FINITE ELEMENTS AND APPROXIMATION O.C. Zienkiewicz K. Morgan University of Wales, Swansea, United Kingdom A Wiley-Interscience Publication ' John Wiley& Sons New York Chichester Brisbane Toronto Singapore 1983 О.Зенкевич К. Морган Конечные элементы и аппроксимация Перевод с английского Б.И. КВАСОВА под редакцией Н.С. БАХВАЛОВА МОСКВА «МИР» 1986 ББК 22.193 356 УДК 519.63+519.65 Зенкевич О., Морган К. 356 Конечные элементы и аппроксимация; Пер. с англ.—М.: Мир, 1986.—318 с., ил. Книга одного из крупнейших английских специалистов по методу конечных элементов О. Зенкевича, написанная им совместно с его учеником и коллегой К. Морганом, служит введением в круг основных понятий численной аппроксимации, используемых при практическом решении дифференциальных уравнений. Для чтения книги достаточно знания математики в объеме вузовских программ и не требуется предварительного знакомства с численными методами решения дифференциальных уравнений. Многочисленные примеры и упражнения способст- вуют усвоению материала. Для специалистов по вычислительной и прикладной математике, физиков, инженеров, а также для студентов и аспирантов университетов и втузов. ББК 22.193 518 -33-86, ч. 1 1702070000-090 041 (01)-86 Редакция литературы по математическим наукам Copyright © 1983 by John Wiley & Sons, Inc. All Right Reserved. Authorized translation from English language edition published by John Wiley & Sons, Inc. © перевод на русский язык, «Мир», 1986 ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Метод конечных элементов в настоящее время является одним из самых распространенных методов решения прикладных задач, например изучения тепловых процессов, прочностных расчетов, проблем динамики жидкости. Наглядность метода и сравнительная простота его применения в случае областей сложной формы сделали его весьма популярным среди широкого круга прикладников, в частности инженеров. На его основе создан и успешно эксплуати- руется ряд промышленных систем прикладных расчетов. Первоначально метод конечных элементов был предложен инже- нерами, нашел широкое применение на практике, но значительное время оставался вне поля зрения математиков. После подробного математического его исследования оказалось, что при негладких входных данных задачи метод конечных элементов часто сходится быстрее, чем метод конечных разностей, а иногда вообще обладает оптимальной скоростью сходимости. Один из авторов, Ольгерд Зенкевич, относится к числу осново- положников метода конечных элементов, описание которого зани- мает центральное место в книге. Она адресована прежде всего инже- нерам, и. поэтому в ней, как пишут авторы, «сделана попытка дать изложение, которое при разумной строгости было бы доступно тем, кто знаком лишь с основами математического анализа». И хотя понятия «разумной строгости» анализа вычислительных алгоритмов у математиков и у инженеров отнюдь не совпадают (например, в книге вообще не уделяется внимания устойчивости решения по отношению к вычислительной погрешности), мы редко вмешива- лись в авторский текст, чтобы не нарушать цельности изложе- ния. При общей ориентации на первоначальное ознакомление чита- теля с методом конечных элементов книга содержит материал, инте- 6 От редактора перевода ресный и для специалистов. Здесь следует прежде всего указать установление взаимосвязи между методом конечных элементов, методом конечных разностей и другими приближенными методами решения дифференциальных уравнений. Однако главная ее цен- ность — систематическое и подробное описание метода, иллюстри- рованное многочисленными примерами и позволяющее читателю войти в курс предмета. Н. С. Бахвалов Москва март 198,'i г. Посвящается Элен. и Элизабет ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящее время метод конечных элементов является мощным средством приближенного решения дифференциальных уравнений, описывающих различные физические процессы. Многообразны его применения в технике и научных исследованиях, и можно с полным основанием сказать, что без него (и его служанки ЭВМ) многие задачи не могли бы быть решены. Однако, несмотря на столь широкое распространение метода, у пользователей, обучавшихся по стандар- тным студенческим курсам и даже по спецкурсам, зачастую наблю- дается непонимание используемых в нем идей. Наша книга адресо- вана такой аудитории и может быть положена в основу учебных курсов для студентов и аспирантов: в течение последних лет в Уэльском университете студентам, специализирующимся по граж- данскому строительству, читался курс, построенный на материале отдельных разделов этой книги, и, по нашему мнению, такой курс воспринимался без особого труда. При работе над текстом авторы учитывали интересы инженеров и физиков, так что содержание книги рассчитано на всех, кто изучает этот предмет. Прошло около 25 лет с того момента как был введен в обращение термин «метод конечных элементов». В то время его идейным источ- ником было исследование механических конструкций и аналогии с такого рода дискретными проблемами использовались для реше- ния непрерывных задач. По мере углубления понимания основного процесса становилась очевидной его связь с другими приближен- ными методами (такими, как методы Релея, Ритца и Галер кина), и достигнутая общность привлекла к этой области внимание мате- матиков. К сожалению, многие из их работ написаны на языке, малопонятном для представителей иных специальностей. Поэтому в нашей книге сделана попытка дать изложение, которое при разум- ной строгости было бы доступно тем, кто знаком лишь с основами математического анализа. 8 Предисловие До появления метода конечных элементов существовало много иных численных процессов аппроксимации. Это уже зарекомендо- вавшие себя методы граничных решений и конечно-разностные ме- тоды. Их приверженцы по временам скрещивали шпаги с защитни- ками метода конечных элементов, провозглашая те или иные их преимущества. В настоящее время некоторые из нас видят, что все процессы аппроксимации, используемые при решении описываемых дифференциальными уравнениями задач, по существу составляют единое целое, и эта мысль постоянно подчеркивается в книге. Мы пытаемся показать, что можно ввести «обобщенный метод конечных элементов», охватывающий все возможные варианты и, таким об- разом, оставляющий простор для выбора пользователем оптималь- ной аппроксимации. По этой причине книга начинается с главы, посвященной конечно-разностным методам,— возможно, наиболее наглядным (и старейшим) процедурам аппроксимации. Мы старались обеспечить достаточное число иллюстративных примеров, а также упражнений, чтобы книга могла служить учеб- ником (или даже самоучителем). Любые предложения читателя по конкретным улучшениям будут приветствоваться. В заключение мы хотели бы поблагодарить д-ра Дона Келли за содействие в написании посвященной оценкам погрешностей части гл. 8 и секретарей Отдела гражданского строительства в Суонси за перепечатку рукописи. О. Зенкевич К- Морган Суонси, Уэльс, Великобритания Сентябрь 1982 г. Глава 1 НЕПРЕРЫВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И НЕОБХОДИМОСТЬ ЧИСЛЕННОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ 1.1. Введение При поиске количественного описания физического явления инженер и физик обычно вводят в рассмотрение некоторую систему обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений с частными производными, справедливую в определенной области, и налагают на эту систему подходящие краевые и начальные условия. На этой стадии математическая модель замкнута, и для практических применений требуется только найти решение для конкретного мно- жества числовых данных. Здесь, однако, возникают основные труд- ности, так как точному решению существующими математическими методами поддаются лишь уравнения самого простого вида внутри геометрически тривиальных границ. Обыкновенные дифференци- альные уравнения с постоянными коэффициентами являются одним из немногих примеров, для которых имеются стандартные процеду- ры решения, но даже здесь при большом числе зависимых перемен- ных встречаются значительные трудности. Чтобы преодолеть эти трудности и иметь возможность восполь- зоваться наиболее мощным средством вычислений нашего века — цифровой ЭВМ,— необходимо преобразовать задачу к чисто ал- гебраической форме, включающей только основные арифметические операции. Для достижения этой цели могут быть использованы различные виды дискретизации непрерывной задачи, определенной дифференциальными уравнениями. При такой дискретизации беско- нечное множество чисел, представляющих неизвестную функцию или функции, заменяется конечным числом неизвестных парамет- ров, и для этого процесса, вообще говоря, требуется некоторая форма аппроксимации. Среди различных возможных видов дискретизации одним из простейших является процесс перехода к конечным разностям. В этой главе описываются некоторые из основных моментов этого процесса, что позволит сформулировать суть метода. Остальная часть книги касается различных аппроксимаций базисными функ- циями, при общей классификации относящихся к методам конеч- ных элементов. Читатель увидит впоследствии, что даже конечно- разностный процесс может быть включен (как подкласс) в эту более общую категорию. Дополнительная литература1) Математическая теория метода конечных элементов Деклу Ж. Метод конечных элементов.—М.: Мир, 1976. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точ- ности.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы,— М.; Наука, 1981. Обэн Ж. П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.—М.: Мир, 1977. Оганесян Л. А., Руховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений.— Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1979. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.—М.: Мир, 1980. Решение задач механики сплошных сред Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках.—М.: Мир, 1984. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы.— М.: Мир, 1984. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.—М.: Мир, 1975. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред.— М.: Недра, 1974. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жид- кости.—Л.: Судостроение, 1979. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.— М.: Мир, 1976. Уманский С. Э. Оптимизация приближенных методов решения краевых задач механики.— Киев: Наукова думка, 1983. Техника программирования метода конечных алементов Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов.—М,: Мир, 1981. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов.—М.: Мир, 1979. Конкретные технические приложения Ержанов Ж. С., Каримбаев Т. Д. Метод конечных элементов в задачах механики горных пород.— Алма-Ата; Наука, 1975. Квитка А. Л., Ворошко П. П., Бобрицкая С. Д. Напряженно-деформи- рованное состояние тел вращения.— Киев: Наукова думка, 1977. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭЦВМ/Под ред. А. Ф. Смирнова. В 2-х частях.— М.: Стройиздат, 1976. Морозов Е. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения.—М.: Наука, 1980. 1) Поскольку списки литературы, приведенные в конце глав, содержат в основном работы на английском языке, мы сочли целесообразным добавить при переводе список книг на русском языке,— Прим. ред. Дополнительная литература 305 Немчинов Ю. И. Расчет пространственных конструкций (метод конечных элементов).— Киев: Будивельник, 1980. Постнов В. А., Хархурин И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций.— Л.: Судостроение, 1974. Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций.—Л.: Судостроение, 1977. -,,„„ „ Розин Л. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод ко- нечных элементов.—Л.: Энергия, 1971. Розин Л. А. Основы метода конечных элементов в теории упругости.— Л.: Изд-во ЛПИ, 1972. Розин Л А. Стержневые системы как системы конечных элементов.—Л.{ Изд-во ЛГУ, 1976. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим систе- мам.—М.: Стройиздат, 1977. „ Синицын А. Н. Метод конечных элементов в динамике сооружении.— м.а Стройиздат, 1978. Слесарев И. С., Сироткин А. М. Вариационно-разностные схемы в теории переноса нейтронов.—М.: Атомиздат, 1978. Шабров Н. Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей.—Л.: Машиностроение, 1983. Именной указатель Агошков В. И. 304 Андреев А. Б. 122 Андреев В. Б. 36 Иванов М. Я. 208 Баттерфилд Р. 304 Бахвалов Н. С. 19, 122 Бенерджи П. 304 Березин И. С. 19 Бобрицкая С. Д. 304 Бреббиа К. (Brebbia С. А.) 92, 304 Вайнберг М. М. 250 Васидзу (Washizu К.) 250 Воеводин В. В. 262 Ворошко П. П. 304 Каримбаев Т. Д. 304 Карслоу (Carslaw H. S.) 39 Квитка А. Л. 304 Келли (Kelly D. W.) 8, 91, 302, 303 Коллатц (Collatz L.) 92, 251 Коннор Дж. 304 Корнеев В. Г. 304 Крайко А. Н. 208 Крылов В. И. 219 Кузнецов Ю. А. 122 Курант (Courant R.) 91, 219, 250 Лазарев Р. Д. 122 Галлагер Р. 304 Годунов С. К. 208 Гудьер (Goodier J. N.) 91, 92 Марчук Г. И. 37, 304 Митчелл (Mitchell A. R.) 39, 153, 289 Михлин С. Г. 43, 91, 250, 251 Морозов Е. М. 304 Мысовских И. П. 204 Даутов Р. 3. 122 Деклу Ж. 304 Дьяконов Е. Т. 219 Егер (Jaeger J. С.) 39 Ержанов Ж. С. 304 Немчинов Ю. И. 305 Никишков Г. П. 304 Николаев Е. С. 30, 36 Норри Д. 304 Жидков Н. П. 19 Обэн Ж. П. 304 Оганесян Л. А. 304 Оден (Oden J, Т.) 152, 184, 220, 304 Забродин А. В. 208 Зенкевич (Zienkiewicz О. С.) 5, 39, 91, 153, 184, 219, 289, 302—304 Постнов В. А. 305 Прокопов Г, П. 208 Именной указатель 307 Розин Л. А. 305 Руховец Л. А. 305 BabuSka I. 303 Bathe К. J. 289 Becker Е. В. 152, 184, 220 Bettess P. 91, 220, 302 Boor de С. 184 Самарский А. А. 19, 30, 36 Сегерлинд Л. 304 Синицын А. Н. 305 Сироткин- А. М. 305 Слесарев И. С. 305 Смирнов А. Ф. 304 Смолицкий X. Л. 251 Стренг (Strang G.) 92, 251 Сьярле Ф. 304 Carey G. F. 152, 184, 220 Clough R. W. 153 Conte S. D. 184 Cowper E. R. 219 Crandall S. H. 39, 92, 289 Davies A. J. 153, 184, 220 Тимошенко С. П. 91, 92 Треффц (Trefftz E.) 91 Уилкинсон (Wilkinson J. H.) 289 Уманский С. Э. 304 Уокер (Walker S.) 92 Уэйт (Wait R.) 39, 153 Finlayson В. А. 91, 251 Fox L. 289 Fried I. 39, 153, 184, 251, 289 Froberg С. Е. 219 Фикс (Fix G. J.) 92, 251 Фриз де Ж. 304 Gago J. P. de S. R. 303 Glowinski R. 91, 302 Goodwin E. T. 289 Gordon W. J. 220 Griffits D. F. 39, 289 Харти М. Е. 122 Хархурин И. Я. 305 Хейгеман (Hageman L. A.) 39 Hall С. А. 220 Hammer P. С. 219 Hinton E. 153, 184, 220 Huebner К. Н. 153 Чанг И. 304 Irons В. М. 152, 219, 289 Шабров Н. Н. 305 Шайдуров В. В. 37 Янг (Young D. M.) 39 Ahmad S, 289 Marlowe 0. Р. 219 Martin H. С. 153 Mastin С. W. 219 Mote С. D. 302 Newmark N. М, 289 308 Именной указатель Owen D.R.J. 153, 184 Pasini A. 184 Parker I. В. 92 Peano A. 184 Pope S. В. 219 Potter D. 39 Rheinboldt W. С. 303 Riccioni R. 184 Richards Т. Н. 92, 251 Rodin E. Y. 91, 302 Sardella L. 184 Smith G. D. 39, 289 Smith R. E. 220 Sokolnikoff I. S. 39 Stackgold I. 250 Stroud A. H. 219 Thames F. C. 219 Thompson J. F. 219 Thornton E. A. 153 Tong P. 152 Topp L. J. 153 Turner M. J. 153 Whiteman J. 303 Wilson E. L. 289 Предметный указатель Адаптивное уточнение 178, 292, 296 Адаптивные процедуры 292—301 Адаптивный алгоритм 299, 300 Аналитическая функция 72, 73 Ансамблирование 188, 217 — в одномерном случае 106, 108— 115, 162, 163, 249, 259 — для прямоугольных элементов 134, 138—140 — — треугольных элементов 123— 126, 132, 134—138, 157—178 Аппроксимации порядок 154 Аппроксимация базисными функциями 9, 111, 154, 155, 290, 291, 293 — — — кусочно-линейными 96—100, 104—146 — — — кусочно-постоянными 94— 100, 114, 115 — — —решений дифференциальных уравнений 51, 156, 233—251, 253—255 — — — — нелинейных уравнений 87—90 —— — — нестационарных задач 256—288 — — — — системы уравнений 75—87 — высшего порядка 154—184 — — — глобальная 96, 172 — по Галеркину 163, 210, 216, 250, 258, 264. См. также Галеркина метод — производных 14—17, 28, 32, 38, 52, 156 — функции методом взвешенных невя- зок 44—51, 97—107 — — — интерполяции 41 — — — конечных элементов 93—107 — — — поточечной коллокации 45— 46 — — рядом Фурье 43, 47—48 Базисные функции 40, 76, 93, 147, 164, 165, 167, 174, 185, 186, 248, 253, 254, 256, 266—268, 290, 291 — — билинейные 126—128, 132—135, 138—140, 174, 188, 193, 209, 299 — — высшего порядка 154—184, 217 — — глобальные 94—96, 105, 123, 128, 171, 190, 208, 291 — — иерархические 154, 163—170, 176—178, 181, 192, 213, 216, 217, 295—299 — — квадратичные 195, 196 — — кусочно-линейные 95, 100, 104— 146, 154, 215, 236, 257, 258 — — кусочно-определенные 93, 142, 154, 215 — — кусочно-постоянные 94, 100, 104—146, 154 — — локальные 290, 291 — — непрерывные (гладкие) 40, 91, 164, 165, 236, 239, 241, 246, 247, 253, 254, 260, 290 — — от координат и времени 267, 282, 288 — — разрывные 41, 147 — — симметричные 56, 84, 254 — — четные 56—57, 61 — — элемента 95, 108, 123, 126, 131, 132, 158—164, 167, 168, 172, 173, 186, 188, 190, 191, 195, 196, 205 Баланс токов 211 Вариационные принципы естественные 222—241 — — модифицированные 238—241 — — общие 241—243, 245 Вектор граничной нагрузки 144 Векторная запись дифференциального уравнения 253, 257, 259—288 — — системы алгебраических урав- нений см. Линейных уравнений система Весовые функции 45—90, 97, 102, 103, 110, 120, 129, 143, 147, 157, 269, 272, 283 — — граничные 59, 63, 64, 72, 74, 110, 120, 153 — — симметричные 284 Взвешенных невязок метод 44—91, 97, 101, 104—122, 129—150, 156, 157, 200, 218, 239, 243, 253, 254, Предметный указатель Адаптивное уточнение 178, 292, 296 Адаптивные процедуры 292—301 Адаптивный алгоритм 299, 300 Аналитическая функция 72, 73 Ансамблирование 188, 217 — в одномерном случае 106, 108— 115, 162, 163, 249, 259 — для прямоугольных элементов 134, 138—140 — — треугольных элементов 123— 126, 132, 134—138, 157—178 Аппроксимации порядок 154 Аппроксимация базисными функциями 9, 111, 154, 155, 290, 291, 293 — — — кусочно-линейными 96—100, 104—146 — — — кусочно-постоянными 94— 100, 114, 115 — — —решений дифференциальных уравнений 51, 156, 233—251, 253—255 — — — — нелинейных уравнений 87—90 —— — — нестационарных задач 256—288 — — — — системы уравнений 75—87 — высшего порядка 154—184 — — — глобальная 96, 172 — по Галеркину 163, 210, 216, 250, 258, 264. См. также Галеркина метод — производных 14—17, 28, 32, 38, 52, 156 — функции методом взвешенных невя- зок 44—51, 97—107 — — — интерполяции 41 — — — конечных элементов 93—107 — — — поточечной коллокации 45— 46 — — рядом Фурье 43, 47—48 Базисные функции 40, 76, 93, 147, 164, 165, 167, 174, 185, 186, 248, 253, 254, 256, 266—268, 290, 291 — — билинейные 126—128, 132—135, 138—140, 174, 188, 193, 209, 299 — — высшего порядка 154—184, 217 — — глобальные 94—96, 105, 123, 128, 171, 190, 208, 291 — — иерархические 154, 163—170, 176—178, 181, 192, 213, 216, 217, 295—299 — — квадратичные 195, 196 — — кусочно-линейные 95, 100, 104— 146, 154, 215, 236, 257, 258 — — кусочно-определенные 93, 142, 154, 215 — — кусочно-постоянные 94, 100, 104—146, 154 — — локальные 290, 291 — — непрерывные (гладкие) 40, 91, 164, 165, 236, 239, 241, 246, 247, 253, 254, 260, 290 — — от координат и времени 267, 282, 288 — — разрывные 41, 147 — — симметричные 56, 84, 254 — — четные 56—57, 61 — — элемента 95, 108, 123, 126, 131, 132, 158—164, 167, 168, 172, 173, 186, 188, 190, 191, 195, 196, 205 Баланс токов 211 Вариационные принципы естественные 222—241 — — модифицированные 238—241 — — общие 241—243, 245 Вектор граничной нагрузки 144 Векторная запись дифференциального уравнения 253, 257, 259—288 — — системы алгебраических урав- нений см. Линейных уравнений система Весовые функции 45—90, 97, 102, 103, 110, 120, 129, 143, 147, 157, 269, 272, 283 — — граничные 59, 63, 64, 72, 74, 110, 120, 153 — — симметричные 284 Взвешенных невязок метод 44—91, 97, 101, 104—122, 129—150, 156, 157, 200, 218, 239, 243, 253, 254, 310 Предметный указатель 256—257, 264, 268, 269, 283, 290, 291 — — — система уравнений 45, 52— 53, 59, 76, 105, 110, 112, 115,120, 143, 148, 216, 258, 273, 287. 295 — — — — — слабая форма 64, 82, 103, 120, 123, 129, 156, 170, 183, 258 Виртуальной работы принцип 83 Вязкости коэффициент 20 Галеркина метод 46—91, 121, 97—150, 160, 164, 234, 235, 249, 260, 267, 272, 274, 275, 278, 293. См. также Аппроксимация по Галеркину Галеркина — Бубнова метод 46 Галеркина — Петрова метод 46 Глобальная система координат 185, 189, 190, 193, 213 Глобальное решение 291 Граничного решения методы 71—75, 290, 291 Грина формула 67, 68, 82, 225, 231, 239 Груз, подвешенный на пружине 288 Деформации 80, 120, 143 Деформаций энергия 224 Динамическое поведение конструкций 252 Дирака дельта-функция 45, 103, 147, 294 Дирихле краевое условие 11, 51, 87 Дискретизации погрешность 291—301 Дискретизация 9, 13, 14, 36, 253 — независимой переменной 14 — частичная 252 — — для краевых задач 252—262 — — — нестационарных задач 256— 260 Дискретные системы 116—122 Допустимые вариации 222, 224, 228 — функции 222—225, 229—232 Естественные краевые условия см. Краевые условия Жесткости матрица 117, 118 Жесткость на изгиб 38, 225, 232, 236, 260 — упругого основания 20, 38, 225, 232 Задача о распространении тепла в хи- мически реагирующих материалах 26 — об электромагните 152 Задачи краевые 12, 253, 293 — кручения 30—32, 37, 56, 61, 73— 75, 142, 183, 232, 245, 253, 255 — непрерывные 9, 10, 221 — нестационарные 252, 256—288 — с начальными данными 252, 256— 288 — теории упругости 80—87, 142—146, 293, 294, 297 Затухания функция 214 Измельчение сетки 154, 291, 292, 294 Изменение температуры в вязкой жид- кости 20, 115 Изотропная среда 10 Интегрирование по частям 65, 105, 114, 115, 120, 223, 227, 230, 258, 904_90^ Интерполяция 189, 191, 206, 207, 210, 218, 270, 273, 284, 295 Итерационные методы 25, 36, 88, 287 Канторовича метод 252 Кирхгофа закон 118 Класс гладкости С'' 101. См. также С°-гладкость, С^-гладкость — — С5-1 101 Колебания балки 260, 266 — струны 256, 260, 266, 288 Коллокация по подобластям 46 — поточечная 45—46, 53, 89, 90, 94— 97, 103, 147, 254, 255, 270, 272, 287, 291 Комплексная переменная 72 Конечно-разностная сетка 14, 255 — — нерегулярная 38, 291 Конечно-элементная сетка 128, 154, 217, 248, 280 — — прямоугольная 134, 135, 141, 142 — — смешанная 128, 142 — — треугольная 123—125, 134, 135, 141, 142, 145, 146, 150—152 Конечные элементы см. Элемент Конечных разностей методы 53, 68, 91, 111, 125, 290 — — — аппроксимация производных 14-17, 28, 32 — — — в случае двумерном 27—34, 208, 255 — — — — — одномерном 13—27 —— — — для задач нелинейных 24, 36 — — — — — нестационарных 270— 272 — — — — — с краевыми условиями для производных 21—23, 31, 35— 36 — — — — областей неправильной формы 34—36, 208 — — — использование отображения 208, 209 — — — сравнение с другими метода- ми 56, 107, 111, 119, 122, 140, 147— 150, 290—291 — элементов методы 9, 93, 218, 247, 290, 294, 297 — — — в случае двумерном 97, 123— 146, 155, 170—181, 254, 255, 299— 301 — — — — — одномерном 93—122, 154, 158—170, 247—250, 296— 299 — — — — — трехмерном 128, 129, 182 — — — для бесконечных областей 210—217 — — — — задач нелинейных 150, 306 — — — — — с краевыми условиями для производных 110, 115, 120, 129—135, 142 — — — использование отображения 187, 188, 191—196, 205—218 — — — — численного интегрирова- ния 196—204, 217 — — — сравнение с другими мето- дами 107, 111, 119, 122, 140, 142, 147—150, 290, 291 Конструкций динамическое поведение 252 — исследование 116 Координаты барицентрические 178 — площади 178—180 — полярные 33, 185—188 — треугольные 178 Кранка — Николсона схема 272, 274, 275, 278 Краевое условие Дирихле 11, 51, 87 — Неймана 12, 51, 88 Краевые условия 9, 11, 256 — — главные 223, 225, 235, 236, 253, 256, 257, 259 — — для производных 21—23, 35, 36, 38, 65—71, 110, 115, 120, 129— 135, 142, 150, 209, 225, 231, 232, 234 — — естественные 64—71, 81—83, 85, 110, 223—225,229—232, 235, 236 Предметный указатель 311 — — однородные 226, 228, 230 — — симметричные 30, 31 Крутящий момент 30, 75 Кусочное тестирование 157, 163 Лагранжа метод множителей 221, 236— 241, 245 — множители 236, 241 — — физический смысл 238—241 — фундаментальный многочлен 160, 172, 180 Лапласа оператор 294 — уравнение 13, 72, 73, 208 — — в полярных координатах 33 Лежандра многочлены 91, 168, 170 Линейный оператор 51, 64, 226, 228, 229, 233, 256, 297 Линейных уравнений система 18, 21— 23, 29, 45, 51—52, 59, 62, 78, 83, 85, 88, 97, 105, 107, 110, 114, 121, 122, 130, 143, 234, 237, 240. 242. 244, 246, 248, 253 Магнитная проницаемость 152 Магнитное поле 210, 211 Математическая модель 9, 291, 292 Матрица весовых функций 76, 77 — Гильберта 91 — глобальная 111, 134, 135, 140, 272, 280, 284 — диагональная 56, 76, 77, 100, 164, 271, 272, 284 — жесткости 117, 118 — заполненная 53 — импеданса 118 — коэффициентов проводимости 118 —ленточная 29, 53, 94, 111, 125 — невырожденная 186 — несимметричная 58, 68, 267, 281 — положительно определенная 18, 29, 243, 261, 262, 276, 285 — плохо обусловленная 91, 111 — разреженная 125 — симметричная 18, 29, 46, 58, 68 83, 85, 100, 111, 234, 250, 260, 281 — элемента см. Элемента матрица — Якоби 186, 191, 195, 196, 209 Матрицы обращение 18, 19, 191, 196, 243, 271, 280 — ширина ленты 97 — — полуленты 124, 125 Мембрана 13 Метод взвешенных невязок см. Взве- шенных невязок метод — моментов 48 312 Предметный указатель — прогонки 19 — простой итерации 25, 88 — прямых 252 Методы граничного решения 71—74, 290, 291 — конечных разностей см. Конечных разностей методы — — элементов см. Конечных элемен- тов методы Нагрузки поверхностные 81, 83 Наименьших квадратов метод 48, 49, 57, 58, 221, 245—250, 281 Напряжения 120, 142, 145, 301 — плоские 80—87 Натянутая струна 224, 256, 260, 266, 288 Начальные условия 11, 12, 256 Невязка 44, 48, 52, 298 — дискретная 60 — на границе 59, 101, 105, 297 — по области 59, 101, 103, 254, 293, 294, 297 Неймана краевое условие 12, 51, 88 Нелинейные задачи 24—27, 36, 87— 90, 266, 287 — уравнения 24—27, 36, 88, 260 Непрерывности (гладкости) требова- ния 101—103, 105, 123, 147, 157, 185, 191, 246. См. также (^-глад- кость, (^-гладкость Непрерывные задачи 9, 10, 221 Нестационарные задачи 253, 256—288 Норма энергетическая 293—301 Ныомарка схема 284 Область определения задачи 9—12 — — — бесконечная 205, 210—212,266 — — — временная 267, 268 — — — локальная 189 — — — отражение 196 — — — преобразование 191 —•— — призматическая 253, 256 — — — пространственная 256 — — — пространственно-временная 252 — — — разбиение на элементы 123— 125, 127—128, 135, 155 — — — точное представление 127, 128, 185, 191, 197, 217, 291 Обобщенный метод конечных элементов 8, 290, 291 Обращение матрицы см. Матрицы об- ращение Ограничение 236, 238, 242, 243, 245 Оператор линейный 51, 64, 226, 228, 229, 233, 256, 293 — симметричный 226—234 — сопряженный 242 Ортогональность функций 48, 56, 57, 91, 164, 170, 262, 263, 295 Особые точки 155 Отклонение балки 38, 58, 70, 86, 146, 170, 225, 232, 236, 250 — поперечное мембраны 13 — — упругой пластины 38, 49, 58, 63, 71, 146, 183, 232 — троса 20, 115, 225 — упругой струны 224, 230 Отображение 205—217 — бесконечной области 205, 210—217 — вырожденное 191, 193 — изопараметрическое 190—196 — использование в методе конечных разностей 208, 209 — — — — — элементов 187, 188, 191—196, 205—218 — линейное 188 — обратное 213, 216 — общего вида 38, 185—196, 217—219 — параметрическое 189—196, 205, 212, 219 — с помощью решения дополнитель- ных уравнений 205, 208, 209 — — — составных функций (состав- ной процесс) 205, 207—209, 217, 218 Паскаля треугольник 172, 173, 176, 178 Перемещения 80, 81, 83 — аксиально нагруженного стержня 119—122, 236, 241 — пластины 84—86 Плотина 124, 125, 150, 151, 192, 299— 301 — распределение напряжений 125, 150, 151, 300, 301 — — температур 125 Плотность материала 10, 256, 260 — тока 211 Погрешности границы 250 — мера 293—294 — оценка 293—301 — — апостериорная 297 — порядок 15, 37, 155, 271, 292, 294 Погрешность 15—17 — вычислительная 291 — локальная 293 — округления 165 Подвектор 78, 248 Подматрица 78, 83, 248 Подобласти 93 Поле магнитное 210, 211 — перемещений 143 Полнота системы функций 41, 43, 97, 155, 156 — — — многочисленных базисных 155 Положительно определенная матрица 18, 29, 243, 261, 262, 276, 285 — определенный оператор 226, 227, 229—230, 233, 234 Полюс 215, 217 Порядок аппроксимации 154 — погрешности см. Погрешности по- рядок — сходимости 157 Построение конечно-элементной сетки 217—219 Потенциал 13, 211 Потенциальная энергия 224, 225, 236 — — минимизация 221 — — нагрузки 224 Призматическая область 253, 256 Проницаемость 13 — магнитная 152 Процесс перехода к конечным разно- стям 9 Прямых метод 252 Пуассона коэффициент 81, 84 Разложение в ряд Тейлора 14, 15, 17, 35, 115, 142, 147, 270, 294 — — — — функции двух переменных 28, 155 Разность вперед 15, 20, 28, 271, 274, 275, 280 — назад 16, 20, 21, 28, 31, 272, 274, 275, 278 — центральная 16, 22, 23, 28, 68, 122, 272 Разрыв касательных напряжений 294, 297 Распределение изгибающего момента в балке 20, 58, 63, 115, 163, 245 Распространение волн 252 Релея — Ритца метод 233—236 Решение глобальное 291 Ричардсона экстраполяция 37, 38 Сдвига модуль 30 Сектор кольца 33 Сетка конечно-разностная 14, 255 — — нерегулярная 38, 291 — конечно-элементная см. Конечно- элементная сетка Предметный указатель 313 Сила инерции 119 — тяжести 119, 151 Силы объемные 145 Симметричный оператор 226—234 Система координат глобальная 185, 189, 190, 193, 213 — — локальная 173—174, 185, 186, 193 Системы дискретные 116—122 Смешанная формулировка 80, 104, 111, 247 Собственные векторы 261—263, 265, 276, 285 — — комплексные 262 — — нормированные 261 — значения 261—263, 265, 276, 279, 280, 285 — — глобальные 280 — — комплексные 262 — — локальные (элементов) 280 — частоты 261 Сопряженный оператор 242 Составной процесс 205, 207, 217, 218 Составные функции 208, 209 Сосуд высокого давления 192 Стационарные условия 12, 129, 253 Суперсходимость 122 Схема интегрирования по времени 266— 288 — — — — безусловно неустойчивая 288 ————— устойчивая 277, 279, 286 — — — — возможность возникнове- ния колебаний 275—282, 288 — — — — двухслойная 269—285, 287, 288 — — — — Кранка — Николсона 272, 274, 275, 278 — — — — неустойчивая 275 — — — — неявная 272 — — — — Ныомарка 284 — — — — с искусственным затуха- нием 286, 287 — — — — свободная от колебаний 277—279 — _ — _ трехслойная 273, 275, 284— 288 — — — — условно устойчивая 279, 280, 284 — — — — устойчивости характери- стики 275—282, 285—288 — — — — явная 271, 281, 282, 284, 288 Сходимость аппроксимации базисными функциями 40—41, 45, 60, 62, 66, 70, 155, 156 . 314 Предметный указатель — итеративного процесса 25, 88, 90 — метода конечных разностей 37, 155 — — — элементов 182, 193, 301 /i-сходимость 182 р-сходимость 182 Тепла генерирование 10, 14, 23, 26, 77, 235, 263 — поток 10, 21, 35, 77, 108, 140, 209, 239, 260 — распространение в стенках трубы 33 Теплоемкость 256 — удельная 10 Теплопроводности коэффициент 10 — — зависящий от температуры 24, 36, 87—89, 260 — — переменный 122, 225, 230 — — постоянный 14, 27, 68, 77, 134, 209, 247, 256 — уравнение 10 — — вывод 10—12 — — двумерное 27—30, 32, 33, 58, 66—71, 77—81, 129—142, 188, 208, 209, 225, 230—232, 238, 239, 245 — — краевые условия 11, 12 — — — — естественные 64—71, 225 — — нелинейное 24—27, 36, 88—90 — — нестационарное 10,12,253, 256— 260, 263—266, 282 — — одномерное 13—27,58, 108, 111— 115, 120, 122, 163, 235, 247 Течение грунтовых вод под перемычкой 33 — жидкости вязкой между пластинами 20, 115 — — идеальной безвихревое 13, 86, 87 — — через пористую среду 13, 33 Тока плотность 211 — сила 152 Узловые значения 95, 96, 100, 104, 109, 129, 131, 157, 163, 213 — напряжения 118 — переменные векторного типа 145 — перемещения 116, 118, 143 Узлы 94—96, 104, 106 —нумерация 97, 104, 106, 109, 112, 116, 117, 125, 126, 178, 258, 264 — расположение 123—125, 130, 191, 192 Уравнения несимметричные 58, 80 — равновесия 81, 82, 117, 119, 221 — симметричные 58, 65, 100 Уточнение адаптивное 178, 292, 296 — иерархическое 291, 295, 296, 298 — последовательное 19, 20, 36, 37, 43, 50, 54—56, 60, 62, 66, 70, 79, 80, 85, 86, 292, 299—301 — решения 154, 164, 165, 178 Физические аналоги процесса ансамб- лирования 116—122 Физический смысл множителей Лаг- ранжа 238—241 Фронтального решения процедура 126 Функции базисные см. Базисные функ- ции — весовые см. Весовые функции — пробные 40, 45. См. также Базис- ные функции — формы 40. См. также Базисные функции Функционал 221—248, 250 Фурье ряды 43, 44, 47, 48 Характеристики устойчивости схемы интегрирования по времени 275—282, 285—288 Центральная разность 16, 22, 23, 28, 68, 122, 272 Частичная дискретизация см. Дискре- тизация частичная Чебышева многочлены 91, 254 Численное интегрирование 191, 196, 204, 217, 218, 287 — — квадратуры Гаусса 198—204 — — — Гаусса — Лежандра 200— 204 — — — Гаусса — Лобатто 201, 282 — — — Маркова 201 — — — Ньютона — Котеса 198, 200, 201, 204 — — набор точек 197 — — правило трапеций 31, 50, 197, 198 — — Симпсона формула 201, 204 — — узлы 197, 198, 200, 201, 203, 204 Штрафа параметр 243—245 Штрафных функций метод 221, 243— 245 Эйлера схема 271 — уравнение 222, 224—226, 228, 246 Электрический контур 117, 118 Элемент 93 — бесконечный 210—217 — квадратный 135, 138, 141, 142 — лагранжева типа 171—173, 185— 193, 204, 282 — одномерный высшего порядка 168— 170 — — квадратичный 159—170 — — кубический 159—170 — — линейный 96, 97, 100, 104—122, 158—165, 168, 257, 258, 272, 295, 298 — — постоянный 95, 97, 100, 104 — произвольной формы 191, 192, 207, 219 — пространственно-временной 288 — прямоугольный 123, 126—128, 132— 135, 138—140, 142, 145, 171— 178, 185, 186, 194, 195, 204, 208, 217, 282 — секционный 188, 189 — серендипова типа 174—177, 182, 193—194, 204, 282 — треугольный 97, 123—126, 130— 132, 134—138, 141—142, 144—147, 178—182, 191, 195, 196, 214, 217, 282 — четырехгранный 128, 182, 184, 204 — четырехугольный 296 — шестигранный 128, 182, 183, 191, 192 Предметный указатель 315 Элемента вклад 93, 100, 105—115, 120, 130, 131, 135, 144, 295 — локальная координата 160, 161, 165, 173, 174, 181, 189, 193 — матрица 106—122, 129, 130, 132, 135, 144, 160, 163, 164, 168, 185— 187, 191, 196, 280, 281 — — приведенная 108, 110, 135—140, 146, 161, 163, 170, 188, 196, 204, 248, 259, 272, 280, 281 — площадь 131, 144 — система координат 185, 186 Элементов нумерация 97, 104, 106, 109, 112, 116, 118, 125, 126, 258, 264 Энергетическая норма 293—301 Эрмита многочлены 170, 184 Юнга модуль 81, 84, 120, 236 Якоби матрица 186, 191, 195, 196, 209 Якобиан 209 С°-гладкость 102, 105, 123, 128, 158, — 159, 165, 171—173, 176, 181, 247, 248 ^-гладкость 102, 105, 170, 183, 247, 250 /i-сходимость 182 р-сходимость 182 От редактора перевода ........................ 5 Предисловие ... ......................... 7 Глава 1. Непрерывные краевые задачи и необходимость чи- сленной дискретизации. Конечно-разностные методы 9 1.1. Введение .......................... 9 1.2. Некоторые примеры непрерывных задач ........... 10 1.3. Конечные разности в одномерном случае .......... 13 1.4. Задача Неймана .,,..,,,.......• ...... 21 1.5. Нелинейные задачи ..................... 24 1.6. Конечные разности в многомерном случае .......... 27 1.7. Задачи для областей неправильной формы .......... 34 1.8. Нелинейные задачи в многомерном случае .......... 36 1.9. Аппроксимация и сходимость ................ 36 1.10. Заключительные замечания ................. 38 Литература , , . , «., ,.,,...,,,.......... 39 Глава 2. Методы взвешенных невязок. Использованиэ не- прерывных базисных функций .......... 40 2.1. Введение. Аппроксимация базисными функциями ,.,.... 40 2.2. Аппроксимации с помощью взвешенных невязок ....... 44 2.3. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений и ис- пользование базисных функций; виды взвешенных невязок. Выполнение краевых условий с помощью базисных функций 51 2.4. Одновременная аппроксимация решений дифференциальных урав- нений и краевых условий .................. 58 2.5. Естественные краевые условия ................ 64 2.6. Методы граничного решения ................. 71 2.7. Системы дифференциальных уравнений ............ 75 2.8. Нелинейные задачи ... ................. 87 2.9. Заключительные замечания '............... '. 90 Литература , .......................... 91 Глава з. Кусочно-определенные базисные функции и метод конечных элементов .............. 93 3.1. Введение. Понятие конечного элемента .,..,.,,.,.. 93 3.2. Некоторые типичные локально определенные базисные функции с минимальными носителями ................ 94 3.3. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений и гре- Оглавление 317 бования гладкости ..................... 100 3.4. Слабая формулировка и метод Галеркина .......... 103 3.5. Некоторые одномерные задачи ................ 104 3.6. Стандартная дискретная система. Физический аналог процесса ансамблирования уравнения ................. 116 3.7. Обобщение конечно-элементных алгоритмов на двумерные и трехмерные задачи ..................... 123 3.8. Метод конечных элементов для двумерных задач теплопровод- ности ........................... 129 3.9. Анализ двумерных задач теории упругости в напряжениях с использованием треугольных элементов ........... 142 3.10. Является ли метод конечных разностей частным случаем метода конечных элементов? .................... 147 3.11. Заключительные замечания ................. 150 Литература ........................... 152 Глава 4. Конечно-элементные аппроксимации высшего по- рядка ..................... 154 4.1. Введение .......................... 154 4.2. Степень многочленов, составляющих базисные функции, и ско- рость сходимости ...................... 155 4.3. Кусочное тестирование ................... 157 4.4. Стандартные базисные функции высших степеней для одномер- ных элементов с С°-гладкостью ............... 158 4.5. Иерархические формы высших степеней для одномерных эле- ментов с С°-гладкостыо ................... 163 4.6. Двумерные базисные функции высших степеней для прямоуголь- ных конечных элементов .................. 171 4.7. Двумерные базисные функции для треугольников ....... 178 4.8. Трехмерные базисные функции ............... 182 4.9. Заключительные замечания ................. 182 Литература ........................... 184 Глава 5. Отображение и численное интегрирование ... 185 5.1. Понятие отображения .................... 185 5.2. Численное интегрирование .................. 196 5.3. Дополнительные сведения об отображении .......... 205 5.4. Построение сетки и заключительные замечания ........ 217 Литература ........................... 219 Глава б. Вариационные методы ............. 221 6.1. Введение .......................... 221 6.2. Вариационные принципы .................. 221 6.3. Конструирование естественных вариационных принципов . . . 226 6.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений методом Релея—Ритца ....................... 233 6.5. Использование множителей Лагранжа ............ 236 6.6. Общие вариационные принципы ............... 241 6.7. Штрафные функции ..................... 243 6.8. Метод наименьших квадратов ................ 245 6.9. Заключительные замечания ................. 250 Литература .,,.,..,,....,.,....,...,,. 250 318 Оглавление Глава 7. Частичная дискретизация и нестационарные задачи 252 7.1. Введение .......................... 252 7.2. Частичная дискретизация для краевых задач ......... 252 7.3. Частичная дискретизация для нестационарных задач ..... 256 7.4. Процедуры аналитического решения ............. 260 7.5. Процедуры конечно-элементного решения во временной области 266 Литература ........................... 289 Глава 8. Обобщенные конечные элементы, оценки погреш- ности и заключительные замечания ....... 290 8.1. Обобщенный метод конечных элементов ........... 290 8.2. Погрешность дискретизации в численном решении ...... 291 8.3. Мера погрешности дискретизации .............. 293 8.4. Оценка погрешности дискретизации ............. 294 8.5. Заключение ........................ 302 Литература ........................... 302 Дополнительная литература ..................... 304 Именной указатель ......................... 306 Предметный указатель ........................ 309 Уважаемый читатель! Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и дру- гие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, издательство «Мир».