MULTIDIMENSIONAL DIGITAL SIGNAL PROCESSING DAN E. DUDGEON Lincoln Laboratory, M. I. T. RUSSELL M. MERSEREAU School of Electrical Engineering Georgia Institute of Technology Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs 1984 Д. Даджион, Р. Мерсеро Цифровая обработка многомерных сигналов Перевод с английского канд. физ.-мат. наук В. А. ГРИГОРЬЕВА, канд. пед. наук К. Г. ФИНОГЕНОВА под редакцией д-ра физ.-мат. наук Л. П. ЯРОСЛАВСКОГО Москва «Мир» 1988 ББК 32.88 Д14 УДК 621.301 Даджион Д., Мерсеро Р. Д14 Цифровая обработка многомерных сигналов: Пер. с англ.—М.: Мир, 1988.— 488 с., ил. ISBN 5—03—000402—5 Книга известных американских ученых содержит последовательное изло- жение основных аспектов теории цифровой фильтрации многомерных сигналов (изображений и волновых полей), многомерных дискретных фурье- и 2-преобра- зований, синтеза и устойчивости двумерных рекурсивных и нерекурсивных циф- ровых фильтров, быстрых алгоритмов многомерной цифровой фильтрации. Для специалистов по информатике и вычислительной технике, а также сту- дентов соответствующих специальностей вузов. д 1502000000-086 041 (01)-88 -001-88, ч. ББК 32.88 Редакция литературы по информатике и робототехнике ISBN 5—03—000402-5 (русск.) © ISBN 0—13-604959-1 (англ.) © 1984 by Prentice-Hall, Inc. перевод на русский язык, «Мир», 1988 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Данная книга входит в серию «Обработка сигналов», выпускаемую издатель- ством «Прентис-Холл». Многие из книг этой серии уже были переведены на русский язык и широко используются советскими специалистами. Что нового содержит эта книга? С общей точки зрения, казалось бы, не существует принципиальной разницы между цифровой обработкой одномерных и многомерных сигналов (изображений и полей). В любом случае обработка вклю- чает в себя дискретизацию, квантование, выполнение различных ортогональных преобразований и сверток. Однако более глубокий анализ показывает, что пе- реход от одномерного случая к многомерному является не только количествен- ным, но и качественным. Многие проблемы, с которыми приходится сталкива- ться при обработке многомерных сигналов, просто не существуют в обработке одномерных сигналов и, наоборот, многие трудности цифровой обработки сигналов отсутствуют или легко снимаются при переходе от одномерных сиг- налов к многомерным. Достаточно упомянуть о том, насколько содержательнее теоремы отсчетов для многомерных сигналов по сравнению с известной тео- ремой отсчетов (теоремой Котельникова) для одномерных сигналов, а также о том, что алгоритм быстрого преобразования Фурье и другие быстрые алго- ритмы умножения матриц, без которых не было бы современной цифровой обработки сигналов, по существу основаны на трактовке одномерных преобра- зований как многомерных. Поэтому изучать цифровую обработку многомерных сигналов полезно не только специалистам, имеющим дело с обработкой изобра- жений и полей различной физической природы, но и специалистам, занимаю- щимся обработкой одномерных сигналов в радиоэлектронике и акустике. Книга охватывает практически весь традиционный круг проблем обработки сигналов применительно к многомерному случаю: дискретное описание много- мерных сигналов и систем, многомерный дискретный фурье-анализ, синтез и ре- ализация многомерных цифровых фильтров (нерекурсивных и рекурсивных), при- менение цифровой обработки многомерных сигналов на примере задач антенной техники, спектрального анализа, способы решения многомерных обратных за- дач. У авторов много методических находок, из которых особо следует упомянуть векторно-матричную трактовку аргументов многомерных сигналов. Благодаря им, а также набору упражнений к каждой главе книга послужит хорошим под- спорьем преподавателям, читающим курс лекций по цифровой обработке сигна- лов. Задуманная авторами как учебное пособие, она поможет в постановке со- ответствующих самостоятельных курсов в наших вузах, где цифровая обработка сигналов пока еще запрятана в недрах традиционных (но уста- ревающих) курсов по теории цепей, теоретическим основам радиотехники и Других. Книга дополнена списком работ советских авторов. Перевод выполнен К. Г. Финогеновым (предисловие, введение, гл. 1, 3, 5) и В. А. Григорьевым (гл. 2, 4, 6, 7). Л. П. Ярославский 6 Предисловие редактора перевода Литература 1. Цифровая обработка сигналов и ее применения. — М.:, Наука, 1982. 2. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений: Пер. с англ./Под ред. Т. Хуанга.—М.: Радио и связь, 1984. 3. Василенко Г. И., Тараторин А. М. Восстановление изображений. — М • Радио и связь, 1986. 4. Компьютеры в оптических исследованиях./Под ред. Б. фридена _М- Мир, 1983. 5. Вариченко Л. В., Лабунец В. Г., Раков М. А. Абстрактные алгебраиче- ские системы и цифровая обработка сигналов. — Киев: Наукова думка, 1986. 6. Сороко Л. М. Интроскопия. —М.: Энергоатомиздат, 1983. 7. Ярославский Л. П., Мерзляков Н. С. Цифровая голография. — М.: Наука, \\)oZi. 8. Ярославский Л. П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии: Введение в цифровую оптику.—М.: Радио и связь, 1987. Посвящается Джуди и Линдсею, а также Марте, Адаму и Давиду Предисловие Эта книга создана по инициативе проф. Алана В. Оппенгейма, который руководил нашей работой над докторскими диссертациями в Массачусетском тех- нологическом институте и который является редактором серии книг по обра- ботке сигналов, выпускаемой издательством «Прентис-Холл». А. В. Оппен- гейм предложил нам написать учебник по цифровой обработке многомерных сиг- налов для студентов старшего курса и аспирантов первого года обучения. Книга предназначена для использования в односеместровом курсе, который следует за начальным курсом по цифровой обработке сигналов, базирующемся на такой книге, как «Цифровая обработка сигналов» Оппенгейма и Шафера, выпущенной Идательством «Прентис-Холл» в 1975 г. Эта книга дает студенту начальные сведения по теории обработки много- мерных сигналов с акцентом на сходстве и различии между одномерным и много- мерным случаями. Мы попытались написать пособие, которое способствовало бы развитию интуиции и обоснованных суждений студента в этой области и в то же время не слишком утомляло его длинными формальными выводами, тео- ремами и доказательствами. Математический формализм занимает, конечно, свое место в книге, но нам кажется, что он должен вытекать из интуитивного по- нимания сути дела, а не наоборот. Мы надеемся, что читатели со склонностью к математике с пониманием отнесутся к нашему неформальному подходу и из- влекут из него пользу. Имеется несколько хороших книг по цифровой обработке изображений, и мы не сочли нужным повторять материал по этому частному вопросу в нашей книге. Вместо этого мы попытались развить теорию обработки многомерных сиг- налов, которая не только является основой обработки изображений, но исполь- зуется и в других областях, таких, как обработка сигналов антенных решеток (например, обработки сигналов в радио- и гидролокации, сейсмологии, радио- астрономии). Чтение книги предполагает знакомство читателя с теорией цифровой об- работки одномерных сигналов, включая линейные инвариантные к сдвигу си- стемы, дискретное преобразование Фурье (ДПФ), быстрое преобразование Фурье (БПФ), линейную фильтрацию, г-преобразование, устойчивость, оценку спектра мощности. Все эти понятия не описываются здесь подробно, а только вводятся применительно к двумерному случаю по мере необходимости. В гл. 1 даются основные понятия, связанные с многомерными сигналами и системами, причем особое внимание уделяется двумерным сигналам и линей- ным инвариантным к сдвигу (ЛИС) системам. В качестве одного из способов описания ЛИС-системы вводится понятие импульсного отклика. Для вычисления частотного отклика двумерных ЛИС-систем определяется и используется много- мерное преобразование Фурье. Обсуждаются также методы дискретизации двумерных непрерывных сигналов. В гл. 2 вводится многомерное дискретное преобразование Фурье и детально описаны эффективные алгоритмы для его вычисления. Показано, что алгоритмы быстрого преобразования Фурье можно использовать при произвольном периоди- 8 Предисловие ческом растре дискретизации сигналов. Обсуждается также взаимосвязь между одномерным и многомерным ДПФ. Глава 3 посвящена проектированию и реализации двумерных фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров). Обсуждаются раз- личные способы реализации этих фильтров — прямой, в частотной области и с помощью секционированной свертки, а также алгоритмы проектирования, та- кие, как метод окон, методы получения оптимальных фильтров и метод преоб- разования. В гл. 4 'и 5 рассматриваются фильтры с бесконечной импульсной харак- теристикой (БИХ-фильтры), которые можно описать с помощью двумерных раз- ностных уравнений с постоянными коэффициентами. В гл. 4 с помощью по- нятий двумерного разностного уравнения, z-преобразования, устойчивости и комплексного непстра заложены основы этого рассмотрения. Вслед за этим в гл. 5 обсуждаются приемы реализации и методы проектирования двумерных БИХ-фильтров, включая способы их стабилизации. Глава 6 посвящена использованию методов обработки многомерных сиг- налов применительно к сигналам, снимаемым с решеток датчиков. Эта обширная прикладная область используется как средство для пояснения формирования пучков и оценивания энергетического спектра. Задача формирования пучка представляет собой подход с позиций линейной фильтрации к задаче определе- ния величины и направления распространения энергии излучения, а задача оценивания энергетического спектра иллюстрирует другой подход к решению той же задачи — с помощью моделирования и параметрической оценки. В главе обсуждаются как классические методы оценки спектра, так и более современные, такие, как метод сверхразрешения, многополюсной метод и метод максимума энтропии. Выявляются важные теоретические различия между одномерным и двумерным случаями. В гл. 7 обсуждаются обратные задачи, когда по результатам ограниченных измерений И априорной информации делается попытка восстановить или рекон- струировать исходный сигнал. Рассматриваются три примера: обратная свертка с ограничениями, распространение сейсмических волн и реконструкция сигнала по проекциям. В процессе работы над книгой мы старались включать вопросы и примеры, иллюстрирующие фундаментальные принципы обработки многомерных сигналов. (Разделы, в которых представлен особенно сложный, передовой материал, по- мечены звездочками). Поскольку мы не пытались создать энциклопедическое руководство по этой все еще развивающейся отрасли знаний, наша книга поне- воле неполна. Некоторые воспримут это как недостаток, однако нашей целью было скорее широкое, чем глубокое изложение предмета; тем самым мы надея- лись заинтересовать студентов перспективами исследовательской работы в этой области. Мы постарались скомпенсировать недостаточную глубину изложения включением ссылок на значительные работы, чтобы дать читателям отправные точки для изучения технической литературы. На протяжении пяти лет, потребовавшихся на размышления, наброски, на- писание, переписывание и шлифовку, мы неизменно встречали со стороны окру- жающих одобрение и поддержку. Большое понимание и терпение проявили наши семьи; время, потраченное на работу над книгой, было в основном отнято у них. Значительное влияние оказал на эту книгу Эл Оппенгейм в роли редактора всей серии. Еще большее влияние он и Рон Шафер имели на авторов, высту- пая в роли учителей, наставников, усилителей идей, коллег, друзей, которые служили нам примером для подражания. В процессе нашей научной деятельности мы имели счастье встречаться с не- которыми замечательными коллегами, внесшими заметный вклад в методы циф- ровой обработки многомерных сигналов и стимулировавшими наши собственные размышления и исследования в этой области. В некоторых случаях их научный вклад представлен в этой книге в явной форме; в других случаях их влияние но- сило более тонкий характер. Среди этих коллег, которых мы считаем также сво- Предисловие 9 ими друзьями, находятся: проф. Деметриус Парис и Монсон Хейес, д-р Марк Ричарде и магистр наук Тереза Спик из Технологического института шт. Джорд- жия, д-ра Гэри Шоу, Томас Кватиери и Стивен Похлиг из Линкольновской лаборатории, д-р Джеймс Мак.Клеллан из фирмы Шлюмберже, проф. Джи Лим из Масеачусетского технологического института и проф. Дон Джонсон из Университета Раиса. Мы также должны выразить благодарность нашим родным коллективам Линкольновской лаборатории Масеачусетского технологи- ческого института и Технологическому институту шт. Джорджия соответственно за создание интеллектуальной обстановки, поощряющей поиски совершенства в области обработки сигналов, а также в других областях науки и техники. Дэн Э. Даджион. Рассел М. Мерсеро ВВЕДЕНИЕ Одним из сопутствующих факторов компьютерной революции оказалось появление совершенно новых областей исследования. С каждым годом по мере увеличения быстродействия, уменьшения стоимости и размеров ИС растут возможности решения задач все возрастающей сложности. К ним относится цифровая обработка многомерных сигналов, требующая значительных объемов цифро- вой памяти и соответствующего количества арифметических опера- ций и поэтому получившая развитие лишь в последнее время. Не- смотря на сложность, цифровая обработка сигналов уже позволила найти решение ряда важных задач, начиная с компьютерной то- мографии (методики, позволяющей по проекциям рентгеновского изображения, полученным при различных ориентациях детекто- ров, выполнять трехмерную реконструкцию органов человеческого тела) и кончая проектированием полей пассивных акустических дат- чиков и исследованием ресурсов Земли с помощью спутников. В дополнение к многочисленным блистательным и скромным при- ложениям цифровая обработка многомерных сигналов имеет также прочное математическое обоснование, позволяющее не только по- нять уже достигнутое, но и эффективно исследовать новые про- блемы по мере их возникновения и успешно их решать. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что сигнал — это некоторое средство для передачи информации, а целью обработки сигналов является извлечение этой информации. Так, ансамбли изменяющихся во времени электрических потенциалов, плотность зерен серебра фотографической эмульсии или массивы чисел в памяти ЭВМ представляют собой примеры сигналов. Обычно об- работка сигналов включает в себя перенос информации с одного сигнала на другой. Например, с фотографии за счет сканирования можно собрать информацию, дискретизировать ее и записать в па- мять ЭВМ. В этом случае информация переносится с сигнала в виде переменной плотности зерен серебра на пучок видимого света, за- тем на электрический сигнал и наконец на последовательность чи- сел, которые в свою очередь характеризуются определенным рас- положением областей намагниченности на диске ЭВМ. Сканирую- Введение 11 щее устройство компьютерного томографа представляет собой бо- лее сложный пример; информация о структуре исследуемого объ- екта сначала переносится на электромагнитные волны, которые после дискретизации преобразуются в совокупность чисел, послед- няя в свою очередь обрабатывается вычислительным алгоритмом и наконец эта информация представляется на экране электронно- лучевой трубки (ЭЛТ) или фотографической пленке. Цифровая обработка не может увеличить объем информации, однако она может преобразовать ее в такую форму, что наблюдатель (чело- век) сможет легко расшифровать информацию; вместо того чтобы смотреть на многочисленные теневые изображения, наблюдатель может изучать поперечные сечения объекта. Независимо от своей физической сущности сигналы представ- ляют интерес только благодаря содержащейся в них информации. Рискуя быть обвиненным в излишнем обобщении, можно сказать, что обработка сигналов включает в себя две основные задачи — преобразование способа представления информации в сигнале и сокращение ее объема. Мы уже приводили два примера преобразо- вания способа представления информации в сигнале—компьютер- ную томографию и сканирование изображений. К ним легко можно добавить и другие примеры — улучшение визуального качества изображений, коррекция смаза изображений, спектральный анализ и т. д. Сокращение объема информации заключается в удалении не- нужной информации. Оператора, наблюдающего радиолокационное изображение, обычно интересуют лишь отдельные конкретные ответы на вопросы: есть ли на нем что-нибудь; если есть, то что; свой или чужой; с какой скоростью движется и куда направ- ляется? Однако приемник РЛС предоставляет оператору еще и информацию о погоде, радиопомехах, птицах, местных предметах, шуме приемника и т. д. Оператор должен отделить существенное от несущественного, и здесь обработка сигналов может оказать неоценимую помощь. Другими примерами обработки сигналов с потерей информации являются подавление шума, оценка пара- метров и выделение признаков. Цифровая обработка сигналов касается обработки сигналов, которые можно представить в виде последовательности чисел, а цифровая обработка многомерных сигналов — обработки сиг- налов, представленных в виде многомерных массивов чисел, на- пример массивов, получаемых после дискретизации изображений или результатов дискретизации непрерывно изменяющихся во времени сигналов, поступающих одновременно от нескольких дат- чиков. Преобразование непрерывных сигналов в цифровые по- зволяет использовать для их обработки цифровые процессоры и описывать операторы как алгоритмы или процедуры. Причины использования цифровых методов вряд ли нуж- даются в перечислении. Цифровые методы отличаются одновремен- 12 Введение но мощностью и гибкостью. Цифровые системы могут быть адап- тивными, и их просто перестраивать. Цифровые алгоритмы легко перенести с оборудования одного изготовителя на оборудо- вание другого или их можно реализовать с помощью специализи- рованных цифровых процессоров. Они с равным успехом могут использоваться для обработки сигналов, представляющих собой как временные, так и пространственные функции, и их легко сочетать с логическими операторами, такими, как операторы клас- сификации образов. Цифровые сигналы можно хранить в неизмен- ном виде неограниченное время. Для многих приложений цифро- вые методы оказываются дешевле по сравнению с другими метода- ми, а в ряде случаев они просто незаменимы. Велико ли различие между обработкой многомерных и одно- мерных сигналов? Если подходить абстрактно, то невелико. Многие операции при обработке многомерных сигналов исполь- зуются и при обработке одномерных сигналов, например дискре- тизация, фильтрация и вычисление преобразований. Если же рассматривать более подробно, то придется признать, что обра- ботка многомерных сигналов может иметь существенные отли- чия. Это объясняется тремя факторами: 1) обычно для решения двумерных задач необходимо использовать значительно больший объем данных, чем при решении одномерных; 2) математические методы описания многомерных систем не отличаются той за- вершенностью, которая характерна для математических методов описания одномерных систем; 3) многомерные системы обладают значительно большим числом степеней свободы, в результате чего проектирование приобретает гибкость, несвойственную одномер- ным системам. Так, все рекурсивные цифровые фильтры реали- зуются с помощью разностных уравнений, но в одномерном слу- чае эти уравнения упорядочены полностью, а в многомерном слу- чае — лишь частично. Эту дополнительную гибкость можно ис- пользовать. Дискретное преобразование Фурье в одномерном слу- чае можно вычислить с использованием алгоритма быстрого пре- образования Фурье, а в многомерном случае имеется множество ДПФ, и для вычисления каждого можно использовать множество алгоритмов БПФ. В одномерном случае выбирается только ча- стота отсчетов, а в многомерном — не только частота отсчетов, но и форма растра дискретизации. С другой стороны, многомерные полиномы в отличие от одномерных не разлагаются на множители. Поэтому в многомерном случае мы не можем говорить об изоли- рованных полюсах, нулях и корнях. Это значит, что цифровая обработка многомерных сигналов может существенно отличаться от цифровой обработки одномерных сигналов. В начале 60-х годов многие методы цифровой обработки од- номерных сигналов разрабатывались с целью использования циф- ровых систем для моделирования аналоговых. В результате зна- Введение 13 чительная часть теории дискретных систем строилась по образцу теории аналоговых систем. С течением времени обнаружилось, что хотя цифровые системы могут очень хорошо моделировать аналоговые системы, они способны на гораздо большее. Под влия- нием этого обстоятельства, а также мощного толчка, обусловлен- ного технологией изготовления аппаратных средств, методы циф- ровой обработки сигналов получили интенсивное развитие, и мно- гие из этих методов, широко используемых в настоящее время, не имеют эквивалентов в аналоговой технике. Такие же тенден- ции наблюдаются в развитии цифровой обработки многомерных сигналов. Поскольку теория двумерных аналоговых систем от- сутствует, первые многомерные системы основывались* на одно- мерных системах. В конце 60-х годов обработка двумерных сигна- лов выполнялась большей частью с использованием разделимых двумерных систем, что фактически сводилось к применению одномерных систем для обработки двумерных данных. С тече- нием времени были разработаны специальные двумерные алго- ритмы, которые соответствуют логической экстраполяции одно- мерных алгоритмов. Это был вынужденный шаг. Из-за того что для решения многих двумерных задач требуются большие объемы данных, а также из-за отсутствия теоремы о разложении много- мерных полиномов на множители многие одномерные методы не обобщаются на случай многомерной задачи. В настоящее время мы находимся на пороге уверенного решения этих проблем. Раз- витие вычислительной техники, уменьшение и удешевление элек- тронных компонентов помогли разрешить проблему объема дан- ных, и мы начинаем сознавать, что, хотя нам всегда будет мешать ограниченность вычислительных возможностей, многомерные системы обеспечивают нам и большую свободу проектирования. Исследование таких систем является перспективным и интерес- ным делом. В книге описываются многие успешные разработки, выполнен- ные в этой интересной и быстро развивающейся области. Методы цифровой обработки сигналов тесно связаны с развитием тех- нологии. Хотя мы приводим много примеров прикладного харак- тера, мы все же стремились к тому, чтобы рассматриваемый ма- териал не слишком опирался на технологию и не оказался в ре- зультате технологически устаревшим. Наоборот, мы старались выделять фундаментальные концепции, чтобы читатель не только понял, что уже сделано, но и смог сам развить описанные методы применительно к новым конкретным задачам. Достижение этих целей предполагает некоторую начальную подготовку читателя, в частности его знакомство с теорией од- номерных линейных систем и представление о цифровой обра- ботке сигналов (в объеме книги Оппенгейма и Шафера [I], гл. 1—6). 14 Введение Данная книга посвящена обработке любых сигналов с размер- ностью ^2. В то время как теории обработки одномерных и двумерных сигналов существенно различаются, дальнейшее повы- шение размерности не приводит к заметным отличиям от двумер- ного случая, кроме повышения сложности вычислений. Поэтому, чтобы не усложнять рассуждения, математические выражения и иллюстрации, мы рассматриваем в основном двумерные задачи, которые получили широкое распространение на практике. В боль- шинстве случаев обобщение осуществляется достаточно просто. Если же это не так, обобщение на случай большего числа изме- рений рассматривается в книге специально. Руководствуясь тем же правилом, мы не останавливаемся на результатах, являющихся очевидным обобщением одномерного случая. Мы надеемся, что читатель придет к тем же выводам, к ко- торым пришли и мы, когда впервые начали заниматься цифровой обработкой многомерных сигналов. Это та область знаний, в ко- торой многое может дать интуиция, перенесенная из мира одно- мерных сигналов; вместе с тем окончательный результат часто оказывается неожиданным и противоречащим интуитивным сооб- ражениям. Ход рассуждении, приводящий к обобщению некото- рых одномерных понятий на многомерные, может дать читателю более глубокое представление о существе операций обработки как многомерных, так и одномерных сигналов. Глава 1 Многомерные сигналы и системы Многомерный сигнал можно описать функцией М независимых переменных, где М ^s 2. Такие сигналы могут быть непрерыв- ными, дискретными или смешанными. Непрерывный сигнал опи- сывается функцией независимых переменных, принимающих не- прерывное множество значений. Например, яркость / (х, у} изо- бражения является двумерным непрерывным сигнадом. В про- тивоположность этому дискретный сигнал описывается функцией, определенной только на множестве точек, например на мно- жестве целых чисел. Смешанный сигнал — это многомерный сиг- нал, который описывается функцией некоторого количества неп- рерывных переменных и. некоторого количества дискретных. Например, ансамбль изменяющихся во времени сигналов, снимае- мых с набора электрических преобразователей, представляет собой смешанный сигнал. Ансамбль описывается одной непрерыв- ной переменной (временем)-и одной или несколькими дискретными (номерами преобразователей). В этой главе речь будет идти главным образом о многомерных дискретных сигналах, а также о системах, выполняющих их преобразование. Поскольку обсуждаемые здесь свойства сигналов и систем являются, как правило, простым распространением свой- ств одномерных дискретных сигналов и систем, то в большинстве случаев мы ограничимся лишь кратким их рассмотрением. Чи- тателя, интересующегося деталями, можно отослать к превосход- ным руководствам, посвященным одномерным системам [1—З]. Однако, как будет показано, многие известные одномерные про- цедуры не обобщаются простым способом на многомерный слу- чай, и многие важные вопросы, связанные с многомерными сиг- налами и системами, не возникают в частном случае одного изме- рения. В таких случаях наше рассмотрение будет, естественно, более полным. 1.1. Двумерные дискретные сигналы Двумерный дискретный сигнал (его также называют последо- вательностью или массивом) — это функция, определенная на совокупности упорядоченных пар целых чисел. Так, x==\x(ni, Пг), —oo<«i, Пу<оо\. (1.1) Литература К введению 1. Oppenheim A. V., Schafer R. W., Digital Signal Processing, Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, Inc., 1975. [Имеется перевод: Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов. — М.: Связь, 1979.] К главе 1 1. Oppenheim А. V., Schafer R. W., Digital Signal Processing, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1975. [Имеется перевод: Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов. — М.: Связь, 1979.] 2. Rabiner L. R., Gold В., Theory and Applications of Digital Signal Processing, Englewood Cliffs, N. J,, Prentice-Hall, Inc., 1975. [Имеется перевод: Раби- нер Л. Р., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. — М.: Мир, 1978.] 3. Oppenheim A. V., Willsky A. S., Young I. Т., Signals and Systems, Engle- wood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1983. 4. O'Connor В. Т., Huang Th. S., Stability of General Two-Dimensional Recur- sive Filters, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP—26, No. 6, 550—560 (1978). 5. Petersen D. P., Middleton D., Sampling and Reconstruction of Wave-Number Limited Functions in A'-Dimensional Euclidean Spaces, Information and Cont- rol, 5, 279—323 (1962). 6. Mersereau R. M., The Processing of Hexagonally Sampled Two-Dimensional Signals, Proc. IEEE, 67, No. 6, 930—949 (1979). [Имеется перевод: ТИИЭР, июнь 1979, т. 67, № б, с. 34—55.] К главе 2 1. Cooley J. W., Tukey J. W., An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series, Mathematics of Computation, 19, No. 90, 297—301 (1965). 2. Cooley J. W., Lewis P. A. W., Welch P. D., Historical Notes on the Fast Fourier Transform, IEEE Trans. Audio Elecfroacoustics, AU-15, No. 2, 76— 79 (1967). 3. Harris D. В., McClellan J. H., et al., Vector Radix Fast Fourier Transform, Proc. IEEE Int. Conf. Acoustics, Speech, and Signal Processing, 548—551 (May 1977). 4. Rivard G. K., Direct Fast Fourier Transform of Bivariate Functions, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-25, No. 3, 250—252 (1977). 5. Ekiundh J. 0., A Fast Computer Method for Matrix Transposing, IEEE Trans. Computers, C-21, 801—803 (1972). 6. Mersereau R M., The Processing of Hexagonally Sampled Two-Dimensional Signals, Proc. .IEEE, 61, No. 6, 930-949 (1979). 7. Mersereau R. M., Speake Th. С., A Unified Treatment of Cooley—Tukey Algorithms for the Evaluation of the Multidimensional DFT, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-29, No. 5, 1011—1018 (1981). 8. Mersereau R. M., Dudgeon D. E., The Representation of Two-Dimensional Sequences as One-Dimensional Sequences, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-22, No. 5, 320-325 (1974). 9. Good I. J., The Interaction Algorithm and Practical Fourier Analysis, J. Royal Statistical Society B, 20, 361-372 (1958). Литература 477 10. McClellan J. H., Rader Ch. M., Number Theory in Digital Signal Processing, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1979. [Имеется перевод: Мак- клеллаи Д/к., Райдер Ч. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов.—М.: Радио и связь, 1983.] К главе 3 1. Twogood R. E., Ekstrom M. P., Mitra S. K., Optimal Sectioning Procedure for the Implementation of 2-D Digital Filters, IEEE Trans. Circuits and Sys- tems, CAS-25, No. 5, 260—269 (1978). 2. Huang Th. S., Two-Dimensional Windows, IEEE Trans. Audio and Elecfro- • acoustics, AU-20, No. 1, 88—90 (1972). 3. Kaiser J. F., Nonreciirsive Digital Filter Design Using the /o-sinh Window Function, Proc. IEEE Int. Symp. Circuits and Systems. 20- .23 (1974). 4. Mersereau R. M., Two-Dimensional Nonreciirsive Filter Design, in Two-Di- mensional Digital Signal Processing I, ed. Thomas S. Huang, Topics in Ap- plied Physics Series, Vol. 42, New York, Springer-Verlag, 11—40 (1981). 5. Speake Th. С., Mersereau R. M., A Note on the Use of Windows for Two- Dimensional FIR Filter Desing, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-29, No. 1. 125--127 (1981). 6. .McClellan J. H., Artifacts in Alpha-Rooting of Images, Proc. IEEE inl. Conf: Acoustics, Speech, and Signal Processing, 449—452 (Apr. 1980). 7. Pratt W. K., Digital Image Processing. New York, John Wiley & Sons. Inc., 1978 (See Figure 12.5-1). [Имеется перевод: Прэтт У. Цифровая обработка изображений: В 2-х книгах. —М.: Мир, 1982.] 8. Parks Th. W., McClellan J. H., Chebyshev Approximation for Nonreciirsive Digital Filters with Linear Phase, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-19, No. 2, 189—194 (1972). 9. Chenev E. W., Introduction to Approximation Theory, New York. McGraw- Hill Book Company, 1966. 10. Kamp Y., Thiran .1. P.. Chebyshev Approximation for Two-Dimensional Nonrecursive Digital Filters, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-22, No. 3, 208—218 '(1975). 11. Harris D. В., Mersereau R. M., A Comparison of Algorithms for Minimax Design of Two-Dimensional Linear Phase FIR Digital Filters, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing. ASSP-25, No. 6, 492—500 (1977). 12. Rice J. R., The Approximation of Functions, Vol. 2, Nonlinear and Mul- tivariate Theory, Reading, Mass., Addison-Weslev Publishing Company. Inc., 1969. ' - i- - 13. Lodge J. H., Fahmy M. M,, An Efficient Ip Optimization Technique for the Design of Tw^o-Dimensional Linear-Phase FIR Digital Filters, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-28, No. 3, 308—313 (1980). 14. Treitel S., Shanks J. L., The Design of Multistage Separable Planar Fil- ters, IEEE Trans. Geoscience Electronics, GE-9, No. 1, 10-27 (1971). 15. McClellan .1. H., The Design of Two-Dimensional Digital Filters by Trans- formations, Proc. 7lh Annual Prince/on Conf. Information Sciences and Systems 247—251 (1973). 16. Mersereau R. M., Mecklenbrauker W. F. G.. Qiiatieri .Ir., Th. F.. McClellan Transformation for 2-D Digital Filtering: I-Design, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-23, No. 7, 405—414 (1976). 17. Mecklenbrauker W. F..G.. Mersereau R. M., McClellan Transformations for 2-D Digital Filtering: Il-Implementation, 'IEEE Trans. Circuits and Systems. CAS-23, No. 7, 414—422 (1976). 18. McClellan J. H., Chan D. K., A 2-D FIR Filter Structure Derived from the Chebyshev Recursion, IEEE Trans. Circuits and Systems. C.\S-24. No 7 372—378 (1977). 478 Литература 19. Mersereau- R. M'., The Design of Arbitrary 2-D Zero-Phase FIR Filters Using Transformations, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-27, No. 2, 142— 144 (1980). 20. Faugeras 0. D., Abramatic J. F., 2-D FIR Filter Design from Independent 'Small' Generating Kernels Using a Mean Square and Tchebyshev Error Cri- terion, Proc. IEEE Int. Conf. Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1—4 (Apr. 1979). 21. Mersereau R. M., The Processing of Hexagonally Sampled Two-Dimensiona, Signals, Proc. IEEE, 67, No. 6, 930—949 (1979). [Имеется перевод: ТИИЭР июнь 1979, т. 67, № 6, с. 34—55.] К главе 4 1. Mersereau R. M., Dudgeon D. E., Two-Dimensional Digital Filtering, Proc. IEEE, 63, No. 4, 610—623 (1975). [Имеется перевод: ТИИЭР, апрель 1975 63, № 4, с. 79-95.] 2. Ekstrom M. P., Woods J. W., Two-Dimensional Spectral Factorization with Applications in Recursive Digital Filtering, IEEE Trans. Acoustics, Spech, and Signal-Processing, ASSP-24, No. 2, 115—128 (1976). 3. Chan D. S. К., A Novel Framework for the Description of Realization Struc- tures for 1-D and 2-D Digital Filters, 1976 IEEE Electronics and Space Con- vention Record, pp. 157 (A—H). 4. Manry M. Т., Aggarwal J. K., Picture Processing Using One-Dimensional Implementations of Discrete Planar Filters, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-22, No. 3, 164—173 (1974). 5. Chan D. S. К., Theory .and Implementation of Multidimensional Discrete Systems for Signal Processing, Ph. D. thesis, Department of Electrical Engi- neering and Computer Science, Massachusetts Institute of Technology (1978). 6. O'Connor В. Т., Huang Th. S., Stability of General Two-Dimensional Recur- sive Digital Filters, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-26, No. 6, 550—560 (1978). 7. Shanks J. L., Treitel S., Justice J. H., Stability and Synthesis of Two-Di- mensional Recursive Filters, IEEE Trans. Audio and Electroacoustics, AU-20, No. 2, 115—128 (1972). 8. Justice J. H., Shanks J. L., Stabibity Criterion for Л'-Dimensional Digital Filters, IEEE Trans. Automatic Control, AC-18, No. 3, 284—286 (1973). 9. Huang Th. S., Stability of Two-Dimensional Recursive Filters, IEEE Trans. Audio and Electroacoustics, AU-20, No. 2, 158—163 (1972). 10. Goodmah D., An alternate Proof of Huang's Stability Theorem, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-24, No. 5, 426—427 (1976). 11. Davis D. L., A Correct Proof of Huang's Theorem on Stability, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-24, No. 5, 425—426 (1976). 12. DeCarlo R., Murray J., Saeks R., Multivariate Nyquist Theory, Int. J. Cont- rol. 25, 657—675 ('1977). 13. Strjntzis M. G., Test of Stability of Multidimensional Filters, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-24, No. 8, 432—437 (1977). 14. O'Connor В. Т., Techniques for Determining the Stability of Two-Dimensio- nal Recursive Filters and Their Application to Image Restoration, Ph. D. the- sis, School of Electrical Engineering, Purdue University (Mav 1978). 15. Jury E. I., Stability of Multidimensional Scalar and Matrix Polynominals, Proc. IEEE. 66, No. 9, 1018—1048 (1978). [Имеется перевод: ТИИЭР, сен- тябрь 1978, 66, № 9, с. 33—69.] 16. Shaw G. A. An Algorithm for Testing Stability of Two-Dimensional Digi- tal Recursive Filters, Proc. IEEE Int. Conf Acoustics, Speech, and Signal Processing. 769—772 (Apr. 1978). 17. Shaw G. A., Mersereau R. M., Design, Stability, and Performance of Two- Dimensional Recursive Digital Filters, Technical Report E21-B05-1, Georgia Institute of Technology School of Electrical Engineering (Dec. 1979). Литература 479 18. Jury E. I., Theon/ and Application of the г-Transform Method, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1964. 19. Tribolet J. M., A New Phase Unwrapping Algorithm, IEEE Trans. Acous- tics, Speech, and Signal Processing, ASSP-25, No. 2, 170—177 (1977). 20. Goodman D., Some Stability Properties of Two-Dimensional Linear Shift-, Invariant Digital Filters. IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-24, No. 4, 201—208 (1977). 21. Anderson В. О. О., Jurv E. 1., Stability of Multidimensional Digital Fil- ters. IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-21, No. 2, 300—304 (1974). 22. Oppenheim А. V.. Schafer R. W., Digital Signal Processing, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc. 1975. [Имеется перевод: Оппенгейм А. В. Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов. — M. : Связь, 1979.] 23. Bogert В. Р., Healy M. J. R., Tukey J. W., The Quefrency Analysis o, Time Series for Echoes: Cepstrum, Pseudo-autocovariance, Cross-Cepstrum and Saphe Cracking, Time Series Analysis (Proc. Symp.), M. Rosenblatt, ed., New York, John Wiley & Sons, Inc.,'209—243 (1963). 24. D.udgeon D. E., The Existence of Cepstra for Two-Dimensional Rational Polynomials, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-23, No. 2, 242—243 (1975). 25. Dudgeon D. E., Two-Dimensional Recursive Filtering, Sc. D. thesis, Depart- ment of Electrical Engineering and Computer Science, Massachusetts Institute of Technology (May 1974). 26. Dudgeon D. E., The Computation of Two-Dimensional Cepstra, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-25, No. 6, 476—484 (1977). К главе 5 1. Oppenheim A. V., Schafer R" W.. Digital Signal Processing, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1975. [Имеется перевод: Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов.—M.: Связь, 1979.1 2. Costa J. M., Venetsanopoulos A. N., Design of Circularfy Symmetric Two- Dimensional Recursive Filters, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-22, No. 6, 432—443 (1974). 3. Dudgeon D. E., An Iterative Implementation for 2-D Digital Filters, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-28, No. 6, 666—671 (1980). 4. Quatieri Th. F., Dudgeon D. E., Implementation of 2-D Digital Filters by Iterative Methods, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-30, No. 3, 473—487 (1982). 5. Manry M. Т., Aggarwal J. К., Picture Processing Using One-Dimensional Implementations of Discrete Planar Filters, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-22, No. 3, 164—173 (1974). 6. Roesser R. P., A Discrete State-Space Model for Linear Image Processing, IEEE Trans. Automatic Control, AC-20, No. 1, 1—10 (1975). 7. Kung Sun-Yuan, Levy В. С., et al.. New Results in 2-D Systems Theory. Part II: 2-D State—Space Models — Realization and the Notions of Control- lability, Observability, and Minimality, Proc. IEEE, 65, No, 6, 945—961 (1977). [Имеется перевод: ТИИЭР, июнь 1977, 65, № 6, с. 157—175.] 8. Willsky A. S., Digital Signal Processing and Control and Estimation Theory: Points of Tangency, Areas of Intersection, and Parallel Directions, Cambridge, Mass.: The MIT Press, 1979. 9. Chan D. S. K., A Simple Derivation of Minimal and Near-Minimal Realiza- tions of 2-D Transfer Functions, Proc. IEEE, 66, No. 4, 515—516 (1978). [Имеется перевод: ТИИЭР, апрель 1978, 66, № 4, с. 177—179.1 10. Cadzow J. A., Recursive Digital Synthesis via Gradient Based Algorithms, IEEE Trans. Acoustics, Spech, and Signal Processing, ASSP-24, No. 5, 349— 355 (19/6). 480 Литература 11. Shanks J. L., Treitel S., Justice J. H., Stability and Synthesis of Two- Dimensional Recursive Filters, IEEE Trans. Audio and Electroacoustics, AU-20 No. 2, 115—128(1972). 12. Ortega J. M., Rheinboldt W. C., Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, New-York, Academic Press, Inc., 1970. [Имеется перевод: Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных си- стем уравнений со многими неизвестными.—M.: Мир, 1975.) 13. Shaw G. A., Mersereau R. M., Design, Stabibity, and Performance of Two- Dimensional Recursive Digital Filters, Technical Report E21-B05-1, Georgia Institute of Technology School of Electrical Engineering (Dec. 1979). 14. Fletcher R., Powell M. J. D, A Rapidly Convergent Descent Method for Minimization, Computer J., 6, No. 2 July, 163—168 (1963). 15. Bertran M. S., Approximation of Digital Filters in One and Two Dimensi- ons, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-23, No. 5, 438—443 (1975). 16. Nowrowzian В., Ahmadi M., King R. A., On the Space-Domain Design Techniques of A'-Dimensional Recursive Digital Filters, Proc. IEEE Int. Con]. Acoustics, Speech, and Signal Processing, 531—534 (Apr. 1977). 17. Brown К. M.. Dennis, Jr., J. E., Derivative-Free Analogues of the Leven- berg—Marquardt and Gauss Algorithm for Non-Linear Least-Squares Appro- ximation, Numerische Mathematik, 18, 289—297 (1972). 18. Ekstrom M. P., Twogood R. F., Woods J. W., Two-Dimensional Recursive Filter Design — A Spectral Factorization Approach, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-28, No. 1, 16—26 (1980). 19. Steiglitz К., McBride L. E., A Technique for the Identification of Linear Systems, IEEE Trans. Automatic Control, AC-10, 461—464 (1965). 20. Cheney E. W., Introduction to Approximation Theory, New York, McGraw- Hill Book Company, 1966. 21. Barrodale I., Powell M. J. D., Roberts F. D. K., The Differential Correc- tion Algorithm for Rational loo Approximation, SIAA1 J. Numerical Analy- sis, 9, 493—504 (1972). 22. Dudgeon D. E., Two-Dimensional Recursive Filtering, Sc. D. thesis, Depart- ment of Electrical Engineering and Computer Science, Massachusetts Institute of Technology (May 1974). 23. Dudgeon D. Ё., Recursive Filter Design Using Differential Correction, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing. ASSP-22, No. 6, 443—448 (1974). 24. Dudgeon D. E., Two-Dimensional Recursive Filter Design Using Differential Correction, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-23, . No. 3, 264-267 (1975). 25. Garvin W. W., Introduction to Linear Programming, New York, ^cGraw- Hill Book Company, 1960. 26. Pendergrass N. A., Mitra S. K.. Jury E. I., Spectral Transformations for Two-Dimensional Digital Filters, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-23, No. 1, 26—35 (1976). 27. Chakrabarti S., Mitra S. K.. Design of Two-Dimensional Digital Filters via Spectral Transformations, Proc. IEEE, 65, No. 6, 905—914 (1977) [Имеется перевод: ТИИЭР, июнь 1977, 65, № 6, с. 107—120.] 28. Maria G. A., Fahmy M. M., An /p Design Technique for Two-Dimensional Digital Recursive Filters, IEEE Trans. Acoustics, Spec'-h, and Signal Proces- sing. ASSP-22, No. 1, 15-21 (1974). 29. Abramatic J. F., Germain F., Rosencher E., Design of 2-D Recursive Fil- ters with Separable Denominator Transfer Functions, Proc. IEEE Int. Conf. Acoustics, Speech, and Signal Processing. 24—27 (Apr. 1979). 30. Markel J. D., Gray A. H., Linear Prediction of Speech, Berlin Springer- Verlag, 1976. Литература 481 31. Marzetta Th. L., A Linear Prediction Approach to Two-Dimensional Spectral Factorization and Spectral Estimation, Ph. D. thesis, Department of Electri- cal Engineering and Computer Science, Massachusetts Institute of Technology (Feb. 1978). 32. Marzetta Th. L., Two-Dimensional Linear Prediction: Autocorrelation Arrays, Minimum-Phase Prediction Error Filters, and Reflection Coefficient Arrays, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-28, No. 6, 725— 733 (1980). 33. Harris. D. В., Design and Implementation of Rational 2-D Digital Filters, Ph. D. thesis, Department of Electrical Engineering and Computer Science, Massachusetts Institute of Technology (Nov. 1979). 34. Marzetta Th. L., The Design of 2-D Recursive Filters in the 2-D Reflection Coefficient Domain, Proc. IEEE Int. Conf. Acoustics, Speech, and Signal Processing, 32—35 (Apr. 1979). 35. Luenberger D. G., Optimization by Vector Space Methods, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1969. 36. Ekstrom M. P., Woods J. W., Two-Dimensional Spectral Factorization with Applications in Recursive Digital Filtering, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-24, No: 2, 115—128(1976). К главе 6 1. Applications of Digital Signal Processing, A. V. Oppenheim, ed. Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1978. [Имеется перевод: Применение циф- ровой обработки сигналов./Под ред. Э. Оппенгейма.—M.: Мир, 1980.] 2. Kelly E. J., The Representation of Seismic Waves in Frequency — Wavenum- ber Space, M. I. T. Lincoln Laboratory Technical Note 1964—15 (Mar. 6, 1964). 3. Halpeny 0. S., Childers D. G., Composite Wavefront Decomposition via Multidimensional Digital Filtering of Array Data, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-22, No. 5, 552—63 (June 1975). 4. Kelly E. J., Response of Seismic Arrays to Wide-Band Signals, M. I. T. Lincoln Laboratory Technical Note 1967—30 (June 29, 1967). 5. Harris F. J., On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform, Proc. IEEE, 66, No. 1, 51—83 (Jan. 1978). [Имеется перевод: ТИИЭР, январь 1978, 66, № 1, с. 60—96.) 6. Huang Th. S., Two-Dimensional Windows, IEEE Trans. Audio and Electro- acoustics, AU-20, No. 1, 80—90 (Mar. 1972). 7. Speake Th. С., Mersereau R. M., A Note on the Use of Windows for Two- Dimensional FIR Filter Design, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-29, No. 1, 125—127 (Feb. 1981). 8. Portnoff M. R., Time-Frequency Representation of Digital Signals and Sys- tems, IEEE Trass. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-29, No 1, 55—69 (1980). 9. Dudgeon D. E., Fundamentals of Digital Array Processing, Proc. IEEE, 65, No. 6, 898—904 (June 1977). [Имеется перевод: ТИИЭР, июнь 1977, 65, № 6, с. 99—107.] 10. Schafer R. W., Rabiner L. R., A Digital Signal Processing Approach to Interpolation, Proc. IEEE, 61, No. 6, 692—720 (June 1973). [Имеется перевод: ТИИЭР, 1973, 61, № 6, с. 5—18.] 11. Oetken G., Parks Th. W., Schussler H. W., New Results in the Design of Digital Interpolators, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-23, No. 3, 301—309 (June 1975). 12. Pridham R. G., Mucci R. A., A Novel Approach to Digital Beamforming, J. Acoustical Society of America, 63 (3), 425—434 (Feb. 1978). 13. Pridham R. G., Mucci R. A., Digital Interpolation Beamforming for Low- Pass and Bandpass Signals, Proc. IEEE, 67, No. 6, 904—919 (June 1979). [Имеется перевод: ТИИЭР, июнь 1979, 67, № 6, с. 29—47.] 482 Литература 14. Сох И., Resolving Power and Sensitivity to Mismatch of Optimum Array. Processors, J. Acoustical Society of America, 54, No. 3, 771—785 (Mar. 1973). 15. Monzingo R. A., Miller Th. W., Introduction to Adaptive Arrays, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1980. 16. Bartlett M. S., An Introduction to Stochastic Processes with Special Reference to Methods and Applications, New York, Cambridge Univerisity Press, 1953. Имеется перевод: Бартлет M. Введение в теорию случайных процессов. — M.: Мир, 1958.] 17. Blackman R. В., TukeyJ. W., The Measurement of Power Spectra, New York, Dover Publications, Inc., 1958. 18. Jenkins G. M., Watts D. G., Spectral Analysis and Its Aoplicalions, San Fran- cisco, Holden-Day, Inc., 1968. [Имеется перевод: Джег;кинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения.—M.: Мир, 197?.] 19. Welch P. D., The Use of Fast Fourier Transform for the Estimation of Power Spectra: A Method Based on Time Averaging over Short, Modified Periodograms, IEEE Trans. Audio and Electroacousiics, AU-15, No. 2, 70—73 (June 1967). 20. Oppenheim A. V., Schafer R. W., Digital Signal Processing, Englewood Cliffs, N. Y., Prentice-Hall, Inc., 1975. [Имеется перевод: Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов.—M.: Связь, 1979.] 21. Capon J., High-Resolution Frequency — Wavenumber Spectrum Analysis, Proc. IEEE, 57, No. 8, 1408—1418" (Aug. 1969). 22. Lacoss R. Т., Data Adaptive Spectral Analysis Methods, Geophysics, 36, No. 4, 661—675 (Aug. 1971). 23. Justice J. H., A Levinson-Type Algorithm tor Two-Dimensional Wiener Filtering Using Bivariate Szego Polynomials, Proc IEEE, 65, No. 6, 882— 886 (June 1977). 24. Dickinson В. W., Two-Dimensional Markov Spectrum Estimates Need Not Exist, IEEE Trans. Information Theory, IT-26, No. 1, 120—121 (Jan. 1980). 25. Rudin W., The Extension Problem for Positive Definite Functions, Illinois J. Mathematics, 7, 532—539 (1963). 26. New-man W. I., Notes on Multidimensional Power Spectral Analysis, Astronomy and Astrophysics (Germany), 70, No. 3, pt. 1, 409—410 (Nov. 1978). 27. Genin Y., Kamp Y., Counterexample in the Least-Squares Inverse Stabilisa- tion of 2D Recursive Filters, Electronics Letters, 11, No. 15, 330 (July 24, 1975). 28. Jackson L. В., Chien H. С., Frequency and Bearing Estimation by Two- Dimensional Linear Prediction, Proc. Int. Conf. Acoustics, Speech, and Signal Processing, Washington, D. C., 665—668 (Apr. 1979). 29. Pendrel J. V., The Maximum Entropy Principle in Two-Dimensional Spectral Analysis, Ph. D. thesis, York University, Ontario, Canada (Nov. 1979). 30. Makhoul J., Linear Prediction: A Tutor'ial Review, Proc. IEEE, 63, No. 4, 561—580 (175). 31. Wernecke S. J., D'Addario L. R., Maximum Entropy Image Reconstruction, IEEE Trans. Computers, C-26, No. 4, 351—364 (Apr. 1977). 32. Newman W. I., A New Method of Multidimensional Power Spectral Analy- sis, Astronomy and Astrophysics (Germanv), 54, No. 2, pt. 2, 369—380 (Jan. 1977). 33. Woods J. W., Two-Dimensional Markov Spectral Estimation, IEEE Trans. Information Theory, IT-22, No. 5, 552—559 (Sept. 1976). 34. Lim J. S., Malik N. A., A New Algorithm for Two-Dimensional Maximum Entropy Power Spectrum Estimation, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal'Processing, ASSP-29, No. 3, 401—413 (June 1981). 35. McClellan J. H., Multi-dimensional Spectral Estimation, Proc. IEEE, 70, No. 9, 1029—1039 (Sept. 1982). 36. Lang S. W., McClellan J. H., Spectral Estimation for Sensor Arrays, Proc. 1st ASSP Workshop on Spectral Estimation, 1, 3.2.1—3.2.7 (Aug. 1981). Литература 483 37. Luenberger D. G., Introduction io Linear and Nonlinear Programming, Rea- ding, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company, 1973. 38. Burg J. P., Maximum Entropy Spectral Analysis, Ph. D. thesis, Stanford University (May 1975). К главе 7 1. Schafer R. W., Mersereau R. M., Richards M. A., Constrained Iterative Re- storation Algorithms, Proc. IEEE, 69, 432—450 (Apr. 1981). [Имеется перевод: ТИИЭР, апрель 1981, 69, № 4, с. 34—55.] 2. Van Cittert P. H., Zurn Einfluss der Splatbreite auf die Intensitatswerteilung in Spektrallinien II, Z. fur Physik, 69, 298—308 (1931). 3. Marucci R., Signal Recovery from the Effects of a Non-invertible Distor- tion Operator, M. S. thesis, School of Electrical Engineering, Georgia Insti- tute of Technology (1981). 4. Trussel H. J., Maximum Power Signal Restoration, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-29. No. 5, 1059—1061 (1981). 5. Gerchberg R. W., Super-resolution through Error Energy Reduction, Optica Ada, 21, 709—720 (1974). 6. PapoulisA., A New Algorithm in Spectral Analysis and Bandlimited Extrapo- lation, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-22, No. 9, 735—742 (Sept. 1975). 7. Huddleston G. К., Aperture Synthesis of Monopulse Antenna for Radome Analysis Using Limited Measured Pattern Data, Proc. IEEE Soufheasfcon '81 Conf., 350—354. 8. Gerchberg R. W., Saxton W. 0., A Practical Algorithm for the Determi- nation of Phase from Image and Diffraction Plane Pictures, Optic, 35, 237— —246 (1972). 9. Fienup J. R., Reconstruction of an Object from the Modulus of Its Fourier Transform, Optics Letters. 3, 27 -29 (1978). 10. Fienup J. R., Iterative Method A plied to Image Reconstruction and to Com- puter-Generated Holograms, in P oc. Soc. Photo-optical Instrumentation Engi- neers, Session 207—202, Applications on Digital Image Processing III (1979). 11. Hayes M. H., The Reconstruction of a Multidimensional Sequence from the Phase or Magnitude of Its Fourier Transform, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-30, No. 2, 140—154 (Apr. 1982). 12. Hayes M. H. Ill, Signal Reconstruction from Phase or Magnitude, Sc. D. thesis, Department of Electrical Engineering and Computer Science, Mas- sachusetts Institute of Technology (June 1981). 13. Garibotto G., 2-D Recursive Phase Filters for the Solution of Two-Dimensional Wave Equations, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-27, No. 4, 367—372 (Aug. 1979). 14. Harris D. В., Design and Implementation ot Rational 2-D Digital Filters, Ph. D. thesis, Department of Electrical Engineering and Computer Science, Massachusetts Institute of Technology (Nov. 1979). 15. Claerbout J.„ Fundamentals of Geophysical Data Processing, New York, McGraw- Hill Book Company, 1976. 16. Radon J., On the Determination of Functions from Their Integrals along Certain Manifolds, Ber Saechs. Akad. Wiss. Leipzig, Math. Phys. Kl., 69, 262— 277 (1917) (in German). 17. Dines К. A., Lytle R. J., Computerized Geophysical Tomography, Proc. IEEE, 67, No. 7, 1065—1073 (July 1979). 18. Mersereau R. M., Oppenheim A. V.,' Digital Reconstruction of Multidimen- sional Signals from Their Projections, Proc. IEEE, 62, No. 10, 1319—1338 (Oct. 1974). [Имеется перевод: ТИНЭР, октябрь 1974, 62, № 10, с. 29—51.] 19. Mersereau R. M., Direct Fourier Transform Techniques in 3-D Image Reconst- ruction, Computers in Biology and Medicine, 6, 247—258 (1976). 484 Литература 20. Shepp L. A., Logan В. F., The Fourier Reconstruction of a Head Section IEEE Trans. Nuclear Science, 21, 21—43 (1974). 21. Horn В. К. Р., Density Reconstruction Using Arbitrary Ray-Sampling, Schemes, Proc. IEEE, 66, No. 5, 551—562 (May 1978). [Имеется перевод- ТИИЭР, май 1978, 66, № 5, с. 27-40. ] 22. Herman G. Т., Lent A., Iterative Reconstruction Algorithms, Computers in Biology and Medicine, 6, 273—294 (1976). 23. Herman G. Т., Lakshminarayanan A. V., Naparstek A., Convolution Re- construction Techniques for Divergent Beams, Computers in Biologu and Me- dicine, 6, 259—271 (1976). 24. Mersereau R. M., Dudgeon D. E., The Representation of Two-Dimensional Sequences as One-Dimensional Sequences, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing ASSP-22, No. 5, 320—325 (Oct. 1974). 25. Mersereau R. M., Dimensionality-Changing Transformations with Non-rec- tangular Sampling Strategies, Transformations in Optics, W. T. Rhodes et al.; eds., Seattle: Society of Photo-optical Instrumentation Engieers, 1983. 26. Bracewell R. N., The Fourier Transform and Its Applications, New York McGraw-Hill Book Company, 1978. Предметный указатель Алгоритм восстановления в пространстве Фурье 451 — итерационного восстановления 459 — Кэмпа и Тирана 166 — обратной проекции 456 — Паркса—Мак-Клеллана 165 — подъема 167 — простых множителей Гуда 132 — Ремеза 165 — синтеза по амплитуде и квадрату амплитуды 313 — транспортирования Зклунда 109 — Флетчера—Пауэлла 306 — Херси и Мерсеро 166 — Шэнкса 306 Анализ пространственно-временных сиг- налов 355 «Бабочка» по основанию 2Х2 103 Биокружность единичная 241 БИХ-фильтр (фильтр с бесконечной им- пульсной характеристикой) 8, 142, 143, 160, 201, 249, 270, 279, 280, 286, 300, 306, 311, 316—320, 341. 344 — двумерный 266, 273, 274, 308, 311 — с нулевой фазой 318 Вектор замедленности 356 Векторы конгруэнтные 118 Ветви 229 Восстановление изображения по 64 проек- циям 457 — исходного изображения 454 — сигнала по значениям фазы или ампли- туды 435 — сигналов по их проекциям 444 — — с наложением ограничений 427 — с использованием линейной интерпо- ляции 455 Граф сигнальный 286 — — элементы 286 Дельта-функция 300 Диаграмма корней 226 — направленности 360, 376 — — пример 364 Дискретизации интервалы 54 — матрица 59 — периодическая 58 — произвольный растр 58 — прямоугольная 54 — сравнение 64 Задачи обратные 426 Импульс (отсчет) единичный 17 Интервал периодичности вертикальный 21 — — горизонтальный 21 Информация априорная 446, 459 Кепстр двумерный комплексный 243 — — — вычисление 252 — комплексный 244, 247 — — существование 245 КИХ-фильтр (фильтр с конечной импульс- ной характеристикой) 8, 142, 143, 145, 146, 160, 167, 181. 192, 201, 310 — гексагональный 187, 189 — двумерный 142, 175. 33.1 — импульсный отклик 144 — каскадный 167 — нижних частот 188 — — — отклик 190 — оптимальный 159 — параллельный 169 — проектирование 166 — прямая свертка 143 — реализация с использованием ДПФ 187 — — — — прямой свертки 187 — синтез 159. 164, '167, 173 — с нулевой фазой 186 — — — — синтез 164 —(11Х 111-точечный 152 — t(2/V + 1) X (2ЛГ + Поточечный 184 — частотный отклик 181 КИХ-фильтрация 319 Коэффициент отражения 328 Предметный указатель 485 Линии постоянного значения 177 ЛИС-система (линейная инвариантная к сдвигу система) 7, 27, 36, 38, 201, 226, 270 — двумерная 49, 469 — — частотный отклик 41 — дискретная 45 — каскадная 35 — Al-мерная 29 — отклик 45, 49 ЛИС-фильтр 143, 378, 464 Максимум дифракционный 366, 367 Маска входная 202, 203 — выходная 202, 203, 205—207 — с отверстием 205 Маскирование пространственное 25 Матрица диагональная 139 — дискретизации 116 — — гексагональная 126, 127 — периодичности 135 — простая 117 — составная 117 — унимодульная 117 Метод восстановления при использовании веерных пучков 460 — исследованный Уэлчем 392 — Мак-Клеллана 159 — множителей Лагранжа 410 — Ньютона 306 — окон 149, 181 — перекрытия с накоплением 148 — синтеза в частотной области 311 — спуска 305 — стабилизации Шоу 342 — трансформаций 174 — Флетчера — Пауэлла 310 Методы итеративные обращения свертки 428 — итерационные экстраполяции сигнала 433 — минимизации общие 312 — синтеза БИХ-фильтров 315 — синтеза фильтров 181 — стабилизации 340 — — кепстральные 340 Миграция 440 — сейсмических волн 439 — трактовка задачи 440 Множество критическое 166 — М-мерное 134 Нелинейность безынерционная 26 Норма Чебышева 160 — L 160, 311 Область затухания 442 — опорная 38 — — в виде квадранта 39 — — — — сектора 39 — распространения 442 — Рейнхардта 215 — сходимости (аналитичности) 215 Обработка сигналов 354 Окно Кайзера 152, 193 — — одномерное 153 — — параметр а 153 — стандартное одномерное 367 Особенности второго рода 227 Отклик импульсный 170, 300 — — определение 70 — — частотно-ограниченный 70 — частотный 153, 159 — — двумерный 178 — — М-мерный 175 — — системы 71 Отклик-прототип частотный 178 Оценка спектра классическая 389 — — многомерного 388 — — по максимуму энтропии 408 Ошибка максимальная 166 — Чебышева 164 Перекрытие с суммированием 147 Период вертикальный 38 — горизонтальный 83 Периодограмма 390 — сглаженная 392 Поверхность двумерная единичная (еди- ничная биокружность) 215 Полином несводимый 227 Полоса непропускания 336 — пропускания 336 — частот 64 Порядок фильтра 146 Последовательность конечной протяжен- ности 20 — М-мерная 464 — Л^-мерная 464 — периодическая 21 — прямоугольно-периодичная 23, 82, 135 — разделимая 19 — с вещественными значениями 53 — — конечной опорной областью 215 — — опорной областью в виде квадрата 217 — — — — на всей плоскости 220 — — — — — полуплоскости 220 — — — — — секторе 219 — эквипотенциальная 18 Преобразование Фурье 88 — - быстрое (БПФ) 7, 12. 82, 100, 193 — — — алгоритм 101, 108, 113, 122, 125, 381 — — — — эффективность 108 — — — двумерное 119, 253 — — — двухступенчатое 139 — — — многомерное 112 — — — одномерное 101, 106, 109, 125, 381 — — — опорная область 121 — — — по векторному основанию (2Х2) 106 — — — трехмерное 112 — — — М-мерное 112 — — — (4 X 4)-точечное 123 ———(.NX ЛО-точечное 106, 138 — — — (Ri X /^-точечное 107 — — дискретное (ДПФ) 7, 12, 82, 88, 90—92, 94, 96, 99, 122, 158, 159, 167, 193, 253, 256, 341, 452, 453, 467 — — — алгоритм 113 — — — вычислительная сложность 107 — — — гексагональная дискретизация 126 — — — гексагональное 128 — — — двумерное 89, 99, 102, 119 — — — длина 101 — — — для общего случая 113 — — — дуальность 93 — — — круговые сдвиги 91 — — — кусочное 130 — - - М-мерное 99, 100, 107, 108, 110, 112, 129 — — — (M — 1)-мерное 110 — — — модуляция 93 — — — одномерное 100, 102, 110, 129, 132, 133, 135, 137 — — — отражение 93 — — — по матрице Р 122 — — — прямое вычисление 99, 100 — — — прямоугольное 127, 128 486 Предметный указатель — — — разбиение на строки и столбцы 100 — — — размер 98 — — — свойство симметрии 92 — — — теорема Парсеваля 93 — — — (2 X 21-точечное 137 — — — (4 X 41-точечное 98, 105 — — — Л1-точечное 381 — ——(NX Л')-точечное 108, 127, 451 — — — A^t-точечное 254 — — — (Л/i Х /^-точечное 97. 253 — — — четырехмерное 135 — — двумерное 49, 131 — — — вещественная и мнимая части 53 — — — дифференцирование преобразо- вания Фурье 52 — — — зеркальное отражение 52 — — — комплексное сопряжение 53 — — — линейность 51 — — — модуляция 52 — — — пространственный сдвиг 52 — — — теорема Парсеваля 53 — — — — транспонирования 52 — — — (1024 X 10241-точечное 101 — — линейность 72 — — многомерное 7, 49 — — обратное 253, 309, 341 — — свойство сдвига 73 — — теорема Парсеваля 73 — — — о свертке 73 z-Преобразование 7, 215, 235, 249, 466 — двумерное 221 — дифференцируемость 222 — зеркальное отражение 222 — комплексная сопряженность 222 — линейное отображение 223 — линейность 222 — многомерное 214 — модуляция 222 — обратное 227, 243 — перемножение 223 — свертка 223 — сдвиг 222 — сигналы разделимые 221 — теорема о начальном значении 223 — — Парсеваля 223 Проекция дискретных сигналов 464 Разбиение по строкам и столбцам М-мер- ное 110 Реализация каскадная 27 — параллельная 270 Рекурсия чебышевская 182 Ряд Фурье дискретный двумерный 83 — — коэффициенты 83, 135, 136 Свертки графическое представление 33 — двух последовательностей 32 — дискретная 147 — линейная 28 — квадратного импульса 31 — Af-мерная 29 — секционированная 146 — циклическая 93 Сигнал дискретный 15 — — двумерный (последовательность) 15 — М -мерный 131 — ограничение 282 — одномерный 131 — опорная область 20 — смешанный 15 — эрмитово-антнсимметричная часть 92 Сигналов взаимосвязь 69 — элементарные 356 Синтез каскадных фильтров 323 — методом наименьших квадратов 162 — фильтров с разделимым знаменателем 324 Система, инвариантная к сдвигу 27 — линейная 26 — с векторным входом и выходом 40 Системы разделимые 36 — рекурсивно вычислимые 202 — устойчивые 37 Соединение параллельное 34 — последовательное 34 Спектр чисто полюсной 400 Ступенька единичная 18 Таблица Мардена — 10 ри 237 Теорема Андерсена и Юри 242 — Де Карло — Стринтциса 234, 235, 237, 239, 240, 243 — Джастиса и Шэнкси 242 — об устойчивости 232 —- 0'Коннора 240 — о проекционном срезе 447 — — свертке 50 — Парсеваля 162 — Хуанга 234 — Шэнкса 233—235 Точка экстремальная 166 — — множество 166 Транспонирование А 110 Трансформация Мак-Клеллана 186 — М-мерная 183 — первого порядка 177. 184 — порядок 184 Узлы 229 Уравнение разностное 200 Фильтр М-мерный 183 — минимальный 165 — многоступенчатый разделимый 170 — несимметричный полуплоскостной (НПП-фильтр) 207 — нерекурсивный 142 — рекурсивный 142. 203 — симметричный полуплоскостной 331 — с малым генерирующим ядром (МГЯ- фильтр) 186 — — нулевой фазой 143, 144 — — равновеликими пульсациями 165 — — частотным откликом 176 Фильтра коэффициент ослабления 156 Фильтрация в пространстве волновое чис- ло—частота 358 Форма II двумерная 268 — одномерная 268 — прямая 268 Формирование луча 359, 360 — — в дискретном времени 373 — — — частотном пространстве 370, 381 — — во временной области 373 — — интерполяцией 378 — — методом фильтрации и суммирова- ния 368 Формирователь по методу взвешенного сложения с задержкой 360 Функции весовой влияние 367 Функция Бесселя модифицированная 151 — — первого порядка 153 — отображения (соотношение упорядочи- вания) 211 — передаточная (системная) 214, 224 — пространственно-временная 355 — трансформирующая 175, 178 — — М-мерная 183 — Эйлера 133 Фурье-спектр функции 151 Частоты ограничивающие 163 Оглавление Предисловие редактора перевода .................. 5 Предисловие ............................ 7 Введение .............................. 10 Глава 1. Многомерные сигналы и системы ............. 15 /./. Двумерные дискретные сигналы ........... 15 1.2. Многомерные системы ................. 23 1.3. Характеристики сигналов и систем в частотной области 41 1.4. Дискретизация непрерывных двумерных сигналов ..... 54 *1.5. Обработка непрерывных сигналов дискретными систе- мами ........................ 69 Упражнения ....................... 73 Глава 2. Дискретный Фурье-анализ многомерных сигналов. ..... 82 2.1. Представление прямоугольно-периодических последователь- ностей в виде дискретных рядов Фурье ........ 82 2.2. Многомерное дискретное преобразование Фурье ..... 86 2.3. Вычисление дискретного преобразования Фурье ..... 99 *2.4. Дискретные преобразования Фурье для общего случая пе- риодической дискретизации сигнала ........... 113 *2.5. Взаимосвязь между М-мерными и одномерными ДПФ . . 129 Упражнения ....................... 135 Глава 3. Синтез и реализация двумерных КИХ-фильтров ...... 142 3.1. КИХ-фильтры ............... 142 3.2. Реализация КИХ-фильтров .............. 143 3.3. Синтез 'К И Х-фильтров с использованием окон ..... 149 *3.4. Синтез оптимальных КИХ-фильтров ......... 159 3.5. Синтез КИХ-фильтров для специальных способов реали- зации ....................... 167 *3.6. КИХ-фильтры для случая гексагональной дискретизации сигналов ....................... 187 Упражнения ....................... 192 Глава 4. Многомерные рекурсивные системы ............ 200 4.1. Разностные уравнения конечного порядка ....... 200 4.2. Многомерное г-преобразование ............. 214 4.3. Устойчивость рекурсивных систем .......... 232 4.4. Двумерный комплексный кепстр ........... 243 Упражнения ....................... 256 Глава 5. Синтез и реализация двумерных БИХ-фильтров ...... 266 5.1. Классические схемы двумерных БИХ-фильтров ..... 266 5.2. Итерационные методы реализации двумерных БИХ-фильт- ров ......................... 274 488 Оглавление 5.3. Направленные сигнальные графы и реализации с помощью переменных состояния ............... 286 5.4. Методы синтеза в пространственной области ..... 300 5.5. Методы синтеза в частотной области ........ 311 5.6. Методы синтеза некоторых специальных схем .... 322 5.7. Методы стабилизации ............... 340 Упражнения ....................... 344 Глава 6. Обработка сигналов, передаваемых с помощью распространя- ющихся в пространстве волн ............. 354 6.1. Анализ пространственно-временных сигналов ..... 355 6.2. Формирование луча. ................... 359 6.3. Формирование луча в дискретном времени ....... 373 6.4. Дальнейшее обсуждение приложений обработки сигналов, полученных с помощью решетки приемников ...... 383 6.5. Оценка многомерных спектров ............. 388 Упражнения ....................... 418 Глава 7. Обратные задачи ..................... 426 7.1. Итерационное восстановление сигналов с наложением ог- раничений ...................... 427 7.2. Миграция сейсмических волн ............ 439 7.,?. Восстановление сигналов по их проекциям ...... 444 7.4. Проекция дискретных сигналов ........... 464 Упражнения ............. ........... 469 Литература ......................... 476 Предметный указатель ....................... 485 Монография Дэн Э. Даджион, Расселл М. Мерсеро ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА МНОГОМЕРНЫХ СИГНАЛОВ Заведующий редакцией проф., д-р. техн. наук, Ю. И. Топчеев Зам. зав. редакцией Э. Н. Вадиков Старший научный редактор В. С. Соболев Младший научный редактор В. Н. Соколова Художник Н. И. Василевская Художественный редактор Н. М. Иванов Технический редактор Е. Н. Прохорова Корректор Т. П. Пашковская И Б № 6243 Сдано в набор 19.03.87. Подписано к печати 29.10.87. Формат fiOxSS' i„. Бумага книжно-журнальная. Печать офсетная. Гарнитура литературная. Объем 15,25 бум. л. Усл. печ. л. 30.50. Усл. кр.-отт. 30.50. Уч.-изд. л. 29.46. Изд. № 6/5162. Тираж 12500 ^кз. Зак. 548. Цена 2 р. 40 к. ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2 Набрано в Ленинградской типографии № 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10. Отпечатано по офсету в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственно комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 191126, Ленинград, Социалистическая ул., 14.