Б. В. ГНЕДЕНКО КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника Оля государственных университетов ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1969 517.8 (075) Г 56 УДК 519.210 (075.8) Борис Владимирович Гнеденко Курс теории вероятностей М., 1969 г., 400 стр. с илл. Редактор Ю. А. Горькое Техн. редактор А. А. Благовещенская Корректор А С. Бакумея Печать с матриц Подписано к печати 30/VI 1969 г. Бумага 60ХвО'/ц Физ. печ. л. 25. Условн. печ. л. 25. Уч.-изд. л. 23,62. Тираж 50 000 экз. Цена книги 1 р. 01 к. Заказ 1566 Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы. Москва В-71, Ленинский проспект, 15. Отпечатано во 2-й типографии изд-ва «Наука», Москва Г-99, Шубинский пер., 10. Заказ 2446 Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпром» Государственного комитета Совета Министров СССР по печати. Измайловский проспект, 29 2-2-3 Т=?5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к четвертому изданию .................. 6 Предисловие к третьему изданию .................. 6 Предисловие ко второму изданию ................... 7 Из предисловия к первому изданию .................. 8 Введение ............................... 9 Глава 1. Понятие вероятности .................. 14 § 1. Достоверное, невозможное и случайное события ...... 14 § 2. Различные подходы к опредэлению вероятности ...... 17 '•' 3. Пространство элементарных событий ........... 20 4. Классическое определение вероятности .......... 25 5. Классическое определение вероятности. Примеры. ..... 23 , 6. Геометрические вероятности ............... 35 7. Частота и вероятность .................. 41 8. Аксиоматическое построение теории вероятностей ..... 48 9. Условная вероятность и простейши; основные формулы . . 54 ; 10. Примеры ......................... 62 Упражнения..................... 70 Глава 2. Последовательность независимых испытаний ...... 73 § 11. Независимые испытания. Формулы Бернулли ....... 73 § 12. Локальная предельная теорема .............. 73 § 13. Интегральная предельная теог ела . ............ 87 § 14. Применение интегральной теорэмы Муавра — Лапласа ... 94 § 15. Теорема Пуассона .................... 98 § 16. Иллюстрация схемы независимых испытаний ........ 103 Упражнения..................... 10J Глава 3. Цепи Маркога ...................... 10Э § 17. Определение цепи Маркова. Матрица перехода ...... 109 § 18. Классификация возможных состояний ........... 113 § 19. Теорема о предельных вероятностях ........... 115 § 20. Обобщение теоремы Муавра — Лапласа на последователь- ность испытаний, связанных цепной зависимостью ..... 119 Упражнения..................... 125 Глава 4; Случайные величины и функции распределения .... 127 § 21. Основные свойства функций распределения ........ 127 . § 22. Непрерывные и дискретные распределения ........ • 134 § 23. Многомерные функции распределения ........... 138 & 24. Функции от случайных величин .............. 146 § 25. Интеграл Стилтьеса .................... 159 Упражнения..................... 163 I* 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 5. Числовые характеристики случайных величин ..... 168 § 26. Математическое ожидание ................ 168, § 27. Дисперсия ........................ 174 § 28. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии ..... 180 § 29. Определение математического ожидания в аксиоматике Колмогорова ....................... 186 § 30. Моменты ......................... 189 Упражнения..................... 196 Глава 6. Закон больших чисел .................. 199 § 31. Массовые явления и закон больших чисел ......... 199 § 32. Закон больших чисел в форме Чебышева ......... 202 § 33. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел 210 § 34. Усиленный закон больших чисел ............. 214 Упражнения..................... 223 Глава 7. Характеристические функции .............. 224 § 35. Определение и простейшие свойства характеристических функций ......................... 224 § 36. Формула обращения и теорема единственности ...... 229 § 37. Теоремы Хелли ...................... 235 § 38. Предельные теоремы для характеристических функций . . 240 § 39. Положительно определенные функции ........... 244 § 40. Характеристические функции многомерных случайных ве- личин .......................... 248 Упражнения..................... 254 Глава 8. Классическая предельная теорема ............ 257 § 41. Постановка задачи .................... 257 § 42. Теорема Ляпунова .................... 260 § 43. Локальная предельная теорема .............. 265 Упражнения..................... 272 Глава 9. Теория безгранично-делимых законов распределения . . 273 § 44. Безгранично-делимые законы и их основные свойства . . . 273 § 45. Каноническое представление безгранично-делимых законов 276 § 46. Предельная теорема для безгранично-делимых законов . . . 281 § 47. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм . . . 284 § 48. Предельные теоремы для сумм .............. 285 § 49. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона . . 289 Упражнения..................... 292 Глава 10. Теория стохастических процессов ........... 293 § 50. Вводные замечания .................... 293 § 51. Пуассоновский процесс .................. 297 § 52. Условные функции распределения и формула Бейеса . . . 304 § 53. Обобщенное уравнение Маркова ............. 308 § 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова 309 § 55. Чисто разрывный случайный процесс. Уравнения Колмого- рова — Феллера ..................... 318 § 56. Однородные случайные процессы с независимыми прира- щениями ......................... 325 § 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хин- чина о коэффициенте корреляции ............. 330 § 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложе- ние стационарных процессов ............... 338 § 59. Эргодическая теорема Биркхофа — Хинчина ........ 341 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 Глава 11. Элементы теории массового обслуживания . ...... 346 § 60. Общая характеристика задач теории ............ 346 § 61. Процессы гибели и размножения ............. 353 § 62. Однолинейная система с очередью ............ 362 § 63. Предельная теорема для потоков ............. 369 § 64. Элементы теории резервирования ............. 375 X2 1 ~"Т Таблица значений функции q> (x) == ——=- е ........... 384 У2л х ^ 1 Г ~~2~ Таблица значений функции Ф (х) = _ е dz ........ 385 У2я ^ gkg-a Таблица значений функции Р^ (а) = —т-— ............ 386 ft SQm-g—а. Таблица значений функции ——.— ............... 388 m=o Литература .............................. 390 Алфавитный указатель ........................ 396 ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ Настоящее издание несколько отличается от предшествующих. Прежде всего внесены редакционные изменения во всю книгу под влиянием пожеланий, высказанных рядом читателей. Они касаются не существа ее содержания, но имеют целью упростить изложение и уточнить содержание. Таких изменений особенно много в главах 1 и 2. Далее вместо последней главы «Элементы математической ста- тистики» включена глава «Элементы теории массового обслуживания». Математическая статистика заслуживает специального изложения, поэтому несколько параграфов, посвященных лишь некоторым вопро- сам этой важной и разветвленной науки, могут создать не .совсем точное представление об ее содержании. Одновременно с этим особое направление теории случайных процессов, тесно связанное с запро- сами практики и получившее в нашей стране наименование теории массового обслуживания, заслуживает хотя бы упоминания в учебнике. Я буду благодарен читателям за указание неточностей в изло- жении, присылку пожеланий по изменению структуры книги и ее содержания. Мне доставляет большую радость, что я имею возмож- ность высказать здесь благодарность В. В. Петрову и М. И. Яд- ренко за присланные ими обширные замечания к первоначальному тексту и возможные варианты изменения изложения. По мере возмож- ностей я воспользовался их советами. ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Семь лет, протекшие со дня выхода в свет второго издания настоя- щей книги, принесли значительные успехи не только развитию тео- рии вероятностей как математической науки, а также расширению и углублению ее связей с практикой, но и взглядам на характер изложения этой дисциплины. За этот срок появилось большое число интересных фундаментальных учебников, рассчитанных на студентов и аспирантов университетов. В первую очередь я хотел бы обратить внимание на такие книги: Michel Loeve, Probability theory, 1955, New York; 0. Onicescu, G. Mihoc, C. T. lonescu Tulcea, Cal- culul probabilitatilor si aplks^'i, 1956, Bucuresti; A. Renyi, Val6szinuseg?z'imitas (Исчисление вероятностей); 1954, Budapest; ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ 7 Hans Richter, Wahrscheinlichkeitetheorie, 1956, Berlin—Hei- delberg; M. P i s z, Rachunek pravdopodobienstwa i statistika mathematyczna, 1958, Warszawa. Книги М. Лоева и Ганса Рихтера дают изложение теории вероят- ностей в духе абстрактной математической теории без обращения к наглядным представлениям и рассмотрения прикладных примеров. Я нахожу, что книги такого направления необходимы. Однако пер- вичное ознакомление с теорией вероятностей должно вестись на базе наглядных представлений и на постоянном подчеркивании многооб- разия связей ее с естествознанием, техникой и другими областями деятельности человека. Вот почему и в настоящем издании я не изменяю ни стиля изложения, ни методологических устремлений. По сравнению со вторым изданием книга несколько изменилась. В нее добавлены новые параграфы и незначительно расширено содер- жание других, исправлены отдельные замеченные опечатки и описки. Одновременно я счел нужным не помещать в книге краткого исто- рического очерка. Написание полноценного исторического очерка, которое доводило бы изложение до наших дней, требует значи- тельно большего времени, чем я мог этому уделить. Не говорить же вовсе о современном положении науки и ограничиться изложением ее содержания до начала нашего века я счел нецелесообразным. Я сердечно благодарю всех читателей, нашедших время сообщить мне о недостатках второго издания. По мере сил я стремился вос- по1ьзоваться данными мне советами. Я буду благодарен, если и на ST )T раз читатели сообщат мне свои пожелания, критические заме- чания и указания на замеченные промахи в изложении. ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Настоящее издание значительно отличается от первого. Я поста- рался возможно полнее учесть в нем замечания и пожелания, которые содержались в печатных рецензиях на первое издание книги, а также были сообщены мне устно и письмами. Пожалуй, наиболее сущест- венным изменением является добавление задач для упражнений в пер- вых девяти главах. Далее я решил отказаться от математических добавлений -в конце книги. Первое добавление вошло в текст первой, четвертой и пятой глав. Внесены некоторые другие изменения в эти главы. Значительные добавления сделаны в главе десятой; они касаются главным образом расширения сведений по теории стационарных случайных процессов. Большим изменениям подверглась последняя глава, посвященная математической статистике. В этой главе имеются некоторые новые параграфы, но в то же время исключен частично материал, содер- жавшийся в первом издании. Так, например, исключено громоздкие 8 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ доказательство теоремы Колмогорова о предельном распределении максимума уклонения эмпирического распределения от истинного; исключен также параграф о последовательном анализе. Исправлены замеченные промахи и прямые ошибки, вкравшиеся в первое издание. Пользуюсь случаем сердечно поблагодарить товарищей, высказав- ших откровенное мнение о недостатках книги и способствовавших своей критикой их исправлению. Особенно я благодарен Ю. В. Линнику за его постоянный интерес к настоящей книге, большое число заме- чаний к первому изданию и за дискуссию по рукописи второго издания. Я понимаю, что и в предлагаемом виде книга несвободна от недостатков, поэтому обращаюсь к читателям с просьбой сообщить о всех недостатках второго издания, а также о пожеланиях относи- тельно содержания и расположения материала книги. Я буду благо- дарен всем, кто согласится сообщить мне интересные задачи для дальнейшего их использования в учебнике. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Настоящий курс разбивается на две части — элементарную (главы 1—6) и специальную (главы 7—11). Последние пять глав могут слу- жить базой для спецкурсов—теории суммирования случайных величин, теории стохастических процессов, элементов математической статистики. Теория вероятностей рассматривается в книге исключительно как математическая дисциплина, поэтому получение конкретных есте- ственнонаучных или технических результатов в ней не является само- целью. Все примеры в тексте книги имеют целью только разъясне- ние общих положений теории и указание на связь этих положений с задачами естествознания. Конечно, одновременно эти примеры дают указания на возможные области приложения Общетеоретических резуль- татов, а также развивают умение применить эти результаты в кон- кретных задачах. Такое направление изучения дает возможность чи- тателю выработать своеобразную теоретико-вероятностную интуицию, которая позволяет предвидеть в общих чертах выводы раньше, чем применен аналитический аппарат. Заметим далее, что без система- тического решения задач изучать теорию вероятностей нельзя, в осо- бенности на первых порах. Первые четыре параграфа первой главы являются незначительной переработкой неопубликованных рукописей А. Н. Колмогорова. Я счастлив поблагодарить здесь моих дорогих учителей А. Н. Кол- могорова и А. Я. Хинчина, много помогавших мне своими советами и беседами, касавшимися узловых вопросов теории вероятностей. ВВЕДЕНИЕ Цель настоящей книги состоит в изложении основ теории веро- ятностей—математической науки, изучающей закономерности слу- чайных явлений. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII в. и связано с именами Гюйгенса, Паскаля, Ферма и Якова Бернулли. В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, связанными с азартными играми и не укладывающимися в рамки математики того времени, выкристаллизовались постепенно такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание. При этом, конечно, нужно отдавать себе ясный отчет, что выдающиеся ученые, занимаясь зада- чами азартных игр, предвидели и фундаментальную роль науки, изу- чающей случайные явления. Они были убеждены в том, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. Однако вследствие низкого уровня развития естествознания того вре- мени азартные игры, а также вопросы страхования и демографии еще долго продолжали оставаться тем единственным конкретным материа- лом, на основе которого создавались понятия и методы теории веро- ятностей. Это обстоятельство накладывало отпечаток и на формально- математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи: он сводился исключительно к эле- ментарно-арифметическим и комбинаторным методам. Последующее развитие теории вероятностей, а также широкое привлечение ее результатов и методов исследования в естествознание и в первую очередь в физику показали, что классические понятия и классические методы не потеряли своего интереса и в настоящее время. Серьезные требования со стороны естествознания (теория ошибок наблюдений, задачи теории стрельбы, проблемы статистики, в первую очередь статистики народонаселения) привели к необходимости даль- нейшего развития теории вероятностей и привлечения более развитого аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли Муавр, Лаплас, Гаусс, Пуассон. С формально-аналитической стороны к этому же на- правлению примыкает работа творца неевклидовой геометрии Н. И. Ло- бачевского, посвященная теории ошибок при измерениях на сфере и выполненная с целью установления геометрической системы, господ- ствующей во вселенной. 10 ВВЕДЕНИЕ С половины XIX столетия и приблизительно до двадцатых годов на- шего века развитие теории вероятностей связано в большой степени с именами русских ученых: П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ля- пунова. Этот успех русской науки был подготовлен деятельностью В. Я. Буняковского, широко культивировавшего в России исследования по применению теории вероятностей к статисгике, в особенности к стра- ховому делу и демографии. Им был написан первый в России курс теории вероятностей, оказавший большое влияние на развитие в России интереса к этой области науки. Основное непреходящее значение ра- бот Чебышева, Маркова и Ляпунова в области теории вероятностей со- стоит в том, что ими было введено и широко использовано понятие случайной величины. С результатами Чебышева относительно закона больших чисел, с «цепями Маркова» и с предельной теоремой Ляпу- нова мы познакомимся в соответствующих разделах настоящей книги. Современное развитие теории вероятностей характеризуется всеоб- щим подъемом интереса к ней, а также расширением круга ее прак- тических приложений. В США, Франции, Швеции, Италии, Японии, Великобритании, Польше, Венгрии и других странах мира имеется немало ученых, обогащающих теорию вероятностей важными резуль- татами. В этой напряженной научной работе советская школа теории вероятностей продолжает занимать видное положение. Среди пред- ставителей советских ученых прежде всего должны быть названы имена С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина. В процессе изложения мы будем вынуждены самим существом дела вводить читателя в курс преобразовавших лицо теории вероятностей идей и результатов ученых нашего времени. Так, уже в первой главе мы будем говорить о фундаментальных работах С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова по основаниям теории вероятностей. В первом десятилетии нашего столетия Э. Борель указал на идеи, связывающие теорию вероятностей с метрической теорией функций действительного переменного. Несколько позднее —уже в двадцатые годы — А. Я. Хин- чин, А. Н. Колмогоров, Е. Е. Слуцкий, П. Леви, А. Ломницкий и др. широко развили эти идеи, оказавшиеся весьма плодотворными для развития науки. Заметим, в частности, что именно на этом пути удалось найти окончательное решение классических задач, поставлен- ных еще Чебышевым. Основные успехи в этом направлении связаны с именами Линдеберга, С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, В. Феллера, П. Леви и ряда других. Идеи метри- ческой теории функций, а впоследствии и функционального анализа позволили значительно расширить содержание теории вероятностей. К тридцатым годам относится создание основ теории стохастических (вероятностных, случайных) процессов, которая теперь стала основ- ным направлением исследований в теории вероятностей. Указанная теория служит прекрасным образцом того органического синтеза математического и естественнонаучного мышления, когда математик, ВВЕДЕНИЕ 11 овладев физическим существом узловой проблемы естествознания, находит для нее адекватный математический язык. Идею создания подобной теории высказывал, по-видимому, еще А. Пуанкаре, а первые наброски ее осуществления можно найти у Башелье, Фоккера, Планка. Однако построение математически законченных основ теории стохастических процессов связано с име- нами А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина. Мы должны заметить, что решение классических задач теории вероятностей оказалось тесно связанным с теорией стохастических процессов. Элементы этой новой главы теории вероятностей будут изложены нами в главе десятой. Упомянем, наконец, о новых прикладных ее разделах — теории надеж- ности и 1еэрии массового обслуживания. Некоторое представление о содержании этого раздела наук и дают §§ 60—64. За последние десятилетия неизмеримо выросла роль, которую играет теория вероятностей в современном естествознании. После того как молекулярные представления о строении вещества получили всеобщее признание, стало неизбежным широкое использование теории вероятностей и в физике, и в химии. Заметим, что с точки зрения молекулярной физики каждое вещество состоит из огромного числа малых частиц, находящихся в непрерывном движении и в процессе этого движения воздействующих друг на друга. При этом о природе этих частиц, о существующем между ними взаимодействии, характере их движения и пр. известно мало. В основных чертах эти сведения исчерпываются тем, что частиц, из которых состоит вещество, очень много и что в однородном теле они близки по своим свойствам. Естественно, что при таких условиях обычные для физических тео- рий методы математических исследований становились бессильными. Так, например, аппарат дифференциальных уравнений не мог привести в указанной обстановке к серьезным результатам. Действительно, ни строение, ни законы взаимодействия между частицами вещества в достаточной мере не изучены, и при таких условиях применение аппарата дифференциальных уравнений должно носить элементы гру- бого произвола. Но даже если бы этой трудности не существовало, уже одно количество этих частиц представляет собой такую труд- ность в изучении их движения, которую преодолеть с помощью обычных уравнений механики нет возможности. К тому же и методологически такой подход неудовлетворителен. Действительно, задача, которая здесь возникает, состоит не в изучении индивидуальных движений частиц, а в изучении тех закономерностей, которые возникают в совокупностях большого числа движущихся и воздействующих частиц. Закономерности же, возникающие вслед- ствие массовости участвующих в их возникновении ингредиентов, имеют свои собственные особенности и не сводятся к простому сум- мированию индивидуальных движений. Более того, эти закономерности в известных пределах оказываются не зависящими от индивидуальных 12 ЁВЕЯРНИЕ особенностей участвующих в их порождении частиц. Конечно, для изучения этих новых закономерностей должны быть найдены и соот- ветствующие новые математические методы исследования. Какие же требования должны быть в первую очередь предъявлены к этим методам? Понятно, что в первую очередь они должны учитывать то, что изучаемое явление носит массовый характер; таким образом, для этих методов наличие большого числа взаимодействующих частиц должно представлять не дополнительную трудность, а облегчать изучение возникающих закономерностей. Далее недостаточность знаний о природе и строении частиц, а также о характере их взаимодействия также не должна ограничивать эффективности их применения. Этим требованиям лучше всего удовлетворяют методы теории вероятностей. Чтобы сказанное не было понято ошибочно, мы еще раз под- черкнем следующее обстоятельство. Говоря, что аппарат теории вероятностей лучше приспособлен для изучения молекулярных явле- ний, мы ни в какой мере не хотим сказать, что философские пред- посылки использования теории вероятностей в естествознании лежат в «недостаточности знаний». Основной принцип состоит в том, что при изучении «м а с с о в ы х» явлений возникают своеобразные новые закономерности.. При изучении явлений, обусловленных действием большого числа молекул, учет всех свойств каждой молекулы не нужен. Действительно, при изучении явлений природы необходимо отвлекаться от учета несущественных подробностей. Рассмо- трение же всех деталей, всех существующих связей, в том числе и несущественных для данного явления, приводит лишь к тому, что само явление затемняется и овладение им отодвигается ввиду такой искусственно усложненной обстановки. Насколько удачно произведена схематизация явления, насколько удачно выбран математический аппарат для его изучения, мы можем судить по согласию теории с опытом, с практикой. Развитие есте- ствознания, в частности физики, показывает, что аппарат теории веро- ятностей оказался весьма хорошо приспособленным к изучению мно- гочисленных явлений природы. Указанная связь теории вероятностей с потребностями современной физики лучше всего поясняет те причины, в силу которых в последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся областей математики. Новые теоретические результаты открывают новые возможности для естественнонаучного использования методов теории вероятностей. Всестороннее изучение явлений природы толкает теорию вероятностей на разыскание новых закономерностей, порождаемых случаем. Теория вероятностей не отмежевывается от запросов других наук, а идет в ногу с общим развитием естествознания. Сказанное не означает, конечно, что теория вероятностей является лишь вспомогательным средством для решения тех или иных практических задач. Наоборот, следует подчеркнуть, 6ВР-ЯР-НИЁ 13 416 за последние три Десятилетия теория вероятностей превратилась в стройную математическую дисциплину с собственными проблемами и методами доказательств. В то же время выяснилось, что наиболее существенные проблемы теории вероятностей служат делу решения различных задач естествознания и непосредственной практики. Мы определили [в самом начале теорию вероятностей как науку, изучающую случайные явления. Отложив выяснение смысла понятия «случайное явление (событие)» до первой главы, мы сейчас огра- ничимся несколькими замечаниями. Если в обыденных представлениях, в житейской практике считается, что случайные события представ- ляют собой нечто крайне редкое, идущее вразрез установившемуся порядку вещей, закономерному развитию событий, то в теории вероятностей мы откажемся от этих представлений. Случайные собы- тия, как они понимаются в теории вероятностей, обладают рядом характерных особенностей; в частности, все они происходят в мас- совых явлениях. Под массовыми явлениями мы понимаем такие, которые имеют место в совокупностях большого числа равноправных или почти равноправных объектов и определяются именно этим массовым характером явления и лишь в незначительной мере зависят от природы составляющих объектов. Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, раз- вилась из потребностей практики; в абстрактной форме она отра- жает закономерности, присущие случайным событиям массового харак- тера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике и других областях естествознания, военном деле, разнообразнейших тех- нических дисциплинах, экономике и т. д. В последнее время в связи с широким развитием предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей используются не только для браковки уже изготовленной продукции, но, что важнее, для организации са- мого процесса производства (статистический контроль в производстве). Связь теории вероятностей с практическими потребностями, как уже было отмечено, была основной причиной бурного развития ее в последние три десятилетия. Многие ее разделы были развиты как раз в связи с ответами на запросы практиков. Здесь кстати вспом- нить замечательные слова основателя нашей отечественной школы теории вероятностей П. Л. Чебышева «Сближение теории с практи- кой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных... Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитии ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике». ГЛАВА 1 ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ § 1. Достоверное, невозможное и случайное события На основе наблюдений и опыта наука приходит к формулировке закономерностей, которым подчиняется течение изучаемых ею явле- ний. Простейшая и наиболее распространенная схема устанавливае- мых закономерностей такова: 1. При каждом осуществлении комплекса условий © про- исходит событие А. Так, например, если вода при атмосферном давлении в 760 мм нагревается выше 100° по Цельсию (комплекс условий ©), то она превращается в пар (событие Л). Или другой пример: при любых химических реакциях каких угодно веществ, без обмена с окружаю- щей средой (комплекс условий ®) общее количество вещества (ма- терии) остается неизменным (событие Л). Последнее утверждение носит название закона сохранения материи. Читатель легко может самостоятельно указать примеры других подобных закономерностей, заимствованных из физики, химии, биологии и других наук. Событие, которое неизбежно происходит при каждой реализации комплекса условий ©, называется достоверным. Если событие А заведомо не может произойти при осуществлении комплекса условий чисто отрицательно: событие случайно, если оно не необ- §21 РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ 17 холимо и не невозможно. Из случайности события в этом чисто отрицательном смысле еще совсем не вытекает, что имеет смысл говорить о его вероятности как о некотором определенном, хотя бы и неизвестном нам числе. Иначе говоря, не только утверждение — «событие Л при комплексе условий л. 2) Если Л влечет за собой В и в то же время В влечет за со- бой Л, т. е. если при каждой реализации комплекса условий © со- бытия Л и В оба наступают или оба не наступают, то мы будем говорить, что события Л и В равносильны, и будем обозначать это обстоятельство символом Л = В. Заметим, что во всех рассмотрениях теории вероятностей равно- сильные между собой события могут заменять друг друга. Поэтому мы условимся в дальнейшем любые два равносильных события счи- тать просто тождественными друг другу. 3) Событие, состоящее в наступлении обоих событий Л и В, бу- дем называть произведением событий Л и В и обозначать АВ (или Л(-1В). 4) Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из собы- тий Л и В, будем называть суммой событий Л и В и обозначать Л -г- В (или Л U В). 5) Событие, состоящее в том, что событие Л происходит, а со- бытие В не происходит, будем называть разностью событий Л и В и обозначать Л—В. 6) Два события Л и Л называются противоположными, если для них одновременно выполняются два соотношения: A-{-A=.U. AA==V. ") События в дальнейшем обозначаются латинскими прописными буквами Л, В. С. D, Е, ... **) Вместо «произойти» говорят также «появиться», «иметь место» или «наступить». ***) Вместо «Л влечет за собой В» говорят также «Л является частным случаем В». ЛИТЕРАТУРА Популярная Б о рель Э., Случай, ГИЗ, 1923. Б о рель Э., Вероятность и достоверность, Физматгиз, 1961. Г н е д е н к о Б. В., Как математика изучает случайные явления. Изд. Акад. наук УССР, Киев, 1947. Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., Элементарное введение в теорию веро- ятностей, изд. 6-е, Изд. «Наука», 1964. Я г лом А. М. и Я г лом И. М., Вероятность и информация, изд. 2-е, Физ- матгиз, 1960. Учебная и монографическая Б а р т л е т т М. С., Введение в теорию случайных процессов, ИЛ, 1958. Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, изд. 4-е, Гостехиздат, 1946. Блэкуэлл Д. и Гиршик М., Теория игр и статистических решений, ИЛ, М., 1958. Вентцель Е. С., Теория вероятностей, изд. 3-е, Изд. «Наука», 1964. Гиленко Н. Д., Задачник по теории вероятностей, Учпедгиз, 1943. Гливенко В. И„ Курс теории вероятностей, ГОНТИ, 1939. Гливенко В. И., Интеграл Стилтьеса, ОНТИ, 1936. Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, Гостехиздат, 1949. Гренандер У., Вероятности на алгебраических структурах, Изд. «Мир», 1965. Дуб Дж. Л., Вероятностные процессы, ИЛ, М., 1956. Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика (общая часть)', ГТТИ, 1955. Д ы н к и н Е. Б., Основания теории марковских процессов, Физматгиз, 1959. Д ы н к и н Е. Б., Марковские процессы, Физматгиз, 1963. И т о К., Вероятностные процессы, ИЛ, «Математика», вып. 1,1960, вып. 2,1963, Колмогоров А. Н„ Основные понятия теории вероятностей, ОНТИ, 1936. Крамер Г., Случайные величины и распределения вероятностей, ГИИЛ, 1947i Кубилюс И., Вероятностные методы в теории чисел, Вильнюс, 1959. Л и н н и к Ю. В., Разложение вероятностных законов. Изд. ЛГУ, 1960. Лоэв М., Теория вероятностей, ИЛ, М., 1961. Л э нин г Дж. X., Бэттин Р. Г., Случайные процессы в задачах автомати- ческого управления, ИЛ, М., 1958. Марков А. А., Исчисление вероятностей, изд. 4-е, ГИЗ, 1924. М е ш а л к и н Л. Д., Сборник задач по теории вероятностей. Изд. МГУ, 1964, Мизес Р., Вероятность и статистика, ГИЗ, 1930. Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, Физматгиз, 1963. Романовский В. И., Дискретные цепи Маркова, Гостехиздат, 1949. ЛИТЕРАТУРА 391 С а а т и Т., Элементы теории очередей, Изд. «Советское радио», 1965. С а р ы м с а к о в Т. А., Основы теории процессов Маркова, Гостехиздат, 1954. Сираждинов С. X., Предельные теоремы для однородных цепей Маркова, Изд. АН УзССР, 1955. Скороход А. В., Исследования по теории случайных процессов, Изд. Киевского ун-та, 1961. Скороход А. В., Случайные процессы с независимыми приращениями, Изд. «Наука», 1964. Хинчин А. Я., Основные законы теории вероятностей, ГТТИ, 1932. Хинчин А. Я., Асимптотические законы теории вероятностей, ГТТИ, 1936. Хинчин А. Я., Предельные законы для сумм независимых случайных вели- чин, ОНТИ, 1938. Хинчин А. Я., Математические основания статистической механики, Гос- техиздат, 1943. Хинчин А. Я., Математические основания квантовой статистики, Гостех- издат, 1951. Хинчин А. Я., Математические методы теории массового обслуживания, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, вып. 49, Изд. АН СССР, 1955. Чандрасекар С., Стохастические проблемы в физике и астрономии, ИЛ, М„ 1947. Чжун Кай Лай, Однородные цепи Маркова, Изд. «Мир», 1964. Эйнштейн и Смолуховский, Сборник статей по теории броуновского движения, ОНТИ, 1936. Blanc-Lapierre A. et Fortet R., Theorie des fonctions aleatoires, Paris, 1953. F i s z M., Rachunek prawdopodobienstwa i statistyka matematyczna, Warsza- wa, 1958. F г е с h e t M., Recherches theoriques modernes. Traite du calcul des probabi- lites, Paris, 1937, t. I, II. H a n n a n E. J., Time series analysis, Mathuen and C°, London, 1960. Harris T. E., The theory of branching processes, Springer-Verlag, 1963. Levy P., Theorie de 1'addition des variables aleatoires, Paris, 1937. Levy P., Processes stochastiques et mouvement brownien, Paris, 1948. Mieses R., Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1931. Onicescu 0., Mihoc G., Jonescu Tulcea С. Т., Calculul Probabitati- lor si aplicatii, Bucure^ti, 1956. P a r z e n E., Modern Probability Theory and its applications, J. Wiley & Sons, 1960. R e n у i A., Wahrscheinlichkeitsrechnung. Deutsche Verlag der Wissenschaften, 1962. Richter H., Wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer-Verlag, 1956. Rosenblatt M., Random processes, Oxford Univesity press, N. Y., 1962. Todhunter J., A history of the mathematical theory of probability, 1865. Т о г t r a t A., Calcul des probabilites, Masson et Cie, Paris, 1963. Журнальная К г»л а в е 1 Бернштейн С. Н., Опыт аксиоматического обоснования теории вероят- ностей, Сообщения Харьк. матем. об-ва, т. 15, 1917. Колмогоров А. Н., Роль русской науки в развитии теории вероятностей, Учен. зап. МГУ, вып. 91, 1947. Хинчин А. Я., Учение Мизеса о вероятностях и принципы физической статистики, Успехи физ. наук, т. IX, вып. 2, 1929, 392 ЛИТЕРАТУРА X и н ч и н А. Я., Метод произвольных функций и борьба против идеализма в теории вероятностей, Сборник «Философские вопросы современной физики», Изд. АН СССР, 1952. Х и н ч и н А. Я., Частотная теория Р. Мизеса и современные идеи теории вероятностей, Вопросы философии, № 1 и 2, 1961. Сборник Theorie des probabilites. Exposes sur ses fondement et ses applica- tions, Paris, Gautier-Villars, 1952. К главе 2 Бернштейн С. Н., Возврат к вопросу о точности предельной формулы Лапласа, Изв. АН СССР, т. 7, 1943. Прохоров Ю. В., Асимптотическое поведение биномиального распределе- ния, Успехи матем. наук, т. 8, вып. 3, 136—142, 1953. Смирнов Н. В., О вероятностях больших уклонений, Матем. сб., т. 40, № 4, 1933. X и н ч и н А. Я., Cber einen neuen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeits- rechnung, Math. Ann., т. 101, 1929. Feller W., On the normal approximation to the binomial distribution, Annals of Math. statistics, т. XVI, 1945. К главе 3 Добрушин Р. Л., Предельные теоремы для цепи Маркова из двух состоя- ний, Изв. АН СССР, серия матем., 17, 291—330, 1953. Добрушин Р. Л., Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова; Теория вероятностей и ее применения, т. 1, вып. 1, 72—89; вып. 4, 365—425, 1956. Колмогоров А. Н., Цепи Маркова со счетным множеством возможных состеяний, Бюлл. МГУ, т. I, вып. 3, 1937. Марков А. А., Исследование замечательного случая зависимых испыта- ний, Изв. Рос. Акад. наук, т. I, 1907. Соответствующие главы из книг С. Н. Бернштейна и В. Феллера, упомянутых в списке учебной и монографической литературы, а также упомянутые в этом списке книги В. И. Романовского (№ 18)) и М. Фреше (т. 2). В книгах Дуба и Т. А. Сарымсакова имеется обширная библиография работ, посвященных цепям Маркова. D о е b 1 i n W., Expose de la theorie des chaines simples constante de Mar- koff a un nombre fini d'etats, Rev. math. de 1'Union Interbalkanique, II, 1, 1938. К главе 4 Райков Д, А., О разложении законов Гаусса и Пуассона, Изв. АН СССР, серия матем., 1938, 91—124. С к и т о в и ч В. П., Линейные формы от независимых случайных величин и нормальный закон распределения, Изв. АН СССР, 18 (952)\ 1954. С г a m е г Н., Ober eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunction, Math. Zeitschr., т. 41, 1936. К главе 6 Бернштейн С. Н., О законе больших чисел, Сообщ. Харьк. матем об-ва, т. XVI, 1918. К о л м о г о р е в А. Н., Sur la loi fort des grands nombres, С. R. Acad. Sci, Paris, 191, 910—912, 1930. Прохоров Ю. В., Об усиленном законе больших чисел, ДАН СССР, т. 69, № 5, 1949. ЛИТЕРАТУРА 393 Слуцкий Е. Е., Ober stochastische Asymptoten und Grenzwerte, Metron 5, 1925, Избранные труды, Изд. АН СССР, 1960. Чебышев П. Л„ О средних величинах, Матем. сб., т. 2, 1867; Полное собр. соч., т. 2, 1948. Н a j е k I. and R е.п у i A., Generalization of an inequality of Kolmogorov, Acta Math. Acad. Sc. Hungarical, t. VI, fasc. 3—4, 1955, 281—283. К главе 7 Г н е д е н к о Б. В., О характеристических функциях, Бюлл. МГУ, т. I, вып. о, 1937. К р е и н М. Г., О представлении функций интегралами Фурье — Стилтьеса, Учен. зап. Куйбышевского пед. ин-та, вып. 7, 1943. Райков Д. А., О положительно-определенных функциях, ДАН СССР, т. XXVI, № 9, 857—862, 1940. X и н ч и н А. Я., Об одном признаке для характеристических функций, Бюлл. МГУ, т. I, вып. 5, 1937. К главе 8 Бернштейн С. Н., Распространение предельной теоремы теории вероятно- стей на суммы зависимых величин, Успехи матем. наук, вып. 10, 1944. Гнеденко Б. В., Элементы теории функций распределения случайных век- торов, Успехи матем. наук, вып. 10, 1944. Гнеденко В. В., О локальной предельной теореме теории вероятностей, Успехи матем. наук, т. III, вып. 3, 1948. Гнеденко Б. В., Локальная предельная теорема для плотностей, ДАН СССР, т. 95, № 1, 1954. Л и н н и к Ю. В., О точности приближения к гауссову распределению сумм независимых случайных величин, Изв. АН СССР, т. 11, 1947. Ляпунов А. М., Sur une proposition de la theorie des probabilites, Bull. Acad. Sc. Peter. 13, 1900. Ляпунов А. М., Nouvelle forme du theoreme sur la limite des probabilites, там же, 1901. Прохоров Ю. В., Локальная теорема для плотностей, ДАН СССР, т. 83, № 6, 1952. Чебышев П. Л., О двух теоремах относительно вероятностей, Зап. Акад. наук, 1887; Полное собр. соч., т. 2, 1948. Е s s е е n С. G., Fourier analysis of distribution function. A mathematical study of the Laplace—Gaussian law. Acta Mathematica, т. 77, 1945. Feller W., Uber den Zentralengrenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Zeitschr., т. 40, 1935. Lindeberg J. W., Eine neue Herleitung des Exponehtialgesetz in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Zeitschr., т, 15, 1922. К главе 9 Бавли Г. М., Ober einige Verallgemeinerungen der Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Матем. сб., т. I (43), № 6, 1936. Гнеденко Б. В., Об одном характеристическом свойстве безгранично-дели- мых законов распределения, Бюлл. МГУ, т. I, вып. 5, 1937. Гнеденко Б. В., Предельные законы для сумм независимых случайных величин, Успехи матем. наук, вып. 10, 1944. X и н ч и н А. Я., Новый вывод одной формулы П. Леви, Бюлл. МГУ, т. I, вып. 1, 1937. 394 ЛИТЕРАТУРА К главе 10 Дубровский В. М., Обобщение теории чисто разрывных случайных про- цессов, ДАН СССР, т. XIX, 1938. Дубровский В. М., Исследование чисто разрывных случайных процессов ме- тодом интегро-дифференциальных уравнений. Изв. АН СССР, т. 8,1944< Колмогоров А. Н., Упрощенное доказательство эргодической теоремы Биркгофа—Хинчина, Успехи матем. наук, вып. 5, 1938. Колмогоров А. Н., Об аналитических методах в теории вероятностей, Успехи матем. наук, вып. 5, 1938. Колмогоров А. Н., Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей, Изв. АН СССР, 1941. Колмогоров А. Н., Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром, Юбил. сборник АН СССР, ч. 1, 1947. Колмогоров А. Н. и Дмитоиев Н. А., Ветвящиеся случайные процессы, ДАН СССР, т. 56, № 1, '1947. Колмогоров А. Н. и Севастьянов Б. А., Вычисление финальных вероятностей для ветвящихся случайных процессов, ДАН СССР, т. 56, № 8, 1947. Розанов Ю. А., Спектоальная теория многомерных стационарных про- цессов с дискретным временем. Успехи матем. наук, вып. 2, 1958. Севастьянов Б. А., Теория ветвящихся случайных процессов, Успехи матем. наук, т. 6, вып. 6, 1951. X и н ч и н А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, Успехи матем. наук, вып. 5, 1938. Ф е л л е р В., К теории стохастических процессов, Успехи матем. наук, вып. 5, 1938. Я г лом А. М., К вопросу о линейном интерполировании стационарных слу- чайных последовательностей и процессов. Успехи матем. наук, т. IV, вып. 4, 1949. Я г лом А, М., Введение в теорию стационарных случайных функций, Успехи матем. наук, т. VII, вып. 5, 1952. С г а т е г Н., On harmonic analysis in certain continuous functional spaces, Ark. Mat. Astr. Fys., 28B, № 12, 1942. Karhunen К., Cber lineare Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ann. Acad. Sci. Fennicae, A, I, № 37, Helsinki, 1947. L о ё v e M., Sur les fonctions aleatoires stationnaires de second ordre. Rev. Sci., 83, № 5, 1945. L о 6 v е М., Fonctions aleatoires 5 decomposition orthogonale axponentielle, Rev. Sci., 84, № 3, 1946. Maruyama G., The harmonic analysis of stationary stochastic processes, Mem. Fac. Sc. Kyusyu Univ., A, 4, № 1, 1949. К главе 11 Беляев Ю. К., Линейчатые марковские процессы и их приложение к зада- чам теории надежности. Труды VI Всесоюзн. совещ. по теории вероятн. и матем. статистике, Вильнюс, 1962, 309—323. Беляев Ю. К., Г н е д е н к о Б. В., Коваленко И. Н., Основные напра- вления исследований в теории массового обслуживания, Труды VI Всесоюзн. совещ. по теории вероятн. и матем. статистике, Вильнюс, 1962, 341—355. Г н е д е н к о Б. В., О ненагруженном дублировании. Техническая киберне- тика № 4, 3—12, 1964. Г н е д е н к о Б. В., О дублировании с восстановлением, Техническая кибер- нетика № 5, 111—118, 1964. ЛИТЕРАТУРА 395 Григелионис Б., О сходимости сумм ступенчатых случайных процессов к пуассоновскому, Теория вероятн. и ее применения, т. 8, вып. 2, 189—194, 1963. К е н д а л л Д., Стохастические процессы, встречающиеся в теории очередей, и их анализ методом вложенных цепей Маркова, Сборник переводов «Математика», т. 3, № 6, 97—111, 1959. К e n d a 11 D. G., Some recent work and fuhrther problems in the theory of queues. Теория вероятн. и ее применения, т. 9, вып. 1, 3—15, 1964. Климов Г. П., Экстремальные задачи в теории массового обслуживания, Сборник «Кибернетика на службу коммунизму», т. 2, Изд. «Энергия», 310—325, 1964. Коваленко И. Н., Некоторые задачи теории массового обслуживания с ограничением, Теория вероятн. и ее применения, т. 6, № 1, 222—228, 1961. Коваленко И. Н., Некоторые аналитические методы в теории массового обслуживания. Сборник «Кибернетика на службу коммунизму», т. 2, Изд. «Энергия», 325—338, 1964. К i e f e r and W о 1 f о w i t z, On the theory of queues with many servers, Trans. Amer. Math. Soc. 78, 1—18, 1955. L i n d 1 e у, The theory of queues with a single server, Proc. Cambridge Phil. Soc., v. 48, 277—289, 1952. Марьянович Т. П., Над1йшсть системи si зм1шаним резервом, ДАН УРСР, № 8, 964—967, 1961. Miller R. G., Priority queues, Ann. Math. Statistics, v. 31, № 1, 86—106, 1960. О с о с к о в Г. А., Одна предельная теорема для потоков однородных собы- тий, Теория вероятн. и ее применения, т. 1, № 2, 274—282, 1956. Севастьянов Б. А., Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным системам с отказами, Теория вероятн. и ее применения, т. 2, вып. 1, 1957. Смит В., Теория восстановления и смежные с ней вопросы, Сборник пере- водов «Математика», т. 5, № 3, 95—150, 1961. Соловьев А. Д., О резервировании без восстановления, Сборник «Кибер- нетика на службу коммунизму», т. 2, 83—122, изд. «Энергия», 1964. Т а к а ч Л., Некоторые вероятностные задачи в телефонии, Сборник перево- дов «Математика», т. 4, № 6, 93—144, 1960. X и н ч и н А. Я., Математическая теория стационарной очереди, Матем. сборник, т. 39, № 4, 73—84, 1932; см. также А. Я. Х и н ч и н. Работы по теории массовего обслуживания, Физматгиз, 1963. Шахбазов А. А. иСамандаров Э. Г., Об обслуживании неординар- ного потока, Сборник «Кибернетика на службу коммунизму», т. 2, изд. «Энергия», 338—353, 1964. АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютный момент 190 Аксиома непрерывности 53 — сложения б1 — — расширенная 52 Аксиоматика Колмогорова 49, 52 Аксиомы теории вероятностей 51—53 Банаха задача 108 Башелье 11 Безгранично делимые законы распре- деления 273—276, 281, 288 Бейеса формулы 61, 308 Бернулли Я. 9, 16, 74, 94, 205, 210 — схема 74, 129, 221 — теорема 94, 205, 285 Бернштейн С. Н. 10, 48, 58 Бернштейна теорема 223 Бертрана парадокс 37 Биномиальный закон распределения вероятностей 76, 129 Биркхоф 341 Биркхофа—Хинчина эргодическая тео- рема 342—345 Бланк-Лапьер 341 Бозе—Эйнштейна статистика 31 Больцмана статистика 31 Больших чисел закон 94, 200, 201 — — — усиленный 214, 218 Борелевское поле событий 50 Борель 10, 214 Бореля теорема 214, 217, 221 Бохнер 244 Бохнера—Хинчина теорема 246 Броуновского движения процесс 325 Буняковский В. Я. 10 Бюффон 206 Бюффона задача 38 Вейбулла распределение 383 Вероятнейшее значение 78 Вероятностей теория 9 Вероятностная закономерность 15 Вероятностное пространство 54 Вероятностный процесс 293 Вероятность 15, 16, 18, 25, 35, 44, 51 —, аксиоматическое определение 48— 54 — безусловная 54 —,геометрическое определение 35 — гипотезы 61; —.классическое определение 18, 25— 35 — перехода 110 — статистическая, концепция Мизеса» 46, 47 —, статистическое определение 18, 45 — условная 54, 305 Винеровский процесс 325 Возможные значения дискретной случайной величины 134 — результаты испытания 26 Входящий поток 349 Вьенна диаграмма 22 Гамма-распределение 383 Гаусс 9 Гибели процесс 353, 354 Гнеденко Б. В. 255, 268, 273, 292 — теорема 268 Гсссет 156 Григелионис Б. И. 371, 375 Григелиониса теорема 371 Гюйгенс 9, 15 Деблин 113 Дециль 195 Диаграмма Вьенна 22 Дискретная случайная величина 129, 134 Дисперсионная матрица 177 Дисперсия 173, 177, 183, 184 Диффузии коэффициент 295 Достоверное событие 14, 23, 24, 50 Задача Банаха 108 — Бюффона 38 — де Мере 71 — о встрече 35, 50 — «о разорении игрока» 62 397 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Закон безгранично делимый 273—276, 281, 288 — больших чисел 94, 200, 201 — — — в форме Чебышева 202 — — — усиленный 214, 218 — распределения 134 Интеграл от случайного процесса 338 — Стилтьеса 159—163, 339 Испытание 26, 73 Испытания независимые 74 Исход испытания 73 Карунен 341 Квантиль 195 Классическое определение вероятно- сти 18, 25—35 Классы существенных состояний 114 Ковариации коэффициент 178 Коллектив 45 Колмогоров А. Н. 10, 11, 49, 113, 186, 188, 197, 211, 214, 218, 221, 273, 276, 292, 296, 310, 313, 327, 341 Колмогорова аксиоматика 49, 52 — неравенство 218 — теорема 219, 276 — уравнения 310—312, 317 Колмогорова—Феллера уравнения 319 Корреляции коэффициент 178 Корреляционная теория 333 — функция 333 Коши распределение 155, 170, 175 Коэффициент ковариации 178 — корреляции 178 Крамер 232, 341 Крамера теорема 151 Крейн М. Г. 255 Лаплас 9, 42 43, 79 Лапласа распределение 196 Леви 10 Линдеберг 10 Линдеберга условие 259, 291 Линдли 369 Линник Ю. В. 246 Лобачевский Н. И. 9, 149 Логарифмически нормальное распре- деление 197 Ломницкий 10 Лоэв 341 Ляпунов А. М. 10, 258, 260, 273 Ляпунова теорема 265, 285 — условие 265 Максвелла распределение 146, 197 Марков А. А. 10, 109, 118, 202, 208, 210, 211, 258, 260 Маркова обобщенное уравнение 309 — теорема 116, 209, 210, 223, 285 — цепь 109, 111 Марковского типа процесс 296, 297 Массового обслуживания теория 346 Массовое явление 12 Математическое ожидание 169, 173, 180—183, 187 — — условное 171, 187 Матрица дисперсионная 177 — перехода 110 Медиана 194 Мера рассеяния 176 Мизес 46, 47 Множество случайных событий 47 Мода 195 Момент 189, 249 —— абсолютный 190 — k-то порядка 189 — начальный 189 — центральный 178, 190 Моментов проблема 194 Муавр 9, 78 Муавра — Лапласа предельные тео- ремы 79, 86, 87, 92, 119, 257, 285 Начальный момент 189 Невозможное событие 14, 23, 50 Независимость событий 57, 58, 144 Независимые испытания 74 — случайные величины 144 Непрерывности аксиома 53 Неравенство Колмогорова 218 — Чебышева 202 Несовместимые события 23, 50 Несущественное состояние 113 Нормальное распределение 129, 136, 140, 143, 145, 150, 151, 155, 157, 170, 173, 176, 179, 191, 195, 227, 232, 250, 253, 274, 289 Нормированное уклонение случайной величины 184 Обращения формула 232 Обслуживание с очередью 359, 363 — с потерями 350 — станков 360 Однолинейная система 363 Однородная цепь Маркова 109 Ожидание математическое 169, 173, 180—183, 187 — — условное 171, 187 ^Юсосков Г. А. 375 Очередей теория 346 398 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Парадокс Бертрана 37 Паскаль 9, 15 Паскаля распределение 196 Перехода вероятность 110 — матрица 110 Период состояния 114 Пирсон К. 206 Планк 11, 296 Плотность распределения вероятно- стей 135, 142 — — условная 306 Подклассы существенных состояний 115 Пойа распределение 196 Поле событий 24, 50 — — борелевское 50 Полиномиальное распределение 76 < Полная группа возможных результа- тов испытания 25 — — событий 23 Полной вероятности формула 59, 305 Положительно определенная функция 245 Последовательность стационарная 337 — — в широком смысле 337 Поток входящий 349 — простейший 349 Предельная теорема для безгранично делимых законов 281 — — — потока отказов 379, 383 — — — сумм 285 — — — суммы процессов 371 — — интегральная 87, 92,. 257 — — локальная 79, 86, 265, 268 — — обратная 241 — — прямая 241 Произведение событий 21 Простая цепь Маркова 109 Пространство вероятностное 54 — элементарных событий 24 Противоположные события 15, 21, 50 Прохоров Ю. В. 188 Процесс гибели 354 — — и размножения 353 — пуассоновский 370 — размножения 354 — случайный — см. Случайный про- цесс — ступенчатый 370 Пуанкаре 11 Пуассон 9, 99, 210 Пуассона закон распределения 100, 129, 171, 228, 233, 274, 291 — процесс 297, 301, 370 — теорема 99, 206 Равновероятность (равновозмож- ность) событий 20, 25 Равномерное распределение 136, 140,- 143, 148, 171, 175, 228 Равносильные события 21 Размножения процесс 353, 354 Разность событий 21 Райков Д. А. 233 Распределение биномиальное 76, 129 — Вейбулла 383 — гамма 383 — Коши 155, 170, 175 — Лапласа 196 — логарифмически нормальное 197 — Максвелла 146, 197 — нормальное 129, 136, 140, 143, 145, 150. 151, 155, 157, 170, 173, 176, 179, 191, 195, 227, 232, 250, 253, 274, 289 — — га-мерное, невырожденное 253 — Паскаля 196 — Пойа 196 — показательное 349 — — полиномиальное 76 — Пуассона 100, 129, 171, 228, 233, 274, 291 — равномерное 136, 140, 143, 148, 171, 175, 228 — решетчатое 266 — Симпсона 149 — Стьюдента 155 — X2 151 Расширенная аксиома сложения 52 Реализация случайного процесса 297 Резервирование 357, 375 Решетчатое распределение 266 Семиинвариант 195, 227 Симпсона распределение 149 Скачков функция 329 Скученности теория 346 Сложения вероятностей аксиома 51 — — — расширенная 52 — — теорема 27, 40 Слуцкий Е. Е. 10, 337 Случайная величина 128, 130, 134, 138 — — дискретная 129, 134 — — многомерная 138 — — непрерывная 135 Случайное событие 14, 49 Случайные блуждения частицы 103 — величины независимые 144 —— — некоррелированные 336 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 399 Случайный вектор 138 — процесс 293, 297, 308 — — без последействия 296, 297, 308 — — броуновский (винеровский); 325 — — марковского типа 296, 297 — — непрерывный 309 — — однородный с независимыми приращениями 325 — — пуассоновский 297, 370 — — с дискретным спектром 336 — — стационарный 296, 331, 333 — — — непрерывный 333 — — чисто разрывный 318 Смешанный центральный момент 178 События достоверные 14, 23, 24, 50 — невозможные 14, 23, 50 — независимые 57 — — в совокупности 58 —.несовместимые 23, 50 — противоположные 15, 21, 50 — равносильные.21 — случайные 14, 49 — элементарные 24, 25, 49 Соловьев А. Д. 376 Состояния несущественные 113 — сообщающиеся 114 — существенные 114 Спектральное разложение процесса 341 Статистическое определение вероятно- сти 18, 45 Стационарный случайный процесс 296, 331, 333 Стилтьеса интеграл 159—163, 339 Стохастическая закономерность 15 Стохастический интеграл 338 —— — Стилтьеса 339 — процесс 293 Ступенчатый процесс 370 Стьюдент — см. Госсет Стьюдента распределение 155 Сумма событий 21 Существенное состояние 114 Схема Бернулли 74, 129, 221 — последовательности независимых испытаний 74 Сходимость в основном 236 — по вероятности 201, 215 — последовательности случайных ве- личин 215 '— почти наверное 215 — с вероятностью единица 215 t— слабая 370 Теорема Бернулли 94, 205, 285 — Бернштейна 223 — Бореля 214, 217, 221 — Бохнера — Хинчина 246 — Гнеденко 268 — Григелиониса 371 — единственности функции распре- деления 232 — Колмогорова 219, 276 — Крамера 151 — Ляпунова 265, 285 — Маркова 116, 209, 210, 223, 285 — Муавра — Лапласа 79, 86, 87, 92, 119, 257, 285 — предельная 241, 265, 268 — Пуассона 99, 206 — сложения 27, 40 — Слуцкого 335 — умножения 56, 58 — Феллера 355 — Хелли 236, 238, 239 — Хинчина 208, 334 — Чебышева 203, 285 Теория вероятностей 9 — —, аксиоматическое построение 51—53 Уклонение нормированное 184 Умножения вероятностей теорема 56, 58 Уравнение Маркова обобщенное 309 — Фоккера — Планка 296 Уравнения Колмогорова 310—312, 317 — Колмогорова—Феллера 319 Урезания метод 208 Усиленный закон больших чисел 214, 218 Условие Линдеберга 259, 291 — Ляпунова 265 Условная вероятность 54, 305 — плотность 306 — функция распределения 138, 305 Условное математическое ожидание 171, 187 Феллер 10, 291, 319, 358 Феллера теорема 355 Ферма 9, 15 Ферми—Дирака статистика 33 Фоккер 11, 296 Фоккера — Планка уравнение 296 Формула Бейеса 61, 308 — обращения характеристической функции 232 — полной вероятности 59, 305 400 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Формулы вероятности гипотез 61 — Эрланга 352 Форте 341 Функция ведущая 370 — корреляционная 333 — положительно определенная 245 — распределения 128, 130, 132 —— многомерная 138, 141 — —,теорема единственности 230, 232, 250 — — условная 138, 305 — скачков 329 — характеристическая 224—229, 248— 254 Характеристическая функция 224— 229, 248—254 Хелли теорема 236, 238, 239 «Хи-квадрат» распределение 151 Хинчин А. Я. 10, 11, 211, 244, 296, 331, 341, 369, 375 Хинчина теорема 208, 334 Центральный момент 178, 190 Цепь Маркова 109, 111 — — однородная 110 Чебышев П. Л. 10, 13, 202, 210, 258 Чебышева неравенство 202 — теорема 203, 285 Шаг распределения 267 — — максимальный 267 Элементарные системы случайных ве- личин 285 — события 24, 25, 49 Эллипсы равных вероятностей 143 Эргодическая теорема Биркхофа — Хинчина 342—345 — — Маркова 116 Эрланг 346, 350 Эрланга формулы 352 Яглом А. М. 341