ББК 22.161.8 К76 УДК 519.3 Коша А. Вариационное исчисление / Пер. с венгер. Д. Ва- ловича; Под ред. Ш. А. Алимова. — М.: Высш. шк., 1983. — 279 с., ил. Перевод изд.: Kosa Andras. Variacioszamitas. В пер.1 р. 40 к. Книга охватывает все вопросы вариационного исчисления, вхо- дящие в университетские курсы. При изложении материала использу- ются классические методы. Ряд результатов получен на основании общих теорем нелинейного функционального анализа. Дается пред- ставление о современных методах теории экстремальных задач. Осо- бенностью книги является практическое приложение важнейших ре- зультатов вариационного исчисления в области физики и других наук. Для математических факультетов и факультетов прикладной ма- тематики университетов. 1702050000—493 001(01)—83 62—83 ББК 22.161.8 517.2 © Kosa Andras, Budapest, 1973 © Перевод на русский язык и предисловие, Издательство «Высшая школа», 1983 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода ............. 8 Предисловие ....................... 9 Основные обозначения и сокращения .. ........ 11 Глава 1. Основные понятия, проблемы и методы ...... 13 § 1. Функционалы ................... 13 1.1. Определение функционалов .... ...... 13 1.2. Экстремум функционалов .... ....... 14 1.3. Предмет вариационного исчисления ... . . 15 § 2. Простейший тип задач вариационного исчисления. 16 2.1. Задача о брахистохроне ............ 17 2.2. Задача о минимальной поверхности вращения . 19 2.3. Простейшая вариационная задача ....... 20 § 3. Классические методы нахождения экстремальных функций ..... ................ 23 3.1. Метод Эйлера. Дифференциальное уравнение Эй- лера—Лагранжа ........'........ 23 3.2. Замечания к методу Эйлера .......... 26 3.3. Метод Лагранжа. Лемма Лагранжа. . .... 28 3.4. Классическая трактовка вариации. Первая ва- риация и ее связь с дифференциальным уравне- нием Эйлера—Лагранжа ............ 31 § 4. Общий м.етод функционального анализа ..... 34 4.1. Функционал, определенный на линейном норми- рованном пространстве .... ........ 35 4.2. Производная Фреше. Современное понятие ва- риации .................... 38 4.3. Применение общей теории к простейшей вариа- ционной задаче ................ 40 4.4. Замечания к методу Фреше .......... 43 § 5. Дифференциальное уравнение Эйлера—Лагранжа . 44 5.1. Понижение порядка дифференциального урав- нения Эйлера—Лагранжа ........... 46 5.2. Неполные основные функции. ......... 47 5.3. Решение дифференциального уравнения Эйлера— Лагранжа в двух конкретных случаях. . . . . 49 § 6. Выбор класса допустимых функций (дифференци- руемость и непрерывность) ............ 54 6.1. Существование экстремума ........... 56 6.2. Классы функций Ci [х^, х^] и D^ [.1:1, л-д]. Скруг- леняе углов ............."..... 58 6.3. Классы Сд [х^, л-J и Л [х^, х^\ ........ 64 § 7. Некоторые классические проблемы вариационного исчисления .................... 71 7.1. Сильный и слабый локальный экстремум .... 71 7.2. Необходимые и достаточные условия . . ... 78 7.3. Некоторые обобщения простейшей вариационной задачи ..... ............... 79 7.4. О вариационных принципах физики. Другие ва- риационные задачи .............. 83 7.5. Предварительные замечания о дальнейших ис- следованиях .................. 89 Глава 2. Необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей вариационной задаче . . ..... 93 § 8. Необходимые условия слабого локального минимума 93 8.1. Формулировка проблемы. Лемма Дюбуа—Рей- мона ..................... 93 8.2. Первая вариация. Интегро-дифферснциальное уравнение Эйлера—Лагранжа . . ....... 95 8.3. Некоторые следствия из интегро-дифференциаль- ного уравнения Эйлера—Лагранжа ... ... 101 8.4. Вторая вариация ............... 105 8.5. Условие Лежандра .............. 107 8.6. Теорема Гильберта о дифференцируемости. Ре- гулярный функционал ............. 111 8.7. Условие Якоби ............... 116 8.8. Дополнения к условию Якоби ........ 124 § 9. Достаточные условия слабого локального минимума 130 9.1. Предварительные замечания и леммы ..... 131 9.2. Достаточные условия .... ......... 136 § 10. Необходимые и достаточные условия сильного локального минимума .... .......... 144 10.1. Необходимое условие Вейерштрасса . . ... i45 10.2. Принцип минимума. Еще одно интегро-дифферен- циальное уравнение .............. 154 10.3. Достаточные условия сильного локального ми- нимума ..... .............. 158 10.4. Понятие поля экстремалей. Достаточные условия 166 л лава 3. Необходимые условия экстремума в более общих вариационных задачах .............. 179 §11. Вариационные задачи более высокого порядка (од- номерные непараметрические с неподвижными гра- ницами). ..... ............... 179 11.1. Формулировка проблемы. Лемма Дюбуа—Рей- мона ...................... 179 11.2. Интегро-дифференциальное уравнение Эйлера- Пуассона ................... 181 § 12. Пространственные вариационные задачи (одномер- ные непараметрические с неподвижными граница- ми). ....................... 188 § 13. Многомерные вариационные задачи ... .... 195 13.1. Двумерная вариационная задача Лемма Хаара 195 13.2. Необходимое условие Хаара ......... 200 § 14. Параметрические вариационные задачи. ... ... 207 14.1. Условие однородности. ............ 208 14.2. Пространственная параметрическая вариацион- ная задача с неподвижными границами .... 212 § i5. Вариационны 'задачи с подвижными границами . 222 15.1. Условия трансверсальности для параметричес- кой вариационной задачи ........... 222 15.2. Условие трансверсальности для непараметри- ческой вариационной задачи ......... § 16. Задачи на условный экстремум. ... ...... 16.1. Простейшая задача изопериметрического типа . 16.2. Простейшая задача типа Лагранжа с неголоном- ными условиями .... ........... 16.3. Замечания к вариационным задачам на услов- ный экстремум. .... ........... 226 230 230 236 244 Приложение 250 §.17. Инвариантность экстремальных и стационарных функций ..... ..........••••• § 18. Простейшая обратная задача ... ....... § 19. Функция Гамильтона .... .......... 19.1. Канонический вид дифференциального уравне- ния Эйлера—Лагранжа ........•••• 19.2. Дифференциальное уравнение в частных произ- водных Гамильтона—Якоби .......... § 20. Прямые методы вариационного исчисления .... 20.1. Основная идея прямых методов . . ..... 20.2. Метод Ритца ................. Литература ..... Предметный указателе 250 259 262 262 264 267 267 269 271 275 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Предлагаемое вниманию читателей учебное пособие по вариационному исчислению принадлежит известному в Венгрии специалисту по теории оптимизации проф. А. Коша. Содержание книги полностью охватывает традиционный курс вариационного исчисления, читаемый студентам мате- матических факультетов университетов, а некоторые во- просы изложены значительно полнее. Это замечание осо- бенно относится к такому технически сложному аспекту теории, как изучение кусочно-гладких решений. Желаю- щим познакомиться с первоначальными понятиями и прос- тейшими результатами вариационного исчисления достаточ- но прочесть гл. 1 (и даже первые три параграфа этой главы). Своеобразным является стиль изложения, принятый в данной книге. Взяв за основу так называемую простейшую вариационную задачу, включающую классические задачи о брахистохроне и минимальной поверхности вращения, ав- тор знакомит читателя с различными методами вариацион- ного исчисления, постепенно расширяя круг задач, решае- мых с помощью этих методов. Следует подчеркнуть, что, хотя в пособии не рассматри- ваются задачи оптимального управления, изложение по- строено таким образом, чтобы подготовить читателя к изуче- нию теории оптимального управления и принципа макси- мума Понтрягина, сыгравшего выдающуюся роль в решении задач оптимизации. К достоинствам книги следует отнести изложение метода ломаных Эйлера и описание прямых ме- тодов приближенного решения вариационных задач. Особую роль в книге играют задачи. Подробное решение некоторых из них могло бы составить содержание отдельных параграфов, однако большинство задач служит для иллю- страции и лучшего понимания изложенных результатов. Приведенный в конце пособия список математической литературы содержит большое число книг, написанных со- ветскими математиками. К этим книгам можно добавить учебное пособие В. М. Алексеева, В. М. Тихомирова, С. В. Фомина «Оптимальное управление» (М., Наука, 1979), предназначенное для более глубокого изучения сов- ременных методов оптимизации. При переводе устранены отдельные опечатки и мелкие неточности оригинала. Часть исправлений была сделана проф. А. Коша специально для русского перевода. Ш. А. Алимов Problema novum, ad cuius solutionem raate- matici invitantur. Новая задача, к реше- нию которой приглаша- ются математики. Иоганн Берну лли (1696) ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга содержит в основном материал лекций, кото- рые начиная с 1955/56 учебного года я регулярно читал студентам Будапештского университета имени Лоранда Этвёша, специализирующимся в области математики и при- кладной математики. Прошло уже почти 300 лет с тех пор, как знаменитая «но- вая задача» Иоганна Бернулли (задача о брахистохроне) при- влекла внимание выдающихся математиков того времени к решению задач, положивших начало вариационному исчис- лению. Первые общие результаты были получены Эйлером и Лагранжем. С тех пор усилиями многих великих ученых в этой теории были получены результаты, относящиеся к выдающимся достижениям математики. Вариационное ис- числение служит исходным началом такого важного разде- ла современной математики, как теория оптимального уп- равления. Материал книги содержит основные результаты класси- ческого вариационного исчисления. Используя для изложе- ния современный математический язык, я старался изло- жить эти результаты так, чтобы сохранить для читателя на- иболее конструктивные и оригинальные идеи. Некоторые части книги, например § 4, п. 10.2 и 20.1, дают возможность ознакомиться с новыми разделами и методами вариацион- ного исчисления. В четкости изложения я старался придер- живаться сложившегося уровня преподавания в универси- тетах других разделов математического анализа. Область применения вариационного исчисления доста- точно обширна — оно имеет приложения в самой математи- ке и играет значительную роль в естественных, технических и.экономических науках. При постановке проблем и выборе примеров и задач я стремился показать тесную связь ва- риационного исчисления с практикой. Наиболее важные БЫ- воды сформулированы и в такой форме, в какой они исполь- зуются в других науках, прежде всего в физике. Надеюсь, что структура книги позволит быстро ориенти- роваться в ней. Читателям, которые хотят кратко ознако- миться с проблемами классического вариационного исчис- ления, достаточно изучить гл. 1 (пропустив § 4 и 6). Для это- го требуется лишь знание вводного курса анализа, общепри- нятого в университетах. Материал некоторых следующих глав опирается на элементы теории дифференциальных урав- нений. В заключение я хотел бы поблагодарить всех, кто помог мне в этой работе. Преподаватели университета, члены-кор- респонденты Венгерской Академии наук Андраш Рапчак и Карой Тандори оказали мне помощь, далеко выходящую за рамки лекторских обязанностей, и своими ценными пред- ложениями и полезными советами способствовали повыше- нию научного уровня книги. Я должен поблагодарить также сотрудников кафедры математического анализа Будапешт- ского университета как за оказание помощи при техничес- ком составлении рукописи, так и за замечания по ее содер- жанию. Редактор издательства «Танкёнив киадо» Дьюла Молдовани приложил много усилий для своевременного выпуска и хорошего оформления книги. Будапешт, 1969, декабрь Андраш Коша ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ а ^ Х а является элементом множества Х а (Р Х а не является элементом множества Х 0 пустое множество А с В множество А содержится в множестве В {а, Ь,...} множество, состоящее из элементов а, Ь, ... {х^_А\(х)} множество элементов, принадлежащих Л и обладаю- щих свойством а {х) U знак объединения множеств Г) знак пересечения множеств Л\й разность множеств Л и В Лх5 прямое (декартово) произведение множеств Л и И df равно по определению N множество натуральных чисел R'1 п-мерное действительное евклидово пространство \х\ евклидова норма вектора х ^ R" inf Л нижняя грань множества Лей1 sup Л верхняя грань множества Л С R1 [Xi, Хг} замкнутый интервал {х^, л"з) открытый интервал [х^, л-з) интервал, замкнутый слева (х^, х^\ интервал, замкнутый справа (а, Ь) скалярное произведение векторов а, Ь (^R11 А замыкание множества Л С R"' int Л множество внутренних точек Л С R'1 front Л множество граничных точек Л С Rn рг, , Q проекция множества QC/?" на подпространство, оп- ределенное координатами ;i, ..., (^ (см. с. 93) feg(a) или k(a'j окрестность радиуса е или произвольная окрестность точки а ^ R'1 feg(A) или k(Л) окрестность радиуса е или произвольная окрестность множества Л С R'1 -> знак соответствия ~ знак эквивалентности (см. с 209) / функция (отображение) Df область определения функции / R/ область значений функции / f{x) значение функции / на элементе х ^ Df f(A) образ множества Л С Df при отображении / / функционал 1[у] значение функционала / на элементе у ^ D, I [Л] образ множества Л С D/ при отображении / graf / график функции / / ° g композиция функций fug Х -» У класс функций f, для которых Df С X, Rj С Y f~1 функция, обратная к f f. f производная функции / (^ R" -+- /?'" <р(') (-я производная функция (р о о — малое (см. с 39) ЛИТЕРАТУРА Книги по общей теории вариационного ис- числения 1. Kneser A. Lehrbuch der Variationsrechnung, Vieweg, Braun- schweig, 1900. 2. Boira 0. Vorlesungen iiber Variationsrechnung, Koehler und Amelang, Leipzig, 1909. 3. Hadamnrd J. Lecons sur !e caicui des variations, Kermann et fils, Paris, 1910. 4. Tonelli L. Fond.-imenti di calcoio delie variazioni, Voi. I-—II, Zanichelli, Bologna, 192J—23. 5. Bliss G. A. Calculus of Variations, Paquin Printers, Chicago, Illinois, USA, 1925. 6. Caraiheodory С. Variationsrechnung und partieile Differen- tialgleichungen erster Ordnung, Teubner, Leipzig, Berlin, 1935, 7. Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. — М. — Л.: ГИТТЛ, 1941. 8. Bliss G. A. Lectures on the Calculus of Variations, Chicago, Illinois, 1946; русский перевод: Блисс Дж. Лекции по аарнпциоч- ному исчислению. — М.: ИЛ, 1950. 9. Picone М. Introduzione ai calcoio delle variazfoni, Libreria Veschi, Roma, 1951. 10. WeinsiockR. Calculus of Variations, MeGraw—Hill В. Сотр., New York — Toronto—London, 1052. 11. Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. — М.—Л.: Гостехиздат, i950. 12. Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. — М.: ГИТТЛ, 1955. 13. Gruss G. Variationsrechnung, Queile und Meyer, Heidelberg, 1955. 14. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.—Л.: Физ- матгиз, 1958. Т. IV. 15. Miller M. Variationsrechnung, Teubner, Leipzig, 1959. 16. Гедыранд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М.: Физматгкз, 1961. 17. Courant R. Calculus of Variations, New York Uns'v. Courant Inst. 1962. 18. Funk P. Variotionsrechnung und ihre Anwendung in Phy- sik und Technik, Springer, Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1962. 19. Эльсеольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вари- ационное исчисление. — М.: Наука, 1865. 271 20. Цлаф Л. Я'. Вариационное исчисление и интегральные урав- н;-";ия. — М.: Наука, 1966. 21. Tafark'tewcz К. Rachunck wariacyjny, Wydow. naukowo— techniczne, Warszava, 1969. Книги по специальным разделам вариаци- онного исчисления 22. Morse M. The Calculus of Variations in the Large, Amer. math, soc. publ. Vol., 18., New York, 1934. 23. Selfert //., Threlfall W. Variationsrcchnung im Grossen, Tcubner, Leipzig —Berlin, 1938. 24. Gould S. H. Variational Methods for Ei-g;nvalue Problems, Univ. of Toronto Press, Canada, 19й7. 25. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической фи- зике. — М.: Гостс.хиздат, 1957. 26. Calculus о? Variations and its Applications (Procledings of Symp. in Appi. Mat), McGraw—Hill B. Comrp, New York—Toron- to—London, 1058. 27. Полая Л. С. Вариационные принципы механики, их раз- витие и применении в физике. — М.: ГИТТЛ, 1960. 28. Lanczos С. The Variational Principles of Mechanics, Sec. Ed., Univ. of Toronto Press, Canada, 1962. 29. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нели- ггйпых операторов. — М.: Физматгиз, 1956. 30. Болтянский В. Г. Математическое методы оптимального управления. — М.: Наука, 1966. 31. Hestenes M. R. Calculus of Variations and Optimal Control Theory, Wiley and Sons, New York—London—Sudney, 1966. 32. Михлин. С. Г. Численная реализация вариационных ме- тодов. — М.: Наука, 1966. 33. Morrey С. В., Jr. Multiple Integrals in the Calculus of Va- riations, Springer, Reriin—Heidelberg—New York, 1966. 34. Rund. H. The Hamilton—Jacob; Theory in the Calculus of Variations, D. Van Nostrand Сотр. LTD, London, 1966. 35. Никольский В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. — М.: Наука, 1967. 36. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов — М.: Физматгиз, 1961. 272 Книги, содержащие важные разделы вариаци- онного исчисления 37. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике: — Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. 38. Levy P. Problemes concreis d'analyse fonctionelle, 2. ed., Paris, 195!; русски" перевод: Леей П. Конкретные проблемы функ- ционального анализа. — М.: Наука, 1967. 39. Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics, Vol. I., Int.erscience Publishers, New York, 1953; русский перевод: Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М.— Л.: Гостехиздат, 1951. Т. 1, 2. 40. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. — М.: Физматгнз, 1962. 41. Bellman R. Dynamic Progr.-.-Tsming, Princeton Univ. Press, New Jersey, 1957; русский перевод: Бсллман Р. Динамическое про- граммирование. — М.: ИЛ, 1960. 42. Шилой Г. Е. Математический анализ (спецпальный курс). — М.: ГИТТЛ, 1961. 43. Bellman R., Dreyfus S. Applied Dinamic Programming, Prin- ceton Univ. Press, New Jersey, 1962. 44. Fichera G. Lezioni sullc transformazioni linear!, Vol. 1., Libreria Veschi, Roma, 1962. 45. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматичес- ких систем. — М.: Фнзматгиз, 1963. 46. Зельдович Я- Б-, Мышкис А. Д. Элементы прикладной ма- тематики. — М.: Наука, 1965. 47. Budo A. Mechanika, Negyedik kiadas, Tankonyvkiado, Bu- dapest, 1965. 48. Lange 0. Optimalis iJontesek, Kozgazdasagi es Jogi Kiado, U.idapest, 1966. 49. Frank Ph., v. Mises R. A mechanika es fjzika differencial — es integralegycnietei, I., Miiszaki Konyvkiado, Budapest, 1966. 50. Макаров И. П. Дополнительные главы математического анализа. — М.: Просвещение, 1968. Книги, содержащие и с п о л ь з у е м ы е матема- тические сведения 51. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных диффе- р;чциальных уравнении. — H.: Ньука, 1964. 52. Szasz P. A differencial — es integralszgrniSas eiemei, I—II. Masodik kiadas, Kozoktatasiigyi Ki'ado, Budapest, 195i. 53. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. —М.: Физматгиз, 1959. 273 54. Coddington A. — Levinson N. Theory of Ordinary Diffe- rential Eguations, McGraw—Hill В. Сотр., New York—Toronto— Nondon, 1955; русский перевод: Коддингтон .9., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1958. 55. Dieudonne J. Foundations of Modern Analysis, Academic Press, New York—London, 1960; русский перевод: Дьедокнс Ж. Основы современного анализа. — М.: Мир, 3964. 56. Sansone G. Equazioni differenziali r:el campo rea'e, I—II., 3. ed., Zanichelli, Bologna, 1963; русский перевод: Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: ИЛ, 1953, 1954, Т. 1, 2. 57. Rudin W. Principles of Mathematical Analysis, 2. ed., McGraw—Hill В. Сотр., New York—San Francisco—Toronto— London, 1964; русский перевод: Рудин У. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. 58. Szokefalvl—Nagy В. Valos fuggvenyek es fiiggvenysorok, 3. kiadas, Tankonyvkiado, Budapest, 1965. 59. Поктрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные урав- нения. — М.: Наука, 1965. 60. Garsoux J. Analyse Mathematique, Dunod, Paris, 1968. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютный максимум 15 — минимум 15 — экстремум 79 Адамар Ж. 204 Бернулли Я. 9, 16 Больна задача 81, 246 Вариационная задача 16 — — взаимная 230 —— второго порядка 90 —— высшего порядка 80, 179 —— двумерная 91, 195 ——язопериметрическая 17, 80, 230 —— Лагранжа 81, 236, 244— 247, 249 — — многомерная 80 —— на плоскости 21, 79 —— неоднородная 218 —— непараметрическая 16, 21, 82, 179, 188, 226 — — обратная 86 —— одномерная 79, 179, 188 ——— однородная 218 —— параметрическая 16, 82, 207, 212, 222 —— первого порядка 21, 22, 80 —— простейшая 21, 22 — — — обратная 259 —— пространственная 79, 188 — — — параметрическая 207 — — с закрепленными концами 22 ——— неподвижной границей 21, 22, 82. 179, 188, 212 ——— подвижной границей 82, 222, 226 —— со свободными концами 23 Вариационные принципы 83, 86 Вариация 32, 33, 40, 41 — в точке 69 — вторая 105, 106, 131 — первая 32, 33, 97, 98, 200, 201 Вейерштрасс К. 79 Вейерштрасса основная теоре- ма 169 — условие 145, 149—152, 155 —— сильное 145, 150—152 — функция 145 Вейерштрасса — Эрдмана ус- ловие 104, 149 Включение в стационарное по- ле 167, 169, 170 Гамильтона принцип 83, 88, 186, 193, 207, 248 — функция 263 Гамильтона — Якобн диффе- ренциальное уравнение 265 — теория 266 Гато Р. 34 Геодезическая линия 221 Гильберт Д. 79 Гильберта интеграл 165, 265 — инвариантная основная фун- кция 166 — теорема о дифференцируе- мости 111 функционала Действие 194 Дифференциал 39, 40 Дифференциальной уравнение в вариациях 119 — — Гамильтона — Якоби 265 —— Риккати 110, 135 — — Эйлера — Лагранжа 25, 26, 28, 45—48, 77, 92, 102, 103, 158, 204, 264 —— Эйлера — Пуассона 46, 91, 184, 205 —— Якоби 118, 119, 124, 131 Дополнительные условия 81 — — голономные 249 — — изопериметрические 80 — — него.тоноыные 237 Допустимая кривая 16 — поверхность 16 — функция 16 Дуга кривой 208 Дюбуа — Реймона интегро- дифферанциальное уравнение 99, 100 — лемма 95, 130, 180 Задача Больца. 81, 246 — вариационная, см. Вариаци- онная задача — Лагранжа 81, 236, 244—247, 249 — Майера 81, 246, 249 — о брахистохроне 9, 16—19, 51—53, 81, 82, 115, 194,226 — — минимальной длине кри- вой 226 — — — площади поверхности вращения 17, 19, 20, 49—51, 83, П5, 128, 129, 1206, 218, 226 Инвариантная основная функ- ция 161, 162 ——— Гильберта 166 Инвариантность уравнений ва- риационного исчисления 87, 88 Инвариантный интеграл 161 — функционал 161 Интегро-дифференциальное уравнение 99, 156, 157, 182 — — Дюбуа — Реймона 99, 100 — — Эйлера — Лагранжа 99—101, 155 —— Эйлера — Пуассона 182, 183 Кривая 16, 208 — гладкая элементарная 208 — допустимая 16 — замкнутая 208 — кусочно-гладкая 208 — незамкнутая 203 — простая 209 — поверхностная 221 — пространственная 208 — стационарная 214 —, трансверсальная к траекто- рии поля 229 Крнстоффеля символы 222 Кусочно-непрерывная произ- водная 27 — функция 27 Лагранж Ж. 9, 17, 26, 32, 33, 79, 140, 206 Лагранжа задача 81, 236, 244—247, 249 — лемма 29—31 — метод 28, 30 —-- множителей 234, 238 — уравнения 194 — условия 81 — функция 193 Лагранжиан 193 Лежандр А. 79, 139 Лежандра условие 107, 108, 111, 149, 206, 220 —— .сильное !07, 114, 134, 141 276 Лемма Дюбуа — Репмопа 95, 130, 180 — Лагранжа 29—31 — о округлении углов 60 — Хаара 197 Линейная зависимость вариа- ций 231 Локальное преобразование функционалов 251 Майера задача 81, 246, 249 Максимум 15 — абсолютный 15 Метод Лагранжа 28, 30, 234, 238 — Ритца 269, 270 — Фреше 43, 44 —Эйлера 23—27, 90, 267 Минимум t5 — абсолютный 15 — локальный сильный 73, 144, 181, 189, 200, 213, 214 —— слабый 73, 95, 96, 144, 181, 189, 200, 213, 214 ——— в строгом смысле 143 Норма 35 — в С 36 —— С, 36 — - On 72 Ньютон И. 22 Область значений отображе- ния 13 — определения отображения 13 — — поля 167 Образ множества 14 — функции 251 Общее решение простейшей ва- риационной задачи 21 Окрестность кривой 213 — функции 72, 189, 200 Определяющие данные 21 Отображение 13 — ограниченное сверху 14 — — снизу 14 Параметризация кривой 208 Поверхность 16 — вращения 19 Поле стационарное 166 — экстремалей 166 Полоса 159 Понтрягина принцип максиму- ма 156, 246 Порядок расстояния 72, 189, 200 — окрестности 72, 189, 200 Последовательность минимизи- рующая 267 — полная 269 Преобразование функций 251 Принцип взаимности 234 — Гамильтона 83, 88, 186, 193, 207, 248 — максимума 156, 246 — минимума 155, 178 — наименьшего действия 86, 88, 194 Проекция множества 93 Производная по направлению 31 — Фреше 38, 44 Пространство линейное 35 —— нормированное 35 — риманово 222 Прямые методы 27, 88, 267— 269 Расстояние 35, 72 — между функциями 72, 92, 189, 200, 227 Расширение функции 14 — функционала 27 Риккати дифференциальное 277 уравнение 110, 135 Риманово пространстпо 222 Рнтца метод 269, 270 Связь голономная 81, 249 — неголономная 237 Сечение графика 150, 151 Система дифференциальных ураЕнсяпй Xaapa 203 ——— Эклера — Лагранжа 192, 23-1, 215 — интегро-д^фФ^нциальных ург.зпсний S89 ——— Эйлера — Лагранжа 190. 214, 215 Сопряженные точки 120 Стационарная кривая 87, 214 — ломаная Эйлера 25 — поверх!;сс1ь 37 — функция 45, 87, 100, 184, 191. 202, 2.34, 238 Сужение фуп::ц!ш И — функционала 27 Сумг.:а элементов 35 Теорема Вейерштрассз !(?9 — Гильберта 79 — Фрешг — Тонеллн 57 — Xaapa 202 — Штурпа !2S Теоремы вариационного исчнс- лен;:я основные 95 — об инвариантности 257 Точка излома 58, 104, 152, 208 — конечная 208 — начальная 208 — угловая 58, 104, 208 Траектории поля 367 Уравнение кривой 208 — Эйлера 102 См. также Дифференциальное уравнение, Интегро-дифферен- циальное уравнение 278 Условие BcdcpuiTpacca 145, 149—152, 155, 247 — Вейерштрасса — Эрдмана 104, 149 — выпуклости 152 — Лежандра 107, 108, 111, 134, 141 149, 20G, 220 — однородности 210 — трансв реальности 223, 2-'7, 228 — Якоби 120, 122, 123 Условные экстремальные зада- чи 81 Фазовое ограничение 81 Фрсше М. 34 Фрсше метод 43, 44 — производная 38, 44 Фреше — Тонелли теорема 57 Функционал 13, 14 — билинейный 130 — дифференцируемый 38, 41 — — два раза 130 — знакопеременный 107 — инвариантный 161 — квадратичный 130 — линейный 37 —, минимизирующийся на ли- нейной оболочке последова- тельности 269 —, не зависящий от парамет- ризации допустимых кривых 210 — непрерывный по норме 36 — отрицательно определенный 107 — — регулярный 114 — положительно определенный 107 —— полурегулярный 150 —— регулярный 114, 152, 206 — полунепрерывный снизу 267 — регулярный 114, 187, 221 — строго отрицательно опре- деленный 107 — — положительно определен- ный 107 Функция 13, 14 — Вейерштрасса 145 — Гамильтона 263 — действия 85 — допустимая 16 — кусочно-непрерывная 27 — Лагранжа 193 — наклона поля 167, 169 — основная 20, 94, 116, 209 —— инвариантная 161, 162, 166 — — неполная 47 — положительно однородная первой степени 210 — стационарная 45, 87, 100, 184, 191, 202, 234, 238, 257 — характеристическая 126 Хаар А. 204 Xaapa лемма 197 — система дифференциальных уравнений в частных пропзво;;- ных 203 — теорема 202 Штурма осцилляционная тео- рема 121 Эйлер Л. 9, 17, 26 79 Эйлера ломаная 23 — метод 23—27, 90, 267 —— стационарная ломаная 25 Эйлера — Лагранжа диффе- ренциальное уравнение 25, 26, 28, 45—48, 77, i02, 103, IS! 264 ——— в частных производ- ных 92, 204 — интегро-дифференциальное уравнение 99—101, 155 — система дифференциальных уравнений 192, 214, 215 — — интегро-дифференциаль- ных уравнений 189 — уравнение 102 Эйлера — Пуассона дифферен- циальное уравнение 46, 91, 184 — — — в частных производ- ных 205 — интегро-дифференциальное уравнение 182, 183 — система интегро-днффере!!- циальных уравнений 190 Эквивалентные кривыз 208, 209 Экстремаль 15, 45 Экстремум 15 — абсолютный 79 — локальный 71 — — слабый 73 — — сильный 73 — условный 230, 234, 238 Элемент минимальный 15 — нулевой 35 — противоположный 35 — экстремальный 15 Якоби К. 79,140 Якоби дифференциальное урав- нение 118, 119, 124, 131 — условие 120, 122, 133, 13^ ——— сильное 120, 134