И. М. ГЕЛЬФАНД ЛЕКЦИИ по ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1971 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к четвертому изданию .............. 5 Предисловие к третьему изданию ............... 5 Предисловие ко второму изданию ............... 5 Предисловие к первому изданию ............... 6 Глава 1 й-мерное пространство. Линейные и билинейные формы .... 7 § 1. Линейное (аффинное) я-мерное пространство ....... 7 § 2. Евклидово пространство ................ 30 § 3. Ортогональный базис. Изоморфизм евклидовых пространств 38 § 4. Билинейные и квадратичные формы ........... 55 § 5. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов ... 64 § 6. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов тре- угольным преобразованием ............... 69 § 7. Закон инерции ..................... 79 § 8. Комплексное /г-мерное пространство ........... 84 Г л а в а II Линейные преобразования .................. 95 § 9. Линейные преобразования и операции над ними ..... 95 § 10. Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейного преобразования ..... 112 § 11. Линейное преобразование, сопряженное к данному .... 124 § 12. Самосопряженные (эрмитовы) преобразования. Одновремен- ное приведение пары квадратичных форм к сумме квад- ратов ......................... 132 § 13. Унитарные преобразования ......... ..... 138 § 14. Перестановочные линейные преобразования. Нормальные преобразования .................... § 15. Разложение линейного преобразования в произведение уни- тарного и эрмитова .................. 148 § 16. Линейные преобразования в вещественном евклидовом про- странстве ....................... 152 § 17. Экстремальные свойства собственных значений .....< 165 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава III Канонический вид произвольных линейных преобразований . . . 171 § 18. Нормальная форма линейного преобразования ...... 171 § 19. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме ......................... 178 § 20. Другое доказательство теоремы о приведении к нормальной форме ......................... 190 § 21. Инвариантные множители . ...... . . .- . . . . . •...1-96 § 22. Х-матрицы ....................... 204 Г л а в.а IV. Понятие о тензорах ..................... 221 § 23. Сопряженное (двойственное) пространство ........ 221 § 24. Тензоры ........................ 231 § 25. Тензорное произведение ................ 248 Добавлен ие Теория возмущений ..................... 264 § 1. Случай некратных собственных значений ........ 264 § 2. Случай кратных собственных значений ......... 269 ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ В настоящее четвертое издание добавлен новый па- раграф «Тензорное произведение» (§ 25), написанный сов- местно с М. И. Граевым. Добавлены также п. 6 в § 9 и текст, напечатанный мелким шрифтом, в конце п. 2 § 23. Автор благодарит читателей А. Г. Карновского (г. Кау- нас) и Ю. Г. Шмелакова (г. Москва) за замечания, по- зволившие исправить ряд опечаток и погрешностей. И. Гельфанд Декабрь 1970 г. ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Настоящее третье издание отличается от второго рядом переделок и добавлений в различных местах книги. Наиболее существенное добавление—новое доказа- тельство теоремы о приведении матрицы к жордановой нормальной форме (§ 19). За помощь в переработке книги я благодарю В. По- номарева и 3. Я. Шапиро. Благодарю также редактора книги Н. Я. Виленкина за ряд ценных советов. И. Гельфанд Декабрь 1965 г. ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Второе издание отличается от первого рядом сущест- венных изменений и дополнений. Наиболее крупными из них являются следующие: включены два добавления, по- мещеннь1е в конце книги: о вычислительных методах ли- нейной алгебры и о теории возмущений, добавлен пара- 6 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ граф, посвященный экстремальным свойствам собственных значений, и параграф о ^-матрицах (§§ 17 и 21), заново написана глава о жордановой нормальной форме линей- ного преобразования, переработана четвертая глава. Кроме того, сделано много более мелких добавлений и изменений. Новый текст написан мной совместно с 3. Я. Шапиро. Выражаю благодарность А. Г. Курошу, предоставив- шему в мое распоряжение записи своих лекций по тен- зорной алгебре. За ряд ценных замечаний благодарю С. В. Фомина. Благодарю также М. Л. Цетлина за помощь при офор- млении рукописи и ряд советов. И. Гельфанд Сентябрь 1950 г. ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В основу настоящей книги положен курс линейной алгебры, читанный автором на механико-математическом факультете Московского государственного университета и в Белорусском государственном университете. В написании этой книги принял значительное участие Сергей Васильевич Фомин. Его помощь была настолько существенна, что без нее эта книга вряд ли могла быть написана. Автор выражает благодарность доценту БГУ А. Е. Ту- рецкому, предоставившему в его распоряжение обработан- ные записки лекций, читанных автором в 1945 г., а также Д. А. Райкову, внимательно прочитавшему рукопись и сделавшему ряд ценных замечаний. Некоторые места в тексте напечатаны мелким шрифтом. Эти разделы не используются в основном тексте и при первом поверхностном чтении могут быть пропущены. И. Гельфанд Январь 1948 г. U и х+у=