 36—38; 40; 52; 57.
Глава    V. 12; 21; 32; 33; 39; 41; 44; 48; 50; 53; 54,
Глава   VI. 21; 28.
Глава  VII. 32; 39; 41; 44; 53.
Глава VIII. 6; 11; 12; 14—17; 25; 52.
Глава   IX. 35; 46.
Глава    X. 1; 24; 28; 30; 43; 51.
Дополнение. 13; 21; 22; 26.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютная непрерывность интегра-
ла Лебега 345
Абсолютно непрерывная мера 302

— — функция 392 и далее

— непрерывный заряд 404, 405
Абстрактная функция 557
Абстрактное уравнение фредгольма

первого рода 543
Абстрактный оператор Вольтерра

542, 545

Аддитивный функционал 145
Аксиома выбора 47

— нормальности 112

— отделимости Л 110

— — Т ч (хаусдорфова) 111

— — Гз 111

— — Tt 112

— счетности первая 104

—— — вторая 103

— треугольника 57

— Цермело 47

Аксиоматическая теория множеств 47
Алгебра (банахова, коммутативная,
нормированная, с единицей) 589

— множеств 50

— — измеримых 313
^- с инволюцией 606

функций, аналитических в круге

591

— —, непрерывных на компакте 591

'— — с абсолютно сходящимися ря-
дами Фурье 592

.- /, 592

Алгебраическая размерность 144, 166,
203

Алгебраически  сопряженное про-
странство 211

Алгебраические действия над из-
меримыми функциями 325

Алгебраическое число 30

Альтернатива Фредгольма 537

Аннулятор 210

Антисимметричность 38
Арифметическое (евклидово) про-
странство 59, 140

База топологии 102, 103
Базис в конечномерном линейном
пространстве 142

— Гамеля 144, 203

— двойственный 215
.— меры 435
Банахова алгебра 589

— — ограниченных операторов 592

—'— —, основная теорема о коммута-
тивных 607
«= — регулярная 602
=~ -— симметричная 602

Банахово пространство 162
Бесконечное множество 26, 32
Бесконечномерное линейное про'

странство 142
Биекция 21
Бикомпакт 123
Бикомпактное расширение ьиь

— топологическое пространство 123
Билинейное отображение 560
Бинарное отношение 26
Борелевская функция 323
Борелевское множество 55, 73

Вариационное исчисление 573, 582
Вариация заряда, верхняя, ниж-
няя и полная 404

— отображения первая 553
Векторное пространство 139
Верхний предел функции в точке 120
Верхняя грань 48
Вес (весовая функция) 458
Взаимно однозначное соответствие 21

—— — — между интегральными опе-
раторами и их ядрами 531

—— — — — линейными  функциона-
лами и гиперплоскостями 149
Внешняя мера 293, 312, 320
"- —, полуаддитивность 293

— —, — счетная 312
Внутренняя мера 316, 320

— точка множества 72
Восстановление функции по ее про-
изводной 246, 389, 396, 399, 559
Вполне непрерывный оператор 272

— ограниченное множество 124

— регулярное топологическое про-
странство 112

— упорядоченное множество 41
Всюду плотное подмножество 70

— — — в пространстве L, 433, 434,
435

————— L, 443

Вторая аксиома счетности 103

— производная отображения 560 и

далее
Второе сопряженное пространство

221

Выпуклая оболочка 152
Выпуклое множество 149

— тело 149

— — в нормированном пространстве

209

Выпуклый функционал 152
Вычитание множеств 19

Геометрическая интерпретация ли"
нейного функционала 32

—— =э теоремы Ханая-Банаха 208

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ               611

Геометрический смысл нормы ли-
нейного функционала 207

Геометрическое определение интегра-
ла Лебега 362

Гильбертов кирпич 125, 150

Гильбертово пространство 180, 443

— — комплексное 193, 444

Гиперплоскость 148

Глобальная сходимость ряда Фурье
471

Гомеоморфизм пространств метриче-
ских 66

—— — топологических 108
Гомоморфизм алгебр 591
Грань симплекса 152
График оператора 263

Двойственности принцип 20
Двойственный базис 215
Действительное линейное простран-
ство 139
Детерминант Грама 462

— Фредгольма 550

Диагональная процедура Кантора

33

Диаметр множества 33
Дискретная мера 303, 410

— топология 99
Дискретный заряд 404
Дисперсия 413
Дифференциал Гато 553

— Фреше 552
Дифференциалы высших порядков

отображения 563
Дифференциальное   уравнение   в

классе обобщенных функций 244

и далее

— — второго порядка 527
>— —, зависимость решений от на-
чальных данных 569
?— —,— — — параметра 570
»— — с постоянными коэффициента-

ми 498, 513

— —, теорема   существования   и
единственности 91—94

Дифференцируемый функционал 557

Длина кривой в метрическом про-
странстве 137

Дополнение множества 19

Достаточность запаса основных функ-
ций 243

Достаточные   условия   минимума
функционала 580

— — сходимости интеграла Фурье

484
I— —' — — — многомерного 502

— — — ряда Фурье 469

—— — — — — равномерной 474, 475

Евклидово пространство 166, 188
^— — комплексное 192

— -— п-мерное арифметическое 59
Единица  ..гебры 589

— системы множеств 51
Единичный ..ператор 252
Естествен-юе отображение Е в Е**

Задача Коши 91—94
е- — для уравнения теплопровод-
ности 498

Задача Коши для уравнения тепло-
проводности на плоскости 503

Задачи, приводящие к интегральным
уравнениям 524—528

Замена переменных в интеграле Ле-
бега 415

Замкнутая ортонормальная система
176

Замкнутое множество в метрическом
пространстве 71

Замкнутое множество в топологи-
ческом пространстве 98

—— — на прямой 74

— подпространство нормированного
пространства 164

—— покрытие 105

Замкнутость максимальных идеалов
598

'— множества необратимых элемен-
тов банаховой алгебры 595

Замкнутый оператор 263

— отрезок 149

— шар 68

Замыкание линейное 164

— множества в пространстве метри-
ческом 68

— — — — топологическом 99,   15
Заряд 400, 401

— непрерывный, дискретный, абсо-
лютно непрерывный и сингулярный

404
Знакопеременная мера 400, 401

Идеал в кольце 243

— коммутативной алгебры 592
Измеримая функция 323, 335

— —, действия над ними 325—327
Измеримое множество 295, 312, 316—
319, 404

— —, свойства 295—300

Измеримость по Каратеодори 316

Изолированная точка множества в
метрическом пространстве 69

Изометрически изоморфные алгебры
591

Изометричность отображения норми-
рованного пространства во второе
сопряженное 222

Изометрия 66

Изоморфизм алгебр 591

— между гильбертовым простран-
ством и ему сопряженным 217
'— пространств гильбертовых сепа-

рабельных 181

— — — — комплексных 193

— — евклидовых 180

|— — линейных 141, 144

— — L, (X. ц) 443

— — — комплексных 444

— частично упорядоченных множеств

39

Индикатор 38
Интеграл абстрактной функции 567

— Дирихле 468

— как сг-аддитивная функция мно-
жества 346

— Лебега 334 и далее

|— —, заменл переменных 415

—• — неопределенный 367
'— —f основные свойства 338 и да-
лее

612 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Интеграл Лебега по множеству беско-
нечной меры 351 и далее

— —. сравнение с интегралом Ри-
мана 352

— —,— — — — несобственным 354

— Лебега—Стнлтьеса 411 и далее

— — — по функции .монотонной 411

— — — — — ограниченной  вариа-
ции 412

— от простой функции 336

— — — —, свойства 337

— по множеству 338

— Пуассона 499

— Римана 352

— Римана—Стилтьеса 415 и далее

— Фейера 478

— Фурье 481 и далее (см. Преоб-
разование Фурье)

— — в комплексной форме 485
Интегральное неравенство Гёльдера

— — Коши—Буняковского 61
Интегральное неравенство Минков-
ского 64

— уравнение 523

— — Абеля 523

— — Вольтерра 95, 524, 542

— —, задачи, к нему приводящие
524-527

— — нелинейное 95, 523, 587

— — Фредгольма 95, 524, 528, 531,

543
Интегрируемая функция 337

— — простая 336

Интегрируемость ограниченной из-
меримой функции 339

Интервал в множестве порядковых
чисел 121

Интерполирование по методу наи-
меньших квадратов 462

Инъекция 21

Исключающее «или» 20

Исчерпывающая последовательность
множеств 351

Итерированные ядра 548

Канторова лестница 391

Канторово множество 74

'— —* точка первого и второго рода
76

Касательное многообразие к мно-
жеству 571

Классы смежности по подпростран-
ству 144

Колебание функции в точке 120

Колебания струны 524

Кольцо множеств 471

— — измеримых 311

— —,— по Жордану 320, 322

— —, порождаемое полукольцом 54

— — элементарных 289

Коммутативная алгебра 589

Компакт 115, 123

Компактное топологическое про-
странство 115

Компактность замкнутых подмно-
жеств компактного пространства
116

— интегрального оператора 275
«— спектра элемента алгебры 594,,
596

— счетно-компактного метрического
пространства 126

Компактный оператор 272

— — в гильбертовом пространстве
282, 283

Комплексное пространство гильбер-
тово 193

— — евклидово 191

— — линейное 116

Композиция борелевской функции
с измеримой 325

— измеримых функций 325
Компонента открытого множества

Конечное множество 26

— разложение множества 52
Конечномерный оператор 272, 530
Континуум-гипотеза 46
Контрпример к теореме Фубини 366
Координаты вектора в евклидовом

пространстве 173
Коразмерность 145

— ядра линейного функционала 147
Корректная задача 543
Коэффициенты Фурье 177, 193, 447—
449, 452, 466, 487, 504

— —, однозначность    определения
функции по ним 481

— — по ортонормальной системе 173
Критерий базы топологии 103

— измеримости функции 325, 335

— — — простой 335
Критерий компактности простран-
ства метрического 126

— — —. топологического 116

— непрерывности линейного функ-
ционала в пространстве норми-
рованном 205

— — — — — — топологическом 203

— — отображения топологического
пространства 108

«— полноты    метрического    про-
странства 81

»— — ортогональной нормированной
системы 179

— — счетно-нормированного про-
странства 199

— предельности точки в Ггпростран-
ствах 110

— предкомпактности множества в
полном   метрическом   простран-
стве 128

'— слабой сходимости в нормиро-
ванном пространстве 226

— — — последовательности   функ-
ционалов 230

—— суммируемости  простой  функ-
ции 336

ч- счетной   компактности  тополо-
гического пространства 121

Лебегова мера 295, 301, 312
Лебегово продолжение меры 314

— — —, полнота 315
Лемма Аренса 606

— Гейне—Бореля 115

— о замкнутости образа 538

— — замыкании идеала алгебры

598
е— — максимальных   идеалах   ал'

гебры непрерывных функций 693

— — равномерном стремлении к ну-
лю коэффициентов Фурье компакт-
ного множества функций 475

ПРЕДМЕТНЫЙ  УКАЗАТЕЛЬ

613

Лемма о разложении гильбертова про-
странства в прямую сумму Кег Т
н \т Г* 538, 539

—— — сепарабельности подмножества
184

— — стремлении к нулю коэффи-
циентов Фурье суммируемой функ-
ции 4Ь8

— — существовании максимального
идеала 598

— — тройке 262

— — ядре мультипликативного функ-
ционала 600

— об аннуляторе 209

—— — — ядра оператора 267

— — идеалах фактор-алгебры 598

— — обратимости элементов, близ-
ких к единичному 594

—— — — —,— — обратимому 595

— Рисса о множестве невидимых
точек 373, 374

— — обобщенная 378

— Цорна 48

Линейная зависимость и независи-
мость 141

— оболочка 144

Линейно упорядоченное множество

40
Линейное замыкание 164

— многообразие 164, 184

— — абсолютно непрерывных функ-
ций 394
'— — в гильбертовом пространстве

184

— — касательное к множеству 571

— пространство 139 н далее

— — топологическое 194
Линейные функционалы в вчетно-

нормированном пространстве 210
Линейный оператор 251 и далее

(см. также оператор)

— —, график 263

— — замкнутый 263
'— — непрерывный 251
|— — ограниченный 256, 257
Линейный оператор самосопряжен-
ный 268

— —, сопряженный к данному 266
|— — эрмитово сопряженный 268

— функционал 145, 202 и далее
(см. также функционал линейный)

I— — не непрерывный 203

Локальная выпуклость нормирован-
ного пространства 198

—— — сильной топологии в Е* 214

— ограниченность   нормированного

пространства 208
Локально выпуклое топологическое

линейное пространство 196

— ограниченное топологическое ли-
нейное пространство 196
Ломаные Эйлера 131

Максимальная цепь 47
Максимальное бикомпактное  Рас-
ширение 606
Максимальный идеал 592

— — алгебры Су 593

— элемент 39

Максимум функционала 575

Математическое ожидание 413

Мера 288 и далее, 304

fe- абсолютно непрерывная 303

Мера дискретная 303

— Жорданова 320

— Лебега 312

— — на плоскости 295

— —, непрерывность 299

— —, полнота 300

— — п-мерная 359

— Лебега—Стилтьеса 301, 303 408,
411

— — — абсолютно непрерывная 303,
410

— — — дискретная 303, 410

— — —, примеры 410

— — —, производящая функция 408

— — — сингулярная 303, 410

— на классе прямоугольников 289

— — полукольце 304

—, непрерывность 314

— полная 315

— сингулярная 303

— со счетным базисом 434, 435

— (Т-аддитивная 307

— о-конечная 316
Метод касательных 584

— математической индукции 48

— Ньютона 584

— — модифицированный 585

— —, пример 587

— последовательных приближений
89

— характеристических функций 519
Метризуемое пространство 115
Метрический компакт 123
Метрическое пространство 57
Минимальная топология, порожден-
ная системой множеств 100

— о-алгебра 55

Минимальное кольцо, порожденное

системой множеств 51
Минимальный элеменг 39
Минимум функционала 575
Минор Фредгольма 550
Многочлены Лагерра 461

— Лежандра 453 и далее

— Чебышева 458

— Эрмита 460
Множеств алгебра 51

— кольцо 49

— объединение 18

— пересечение 18
Множеств полукольцо 52

— равенство 18

— разность 19

— — симметрическая 19

— система 49
Множества диаметр 82

— дополнение 20

— замыкание 68, 99

— мощность 34
Множество 17

— бесконечное 26, 32

— всюду плотное 70

— выпуклое 149

— замкнутое 71, 98

— измеримое 295, 312, 318

— — относительно 0-кольца 320

—- — по Жордану 320, 322

— конечное 26

— линейно упорядоченное 40

— неизмеримое 303

— несчетное 28

— нигде не плотное 70

— ограниченное 68

614 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Множество однозначности меры 321

— открытое 72, 77, 98

— относительно компактное 123

— отрицательное относительно за-
ряда 401

— плотное в другом множестве 70

— положительное относительно за-
ряда 401
'— предкомпактное 123

—— пустое 17

— симметричное 198

— совершенно упорядоченное 40

— счетное 27

~ счетно-предкомпактное 123

— упорядоченное 40

— — частично 38

— о-однозначности меры 322
Множители Лагранжа 583
Монотонные функции 366
Мощность континуума 34

— множества 34

— — всех подмножеств натурально-
го ряда 37

— К, 46

Мультипликативный функционал 598

«Наивная» теория множеств 47

Наличие счетной базы у вполне огра-
ниченных метрических пространств
124

Направленное множество 39

Наследственное свойство 112

Наследственность полной регуляр-
ности 112

Начальный отрезок упорядоченного
множества 43

Невидимая справа или слева точка
373, 374, 378

Неизмеримое множество 303

Нечсключающее «или» 20

Некоммутативная банахова алгебра
592

Некомпактность единичного опера-
тора в банаховом пространстве 272

Некорректная задача 544

Нелинейное интегральное уравнение
96, 587

Необратимый элемент алгебры 593

Необходимое   условие   минимума
функционала 579

—— — — — для задачи с ограниче-
ниями 582

—— — — —, контрпример 580

— — экстремума функционала 575

Неопределенный  интеграл Лебега
367, 395

Неподвижная точка отображения 88,
118

Непрерывная кривая в метрическом
пространстве 136

Непрерывное отображение простран-
ства метрического 65

— — — топологического 106
Непрерывность линейного операто-
ра 256

— меры 299, 314

— слева и справа 369

— сложной функции 108
Непрерывный заряд 404

— спектр 270

—— функционал на линейном тополо-
гическом пространстве 202

Неприводимость сг-алгебры 55
"^""Йб"'61"1''1 элемента алгебры
Неравенство Бесселя 176, 177 193

— — для тригонометрической' си-
стемы 448

— Гёльдера 62

^- — интегральное 64

^- Коши—Бунякосского 59, 166

— — — интегральное 61, 438

—— Минковского 62

— — интегральное 64

— Чебышева 344
Несепарабельность пространства т

Несравнимые элементы 40

Несчетное множество 28

Несчетность множества действитель-
ных чисел 32

Нигде не плотное множество в ме-
трическом пространстве 70

Нижний предел функции в точке 120

Норма 162

— билинейного отображения 560

— линейного оператора 257

— — — сопряженного _266

— функционала 205
Нормальное пространство 112
Нормированная алгебра 589
Нормированное пространство 162
Нормируемость 198

— локально выпуклых, локально ог-
раниченных линейных топологи-
ческих пространств 198

— пространства,  сопряженного к

нормируемому 213
Носитель заряда 404
Нулевой оператор 252
Нуль-множество 320

Область значений функции 20

— определения оператора 251

— — функции 20

Обобщение принципа сжимающих

отображений 96
Обобщенная производная 240

— —, сравнение с обычной 399

— теорема Арцела 133

— функция 235 и далее

— — комплексная 248

— — на окружности 249

— — — пространстве К" 248

— — первообразная 246

— — периодическая 249, 250

— —, производная 240

— — регулярная 237

— — сингулярная 237
Образ множества 21

— оператора 251

— элемента 21
Обратимый оператор 259

— элемент алгебры 593
Общий вид линейного  оператора

из R" в R"1 252
Общий вид линейного функционала

в пространстве гильбертовом 217,

218, 443

— — — — — — конечномерном 215

— — — — —-— счетно-нормирован.
ном 210

——_„__ с la, Ь] 423

ПРЕДМЕТНЫЙ  УКАЗАТЕЛЬ

615

Общий вид линейного функционала
в пространстве С1 [а, Ь] 428

—-—-—— со 216

—----- l„ lp 217
Объединение множеств 17
Ограниченное множество в простран-
стве линейном топологическом 196

— — — — метрическом 68

— отображение 558

Ограниченность слабо ограниченно-
го подмножества нормированного
пространства 225, 226

i— — сходящейся  последовательно-
сти функционалов на банаховом
пространстве 230

— — — — элементов нормированно-
го пространства 225

Однозначность определения сумми-
руемой функции по ее коэффи-
циентам Фурье 139

— — — — — — преобразованию

Фурье 487

— продолжения меры 316, 321 и

далее
Однородно-выпуклый функционал 153

—— — на комплексном пространстве

159

Однородный функционал 145
Окрестность множества 111

— точки 99
Оператор 250 и далее

— Вольтерра 277, 542, 545

— вполне непрерывный 272

— — — в гильбертовом простран-
стве 282

— Гильберта—Шмидта 529

— — —, компактность 529

—— — —, сопряженный оператор 531

— дифференцирования 254, 255

— единичный 252

— замкнутый 263
'— компактный 272

— — в гильбертовом пространстве

282, 283
f— конечномерный 272

— линейный 251

— — из R" в R'" 252

— непрерывный 251
i— нулевой 252

— обратимый 259

— обратный к данному 259

— ортогонального   проектирования

253
'— самосопряженный 268, 283

—— сопряженный 266

— — в евклидовом пространстве 268

—— Фредгольма 529

— эрмитово-сопряженный 268

Операторный метод решения диф-
ференциальных уравнений 511—
51 4

Операции над множествами 18, 19

Операция замыкания в простран-
стве метрическом 68
— — — топологическом 113

Определяющая система окрестностей

г- 104

Оптимальное управление 582

О ртогонализация 171

Ортогональная нормированная си.
.с тема 169

Ортогональное дополнение 185

Ортогональность векторов 167, 193

— с весом 458

Ортогональные многочлены Лагероа
461

— — Лежандра 453 и далее

— — с дискретным весом 461

— — Чебышева 458

— — Эрмита 460

Ортогональные системы на произ-
ведении пространств 455

— — функций в Lt 446

— — Радемахера—Уолша 465

— — — Хаара 463, 465
Ортогональный базис 169

— — в пространствах L, '—оо, оо)
и L, (0, оо) 460

— •— из собственных векторов 286

— — нормированный 169
Ортонормальная система 169
Ортопроектор 254
Основной   параллелепипед   гиль

бертова пространства 125
Остаток упорядоченного множества

43
Отделимость выпуклых множеств ь

пространстве линейном 160

— — — — — нормированном 209

— сильной топологии в Е* 214
Отделимые   топологические   про-
странства 195, 196
Открытое множество в простран-
стве метрическом 72

— — — — топологическом 98

— — на прямой 73

— покрытие 105

Открытость множества обратимых ог-
раниченных операторов 263

— — — элементов банаховой алгеб-
ры 595
Открытый отрезок 149

— шар 66

Относительная топология 100

Отношение бинарное 26

— эквивалентности 24
Отображение 20 (см. также Оператор,
Функционал, Функция)

— билинейное 560

— <св» 21

,-- гомеоморфное пространств метри-
ческих 66

— — — топологических 109
'— дифференцируемых 551

— замкнутое 109

— линейного топологического про-
странства во второе сопряженное
222

— «на» 21

— непрерывное 106—108

— ограниченное 558

— открытое 109

— регулярное 571

—, сохраняющее порядок 39

— п-линейное 563

Оценка скорости сходимости мгтода
Ньютона 587

Первая аксиома счетности 104

— вариация отображения 553
Первообразная обобщенной функции

246
Пересечение множеств 18

— системы подпространств линей»
ного пространства 144

616

ПРЕДМЕТНЫЙ  УКАЗАТЕЛЬ

Плотное подмножество в метриче-
ском пространстве 70

Плотность распределения вероятно-
стей 414

Поглощение 156, 196

Подмножество 17

— собственное 14
Подпокрытие 105

Подпространство нулей линейного
функционала 147

— пространства гильбертова 184

— — линейного 142

— — — нормированного 164

— — —. порожденное   множеством
элементов 144

Подпространство пространства ме-
трического 65

— — топологического 101
Покрытие (открытое, замкнутое, ко-
нечное, счетное) 105
Полная вариация заряда 404

— — функции 381 и далее

— мера 315

— ограниченность 124

— регулярность    топологического
пространства 112

— система элементов в нормиро-
ванном пространстве 164

— упорядоченность 41
Полное метрическое пространство 78
Полнота пространства рефлексивного
нормированного 223

— —, сопряженного к нормирован-
ному, в сильной топологии 213

— — счетно-нормированного 199

— - С la, Ы 79

— — L, 431

— — Ls 439, 440

— — It 79

— — т 81

— — R" 78

— - R?, R^, 79

— системы функций Лагерра 495

—— — — тригонометрических    447,
451, 480

— — — Уолша 465

— — — Хаара 465

—— — — Эрмита 495
Полный прообраз 21

— — системы множеств 56
Полуаддитивность меры 293, 309, 321
Полукольцо 52

Полунепрерв1вная функция на ме-
трическом пространстве 120
Полунепрерывность снизу (сверху)

— — длина кривой в метрическом

пространстве 137

Пополнение пространства 84, 182
Порядковое число 42
Порядковый тип 40

— — (0 40

— — tt>i 46

Порядковых чисел произведение 43

— — сравнение 43

— — сумма 41

Порядок функционала на счетно-
нормированном пространстве 212

Последовательность сходящаяся 57,
105                   -,       ,

— — в счетно-нормированном про-
странстве 199

Последовательность сходящаяся
обобщенных функций 239

— — слабо 224

— фундаментальная 78
«•Почти всюду» 327

Почти периодические функции 516
Правило множителей Лагранжа 583
Предел последовательности в ме-
трическом пространстве 69

— справа или слева 368
Предельная точка в метрическом
пространстве 69

—~~ — — топологическом   простран-
стве 99

— — — ^-пространстве 109—111
Предельный переход под знаком ин-
теграла Лебега 346

— — — — — Стилтьеса 420
Преобразование Лапласа 5)2

— —, применение к решению диф-
ференциальных уравнений 512—SI 4

— Фурье 486

Преобразование Фурье быстроубы-
вающнх функций 495

— — в пространстве L, (—оо,  оо)
503—511

—— — обобщенных функций 520

— — — —, примеры S21
"— —, однозначность   определения
функции 487

—— —-, основные свойства 490—49')

— —, примеры 488—490

— — свертки 496, 497

— —, формула обращения 486

— — функции п переменных 499 а
далее

— — функционала 522

— Фурье—Стилтьеса 515, 519

— — — свертки функций с ограни-
ченным изменением 518
Применения принципа сжимающих

отображений 88—97

— теоремы о неявной функции 568—

573
Пример аддитивной, но не ст-адди-

тивной меры 308

— не вполне ограниченного мно-
жества 125

—— неизмеримого множества 303

— несепарабельного пространства 71,
171

—" не (7-конечной меры 318

— счетно-компактного, но не ком-
пактного пространства 121

— функции, дифференцируемой

только слабо 556

Примеры банаховых алгебр 591, 592
i— линейных операторов 252—255
»•* — функционалов 146

— — — на нормированных про-
странствах 205—207

— ортогональных базисов 169, 170

— преобразований Фурье 488—490

— — — обобщенных функций 521

— производных от обобщенных функ-
ций 240—243

— пространств векторных 140, 141

— — нормированных 162, 163

— — сопряженных 215—220

— — счетно-нормированных 199—
201

— — топологических линейных 194,
193

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

617

Примеры слабо сходящихся после-
довательностей 226—229

— экстремальных задач 575—578
Принцип двойственности 20

— равномерной ограниченности 596

— сжимающих отображений 88

— — —, обобщение 96

— — —,  применения 88—97
Проблема Н. Н. Лузина 472
Программирование линейное и вы-
пуклое 582
Продолжение меры 284

— — по Жордану 320

— — — Лебегу 309—316
Произведение бесконечно дифферен-
цируемой функции на обобщенную

239

— мер 358, 359

— оператора на число 258

— операторов 258

— порядковых чисел 43

— функционала на число 212

— элемента линейного пространства
на число 139

— элементов алгебры 589
Производная Гато 553

— заряда по мере 405, 408

— интеграла по верхнему пределу
380, 387

— линейного отображения 552

—— обобщенной функции 240

— сложной функции 552

— фреше 552

Производные высших порядков 560
Производные числа 372, 373
Производящая функция меры Ле-
бега—Стилтьеса 408
Прообраз 21

— топологии 108
Простая функция 335

— — суммируемая (интегрируемая)

336
Пространства гомеоморфные 66, 108

— изометричные 66, 591

— изоморфные евклидовы 180

— — линейные 141

Пространство арифметическое 59, 140

— банахово 162

— бикомпактное 123

— быстро убывающих последова-
тельностей 201

— векторное 139

— вполне регулярное 112
'— второе сопряженное 221

— гильбертово 180, 181

—— дискретное 57—59, 70, 78

— евклидово 166, 191
>— изолированных точек 57—59, 70,
78

— компактное 115

— линейное 139, 194

— метризуемое 115
'— метрическое 57

— — сепарабельное 70, 104

— нормальное 112

—— нормированное 162

—- основных функций 236

— полное 78

— полурефлексивное 222

~ регулярное 111

^. рефлексивное 222

_ с аксиомой счетности второй 103

„ — — — первой 104

Пространство связное 105

— сепарабельное 70, 104

— слипшихся точек 99

— со счетной базой 103

— — — — метрическое 104

— сопряженное 212

—,— к пространству быстро убы-
вающих последовательностей 220

—,— — — гильбертову 217—219

—,— — —   счетно-нормированному
210

—,— — — С [а, Ь] 428

—,- - — (-о 216

—,- - - /„ lp W

—,— - - R". C" 215

— счетно-гильбертово 200

— счетно-компактное 121

— счетно-нормированное 199

— топологическое 98, 194
'— функций с ограниченным изме-
нением 382, 387

— хаусдорфово 111

— С" 140, 142, 163, 192

— С [а, Ь] 60, 71, 79, 140. 163,
191, 223, 229, 423

— C1 la, b] 428, 577

— С" 1а, и] 201, 604

— С, [а, ft] 61, 71, 80, 17Q

— — комплексное 192
~ Cf 591

— CBV [0, 1] 006

— с 140

— со 141, 223

— Сц* 216, 223

— К 236, 521

— К* 522

— К la, Ь] 195, 199 201

— К^ 237

Пространство Л71 248

— Lt 431, 435, 444—446

— —, плотность множества функция
непрерывных 434

~ —,— — — простых 432

— L, 437—440, 444—446
'— — комплексное 444

- Lp 442

— It 216, 223

- I, 60, 71, 79, 125, 140, 169, 227

— — комплексное 192

- lp 64, 223

- lp. l*p 217. 223

— т 61, 71, 141, 163, 217, 223
~ К 59, 78, 140, 162

~ R" 59, 78, 124, 140, 142, 162.
205, 215, 226

-- Rn 60, 71, 79, 163, 216

— R" 62, 189, 215

— R^, 60, 71, 79, 163, 216

-- R°° 141, 195

•- •Soo 200, 250, 251, 496, 520

- S^ 520

— V, [a, b] 387, 427

— Z 520

Процесс ортогонализации 173

Прямая сумма 186

618

Прямая сумма счетного числа под-
пространств 187

— — о-алгебр 318

Прямое произведение множеств 355

— — систем множеств 355
Прямоугольник 288
Пустое множество 17

Равенство множеств 18

— Парссваля 176

— — для тригонометрической   си-
стемы 448

— порядковых чисел 43
Равновесие нагруженной струны 524
Равномерная непрерывность отобра-
жения метрического пространства
132

»— ограниченность семейства функ-
ций 129
Равностепенная непрерывность се'

мейства функций 129
Радикал банаховой алгебры 602
Разбиение множества на классы 23
Разделение выпуклых подмножеств
с помощью линейных функциона-
лов 161, 209
Разложение Жордана 404

— меры Лебега—Стилтьеса в сумму
збс-о/ютно непрерывной, дискрет-
ной и сингулярной 410

— функции в ряд Фурье (см. ряд

Фурье)
>— — монотонной на непрерывную

и функцию скачков 372

— — по многочленам Лежандра 455

— — с ограниченным изменением
в разность монотонных 385

— — — — — на абсолютно непре-
рывную, сингулярную и функцию
скачков 398

— Хана 403

Размернзсть линейного пространства
142

Разность множеств 19

Расстояние в метрическом простран-
стве 57

'— между двумя множествами 77

—— — кривыми 137

— от точки до множества 77
Регулярная банахова алгебра 602

— точка оператора 270

— — элемента алгебры 593
Регулярное отображение 571

— топологическое пространство 111

Регулярность отделимых линейных
топологических пространств 196

Резольвента оператора 270

»— элемента алгебры 594

Резольвентное ядро 550

Рефлексивное линейное топологиче-
ское пространство 222

Рефлексивность 24, 38

Решетка 48

Ряд Фурье 173, 177, 193, 467

— — в комплексной форме 452, 487

— — по ортогональной системе функ-
ций 447
«— — — ортонормальной системе 173

—— — — тригонометрической системе
на отрезке [—я, я] 448

— — — — — =— произвольном   от-
резке 449

— —, суммирование по Фейеру 478
и далее

— —, сходимость в точке 469

— —,— глобальная 471

— —,— равномерная 474, 475

— — функции двух переменных 457

Самосопряженный   оператор   268
283—287

Сведение дифференциального урав-
нения второго порядка к инте-
гральному уравнению 527, 528

Свертка 497

^- в /i 592

— функций с ограниченным изме-
нением 518
Свойства абсолютно непрерывных

функций 394

—— измеримых множеств 296 и да-
лее, 312 и далее
<— — функций 323 и далее
^- интеграла абстрактной функции

558
<— — Лебега 338 и далее

— •— Римана—Стилтьеса 416 и далее

—— полной вариации 381—385

<— преобразования Фурье 490—494

— производной Фреше 552, 553
>— спектра и резольвенты элемента
алгебры 594—596

— счетных множеств 28, 30
i— функций с интегрируемым ква-
дратом 437

Свойство параллелограмма 188
Связное двоеточие 99, 110
Связность открытого множества в

R" 77

— топологического пространства 105
Связь между гладкостью функции
и убыванием ее преобразования
Фурье на бесконечности 493
Сдвиг открытого множества 194
Сепарабельное пространство метри-
ческое 70

— — топологическое 104

Сепарабельность  подмножеств  се-
парабельного метрического про-
странства 184

—— пространств R", Rj, R„o, /„

С la, b]. С, la, Ь] 71
i— пространства L, 427

— — L; 443

Сжатие (сжимающее отображение) ме-
трического пространства 87

Сильная производная отображения
552

^ сходимость в линейном нормиро-
ванном пространстве 224

— топология в пространстве, со-
пряженном к линейному тополо-
гическому 98
— — — —, — —   нормированному

213

Сильно положительный квадратич-
ный функционал 580
Сильный дифференциал 552
Симметрическая разность 19
Симметричная банахова алгебра 602
Симметричное множество в линейном
пространстве 198

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Симплекс 152

Сингулярная функция 398
Сингулярный заряд 404
Система множеств 49

— окрестностей нуля 194

— ортогональных векторов 168

— — функций Радемахера 465

— — — Уолша 465

— — — Хаара 463, 465
Скалярное произведение 166, 192

— в комплексном пространстве 192

— — — Ls 438
Скачок функции в точке разрыва

369
Слабая производная   отображения

553

— сходимость в пространстве ли-
нейном топологическом 224

— — — — нормированном 225

—— — — — функционалов 230

— — — — С la, Ь] 229

— — — — 1ц 227

>— топология в пространстве ли-
нейном топологическом 224

— — — — сопряженном 229, 231

————,— к банахову 230 и

далее
Слабо ограниченное подмножество

в нормированном пространстве 225,

226

Слабый дифференциал 553
След системы множеств 101
Случайная величина 413

— ~ дискретная и непрерывная 414
Собственное значение 269

— подмножество 17

— подпространство 142
Совершенно упорядоченное множе-
ство 40

Согласованные нормы 198
Соответствие взаимно однозначное

21
Сопряженное пространство 212

— ядро 531

Сопряженно-линейный изоморфизм
218

— функционал 145

Сопряженно-однородный   функцио-
нал 145
Сопряженный оператор 266

— — в евклидовом пространстве 268

<— —, свойства 266—269

Спектр оператора (точечный и не-
прерывный) 270

v— — в гильбертовом пространстве,
компактного 545

f- элемента алгебры 593

Спектральная теорема для ограни-
ченных самосопряженных опера-
торов 606

Спектральный радиус 271, 596

— — элемента алгебры 594
Сравнение порядковых чисел 43

— топологий 99, 101

Сравнимые нормы 199

Среднее квадратичное уклонение 439

Степень меры 359

— множества 355
«— системы множеств 357
Строение класса множеств, измери-
мых по Лебегу 312 и далее
Структура 48

Струна 524—527
Сумма множеств 17

— — упорядоченная 41

— операторов 257

— порядковых чисел 42

— функционалов 212

— элементов векторного простран-
ства 128

Суммируемая функция 336, 337, 351
Суммы Дарбу 352

— фейера 476

Сходимость в пространстве К. 236

— — — Li 431, 443—446

— — — Ls 439, 443—446

— - - ^оо 250

— — — Z 521, 522

— — среднем 431

— — — квадратичном 439

— по мере 330, 445

—— последовательности в простран-
стве метрическом 69

— — — — топологическом 105

— — функций, сравнение разных
видов 444—446

— почти всюду 328, 445
Счетная аддитивность меры 293, 307,
313

— — — Лебега 299

— база 103

— — у вполне ограниченных метри-
ческих пространств 124

— компактность 121
Счетно-гильбертово пространство 200
Счетное множество 27, 31
Счетно-компактное   топологическое

пространство 121
Счетно-нормированное пространство

199
Счетно-предкомпактное   множество

123
Счетность множества рациональных

чисел 28

— ортогональной системы в сепара-

бельном евклидовом пространстве

160

Счетный базис меры 435
Сюръекция 21

Теорема Арцела 128—130

— — обобщенная 133

— Банаха о замкнутом графике 263

— — об обратном операторе 259
г— Банаха—Штейнгауза 596

— Бэра 82

—- Вейерштрасса 164, 170, 447, 453,
468

— Винера 603

— Гельфанда—Наймарка 607

— Гильберта—Шмидта 283, 284

— Егорова 329

«•- Кантора— Бернштейна 34

«— Карлесона 472

—^ Лебега о восстановлении абсо-
лютно непрерывной функции по
ее производной 396

«- — — дифференцируемости моно-
тонной функции 372

«— — — предельном переходе 346

i— Леви 347

— Лузина 334

— Люстерника о касательном мно»
гообразин 571

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

620

Теорема Люстерника о касательном
многообразии в разложимом слу-
чае 572

—— о банаховой алгебре, изоморфной
полю С 596

— — вложенных шарах 81

— — выборе счетного подпокрытия
в пространствах со счетной базой
105

— — выделении   подпоследователь-
ности, сходящейся почти всюду,
ич последовательности, сходящей-
ся по мере 331

— — гомеоморфности  непрерывной
биекции компакта в каусдорфово
пространство 118

— — гомоморфизме банаховой ал-
гебры в алгебру непрерывных

функций 601, 602
»— — дифференцировании интеграла

по верхнему пределу 380. 387
i— — дифференцируемое™ функций

с ограниченным изменением 385

— — достижении нижней грани по-
лунепрерывной функции 121

i— — зависимости решения диффе-
ренциального уравнения от на-
чальных данных 569

'— — замкнутости компакта в объ-
емлющем хаусдорфовом простран-
стве 117

— — — множества компактных опе-
раторов 277

— — компактности замкнутого шара
в пространстве, сопряженном сепа-
рабельному   нормированному  в
смысле ^-слабой топологии 234

— — — оператора      Гильберта-
Шмидта 529

— — — —, сопряженного компакт-
ному 279

— — — произведения   операторов,
один из которых компактен 279

— — — спектра элемента алгебры
594

— — композиции измеримых функ-
ций 323, 325

«— — метризуемости единичного ша-
ра в пространстве, сопряженном
сепарабельному   нормированному
232

>— — множителях Лагранжа 582

'— — мощности множества всех под-
множеств 35

— — наличии счетной базы у сепа-
рабельных    метрических    про-
странств 104

— — неподвижной точке 88

— — непрерывном образе компакт-
ного пространства 117

—— — непрерывности композиции не-
прерывных отображений 109

— — непустоте спектра 271, 594

— — неявной функции, дифферен-
цируемость 567

— — — —, существование 565

— — нормальности компакта 117

— — пересечении выпуклых мно-
жеств !50

—— — — колец 51

в— — — топологий 101

— — полной и замкнутой ортого-
нальных системах 176, 179

Теорема о полной ограниченности
счетно-компактного  метрического
пространства 125

— — полноте произведения полных
ортогональных систем 455

—— — — пространства Li 431

— — — — L, 439, 440

— — — —, сопряженного к норми-
руемому 213

»— — полуаддитивности меры, задан-
ной на кольце 306

— — пополнении метрического про-
странства 84

— — почленном дифференцировании
ряда из монотонных функций 378

— — предкомпактности ограничен-
ных множеств в Е* в смысле
слабой топологии 234

— ~ продолжении меры с полу-
кольца на порожденное им кольцо
304, 308

— — прообразе  пересечения  мно-
жеств 22

— — — суммы множеств 22

— — пространстве, сопряженном к
гильбертову 217, 218

— — —, — — счетно-нормированно-
му 220

— — прямом произведении полуко-
лец 357
'— — равенстве норм оператора и

его сопряженного 266

—— — равномерной непрерывности не»
прерывного отображения метриче-
ского компакта 132

'— — разделении  выпуклых  мно-
жеств 209

— —  разложении абсолютно не-
прерывной функции в разность
монотонных абсолютно непрерыв-
ных функций 394

—— — — гильбертова пространства в
прямую сумму подпространства и
его ортогонального дополнения 185

— — — заряда 401

— — — монотонной  функции  на
функцию скачков и непрерывную
372

_ — — отображения по формуле
Тейлора 564

в— — — функции с ограниченным из-
менением в разность монотонных
385

f— — связи выпуклых функционалов
и выпуклых множеств 154

— — сепарабельности пространства
Li 435

— — слабой сходимости последова"
тельности элементов нормирован-
ного пространства 226

«- — — — — функционалов на ба-
наховом пространстве 230

— — собственных векторах и соб-
ственных числах компактного one"
ратора 281, 283

— — совпадении компактности и
счетной компактности для про'
странств со счетной базой 122

— — спектральном радиусе 271, 596

— — спектре ограниченного опера-
тора 270, 271, 596
'— — сравнении интеграла Римана

с интегралом Лебега 352

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

621

Теорема  о сравнении  интеграла
Римана—Стилтьеса с интегралом
Лебега—Стилтьеса     412

— — сравнимости порядковых чи-
сел 43

— — среднем 416

— — строении минимального коль-
ца над полукольцом 54

— — суммируемости производной мо-
нотонной функции 390

—— — существовании   базиса   под-
пространства   гильбертова   про-
странства 185

— — — кривой наименьшей длины
между двумя точками метриче-
ского компакта 126

— — — минимального кольца 51

— — — минимальной сг-алгебры 55

— — — предельной точки у беско-
нечного подмножества компактного
пространства 116

— — — сильной производной 556
'— — сходимости метода Ньютона
585

— — — по мере последовательности,
сходящейся почти всюду 330

— — — ряда Фурье в точке 469

————— равномерной 474, 475

— — счетности множества точек раз-
рыва монотонной функции 369

— — фактор-алгебре 597

— — а-аддитивности прямого про-
изведения мер 359

— об абсолютной непрерывности не-
определенного интеграла Лебега

395
,— — аналитичности    резольвенты

элемента алгебры 594

— — измеримости предела последо-
вательности функций 326

— — изоморфизме банаховой алгеб-
ры с алгеброй С рд 602

— — — пространств сепарабельных
гильбертовых 181, 193

— — - — С [а, Ь]* и V \.а, ft] 428

— об обращении оператора, близ-
кого к единичному 265

— — — преобразования Фурье 484
ь— — — — — функции п перемен-
ных 502

— — общем виде линейного функ-
ционала на пространстве гильбер-
товом 217, 218, 443

—--—-—-- С' [а, 6] 428

— — ограниченности   непрерывной
функции на компактном простран-
стве 118

— — — снизу функции, полунепре-
рывной снизу на компактном Гг
пространстве 121

— — — спектра линейного операто-
ра 270

— — отделении  непересекающихся
выпуклых подмножеств в вещест-
венном линейном пространстве 161

— — открытом отображении 261
«— — открытости множества обра-
тимых операторов 265

—• — ортогонализации 171, 172

— — условиях счетной компактно-
сти 121

— — условном экстремуме 582

—= отделимости (первая и вторая)209

Теорема Пеано 130

— Планшереля 504, 505

— Радона—Никодима 405

— Рисса об общем виде линейного
функционала на С la, Ь] 423, 427

— Рисса—Фишера 178

— Стоуна—Вейерштрасса 603

— Стоуна—Чеха 606

— Тихонова 606

— Урысона о метризуемости 115

— — — продолжении 113

— Фату 350

— Фейера 457, 476

— — для пространства Li 481

— Фубини 364

— — «малая» 378

— Хана—Банаха 156

— — — в пространстве комплексном
159

— — — — — нормированном 196

— Хаусдорфа 48

— Хелли вторая 422

— — первая 420

— Цермело 47

Теоремы Фредгольма для уравнений
в пространстве банаховом 542

— — — — — — непрерывных функ-
ций 543

— — — — е ядром вырожденным
534—536

— — — — — — произвольным

537—540

— — — — — — симметрическим 534

Теория множеств 17, 47

— обобщенных функций 235 и далее
Тождество Гильберта 595
Топологическое пространство 98

— — линейное 194

— — со счетной базой 103
Топология 98

— в множестве максимальных идеа-
лов 601

— — счетно-нормированном    про-
странстве 199

— дискретная 99

—, порожденная системой множеств
101

—, способы задания 113

—— тривиальная 99

— ядерно-выпуклая 198
Тотальная система векторов 180
Точечный спектр 270
Точка внутренняя 72

— изолированная 69

— неподвижная 88

— предельная в пространстве ме-
трическом 69

— — — — топологическом 99
Точка прикосновения в простран-
стве метрическом 68

— — — — топологическом 99
Точки невидимые слева 374

—- — справа 373, 378

— общего положения в линейном
пространстве 152

— разрыва монотонной функции 369

— — первого рода 369

Точная верхняя или нижняя грань 48

Транзитивность 38

Трансфинит 42

— to 40

— (Oi 46

Трансфинитная индукция 48

622 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Трансфинитное порядковое число 42
Трансцендентное число 33
Тривиальный идеал алгебры 592
Тригонометрическая система на от-
резке [—я, я] 447

— — — — [0, л] 451

— — — плоскости 457
Тригонометрический ряд Фурье 448

— — — в комплексной форме 452

— — — для функций п переменных
457

Угол между векторами 168
Умножение в алгебре 589
Упорядоченная сумма 41
Упорядоченное множество 40

— произведение 42
Уравнение Абеля 523

—— Вольтерра 96

— — второго рода 524, 542

— — первого рода 524

—— колебаний струны 527

|— равновесия нагруженной струны

526
'— теплопроводности 498, 503

— Фредгольма второго рода 95, 524

—— — — — с симметрическим ядром
531, 532

— — первого рода 524

— — — — абстрактное 543
Условие Дини 469, 475

— Липшица 77

Условия сжимаемости 89—91

Условный экстремум 583

фактор-алгебра 597
Фактор-пространство пространства
банахова 165

— — линейного 144

—— — нормированного 164

Формула для спектрального радиуса
элемента алгебры 596

>— конечных приращений для ото-
бражения 553—555

>— Ньютона—Лейбница 389

—— — — обобщенная 559

— обращения для преобразования
Фурье 486, 501

—— Родрига 455

— Тейлора для отображений 564

— Фурье 484

— — комплексная 486

Фундаментальная    последователь'
ность точек в метрическом про-
странстве 78

Функции Лагерра 461

— —, полнота 495

— Эрмита 460

— — как собственные функции пре-
образования Фурье 507—511

— —, полнота 495
функционал 120, 145

— аддитивный 145
>— выпуклый 152

—— дифференцируемый 557

— линейный 145

— —, геометрический смысл 147 и

—далее

— в не непрерывный 203

— — непрерывный 202

—   — на пространстве гильёерт»

— ом 217

Функционал линейный непрерывный
на пространстве нормированном 205
~ —Q — — — счетно-нормированном

—---- С [о, и] 423

————— С [а, и] 428

————— со 216

— - - - - г„ 1р 217

— - _ _ _ рл 215

— — —, примеры 205—207

— — ограниченный 203—205

— —, примеры 146, 147

— Минковского 154

— мультипликативный 598

— непрерывный 202

— однородно-выпуклый 153

— — на комплексном пространстве
1 59

— однородный 145

— положительно-однородный 152

—, разделяющий множества 160, 209

— сопряженно-линейный 145

— сопряженно-однородный 145
Функция 20

— абсолютно непрерывная 392

— абстрактная 557

— весовая 458

— Дирихле 328, 353

— измеримая 323

—, — по Борелю 323

— монотонно неубывающая (невоэ-
растающая) 368

"- непрерывная в пространстве ме-
трическом 65

—- — — — топологическом 106

— обобщенная 237

— основная 236

— простая 335

— распределения 413

— с интегрируемым квадратом 437

— — — — комплексная 444

'— ограниченным изменением 381

— сингулярная 398

— суммируемая 337, 338, 351

— финитная 235

— Хевисайда 242

'— В-измеримая 323

— ц-измеримая 323

— (@^, © J-измеримая 323

Характеристическое свойство евкли-
довых пространств 188
Хаусдорфова аксиома отделимости

111
Хаусдорфовы пространства 111

Центрированная система множеств
116

Цепь в частично упорядоченном мно-
жестве 47

Частичная упорядоченность 38

— — топологий 101
Число алгебраическое 30

— производное (верхнее,  нижнее,
левое, правое) 372, 373

— трансфинчтное 42
«- трансцендентное 33

ПРЕДМЕТНЫЙ  УКАЗАТЕЛЬ

623

Шар замкнутый 68

— открытый 67

Шара центр и радиус 68

Эквивалентность множеств 31

— норм 166, 199

Эквивалентные функции 327, 405
Экстремальние задачи 573 и далее

— — с ограничениями 582
Экстремум функционала 575

— —, необходимые условия 575, 582
Элементарное множество на плоско-
сти 289
Эрмитово-сопряженный оператор 268

Ядерно-выпуклая топология 198, 203
ЯДРО Гильберта—Шмидта 528, 534

— Дирихле 468

— интегрального уравнения Фред-
гольма 95, 528

— итерированное 548

— линейного оператора 251

— — функционала 147

— множества в пространстве линей-
ном 149

— — — — нормированном 209

— произведения двух интегральных
операторов 546—550

— Фейера 478

В*-алгебра 606

В-измеримая функция 323
В-множества 55

В-пространство 162
С-свойство 334

^-мерная грань симплекса 152
п-лииейное отображение 563
п-мерное пространство арифметиче-
ское 140

— — евклидово 59

п-мерный симплекс 152

п-я производная отображения 560

— степень меры 359

— — множества 355

— — системы множеств 357
7',-пространство 109, 195
Га-пространство 111
6-алгебра 54
6-кольцо 54

— измеримых множеств 315
6-функция 146, 207, 229, 230, 237,
472

—, производная 238

— смещенная 238
е-окрестность 68
е-сеть 124

ц-измеримая функция 323
4-эквивалентные функции 405
сг-аддитивность интеграла Лебега 342,
346

— меры 293, 295, 299, 307, 313

— — Лебега 343, 346
0-алгебра 54

— измеримых множеств 295—297,
313, 315

— неприводимая 55
о-кольцо 54
(7-конечная мера 316
^-слабая топология 231

Учебное издание

КОЛМОГОРОВ Андрей Николаевич
ФОМИН Сергей Васильевич

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Заведующий редакцией Е. Ю. Ходан

Редактор С. А. Смагин

Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректор и. У. Кришталь

ИБ № 32770

Сдано в набор 24.10.88. Подписано к печати 20.04.89.
Формат 84 Х 108/32. Бумага тип. №2. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 32,76. Усл. кр.-отт. 32.76.
Уч.-изд. л. 33,17. Тираж 35000 экз. Заказ № 596. Цена 1 р;50к..

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Ленинградская типография X» б ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государствен-
ном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книж-
ной торговли, 193144 г, Ленинград, ул. Моисеенко, 10,