БВК 22.18 Efll УДК 517 РЕЦЕНЗЕНТЫ! кафедра высшей математики Московского энергетиче- ского институте (зав. кафедрой — проф. С, И. П о х о- м а • в); В. А. Тр е № о г и и — д-р физ.-мат. наук (Мос« ковсмий институт стели и сплавов) Ефимов Д. В. Е91 Математический анализ (специальные раз- делы). Ч. I, Общие функциональные ряды и их приложение: Учеб. пособие для втузов,—М,: Высш. школа, 1980.—279 с., ил. В пер.: 65 к. В книге излагаются основные понятия комплексны! чисел; теории функций комплексной переменной; числовые, общие функ- циональные и степенные ряды в комплексной области; общие ор- тогональные и тригонометрические ряды Фурье; теория вычетов и операционное исчисление. Предназначается для студентов втузов, ^ 20203-388 1702050000 . ББК 22•tв 001(01)-80 34-00. 1702050000 g^g <& ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1980 ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящее время математика превратилась в повседневный инстру- мент исследований не только таких наук, как механика, физика, хи- мия, астрономия, но и таких, как экономика, биология, медицина, языкознание. Вторжение математики во все области научной и прак- тической деятельности продолжается с возрастающей интенсивностью. Идет прогрессирующий процесс математизации всех наук. Этому зна- чительно способствует быстрое развитие вычислительной техники и ее применений в самых различных областях науки и техники. Для точ- ного решения большинства задач технического, экономического или биологического характера необходимо прежде всего, чтобы эти задачи были переведены на математический язык, после чего они уже полу- чают какое-либо решение. И совершенно очевидно, что наиболее труд- ной частью в этой цепи является именно «перевод» задачи на матема- тический язык. Это объясняется тем, что для правильной математи- ческой формулировки инженерно-технической или какой-либо другой проблемы необходимо знание не только той науки, из которой возник- ла эта проблема, но необходимы также и определенная математическая культура, математические познания. Требования к математической подготовке современного инженера постоянно возрастают. Это предъявляет ряд новых требований к его научной квалификации. Кроме хороших знаний по своей специаль- ности инженеру-исследователю необходимо знать и уметь использо- вать в своей практической деятельности возможности вычислительной техники, современные математические методы. Следует иметь в виду, что применение быстродействующих вычислительных машин сделало весьма актуальным усовершенствование и развитие численных методов решения задач, привело к их переоценке. Многие вычислительные методы, приводящие к громоздкому счету и считавшиеся при ручном счете непрактичными, оказались сейчас вполне рабочими. Ценным оказывается тот метод, который допускает простую реализацию на ЭВМ. Напротив, метод, основанный на частных особенностях задачи или на искусстве вычислителя, оказывается мало пригодным для использования на ЭВМ. Поэтому инженер в своей практической де- ятельности должен уметь выбирать комбинации различных известных методов и осуществлять их реализацию на ЭВМ. В целях более прочного изучения возможностей математических методов и вычислительной техники большинство дисциплин учебного плана подготовки инженера сейчас ориентируется на использование математических и вычисли- 4 Предисловие тельных средств как современного инструмента решения задач инже- нерной и научно-исследовательской практики. Данное пособие представляет собой обработку курса лекций, которые автор на протяжении ряда лет читал студентам отдельных спе- циальностей Московского, института электронной техники. Пособие может быть использовано как студентами вузов с повышенной мате- матической подготовкой, так и студентами, занимающимися по ут- вержденной в 1979 г. программе по высшей математике. Пособие мо- жет быть использовано также при изучении таких спецкурсов по выс- шей математике, как, например, теория функций комплексного пере- менного. В отличие от ряда втузовских учебных пособий в настоящем посо- бии приближенные методы решения многих задач приводятся не в раз- деле вычислительных методов, а в тех разделах, к которым относятся данные задачи. Так, методы убыстрения сходимости рядов Куммера, Эйлера и Малиева даны при изложении применения рядов; быстрый алгоритм реализации дискретного преобразования Фурье приводит- ся непосредственно за спектральными характеристиками интеграла Фурье; методы Ритца, Галеркина и Канторовича изложены в'разделе вариационного исчисления. К целому ряду численных методов приве- дены программы их реализации на ЭВМ, разобраны примеры решения конкретных задач на ЭВМ «Наири» или ЕС-1020. Теория рядов изла- гается в комплексной области. Такой подход позволяет избежать ряда повторений, обойтись без оценки остаточных членов при разложении в ряды Тейлора. При написании пособия использовалась в основном литература, рекомендованная в программе по высшей математике. При исполь- зовании другой литературы сделаны соответствующие ссылки. Содержание пособия разбито на главы, параграфы и пункты. Нумерация формул и теорем сделана по параграфам. При ссылках на теоремы и формулы в данном параграфе указывается один номер, при ссылках на другой параграф той же главы указывается двойной номер, например (2.11)—первая цифра указывает номер параграфа, а при ссылках на другую главу указываются номер главы, параграфа в этой главе и формулы, например (IV.2.1), или теоремы, например IV.2.1. Начало доказательства теорем и различных предложений отме- чается значком ^, конец доказательства—значком ^, а в конце ре- шения примеров в некоторых случаях (там, где не сразу видно, что решение примера или задачи окончено) ставится значок •• Автор благодарен Л. В. Лапенко и С. А. Фоминой за подготовку рукописи настоящего пособия, а также сотрудникам кафедры высшей математики, принявшим участие в обсуждении рукописи. Автор выражает признательность профессорам В. А, Треногину и С. И. Похожаеву и доцентам МЭИ А. И. Киселеву, М. Л. Краснову, А. Л. Павлову и А. М. Седлецкому за сделанные ими при рецензиро- вании замечания, апособствующие улучшению настоящего пособия. Автор ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Абель (Abel//) Адамар (Hadamard I.) Бессель (Bessel F.) Бляшке (Blaschke W.) Борель (Borel E.) Бромвич (Bromwich Т. J. I, А.) Буняковский В. Я. Вебер (Weber Н.) Вейерштрасс (Weierstrass О.) Галеркин Б. Г. Гаусс (Gauss С. F.) Даламбер (D'Alembert I.) Дарбу (Darboux G.) Дирак (Dirac G. A.) Дирихле (Dirichlet P.) Дюамель (Duhamel I.) Дюбуа-Реймонд (Du Bois-Reymon' Жордан (Jordan С.) Жуковский Н. E. Кантор (Cantor G.) Канторович Л. В. Карсон (Carson J. R.) Кирхгоф (Kirchhoff G.) Коши (Cauchy A.) Кристофель (Christoffel M. В.) Кули (Cooley J. W.) Куммер (Kummer Б.) Лагранж (Lagrange J, L.) Лаплас (Laplace P. S.) — преобразование (75); — признак Ди- рихле — А. (75); —теорема (89) — формула Коши — А. (91) — уравнение (118);—функции (119, 120) — ряд Фурье — Б. (138); — нера- венство (140) — функция (103) — теорема (238) — 229 — неравенство Б. — Коши (136) — функции (120) — теорема (86); — признак (80); — второй признак (82) — метод (3) — интеграл (249) — признак (68) — формула Кристофеля — Д. (135) б-функция (194) — признак Д. — Абеля (75); — ряд (73); ядро, интеграл (147) — интеграл (239) Р.)-(148) — лемма (217) — функция (37) — теорема (18) '— метод (3) (229) т— второй закон (256) — интеграл (51); —интеграл типа К. (57); — теоремы (48, 51); — условия К. —Римана (21);—критерий (14,60); признак (70);— интегральный приз- нак (71); — формула К. — Адамара (91); — пример (94); — неравенство Буняковского — К. (136) — формула К. —Дарбу (135) — (192) — метод (110) — теорема (168) —— — преобразование, оператор, интеграл (228—230) : Лебег (Lebesgue H.) Лежандр (Legendre А. М.) Лейбниц (Leibniz G. W.) Липшиц (Lipschitz R.) Лиувилль (Liouville I.) Лопиталь (de L'Hospital G. F.) Лоран (Laurent P. J.) Льюис (Lewis P.) Маклорен (Maclaurin С.) Малиев А. С. Меллин (Mellin H.) Морер (Morera G.) Муавр (de Moivre A.) Нейман (von Neumann J.) Парсеваль (Parseval М. А.) Пуассон (Poisson S. D.) Радемахер (Rademacher H.) Риман (Riemann В.) Родрнг (Rodrigues О.) Руте (Rouche E.) Сохоцкий Ю. В. Таки (Tukey J. W.) Тейлор (Taylor В.) Третьяк (Tretiac О. J.) Уолш (Walsh J. L.) Уэлч (Welch P.) Фурье (Fourier J.) Хевисайд (Heaviside 0.) Хемминг (Hamming R. W.) Хуан (Huang Т. S.) Чебышев П. Л, Шварц (Schwartz H. A.) Шрейбер (Schreiber W. E.) Штурм (Sturm R.) Эйлер (Eiler L.) Якоби (Jacobi К. G. J.) — лемма Римана —Л. ()45);—ieoue»ia (167) — полиномы (131) — признак (74); — ряд (77) — условие (105) — теорема (58); — задача Штурма — Л. (129) — правило (126) — ряд (204); — теорема (206) — (192) — ряд (94) — метод (157) — теорема, формула (241) — теорема (58) — формула (9) — функции (120) — равенство (141) — интеграл (216) — система функций (126) — сфера (10); — поверхность (16, 41)! — условия Коши — Р. (21);— лемма Р. — Лебеге (145);—теоремы (30, 67) — формула (132, 136) — теорема (225) — теорема (209) — (192) — ряд (93); — теорема (94) — (199) — система функций (136); — ряд Фурье — У. (136) — 192 — коэффициенты, ряд (137); —тео- рема о сходимости ряда Ф. (149); — ряд Ф. — Бесселя, ряд Ф. — Уолша (138); — интеграл (165); — преоб- разование (169); — дискретное и быстрое преобразования Ф. (192) — преобразование (230), единичная функция X. (231) — (194) — (199) — полиномы (132) — неравенство (136) — (199) — задача Ш. — Лиувилля (129) — формула (7);—Г-функция Э. (120);— метод (113) — полиномы (134) ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютно сходящийся ряд 63 Алгебраическая форма комплексного числа 6 Алгоритм «быстрого преобразования Фурье» 192, 198 — реализации ДПФ 199 Амплитудный спектр интеграла Фурье 175 —— ряда Фурье 172 Аналитическое продолжение 103 Аналитическая в области функция 20, 101 Аргумент функции 15 — производной (геометрический смысл) 27 Бесконечно удаленная точка 10 Биномиальный ряд 98 Блок-схема алгоритма БПФ 200 Вычет функции 213—215 Вещественная часть комплексного числа 5 Внутренняя точка множества 10 Гамма-функция Эйлера 120 Гармонический ряд 61 , Гиперболические функции 20, 44 Главная часть ряда Лорана 205 Главное значение аргумента 7 . ——натурального логарифма 19 Гладкая кривая в плоскости 11 Граничная точка множества 10 Двулистная риманова поверхность 16 Дискретные преобразования Фурье 192 Дискретный спектр 195 Дифференцируемая функция 20 Дробно-линейная функция 19, 32 Задача Штурма-Лиувилля 129, 133, 134 Замкнутая область 10 Замкнутый контур 11 Знакочередующиеся ряды 74 Изображение 230 —, дифференцирование 235 ; — единичной функции Хевисайда 231 —, интегрирование 237 Изображение производной 234 — свертки 238 Изолированная особая точка 207 ——— z==oo 211 Импульсная функция 194 Инверсия 30 Интеграл Гаусса 249 • — Дирихле 147 — Дюамеля 239, 240 — по комплексной переменной 45 — — кривой 45, 46 — Пуассона 187, 216 — типа Коши 57 — Фурье, 166 —— в вещественной форме 169 Комплексная плоскость 5 Комплексное число 5 — —, алгебраическая форма 6 — —, аргумент 6 — —, возведение в степень 9 — —, корень натуральной степени 9 — —, модуль 6 — —, показательная форма 7 ——-, прелс.'' последовательности 11 — — сопряженное 6 ——, тригонометрическая форм» 7 Комплексные числа 3—9 — —, аргумент произведения 8 — —,— частного 8 — —, модуль произведения 8 — —,— частного 8 — —, равные 5 — —, разность 6 — —, сумма 6 — —, частное 6 Конформное отображение в точке 27, 28, 29, 30 — т- в области 28 — — второго рода 29 Коши — Римана условие 21, 23 Коэффициенты разложения функции — Фурье 137, 146 — Фурье — Бесселя 138 — Фурье — Уолша 138 Критерий Коши 14, 60, 78, 80 Круг сходимости степенного ряда 90 Кусочно-гладкая кривая 11 Лемма Жордана 217, 219 — Римана—Лебега 145 274 Линейная функция 19, 30 Линия без искажения 268 Логарифмическая производная 222 — функция 19, 42 Линия без потерь 258, 260, 262 Мажорируемый ряд 81 Метод Куммера 110 — Малиева 157 — Эйлера 113 Мнимая единица 5 — часть комплексного числа 5 Многочлены Лежандра 132 — Чебышева 133 Модуль производной (.геометриче' ский смысл) 27 Натуральный логарифм 19 Неопределенный интеграл 50 Непрерывный спектр 195 Неравенство Бесселя 140 — Буняковского—Коиги 130 — Шварца 136 Нормализованная энергия 170 Обертон 179 Область в комплексной плоскости К) — значений функции 15 — многосвязная 11 — односвязная 11 Однолистная функция 17 Однородные уравнения 129 Оператор Лапласа 229 Операционный метод 229 Оригинал 229, 230 —, интегрирование 236 .—, теорема существования 243 Ортогональная система функций 123 ———, с весом 123 Ортогональный ряд 136 Ортонормированная система функ- ций 123 '———, с весом 123 Основная частота 154 Основной тон 179 Особая точка 105 —— изолированная 207, 211 Отображение двуугольника 35 — дробно-линейное 32, 33, 34 — окружности 31, 32 .— сектора 36 Параметрическое представление кои' вой 10 Первообразная 50 Показатель роста функции 229 Показательная ферма комплексного числа 7 , , : — функция 19, 41 Полином Лежандра 131 Полиномы Якоби 135 — Чебышева 133 — ультрасферические 135 Полные ортогональные системы 141 Полюс целого порядка 207, 208 Правильная точка 105 — часть ряда Лорана 205 Предел последовательности 12 — функции 17 Преобразование Абеля 75 — Лапласа 229 — Фурье 169, 170, 193 ——дискретное, алгоритм 198—203 — Хевисайда 230 Признак Вёйерштрасса 80, 82 — Даламбера 68 — Дирихле — Абеля 75 — Коши 70 — — интегральный 71 — Лейбница 74. 76 — сравнения 66 — — предельный 67 Пример Коши 94 Принцип максимума модуля 54 — соответствия границ 29 Программа вычисления ДПФ 201 Произведение рядов 65 Производная от функции 20, 21, 23 Равенство Парсеваля 141 Равномерная сходимость ряда 80 Равные комплексные числа 5 Радиус круга сходимости 90 Разложение Фурье функции 137 Расширенная плоскость 10 Рациональная функция 19 Римановы поверхности 105 Ряд Дирихле 73 — Лорана 204 — Маклорена 94 —, сходящийся в области 77, 80 —,— точке 77 — Тейлора 94 — —, искусственные приемы разло- жения 100 —- —, разложение биномиальной функции 97 — —, — логарифмической функции 98 — —, — показательной функции 96 — —,— тригонометрических фуакций 96 — —, — функции arctgz 98 — Фурье 148, 150, 152, 153, 180 — — в комплексной форме 154 . ——, основные задачи 148 \ ——.спектральная функция 171. 175 275 Ряд Фурье — Бесселя 138 — Фурье—Уолша 138 — числовой 59 Свертка функций 238 Свойство постоянства растяжения 27 Символ е ф 7 Символическое исчисление 229 Симметричные относительно окруж' поста точки 31 Система, полная на отрезке 141 — функций Бесселя 124 —— Радемахера 126 —— Уолша 127 Собственная функция 129 Собственное число 129 Спектр плотности энергии 170 Спектральная функция (плотность) 171 Степенная функция 19, 23, 35. Степень комплексного числа 19 ———, произвольная 19 Сумма комплексных чисел 6 Сумма ряда 59 Суперпозиция отображений 16, 36 Существенно особая точка 207, 209 Сфера Римана 10 Сходимость ряда функционального 77, — — числового 53 Сходящиеся ряды 61, 62 Телеграфные уравнения 256 Теорема Абеля 89 — Бореля 238 — Вейерштрасеа 86 — единственности аналитических 4)ункций 103 Теорема запаздывания 233 — Кантора 18 — Коши 48 — Лиувилля 58 — Лорана 206 — Меллина 241 — Морера 58 — обращения 245, 249 — о логарифмическом вычете 223 — — пределах 12 — — среднем 53 — (основная) высшей алгебры 226 — Римана 30, 66 — Руше 225 — смещения 234 — Соходского 209 — существования оригинала 243 — Тейлора 94 Тригонометрическая система функ- ций 123 — форма комплексного числа 7 функции 20, 42 ряд Фурье 138 относительно Тригонометрические Тригонометрический Точки ветвления 17 —, симметричные окружности 31, 33 Уравнение Бесселя 118 — диффузии 254 — теплопроводности 252 Уравнения длинной линии 256 — линий конечной длины 259 Условно сходящийся ряд 64 Устранимая особая точка 207, 208 Фазовый спектр интеграла Фурье 175 —— ряда Фурье 172 Формула Коши 51, 53 — Коши — Адамара 91 — Кристоффел-я —^ Дарбу 135 — Меллииа 241 — Муавра 9 — Родрига 132, 134, 13? — Эйлера 7 Функция 15, 19 —, аналитическая в области 24, 25 —, — — —, свойства 24—26 — Бесселя первого рода 119, 120, 124, 189 — — второго рода 120 —— полунечетиого порядка 120 — Вебера 120 — Жуковского 19, 37 — комплексной переменной 15 — кусочно-гладкая 145 — кусочно-непрерывная 145 — логарифмическая 19 — многозначная 15 — Неймана 120 —, непрерывная в области 18 —, — — точке 18 —, обратная к функции Жуковско- го 40 — однозначная 15 — однолистная 17, 2& — ошибок 249 — показательная 19 — равномерно непрерывная в обла- сти 18 Частные суммы ряда 59 Ядро Дирихле 147 .^-окрестность точки ТО 6-функщия Дирака 194, 233 е-окрестность точки 9, 10 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ............... s 3 ! ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ . . 5 § 1. Комплексные числа и действия над ними .... .... 5 1. Определение комплексных чисел (5). 2. Модуль и аргумент комплексного числа: тригонометрическая и показательная формы (6) § 2. Основные геометрические понятия. Предел последовательности . 9 1. е-Окрестность. Расширенная плоскость (9). 2. Множества, ооласти, кривые (10). 3. Предел последовательности (11) § 3. Функции комплексной переменной . . . . . . . . . 15 t. Определение функции. Геометрический смысл (15). 2. Предел и непрерыв- ность функции (17). 3. Элементарные функции (18) § 4. Дифференцирование функций комплексной переменной ... 20 1. Производная. Аналитичность функции (20). 2. Свойства аналитических функций (24). 3. Геометрический смысл модуля производной (26). 4. Геометри- ческий смысл модуля производной (27) II КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ................ 28 § 1. Некоторые свойства конформных отображений . . . . . . 28 I. Определения. Основные свойства (28). 2. Существование заданных конформ- ных отображений (30) § 2. Отображения, осуществляемые линейной и дробно-линейной функ- циями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1. Линейная функция w—az+Ь (30). 2. Функция ai—l/z. Инверсия (30). 3. Дроб- но-линейная функция (32) § 3. Отображения, осуществляемые степенной функцией и функцией Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 I. Степенная функция ю—г", п > 2 (35). 2. Функция Жуковского (37) § 4. Отображения, осуществляемые показательной, логарифмической и тригонометрическими функциями . . . . . . . . . . . 4} 1. Показательная и логарифмическая функции (41), 2. Тригонометрические функции (42) til ИНТЕГРАЛЬНЫВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . , 45 § 1. Интеграл по комплексной переменной . . . . . . , . 45 1. Определение. Основные свойства (45). 2. Теоремы Коши (47). 3. Неопреде- ленный интеграл в комплексной области (49) § 2. Интеграл Коши и его применение . . . . , , . . . ,61 I. Доказательство интегральной формулы Кошя (51). 2. Свойства аналитических функций (53). 3. Дифференцирование интеграла по параметру (55). 4. Интеграл типа Коши и его Применение (67) IV ЧИСЛОВЫЕ И ОБЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ..... 59 § 1. Числовые ряды. Абсолютная сходимость . . . . . . . .59 1. Основные понятия сходимости числового ряда (59). 2. Свойства сходящихся рядов (61). 3. Абсолютная и условная сходимость (63) § 2. Достаточные признаки абсолютной сходимости числовых рядов . 66 1. Признаки сравнения (66). 2. Признак Даламбера (68). 3. Признак Коши (70). 4. Интегральный признак Коши (71) § 3. Некоторые достаточные признаки неабсолютной сходимости числовых рядов . . . ................ 74 I. Знакочередующиеся ряды (74). 2. Ряды с произвольными членами (76) § 4. Общие функциональные ряды ........... 77 1. Основные понятия (77). 2. Равномерная сходимость (79). 3. Условия равно- мерной сходимости (80) § 5. Свойства равномерно сходящихся рядов ........ 83 1. Теорема о непрерывности суммы и предельном переходе (83). 2. Теоремы об интегрируемости и дифференцируемое™ рядов (85) V СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ . ... . . . . . . . . . . 89 5 1. Общие свойства степенных рядов . • . . . . . , . . 89 1. Степенной ряд. Теорема Абеля (89). 2. Область сходимости степенного ряда (90). 3. Теорема о свойствах степенных рядов (92) § 2. Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 1. Связь коэффициентов степенного ряда с его суммой (93). 2. Теорема Тей- лора (94) § 3. Ряды Тейлора некоторых элементарных функций ...... 96 1. Непосредственное разложение функций в ряд Тяйлора (96). 2. Ряды Тейло- ра, получаемые интегрированием рядов (98). 3. Искусственные приемы раз- ложения ФУНКЦИЙ в ряд Тейлора (100) § 4. Теорема единственности и ее применение ....... 101 1. Теорема единственности аналитических функций (101). 2. Аналитическое продолжение (103). 3. Правильные и особые точки. Теоремы о границе круга I сходимости (105) VI ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ .......... 107 § 1. Применение рядов в приближенных вычислениях . . . . .107 1. Вычисление значений функций (107). 2. Вычисление пределов и интегралов с помощью рядов (109) § 2. Убыстрение сходимости рядов . . ........ 110 1. Метод Куммера (110). 2. Метод Эйлера (113) 8 3. Интегрирование дифференциальных уравнений . . . . . .115 1. Дифференциальные уравнения вида y"-F(x, у, у') (115). 2. Линейные диф- ференциальные уравнения (117) § 4. Уравнение Бесселя и его решение ...... ... 118 1. Общее решение уравнения Бесселя (118). 2. Функции Бесселя полунечетных порядков. Асимптотические формулы (120). 3. Некоторые дополнительные соот. ношения (121) VII ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ . . ,123 §, 1. Ортогональные системы функций .......... 123 1. Основные определения (123). 2. Тригонометрическая система (123). 3 Систе- •на функций Бесселя (124). 4 Система функций Радемахера (126). В. Система •функций Уолшз (127). 6. Система собственных функций задачи Штурма Лиу. вилля (129) 27S ________________________________ i Qi § 2. Ортогональные полиномы ......•••.•• loi 1, Полиномы Лежандра (131). 2. .Полиномы Чебышева (132). 3. Полиномы Яко- би (134) § 3. Ортогональные ряды . , . . . . . . • • . • .136 1. Неравенство Шварца (136). 2. Ортогональные ряды и ортогональные разло- жения .(136). 3. Задача о наилучшем с.редыенвал.ратическом уклонении (138), 4. Неравенство Бесселя (140 VIII ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ . . , 143 § 1. Общие сведения о тригонометрических рядах Фурье . , < . 143 1. Некоторые .замечания о коэффициентах Фурье (143). 2. Лемма Римана— Лебега !145). '3. Формулы для частных сумм ряда Фурье (147) § 2. Теоремы о сходямости рядов Фурье . . . . . . . . .148 1. Основные задачи о рядах Фурье (148). 2. Теорема о сходимости ряда Фурье кусочно-гадкой функции (149). 3. Теорема о равномерной сходимости (150) § 3. Ряды Фурье функций с периодом I и непериодических функций . 152 .1. Ряды Фурье фудкцнй периода I (152). 2. Комплексная форма ряда Фурье (153). 3. Ряды.Фурье непериодических функций <154) § 4. Метод Малиева разложения функции в быстро сходящийся ряд 156 Фурье 1. Постановка задачи (156). 2. Метод Малиева (157) § 5. Двойные ряды Фурье ....... i..,.. 162 1. Ортогональные системы функций двух леременямк <162). 2. Двойные ряды 'Фурье (162) § 6. Ингегрля Фурье ............... 165 1. Определение (165). 2. Теорема о представимости функции интегралом Фурье (166). 3. Преобразования Фурье (169) IX НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ ................ 171 § 1, Спектральные характеристики ряда и интеграла Фурье . . . .171 1. Определение спектральных характеристик ряда Фурье (171). 2. Амплитудный я фазовый спектры интеграла Фурье (175) § 2. Решение уравнений колебаний закрепленной струны методом Фурье 176 1. Свободные колебания струны (176). 2. Вынужденные колебания закреплен- ной струны (180).-3. Теорема единственности (183). 4. Замечания (184) § 3, Решение уравнений распространения тепла ....... 185 ^ J. Распространение тепла в бесконечном стержне (185), 2, Распространение тепла в однородном цилиндре (188) X ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ НА ЭЦВМ 492 § 1, Свойства дискретного преобразования Фурье . . . , . , 192 1. Предварительные замечания (192). 2. Свертка преобразований Фурье. Сме- шение частот .(193). 3. Переход от непрерывного спектра к дискретному (194). 4, Характер различия непрерывного и дискретного спектров (195). 5. Матрич- ная форма записи ДПФ (196) § 2. Алгоритм быстрого преобразования Фурье . . . . . . . 198 1. Поставовка задачи (198). 2. Алгоритм реализации ДПФ (199), 3, Прямее алгоритма реализации ДПФ при ЙУ-8 (202) XI РЯДЫ ЛОРАНА. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ ^ .. ,. .. ... , , . . s 204 § 1, Ряды Лорана и их применение ........... 204 1. Определение и обл-ас-п, еходтдасти (204). 2. Теорема Лорана (295). 3. Пове- дение аналитической функции э окрестности изолированной особой точки (2071i 4, Потедамие «[алшпмесквй ^уакции в окрестности точки г=оо (211) § 2. Вычеты функции и их применение .......... 212 1. Определение вычета и его вычисление (212). 2. Основные теоремы о вычетах (214). 3. Вычисление интегралов от тригонометрических функций (215). 4. Ин- тегралы от быстро убывающих на бесконечности функций (216), 5, Лемма Жор- дана и ее применение (217). 6. Применение многозначных функций (220) § 3. Логарифмический вычет и его применение ....... 222 1. Теорема о логарифмическом вычете (222). 2. Геометрический смысл теоре- мы о логарифмическом вычете (224). 3. Теорема Руше и ее применение (225), 4. Принцип соответствия границ при конформном отображении (226) XII ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ . . . . ., ... 228 § 1. Преобразование Лапласа. Его аналитичность ,..,.., 228 1. Исторические замечания. (228). 2. Определение оператора Лапласа (229), 3. Область аналитичности оператора Лапласа <229). 4. Изображения некоторых • функций (231) § 1, Свойства изображений ............. 232 1. Линейность (232). 2. Теорема подобия (232). 3. Теорема запаздывания (233). 4, Теорема смещения (234). 5. Изображение производной (234). 6. Дифферен- цирование изображения (235). 7. Интегрирование оригинала (236). 8, Интегри- рование изображу ия (237) § 3. Свертка функций. Интеграл Дюамеля ......... 238 1. Теорема об изображении свертки (138). 2. Интеграл Дюамеля (239). 3. При- менение интеграла Дюамеля к решению дифференциальных уравнений (239) § 4. Обращение преобразования Лапласа ......... 241 1, Теорема Меллина (241). 2. Теорема существования оригинала (243) § 5, Вычисление интеграла Меллина ......... . 245 !. Теорема обращения, использующая лемму Жордана (245). 2. Теорема обра- щения для правильного на бесконечности изображения (249) Xill ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКО- ТОРЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ , .... 253 § 1, Решение уравнения теплопроводности ......... 252 1. Уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня (252). 2. Урав- нение диффузии в непроницаемой трубке (254) § 2. Решение телеграфного уравнения .......... 256 1. Вывод телеграфных уравнений (256). 2. Случай длинных линий (257). 3 06- . щее решение уравнений в случае линий конечной длины (259). 4. Случай разомкнутой на конце х—1 линии без потерь (R—G—O) и постоянном напря- жении q(t)-E (260). 5. Случай линии без потерь с постоянным сопротивлени- ем г на конце х"1 я постоянном напряжении f-E—const (262). в. О веквтощи других применениях операционного исчисления (265) ПРИЛОЖЕНИЯ , . . . ............ 266 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ . . ............ 271 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ........,.,,. 273