Set theory К. Kuratowski and A. Mostowskt * 1967 NORTH-HOLLAND PUBLISHING; COMPANY Amsterdam PWN—POLISH SCIENTIFIC PUBLISHERS Warszawa H. КУРАТОВСКИЙ, А. МОСТОВСКИЙ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Перевод с английского М. И. Кратко Под редакцией А. Д. Тайманова ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1970 УДК 519.50 Авторы книги — известные польские математики, внесшие большой вклад в теорию множеств, топологию, математическу'0 логику. Книга содержит современное изложение общей теории мно- жеств; изложение ведется на основе системы аксиом Цермело — Френкеля. Многочисленные примеры и упражнения удачно ил- люстрируют применение теоретико-множественных методов в других областях математики в первую очередь в алгебре и то- пологии. Заключительная глава книги служит введением в дес- криптивную теорию множеств. Высокие научные и методические достоинства книги делают ее весьма ценным учебным пособием по теории множеств. Она, несомненно, заинтересует студентов, аспирантов и научных ра- ботников различных математических специальностей. Редакция литературы по математическим наукам Инд_2^3. П"70 К. Куратовский, А. Мостовский ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Редактор Л. Б. Штейнпресс Художник Г. И. Мачуйлов Художественный редактор Д. И. Шаповалов Технический редактор Е. С. Потапенкова Корректор Н И. Баранова Сдано в производство 1/XII 1969 г. Подписано к печати 26/V 1970 г. Бумага № 1 60X90'/i6=13 бум. л. 26 печ. л. Уч.-изд. л. 21.88. Изд. № 1/4984. Цена 1 р. 81 к. Зак. 406. ^ ^ -Х-. ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2 •Х- -Х- -Х- , Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при Совеге Министров СССР. Измайловский проспект, 29. ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА * Эта книга — результат многолетнего труда выдающихся польских математиков К. Куратовского и А. Мостовского. Пер- вое ее издание вышло на польском языке в 1951 г., перерабо- танное и значительно расширенное издание опубликовано в 1966 г. тоже на польском языке. В 1967 г. в серии Studies in Logic and the Foundations of Mathematics вышло английское несколько исправленное издание, с которого и сделан настоя- щий перевод. Благодаря такой длительной работе над книгой авторы до- стигли большого методического совершенства в изложении вы- бранного материала. Их труд является не только монографией по общей теории множеств, но его можно рекомендовать и как учебное пособие. В книге подробно изложена общая теория мно- жеств, ее методы и результаты и дано довольно подробное вве- дение в дескриптивную теорию множеств, идеи которой нашли важные применения во многих разделах современной матема- тики. Известно, что в развитии общей теории множеств и особен- но дескриптивной теории множеств, а также во внедрении их методов в другие разделы математики выдающуюся роль сыграли советские ученые. Следует указать, что авторы осо- бенно подробно отмечают работы польских математиков. Чита- тели, интересующиеся .вкладом советских математиков, могут обращаться к следующим изданиям: «Математика в СССР за 15 лет», 1932; «Математика в СССР за 30 лет», 1948; «Матема- тика в СССР за 40 лет», 1959; «Математика в СССР за 50 лет», 1969; «История отечественной математики», Киев, 1968—1969. В книге мало места отведено исследованиям по аксиомати- ческой теории множеств. Эти вопросы, получившие бурное раз- витие в последние годы (П. Вопенка, П. Коэн, А. Мостовский, Р. Соловэй и др.), изложены в книге А. Мостовского, Construc- tible sets with applications, Amsterdam—Warszawa, 1969, кото- рая по существу является второй частью настоящей книги. От редактора перевода Методы теории множеств в настоящее время проникли не только во все разделы математики, но и в естественные и гума- нитарные науки. Поэтому настоящая книга найдет широкий круг читателей. Ее можно рекомендовать аспирантам, студентам-.математн- кам, а также научным работникам, интересующимся теоретиче- ской кибернетикой, математическими методами в других науках. Она будет очень полезной математикам, работающим в раз- личных областях этой науки, даже специалистам по теории мно- жеств. А. Д. Тайманов ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ * Теория множеств была создана работами математиков XIX века, которые ставили себе целью разработку оснований анализа. Первые работы в этой области (Больцано, Дюбуа- Реймон, Дедекинд) были посвящены числовым множествам или множествам функций, и, собственно, только основатель тео- рии множеств Георг Кантор сделал решительный шаг и начал рассматривать множества произвольных элементов. В цикле работ, опубликованных им в 1871—1883 гг., содержится почти современное изложение теории кардинальных и порядковых чи- сел и теории вполне упорядоченных множеств. О том, что шаг к общности, сделанный Кантором, был трудным, свидетель- ствуют различные противоречия (антиномии теории множеств), открытые разными авторами к 1900 г. Кризис, вызванный этими антиномиями, был преодолен Цер- мело, сформулировавшим в 1904—1908 гг. первую систему аксиом теории множеств. Его аксиом оказалось достаточно, чтобы получить важные для математики результаты из теории множеств, и в то же время эти аксиомы не позволяли построить никакой из известных антиномий. Тесная связь между теорией множеств и философией математики породила дискуссии о при- роде антиномий и аксиоматизации теории множеств. Фундамен- тальные проблемы философии математики, такие, как понятие существования в математике, аксиоматические версии описания действительности, необходимость доказательств непротиворечи- вости и средства, допустимые в таких доказательствах, нигде не были выяснены лучше, чем в этих дискуссиях. После начального периода недоверия началось триумфаль- ное шествие вновь созданной теории множеств во всех областях математики. Ее влияние на математику нашего века ясно видно в выборе современных проблем и в тех методах, которыми эти проблемы решаются. Применение теории множеств является по- всеместным. Вместе с тем в теории множеств возникли и свои собственные проблемы. Эти проблемы и их решения составляют то, что обычно называют абстрактной теорией множеств. Здесь достижения более скромны, чем в применениях теоретико-мно- Предисловие к английским^ изданию жественных методов в других областях математики — некото- рые из этих областей просто обязаны своим существованием теории множеств. Тем не менее абстрактная теория множеств является вполне сложившейся частью математики и знание ее основных понятий обязательно для каждого математика. В последние годы большие достижения получены в основа- ниях теории множеств. После открытия Гёделя, которому в 1940 г. удалось доказать относительную непротиворечивость различных теоретико-множественных гипотез, недавно Коэн и его последователи доказали независимость этих гипотез, в то время как работы Тарского выяснили, сколь большой может быть область недостижимых кардиналов, величина которых пре- восходит все границы воображения. Эти последние работы без- условно окажут большое влияние на философские вопросы осно- ваний математики. Настоящая книга возникла из литографированных записей лекций К. Куратовского, читанных в 1921 г., и расширенного их издания, предпринятого обоими авторами в 1951 г. Как видно из оглавления, мы здесь излагаем основные результаты аб- страктной теории множеств в традиционной последовательности, восходящей еще к Кантору: алгебра множеств, теория карди- нальных чисел, упорядоченные и вполне упорядоченные множе- ства. Но мы обращаем больше, чем это принято в абстрактной теории множеств, внимания на приложения. Главной областью, на которой мы иллюстрируем применение теоретико-множествен- ных методов, является общая топология. Мы включили также главу, посвященную борелевским, аналитическим и проектив- ным множествам. Все изложение основано на аксиомах, кото- рые по существу являются аксиомами Цермело—Френкеля. Мы помещаем доказательства всех теорем, даже очень тривиальных, для того чтобы читатель мог убедиться, что все они основаны только на аксиомах. Эта дань некоторой педантичности в обо- значениях и выписывании многих формул оказалась бы излиш- ней, если бы мы не хотели явно указать аксиомы, которые ис- пользуются нами при доказательствах. В некоторых примерах мы используем общеизвестные понятия, которые не определены в нашей книге посредством первичных понятий нашей системы. Эти примеры отмечены знаком ф. Чтобы проиллюстрировать роль аксиомы выбора, мы отме- чаем знаком ° все теоремы, в доказательстве которых приме- няется эта аксиома. В настоящей книге содержится краткое изложение континуум-гипотезы и глава о недостижимых кар- динальных числах. Эти разделы заслуживают большего вни.ма- ния, однако ограниченный объем книги не позволил нам шире осветить их. Это же относится и к последней главе, в которой Предисловие к английскому изданию излагается дескриптивная теория множеств и которая может пассматриваться только как введение в эту область. Некоторые наши коллеги помогали нам при подготовке ру- кописи. Доктор М. Мончинский перевел на английский язык почти весь текст. В этой трудной работе ему помогал Р. Коваль- ский. Профессор Е. Лось написал обстоятельную рецензию как на издание 1951 г., так и на настоящую книгу. Его замечания и критика позволили нам устранить многие ошибки и неточности. В. Марек и К. Висьневский прочитали корректуры и помогли нам устранить некоторые длинноты. Всем этим лицам ,мы выра- жаем нашу искреннюю благодарность. Казимир Куратовский Анджей Мостовский Глава I АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ § 1. Алгебра высказываний Многие рассуждения в теории множеств можно сделать очень наглядными, если пользоваться логическими символами и логическими законами, сформулированными в этой символике. В этом параграфе мы приведем основные сведения из логики, на которые в дальнейшем будем ссылаться. Произвольные высказывания будем обозначать буквами р, q, /-,.... Будем считать, что каждое из рассматриваемых выска- зываний либо истинно, либо ложно. Так как мы будем иметь дело только с высказываниями из области математики, то это предположение принять можно. Из двух произвольных высказываний р, q можно получить новое высказывание, связывая высказывания р и q одним из союзов И, ИЛИ, ЕСЛИ..., ТО..., ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА Высказывание р u q записываем в виде р Л q. Оно назы- вается конъюнкцией, или логическим произведением высказыва- ний р к q, называемых сомножителями конъюнкции. Конъюнк- ция р Л q истинна, когда оба ее сомножителя истинны; если же хотя бы один из ее сомножителей ложный, то и конъюнкция ложна. Высказывание р или q, которое мы записываем в виде р V q, называется дизъюнкцией, или логической суммой' высказываний р и q (слагаемых дизъюнкции). Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из ее слагаемых истинно, и ложна только тогда, когда оба слагаемые ложны. ^Высказывание если р, то q называется импликацией с посыл- кой р и заключением q. Вместо если р, то q пишем /?—»(?• Им- пликация ложна, если ее заключение ложно, в то время как посылка истинна. Во всех остальных случаях импликация истинна. Если импликация р -* q истинна, то мы говорим, что выска- зывание q следует из р. В этом случае, зная, что высказывание/? истинно, мы можем заключить, что высказывание q тоже истинно. Л ИТЕРАТУРА А д д и с о н (A d d i s o n J.) 1. Separation principles in the hierarchies in classical and effective descri- ptive set theory, Fund. Math., 46 (1959), 123—135. Банах (Banach S.) 1. Un theoreme sur les transformations biunivoques, Fund. Math., 6 (1924), 236—239. Банах, Куратовский (Banach S., Kuratowski К.) 1. Sur une generalisation du probleme de la mesure, Fund. Math., 15 (1929), 127—131. Б а х м а н (Bachman H.) 1. Transfinite Zahlen. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Berlin, 1955. Бернаис (Bernays P.) 1. A system of axiomatic set theory, /. Symb. Logic, 2 (1937), 65—77. 2. A system of axiomatic set theory, /. Symb. Logic, 6 (1941), 1—17, 133—145. 3 A system of axiomatic set theory, J. Symb. Logic, 8 (1943), 89—106. 4. A system of axiomatic set theory, /. Symb. Logic, 13 (1948), 65—79. 5. A system of axiomatic set theory, J. Symb. Logic, 19 (1954), 81—96. BepHiuTenH(BernsteinF.) 1. Untersuchungen aus der Mengenlehre, Math. Ann., 61 (1905), 150. 2. Zur theorie der trigonometrischen Reihen, Leipziger, Berichte, 60 (1908), 329. Б и р к г о ф Г. 1. Теория структур, ИЛ, М., 1952. Больцано Б. 1. Парадоксы бесконечности, Одесса, 1911. Б о р ел ь (В ore I E.) 1. Lecons sur la theorie des fonctions, Paris, 1898. 2. Elementes de la theorie des ensembles, Paris, 1949. Б руне (Bruns G.) 1. Darstellungen und Erweiterungen geordneter Mengen I, Crelle's Journal, 209 (1962), 167—200. Бурали-Форти (Burali-Forti С.) 1. Una questiene sui numeri transfiniti, Rend. Circ. Mat. Palermo, 11 (1897), 154—164. Б у р б а к и Н. 1. Теория множеств, «Мир», М., 1965. 336 Литература Бэр (В a i r e R.) 1. Lemons sur les fonctions discontinues, Paris, 1905. Валле-Пуссен (ValleePoussin Ch.) 1. Integrales de Lebesgue, fonctions d'ensemble, classes de Baire, Paris, 1936. Ван Хао.Мак-НотонР. 1. Аксиоматические системы теории множеств, ИЛ, М., 1963. Винер (W i e n e r N.) 1. A simplification on the logic of relations, Proc. Camb. Phil. Soc., 17, (1912—1914), 387—390. Витали (Vitali G.) 1. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, Bologna, 1905. BOOT (Vau ght R.) 1. On the equivalence of the axiom of choice and a maximal principle, Bull. Amer. Math. Soc., 58 (1952), 66. Гаме ль (Hamel G.) 1. Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Losungen der Funktional- gleichung f(x+y)= f{x) +f(y'), Math. Ann., 60 (1908), 459—462. Г e и к и и (H e n k i n L.) 1. La structure algebrique des theories mathematiques, Paris, 1955. Гессенберг (Hessenberg) 1. Grundbegriffe der Mengenlehre, Gottingen, 1906. Г еде л ь (G о d el K.) 1. The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum- hypothesis with the axiom of set theory, 4-е изд. Princeton, 1958. (Рус- ский перевод: Гёдель К., Совместимость аксиомы выбора и обобщен- ной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, УМН, 3, № 1 (1948), 96—i49, был сделан с 1-го издания этой работы, вышедшего- в Принстоне в 1940 г.) Гоборский (HoborskiA.) 1. Une remarque sur la limite des nombres ordinaux, Fund. Math., 2 (1921) 193—198. Гретцер (G r a t z e r G.) 1. A generalization of Stone's representation theorem for Boolean algebras Duke Math. J'., 30(1963), 469—474. Де в и с (D a v i s R.) 1. The number of structures of finite relations, Proc. Amer. Math. Soc 4 № 3 (1953), 486—494. Д e д e к и н д (D e d e k i n d R.) l.-Was sind und was sollen die Zahlen, Braunschweig, 1881. Джекобсталь (Jacobstahl E.) 1. Ober der Aufbau der transfiniten Arithmetic, Math. Ann., 66(1909) 145—194. Ионсон (Jonsson В.) 1. On the representation of lattices, Math. Scand., 1 (1953), 193—206. 2. Universal relational systems, Math. Scand., 4 (1956), 194—208. Литератора 397 3. Homogeneous universal relational systems, Math. Scand., S (1960), 137—142. 4. Representations of complemented modular lattices. Trails. Amer. Math. Soc., 97 (1960), 64—94. 5. Representations of the relatively complemented modular lattices, Trans. Amer. Math. Soc., 103 (1962), 272—303. и о и с о н, Т а р с к и и (J б n s s о п В., Т а г s k i A.) 1. Boolean algebras with operators, Amer. Math., 73 (1951), 891—939; 74 (1952), 127—174. Кантор (Cantor G.) 1. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, /. Reine Angew. Math., 84 (1878), 242—258. 2. Cber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, Math. Ann., 20 (1882), 113—121. 3. Ober unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, Math. Ann., 21 (1883). 4. Beitrage zur Begriindung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann., 48 (1895), 481—512. 5. Beitrage zur Begriindung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann., 49 (1897). Канторович, Ливенсон (Kantorowitch L., Livenson В.)' 1. Memoir on analytical operations and projective sets, Fund. Math., IS (1932), 214—279. К е и с л е р X. 1. Некоторые применения теории моделей к теории множеств, сб. «Мате- матическая логика и ее применения», изд-во «Мир», М., 1965, стр. 90—97. Кейслер, Тарский (Keisler H.J., Tarski A.) 1. From accessible to inaccessible cardinals, Fund. Math., 53 (1964), 117— 199, 225—308. Кепи г Д. (К б nig D.) 1. Ober eine Schlussweise aus dem Endlichen ins Unendliche, Acfa Llit. Ac. Set. Hung. Fran. Sosep., 3 (1927), 121—130. К ё н и г Ю. (К б n i g J.) 1. Zum Kontinuumproblem, Math. Ann., 60 (1904), 177—180. 2. Sur la theorie des ensembles, Compt Rend. Acad. Sci., 143 (1906), 110—112. К л и н и (К 1 е е n e S.) !. Heerarchies of number theoretic predicates, Bull. Amer. Math. Soc., 61 (1955), 193—213. К о ч е и (К осп е n S.) i. Ultraproducts in the theory of models, Ann. Math., 74 (1961), 221—261. К у р а т о в с к и и К. (К u r a t ow s k i К.) 1. Sur la notion de 1'ordre dans la theorie des ensembles, Fund. Math., 2 (1921), 161—171. 2. Une methode d'elimination des nombres transfinis des reasonnements mathematiques, Fund. Math., 3 (1922), 89. 3. Sur 1'operation A—d'analysis situs, Fund. Math., 3 (1922), 182—199. 4. Evaluation de la classe borelienne on projective d'un ensemble de points a 1'aide des symboles logiques, Fund. Math., 17 (1931), 249—272. 5. Sur les theoremes de separation dans la theorie des ensembles. Fund. Math., 26 (1936), 183—191. 398 Литератора 6. Les ensembles projectifs et 1'induction transtinie, Fund. Math., 27 (1936), 269—276. 7. Les types d'orders definissables et les ensembles boreliens, Fund. Math., 29 (1937), 97—100. 8. Sur une caracterisation des alept.s, Fund. Math., 38 (1951), 14—17. 9. Топология, т. 1, «Мир», М., 1966; т. II, «Мир», М., 1969. К у р а т о век и ii. Т а реки и (Kuratowski К., Tarski A.) 1. Les operations logiques et les ensembles projectifs, Fund. Math., 17 (1931), 240—248. Лебег (LebesgueH.) 1. Sur les fonctions representables analytiquement, /. Math., 1905, 213—214. Л е в и A. (Levy A.) 1. On models of set theory with urelements. Bull. Acad. Polon Sci. ser. math phys., astr., 8 (I960), 463—465. 2. Axiom schemata of strong infinity in axiomatic set theory, Pacific 1. Math., 10 (1960), 223—238. Л ев и Б. (Levi В.) 1. Intorno alia teoria degli aggregati, R. Institute Lombardo di science e lettere, Rendiconti (2), 35 (1902), 863—868. Лось (Lo s J.) 1. Quelques remarques theoremes et problemes sur les classes definissables d'algebres, сб. «Mathematical interpretations of formal systems», Am- sterdam, 1955. 2. Linear equations and pure subgroups, Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math. and phys., 7 (1959), 13—18. 3. Some properties of inaccessible numbers, сб. «Infinitistic Methods», Warszawa, 1960, стр. 21—23. Лузин Н. (Luzin N.) 1. Sur un probleme de M. Baire, Compt. Rend. Acad. Sci., 158 (1914), 1259. 2. Sur les ensembles analytiques, Fund. Math., 10 (1927), 1—95. 3 Лекции об аналитических множествах и их приложениях, М, 1953. (Впервые на французском языке в Париже, 1930.) Л у зин. Серп и иски и (LuzinN., Sierpinski W.) 1. Sur un ensemble non mesurable (В), J. Math., 1923, 68. М а к к и и с и. Т а р с к и и (М с К i n s e у J., Tarski А.) 1. The algebra of topology, Ann. Math., 45 (1944), 141—191. 2. On closed elements in closure algebra, Ann. Math., 47 (1946), 122—162. М а к н е и л (М с N е i 1 1 e) 1. Partially ordered sets, Jrans. Amer. Math. Soc., 42 (1937), 416—460. Мало (Mali lo P.) 1. Ubcr lineare transfinite Mengen, Leipziger Berichte, math.-phys. Klasse, 63 (1911), 187—225. М а р ч е в с к и и (М а г с z e w s k i E.) 1. Independence d'ensembles et proloiigement de mesures, Coil. Math., 1 (1948), 122—132. 2. Concerning the symmetric difference in the theory of sets and in Boole- an algebras. Coil. Math., 1 (1948), 200—202. М н р и м а н о в (М i r i m a n о v D.) 1. Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme fondamental de la theorie des ensembles, Enseig. Math., 19 (1917), 37—52. Литератора 399 Мон к. Скотт (Monk D., Scott D.) 1. Additions to some results of Erdos and Tarski, Fund. Math., 53 (1964), 335—343. Монтэгю (Montague R.) *1. Semantical closure and non-finite axiomatizibility, сб. «Infinitistic Met- hods», Warszawa, 1960. Морли, BOOT (Morley M., V a u g h t R.) 1. Homogeneous universal models. Math. Scand., II (1962), 37—57. М ы ц е л ь с к и и (М у с i е 1 s k i J.) 1. a incompactness of Л'". Two remarks on Tychonotf product theorem, Butl. Acad. Polon. Sci., ser math. and phys., 12 (1964), 437—441. фон Нейман (v on Neumann J.) 1. Zur Einfuhrung der transfiniten Zahlen, Acta Lift. Ac. Sci. Hung. Fran. Joseph., 1 (1923), 199—208. 2. Die Axiomatisierung der Mengenlehre, Math. Z., 27 (1928), 669—752. Никодим (Nikodym 0.) 1. Sur une propriete de 1'operalion (Л), Fund. Math., 7 (1925), 250. Новиков П.С. 1. Sur la separabilite des ensembles projectifs de seconde classe, Fund. Math., 25 (1935), 459—466. О ч а н Ю. С. 1, Теория операций над множествами, УМН, 10, № 3 (1955), 71—128. Пеано (Peano G.) 1. Sulla definizione di funzione, Atti Real Ac. Lin., 20 (1911), 3—5. Радо (Ra do R.) 1. Direct composition of partitions, J. London Math. Soc., 29 (1954), 71-83. Рамсей (Ramsey F.) 1. On a problem of formal logic, Proc. London Math. Soc., ser. 2, 30 (1929), 264—286. Рассел.Уайтхед (Russel!B.,WhiteheadA.) 1. Principia mathematica, Cambridge, 1925. Py б и н Г., Р у б и н Дж, (R u b i n Н., R u b i n J.) 1. Equivalents of the axiom of choice, Amsterdam, 1963. Р ы л ь - Н а р д ж e в с к и и (R у 11 - N a r d z e w s k i С.) 1. On Borel measurability of orbits, Fund. Math., 56 (1964), 129—130. Серп и некий (Sierpinski W.) 1. L'axiome de M. Zermelo et son role dans la theorie des ensembles et 1'analyse, Bull. Acad. Cracovie, 1918, 97—152. 2. Sur une propriete des ensembles (Л), Fund. Math., 8 (1926), 362. 3. Le theoreme d'unicite de M. Lusin pour les espaces abstraits, Fund. Math., 21 (1933), 250—275. 4. L'hypothese generalisee du continu et 1'axiome de choix, Fund. Math., 34 (1947), 1—5. 5. Sur un espace complet qui n'admet pas le theoreme de Souslin, Fund. Math., 34 (1947), 66—68. 400 Литератора 6. Sur une proposition qui entraine 1'existence des ensembles non mesu- rables. Fund. Math., 34, (1947), 157—162. 7. Sur une oropriete des ensembles ordonnes, Fund. Math., 36 (1949), 56—67. 8. Les ensembles projectifs et analytiques. Memorial des Sciences Mathe- matiques, fasc. CXII, Paris, 1950. 9. Sur quelques propositions concernant la puissance du continu, Fund. Math., 38 (1951), 1—13. 10. Algebre des ensembles, Warszawa, 1951. 11. Cardinal and ordinal numbers, Warszawa, 1965. Серпинскии.Тарский (Sierpinski W., Т а г s k i A.) 1. Sur une propriete caracteristique des nombres inaccessibles, Fund. Math., 15 (1930), 292—300. СикорскийР. (SikorskiR.) 1. A haracterisation of alephs. Fund. Math., 38 (1951), 18—22. 2. Rcpresentability and distributivity of Boolean algebras, Coil. Math., 8 (1961), 1—13. 3. Булевы алгебры, «Мир», М., 1969. Сколем (S k о 1 е m Т.) 1. Untersuchungen uber die Axiome des Klassenkalkuls..., Skrifter utgit av Videnskapsselskapet i Kristiania, I Klasse, № 3, Oslo 1919. 2. Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begrundung den Mengenlehre, Wissenschaftliche Vortrage gehalten auf dem funften Kongress der Skan- dinavischen Matematiker in Helsingfors, 1922, 217—232. 3. Ein Kombinatorischer Satz mit Anwendung auf ein logisches Entschei- dungsproblem. Fund. Math., 20 (1933), 254—261. Скотт (Scott D.) 1. Invariant Borel sets, Fund. Math., 56 (1965), 117—128. Стоун (Stone M.) 1. The theory of representations for Boolean algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 40 (1936), 37—111. С у с л и н М. 1. Sur une definition des ensembles mesurables В sans nombre transfinis, Compt. Rend. Acad. Sci., 164 (1917;, 89. Т а р с к и и (Т а г s k i А.) 1. Sur quelques theoremes qui equivalent a 1'axiome du choix, Fund. Math., 5 (1924), 147—154. 2. Quelques theoremes sur les alephs. Fund. Math., 7 (1925), 7. 3. Sur les classes d'ensembles closes par rapport a certaines operations ele- mentaires, Fund. Math., 16 (1930), 181—304. 4. Zur Grundlegung der Boole'schen Algebra I, Fund. Math., 24 (1935), 195—197. 5. Grundzuge des Systemenkalkuls II, Fund. Math., 26 (1936), 301. 6. Ober unerreichbare Kardinalzahlen, Fund. Math., 30 (1938), 68—89. 7. Idealle in vollstandigen Mengenkorpern, Fund. Math., 32 (1939), 45—63. 8. Cardinal algebras, New York, 1949. 9. Некоторые проблемы и результаты, связанные с основаниями теории множеств, сб. «Математическая логика и ее применения» изд-во «Мир», М., 1965, стр. 146—158. Таре к и и, Линде н б а ум (Tarski A., Lindenbaum A.) 1. Communication sur les recherches de la theorie des ensembles, Compt. Rend. Soc. Sci. Let. Varsovie, Cl. Ill, 19 (1926), 299—330. Литератора 401 Т е и х м ю л л е р (Т е i с h m u 11 е г) 1. Braucht der Algebraiker das Auswahlaxiom? Deit. Math., 4 (1939), 567—577. Т и х о н о в А. Н. 1. Ober die topologische Erweiterung von Raumen, Math. Ann., 102 (1930), 544—561. У айтхед, Рассел (Whitehead A..Russell В.) 1. Principia Mathematica, I, изд. 2. Cambridge, 1925, стр. 536. У л а м (U 1 а m S.) 1. Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, Fund. Math., 16 (1930), 140—150. У р ы с о н П С. 1. Sur les points accessibles des ensembles fermes, Proc. Amsterdam Akad., 28 (1925), 984—993. Фихтенгольц Г. М., Канторович Л. В. 1. Sur les operations lineares dans 1'espace des fonctions bornees, Stud. Math., 5 (1934), 69—98. Ф р а и с с е (F r a i s s ё R.) 1. Sur 1'extension aux relations de quelques proprietes des ordres, Ann. Sci. Ecole Normale Sup., 71 (1954), 361—388. Ф р е г е (Frege G.) 1. Grundgesetre der Arithmetik, B. 2, Jena, 1903. Фрейне, М о рель, Скотт (Frayne Т., Morel A., Scott D.) 1. Reduced direct products, Fund. Math., 51 (1962), 195—228. Френкель (Fraenkcl A.) 1 Zu den Grundlagen der Canlor—Zerme'oschen Mengenlehre, Math. Ann , 86 (1922), 230—237. 2. Abstract set theory, Amsterdam, 1953. Френкель А., Б а р - X и л л е л И. 1. Основания теории множеств, «Мир», М., 1966. Френкель, Берна и с (Fraenkel A., Bernays P.) 1. Axiomatic set theory, Amsterdam, 1958. Ф р о л и к (F г о 1 i k Z.) 1. A contribution to the descriptive theory of sets and spaces, Proceedings of the symposium on General Topology and its re'"i^ „ins to Modern Ana- lysis and Algebra, Praha, 1961, 157—173. X а л м о ш (Н а 1 m о s R.) 1. Lectures on Boolean algebras, Princeton, 1963. Х а р д и (H a r d у G.) 1. Orders of infinity, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, № 12, изд. 2, Cambridge, 1924. X а р т м а н (Н a r t m a n S.) 1. Zur Geometrisierung der abzahlbaren Ordnungstypen, Fund. Math., 29 (1937), 209—214. Хартогс (HartogsF.) i. Ober das Problem der Wohlordnung, Math. Ann., 76 (1915), 442. 26 Зак. 406 402 Литература X а у с д о р ф (Н a u s d о г f f F.) 1. Der Potenzbegriff in der Mengenlehre, Jahr. Deutsch. Math. Ver., 13- (1904), 570. 2. Grundzuge einer Theorie der geordneten Mengen, Math. Ann., 65 (1908), 443. 3. Grundzuge der Mengenlehre, Leipzig, 1914. 4. Uber zwei Satze von G. Fichtenholz und L. Kantorovitch, Stud. Math., 6 (1936), 18—19. 5. Теория множеств, М.—Л., 1934. Ц е р м е л о (Z e r m e 1 о Е.) 1. Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann., 5^ (1904), 514—516. 2. Untersuchungen fiber die Grundlagen der Mengenlehre I, Math. Ann., 65 |1908), 261—281. 3. Cber Grenzzahlen und Mengenbereiche, Fund. Math., 16 (1930), 29—47- Цорн (Zorn M.) 1. A remark on method in transfinite algebra, Bull. Amer. Math. Soc., 4t (1935), 667—670. Шёнфлис (Schonflies) 1. Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen, Leipzig—Ber- lin, 1913. Шпеккер(8 pecker E.) 1. Verallgemeinerte Kontinuumhypothese und das Auswahlaxiom, Arch, Math., 5 (1954), 332—337. Эрдёш, Гилман, Хенриксен (Erdos P., Gillman L., Henrik- s e n M.) 1. An isomorphism theorem for real closed fields, Ann. Math., 61 (1955), 542—554. Эрдёш, Радо (Erdos Р., R а d о R.) 1. A partition calculus in set theory, Bull. Amer. Math. Soc., 62 (1956) 427—489. Эрдёш, Хайнал (Erd6sP.,Hajnal) 1. On a classification of denumerable order types..., Fund. Math., 51 (1962), 117—129. Эренфойхт, Лось (Ehrenfeucht A., Los J.) • 1. Sur les produits cartesiens des groupes cycliques, Bull. Acad. Polon. Sci.^ ser. math. and phys., 2 (1954), 261—263. 408 Именной указатель Нейман фон 65, 271 Никодим 364 Новиков П. С. 388 Уайтхсд 141, 249 Улам 318 Урысон П. С. 364 •Очан Ю. С. 345 Пеано 76, 96 Радо 117 Рамсей 115, 117 Рассел 69, 141, 249 Рубин Г. 271, 295 Рубин Дж. 271, 295 Рыль-Нарджевский 386 Серпинский 61, 140, 193, 204, 228, 271, 287, 312, 332, 337, 338, 344, 354, 382, 384 Сикорский 41, 164, 287 Сколем 34, 64, 117 Скотт 150, 324, 386 Стоун А. 40 Стоун М. 23, 174 Суслин М. 338, 353, 354 Фихтенгольц Г. М. 303 Фраиссе 224 Фреге 69 Фрейне 150 Френкель 8, 61, 65, 66, 96, 264 Фролик 350 Хайнал 220 Халмош 41 Хантингтон 49 Ханф 318 Харди 188 Хартман 386 Хартогс 278, 279, 293 Хаусдорф 23. 27, 61, 288, 303, 308 333, 337, 345 Хенриксен 337 Цеомело 8, 65, 66, 193, 263, 264, 309 Цорн 265 •Тарский 8, 35, 50, 52, 123, 138, 161, 163, 174, 192, 193, 194, 197, 289. 293, 295, 297, 303, 310, 312, 318, 322, 324, 325, 332, 354, 385 Тейхмюллер 271 Тспненбаум 225 Тихонов А. Н. 143, 147 Шёнфлис 220 Шпеккер 295, 296, 332 Шредер 196 Эрдёш 117, 220, 337 Эренфойхт 324 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абстрактная теория меры 314 Аксиома бесконечности 60 — выбора 61 — выделения для высказывательной функции 62 — замены для высказывателыюй функции 62 — мультипликативности 141 — объемности 15, 69 — пары 60 — пустого множества 59 — разности 15 — регулярности 64 — реляционных типов 93 — степени 60 — суммы 15, 60 — существования 15 — Тарского 324 Аксиоматическая система теории мно- жеств Гёделя — Бернайса 65 — — — — фон Неймана 65 — — — — Цермело 65 — — — — Цермело — Френкеля 65 Аксиомы булевой алгебры 42 — Пеано 96 — теории решеток 49 Алгебра Брауэра 50 — булева 41 Алгебры цилиндрические 164 Алеф 283 Алефов степени 288 Антиномия Рассела 69 Атомарные функции класса З? 59 Атом булева кольца 160 Л-множество 342 База 356 — идеала 306 — операции Хаусдорфа 346 — топологического пространства 128 Базис Гамеля 270 Брауэра алгебра 50 — решетка 50 Булев многочлен 42 Булево кольцо (алгебра) 41 — — атомарное 161 — — дистрибутивное 160 — факторкольцо 86 Верхний класс сечения 166 Вершины графа 115 Ветвь 112 — бесконечная 112 — длины п 112 Втерой принцип отделимости 388 Высказывательная функция 53 — — открытая 148 — — проективная относительно базы 359 — — элементарная 153 Гипотеза континуума 327 — — обобщенная 327 Главные числа умножения 263 Гомеоморфизм 85 Граф 115 — полный 115 График высказывательной (Ьункции 359 Декартово произведение 142 — — булевых колец 142 — — множеств 140, 70 — — — (функций, отношений), при- веденное 150 — — — приведенное по модулю / 151 — — операций 142 — — отношений 142 — — пространств 146 Дескриптивная теория множеств 338 Доказательство по индукции 96 — эффективное 55 Дополнение графа 115 — множества 27 — элемента булевой алгебры 45 410 Предметный указатель Закон ассоциативности 178 — — для дизъюнкции 13 — -- — конъюнкции 13 — -- — сложения кардинальных чи- сел 190 — -- — умножения кардинальных чисел 190 — -- обобщенный 122, 204 — возведения в степень декартова произведения 179 — двойного дополнения 27 — — отрицания 13 — дистрибутивности второй 13 — - для кардинальных чисел 209 — —- обобщенный 123 — — — умножения относительно сложения 205 — — первый 13 — исключенного третьего 13 — коммутативности 178 — — для дизъюнкции 13 — — — конъюнкции 13 — — — сложения кардинальных чи- сел 190 — — — произведения кардинальных чисел 209 — — — умножения кардинальных чисел 190 ~ — обобщенный 122, 204 —' контрапозиции 13 —- монотонности второй для сложе- ния 251 — — — — умножения порядковых чисел 252 — — первый для сложения 250 — — — — умножения порядковых чисел 252 — противоречия 13 — силлогизма 13 Законы де Моргана 13, 22, 55, 160 — логические (тавтологии) 12 — поглощения 13 — сокращения 194 Замкнутая подбаза топологического пространства 128 Замыкание 35 Значение булева многочлена 42 — функции 77 Идеал 26 — главный, порожденный элементом о 170 — дистрибутивной решетки 170 — простой 152, 170 — сг-аддитивиый 316 Идентификация координат 355 Измельчение покрытия 88 Импликация 11 Инвариант относительно изоморфиз- ма 91 Индекс начального порядкового чи- сла 281 Интервал 215 Кардинальное число 181 — — гипернедостижимое 313 — — измеримое 314 — — недостижимое 312 — — — класса т) 313 — — сильно недостижимое 309 — — слабо недостижимое 308 Кванторы 54 Классификация Мало недостижимых кардинальных чисел 313 Класс эквивалентности (абстракции) отношения 75 Кольцо 25 — коммутативное 25 Коммутативная диаграмма 79 Конституента 29, 378 — определяемая решетом 378 Конъюнкция 11 Мера сг-аддитивная нуль—единичная 315 — — — — нетривиальная 315 Метод траисфинитной индукции 234 Минимальное расширение упорядо- ченного множества 168 Множества борелевские порядка ос 245 — внутренность 37 — граница 40 — декартова степень 140 — коинициальные 88 — конфинальные 88 — независимые 31, 269 — непересекающиеся 19 — — по модулю / 26 — образ 63 — перестановка 78 — подобные 90 — покрытие 88 — последователь 95 — прообраз 82 — равномощные 176 — равные по модулю / 26 — разбиение 74 — степень 60 — фактор по отношению 75 — эквивалентные для конечного раз- биения 197 Предметный цказатель 41t Множество аналитическое 349 — арифметически определимое 362 — бесконечное 108 — — в смысле Дедекинда 111 — вполне упорядоченное 232 — граничное 40 — замкнутое 36, 127 — — упорядоченное 265 — значений функции 77 — индуктивное 96 — Кантора 145 — — обобщенное 145 — квазиупорядоченное 87 — конечное 108 — направленное 88 — наследственное 234 — независимое 269 — непрерывное 217 — нигде не плотное 40 — открытое 36, 127 — плотное 216 — — в линейно упорядоченном мно- жестве 217 — — — себе 41 — представителей 76 — проективное 354 — просеянное через решето 376 — пустое 18 —- разреженное 216 — регулярно замкнутое 46 — совершенное 269 — счетное 181 — упорядоченное 87 — уровня функции 82 — элементарное 362 — ^-отделимое 343 Множеств произведение (пересече- ние) 16 — равномерность 176 — симметрическая разность 17 — тело 42 Мощность континуума 199 Наибольшая нижняя грань 89 Наименьшая верхняя грань 89 Натуральное число 96 Начальная вершина ветви 112 Непосредственное продолжение по- следовательности 348 Неравенство между кардинальными числами 192 Нижний класс сечения 166 Область определения функции 77 Обратная система 155 Обратный порядковый тип 226 Окрестность 144 Операция 338 — Хаусдорфа 345 Определяющая система 338 — — регулярная 339 Определение по индукции 99 Остаток множества 239 — порядкового числа 255, 261 — упорядоченного множества 215 Открытая подбаза топологического- пространства 128 Отношение 72 — включения 17 — квазипорядка 87 — «лежит между» для элементов: множества 215 — линейного порядка 87 — «не больше» для кардинальных чисел 192 — обратное 72 — порядка 87 — — в булевом кольце 45 — — — решетке 49 — предпорядка 87 — «предшествует» 214 — транзитивное 17 — частичного порядка 87 — эквивалентности 73 Отношений суперпозиция (компози- ция) 72 Отображение 77 Отрезок 215 Отрицание 12 Пара неупорядоченная 66 — универсальная для семейства 372 — упорядоченная 67 Первая теорема отделимости 352 Первый принцип отделимости 388 Перестановка координат 355 Подграф 115 Подмножество 17 — собственное 17 Подобие отношений 213 Поле графа 115 — отношения 72 — реляционной системы 91 Порядковое число 236 — — в смысле фон Неймана 264 — — конфинальное 239 — — критическое к-последователь- ности 241 — — начальное 280 — — начальное (Оц 281 412 Предметный указатель Порядковое число начальное нерегу- лярное 307 — — — регулярное 307 — — нечетное 245 — — предельное 239 — — слабо недостижимое 3U8 — — четное 245 — — эпсилоновое 257 Порядковый тип 212 Порядок антилексикографический 230 — лексикографический 228 Последователь 215 Последовательность бесконечная 98 — взаимно однозначная 108 — конечная 98 — нормальная универсальных функ- ций 365 — сходящаяся 130 — трансфинитная типа а («-последо- вательность) 239 — — — — возрастающая 239 — — — — непрерывная 241 — фундаментальная 74 Правила сокращения 194 Предел верхний 129 — нижний 129 — обратный обратной системы 155 — последовательности 130 — ^.-последовательности 239 Предшественник 215 Принцип двойственности 49 — Дирихле 110 — индукции для порядковых чисел 276 — максимума 265, 271 — — Цорна 266 — трансфинитной индукции 234 Проблема Суслина 225 — элиминации 32 Продолжение элемента 195 — функции 79 Проективный класс 361 — — относительно базы 356 Проекция 357 — отношения 72 Произведение кардинальных чисел 190, 208 — натуральное порядковых чисел 262 — порядковых типов 227 — — чисел 250 — свободное 335 Производная порядка ос 245 Пространство 27, 35 — Бэра 146 — Стоуна 174 Псевдодополнение 51 Псевдоразность 50 Разбиение 88 Разложение порядкового числа 259 Разность множеств 16 — порядковых чисел 251 — элементов булева кольца 42 — — — — симметрическая 42 Результат операции Л 338 Реляционная система 91 — — изоморфное погружение 165 — — подсистема 165 — — расширение 165 — — тип 93 — — характеристика 91 Реляционные системы изоморфные 91 Реляционный тип 15, 93 Решетка 49 — дистрибутивная 49 — множеств, порожденная семейст- вом, замкнутым относительно опе- рации 136 — модулярная 51 — полная 90 Решето 375 — открытое (замкнутое, борелевское, аналитическое) 375 — универсальное 383 Свойство редукции 387 Семейство множеств борелевских 139 — — замкнутое относительно опе- рации 135 — — индуктивное 276 — — монотонное 88 — — независимое 31, 269 — — очень слабо независимое 304 — — сильно независимое 304 — — слабо независимое 304 — — типа не выше ее 249 — — а-аддитивное 137 — — о-мультипликативное 137 — центрированное 147 Сечение 166 — собственное 217 Сложение натуральное порядковых чисел 262 Степенная иерархия кардинальных чисел 297 Степень кардинального числа 191 — порядкового числа 256 Сумма кардинальных чисел 181, 197 — логическая 11 — множеств 16, 60 — натуральная порядковых чисел 262 — порядковых типов 227 Предметный указатель 413 Сумма последовательности карди- нальных чисел 203 — упорядоченная линейно упорядо- ченных множеств 218 — элементов булева кольца 42 Схема Леви 325 Тавтология 12 Теорема Кантора — Бендиксона 278 — Кантора — Бернштейна (Шреде- ра — Бернштейна) 196 — Кёнига Д. 112 — Кёнига Ю. 210 — об определении по трансфииитной индукции 243 — о диагонали 185 — — среднем значении 197 — Рамсея 115, 117 — Тихонова 147 — существрвания пары об — — суммы 66 — — неупорядоченной тройки, чет- верки и т. д. 67 — Цермело 263 Топологическое пространство 35, 127 — — компактное 147 — — m-компактное 322 Топология 35 — дискретная 145 — тихоновская 143 Точка декартова произведения 70 — изолированная 185 — линейно достижимая 363 — предельная 28, 41 — топологического пространства 35 Функции область определения 77 — порядок 84 — собственный экстремум 185 — п-я итерация 100 Функция 76 — взаимно однозначная 77 — возрастающая 234 — выбора 81 — высказывательная 53 — — открытая 149 — — проективная относительно базы 359 — — с областью, ограниченной мно- жеством 53 — — элементарная 153 — индуцированная посредством от- ношения 85 — монотонная 198 — непрерывная 84, 134 — нетривиальная 315 — определенная почти всюду 316 — проективная 389 — согласованная с отношением 85 — универсальная 365 — характеристическая 130 — Хартогса 279 Цифры разложения порядкового чи- сла 259 Частное порядкового числа 253 Числа второго класса 275 Щель 217 Умножение натуральное порядковых чисел 262 Фильтр 170 Формула Бернштейна 290 — обобщенная Хаусдорфа 289 — рекуррентная Тарского 289 — — Хаусдорфа 288 Функции аналитически представимые класса <х 246 Элемент единичный 90 — — булева кольца 45 — — кольца 25 — лежащий на сечении 212 — максимальный 265 — — упорядоченного множества 89 — минимальный упорядоченного мно- жества 89 — нулевой 90 — продолжаемый 194 ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора перевода ........••••••••••• 5 Предисловие к английскому изданию .....••••••••• 7 Глава I. Алгебра множеств .........•••••••• It § 1. Алгебра высказываний ......•••••••• 11 § 2. Множества и операции на множествах . . . . .... 14- § 3. Включение. Пустое множество ........... 17 § 4. Законы сложения, умножения и вычитания ...... 19 § 5. Свойства симметрической разности ......... 23. § 6. Множество 1. Дополнение ............. 27 § 7. Конституенты .........•••••••• 29' § 8. Применение алгебры множеств к топологии ...... 35 § 9. Булевы алгебры ........•...•••• 41 § 10. Решетки ........•••••••••• 49- Глава И. Аксиомы теории множеств. Отношения. Функции . .... 53. § 1. Высказывательные функции. Кванторы ....... 53. § 2. Аксиомы теории множеств ............. 59- § 3. Простейшие следствия из аксиом .......... 66 § 4. Декартовы произведения. Отношения ........ 70 § 5. Отношение эквивалентности ............ 73. § 6. Функции ............... 76 § 7. Образы и прообразы ......••••.••• 81 § 8. Функции, согласованные с данным отношением эквивалент- ности. Булевы факторкольца ............ 85- § 9. Отношение порядка ............... 87 § 10. Реляционные системы, их изоморфизмы и типы .... 91 Глава 111. Натуральные числа. Конечные и бесконечные множества . . . 9э § 1. Натуральные числа ............... 9э § 2. Определения по индукции ............ 99 § 3. Отображение множества Л' Х N на N и связанные с ним отображения ................. Ю" § 4. Конечные и бесконечные множества ... ...... 1th § 5. Теорема Кёнига ................ 112 § 6. Графы. Теорема Рамсея ............. 115 Оглавление 415 Глава IV. Бесконечные суммы, произведения и декартовы произведения 119 § 1. Бесконечные суммы и произведения ........ 119 § 2. Операции на бесконечных последовательностях множеств 129 § 3. Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции ................. 134 § 4. о-аддитивные и о-мультипликативные семейства множеств 137 § 5. Обобщенные декартовы произведения ....... 140 § 6. Декартовы произведения топологических пространств . . 143 § 7. Теорема Тихонова ............... 147 § 8. Приведенные декартовы произведения ....... 150 § 9. Обратные системы и их пределы .......... 155 § 10. Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах . 158 § 11. Расширение упорядоченного множества до полной решетки ............... 164 § 12. Теория представления дистрибутивных решеток .... 170 Удава V. Теория кардинальных чисел . ......... 176 § 1. Равномощность множеств. Кардинальные числа .... 176 § 2. Счетные множества ............ 181 § 3. Шкала кардинальных чисел ............ 185 § 4. Арифметика кардинальных чисел .......... 189 § 5. Неравенства между кардинальными числами. Теорема Кантора — Бернштейна и ее обобщения ...... 192 § 6. Свойства чисел аис ............. 199 § 7. Обобщенные суммы кардинальных чисел ....... ?02 § 8. Обобщенные произведения кардинальных чисел .... 207 Глава VI. Линейно упорядоченные множества ........... 212 § 1. Введение ................. 212 § 2. Плотные, разреженные и непрерывные множества . . . 216 § 3. Типы Q), т] и \ ................ .221 § 4. Арифметика порядковых типов .......... 226 § 5. Лексикографический порядок ........... 228 Глава VII. Вполне упорядоченные множества ........... 232 § 1. Определения. Принцип трансфинитной индукции . . . 232 § 2. Порядковые числа .... . . ....... 238 § 3. Трансфинитные последовательности ........ 23Э § 4. Определения по трансфинитной индукции ...... 243 § 5. Арифметика порядковых чисел . . ........ 250 § 6. Степени порядковых чисел ............ 255 § 7. Разложения порядковых чисел по произвольному осно- ванию .................. 258 § 8. Теорема Цермело ............... 263 § 9. Элиминация порядковых чисел методом фон Неймана . . 271 416 Оглавление Глава VIII. Дальнейшее развитие арифметики кардинальных чисел . . . 273 § 1. Порядковые числа мощности а ......... 273 § 2. Кардинальное число К (til). Функция Хартогса • • • 278 § 3. Начальные числа ............... 280 § 4. Алефы и их арифметика ............ 283 § 5. Степени алефов ................ 288 § 6. Эквивалентность некоторых теорем о кардинальных чис- лах аксиоме выбора .............. 292 § 7. Степенная иерархия кардинальных чисел ...... 297 § 8. Некоторые проблемы мощности, связанные с булевыми кольцами ................ 303 Глава IX. Недостижимые числа. Гипотеза континуума ....... 305 § 1. Недостижимые числа .............. 305 § 2. Классификация недостижимых кардинальных чисел . . 312 § 3. Измеримость кардинальных чисел ......... 314 § 4. Неизмеримость первого недостижимого алефа . . . .318 § 5. Аксиоматическое построение недостижимых кардиналь- ных чисел .................. 324 § 6. Гипотеза континуума .............. 327 § 7. Множества r| i ................ 332 Глава X. Введение в теорию аналитических и проективных множеств . . 338 § 1. Операция А .................. 338 § 2. Семейство A(R} ................ 342 § 3. Операции Хаусдорфа ............... 345 § 4. Аналитические множества ............. 349 § 5. Проективные множества ............. 354 § 6. Универсальные функции ............. 364 § 7. Решета .................... 372 § 8. Конституенты ................ 378 § 9. Универсальное решето и функция t ......... 382 § 10. Теорема о редукции и вторая теорема отделимости . . 387 § 11. Проблема проективности множеств, определенных по трансфинитной индукции ............. 339 Литература ........................ 395 Указатель обозначений ..................... 403 Име;'ной указатель ..................... 407 Предметный указатель .................... 409