Е.С.ВЕНТЦЕЛЬ, Л.А.ОВЧАРОВ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МОСКВА •РАДИО И СВЯЗЬ- 1983 ББК 22.171 В29 УДК 519.212 В29 Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей. — М.: Радио и связь, 1983. — 416 с., ил. В пер.: 1 р. 60 к. ' Содержится большое число задач прикладного характера, относя- щихся к разным областям практики, главным образом инженерно-тех- ническим. В начале каждой главы приводятся краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач. Большинство задач снаб- жено не только ответами, но и развернутыми решениями, демонстри- рующими важные методические приемы. Для инженерно-технических работников, а также студентов и пре- подавателей вузов, заинтересованных в овладении вероятностными методами решения прикладных задач. _ 1702060000-020 В —————————— 107-82 [046(01)-83 ББК 22.171 517.8 Рецензент академик АН УССР Б.В.ГНЕДЕНКО Редакция литературы по кибернетике и вычислительной технике Издательство «Радио и связь», 1983 ПРЕДИСЛОВИЕ Книга написана на основе многолетнего опыта преподавания тео- рии вероятностей и ее приложений в высших технических учебных заведениях различных профилей. Основой для нее послужили также многочисленные практические задачи, встречавшиеся авторам в их научно-исследовательской и консультационной работе. Эти задачи от- носятся к разным областям практики, как-то : электротехника, радио- техника, передача сообщений; электронные вычислительные машины; информационные системы; надежность технических устройств, их ре- монт и профилактика; точность аппаратуры; бытовое обслуживание; транспорт, здравоохранение и др. Книга состоит из одиннадцати глав; в начале каждой главы при- ведена краткая сводка теоретических положений и основных формул, необходимых для решения задач. Задачи, помещенные в книге, весьма различны как по области при- ложений, так и по трудности. В начале каждой главы читателю пред- лагаются сравнительно простые задачи, цель которых — уяснение основных понятий, приобретение и закрепление навыков применения вероятностных методов. Далее приводятся более сложные задачи, име- ющие практическую направленность, решение которых становится возможным на базе усвоенных теоретических знаний и приобретенных навыков. Авторы избегают стандартных, так называемых «типовых» задач, решаемых по определенному шаблону. Многие задачи, помещенные в книге, могут показаться трудными не только начинающему, но и ис- кушенному в теории вероятностей читателю (наиболее трудные, по мнению составителей, отмечены звездочкой). В интересах читателя большинство задач снабжено не только ответами, но и развернутыми решениями; эти ответы и решения приводятся не в конце книги, а не- посредственно за постановкой задачи (авторы рассчитывают на трудо- любивого и вдумчивого читателя, который прежде всего попытается найти решение самостоятельно). Такая структура книги очень удобна и полностью оправдала себя на примере другой книги авторов «Теория вероятностей» (М.: Наука, 1973), многократно изданной у нас и за ру- бежом (некоторые задачи этого издания повторены авторами в настоя- щей книге). С точки зрения авторов, наибольший интерес в книге представля- ют постановки и развернутые решения нетривиальных задач и проде- монстрированные в них методические приемы. Авторы ставят себе целью не просто решить задачу, а решить ее наиболее простыми и об- щими средствами. Некоторые задачи решены не одним, а разными спо- собами. Многие решения содержат оригинальные методические при- емы, которые имеют общее значение и могут найти применение в са- мых разных областях практики. Особое значение авторы придают ап- парату числовых характеристик, позволяющему решать ряд задач с исключительной простотой. Большое внимание уделяется прикладным задачам теории марковских случайных процессов. Краткие теоретические разделы, предваряющие отдельные главы книги, в своем большинстве не конспектируют ни один из существую- щих учебников по теории вероятностей, а написаны на новой методи- ческой основе. Таким образом, книга занимает в некотором смысле промежуточное положение между сборником задач и учебником по теории вероятно- стей. Она может быть полезна широкому кругу читателей: студентам и преподавателям втузов, а также инженерам и научным работникам, встречающимся на практике с задачами, требующими вероятностного подхода. Отметим, что подробная разработанность решений и внима_- ние к методическим вопросам делают книгу хорошо приспособленной к задачам самообразования. \г^п Авторы приносят глубокую благодарность академику АН УССР Б. В. Гнеденко, подробно ознакомившемуся с рукописью книги и сделавшему ряд ценных замечаний, а также академику АН СССР В. С. Пугачеву, с которым авторы многократно советовались при ра- боте над книгой, в значительной мере следуя методическим принци- пам и системе обозначений, принятым в его монографии [12]. ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В СХЕМЕ СЛУЧАЕВ 1.0. Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономер- ности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события). Событием называ- ется всякий факт, который в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти или не произойти. Примеры событий: выпадение шестерки при бро- сании игральной кости; отказ технического устройства за время его работы т; искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связыва- ются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности этих событий, называемые вероятностями событий. К понятию «вероятность» существует несколько подходов. Один из них («клас- сический») основан на подсчете числа исходов опыта, благоприятных данному событию, и его отношения к общему числу равновозможных исходов [см. ниже формулу (1.0.6) ]. Другой подход (так называемый «частотный» или «статисти- ческий») основан на понятии частоты события в длинной серии опытов. Частотой (или частостью) события в серии из N опытов называется отношение числа опы- тов, в которых произошло данное событие, к общему числу произведенных опы- тов. Существуют случайные явления, в которых наблюдается устойчивость час- тот; она состоит в том, что при увеличении числа независимых опытов N часто- та события стабилизируется, приближаясь к какой-то постоянной величине; эта величина и называется вероятностью события. Современное построение теории вероятностей как раздела математики ос- новывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств. Такой подход к построению теории вероятностей называется теоретико-множественным. Напомним основные понятия теории множеств*). Множеством называется любая совокупность объектов произвольной при- роды, каждый из которых называется элементом множества. Примеры мно- жеств: множество студентов, обучающихся в данном вузе; множество натураль- ных чисел, не превосходящих 100; множество точек на плоскости, лежащих внутри или на границе круга с радиусом единица и центром в начале координат. Множество обозначается по-разному: или одной большой буквой; или пере- числением его элементов, данным в фигурных скобках; или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. На- пример, множество М натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано в виде М = {1, 2, ..., 100} = {{ — целое; 1 < I ^ 100}. Множество С точек на плоскости, лежащих внутри или на границе круга с цент- ром в начале координат, может быть записано в виде С = {х2 + у2 ^ К2], где х, у — декартовы координаты точки; К. — радиус круга. По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Множест- во А1 = {1, 2, ..., 100} конечно и содержит 100 элементов (конечное множество может, в частности, состоять из одного элемента). Множество всех натуральных чисел N = {1, 2, .... п., ...} бесконечно; также бесконечно и множество четных чисел Л^з = {2, 4,..., 2га, ...}. Бесконечное множество называется счетным, если все его члены можно перечислить в определенной последовательности (оба выше- *) В настоящее время эти понятия излагаются в средней школе. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Вентцель Е. С. Теория вероятностен. — М.: Наука, 1964. — 564 с. 2. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1973. — 366 с. 3. Гмурман В. Е.Руководство к решению задач по теории вероятноетей и мате магической статистике. — М.: Высшая школа, 1979. — 477 с. 4. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Физматгиз, 1961—406 с. 5 Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслужива- н. я. — М.: Наука, 1966. — 431 с. 6. Коваленко И. М., Филиппова А. А. Теория вероятноетей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1973. — 368 с. 7. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание, теория и применение. ~ М.: Мир, 1965. — 302 с. 8. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей — Изд. МГУ, 1963. — 131 с. 9. Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания. — М.: Машиностроение, 1969. — 324 а. 10. Пугачев В. С. Теория случайных функций. — М.: Физматриз, 1962. -- 659 с. 11. Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей. — М.; Наука, 1968. — 368 с. 12 Пугачев В. С. Теория вероятности и математическая статистика. — М.: Нау- ка, 1979.—495 с. 13 Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций/ Под ред. А. А. Свешникова. — М.: Наука, 196о. — 656с. 14. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Теория вероятностен и математи- ческая статистика в механике. — М.: Физматгиз, 1965. — 554 с. 15. Тараканов К. В., Овчаров Л. А., Тырышкин А. Н. Аналитические методы исследования систем. — М.: Сов. радио, 1975. — 240 с. 16 Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применение в 2-х т. — М.: Мир, 1964.-Т. 1-500 с., 1967. - Т. 2 - 752 с. 17 Хинчин А. Я. Работы по матемагической теории массового обслуживания. — М: Физматриз, 1963. — 127 с. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ................. 3 Глава 1. Основные понятия теории вероятностен. Непосредственный под- счет вероятностей в схеме случаев ........ 5 Глава 2. Алгебра событий. Правила сложения и умножения вероятно- стей ................ 23 Глава 3. Формула полной вероятности и формула Бейеса ..... 56 Глава 4. Дискретные случайные величины ......... 75 Глава 5. Непрерывные и смешанные случайные величины ..... 100 Глава 6. Системы случайных величин (случайные векторы) .... 133 Глава 7. Числовые характеристики функций случайных величин . . .154 Глава 8. Законы распределения функций случайных величин. Предель- ные теоремы теории вероятностей ...,.,... 203 Глава 9. Случайные функции ............ 244 Глава 10. Потоки событий. Марковские случайные процессы .... 308 Глава 11. Теория массового обслуживания ......... 349 Приложения ................... 405 Список литературы ............... 415 ЕЛЕНА СЕРГЕЕВНА ВЕНТЦЕЛЬ ЛЕВ АЛЕКСАНДРОВИЧ ОВЧАРОВ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Редактор Н. Г. Давыдова Обложка художника П. П. Рогачева Художественный редактор Л. Н. Сильянов Технический редактор Г. Н. Зыкина Корректор Н. Л. Жукова ИБ № 157 Сдано в набор 21.06.82 г. Подписано в печать 22.11.82 г. Т-20367 Формат 60Х90'/и. Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. п. л. 26,0. Усл. кр.-отт. 28,0 Уч.-изд. л. 27,23. Тираж 30000 экз. Изд. № 19639 Заказ № 1040 Цена 1 р. 60 к. Издательство «Радио и связь», Москва, Главпочтамт, а/я 693 Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129041, Москва, Б. Переяславская, 46