517.1 В 18 УДК 512.8 В. L. VAN DER WAERDEN ALGEBRA I ACHTE AUFLAGE DER MODERNEN ALGEBRA Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1971 ALGEBRA II FUNFTE AUFLAGE Heide1ber g New York 1967 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Б. Л. ван дер Варден АЛГЕБРА М., 1976 г., 648 стр. с илл. Редактор В, В. ДонченкО Техн. редактор Л. В. Лихачева Корректор Г. С. Вайсберг Сдано в набор 22.01.1976 г. Подписано к печати 24.0Я.1976 г. Бумага 60Х90'/и тип. № 1. Физ. печ. л. 40i5. Условн. печ. л. 40,5. Уч.-изд. л. 38,31. Тираж 30 000 экз. Цена книги 2 р. 92 к. - Заказ № 36. Издательство *Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71. Ленинский проспект, 15 Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфп-пома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград. Л-52, Измайловский проспект. 29 В 20203 - 117 053 (02)-76 33—76 Перевод на русский язык, Главная редакция физико-математической литературы издательства *Наука», 1976 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора ................... 9 Из предисловий автора ....... ............ 10 Схема зависимости глав ................... 14 Введение ............ ............ 15 Глава первая. Числа и множества ............... 17 § 1. Множества .......... .......... 17 § 2. Отображения. Мощности ............... 19 § 3. Натуральный ряд .................. 20 § 4. Конечные и счетные множества ....... ...... 24 § 5. Разбиение на классы ................. 26 Глава вторая. Группы .....,..,..,...,.... 28 § 6. Понятие группы ..... ............. 28 § 7. Подгруппы .................... 36 § 8. Операции над комплексами. Смежные классы ....... 39 § 9. Изоморфизмы и автоморфизмы ... .......... 42 § 10. Гомоморфнзмы, нормальные подгруппы и факторгруппы ... 45 Глава третья. Кольца, тела и поля .........,,.,.. 50 § 11. Кольца .............. ....... 50 § 12. Гомоморфиэмы и изоморфизмы ............. 57 § 13. Построение частных ................. 58 § 14. Кольца многочленов ................. 62 § 15. Идеалы. Кольца классов вычетов ............ 66 § 16. Делимость. Простые идеалы .............. 71 § 17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов . ...... 73 § 18. Разложение на множители ............... 77 Глава четвертая. Векторные и тензорные пространства ........ 82 § 19. Векторные пространства .... ........... 82 § 20. Инвариантность размерности ......,..,,.. 83 § 21, Двойственное векторное пространство . . ........ SS I* 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 22. Линейные уравнения над телом .......••••••90 § 23. Линейные преобразования ........••••••• 92 § 24. Тензоры . . ........•....•••••• 97 § 25. Антисимметрические полилинейные формы и определители . . 99 § 26. Произведения тензоров, свертка и след .......••• 104 Глава пятая. Целые рациональные функции ...,......•• 107 § 27. Дифференцирование ..,........••••• 107 § 28. Корни ...................... 108 § 29. Интерполяционные формулы ......... ..... 110 § 30. Разложение на множители ........... ... 115 § 31. Признаки неразложимости .............. 119 § 32. Разложение на множители в конечное число шагов ... . . 122 § 33. Симметрические функции ........... .... 123 § 34. Результант двух многочленов ... .......... 127 § 35. Результант как симметрическая функция корней ...... 130 § 36. Разложение рациональных функций на гростейшие дроби . . . 133 Глава шестая. Теория полей ..,.......,....••• 136 § 37. Подтело. Простое тело ........ ........ 136 § 38. Присоединение ............ ...... 139 § 39. Простые расширения ................ 140 § 40. Конечные расширения тел . . ..........••• 145 § 41. Алгебраические расширения .............. 147 § 42. Корни из единицы .... .............. 153 § 43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела). ....... 158 § 44. Сепарабельные и несепарабельные расширения ....... 162 § 45 Совершенные и несовершенные поля ........... 167 § 46. Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном элементе .................. ... 168 § 47. Нормы и следы ................... 170 Глава седьмая. Продолжение теории групп ............ 175 § 48. Группы с операторами . . .............. 175 § 49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы ....... 177 § 50. Две теоремы об изоморфизме ........... . . 179 § 51. Нормальные и композиционные ряды ........... 180 § 52. Группы порядка р" . ................ 184 § 53. Прямые произведения ................ 186 § 54. Групповые характеры .........•..••• . 189 § 55. Простота знакопеременной группы ............ 194 § 56, Транзитивность и примитивность .... ........ 196 Глава восьмая. Теория Галуа ,,.........•••••• 199 ] § 57. Группа Галуа ..........••••••••• 199 \ ^ 58. Основная теорема теории Галуа ......... ... 202 -§ 59. Сопряженные группы, поля и элементы поля ........ 205 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 60. Поля деления круга ... .............. 207 § 61. Циклические поля и двучленные уравнения ........ 214 § 62. Решение уравнений в радикалах ......... ... 217 § 63. Общее уравнение п-й степени ........... . . 221 § 64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней ...... 224 § 65. Построения с помощью циркуля и линейки ... ..... 230 § 66. Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой 235 § 67. Нормальные базисы ................. 239 Глава девятая. Упорядоченные и вполне упорядоченные множества . . . 244 § 68. Упорядоченные множества .............. 244 § 69. Аксиома выбора и лемма Цорна ............ 246 § 70. Теорема Цермело ............. ..... 248 § 71. Трансфинитная индукция ....... ........ 249 Глава десятая. Бесконечные расширения полей ........... 251 § 72. Алгебраически замкнутые поля ............. 251 § 73. Простые трансцендентные расширения ....... ... 257 § 74. Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость . 261 § 75. Степень трансцендентности ............ . . 265 § 76. Дифференцирование алгебраических функций ....... 267 Глава одиннадцатая. Вещественные поля ............. 273 § 77. Упорядоченные поля . ................ 274 § 78. Определение вещественных чисел ............ 277 § 79. Корни вещественных функций ....... ...... 286 § 80. Поле комплексных чисел ............... 291 § 81. Алгебраическая теория вещественных полей ........ 293 § 82. Теоремы существования для формально вещественных полей . 299 § 83. Суммы квадратов .................. 303 Глава двенадцатая. Линейная алгебра .............. 306 § 84. Модули над произвольным кольцом ........... 306 § 85. Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители . 308 § 86. Основная теорема об абелевых группах .......... 312 § 87. Представления и модули представлений ..... .... 317 § 88. Нормальные формы матрицы над полем ......... 321 § 89. Элементарные делители и характеристическая функция .... 324 § 90. Квадратичные и эрмитовы формы . . .......... 327 § 91. Антисимметрические билинейные формы <«....,.,. 337 Глава тринадцатая. Алгебры .................. 341 § 92. Прямые суммы и пересечения ............. 342 § 93. Примеры алгебр .................. 345 § 94. Произведения и скрещенные произведения ........ 352 § 95. Алгебры как группы с операторами. Модули и представления 359 6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 96. Малый и большой радикалы .........•••• "64 § 97. Звездное произведение ............•••• 368 § 98. Кольца с условием минимальности . .......••• 371 § 99. Двусторонние разложения и разложение центра ...... 375 § 100. Простые и примитивные кольца ...... ...... 378 § 101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы .......... 382 § 102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах . . . 385 § 103. Поведение алгебр при расширении основного поля ..... 386 Глава четырнадцатая. Теория представлений групп и алгебр ..... 392 § 104. Постановка задачи ................. 392 § 105. Представления алгебр .,,.,....,..,... 394 § 106. Представления центра ................ 398 § 107. Следы и характеры ... .............. 400 § 108. Представления конечных групп ............ 402 § 109. Групповые характеры ................ 407 § 110. Представления симметрических групп .......... 413 § 111. Полугруппы линейных преобразований . ......... 417 § 112. Двойные модули и произведения алгебр ......... 420 § 113. Поля разложения простых алгебр .......... . 427 § 114. Группа Брауэра. Системы факторов .......... . 430 Глава пятнадцатая. Общая теория идеалов коммутативных колец . . . 439 § 115. Нётеровы кольца .......... ....... 439 § 116. Произведения и частные идеалов ............ 444 § 117. Простые идеалы и примарные идеалы ...... .... 448 § 118. Общая теорема о разложении ............. 453 § 119. Теорема единственности ............... 458 § 120. Изолированные компоненты и символические степени .... 461 § 121. Теория взаимно простых идеалов ............ 461 § 122. Однократные идеалы ... ............. 468 § 123. Кольца частных .................. 471 § 124. Пересечение всех степеней идеала .......... . 473 § 125. Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нёте- ровых кольцах .................. 476 Глава шестнадцатая. Теория идеалов в кольцах многочленов ..... 480 § 126. Алгебраические многообразия .......... ... 480 § 127. Универсальное поле . . .............. 483 § 128. Корни простого идеала ................ 484 § 129. Размерность .......... ......... 487 § 130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для одно- родных уравнений .......... ....... 489 § 131. Примарные идеалы ................. 493 § 132. Основная теорема Нётера ............... 495 § 133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным ..,..,. 499 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава семнадцатая. Целые алгебраические элементы ........ 503 § 134. Конечные М-модули ................. 504 § 135. Элементы, целые над кольцом ............. 506 § 136. Целые элементы в поле ............... 510 § 137. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов . . 515 § 138. Обращение и дополнение полученных результатов ..... 519 § 139. Дробные идеалы .... .............. 522 § 140. Теория идеалов в произвольных целозамкиутых целостных кольцах ................ ..... 524 Глава восемнадцатая. Нормированные поля ............ 533 § 141. Нормирования .................. 533 § 142. Пополнения .... ............... 540 § 143. Нормирования поля рациональных чисел ......... 546 § 144. Нормирование алгебраических расширений: случай полного поля 549 § 145, Нормирование алгебраических расширений: общий случай . . 557 § 146. Нормирования полей алгебраических чисел ...... . . 559 § 147. Нормирования поля рациональных функций Д(^) ...... 565 § 148, Аппроксимационная теорема ........ ..... 569 Глава девятнадцатая. Алгебраические функции одной переменной . . . 572 § 149. Разложения в ряды по степеням уипформ^зирующих .... 572 § 150, Дивизоры и их кратные ........ ....... 578 § 151. Род g ..................... .581 § 152. Векторы и ковекторы ................ 585 § 153, Дифференциалы. Теорема об индексе специальности . . , , . 588 § 154. Теорема Римана — Роха ............... 592 § 155. Сепарабельная порождаемость функциональных полей . . , . 593 § 156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае .... 597 § 157. Доказательство теоремы о вычетах ........... 602 'Глава двадцатая. Топологическая алгебра ............ 6G8 § 158. Понятие топологического просграпства ........ . 608 § 159. Базисы окрестностей ................ 6С9 § 160. Непрерывность. Пределы .............. 611 § j61. Аксиомы отделимости и счетности ........... 612 § Цб2, Топологические группы .......... ..... 613 § 163. Окрестности единицы ................ 614 § 164, Подгруппы и факторгруппы .... .......... 616 § 165. Т-кольца и Т-тела ................. 617 § 166. Пополнение групп с помощью фундаментальных последова- тельностей ......... ........... 619 § 167. Фильтры .................... 624 § 168. Пополнение группы с помощью фильтров Коши ,...,, 627 § 169. Топологические векторные пространства .... ..... 631 § 170. Пополнение колец ................. 632 § 171. Пополнение тел .... .............. 635 Предметный указатель ................... 637 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА Современная алгебра, берущая свое начало в замечательных работах Гильберта конца прошлого века, сложилась в общих чертах в 20-е годы. Итогом этого периода становления явилось первое издание настоящей книги, вышедшее в 1931 году. Хотя с тех пор передний край алгебраических исследований продви- нулся далеко, книга и сейчас выглядит свежо и современно, — правда, уже не как свод новейших результатов и понятий, а как отличный учебник основ алгебры. Эволюция книги от издания к изданию хорошо отражена в предисловиях автора. Сознание того, что предметом алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями, а точнее— сами операции, утвердилось полвека назад, однако системати- ческому изучению долгое время подвергались лишь немногие типы таких множеств, унаследованные от алгебры XIX века,— группы, кольца, векторные пространства. Этим классическим системам и посвящена в основном книга ван дер Вардена. Дальнейший прогресс в алгебре наметился в середине 30-х го- дов, когда Биркгоф начал изучение произвольных универсальных алгебр, а А. И. Мальцев заложил основы еще более общей тео- рии, пограничной с математической логикой, —теории алгебраи- ческих систем. Развитие этой теории было вызвано глубокими внутренними причинами и настоятельными запросами приложе- ний, в которых все чаще возникали алгебраические системы, не сводящиеся к классическим. Указанные более поздние исследо- вания ') остались за рамками книги. , . -, . Новосибирск, Академгородок, 10 марта 1975 г. Ю. И. МерЗЛЯКОв ') См. А. И. Мальцев, Алгебраические системы, «Наука», 1970. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА ') Во втором издании была существенно расширена теория нор- мировании. В последнее время она становится все более важной для теории чисел и алгебраической геометрии. Поэтому здесь я изложил главу «Теория нормировании» гораздо подробнее и яс- нее. Отвечая многочисленным пожеланиям, я вновь включил раз- делы о полном порядке и трансфинитной индукции, опущенные во втором издании, и на этой основе изложил во всей общности разработанную Штейницем теорию полей. Благодаря совету Зарисского понятие многочлена удалось ввести легко и ясно. Кроме того, благодаря любезному замеча- нию Переманса улучшено изложение теории норм и следов. Ларен (Северная Голландия), июль 1950, Б. Л. ван дер Варден ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА Недавно скоропостижно скончавшийся алгебраист и теоре- тико-числовик Бранд закончил рецензию третьего издания этой книги в годовом отчете немецкого математического общества (том 55) следующими словами: «Что касается названия2), то я бы приветствовал выбор для четвертого издания более простого, но и более сильного заго- ') В переводе два тома немецкого оригинала выполнен с 8-го издания первого тома (главы 1- тома (главы 12—20).—Прим. ред. 2) В первых изданиях книга называлась Прим. ред. объединены в один. Перевод —11) и 5-го издания второго «Современная алгебра», — ПРЕДИСЛОВИЯ II ловка—«Алгебра». Книга, которая так много дала, дает и бу- дет давать лучшей части математики, не должна своим назва- нием вызывать подозрение, будто бы она посвящена одному ка- кому-то современному течению, которое еще не было известно вчера, а завтра, возможно, будет забыто». Следуя этому совету, я изменил заголовок книги на «Ал- гебра». Указанию М. Дойринга я обязан более целенаправленным определением понятия «гиперкомплексная система» и расшире- нием теории Галуа полей деления круга настолько, насколько этого требует ее приложение к теории циклических полей. На основании писем из различных стран внесены многочис- ленные мелкие исправления. Благодарю авторов этих писем. Цюрих, март 1955. Б. Л. ван дер Варден ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА Первое издание задумывалось как введение в новую аб- страктную алгебру; разделы классической алгебры, в частности, теория определителей, предполагались известными. Но сегодня эта книга используется студентами в основном как первое вве- дение в алгебру. Поэтому оказалось необходимым ввести главу «Векторные и тензорные пространства», в которой подробно об- суждаются основные понятия линейной алгебры и, в частности, понятие определителя. Первая глава «Числа и множества» была облегчена тем, что понятия порядка и полного порядка были перенесены в новую девятую главу. Лемма Цорна выводится непосредственно из аксиомы выбора. Тем же методом (по X. Кнезеру) проводится доказательство теоремы о полном упорядочении. В разделе о теории Галуа были использованы некоторые идеи из известной книги Артина. Пробел в одном доказательстве в теории циклических полей, на который мне многие указывали, ликвидирован в § 61. В § 67 доказывается существование нор- мального базиса. Первый том теперь заканчивается главой «Вещественные поля». Теория нормировании должна быть представлена во вто' ром томе. Цюрих, февраль 1966. Б. Л. ван дер Варден 12 ПРЕДИСЛОВИЯ ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА В предлагаемом издании исправлено несколько опечаток, на которые я обратил внимание благодаря любезным письмам. Все прочее осталось неизменным. Цюрих, апрель 1971, Б. Л. ван дер Варден ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ ВТОРОГО ТОМА В начало второго тома вошли две новые главы: первая — об алгебраических функциях одной переменной, охватывающая ма- териал вплоть до теоремы Римана — Роха для полей с произ- вольным полем констант; другая — о топологической алгебре, посвященная в основном пополнению топологических групп, ко- лец и тел. Я благодарю за многочисленные полезные замечания профессора Г. Р. Фишера, прочитавшего эти две главы в руко- писи. Глава «Общая теория идеалов» расширена путем введения важных теорем Крулля о символических степенях простых идеа- лов и о цепях простых идеалов. Сильнее выявлена связь между теорией идеалов алгебраически замкнутых колец и теорией нор- мировании. В главу «Линейная алгебра» введен раздел об анти- симметрических билинейных формах. В главе «Алгебры» увеличено число примеров, развита теория радикала по Джекобсону без условия конечности и сделано большее ударение на основополагающих идеях Эмми Нётер о прямых суммах и пересечениях модулей. Благодаря сочетанию методов Джекобсона и Эмми Нётер удалось значительно упро- стить доказательства основных теорем. С помощью различных сокращений я пытался сделать объем книги более приемлемым. По этой причине выпала глава «Тео- рия исключения». Теорема о существовании системы результантов для одно- родных уравнений, которая доказывалась раньше с помощью теории исключения, теперь появляется лишь в § 121 как след- ствие теоремы Гильберта о корнях. Цюрих, июнь 1959, Б. Л. ван дер Варден ПРЕДИСЛОВИЯ 13 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ВТОРОГО ТОМА Профессор П. Рокетт был настолько любезен, что предоста- вил в мое распоряжение чудесное доказательство теоремы о вы- четах для алгебраических дифференциалов udz. Благодаря этому глава об алгебраических функциях смогла приобрести вызываю- щую удовлетворение завершенность. В «Топологической алгебре» вводятся пополнения групп, ко- лец и тел по Бурбаки с помощью фильтра, независимо от второй аксиомы счетности. Конец главы сокращен. Важная для многочисленных приложений глава «Линейная алгебра» помещена в начало тома, а глава «Топологическая ал- гебра» — в конец. Теперь второй том состоит из трех независимых кусков, в каждом из которых три главы: главы 12—14: линейная алгебра, алгебры, теория представ- лений; главы 15—17: теория идеалов; главы 18—20: нормированные поля, алгебраические функции, топологическая алгебра. Это подразделение отражено в более точной, чем раньше, схеме зависимости глав. Цюрих, март 1967. Б. Л. ван дер Варден СХЕМА ЗАВИСИМОСТИ ГЛАВ ВВЕДЕНИЕ Цель книги. «Абстрактное», «формальное» или «аксиомати- ческое» направление, которому алгебра обязана своим новым подъемом, привело к новым понятиям и результатам в теории групп, теории полей, теории нормировании, теории идеалов и теории алгебр и позволило по-новому взглянуть на внутренние связи в этой области. Главная цель книги — ввести читателя в мир всех этих понятий. Но если общие понятия и методы выдвигаются на первый план, то в рамках новых построений должны найти место и от- дельные результаты, относящиеся к классическому состоянию алгебры. Распределение материала. Указания читателю. Чтобы доста- точно ясно представить общие точки зрения, господствующие в «абстрактной» алгебре, оказалось необходимым изложить с са- мого начала основы теории групп и элементарной алгебры. В последнее время появилось множество хороших изложений теории групп, классической алгебры и теории полей, что сделало возможным преподнести эту вводную часть кратко, но без про- белов. Подробное изложение начинающий читатель найдет во многих книгах '). Следующим основным принципом служит требование, со- гласно которому каждая отдельная часть должна быть, по воз- можности, понятной сама по себе. Тому, кто хочет познакомиться с общей теорией идеалов или теорией алгебр, не нужно предва- рительно изучать теорию Галуа, и наоборот, а тот, кто хочет справиться о чем-либо в линейной алгебре, не должен пугаться сложных построений теории идеалов. По этой причине разбиение на главы осуществлено так, что первые три главы, занимая небольшое место, содержат ') По теории групп укажем книгу: Шпайзер (A. Speiser), Die Theo- ne der Gruppen von endlicher Ordnung, 2, Aufl., Berlin, 1927. По теории no- леи: Хассе (Н. Hasse), Hohere Algebra I, II und Aufgabensammlung zur hoheren Algebra, Sammlung Goschen, 1926/27; Хаупт (О. Haupt), Ein- luhrung in die Algebra I, II, Leipzig, 1929. По классической алгебре: П е р- Pi0"!- ',-: perron). Algebra I, II, 1927. По линейной алгебре: Диксон (L. ь. Dickson), Modern algebraic theories, Chicago, 1926. 16 ВВЕДЕНИЕ необходимое в качестве подготовительного материала для всех последующих глав. Основные понятия таковы: 1) множества; 2) группы; 3) кольца, идеалы и поля. Дальнейшие главы первого тома посвящены главным образом теории полей и опираются в первую очередь на основополагающую работу Штейница (Steinitz) из Crelles Journal 137 (1910). Во втором томе изложены, по воз- можности независимо друг от друга, разделы из теории модулей, колец и идеалов с приложениями к алгебраическим функциям, элементарным делителям, алгебрам и представлениям групп. За пределами рассмотрении оказалось необходимым оставить теорию абелевых интегралов и непрерывных групп, потому что для полноценного изложения они требуют выходящих за рамки нашего курса понятий и методов; то же относится к основанной на них теории инвариантов. Дальнейшая информация о строении книги содержится в оглавлении и приведенной выше схеме зависимости глав, из ко- торой совершенно точно усматривается, сколько предшествую- щих глав необходимо для каждой конкретной главы. Появляющиеся по ходу изложения задачи подобраны в ос- новном так, чтобы можно было проверить, оказался ли понятым предшествующий текст. Они, кроме того, содержат примеры и до- полнения, которые используются в дальнейшем. Задачи, требую- щие искусства для своего решения, как правило, не используют- ся в последующем и формулируются в квадратных скобках. Источники. Эта книга возникла отчасти из записей лекций, а именно были использованы: курс лекций Э. Артина по алгебре (Гамбург, летний семестр 1926 года); семинар по теории идеалов, руководимый Э. Артином, В. Бляшке, О. Шрайером и автором (Гамбург, зимний семестр 1926/27); два курса Э. Нётер по теории групп и алгебр (Гёттинген, зим- ний семестр 1924/25, зимний семестр 1927/28)'). Многие новые доказательства и варианты доказательств, встречающиеся в этой книге, даже там, где нет явных ссылок, имеют своим источником упомянутые лекции и семинар. ') В обработке Э. Нётер эти лекции появились в Math, Zeitschrift 30 (1929), 641—692. Глава первая ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА Так как в книге используются логические и общематематиче- ские понятия, не очень знакомые начинающему математику, та мы должны начать с посвященного им короткого раздела. При этом мы не будем вдаваться в трудности, связанные с основа- ниями математики, а будем повсюду придерживаться «наивной точки зрения», избегая определений, содержащих порочный круг и приводящих к парадоксам. Более подготовленному читателю в этой главе следует лишь запомнить смысл символов е, с, гз. U, V и {...}, а все остальное можно пропустить. § 1. Множества В качестве отправного пункта всех математических рассмо- трении мы мыслим себе некоторые доступные представлению объекты, как-то: цифры, буквы или их комбинации. Свойство. которым обладает или не обладает каждый такой объект в от- дельности, приводит к понятию множества или класса; элементы множества — это те самые объекты, которые обладают данным свойством. Символическая запись а е М означает: а—элемент множества М. Пользуясь образным гео- метрическим языком, говорят также: а лежит в М. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Мы допускаем рассмотрение последовательностей и множеств чисел (или букв и т. д.) как элементов или объектов новых мно- жеств (называемых иногда множествами второй ступени). Мно- жества второй ступени снова могут служить элементами мно- жеств более высокой ступени и т. д, однако мы остерегаемся употреблять понятия типа «множество всех множеств», так как они приводят к противоречиям; наоборот, мы будем строить но- вые множества из объектов некоторой заранее очерченной кате- »"рии (которой новые множества еще не принадлежат).