518 ДЗО УДК 518. О АННОТАЦИЯ Книга посвящена изложению важней- ших методов и приемов вычислительной математики на базе общего втузовского курса высшей математики. Основная часть книги является учебным пособием по курсу приближенных вычислений для втузов. Книга может быть полезна также для лиц, работающих в области прикладной математики. Борис Павлович Демидович и Исаак Абраммич Марон Основы вычислительной математики М., 1966 р. 664 стр. с илл. Редакторы М. М. Горячая и В. At. Гринберг Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректор С. Д. Кайсер Сдано в набор SO/HI 1966 Р. Подписано к печати 28/V1 1966 Р. Бумага 60х90;16 Физ. печ. л. 41.5 Условн. печ. л. 41,5 Уч.-изд. л. 41,06 Тираж 75 000 экз. Т-08270. Цена книги 1 р. 54 к. Заказ № 339. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Гдавполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР Москва. Ж-54, Валовая, 28 о п < ОГЛАВЛЕНИЕ Предислогие к первому изданию ................... 9 Предисловие ко второму изданию .................. 12 Предисловие к третьему изданию ................... 12 Введение. Общие правила вычислительной работы ........ 13 Глава I. Приближенные числа ................... 17 § 1. Абсолютная и относительная погрешности .......... 17 § 2. Основные источники погрешностей .............. 20 § 3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков .................... 21 § 4. Округление чисел ...................... 24 § 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с ко- личеством верных знаков этого числа ............ 25 § 6. Таблицы для определения предельной относительной погреш- ности по числу верных знаков и наоборот ......... 28 § 7. Погрешность суммы ..................... 31 § 8. Погрешность разности .................... 33 § 9. Погрешность произведения ................. 35 § 10. Число верных знаков произведения ............. 37 § 11. Погрешность частного .................... 38 § 12. Число верных знаков частного ............... 39 § 13. Относительная погрешность степени ..... ........ 39 § 14. Относительная погрешность корня .............. 39 § 15. Вычисления без точного учета погрешностей ........ 40 § 16. Общая формула для погрешности .............. 41 § 17. Обратная задача теории погрешностей ............ 43 § 18. Точность определения аргумента для функции, заданной таб- лицей ............................ 46 § 19. Способ границ ........................ 48 § 20*. Понятие о вероятностной оценке погрешности ........ 51 Литература к первой главе ...................... 52 Глава II. Некоторые сведения из теории цепных дробей ..... 53 § 1. Определение цепной дроби .................. 53 § 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно ..... 54 § 3. Подходящие дроби ...................... 56 § 4. Бесконечные цепные дроби .................. 64 § 5. Разложение функций в цепные дроби ............. 70 Литература ко второй главе ..................... 73 Глава III. Вычисление значений функций ............. 74 § 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера ....... 74 § 2. Обобщенная схема Горнера ................. 77 § 3. Вычисление значений рациональных дробей ......... 79 I* 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов ...... 80 § 5. Вычисление значений аналитической функции ........ 86 § 6. Вычисление значений показательной функции ........ 88 § 7. Вычисление значений логарифмической функции ....... 92 § 8. Вычисление значений тригонометрических функций ..... 95 § 9. Вычисление значений гиперболических функций ....... 98 § 10. Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции ......... ............ 100 § 11. Вычисление обратной величины ............... 101 § 12. Вычисление квадратного корня ............... 104 § 13. Вычисление обратной величины квадратного корня ..... 108 § 14. Вычисление кубического корня ............... 108 Литература к третьей главе ..................... 111 Глава IV. Приближенное решение алгебраических и трансцендент- ных уравнений .................... 112 § 1. Отделение корней ...................... 112 § 2. Графическое решение уравнений ............... 116 § 3. Метод половинного деления ................. 118 § 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд) ........ 119 § 5. Метод Ньютона (метод касательных) ............. 123 § 6. Видоизмененный метод Ньютона ............... 131 § 7. Комбинированный метод ................... 132 § 8. Метод итерации ....................... 135 § 9. Метод итерации для системы двух уравнений ........ 148 § 10. Метод Ньютона для системы двух уравнений ........ 152 § 11. Метод Ньютона для случая комплексных корней ...... 153 Литература к четвертой главе .................... 157 Глава V. Специальные приемы для приближенного решения алгебра- ических уравнений ................... 158 § 1. Общие свойства алгебраических уравнений .......... 158 § 2. Границы действительных корней алгебраических уравнений . 163 § 3. Метод знакопеременных сумм ................. 165 § 4. Метод Ньютона ....................... 167 § 5. Число действительных корней полинома ........... 169 § 6. Теорема Бюдана—Фурье .................. 171 § 7. Идея метода Лобачевского—Греффе ............. 176 § 8. Процесс квадрирования корней ................ 178 § 9. Метод Лобачевского—Греффе для случая действительных раз- личных корней ....................... 180 § 10. Метод Лобачевского—Греффе для случая комплексных корней 183 § 11. Случай пары комплексных корней .............. 186 § 12. Случай двух пар комплексных корней ............ 190 § 13. Метод Бернулли ....................... 195 Литература к пятой главе ..................... 198 Глава VI. Улучшение сходимости рядов ............. 199 § 1. Улучшение сходимости числовых рядов ........... 199 § 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера—Абе- ля ............................. 205 § 3. Оценки коэффициентов Фурье ................ 210 § 4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье мето- дом А. Н. Крылова ..................... 213 § 5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов . . . 222 Литература к шестой глава ...................... 224 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 Глава VII. Алгебра матриц .................... 225 § 1. Основные определения .................... 225 § 2. Действия с матрицами .................... 226 § 3. Транспонированная матрица ................. 230 § 4. Обратная матрица ...................... 231 § 5. Степени матрицы ...................... 236 § 6. Рациональные функции матрицы ............... 237 § 7. Абсолютная величина и норма матрицы ........... 238 § 8. Ранг матрицы ........................ 244 § 9. Предел матрицы ....................... 245 § 10. Матричные ряды ...................... 247 § 11. Клеточные матрицы ..................... 252 § 12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки .... 255 § 13. Треугольные матрицы .................... 260 § 14. Элементарные преобразования матриц ............ 263 § 15. Вычисление определителей .................. 264 Литература к седьмой главе ............... ...... 267 Глава VIII. Решение систем линейных уравнений ......... 268 § 1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений .......................... 268 § 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы Кра- мера ............................. 268 § 3. Метод Гаусса ........................ 272 § 4. Уточнение корней ..................... 279 § 5. Метод главных элементов .................. 281 § 6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей . . 283 § 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса ........ 285 § 8. Метод квадратных корней .................. 287 § 9. Схема Халецкого ...................... 290 § 10. Метод итерации ....................... 294 § 11. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации 301 § 12. Метод Зейделя ........................ 303 § 13. Случай нормальной системы ................. 305 § 14. Метод релаксации ..................... .307 § 15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы . . . 310 Литература к восьмой главе ..................... 314 Глава IX*. Сходимость итерационных процессов для систем линей- ных уравнений ... ................ 315 § 1. Достаточные условия сходимости процесса итерации ..... 315 § 2. Оценка погрешности приближений процесса итерации . . . .317 § 3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 320 § 4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по /п-норме ........................... 322 § 5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 323 § 6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по /-норме ........................... 325 § 7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 326 Литература к девятой главе .................... 328 Глава X. Основные сведения из теории линейных векторных прост- ранств ......................... 329 § 1. Понятие линейного векторного пространства ......... 329 § 2. Линейная зависимость векторов ............... 330 6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Скалярное произведение векторов . . ............ 335 § 4. Ортогональные системы векторов ..... ........ 338 § 5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса . . 340 § 6. Ортогональные матрицы ................... 342 § 7. Ортогонализация матриц ................... 343 § 8. Применение методов ортогонализации к решению систем ли- нейных уравнений ...................... 351 § 9. Пространство решений однородной системы ......... 356 § 10. Линейные преобразования переменных ...... ..... 359 § 11. Обратное преобразование .................. 365 § 12. Собственные векторы и собственные значения матрицы .... 367 § 13. Подобные матрицы ..................... 372 § 14. Билинейная форма матрицы ................. 375 § 15. Свойства симметрических матриц .............. 376 § 16*. Свойства матриц с действительными элементами ...... 381 Литература к десятой главе ..................... 385 Глава XI*. Дополнительные сведения о сходимости итерационных процессов для систем линейных уравнений ...... 386 § 1. Сходимость матричных степенных рядов ........... 386 § 2. Тождество Гамильтона—Кели ................ 389 § 3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса ите- рации для системы линейных уравнений ........... 390 § 4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса Зей- деля для системы линейных уравнений ...........' 392 § 5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы . . . 395 § 6. Способы эффективной проверки условий сходимости ..... 397 Литература к одиннадцатой главе .................. 401 .Глава XII. Нахождение собственных значений и собственных век- торов матрицы .................... 402 § 1. Вводные замечания ..'.....,............. 402 § 2. Развертывание вековых определителей ........... 402 § 3. Метод А. М. Данилевского ................. 404 § 4. Исключительные случаи в методе А. М. Данилевского . . . 410 § 5. Вычисление собственных векторов по методу А. М. Данилев- ского ............................ 411 § 6. Метод А. П. Крылова .................... 412 § 7. Вычисление собственных векторов по методу А. Н. Крылова 416 § 8. Метод Леверрье ....................... 417 § 9. Понятие о методе неопределенных коэффицентов ....... 419 § 10. Сравнение различных методов развертывания векового опре- делителя .......................... 421 § 11. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора ..... 421 § 12. Метод скалярных произведений для нахождения первого соб- ственного значения действительной матрицы ......... 428 § 13. Нахождение второго собственного значения матрицы и второ- го собственного вектора ................... 431 § 14. Метод исчерпывания ..................... 434 § 15. Нахождение собственных элементов положительно определен- ной симметрической матрицы ................ 437 § 16. Использование коэффициентов характеристического полинома матрицы для ее обращения ................. 442 § 17. Метод Л. А. Люстерника улучшения сходимости процесса ите- рации для решения системы линейных уравнений ...... 444 Литература к двенадцатой главе ............. ...... 449 ОГЛАВЛЕНИЕ 7 Глава XIII. Приближенное решение систем нелинейных уравне- "ии•••••••••................ 450 § 1. Метод Ньютона ....................... 450 <) 2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона '..'.'.'.'. 456 § З*. Существование корней системы и сходимость процесса Нью- тона ..................... -. ...... 460 § 4*. Быстрота сходимости процесса Ньютона .......... 465 § 5*. Единственность решения ................. '. 466 § б*. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при варьирова- нии начального приближения ............... 469 § 7. Модифицированный метод Ньютона ......,,.'.'.'.'. 471 § 8. Метод итерации ..................... '. 474 9*. Понятие о сжимающем отображении ......... '. '. '. 477 § 10*. Первое достаточное условие сходимости процесса итера- кчч ..................... ...... 481 § II*. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации 483 § 12. Метод скорейшего спуска (метод градиента) . ...... 485 § 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений ......................... 490 § 14*. Метод степенных рядов ........ ........... 494 Литература к тринадцатой главе ................ '. '. 496 Глава XIV. Интерполирование функций .............. 497 § 1. Конечные разности различных порядков .......... 497 § 2. Таблица разностей ..................... 500 § 3. Обобщенная степень ................... '. 605 § 4. Постановка задачи интерполирования ............ 507 § 5. Первая интерполяционная формула Ньютона ........ 508 § 6. Вторая интерполяционная формула Ньютона ........ 514 § 7. Таблица центральных разностей .............. 518 § 8. Интерполяционные формулы Гаусса ........... . . 519 § 9. Интерполяционная формула Стирлинга ........... 521 § 10. Интерполяционная формула Бесселя ............ 521 § 11, Общая характеристика интерполяционных формул с постоян- ным шагом ......................... 524 § 12. Интерполяционная формула Лагранжа ........... 527 § 13*. Вычисление лагранжевых коэффициентов .......... 531 § 14. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 535 § 15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона 537 § 16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул 539 § 17. О наилучшем выборе узлов интерполирования ........ 540 § 18. Разделенные разности ................... 542 § 19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента ..................... 544 § 20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов 547 § 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих узлов ............................ 550 § 22. Нахождение корней уравнения методом обратного интерпо- лирования ......................... 551 § 23. Метод интерполяции для развертывания векового определи- теля ............................ 553 § 24*. Интерполирование функций двух переменных ........ 555 § 25*. Двойные разности высших порядков ............ 557 § 26*. Интерполяционная формула Ньютона для функции двух пе- ременных ......................... 558 Литература к четырнадцатой главе ................. 561 8 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава XV. Приближенное дифференцирование ........... 562 § 1. Постановка вопроса ............... .... 562 § 2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона ......... 563 § 3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на формуле Стирлинга ..................... 567 § 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, выраженные через значения функции в этих точках . . 571 § 5. Графическое дифференцирование ............... 574 § б*. Понятие о приближенном вычислении частных производных 576 Литература к пятнадцатой главе ...........'....... 576 Глава XVI. Приближенное интегрирование функций ....... 577 § 1. Общие замечания ...................... 577 § 2. Квадратурные формулы Ньютона—Котеса .......... 580 § 3. Формула трапеций и ее остаточный член .......... 582 § 4. Формула Симпсона и ее остаточный член .......... 583 § 5. Формулы Ньютона—Котеса высших порядков ........ 586 § 6. Общая формула трапеций (правило трапеций) ........ 588 § 7. Общая формула Симпсона (параболическая формула) .... 589 § 8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева ......... 593 § 9. Квадратурная формула Гаусса ................ 597 § 10. Некоторые замечания о точности квадратурных формул . . . 604 § II*. Экстраполяция по Ричардсону ............... 607 § 12*. Числа Бернулли ...................... 611 § 13*. Формула Эйлера—Маклорена ............... 613 § 14. Приближенное вычисление несобственных интегралов .... 618 § 15. Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей ..... 621 § 16. Графическое интегрирование ................. 624 § 17*. Понятие о кубатурных формулах .............. 627 § 18*. Кубатурная формула типа Симпсона ............ 629 Литература к шестнадцатой главе .................. 633 Глава XVII. Метод Монте-Карло ................. 634 § 1. Идея метода Монте-Карло .................. 634 § 2. Случайные числа ...................... 635 § 3. Способы получения случайных чисел ............ 638 § 4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло .... 641 § 5*. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Монте-Карло ......................... 650 Литература к семнадцатой главе .................. 658 Предметный указатель ........................ 659 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Бурное развитие новейшей техники и все большее внедрение современных разделов математики в инженерные исследования неиз- меримо повысили требования к математической подготовке инжене- ров д научных работников, занимающихся прикладными вопросами. Математическое образование инженера-исследователя в настоя- щее время не может ограничиться традиционными разделами так называемого «классического анализа», сложившегося, в основных своих направлениях, к началу нашего века. От инженера, рабо- тающего в научно-исследовательском институте, требуется теперь знание многих разделов современной математики и в первую оче- редь основательное владение методами и приемами вычислительной математики, так как решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата. Вычислительная техника наших дней представляет новые мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от прибли- женной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке. Это предполагает использование более глу- боких специальных разделов математики (нелинейные дифферен- циальные уравнения, функциональный анализ, теоретико-вероятно- стные методы и др.). Разумное использование современной вычислительной техники не мыслимо без умелого применения методов приближенного и чи- сленного анализа. Этим и объясняется чрезвычайно возросший как у нас, так и за рубежом интерес к методам вычислительной ма- тематики. В нашей стране было издано несколько оригинальных и пере- водных книг, посвященных приближенным и численным методам. Однако это не удовлетворяет в полной мере потребности чита- телей, так как многие из этих книг стали библиографической ред- костью, а часть из них устарела или носит слишком специальный характер. Основное назначение настоящей книги—дать в известной мере систематическое и современное изложение важнейших методов и приемов вычислительной математики на базе общего втузовского 10 ПРЕДИСЛОВИЕ курса высшей математики. Книга составлена так, что основная часть ее представляет собой учебное пособие по первому концентру при- ближенных вычислений для высших технических учебных заведений. Многие институты нашей страны приступили к подготовке спе- циалистов для работы в вычислительных центрах. Большие разделы приближенного и численного анализа включены в программу аспи- рантской подготовки по ряду специальностей и в программы раз- личных курсов усовершенствования инженеров. Поэтому в книгу включен дополнительный материал, выходящий за рамки обычного втузовского курса. Это обстоятельство не затруднит пользование книгой: читатель без ущерба для понимания выберет нужные ему разделы и опустит лишние. Для удобства пользования книгой главы и параграфы, необязательные при первом чтении, отмечены звездочкой. В книге широко используются основы матричного исчисления. Понятие вектора, матрицы, обратной матрицы, собственного значе- ния и собственного вектора матрицы и т. п. являются рабочими. Применение матриц дает ряд преимуществ при изложении, так как, пользуясь ими, легче удается выяснить закономерность многих расчетов. Особенно выигрышным в этом смысле является проведе- ние доказательств теорем сходимости различных численных процес- сов. Кроме того, современные быстродействующие вычислительные машины легко осуществляют основные матричные операции. Для полного понимания содержания книги от читателя требуется известный минимум сведений по линейной алгебре и теории ли- нейных векторных пространств. Чтобы облегчить усвоение этого минимума и избежать отсылки к многим источникам, в книге при- веден весь необходимый дополнительный материал. Соответствую- щие главы независимы от основного текста и могут быть опущены подготовленным читателем. Вкратце остановимся на содержании книги. Книга в основном посвящена следующим вопросам: действия с приближенными чис- лами, вычисление значений функций при помощи рядов и итера- тивных процессов, приближенное и численное решение алгебраи- ческих и трансцендентных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры, интерполирование функций, численное диффе- ренцирование и интегрирование функций, метод Монте-Карло. Большое внимание обращено на удобные способы оценки по- грешностей. Почти для всех процессов даются доказательства теорем сходимости, причем изложение построено так, что при же- лании можно их опустить и ограничиться лишь технической сто- роной дела. В отдельных случаях, в целях наглядности изложения и устранения излишней громоздкости, вычислительные приемы со- общаются рецептурно. Основные методы доведены до численных приложений—даны расчетные схемы и приведены числовые примеры с подробным хо- дом решения. В целях лучшего понимания сути дела большинство ПРЕДИСЛОВИЕ 11 приведенных примеров рассматривается в упрощенной трактовке и носит иллюстративный характер. Использованная и дополнитель- ная литература указана по главам. Настоящая книга излагает избранные методы вычислительной математики, и в нее не включен материал, связанный с эмпириче- скими формулами, квадратичным аппроксимированием функций, приближенным решением дифференциальных уравнений и др. Ав- торы намерены посвятить этим вопросам отдельную книгу. В книгу также не включены сведения о программировании и тех- нике решения математических задач на счетных машинах; по этому вопросу следует обратиться к специальным руководствам. Авторы приносят благодарность коллективу кафедры высшей ма- тематики Артиллерийской инженерной академии им. Ф. Э. Дзер- жинского, принимавшему участие в обсуждении рукописи книги. Особую признательность выражаем Л. А. Люстернику, Г. П. Тол- стову и Н. П. Бусленко, сделавшим ряд замечаний общего харак- тера, Э. 3. Шуваловой, представившей некоторые письменные ма- териалы, Д. М. Гробману за ценные практические советы и А. А. Юшкевичу, прорецензировавшему главу XVII. Авторы благодарны также проф. X. Л. Смолицкому и доц. С. В. Фролову и Р. Я. Шостаку, рецензии которых позволили улуч- шить качество рукописи. Считаем своим долгом отметить компетентную работу редактора Г. И. Бирюк. Москва, 1959 г. Авторы ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Второе издание книги печатается с незначительными изменениями по сравнению с первым. Внесены исправления замеченных ошибок. В конце некоторых глав добавлены отдельные фрагменты. Так, в введении даны дополнительные указания к общим правилам вычи- слительной работы. Сделаны также некоторые замечания к методу Бернулли и др. В 1962 г. Физматгизом была выпущена книга Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. 3. Шувалова «Численные методы анализа», посвя- щенная приближению функций и дифференциальным уравнениям и являющаяся естественным продолжением настоящей книги. Обе эти книги вместе составляют двухтомное учебное пособие по вычисли- тельной математике, охватывающее основные методы численного решения важнейших математических задач. Это учебное пособие содержит материал, достаточный для большого курса приближенных вычислений во втузах, и может быть использовано также студентами физико-математических факультетов, специализирующихся в области вычислительной математики. Москва, 1963 г. Авторы ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Третье издание отличается от второго лишь тем, что исправ- лены замеченные опечатки. Авторы считают приятным долгом выразить свою благодарность Л. Я. Цлафу за ряд ценных указаний. Москва, 1965 г. Авторы ВВЕДЕНИЕ Общие правила вычислительной работы При выполнении массовых вычислений важно придерживаться определенных простых правил, выработанных практикой, соблюдение которых экономит труд вычислителя и позволяет рационально исполь- зовать имеющуюся вычислительную технику и вспомогательные средства. Прежде всего вычислитель должен разработать подробную вы- числительную схему, точно указывающую порядок действий и даю- щую возможность получить искомый результат наиболее простым и быстрым путем. Это особенно необходимо при однотипных вычисле- ниях, так как такая схема, автоматизируя вычисления, позволяет выполнять их более быстро и надежно, что с пользой окунает время, затраченное на составление схемы. Кроме того, имея детальную вычислительную схему для решения задачи, можно использовать труд менее квалифицированных вычислителей. Составление вычислительной схемы проиллюстрируем на следую- щем примере. Пусть требуется вычислить значения данной анали- тической функции У-fW для заданных значений аргумента х=х^, х^, ..., х^. Если число этих значений велико, то неразумно вычислять отдельно сначала значение f[x^), затем значение f{x^) и т. д., каждый раз выполняя всю совокупность операций, указанных символом /. Гораздо целесо- образнее, расчленив функцию/на элементарные операции {действия} m =/„(.. .(А (А {х)))...), вычисления производить однотипными операциями: ".-/iW (г==1, 2, ...,п); •у. =Л , ("<•) {i= =1, 2, . ..,"); У- =/„ (W.) {i= =1, 2, . .., п), Литература к семнадцатой главе 1. Е.С. Вектцел ь, Теория вероятностей, Физматгиз, М., 1958, гл. I—VI 2. Б. В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, Гостехиздат; М.—Л., 1950, гл. I—VI. , . 3. А. С. Х а ус х олде р, Основы численного анализа, ИЛ,М., 1956,гл. VIII, 4. В. Э. Мил н. Численное решение дифференциальных уравнений. При- ложение В, ИЛ, М., 1955. " г 5. Ю. А. Ш ре и де р. Метод статистических испытаний (Монте-Карло), Приборостроение, №7 (1956), 6. Современная математика для инженеров. Под ред. Э. Ф. Беккенбаха, ИЛ, М., 1958. Дж. В. Браун, Методы Монте-Карло. 7. Ф. М. Морз и Дж. Е. К и мб ел л. Методы исследования операций, Сов. радио, М., 1956, гл. VI, § 4. 8. М. Кадыров, Таблицы случайных чисел. Изд. Среднеазиатского гос. ун-та, Ташкент, 1936. 9. А. И. Китов и Н. А. К р и н и ц к и и. Электронные цифровые ма- шины и программирование, Физматгиз, М., 1959, гл. VIII. 10. Дейвис, Рабинович, Опыты по вычислению кратных интегралов методом Монте-Карло. Реферативный журнал (математика) № 2 (1957), 1835. 11. Ю. А. Ш р е и д е р. Решение систем линейных алгебраических урав- нений по методу Монте-Карло. Вопросы теории математических ма- шин, сб. I, Физматгиз, М., 1958. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абрамова А. А. метод 449 Абсолютная погрешность 17 Аналитическая функция 86 Базис пространства 333 — — ортонормированный 339 Бернулли метод 195 — числа 64 Бесселя неравенство 212 — формула интерполяционная 522, 523 Билинейная форма матрицы 376 Биортогональность 382 Бюдана—Фурье теорема 172 Вековое уравнение 368 Вековой определитель 403 Вектор матрицы собственный 367 — нулевой 329 — п-мерный 329 Вектор-столбец 225 Вектор-строка 225 Вектор-функция 450 Векторы линейно зависимые 330 Величина обратная }01 Верные десятичные знаки 23 Вероятностная оценка погрешности 51 Гавурина М. К. метод 449 Гамильтона—Кели тождество 389 Гаусса метод 268, 272 — формула интерполяционная 520 — — квадратурная 600 Герона процесс 104 Главная строка 282 Главный элемент 268, 282 Горизонтальная таблица разностей 501 Горвера схема 74 — — обобщенная 77 Границы действительных корией 165, 167 Графическое дифференцирование 574 — интегрирование 624 — решение уравнения 116 Гурвица теорема 398 — условия 397 Гюа теорема 175 Данилевского метод 403, 404, 410, 411, 421 Датчики случайных чисел 638 Двойной пересчет 607 Двойные разности высших порядков 557 Действительная матрица 361 Действительные корни уравнения 159, 163, 165, 167, 169, 180 Декарта теорема 174 Десятичные знаки верные 23 Детерминант матрицы 226, 264, 283, 380. 402, 403, 421 Дефект матрицы 244 Диагональная матрица 225 — таблица разностей 501 Дифференцирование графическое; 574 — приближенное 562 — численное 571—573 Дроби подходящие 56, 57 — —, закон составления 57 Дробь рациональная 79 — цепная 53, 54 — — бесконечная 64 и д. — •— — расходящаяся 64 — — — сходящаяся 64 — —, звено 53 — — конечная 53 Единичная матрица 226 Единственность корня системы нелиней- ных уравнений 466 — — уравнения 113 — решения системы нелинейных ур<рме- ний 466 Задача теории погрешностей обратная 43 Закон распространения г-ошибки в таб- лице конечных разностей 503 — цепи 652 Звено цепной дроби 53 Зейделя метод 268, 303 — процесс 151 Знаки верные 25 Значения собственные матрицы 421, 431 — — —, свойство экстремальное 378 Интеграл несобственный 618 — — расходящийся 619, 620 — — сходящийся 619, 620 — собственный 618 Интегралы кратные, метод Монте-Карло 641 Интегрирование 577 — графическое 624 Интерполирование в узком смысле 508 — вперед 517 — на середину 523 — назад 517 — квадратичное 510 660 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Интерполирование линейное 510 — обратное для случая неравноотстоящих узлов 550 — — — — равноотстоящих узлов 547 — параболическое 510 — функций 507 — — двух переменных 555 Интерполяционная формула — см. Фор- мула интерполирования Итерация 100, 13S, 268, 294 Лежандра полиномы 597 Линейная зависимость векторов 330 — комбинация векторов 330 — система 306 Линейное векторное пространство 329 — подпространство 334 — преобразование 359 Лобачевского—Граффе метод 176 Логарифмическая функция 92 Люстерника метод 444 Каноническая норма матрицы 239 Канторовича Л. В. метод 621 Квадратичная форма 305 Квадратная матрица 225 Квадратный корень 104 Квадратура механическая 577 Квадратурная формула 578 Квадрирование корней 179, 180, 181 Квазидиагональная матрица 252 Клеточная матрица 252 Комбинация линейная векторов 330 Комбинированный метод 132 Комплексные корни 158 Конечно-разностное уравнение 195 Конечные разности 497 — — второго порядка 206 — — первого порядка 206 — — порядка р 207 Контроль вычислений заключительный 15 — — текущий 15 Конформные матрицы 253 Корень квадратный 104 — —, обратная величина 108 — кубический 108 — полинома действительный 169 — системы линейных уравнений 269 — уравнения 112 Корни линейной системы, уточнение 279 — уравнения в групповом смысле 186 — — действительные 159, 163, 165, 167, 169. 180 — — комплексные 158, 183, 186, 191) — — —, пара комплексных корней 166 — — —, случай двух пар 190 — — кратные 158 — —, отделение 112 — — отделенные 176 Косинус 95 — гиперболический 98 Косинусы направляющие 342 Котеса квадратурная формула 580 — коэффициенты — см. Коэффициенты Котеса Коэффициенты Котеса 581, 586 — Лаграижа 531 — Фурье 210 Крамера правило 268 — формулы 271 Кратность корня 158 Кратные интегралы 641 — корни 158 Кронекера символ 226 Крылова А. Н. метод 213, 412, 421 Кубатура механическая 574 Кубический корень 108 Куммера преобразование 199 Лагранжа коэффициенты 531 — теорема 164 — формула интерполяционная 529, 535 Леверрье метод 417 Маклорена ряд 86 Маркова формула 553 — цепь 652 Матриц равенство 226 — сумма и разность 227 — умножение 228 Матрица 225 —, величина (модуль) 238 — действительная 381 — диагональная 225 — единичная 226 — квадратичной формы 305 — квадратная 225 — квазнднагональная 252 — клеточная 252 — неособенная 232 —, норма 238, 239 — нулевая 226 — обратная 231 — —, уточнение 310 — окаймленная 252 — ортогональная 342 — особенная (сингулярная) 232 — перехода к новому базису 340 —, предел 245 — присоединенная 232 — Противоположная 228 — прямоугольная 225 —, ранг 244 —, рациональная функция 237 — симметрическая 231, 376 — — положительно определенная 380 — сингулярная — см. Матрица особен- ная —, степень 236 — транспонированная 230 — треугольная 260 —, умножение на число 227 — фробеннуса 404 — характеристическая 368 —, элементарное преобразование 263 — Якобн 451 Матрицы конформные 253 — подобные 372 — равные 226 — эквивалентные 263 Матричный ряд 247 Медленная сходимость ряда 199 Метод Абрамова А. А. 449 — Бернулли 195 — Гавурчна М. К. 449 — Гаусса 268, 272, 283 — главных элементов 268, 281 — градиента — см. Ме1пид скорейшрл' спуска — границ 48, 49 — Данилевского Данилевского развертывания векового определителя 403, 404, 410, 411, 421 — двойного пересчета 607 — Зейделя 268, 303 — знакопеременных сумм 165 — интерполяции развертывания векового определителя 403, 421. 553 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 661 Метод исчерпывания 434 — итерации 100, 135, 268, 294 — — для системы двух уравнений 148 — — — — нелинейных уравнений 474 — Канторовича Л. В. выделения осо- бенностей 621 — касательных — см. Метод Ньютона — квадратных корней 268, 289 — комбинированный 132 — Крылова А. Н. 213, 412, 421 — — развертывания векового опреде- лителя 403, 421 — —, собственные векторы матрицы 416 — — улучшения сходимости тригономет- рических рядов Фурье 213 — Леверрье 417 — — развертывания векового определи- теля 403, 421 — Лобачевского—Греффе 176 — — — для случая действительных кор- ней 180 — — — — — комплексных корней 183 — Люстерника улучшения сходимости процесса итерации для решения систе- мы линейных уравнений 444 — Монте-Карло 635 — — вычисления кратных интегралов 641 — —, решение систем линейных уравне- ний 650 — неопределенных коэффициентов 419 — Ньютона 123 и д., 167 — — видоизмененный 131 и д. — — для системы двух линейных урав- нений 152 — — — случая комплексных корней 153 — — решения систем нелинейных урав- нений 450, 452 — — — — — — модифицированный 472 и д. — обратного интерполирования для ре- шений уравнений 551 — окаймления 258 — ослабления — см. Метод релаксации — половинного деления 118 — последовательных приближений — см. Метод итерации — релаксации 268, 307 — Ричардсон^ 314 — скалярных произведений 428 — скорейшего спуска для решения си- стемы линейных уравнений 490 — — — — — — нелинейных уравнений (метод градиента) 485 — степенных рядов для решения системы нелинейных уравнений 494 — Штурма 169 — хорд 119 — ЭЯлера—Абеля 205 — эскалаторный 314 Механическая квадратура 577 — кубатура 577 Минор матрицы 244 Модуль матрицы 238 Монте-Карло метод 635 Направляющие косинусы 342 Начальная погрешность 21 Невязка приближенного решения 279 Неособенная матрица 232 Неподвижная точка преобразования 478 Неполное частное цепной дроби 54 Несобственный интеграл 618 Норма матрицы 238 — — каноническая 239 Нормальные системы линейных уравне- ний 310 Нулевая матрица 226 Ньютона метод — см. Метод Ньютона — теорема 167 — — интерполяционная 510, 515 — — квадратурная 880, 586 Обратная величина 101 — задача теории погрешностей 43 —матрица 231 Обратное интерполирование 547, 550 — преобразование 365 Обращение матрицы 232. 255, 442 — — методом Гаусса 285 Окаймленная матрица 252 Округление 24 Определитель 226, 264, 283 — вековой (характеристический) 380, 402 — —, развертывание 403, 421 Ортогонализация матриц 343 — столбцов 351 Ортогональная матрица 342 — система векторов 338 Основная теорема алгебры 158 Особенная матрица 232 Остаток ряда 80 Остаточная погрешность 21 Отделение корней уравнения 112 ид. Относительная погрешность 49 Отображение сжимающееся 478 Отрицательно определенная квадратичная форма ЗОБ Оценка погрешности вероятностная 51 — — процесса Зейделя 323, 325 — — — итераций 315 Оценки коэффициентов Фурье 211 Ошибка приближенного числа 17 Параболическая формула 589 Переход к новому базису 340 Переходные вероятности 652 Перрона теорема 382 Плотность вероятности 636 Погрешность абсолютная 17 — — разности 33 — — суммы 31 — действий 15 — задачи 20 — интерполяционных формул Ньютона 537 — — — Лагранжа 535 — квадратурных формул 604 — метод» 16, 20 — начальная 21 — округления 15, 21, 24 — остаточная 21 — относительная 19, 25 — — корня 39 — — произведения 35 — — степени 39 — — частного 38 — предельная 19 — — практическая 51 — приближений итерационных 138, 317 — — процесса Зейделя 322, 325 — произведения 35 — разности 33 — суммы 31 662 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Погрешность суммы относительная 28, 29, 32 — формулы квадратурной 606 — центральных интерполяционных фор- мул 539 — частного 38 Подобие матриц 372 Подпространство линейное 334 Подходящие дроби 56, 57 — —, закон составления 57 Показательная функция 88 Полином 74 — интерполяционный Лежандра 597 — — Ньютона 509 — характеристический матрицы 368 Половинное деление 118 Положительно определенная квадратичная форма 305 — — матрица 380 Порядок матрицы 225 Правило Крамера 268 — трех восьмых 586 Предел последовательности матрицы 245 Предельная погрешность 19 Преобразование вращения 362 — Куммера 199 — линейное 359 — матриц 263 — обратное 365 — проектирования 361 — Эйлера—Абеля 206 Приближенное вычисление частных произ- водных 576 — число 17 Принсгейма матрица 68 Принцип аргумента 162 — равных влияний 43 Присоединенная матрица 232 Произведение вектора на число 330 — векторов скалярное 336 — матриц 227. 228, 253 Пространство линейное векторное 330 — решение однородной системы 356 Противоположная матрица 228 Процесс Герона 104 — Зейделя 151 Прямоугольная матрица 225 Равенство матриц 226 Развертывание вековых определителей 402 и д. Разделенные разности 542 — —, таблица 543 Разложение в цепную дробь рациональной функции 71 — — — — 1х 72 — - - - tgx 72 — матрицы билинейное 384 Размерность пространства 332 Разности конечные 497 — — второго порядка 206 — — двойные высших порядков 557 — — первого порядка 206 — — разделенные 542 — — центральные, таблица 519 — — частные 557 — — р-го порядка 207 Разность матриц 227, 253 Ранг матрицы 244 Рациональная дробь 79 — функция матрицы 237 Релаксация 268, 307 Решение конечно-разностного уравнения 195 • ' Решение уравнений графическое 116 ид.. . . Ричардсона метод 314 — экстраполяция 609 Ряд Маклорена 86 — матричный 225, 247, 249 — Тейлора 86 — тригонометрический 247 — числовой 80 — — сходящийся 80 Сжимающееся отображение 478 Символ Кронекера 229 Симметрическая матрица 231, 376 Симметрия эрмитова 336 Симпсона формула 584 — — общая 58 Сингулярная матрица 232 Синус 95 — гиперболический 98 Система векторов ортогональная 338 — двух уравнений 152 — линейная нормальная 306 — линейных уравнений, корни 269 — — —, метод Монте-Карло 650 — — —, методы точные 268 — — — нормальная 310 Скалярное произведение векторов 336 Скорость сходимости процесса Ньютона для системы 465 — — — — — уравнения 128 След матрицы 360 Случайная величина 635 Случайные числа 635 — —, способ получения 638 Собственное значение матрицы 367 — — — второе 431 — — — первое 421 Собственные векторы, метод Данилевского — —, — Крылова 416 — значения матрицы 421, 431 — — —, свойство экстремальное 379 — элементы положительно определенной симметрической матрицы 437 Собственный вектор матрицы 367 — интеграл 618 Соотношения биортогональности 382 Спектр матрицы 369 Степенной ряд (ряд Тейлора} 86 — — матричный 386 Степень матрицы 236 — обобщенная 505 Стирлинга формула дифференцирования 567 — — интерполяционная 521 Строка главная 282 Сумма векторов 329 —матриц 227, 253 — матричного ряда 247 — числового ряда 80 Суммирование приближенное тригономет- рических рядов 222 Схема вычислительная 13 — Горнера 74 — — обобщенная 77 — единственного деления 274 — — —, таблица 275 — Халецкого 291 . Сходимость процесса Зейделя 320, 322, 326, 392 — — — для нормальной системы линей- ных уравнений 395 — — итерации 136 ид, ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 663 Сходимость процесса итерации для систем линейных уравнений 315, 390 — — — — — нелинейных уравнений 481, 483 — — Ньютона для систем нелинейных уравнений 456. 460, 465, 469 — — —, скорость 128, 465 — — —, устойчивость 469 — ряда матричного 247. 386 — — — абсолютная 247 Таблица конечных разностей функции y=lg x 516 — предельной относительной погрешно- сти (определение по числу верных зна- ков) 29 — разностей горизонтальная 501 — — диагональная 501 — — разделенных 543 — — функции y=ex 511 — — — y=sln x 517 — распространения в-ошибки в таблице конечных разностей 503 — центральных разностей 519 — числа верных знаков в зависимости от предельной относительной погрешности 30 Тангенс 96 — гиперболический 99 Тейлора ряд 86 Текущий контроль вычислений 115 Теорема Бюдана—Фурье 172 — Гурвица 398 — Гюа 175 — Декарта 174 — Ньютона 167 — основная алгебры 158 — Перрона 382 — Принсгейма 68 — Штурма 170 Тождество Гамильтона—Кели 389 Точка неподвижная преобразования 478 Транспонирование матрицы 230 Трансцендентные функции матрицы 217 Треугольная матрица 260 Тригонометрические ряды 222 Узлы интерполирования 507, 541 Улучшение сходимости ряда 86. 199 — — — степенного методом Эйлера— Абеля 205 — — — Фурье методом Крылова 213 Уравнение вековое 368 — конечно-разностное 195 — — .решение 195 — матрицы характеристическое 195, 368 Условие сходимости процесса Зейделя второе 322 — — — — первое 320 — — — — по /-норме 326 Условия Гурвица 397 Устойчивость сходимости процесса Нью- тона при варьировании начального приближения 469 Уточнение корней линейной системы 279 — обратной матрицы 310 Формула интегрирования Эйлера—Мак- лорена 616 — интерполирования квадратичного 510 — — Бесселя 522 — — — квадратичная 623 — — — на середину 523 — — Гаусса вторая 620 — — — первая 521 — — Лагранжа 529 — — —, оценка погрешности 535 — — линейного 510 — —. Ньютона вторая 515 — — — для значений аргумента иерав- ноотстоящих 546 — — — для функции двух переменных 559 — — —, оценка погрешности 538 — — — первая 509, 510 — — — —, дифференцирование 563 — — — —, оценка погрешности 538 — — — с разделенными разностями 546 — — параболического 510 — — Стирлинга 521 — квадратурная 578 — — Гуасса 600 — — Котеса 580 — — Ньютона 580, 586 — — Чебышева 593 — кубатурная 627 — — типа Симпсона 629 — Маркова А. А. 553 — параболическая 589 — погрешности общая 41 — Симпсона 584 — — общая 589 — —, остаточный член 585 — Стирлинга, дифференцирование 567 — трапеций 582 — — общая 588 : — —. остаточный член 588 . Формулы дифференцирования централь- ные 567 — — численного 571 — интерполяционные с постоянным ша- гом 525 , . . . . • — — с центральными разностями 519 — Крамера 271 — Ньютона — Котеса 581 — — — высших порядков 586 ; • Фробениуса матрица 404 — нормальный вид опеределителя 404 Функции матрицы рациональные 237 — — трансцендентные 251 Функция двух переменных 555 —, заданная таблицей 46 — интерполирующая 507 — матричная 456 — распределения 636 — у=г" 88 — y^\sx 92, 516 — y=sln x 517 Фурье коэффициенты 210 Халецкого схема 291 Характеристический определитель мат- рицы 380 — полином матрицы 368 Характеристическое уравнение 195 Форма квадратичная 305 — матрицы билинейная 378 Центральные формулы дифференцирова- ния 567 ния 567 664 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Цепная дробь 53, 54 — — бесконечная 64 — — — расходящаяся 64 — — — сходящаяся 64 — —, звено 53 — — конечная 53 Цепь Маркова дискретная 652 Цифра значащая 22 — сомнительная 25 Частное неполное цепной дроби 54 Частные производные 575 — разности 557 Чебышева формула квадратурная 593 Числа случайные 635, 638 Численное дифференцирование 571 Число Бернулли 64 — вернах знаков произведения 37 — — — частного 39 — действительных корней полинома 169 — перемен знаков системы чисел верхнее 172 — — — — — нижнее 172 — приближенное 17 — —, погрешность 17 — характеристическое 367 Числовой ряд 80 Член k-го звена цепной дроби 53 Шаг интерполяции 508 Штурма метод 169 — теорема 170 Эйлера — Авеля метод 205 — — — преобразование 206 Эйлера—Маклорена формула интегриро- вания 616 Эквивалентность матриц 263 Экстраполяция Ричардсона 609 — — для случая формулы трапеций 609 — — формулы Симпсона 610 Экстраполирование 508 — вперед 517 — назад 517 Экстремальное свойство собственных зна- чений матрицы 379 Элемент главный 268, 282 — матрицы 225 Элементы собственные положительно оп- ределенной симметрической матрицы 437 Эрмитова симметрия 336 Якоби матрица 451