Л. С. ПОНТРЯГИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов математических специальностей университета МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1982 22.161.6 П 56 УДК 517.9 УЧЕБНИК УДОСТОЕН ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ СССР ЗА 1976 г. 1702050000—ПЙ_ „„ п ——053(02)-82 СОДЕРЖАНИЕ От автора ...................... ~. ................ 5 Глава первая. Введение ......................... 7 § 1. Дифференциальное уравнение первого порядка ......... 7 § 2. Некоторые элементарные методы интегрирования ........ 13 § 3. Формулировка теоремы существования и единственности' ... 21 § 4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной ...............;................. . 25 § 5. Комплексные дифференциальные уравнения ........... 32 § 6. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравне- ниях ..................................... 38 Глава вторая. Линейные уравнения с постоянными коэффи- циентами .................................. 41 §^7. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффици- ентами (случай простых корней) ................... 42 § 8. .Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициен- тами (случай кратных корней) .................... 50 § 9. Устойчивые многочлены ..',...................... 56 § 10. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффици- ентами ...".............. ._^ ................. 62 § 11. Метод исключения ........................... 67 § 12. Метод комплексных амплитуд .................... 75 § 13. Электрические цепи .......................... 80 § 14. Нормальная линейная однородная система с постоянными ко- эффициентами .............................. 93 § 15. Автономные системы дифференциальных уравнений-и их фа- зовые пространства ............................ 103 § 16. Фазовая плоскость -линейной однородной системы с постоян- ными коэффициентами '........................ 115 Г л а в а. т ре т ь я. Линейныё^уравнения с переменными коэффи- циентами ................................. 128 § 17. Нормальна-я система линейных уравнений ............ 128 § 18. Лилейное уравнение п-го порядка ................. 139 § 19. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами ............................. 148 Глава четвертая. Теоремы существования ........... 152 § 20. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения ..........".................. 152 § 21. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений ................... 161 1. - . • • ' 4 СОДЕРЖАНИИ § 22. Непродолжаемые решения ..../................. 173 § 23. Непрерывная зависимость решения от начальных значений и параметров ...............•••••••••••••••-•• I70 § 24. Дифференцируемость решения по начальным значениям и параметрам ..............•••-•••••••••••••• 105 § 25. Первые интегралы ............••.•.•••••-•••• 1Ы" Глава п^ятая. Устойчивость ....................... 204 § 26. Теорема Ляпунова ..............••••••••••••• 205 § 27. Центробежный регулятор (исследования Вышнеградского) 218 ^ 28. Предельные циклы ................••••••••••• 224 § 29. Ламповый генератор .................••..••••• ^44 § 30. Положения равновесия автономной системы второго порядка 2&1 § 31. Устойчивость периодических решений .............. 268 Добавление I. Некоторые вопросы анализа ............ 284 § 32. Топологические свойства евклидовых пространств ....... 284 § 33. Теоремы о неявных функциях .............•.••••• 298. Добавление II. Линейная алгебра ...............•••• 30& § 34. Минимальный аннулирующий многочлен ............. 309 § 35. Функции матриц ............••.••••••••••••• З10 § 36. Жорданова форма матрицы ..................... 32j Предметный указатель ...............••••••••••••••• 329 ОТ АВТОРА Эта книга написана на основе лекций, которые я в течение ря- да лет читал на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При составлении программы лекций я исходил из уверенности, что выбор материала не должен быть случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции. Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Эти применения и послужили руковод- ством при выборе материала для моих лекций. Теория колебаний и теория автоматического управления, несомненно, играют очень важ- ную роль в развитии всей современной материальной культуры, и потому я считаю, что такой подход к выбору материала для курса лекций является, если и не единственно возможным, то во всяком случае разумным. Стремясь дать студентам не только чисто математическое орудие,' пригодное для применений в технике, но также продемонстрировать и сами применения, я включил в лекции некоторые технические вопросы. В книге они изложены в § 13, 27, 29. Эти вопросы составляют неотъемлемую органическую часть моего курса лекций и, соответственно, этой книги. Кроме материала, излагавшегося на лекциях, в книгу включены некоторые более трудные вопросы, разбиравшиеся на студенческих семинарах. Они содержатся в § 19, 31 книги. Материал, содержа- щийся в § 14, 22, 23, 24, 25, 30, излагался на лекциях частично и не каждый год. Для -удобства читателя в конце книги приведены два добавления, которые содержат материал, не входящий в курс обыкновенных дифференциальных уравнений, но существенным образом использую- щийся в нем. В первом добавлении (отсутствовавшем в предыдущем издании) изложены основные топологические свойства • множеств расположённых в эвклидовом пространстве, и дано доказательство теорем о неявных функциях; второе добавление посвящено линейной алгебре. В этом, втором издании по новому изложены теоремы о непре- рывной зависимости решений от начальных значений и параметров, а также о дифференцируемости решений по этим величинам. Сдела- ны также многие более мелкие исправления. В заключение я хочу выразить благодарность моим ученикам и ближайшим товарищам по работе В. Г. Болтянскому, Р. В. Гам- крелидзе и Е. Ф. Мищенко, помогавшим мне при подготовке и чте- нии лекций, а также при написании и редактировании этой книги. Мне хочется также отметить решающее влияние на мои научные интересы, оказанное выдающимся советским специалистом в области теории колебаний и теории автоматического управления Александ- ром Александровичем Андроновым, с которым меня связывали долго- летние дружеские отношения. Его влияние существенно сказалось на характере и направленности этой книги. ГЛАВА ПЕРВАЯ ВВЕДЕНИЕ Эта глава посвящена в первую очередь определению тех понятий, которые будут изучаться в дальнейшем. Что такое система обыкно- венных дифференциальных уравнений, что называется ее решением и как много этих решений существует—таковы главные вопросы, на которые дается ответ в этой главе. Количество решений определяется теоремами существования и единственности, которые здесь не дока- зываются, а только формулируются. Доказательство этих и ряда дру- гих теорем того же типа дается в четвертой главе, а до этого сфор- мулированные в первой главе теоремы многократно используются, чем выясняется их значение. Кроме этих основных сведений,, в первой» главе приводятся решения дифференциальных уравнений нескольких простейших типов. В конце главы рассматриваются комплексные диф- ференциальные уравнения и их комплексные решения и приводятся простейшие замечания относительно систем линейных дифференциаль- ных уравнений. § 1. Дифференциальное уравнение первого порядка Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если неизвестными 'функциями являются функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае, т. е. при рассмотрении функций только одного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В дальнейшем мы будем иметь дело толь-ко с последними. Так как в ряде физических применений независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, которое принято обозначать через t, то всюду в дальнейшем неза- висимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через х, у, г и т. д. Производные функций по t ВВЕДЕНИЕ [Гл. 1 будут, как. правило, обозначаться точками: х==—, х==— и т. д. В тех случаях, когда это неудобно или невозможно, мы будем указы- вать порядок производной верхним индексом в скобках; например, „(я) — dnx. х — fit" • В первую очередь мы займемся рассмотрением одного диф- ференциального уравнения первого порядка, т. е. уравнения, в которое входит лишь первая производная неизвестной функции. Уравнение это может быть записано в виде: F(t, х, х)=0. (1) Здесь t—независимое переменное, х—его неизвестная функция, X: = „- — ее производная, a F — заданная функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений ее аргументов; поэтому говорят об области В задания функции Р. Здесь имеется в виду множество В точек координатного пространства трех пере- менных t, х, х. Решением уравнения (1) называется такая функ- ция x=но имеет начальные значения ty Ху Утверждение, что решение x~=vf(t) удовлетворяет начальному усло- вию (4) (или имеет -начальные значения ty, Ху), предполагает, что интервал /'i<^ ^о) проходит единственная интегральная кривая, становится точным. Рис. 2. Каждое решение x==^(t} урав- нения (3) мы интерпретировали геометрически в виде графика функ- ции ср(<). Дадим теперь геометри- ческую интерпретацию самого уравнения (3). Через каждую точку (t, х) множества Г проведем прямую /,,^ с угловым коэффициентом f(t, х). Мы получаем поле направлений, соответствующее уравнению (3), что и дает геометрическую интерпретацию этого уравнения. Связь между геометрической интерпретацией уравнения и гео- метрической интерпретацией его решений заключается в том (рис. 2), что любая интегральная кривая X = <р (t) в каждой своей точке (t, у (0) касается прямой 'l^y^y Примеры ' 1. Для того чтобы проиллюстрировать значение теоремы 1 (в данном случае второй ее части), решим дифференциальное ура- внение х==ах, (5) где"а — действительное число. Здесь f(t,x)==a.x, так что функция / в действительности зависит лишь от перемен- ного х. Множество точек, на котором определена функция /, в дан- ном случае совпадает со всей плоскостью Р. Как сама функция / (t, х) == я х, так и ее производная •'" =а являются непрерыв-. ными функциями переменных t и х во всей плоскости Р. Таким образом, теорема 1 к уравнению (5) применима. Непосредственной 12 ВВЕДЕНИЕ (Гл. 1 подстановкой в уравнение (5) проверяется, что каждая функция x=ceat, (6) где с—произвольное действительное число, является решением уравнения (5). Решение это непродолжаемо, так как оно задано уже на всей прямой—оо<^<<^оо. Покажем, что, придавая все- возможные значения числу с, мы получим все решения уравнения (5). Пусть x==f(t)—произвольное решение .этого уравнения. По- кажем, что при надлежащем выборе числа с мы имеем ср (t) == ее"'. Пусть <о—некоторая точка интервала существования решения (i) h(t,x) ' правая часть которого представлена в виде отношения функций g(t, х) и h (t, х). Предполагается, что функции" g(t, х) и h (t, x) опре- делены и непрерывны на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных t, х, причем знаменатель h (t, х) не обращается в нуль ни в одной точке этого множества, а выражение h(t, x)dx— —g(t, x)dt представляет собой полный дифференциал на всем мно- жестве Г. Последнее означает, что существует функция Р (t, х), определенная на множестве Г и удовлетворяющая на всем этом мно- жестве условиям дР(1,х)_,^ . 6F(t,x) ~~дх——"(" х" дt -g(t, х). (2) Уравнение (1) условимся символически записывать .в виде ура- внения h(t. x)dx—g{t, x)dt=Q, ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Автоматического регулирования теория 218 Автономные системы уравнений 103, 108, 251, 279 Адамара лемма 186 Амплитуда гармонического колебания 30, 75 — — — комплексная 76 Андронов 244, 249 Андронова—Витта теорема 271 Аннулирующий многочлен матрицы 309» 311, 312 ———минимальный 309, 313, 314, 315 Анодный ток триода 244 Асимптотическая устойчивость 205, 213, 252, 269, 272 Вариации постоянных метод 16» 134» !43 Вектор 46, 285 —действительный-46 '" — комплексный 46 Вектооные функции векторного переменного 163 Векторы, комплексно сопряженные 46 Взаимоиндукция 82 Вполне неустойчивое положение равновесия 216, 252 Вронского детерминант 131, 142, 146 Вышнеградский 218, 219, 223 Вышнеградского тезисы 224 Гамильтонова система 203 Генератор ламповый 244, 245, 246, 249 Грубый предельный цикл 234, 242 Двухполюсник 80 — активный 83 — пассивный 83 Действительные решения линейных уравне- ний 48, 54, 55, 56, 95, 98, 99 Детерминант Вронского 131, 142, 145 Дифференциальное уравнение см. Уравнение дифференциальное Дифференцирование векторных функций 94 — комплексных функций 33 —функции в силу системы уравнений 208, 209, 271 Дифференцируемость неявных функций 303 —решений 25, 186, 187, 191, 192 Длина вектора 285 Дополнение к множеству 287 Емкость 81 Жорданова клетка 101, 327 —форма матрицы 101, 323, 327 Зависимость решений от параметров и на" чальных условий 178, 179, 182, 184, 185, 186, 187, 191, 192 — функций 306. 307 Замена координат 305 Заряд конденсатора 82 Значения начальные 10, 22, 28, 34 Инвариантное подпространство 316 Индуктивность 81 Интеграл первый 196 Интегральная кривая 9, 10, 11, 14, 24 Интегральное уравнение, эквивалентное диф- ференциальнбму 153, 164 Интегрирование уравнений в квадратурах 13 Интервал определения решения 8, 21 Интерпретация решений геометрическая 9, 1 1, 24, 109 ——дифференциального уравнения 11, 24 Исключения метод 67 Источник напряжения 83 — тока 83 . Квадратичная форма 210 ——положительно определенная 210 Квазимногочлен 62 Кирхгофа закон второй 83, 81 — — первый 83, 84 Колебания вынужденные 79 — гармонические 30, 75 — собственные 79 Колебательный контур 87 Комплексная амплитуда 76 Контурные токи 85, 87 Координаты вектора 46 Коэффициент взаимоиндукции 82 —трансформации 91 — упругости 31 Краевая задача для уравнений в частных производных 201 Кратность собственного значения 316 Кронекера символ 68 Лампа, электронная 244 Линейная зависимость векторов 4 7 ——решений 129, 140 — система см. Система уравнений линейная Линейное уравнение см. Уравнение линейно* Линия уровня 14 Лиувилля формула 132, 133, 143, 145, 28e Ляпунова теоремы 148, 205, 212. 213. 271 —функция 208, 210, 211, 213, 216, 272 Малые колебания маятника 32 Матрица основная 146 —фундаментальная 131, 135 Матрицы жорданова форма 323i 327 Матричная запись систем линейных уравне- ний 136i 146 Матричное исчисление 146 Матричные ряды степенные! 50. 316, 81 9, 321 330 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Маятник математический 31 Метод вариации постоянных 16, 134, 143 —исключения 67, 102 — комплексных амплитуд 76, 77 —контурных токов 85- —неопределенных коэффициентов 101 —последовательных приближений 153, 170, 299 —сжатых отображений 153, 170, 299 — узловых напряжений 85 Многогранник выпуклый Й97 Многочлен аннулирующий 309, 311, 312 ——минимальный 302,313, 314, 315 —устойчивый 57, 58, 60, 61 —характеристический 44, 310 Множество (й-предельное 235, 236 — замкнутое 287 . — компактное 291 • —ограниченное 289 — открытое 287 Модуль вектора 162, 285 Напряжения узловые 85 Начальная фаза гармонического колебания 30; 75 Начальные значения, начальные условия 10, 22, 28, 34 Неопределенных коэффициентов метод 101 Неравенства интегральные I 72 Неравномерность хода паровой машины 223 Норма векторной функции 164, 300 —функции 154 Нормальная система дифференциальных уравнений 21 Область задания 8, 9, 21, 25, 26, 27, 29 173, 178, 182, 186, 187, 191, 192 Обратная связь 245 Объединение множеств 287, 289. Окрестность точки 287, 298 Операционные (символические) обозначения 42, 43 Основная матрица решения 146 Отображение последовання 281 — аффинное 295 —непрерывное 293 —равномерно непрерывное 293, 294 Отрезок 163 Падение напряжения 80 Паровая машина 218, 220 Первые интегралы 196 . . —— —, независимые в точке 1 97, 1 98, 199, 200 Передаточное число 220 Пересечение множеств 287, 289 Переходный процесс 77 Период 1 06 Периодическое решение 106, 268, 271, 279, 280 Плоскость фазовая 115, 224 Показатель характеристический 151 Поле направлений 1 I, 24 Положение равновесия 105, 106. 109 ——автономной системы второго порядка 119, 251 ——————невырожденное 119, 251 ——неустойчивое 111, 216. 217, 261 — — полуустойчивое 111 Положение равновесия устойчивое 111, 206, 252, 261 "Полупространство замкнутое 297 — открытое 297 Порядок квазимногочлена 65 —системы дифференциальных уравнений 26" — — — — относительно одного неиэвестното 26 Последовательность ограниченная 289 Последовательных приближений метод 153, 170, 299 Постоянные интегрирования 44 Предельный цикл 224, 225, 234, 236, 244, 246. 250, 279 ——грубый 234, 242,-280 ——неустойчивый 225, 234, 280 ——полуустойчивый 225 ——устойчивый 225, 234, 280 Проводимость операционная (двухполюсни- ка) 86 Продолжение решения 11, 23 Прообраз множества при отображении 293 Пространство векторное 285 — евклидово 285 Процесс переходный 77 —установившийся 77 Прямая собственная 125 Радиоактивный распад 12 Расстояние между множествами 297 —от точки до множества 297 Регулятор центробеж.-ый 218. 219, 220 Резонанс 79, 90 Решение комплексное 32, 33, 35 —матричного уравнения 136 —непродолжаемое 11, 18, 23, 173, 174, 175, 176, 178, 179, 182, 184 — особое З О —уравнения и системы уравнений 8, 21, 25. 26, 33, 35 —установившееся 77, 78 —устойчивое 205 —частное линейного неоднородного уравне- ния 62, 63. 143 Рождение предельных циклов 242. 2^3 Ряды матричные 150, 316, 319, 321 Свойства топологические 284, 296 Седло 118, 119, 125, 251, 253 Серия векторов относительно матрицы 96 97, 102, 323 Сжатых отображений метод 153, 170, 299 Сила тока 80 Символические обозначения 42, 43 Система гамильтонова 203 — решений фундаментальная 129. 130, 139 141 —уравнений 21, 26. 27, 29, 38, 73, 93, 94, 97; 98, 103. 108, 12.8, 146, 251 ——автономная 103, 108, 251. 279 ——в вариациях 193. 194, 195, 196 — —линейная 38, 39, 67, 69, 70 72, 73, 74, 93, 94, 97, 98, 128, 146 — — нормализуемая 73 ——нормальная 21, 93, 94, 97, 98. 103, 128, 146 ———автономная 103 ———линейная 23, 93, 94, 97. 98, 128, 146 — — — — однородная с периодическими ко- эффициентами 146 ————с переменными коэффициентами 128 ——, разрешенная относительно высших производных 27 Скалярное произведение векторов 285 Скалярный квадрат 285 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 33t Скорость фазовая 109 Смещения формула 51 Снижение порядка линейного уравнения Ш — — системы 13S. 2110 Собственная прямая 125 — частота контура 89 Собственные векторы и собственные значения 309, 310 Сопротивление 81 — операционное 1двухполюснпка) 85, 83 Спектр матрицы 317 Сходимость последовательности 289 — равномерная 155, 165, 300 Тезисы Вышнеградского 224 Теоремы о непрерывности и дирференцируе- мости решений 152, 184 186, 187 191 192 _- _• неявных функциях 298. 299, 303 — существования и единственности 10 22, 23, 27. 29, 33. 35, 152 Ток анодный триода 244 — контурный 85, 87 Top 113 Точка со-предельная 235 Траектория 104 — замкнутая 104, 105, 108 — фазовая 109, 116 Трансформатор 90 — идеальный 91 Триод 244 Узел 117, 1.18, 251. 261 — вырожденный 122, 124. 125 — неустойчивый 118. 124, 125. 251 261 — устойчивый 118, 124, 125, 251. 261 Узловые напряжения 85 Уравнение гармонического осциллятора 76 78 — дифференциальное 7 — — в частных производных 7, 201 ————— линейное первою порядка 201 — линейное 15. 28, 42, 44. 50, 62, 63. 136 — — с переменными коэффициентами 15. 139 — — — постоянными коэффициентами 42 4-1 50, 62, 63 • ' ————— неоднородное 62, 63 — — — — — однородное 42, 41, 50 — матричное 136, 1)6 — первого порядка 8 — — — в полных дифференциалах 13 — — — линейное 15 — — — однородное 17 — — — , разрешенное относительно производ- ной 8 — — — с разделяющимися переменными 17 — , разрешенное относительно высшей про- изводной 27 , — с периодическими коэффициентами It6, 148 Уравнения в вариациях 193, 194, 195, 196 Условия начальные 10, 22, 28, 34 Установившийся процесс 77 Устойчивость асимптотическая 206 213 252 269, 271 ... — многочленов 57, 58, 60, 61 — периодических решений 268, 271, 280 — положения равновесия 206, 207, 213, 251 Устойчивость по Ляпунову 206, 208, 269, 271 — предельного цикла 225, W — произвольного решения 269, 272 Устойчивые многочлены 57, 58 Усы седла 253 — — неустойчивые 253 — — устойчивые 253 Фаза начальная гармонического колебания 3U, 75 Фазовая плоскость 115. 224 — — линейной системы с постоянными коэф- фициентами 115 — скорость 109 — траектория 104, 109, 110, 116 Фазовое пространство автономной системы- 103. 108. 113 Фильтр электрический 92 Фокус 120, 251. 261, 264 — неустойчивый 120. 251 — устойчивый 120, 251 Форма квадратичная 210 — — положительно определенная 210 Формула Лиувилля 132, 133, 143, 145, 2SO — смещения 51 Формулы Эйлера 36 Фундаментальная матрица 131. 135 —^система решений 129. 130, 139, 141 Функции матриц 316, 319 — — неявные 321 — . совпадающие на спектре матрицы 317, 319^ Функция, заданная на спектре матрицы 317 — Ляпунова 208 210, 211, 213, 216 272 — последовання 226, 227, 230, 233, 242, 280 Характеристика триода 244 Характеристики 202 Характеристический многочлен 44. 310 — показатель уравнения с периодическими, коэффициентами 151. Характеристическое число 150 Центр 120 __ Центробежный регулятор 218, 219, 220 Цепи электрические 80, 83 Цикл 106 Циклы предельные см. Предельный цикл Частное решение 62, 63, 143 Частота колебаний 30,-75 — собственная колебательного контура 89 'Число передаточное 220 — характеристическое 150 Шар 287 Эйлера формулы 36 Эквивалентность уравнений с периодическим'.?. коэффициентами 147, 148 Электрическая цепь 80, 83 Электрический фильтр 92 Электронная лампа (триод) 244 Лев Семенович Понтрягин ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ. УРАВНЕНИЯ Редактор М. М. Горячая Техн. редактор И. Ш. Аксвльрод Корректор Е. В. Сидоркина ИБ № 11790 Печать с матриц. Подписано к печати 02.11.82. Формат 60Х901/!,. Бумага тип. № 3. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 20,75. Уч.-иэд. л. 17,98. Тираж 27000 экз. Заказ № 396 Цена 85 коп. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Печать с матриц в типографии № 4 изд-ва «Наука». Новосибирск, 77, Станиславского, 25. Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудо» вого Красного Знамени Первая Образцовая типо- графия имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам из- дательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28.