А. В. ЕФИМОВ, Ю. Г. ЗОЛОТАРЕВ, В. М. ТЕРПИГОРЕВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (специальные разделы) Часть II ПРИМЕНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДОПУЩЕНО МИНИСТЕРСТВОМ ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЫСШИХ ТЕХНИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ 'МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1980 Александр Васильевич Ефимов Юрий Георгиевич Золотарев Валентина Михайловна Терпигоревэ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ) Ч. II Применение некоторых методов математического и функционального анализа Зав. редакцией Е. С. Гридасова Редактор А. И. Селиверстова Младшие редакторы Н П. Майкова, С. А Доровских Художественный редактор М Г Мицкевич Технический редактор Л. А, Муравьева Корректор Г. И. Кострикова ИБ № 2154 Изд. № ФМ-6546. Сдано в набор 30.0t.80. Подп. в печать 10.10.80. Формат 60Х90/16. Бум. тип, № 2. Гарнитура литера- турная, Печать высокая. Объем 18,5 усл. печ. л, 17,77 уч.-изд. л. Тираж 45 000 экз. Зак. № 1616. Цена 75 коп. Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., 29/14 Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной юрчзвли 129041 Москва, Б. Переяславская ул., 46 ББК 22.16 Е91 УДК 517 РЕЦЕНЗЕНТЫ; кафедра высшей математики Московского энергетиче- ского института (зав. кафедрой — проф. С. И. Похо- жаев); В. А. Треногий—д-р физ.-мат. наук (Московский институт стали и сплавов). Ефимов А. В. и др. Е91 Математический анализ (специальные разделы). Ч. II. Применение некоторых методов математиче- ского и функционального анализа: Учеб. пособие для втузов.—М.: Высш. школа, 1980.—295 с., ил. В пер.: 75 коп. В пособии рассматриваются основы векторного анализа, вариаци- онного исчисления, элементы функционального анализа с применением к решению уравнения Фредгольма и основные численные методы. Предназначается для студентов втузов, 20203—436 ББК 22.16 Е -———————34-80 1702050000 ,,_. 1 001(01)—80 517.2 © ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА», 1980 ПРЕДИСЛОВИЕ Особенностью настоящего пособия является включение в него основных понятий функционального анализа, отсутствующих во втузовских учебниках. Это позволяет изложение приближенных вычислений вес- ти с применением методов функционального анализа, а также знакомит студентов с современными математическими методами решения при- кладных задач. В пособии дается применение векторного анализа к изу- чению свойств различных векторных полей, элементы функциональ- ного анализа применяются в методах неподвижной точки и при реше- нии уравнений Фредгольма. В приближенных вычислениях основное внимание уделено численным методам математического анализа, ре- ализуемым на ЭВМ, с приведением соответствующих программ на ал- горитмическом языке ФОРТРАН. Материалы глав III, IV, V, VIII, IX могут быть использованы при чтении специальных и факультатив- ных курсов для отдельных специальностей. Как и в первой части пособия, начало доказательства различных утверждений отмечено значком ^, а конец —значком ^-. Если место окончания решения примеров недостаточно четко следует из текста, то оно отмечается значком в. Нумерация теорем и формул сделана по параграфам. При ссылках на формулы (теоремы) внутри параграфа указывается только номер формулы, например (5), при ссылках внутри главы — номер параграфа и номер формулы (теоремы), например (2.5), при ссылках на формулу (теорему) другой главы — номер главы, но- мер параграфа и номер формулы (теоремы), например (II 1,2.5). Во второй части пособия главы I, II, VI и VII написаны В. М. Тер- пигоревой, главы III, IV и V — А. В. Ефимовым, главы VIII, IX и X — Ю. Г. Золотаревым. Авторы приносят глубокую благодарность преподавателям кафед- ры высшей математики МИЭТ за полезные советы при обсуждении кни- ги; профессорам В. А. Треногину, С. И. Похожаеву, доцентам М. Л. Краснову, А. И. Киселеву, А. Л. Павлову, А. М. Седлецкому за ценные советы и замечания при рецензировании книги, А. И. Сели- верстовой за большую помощь в улучшений книги при редактиро- вании, Л. В. Лапенко и С. А. Фоминой за подготовку и оформление рукописи. Авторы Именной указатель 287 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ АДАМС (Adams J. С.) АРЦЕЛА (Arzela С.) БАНАХ G. (Banach S.)' БЕРНУЛЛИ И. (Bernoulli 1.) БЕРНУЛЛИ Я. (Bernoulli J.) БЕРНШТЕЙН С, Н. БЕССЕЛЬ (Bessel F. М.) БИО (Biot J. В.) БОГОЛЮБОВ Н. Н. БОЛЬЦАНО (Bolzano В.) БРОУЕР (Brouwer L. Е. J.) БУНЯКОВСКИЙ В. Я. БАЛЛЕ — ПУССЕН (de la Walle PC ussin Ch. J) ВАНДЕРМОНД (Vandermonde А. Г ВЕЙЕРШТРАСС (Weierstrass C.) ГАЛЕРКИН Б. Г. ГАМИЛЬТОН (Hamilton W. R.) ГАУСС (Gauss G. F.) ГЕЛЬДЕР (Holder E.) ГИЛЬБЕРТ (Hilbert D.) ГРИН (Green G.) ДЖЕКСОН (Jackson J. R.) ДИРИХЛЕ (Dirichlet P. G.) ДЮБУА-РАЙМОНД Р. (Du Bois Rey mond P.) ЖОРДАН (Jordan C.) ЗЕЙДЕЛЬ (Seidei L.) — 279, метод — 109, теорема — 102; — 113, пространство; 231, теорема Б. — Штейнгауза — 151, задача о брахистохрона — 151, задача о брахистохроне — 216; — 224, теорема — 142, неравенство — 17, закон Био—Савара — 197 — 106, теорема Б. — Вейерштрасса — 121, теорема — 85, неравенство Коши—Б. )...— 216; — 220, теорема; 223, альтер- напс '.)— 232, определитель — 106, теорема Больцано — В.; 216, теорема — 196; — 201, метод — 38, оператор — 28, формула Остроградского — Г.; 33, формула Остроградского — Г. в векторной форме; 252, формулы; 260, метод — 80, неравенство — 95, 132, пространство; 142, теорема Г. — Шмидта — 21, формула; 60, формулы; /О, функ- ция; 195, формула — 216; — 224, теорема — 66, задача •-— 232, утверждение — 94, мера — 266, метод 288 Именной указатель ЗОЛОТАРЕВ Е. И. КАНТОРОВИЧ Л. В. КОРКИН А. Н. КОШИ (Cauchy A.) КРЫЛОВ Н. М. КУТТ (Kutta W.) ЛЛГРАНЖ (Lagrange J. L.) ЛАМЭ (Lame G.) ЛАПЛАС (Laplace P. S.) ЛЕБЕГ (Lebesgue Н.) ЛИУВИЛЛЬ (Liouville J.T ЛОПИТАЛЬ (de L'Hospital G. Г МАРКОВ А. А. МАРКОВ В. А. МИНКОВСКИЙ X. (Minkowski I НАТАНСОН И. П. НЕЙМАН (von Neuman J.) НИКОЛЬСКИЙ С. М. НЬЮТОН (Newlon J.) ОСТРОГРАДСКИЙ М. В. ПУАССОН (Poisson S. D.) РЕМЕЗ Е. Я. РИМАН (Riemann В.) РИТЦ (Ritz W.) РОЛЛЬ (Rolle М.) РУНГЕ (Runge G.) САВАР (Savart F.) СИМПСОН (Simpson Th.) СТЕЧКИН С. Б. — 216 — 196; — 205, метод — 216 \ — 16), задача; 97, критерий; й5, нера- венство К. — Буияковского; 98, последовательность; 274, задача; 275, формулы Эйлера — К. — 197 — 276, метод Рун re — К. — 170, множители; 232, интерполя- ционный полином — 10, коэффициенты — 59, оператор; 66, уравнение — 84, интеграл — 81, задача Штурма — Л. )— 151, задача о брахистохроне — 216 — 216 )— 86, неравенство — 224 — 66, задача; 129, ряд — 247, метод — 151, задача о брахистохроне; 234, интерполяционные многочлены; 271, 272, метод — 28, формула О. — Гаусса; 33, фор- мула О. — Гаусса в векторной фор- ме; 193, уравнение — 74, интеграл; 66, уравнение; 168, уравнение Эйлера — П.; 193, урав- нение — 226, метод — 84, интеграл — 196; 197, мегод — 242, теорема — 276, метод Р. — Кутта' — 17, закон Био — С. — 246, 256, формула — 240 СТИРЛИНГ (Stirling T.) CTOKC (Stokes G. О.) СУББОТИН Ю. Н. ТЭЙЛОР (Taylor В.) ФРЕДГОЛЬМ 1. (Fredholm J.) ФУРЬЕ (Fourier J.) ХАУСДОРФ (Hausdorff F.) ЧЕБЫШЕВ П. Л. ШАУДЕР (Schauder J.) ШВАРЦ (Schwartz К. Н. А.) ШМИДТ (Schmidt J.) ШТУРМ (Sturm С.) ЭЙЛЕР (Euler L.) 289 — 2о4, формула — 42, теорема, 41, формула — 240 — 171, 181, 241, формула — 117, оператор; 128, уравнение; 128, ядра (итерированные); 207, интег- ральные уравнения — 217 ряды (только упоминание); 285, преобразование — 108, теорема ~ 215, 216, 220, теорема; 223, чебы- шевский альтернанс; 226, много- члены Ч, первого рода; 230, система функций; 258. нера- венство — 121, теорема — 85, неравенство — 138, метод ортогонализации) 142, теорема Гильберта — Ш. — Ы, задача Ш. — Лиувилля — 151, методы решения изопериметрп- ческих задач; 160, уравнение; 168, уравнение Э. — Пуассона; 257, уравнения; 274, метод; 275, форму- лы Э. — Коши 290 Предмегный указатель ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абелева группа 113 Абсолютная погрешность 212 Аддитивный оператор 115, 116 Аксиомы метрики 89 Альтернанс валле-пуссеновский 223 — чебышевский 223 Аффинное преобразование простран- ства 92 Базис пространства 91 —— ортогональный 91 —— ортонормированный 91 Бесконечномерное пространство 115 Брахистохрона 151 Вариация функционала 155, 157, 158, 186 Векторная (силовая) линия 16, 17 — трубка 54 Векторное поле 11 Вектор-функция скалярного аргумен-' та 4 Векторный потенциал поля 57 Векторы (элементы гильбертова про- странства) 132 Весовые коэффициенты 245 Внутреннее (скалярное) произведение векторов 132 Вполне непрерывный оператор 116 — упорядоченное множество 126 Всюду плотное множество 102 Выпуклая оболочка множества 115 Выпуклое множество 115 Вычислительная погрешность 213 Гармоническая функция 62, 64, 65 Геодезическая линия поверхности 172 Главный член погрешности 249 Годограф 4 Градиент 14 —, вычисление 14, 15 —, свойства 14 Дивергенция поля 31 —, вычисление 34, 35 —, свойства 32 Единичный оператор 92 Задача Дирихле 67, 69, 72, 73 — интерполирования 229 — — с кратными узлами 237 — Коши 274 Задача Неймана 67, 68, 70, 71 — оптимизационная 252 — теории приближения 218 Замкнутая кривая 5 — поверхность 28 Замыкание множества 98 Изометрические метрические прост- ранства 101 Изопериметрическая задача 151, (75 Интеграл Пуассона 74 Интегральное представление функции 62, 63 Интенсивность векторной грубки 54 Интерполяционные квадратурные формулы 245 Интерполяционный многочлен Лаг- ранжа 233 — — Ньютона 235, 236 —— Эрмита 237 — полином 229 — — Лагранжа 245 Итерационный метод 259, 264 Итерированные операторы Фредголь- ма 128, 129 — ядра Фредгольма i28, 129 Квадратурная формула 245, 247, 252 Компакт 107 Компактность пространства 112 Компактные множества 107 Конечная разность 236 Контур 5 Координатная линия 8 — поверхность 8 Координатное гильбертово простран- ство 96 Координатные оси 9 Координатный базис 9 Коэффициенты Ламэ 10 Краевая задача 67, !94, 195 Криволинейная системе координат 8 ———• ортогональная 9 Криволинейный интеграл второго ро- да !9 Кубатурная формула 254 Кубический сплайн 240 Кусочно-гладкая кривая 5 — поверхность 7 Лапласиан 59 Лапласово векторное поле 62 Предметный указатель 291 Лемма вариационного исчисления (ос- новная) 159 Линейно независимые элементы 114 — независимые векторы 91 Линейное нормированное пространст- во 113 ———, свойства 114 Линейное многообразие 114 Линейный оператор 126 Линии уровня 13 Локальный базис 9 Матрица ленточная 262 — неустойчивая 260 — плохо обусловленная 260 — устойчивая 260 Метод Адамса 279 — Галеркина 201 — Favcca 260 — Зейделя 266 — Канторовича 196 — Монте-Карло 256 — Ньютона 273 — приведения к обыкновенным диф- ференциальным уравнениям 205 — простой итерации 264, 266 — Рунге—Кутта 278 — точный 259 — Эйлера 274 Мера Жордана 94 Метрика пространства 89 Метрическое пространство 89 Многосвязная область 42 Множества жордановой меры ноль 94 Множители Лагранжа 170 Модуль непрерывности функции 223 Направляющие косинусы единичного вектора 6 — — единичной нормали 7 Неподвижная точка оператора 103 Неравенство Гельдера для интегра- лов 84 — — — сумм 85 — Коши 85 — Коши — Буняковского 85 — Минковского для интегралов 86 — — — сумм 87 — Шварца 85, 132 Непрерывность оператора в точки 96, 116 Нестационарное поле 12 Неустранимая погрешность 212 Норма оператора 118, 134 — элемента 113 Обобщенный полином 229 Общая формула вариации функцио- нала 182 Общий метод ортогонализации 91 Односвязная область 41 Окрестность 89 Оператор 82 — вполне непрерывный 116 — Гамильтона (набла) 38 — единичный 92 — Лапласа 59 — линейный 126 — монотонно возрастающий 125 — — убывающий 125 — набла 38 —, непрерывный в точке 96, 116 — ограниченный 134 — проектирования 93 — растяжения 92 — самосопряженный 134 — Фредгольма 117, 128, 135, 136 Определитель Вандермонда 232 Ориентация кривой 5 — контура 21 — поверхности 7, 42 Ориентированная кривая 5 — поверхность 7 Ортогональный базис 91 Ортонормированный базис 71 Отношение порядка 125 Плотное множество 101, 102 Поверхностпо-односвязная область 42 Поверхностный интеграл второго ро- да 25 Поверхность уровня скалярного поля 12 Погрешность метода 213 Поле точечного источника 56 Полное метрическое пространство 98 Пополнение пространства 102 Последовательность координатных функций 197 — Коши 98 — минимизирующая 196 — сходящаяся в себе 98 Потенциал электростатического поля 52 Потенциальное векторное поле 45 Поток вектора скорости 26 — векторного поля 26 Предел последовательности 89 Предельная точка множества 98 Принцип взаимности 179 — сжатых отображений 102 Приращение функционала 155 Проблема единственности 216 — построения 217 Производная скалярного поля по на- правлению 13 Пространство 82 , — Банаха (типа В) 113 292 Предметный указатель Пространство бесконечномерное 115 — Гильберта 132 — — координатное 96 — — функциональное 95 — Эвклида га-мерное 96 — непрерывных функций 93 — сходящихся последовательностей 95 Прямые методы вариационного исчи- сления 196 —-- Ритца 197 — — Галеркина 201 —— Канторовича 205 Равенство параллелограмма 133 Равноограниченное семейство функ ций 109 Равностепенно непрерывное семейст- во функций 109 Разделенная разность 234 Расстояние между элементами 89 Ротор 37, 40 Ряд Неймана 129 Связь краевых задач для уравнения Пуассона с вариационными 194 Сепарабельное пространство 111 Скалярное поле 11 — произведение векторов 91, 132 Собственная функция оператора 137 Собственные числа матрицы 267 Соленоидальное поле 53, 54, 55 Стационарное поле 12 Сферические координаты 11 Сходимость по норме 113 Теорема Арцела 109 — Банаха—Штейнгауза 231 — Бернштейна 224 — Брауэра 121 — Балле—Пуассена 220 — Гильберта—Шмидта 142 ' — Джексона 223, 224 — Стокса 42 — существования 217 — Хаусдорфа 108 — Чебышева 220 — Шаудера 121 Узлы интерполяции 229 —— равноудаленные 235 — квадратурной формуль. 245 Уравнение мембраны 193 — струны 192 — Лапласа 62 — неразрывности 76 Уравнение Остроградского 187 — Пуассона 66, 188 — теплопроводности 78 — Фредгольма 129 —— интегральное 144 — Эйлера 160, 162, 163 — Эйлера—Пуассона 168 Условие трансверсальности 185 Условный экстремум функционала 170 Формула Грина 22, 24, 61, 69 — Остроградского—Гаусса 29, 30, 33, 61 — прямоугольника 245 — Симпсона 246 — Стокса 43, 44 — трапеции 246 Формулы Гаусса 252 — квадратурные 245, 247, 252 — численного интегрирования 241 — Эйлера—Коши 275 Функции эквивалентные 94 Функционал 82. 151 —, действие 191 —, естественные граничные условия 184, 190 — линейный 154 —, непрерывный в точке 153 —. приращение аргумента 155 Функциональное гильбертово прост- ранство 95 Функция Грина (точечного источни- ка» задачи Дирихле 69. 70 Характеристическое уравнение матри- цы 267 — число оператора 137 Центральное-симметрическое поле 33 Цилиндрические координаты 11 Циркуляция вектора 35 Частично упорядоченное множество 125 Число измерений многообразия 115 Эквивалентные функции 94 Экстремали 161, 187 Экстремум функционала 157 — сильный, слабый 158 Элемент наилучшего приближечия 216 п-мерное векторное пространство 90 — евклидово пространство 90 /••окрестность точки 89 е-сеть 108 Оглавление 29Э ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловий .......... t ..••••" I Элементы векторного анализа .......... 4 § 1. Некоторые понятия векторного анализа . ....... 4 1. Вектор-функция скалярного аргумента (4). 2. Некоторые сведения о поверх- ностях (6). 3. Криволинейные координаты (8) § 2. Скалярное поле ............... И 1. Понятие скалярного и векторного полей (11). 2. Линии и поверхности уров- ня (12). 3. Производная по направлению (13). 4. Градиент (14). 5. Градиент в ортогональной криволинейной системе координат (15) § 3. Работа векторного поля ............ 18 1. Векторные линии (16). 2. Криволинейные интегралы второго рода (18). 3. Работа векторного поля (19). 4. Формула Грина (21) § 4. Поток векторного поля ............. 24 1. Поверхностные интегралы второго рода (24). 2. Понятие потока и его вычи- сление (26). 3. Формула Остроградского—Гаусса (28) § 5. Дивергенция ................ 31 1. Понятие дивергенции (31). 2. Вычисление дивергенции в декартовой система координат (32). 3 Свойства дивергенции (32). 4. Формула Остроградского— Гаусса в векторной форме (33). 5. Вычисление дивергенции в ортогональной криволинейной системе координат (34) § 6. Ротор векторного поля ............ 35 1. Циркуляция векторного поля (35). 2. Понятие ротора (36). 3. Вычисление ротора в декарговой системе координат (37). 4. Оператор Гамильтона (38). 5. Ротор в ортогональной криволинейной системе координат (40). 6. формула Стокса (41) II Специальные виды векторных полей ......... 45 § 1. Потенциальное векторное поле ........... 45 1. Понятие и свойства потенциального поля (45). 2. Условия потенциальности поля (47). 3. Методы нахождения потенциала (50) § 2. Соленондальное векторное поле . ......... 53 1, Понятие и свойства соленоидального поля (53). 2. Поле источников и стоков (56). 3. Векторный потенциал (57) § 3. Лапласово векторное поле . ........... 53 1. Дифференциальные операции второго порядка (53). 2. Формулы Грина (60). 3. Гармонические функции (62). 4. Интегральное представление функции (62). 5. Свойства гармонических функций (64) § 4. Задачи Дирихле и Неймана ............ 66 1. Постановка краевых задач, их единственность (66). 2. Решение задачи Ди- рихле методом функции Грина (69). 3. Решение задачи Неймана методом функции Грина (70). 4. Решение задачи Дирихле для шара и круга (72) § 5, Вывод некоторых уравнений математической физики ..... 74 1. Уравнение неразрывности (74). 2. Уравнение теплопроводности (77) ill Некоторые понятия функционального анализа ...... 80 § 1. Постановка задач. Неравенства Гельдера и Минковского ... 80 1. Основные задачи (80). 2. Вспомогательные неравенства (82). 3. Неравенства Гельдера для интегралов и сумм (83). 4. Неравенства Минковского для инте- гралов и сумм (86) § 2. Метрические пространства ............ 88 1. Метрика и предел в метрическом пространстве (88). 2. Евклидово простран- ство (89). 3. Пространство непрерывных функций (93). 4. Пространства инте- грируемых с р-й степенью функций (93). 5. Пространство сходящихся последо- вательностей (95) 6. Пространства последовательностей со сходящимися ряда- ми (95). 7. Непрерывность оператора (96) § 3. Полнота метрических пространств .......... 97 ' 1. Определение (97). 2. Теорема о вложенных шарах (98). 3. Замечание о по- полнении метрических пространств (101) 294 Оглавление § 4. Принцип сжатых отображений и его применение ...... 102 1. Теорема об операторе сжатия (102). 2. Применение к решению уравне- ний (104) § 5. Компактные множества ............. 106 I, Определение (106). 2. Теорема Хаустдорфа (108). 3. Теорема Арцела (109). 4, Сепарабельность и компактность (111) (V Вполне непрерывные операторы в линейных нормированных про- странствах ................ 113 § 1. Линейные нормированные пространства . . ...... 11 J 1. Определение (113). 2, Простейшие свойства (114). 3. Линейные многообра- зия. Выпуклые множества (114) § 2. Непрерывные и вполне непрерывные операторы . . . . . .115 1. Определения (115). 2. Непрерывность предела равномерно сходящейся по- следовательности вполне непрерывных операторов (116). 3. Полная непрерыв- ность оператора Фредгольма (117). 4. Представление вполне непрерывных опе- раторов конечномерными операторами (119). 5. Компактность области значе- ний последовательности вполне непрерывных операторов (120) § 3. Теорема Шаудера и ее применение .......... 121 1. Теорема Шаудера (121). 2. Существование решения дифференциального уравнения (122). 3. Применение к моноточным операторам (125) § 4. Метод итераций для решения уравнения Фредгольма .... 128 1. Свойства интегральных операторов Фредгольма (128). 2. Решение уравнения Фредгольма (129) V Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве . . 132 § 1. Основные понятия гильбертова пространства ....... 132 1. Скалярное произведение и его свойства (132). 2. Норма в Н (133) § 2. Самосопряженные операторы и их свойства ....... 134 1. Определения (134). 2. Вычисление нормы самосопряженного оператора (136). 3. Вещественность характеристических чисел самосопряженного оператора (137). 4. Ортогональность собственных функций самосопряженного оператора (138). 5. Существование характеристических чисел (139). 6. Оценки роста ха- рактеристических чисел (140) § 3. Теорема Гильберта—Шмидта и ее применение ....... 142 1. Разложение значений оператора в ряд (142). 2. Решение симметричных интегральных уравнений (1441 VI Основы вариационного исчисления .... i ., i . 151 § 1. Первоначальные понятия . . . . . . . . . . . . . 151 1. Примеры вариационных задач (151). 2. Пространства непрерывно дифферен- цируемых функций (151). 3. Линейный функционал (154) § 2. Экстремум функционала . ........... 155 1. Вариация функционала (155). 2. Понятие слабого и сильного экстремума функционала (157). 3. Необходимое условие экстремума (158). 4. Основная лемма вариационного исчисление (159) § 3. Вариационные задачи с закрепленными концами . . . . . . 160 1. Уравнение Эйлера (160), 2. Частные случаи уравнения Эйлера (162). 3. Ва- риационная задача для функционала, зависящего от л функции (166). 4. Функ- ционалы, зависящие от производных высших порядков (167) § 4. Вариационные задачи на условный экстремум ...... 169 1. Задачи с конечными связями (169). 2. Задача с дифференциальными связя- ми (174). 3. Изопериметрическая задача (174). 4. Понятие о принципе взаим- ности (178) V|j Некоторые методы решения вариационных задач . . . . . 180 § 1. Вариационные задачи с подвижымн концами . . . . . . . 180 1, Общая формула вариации функционалов (180). 2. Необходимое условие экстремума в вариационной задаче с подвижными концами (183), 3, Естест- венные граничные условия (183). 4. Условие трансверсальности (184) § 2. Вариационные задачи для функций нескольких переменных . . .186 1. Вариационные задачи с закрепленными граничными значениями (186). 2. Естественные граничные условия (189) § 3, Связь вариационных задач с дифференциальными уравнениями . .190 1. Вывод уравнений колебаний струны у мембраны (190), 2. Вариационные задачи, связанные с уравнением Пуассона (193) Оглавление 295 § 4. Прямые методы в вариационном исчислении . . . . . . .196 1. Понятие о прямых методах (196). 2. Метод Ритца (197). 3. Метод Галеркина (201). 4. Метод Канторовича (205) VIII Задачи вычисления и равномерного приближения функций . . 212 § 1. Погрешности при приближенных вычислениях . ...... 212 1. Основные понятия (212). 2. Ошибки при выполнении арифметических опера- ций (213) § 2. Некоторые сведения из теории приближения функций . . . .215 1. Основная задача (215). 2. Теорема существования (217) § 3. Многочлены наилучшего приближения в пространстве С[а, b} . . 219 1. Свойства (219). 2. Построение многочленов наилучшего приближения (224) [Y Интерполяция и ее применение к задачам численного дифферен- цирования и интегрирования ........... 229 § 1. Интерполяция . . . . ........... 229 1. Задача интерполирования (229). 2. Интерполяционный полином Лагранжа (232). 3. Интерполяционные многочлены Ньютона (234). 4. Замечание об ин- терполировании с кратными узлами и о приближении сплайнами (237) § 2. Формулы численного дифференцирования и интегрирования. Оценки погрешности ................ 241 1. Численное дифференцирование (241). 2. Численное интегрирование (244). 3. Оценка погрешности квадратурной формулы (247) § 3. Понятие о методах оптимизации. Кубатурныс формулы .... 251 1 Оптимизация квадратурных формул (251). 2. Кубатурные формулы (254). 3. Понятие о методе Монте-Карло (256) V Численные методы решения алгебраических и дифференциальных уравнений . . . ............. 259 § 1. Системы линейных алгебраических уравнений ....... 259 1. Общие замечания (259). 2. Метод Гаусса (260). Ленточные матрицы. Метод прогонки (262). 4. Итерационные методы (264). 5. Собственные числа и соб- ственные векторы симметричных матриц (266) § 2. Решение нелинейных уравнений . . ........ 270 1. Постановка задачи (270). 2. Метод Ньютона решения одного уравнения (271). 3. Метод Ньютона решения систем уравнений (272) § 3. Численные методы решения дифференциальных уравнений . . . 274 1. Метод Эйлера решения задачи Коши (274). 2. Анализ полной погрешности (275). 3. Методы Рунге — Кутта (276). 4. Метод Адамса (279) § 4. Понятие о методе сеток .,....•......, 282 Именной указатель .............. 287 ПредметныД указатель ............ 290