L.E.FRANKS SIGNAL THEORY PRENTICE - HALL, INC ENGLEWOOD CLIFFS, N.J.1969 Л.Френкс ТЕОРИЯ СИГНАЛОВ ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО М.Р.КРАЕВСКОЙ и Р.М.СЕДЛЕЦКОГО под РЕДАКЦИЕЙ Д.Е.ВАКМАНА Москва «Советское Радио» 1974 Случайный фототелеграфный сигнал 220, 233, 257 Собственные значения 124—130, 145, 147 159, 166, 170 — — автокорреляционного ядра 186 — пространства 124—130 Совместная оптимизация 152, 231 — плотность вероятности 176 — характеристическая функция 176 Согласованный фильтр 148, 243, 246, 252 — — для импульсов со случайным временем прихода 247 — — для обнаружения сигналов 277, 278, 291 — — физически реализуемый 261 Сопряженное пространство 46, 64 — ядро 70—74 — оператор 117, 125, 135 Составное отображение 19, 103 Спектр оператора 127 Спектральная плотность мощности 177 — — — дискретных компонент 206 — — — комплексной огибающей процесса 197 — факторизация 255, 260, 262 Спектральное представление 123— 130, 165 Среднеквадратическое значение 174, 178 Средний квадрат ошибки 226 — — —, минимальное значение 227 — — флюктуации 179, 184 Статистическая независимость 177 Стационарная точка 140 Стационарность в широком смысле 179 — — — при рандомизации фазы 200 Стационарный случайный процесс 178 Стробирование 47, 110, 167—171 Суперпозиция 101 Сфероидальные функции 158, 171 Сходимость 30 — в L2 (Г) 55 — операторов 116—120 Счетный процесс 218 Тождественный оператор 104, 110, 136 Трансверсальный фильтр 60, 129, 252 Узкополосные процессы 190—194 287—297 Уолша функции 61 Уплотнение времени 215 Фильтр с конечной памятью 263 Фредгольма интегральное уравне ние 142, 147, 155, 157, 283, 284 Функционал 22—24 — билинейный 134 — квадратичный 134—139 — линейный 44—48, 63—68 — ошибки 226 Функциональное пространство 36 — — L2 (Г) 37 Функция неопределенности времен- ная 39—41, 96 — — радиолокационная 96—99 — — частотная 96, 97 — распределения 279 Фурье преобразование 20, 74—76, 108, 136 — ряды 24, 25, 57, 66 — ядро 79 Ханкеля преобразование 79 Характеристическая функция 176 — — гауссовых случайных величин 273 Характеристический полином 127 Хартли модулятор 91 Хемминга расстояние 28 Циклостационарность 198 Циклостационарные процессы 198— 218 Частота 75 — центральная 84, 191, 194 — мгновенная 84, 194 Частотная манипуляция 292 — функция неопределенности 96, 97 Чебышева полиномы 58, 60 Шварца неравенство 32, 38, 44, 133, 141 Широтно-импульсная модуляция 206 Шумовая добавка 281, 296 Эквивалентности условия 15 Эквивалентные множества 14 — — в L2 (Т) 50 Энергия сигнала 12, 20, 37, 138, 145—154, 280 Эрмита полиномы 61 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому переводу ................... 5 Предисловие автора ......................... 7 Глава 1. Введение .......................... 9 1.1. Системы обработки сигналов ................ 9 1.2. Множества сигналов ................... 11 Операции над множествами ................ 13 Разбиение и отношение эквивалентности .......... 14 1.3. Отображения и функционалы ................ 18 Преобразование Фурье .................. 20 Функционалы ....................... 22 Представление рядами ................... 23 Дуальность времени и частоты ............... 24 Список литературы ......................... 26 Глава 2. Пространство сигналов ................... 26 2.1. Метрические пространства ................. 26 2.2. Сходимость и непрерывность ................ 30 2.3. Линейные пространства . . . . .......... 33 Представление конечномерных векторов .......... 35 2.4. Нормированные линейные пространства . . . ....... 36 2.5. Пространства со скалярным произведением ......... 37 Представление элементов векторного пространства со ска- лярным произведением .................. 41 2.6. Линейные функционалы .................. 44 Список литературы .......................... 48 Глава 3. Дискретные представления сигналов ........... . . 48 3.1. Подпространства из L^T) .................. 48 Сигналы, расположенные вне М^ (теорема проектирования) 50 3.2. Полные ортонормальные системы . . .......... 54 3.3. Примеры полных ортонормальных систем ......... 57 Комплексные гармонические функции. ........... 57 Полиномы Лежандра ................... 58 Полиномы Чебышева ................... 58 Функции Лагерра ..................... 59 Функции Лежандра .................... 60 Функции Чебышева ................... 60 Функции Эрмита ... ................. 61 Функции Уолша ..................... 61 3.4. Оператор разложения сигнала в аппаратурной реализации 63 Список литературы .......................... 69 Глава 4. Интегральные представления сигналов ............ 69 4.1. Непрерывные представления ................ 69 4.2. Базисные и сопряженные базисные ядра ........... 70 4.3. Преобразования Фурье, Гильберта и другие интегральные преобразования ...................... 74 Преобразование Фурье .................. 74 Базисные ядра, зависящие от разности аргументов ..... 76 Базисные ядра, зависящие от произведения аргументов ... 79 4.4. Представление узкополосных сигналов .......... 82 Комплексная огибающая сигнала ............. 82 Полосовая фильтрация .................. 87 Радиолокационная функция неопределенности ....... 95 Список литературы .......................... 100 341 Г лава 5. Представление линейных операторов ........ . . ... 100 5.1. Введение ......................... 100 5.2. Линейные преобразования ................. 102 5.3. Представление линейных преобразовании, действующих в конечномерном пространстве. Представление с помощью век- гор-откликов ........................ 104 Представление последовательностью линейных функциона- лов ..... ....................... 105 Матричное представление .................. 105 5.4. Представление операторов, действующих в пространстве L2 (Г) .......................... 106 Смешанный базис ..................... 108 Классификация операторов ................ 109 5.5. Приближенное представление операторов, действующих в L2 (Т) ......................... 113 Приближение операторов по норме ............ 116 Компактные операторы . ................. 116 5.6. Реализация вырожденных операторов ............ 120 5.7. Спектральное представление операторов ........... 123 Собственные значения и собственные пространства ..... 124 Сопряженный оператор .................. 125 Спектральное представление нормальных вырожденных опера- торов . . ....................... 126 Спектральное представление нормальных компактных опе- раторов .......................... 128 Список литературы ......................... 131 Глава 6. Числовые характеристики сигналов ............. 131 6.1. Введение ......................... 131 Произведение длительности на полосу ........... 132 6.2. Квадратичные функционалы ................ 134 6.3. Некоторые характерные квадратичные функционалы во вре- менной и частотной областях ............... 137 6.4. Вариационная задача без ограничений ........... 139 Градиент линейного и квадратичного функционалов .... 140 6.5. Вариационная задача при наличии ограничений ....... 142 6.6. Некоторые примеры .................... 145 6.7. Область, занимаемая сигналом на плоскости время—частота 154 Обобщенный принцип неопределенности ........... 155 Межсимвольные искажения . . .............. 160 Синхронные импульсные последовательности, критерий Най- квиста, теорема отсчетов . . ............... 162 6.8. Приближенное число измерений пространства сигналов . . . 164 Стробирование и фильтрация ............... 167 Список литературы .......................... 172 Глава 7. Представления случайных сигналов ............. 173 7.1. Введение ......................... 173 7.2. Случайные величины и ожидания ............. 174 7.3. Случайные процессы ................... 178 Автокорреляционная и автоковариационная функция .... 178 7.4. Двумерные комплексные процессы ............. 180 Фильтрация случайных процессов ............ 181 Спектральная плотность мощности. ............ 182 7.5. Конечномерные представления случайного процесса ..... 184 Разложение Карунена—Лоэва ............... 185 7.6. Узкополосные процессы .................. 190 Комплексная огибающая процесса ............. 191 Полосовая фильтрация .................. 192 Список литературы ......................... 194 342 Глава 8. Модели случайных процессов . . ............. 195 8.1. Введение ......................... 195 8.2. Импульсные сигналы со случайной амплитудой и случайным временем прихода ..................... 195 Одиночный импульс ................... 196 Последовательность импульсов ............... 197 8.3. Процессы с циклической стационарностью ......... 198 Операция дискретизации. ..;............... 198 Рандомизация фазы .................... 200 Синхронизированные импульсы с амплитудной модуляцией 203 Теорема отсчетов ...................... 204 Спектральная плотность мощности АИМ сигнала ....... 205 8.4. Влияние кодирования на спектральную плотность. ..... 207 Дифференциальное двоичное кодирование ......... 208 Биполярное кодирование ................. 210 Парциальное кодирование ................. 212 8.5. АИМ сигналы с временной нестабильностью ........ 214 8.6. Сигналы с временным уплотнением ............ 215 8.7. Процессы, связанные с пуассоновскими .......... 218 Случайный фототелеграфный сигнал. ............ 220 Случайная последовательность импульсов ......... 222 Список 'литературы .......................... 224 Глава 9. Оптимальная фильтрация сигналов ............. 225 nnc 9.1. Введение ......................... ^^ 9.2. Минимизация среднего квадрата ошибки при оценке пара- метра .......................... 226 Принцип ортогональности ................ 227 9.3. Непрерывная оценка формы сигнала ............ 228 Влияние аддитивного шума ... ............ 229 Влияние мультипликативного шума ............ 235 Канал со случайными дисперсионными свойствами ..... 238 9.4. Оценка импульсных амплитуд ............... 242 Согласованный фильтр. .................. 243 Согласованный фильтр для импульсов со случайными искаже- ниями ... .......................... 246 Помехи за счет смежных импульсов ............ 249 9.5. Периодическая оценка формы сигнала ........... 250 9.6. Условие физической реализуемости ............. 254 Физически реализуемый фильтр с ограниченным усилением 260 Физически реализуемый согласованный фильтр . . .... 261 Фильтр с конечной памятью ... ............ 263 Список литературы ......................... 264 Глава 10. Обнаружение сигналов ................... ^.w 10.1. Введение ........................ 265 10.2. Критерий отношения правдоподобия . . ......... 266 10.3. Критерий Неймана—Пирсона ............... 271 10.4. Обнаружение бинарных сигналов в белом гауссовом шуме 273 Совместная плотность вероятности для гауссовых случайных величин. ......................... 274 Отношение правдоподобия для аддитивного гауссова шума 276 • Реализация приемника .................. 277 10.5. Двоичное обнаружение сигналов в окрашенном гауссовом шуме .......................... 282 Характеристика приемника ................ 284 10.6. Узкополосные сигналы — некогерентное обнаружение 287 Список литературы .......................... 297 Решения задач ........................... 298 Предметный указатель ......................... 337 343 6Ф2.4 Ф87 УДК 621.391.1 Френкс Л. Теория сигналов. Нью-Джерси, 1969 г. Пер. с англ., под ред. Д. Е. В а к м а н а . М., «Сов. радио», 1974, 344 с. Это первый в мировой литературе систематический курс теории сигналов. Рассматриваются различные способы пред- ставления и описания сигналов, а также свойства и характе- ристики оптимальных сигналов и оптимальных систем их обра- ботки. Охвачены как детерминистический, так и статисти- ческий аспекты теории сигналов. Последовательно развиваются концепции пространства сигналов как основного метода иссле- дования. Показывается глубокая связь, идейная общность соот- ветствующего математического аппарата и инженерных про- блем. Материал излагается строго и в то же время ясно. Книга полезна всем, кто интересуется теорией информа- ции и смежными вопросами. Особенно рекомендуется аспи- рантом, студентам, инженерам, научным работникам радиотех- нического и радиофизического профиля. Она также.будет полез- на математикам-прикладникам для ознакомления с физической и технической проблематикой. Табл. 3, рис. 158, назв. библ. 116. Редакция литературы по вопросам космической радиоэлектроники 30401-046 ф 046 (01)-74 (с Перевод на русский язык, «Советское радио», 1974 г. (С Пе ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ Современная теория сигналов является самостоятельной отраслью науки и учебной дисциплиной, смежной с рядом областей. К ним отно- сятся: общая теория линейных цепей и систем, теория информации, теория регулирования и управления, а также — в той мере, в которой теория сигналов затрагивает случайные процессы,—теория обнаруже- ния и оценки параметров, теория статистических решений и т. п. Воз- можно, именно обилие столь «солидных» соседей привело к парадок- сальному положению. Сегодня радиофизик или инженер-теоретик чер- пает сведения по основам теории сигналов из смежных дисциплин или собирает их по крохам из математической литературы. Так происходит потому, что, несмотря на большое число монографий по отдельным во- просам теории сигналов, до сих пор не было систематического курса самой теории. Предлагаемая советскому читателю книга Л. Френкса является первым в мировой литературе курсом теории сигналов. Математической основой теории сигналов является функциональ- ный анализ: важнейшая ее концепция опирается на понятие простран- ства сигналов, вполне соответствующее функциональному простран- ству в математической терминологии. Советские математики — А. Н. Колмогоров, Г. Е. Шилов, Н. И. Ахиезер, Л. А. Люстерник и др. — внесли огромный вклад в развитие функционального анализа; ссылки на их работы многократно встречаются в этой книге. Кроме того, первым, кто применил понятие пространства сигналов для иссле- дования проблемы помехоустойчивости, был В. А. Котельников (1946 г.) который, таким образом, заложил первый кирпич в здание теории сиг- налов. Характерная для функционального анализа геометризация наш- ла отражение и в других отечественных книгах по помехоустойчивости (хорошим примером служит книга А. А. Харкевича «Борьба с помеха- ми»). Но в целом понятия и методы функционального анализа еще не занимают должного места в исследованиях сигналов и способов их об- работки, особенно когда это делается на детерминистическом уровне. Книга Френкса представляет собой удивительный по однородности сплав математической теории, технических приложений и физически прозрачных разъяснении математических понятий. Вдумчивый инже- нер найдет в ней углубленную трактовку с единых позиций многих тех- нических проблем, иногда знакомых, но чаще новых и, главное, разных, столь непохожих, что, казалось бы, их нельзя исследовать одним способом. Он освоит достаточно полный _курс^ функционального .анали- за, не отрывась от техники, а рассматривая математические вопросы 5 сквозь призму технические задач. Математик-прикладник, если он прочтет эту книгу, получит представление об обширной области, где нужны его знания, сможет понимать и формулировать задачи на язы- ке техники и физики. Немаловажно также, что в книге рассмотрены как детерминисти- ческий, так и статистический аспекты теории сигналов. Это сближает позиции сторонников того и другого подхода, устраняет не всегда по- лезные споры. Впрочем, изложение статистических вопросов в этой книге представляется слишком лаконичным, требующим предваритель- ной подготовки. Наконец, нельзя не отметить и практическую часть книги. В много- численных примерах и хорошо подобранных упражнениях автор дает исчерпывающие решения сугубо инженерных задач, представляющих принципиальный интерес, но имеющих также непосредственное при- кладное значение. Трудно назвать более практические вопросы, чем, скажем, задача о заряде конденсатора с минимальной затратой энер- гии (см. гл. 6) или о коррекции частотной характеристики магнитной головки с учетом допуска на величину зазора (см. гл. 9). Невольно вспоминается крылатая фраза о том, что нет ничего более практиче- ского, чем по-настоящему хорошая теория. Как ясно из предисловия автора, книга возникла на основе курса лекций в системе повышения квалификации фирмы Белл и лекций для аспирантов. Ее отличает логическая стройность, последовательность и методическая отработанность, характерные для лучших учебных посо- бий. По-видимому, книга получит применение в качестве пособия для аспирантов радиотехнических и радиофизических специальностей, она будет полезна также ученым, инженерам и студентам старших курсов. Можно высказать уверенность, что книга окажет влияние и на учебные программы вузов. При переводе мы стремились максимально сохранить стиль автора и не вносили существенных изменений или добавлений. Лишь в отдель- ных случаях даны некоторые пояснения или уточнения в виде под- строчных примечаний редактора. Главы 1—6 (с решениями задач к ним) и предисловие автора переведены М. Р. Краевской, главы 7—10 и ре- шения соответствующих задач — Р. М. Седлецким. Мне приятно выразить искреннюю благодарность д-ру френксу за его внимание к русскому изданию, в частности, за предложение опубликовать решения задач. Ноябрь 1973 г. Д. ВАКМАН ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА У каждого, кто имеет отношение к изучению наблюдаемых свойств физических систем, возникает необходимость выбрать подходящий способ для представления и классификации сигналов. Если рас- сматривать сигналы сами по себе, абстрагируясь в той или иной мере от систем, в которых они возникают, мы сталкиваемся с необъятным многообразием возможных представлений и классификаций, причем успешность применения того или иного способа зависит главным обра- зом от того, как наблюдатель намеревается использовать информацию, содержащуюся в сигнале. Математический аппарат функционального анализа позволяет провести' достаточно полное и универсальное ис- следование таких способов. В этой книге сделана попытка рассмотреть соответствующие математические понятия, особенно относящиеся к ли- нейным пространствам, с тем чтобы связать воедино многие известные методы анализа сигналов и заложить основу для более общего и эф- фективного применения этих методов к техническим задачам. Озна- комление с указанным кругом идей дает углубленное понимание воп- роса, обусловленное геометрически наглядными представлениями для сигналов и методов их обработки. С помощью нескольких примеров, имеющихся в каждой главе, я стремился сделать акцент не столько на математической корректности, ^сколько на^физйческой интерпретации соответствующих понятий. В си- лумбего личного опыта все примеры имеют определенный «привкус» те- ории связи, но я надеюсь, что более широкое применение этих идей, на- пример в автоматическом управлении, биофизике или геофизике также окажется возможным. Далее, все примеры в той или иной мере идеали- зированы, чтобы не слишком усложнять решение. Выбор известных, часто классических примеров имеет в виду прояснить физическое со- держание конкретных математических понятий. Первые пять глав содержат последовательную, шаг за шагом, раз- работку понятия пространства сигналов, начиная с множеств и отноше- ний эквивалентности, затем переходя к метрическим пространствам и, наконец, к конечномерным и бесконечномерным линейным простран- ствам со скалярным произведением. Гл. 5, посвященная линейным опе- раторам, может рассматриваться как введение в более абстрактные раз- делы теории сигналов. Большая часть этой главы не существенна для понимания последующего материала. При чтении первых глав кни- ги читатель, вполне возможно, захочет обратиться к дополнительной литературе по математическим основам теории. Для этого я рекомендо- 7 вал бы легко читаемую книгу Дж. Ф. Симонса «Введение в топологию и новейший анализ» (New York, McCraw-Hill Book Company, 1963)*». Остальные пять глав содержат применения разработанного аппара- та к практическим инженерным задачам. Некоторые известные задачи, несомненно большой практической важности, пересмотрены с учетом концепции пространства сигналов. Начиная с главы 7, кроме детерми- нированных сигналов и систем, рассматриваются случайные сигналы. В качестве наиболее подходящего пособия по этим вопросам я пред- ложил бы книгу А. П. Папулиса «Вероятность, случайные величины и стохастические процессы» (New York, McCraw-Hill Book Company, 1965). Дополнительная библиография приведена в конце каждой главы. Естественно, я не пытался дать полный перечень статей и книг по те- ме. Приводятся лишь некоторые работы, которые представляются осо- бенно полезными для понимания главных положений или как отправ- ная точка для более полного исследования. Большая часть упражнений не сводится к формальному манипулированию с уравнениями. Они включены в текст для того, чтобы ввести дополнительные понятия или дать дополнительные примеры. Математический аппарат книги таков, что ее можно рекомендовать аспирантам, прослушавшим курс линейных систем (с упором на преобразование Фурье), а также вве- дение в теорию вероятностей и случайных величин. Хотя книга мо- жет использоваться в качестве дополнительного пособия в повышен- ном курсе теории связи, она первоначально предназначалась для са- мостоятельного курса по теории сигналов. Достаточно ясно, что такой курс является полезным дополнением к учебному плану при подготовке к углубленным курсам по теории систем, теории обнаружения и оце- нок, методу переменных состояния, оптимальному управлению и др. Не включенные в книгу разделы по обобщенным функциям, дискрет- ным преобразованиям сигналов, фильтрам Калмана, стохастической аппроксимации и теории информации, вероятно, были бы уместны здесь, однако они могут быть отнесены к последующим курсам обуче- ния. В основу книги положены конспекты лекций по различным кур- сам, прочитанным за последние несколько лет по программе усовер- шенствования в технике связи в Белл Телефон, и аспирантскому курсу в Колумбийском университете, прочитанному в 1965 году. Мое общение со слушателями при чтении этих курсов существенно повлияло на выбор и расположение материала, и я с благодарностью отмечаю пользу этих обсуждений. Я получал помощь и из многих других источников. В особенности мне приятно поблагодарить моих коллег по Белл Телефон докторов Аллена Герто, Френсиса С. Хилла и Роберта И. Маурера за их труд по рецензированию рукописи и за многочисленные существенные предложения по ее улучшению. Л. ФРЕНКС *> Из книг на русском языке можно рекомендовать: Л. А. Люстерник и В. И. Соболев «Элементы функционального анализа», М., «Наука», 1965. — Прим. ред. ВВЕДЕНИЕ 1.1. СИСТЕМЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Обычно под сигналом понимают величину, отражающую каким- либо образом состояние физической системы. В этом смысле естест- венно рассматривать сигнал как результат некоторых измерений, проводимых над физической системой в процессе ее наблюдения. Уст- ройство обработки преобразует исходный сигнал в форму, понятную и удобную для наблюдателя. Поскольку такое устройство в целом обычно очень сложно, его для удобства расчленяют на блоки, вы- полняющие отдельные, частные преобразования. На рис. 1.1 пред- ставлена подобная модель, достаточно общая для наших целей. Изо- браженные блоки соответствуют, вообще говоря, произвольному рас- членению всего процесса на составные части; однако большинство применяемых систем обработки содержат такие блоки, хотя иногда и в упрощенном виде. Первичный преобразователь является «датчи- ком», преобразующим исходную физическую величину х^ (механи- ческую, электрическую, оптическую, тепловую, химическую и т. д.) в другую физическую величину х^, более удобную для дальнейшей обработки. Выбор типа «датчика» зависит в значительной степени от совершенства имеющихся технических средств. Например, при сегодняшнем уровне техники для телевидения более удобны электрон- но-оптические первичные преобразователи, чем чисто оптические. Преобразовав исходные физические величины, скажем, в электри- ческие сигналы, мы можем произвести дальнейшее преобразование последних с тем, чтобы подчеркнуть наиболее важные свойства на- блюдаемой системы и ослабить, или полностью подавить, другие, не характеризующие ее состояние. Это и является в общем виде за- дачей кодирующего устройства. Назначение модулятора состоит в согласовании выходного сигнала х^ со свойствами канала передачи, имеющегося при измерениях на расстоянии. Например, если исполь- зуется волноводный канал, сигналом Ху обычно модулируют соответ- ствующее СВЧ колебание по амплитуде или по фазе. Демодулятор и декодирующее устройство служат для «расшифровки», они выпол- няют преобразования, обратные тем, которые производились на входе канала передачи. Пройдя демодулятор, декодирующее устройство и выходной преобразователь, сигнал приобретает желаемую струк- туру, удобную для наблюдателя. Читатель легко представит себе разнообразные реализации указанных блоков, если вспомнит извест- ные ему системы обработки сигналов. Примеры таких систем разно- образны—это телефония, телеметрия, локация, телеуправление, управление производственными процессами, телевидение, телегра- фия, медицинская диагностика, автоматическая классификация и рас- познавание образов, автоматическое обнаружение частиц и др. Сле- дует заметить, что показанная на рис. 1.1 система обработки может также быть блоком более сложной системы, например она может пред- ставлять собой цепь обратной связи, используемую для формирова- ния сигнала на автоматизированном заводе. Рис. 1.1. Система обработки сигналов. Мы стремились обратить внимание на большое разнообразие сиг- налов, встречающихся в различных системах. Теория сигналов долж- на быть достаточно общей, приспособленной для всех сигналов. Ис- ходя из этого, мы должны включить в нее методы аналитического представления сигналов, оценку числовых параметров сигналов и изу- чение преобразований сигналов, осуществляемых различными уст- ройствами обработки. Применительно к этому кругу вопросов мы ис- следуем далее ряд аспектов проблемы, наиболее поддающихся мате- матической трактовке. В предыдущих примерах сигналами обычно являются величины, изменяющиеся во времени. Удобно представлять сигнал как функцию времени даже в тех случаях, когда для этого приходится искусствен- но ввести временную зависимость. Оптическое изображение, напри- мер, следовало бы описать как функцию пространственных коорди- нат. Однако методы, применяемые для рассмотрения функций вре- мени, пригодны и для функций других аргументов. Рассмотрим способы представления временной функции х (/), позволяющие идентифицировать функции, различать их друг от дру- га. Хорошо знакомым и привычным способом является графическое изображение функции. График — это совокупность упорядоченных пар'значений {/, х (/)}, взятых'достаточно плотно и представленных в прямоугольной системе координат (рис. 1.2). 10 Заметим, что издавна существует двусмысленность в трактовке символа х (t). Строго говоря, х (t) — это просто величина, равная значению функции в момент времени /. Однако обычно мы обозна- чаем через х (t) также саму функцию, т. е. правило, по которому каж- дому значению / ставится в соответствие величина х. Когда это не может привести к недоразумениям, мы будем применять обозначения х или х (t) для функции в обоих смыслах. Некоторые авторы пред- почитают употреблять обозначение х (•) для функции, чтобы отличать ее от значения х (t). Люди привыкли к графическому представлению сигналов и соз- дали для такого их изображения разнообразные осциллографиче- ские приборы. Имея достаточный навык, человек может успешно из- Рис. 1.2. График сигнала. влекать информацию из радиолокационной картинки, сейсмограммы, кардиограммы и т. д. Но способ анализа сигналов человеком — это область, достаточно «таинственная», не алгоритмируемая и не подда- ющаяся ни количественному анализу,^ ни автоматизации. Для проек- тировщика автоматической системы обработки графическое пред- ставление сигнала непригодно просто потому, что оно состоит из слиш- ком большого числа точек. Представление же сигнала в виде отдель- ных точек графика, т. е. набора значений х в равноотстоящие моменты времени—это лишь один из простых способов представления сигналов, которые будут обсуждаться ниже. 1.2. МНОЖЕСТВА СИГНАЛОВ При графическом представлении сигналы изображаются сложной совокупностью точек, кривой, в простой области—в двумерном про- странстве. В отличие от этого мы введем далее более сложные прост- ранства — пространства сигналов, в которых каждый сигнал изо- бражается простейшим элементом—точкой [I]. В качестве первого шага в этом направлении рассмотрим сигнал как элемент множества S. Само множество определяется некоторым свойством Р, которое есть утверж- дение, справедливое для любого элемента множества. Условно это изображается так: S = {х; Р}, т. е. S есть множество всех х, для которых справедливо Р. Вводя дополнительное обозначение, можно записать Р => х ^ S, что означает: «Р верно для х, принадлежащего S». Определив свойство Р, мы задаем тем самым множество сигналов. 11 Обычно проще иметь дело со сравнительно «узким» множеством, ограниченным жестким условием. Конечно, когда ограничение слиш- ком жестко, множество содержит мало полезных сигналов. Выбор свойства Р — это сложная задача. Приведем несколько примеров, с которыми часто имеют дело в теории сигналов. Гармонические сигналы. Обозначим через S с множество всех гар- монических (синусоидальных) сигналов, т. е. S^=.{x, ^(0==Re[e°+'(6+2лfг)], —oot<:oo, к, О, f^R}. (1.1) Утверждение к, 9, f (:. R в (1.1) означает, что эти параметры могут произвольно выбираться из множества всех действительных чисел 7?. Поэтому 5с содержит гармонические колебания со всевозможными амплитудами, фазами и частотами. Часто свойство Р для конкретного множества можно указать в другой форме, например sc=[x•,d^l+^x(t)=0, -ооКг Сигналы с ограниченной энергией. О сигналах из множества (1.4) (°° 1 SE(U)= x; J^^K ——00 J (1.5) говорят, что их энергия ограничена величиной К, где К — положи- тельное вещественное число. Интеграл в (1.5) физически трактуют как энергию, подразумевая, что х (<) есть напряжение на нагрузоч- ном сопротивлении 1 ом. Интеграл по времени от квадрата этого на- пряжения есть полная энергия, выделяющаяся на нагрузке. Сигналы, ограниченной длительности. Пусть So (Т)—это мно- жество сигналов, которые равны нулю за пределами интервала вре- мени — Т < « Т: SD(T) = {х; х (t) = 0 для всех |<|>Г}. Заметим, что х 6 So (7\) ^ х 6 So (Т,), если 7\ > 7\. 12 (1.6) Сигналы с ограниченной полосой. Пусть SB (W) — это множество сигналов с полосой, ограниченной некоторой частотой 117, т. е. {°° \ 5д(Г)= х; X(f}= J x(t}e-Wtdt=0 для всех \f\>W , (1.7) —оо J где X(f) есть преобразование Фурье*' от функции времени x(t). Операции над множествами Имея дело с множествами сигналов, полезно применять две эле- ментарные операции теории множеств: объединение, определяемое как Si u 5г = {х; х е Si или х е Sz}, (I-B) Рис. 1.3. Графическое представление объединения и пересечения. двух множеств. и пересечение, определяемое как Si П S^= {х; хе Si ux^S,}. (1.9) Эти операции поясняются на рис. 1.3. Пример 1.1. Инженерам-связистам хорошо известно, что сигнал не может быть одновременно ограничен и по времени, и по полосе. Это ясно из того, что интеграл г J x^e-Wat может равняться нулю только в отдельных точках f (кроме случая, когда х (/) = 0 для всех |/| ^ Т). Следовательно, So(T)n Sa{W) = {0} = [х; x(t)=Q для всех t}. (1.10) Это может показаться тривиальным, но важно отличать множество {0} от пустого множества Q, которое не содержит каких-либо эле- ментов, в то время как множество {0} содержит один нулевой элемент. Упражнение 1.1. Рассмотреть счетное множество сигналов SA=[Xn(t), n=l,2,3,...}, *1 Мы будем, как часто делают, обозначать большой буквой преобразование Фурье от функции времени, обозначаемой соответствующей малой буквой. 13 где f яе-"^ для <>0, xn(t)=[ о для<<0, и указать сигналы из S^, принадлежащие множеству S, такому, что 5=5^П5л<(10)П5д(4). Упражнение 1.2. Описать множество сигналов, которое является пересе- чением 5д (Г) и 5д (К). Разбиение и отношение эквивалентности Операторы (J и П могут быть применены для получения разбие- ния [3, 4] множества на ряд непересекающихся подмножеств, как показано на рис. 1.4. Мы говорим, что совокупность множеств {Si, 5з, Sg, ...} образует разбиение множества S, если S == =Si U S^USg U....: Si П S, = Здляг^/. (1.11) При разбиении множества обыч- но получают более удобные под- множества. Так, можно разбить несчетное множество на конечное или счетное число подмножеств, что мы. проиллюстрируем даль- нейшими примерами. Разбиение можно произвести с помощью отношения эквивалент- ности, и часто это наиболее подхо- Рис. 1.4. Разбиение множества на ДЯЩИЙ способ получения разбие- непересекающиеся подмножества. НИЯ. Мы ГОВОрим,'ЧТО два ЭЛёмен- та эквивалентны, х ~ у, если от- ношение эквивалентности .—' определено для всех пар элементов и удовлетворяет следующим свойствам: а) х -~ х для любого х (рефлексивность), б) х ~ у =>- у ~ х (симметрия), (1-12) в) х ~ у и у -~ г => х ~ z (транзитивность). Каждое отношение эквивалентности естественным образом по- рождает разбиение множества на ряд подножеств 5.,, называемых множествами эквивалентности, причем Sx включает все элементы, эквивалентные х: Sx = {У\ У ~ х}, (1.13) где х — некоторый элемент исходного множества. Нетрудно показать также, что любое разбиение порождает отно- шение эквивалентности, так что эти две концепции приводят к одному и тому же объединению в непересекающиеся подмножества элементов, в некотором смысле эквивалентных друг другу. 14 Упражнение 1.3. Показать, что произвольное разбиение (1.11) порождает отношение эквивалентности; т. е. х ~ у в том и только в том случае, если хну содержатся в одном подмножестве, удовлетворяющем (1.12), так что отношение эквивалентности в нем имеет место. Обратно, показать, что произвольное отноше- ние эквивалентности (1.12) порождает разбиение, т. е. различные непересекаю- щиеся подмножества, определяемые как Sy: =={(/; у ~ х}, причем их объеди- нение есть исходное множество согласно (1.11). Пример 1.2. Равенство — это отношение эквивалентности, но мно- жества эквивалентности в этом случае содержат только отдельные элементы. Пример 1.3. Взяв пример, известный из теории чисел, рассмотрим разбиение множества всех целых чисел [п; п = 0, ±1, ±2, ...} на ко- нечное число т множеств эквивалентности: S, = {п; п = рт + i} t == О, 1, 2, ... , т — 1, (1.14) где р — любое число. Соответствующее отношение эквивалентности*) n-i ~ rag => «i — «а == рт =>- n-i==n^(mod т) называется конгруентностью (сравнимостью) по модулю т. Так, на- пример, разбиение множества всех целых чисел на подмножества, кон- груентные по модулю 2, приводит к разбиению на четные и нечетные числа. Усилитель OspQHttvu- с ^есконечньм /ЛРЛЬ О/псчет Ограниченньш сигнал -1 -. ^ Рис. 1.5. Двоичная система передачи сигналов. Пример 1.4. Если мы исключим подмножество сигналов 5у {х; х (ty) == 0}, то отношение эквивалентности х ~ у => х (Qy (Q > О задает разбиение всех относительных сигналов на два подмножества эквивалентности S^= {x: x(Q>0}, (1.15) S- == {х; х (Q < 0}. *> -4= может быть прочитано как «порождается». 18 Это разбиение широко используется в двоичных системах передачи сигналов, причем одно значение двоичной величины соответствует всем сигналам из S+, а другое — веем сигналам из S-. На рис. 1.5 приведен типичный пример. Хотя передаваемые сигна- лы могут быть только двух типов, в множество принимаемых сигналов входят сигналы, разнообразные по форме из-за шума и других помех, вносимых в канал передачи. Наблюдатель судит о том, какой сигнал из разбиения (1.15) был передан по сигналу на выходе ограничителя. Не имеет значения, к какому из множеств S+ или S_ отнести сигналы из подмножества So, так как вероятность их появления при приеме ничтожна. Прие.чник У нно житель Передатчик — /<а.нал передали 7• \ ^- Т t о \-^ t \^Ю yW "\ Огорнь/й сигнал ПереЭаваемьш о ^ сигнал: х или х ' г Т' t Рис. 1.6. Двоичная система передачи сигналов, использующая опорный сиг- нал при приеме. Пример 1.5. Другой тип устройства для приема двоичных сигналов, обладающий большей помехоустойчивостью, использует опорный сиг- нал (р для разбиения принятых сигналов на два подмножества. Разби- ение на подмножества Si и Sy, соответствующее принятию решения о том, какой из сигналов, х-^ или х^, был передан, выполняется на при- нятых сигналах у по условию ( г 1 Si= \y; \y(t)v(t}dtr\ где г — наперед заданный порог. Приемное устройство в этом случае содержит: умножитель, интегратор, прерыватель и пороговое устрой- ство, как показано на рис. 1.6. Вопросы оптимизации опорного сигна- ла и величины порога подробно обсуждаются в гл. 10. Пример 1.6. Еще одна возможность различения сигналов состоит в подсчете числа пересечений нулевого уровня за определенный проме- жуток времени. Мы задаем разбиение 1в ^п = {х', х (0 имеет п несовпадающих нулей на заданном интервале}, (1.17) где га = О, 1, 2, ... Можно также получить конечное разбиение 5=SoUSiUS2U...S^_,US^+, если условиться, что подмножество S//+ определено как множество сигналов, имеющих N или более нулей на заданном интервале. Передатчик fit) Каналперес/ачи Ограни ч и т ель ^--^^ Счетчик \^\ 4^ ffiti Счетчик числа, пересечений -л Передаваемь/е сигналы . Х..Ю • У (t) Рис. 1.7. Система передачи сигналов, использующая пересечения нулевого уровня. Реализация (N + ^-буквенного алфавита, соответствующего описанному разбиению, для системы передачи сигналов приведена на рис. 1.7.j Пример 1.7. Если задана система функций времени {(рг, i = 1, 2, .... n}, то отношение эквивалентности может быть определено в виде 00 00 х~у^ J x(t}^i(t)dt= ^y(t)(ft(t)dt (1.18) ——00 —00 Для всех г = 1,2, ..., п. Такое отношение эквивалентности есть обоб- щение конгруентности (см. пример 1.3), где мы имели х -~ у =^- х = у (mod М) => х — у ^ М. 17 Теперь М есть множество функции, определяемых условием ( °°' \ М=\г; J z(t)Vi(t)dt=0, i=\, 2,.... га. (1.19) Каждое из полученных таким образом множеств эквивалентности мо- жет быть задано через свой представительный элемент х, в том смысле, что • х\ == \х; х=х-{-г}, л"; х • (1.20) где г СМ и x(f)= S ^^^). &== ! Если функции {(рг; г =- 1, 2, ...,»} подчинены некоторым дополнитель- ным условиям, мы получаем взаимно-однозначное соответствие между множеством эквивалентности Sx и упорядоченной последователь- ностью вещественных чисел [а^, а^ ,..., а^}, называемой га-мерной вектор-строкой. Таким образом, определенная в этом примере сово- купность множеств эквивалентности получает представление через множество «-мерных вектор-строк, относящихся, как мы увидим далее, к га-мерному векторному пространству. Этот пример имеет фундамен- тальное значение для дальнейшего. Он приводит к часто исполь- зуемому способу представления сигналов, имеющему простую матема- тическую форму. Будучи весьма важным, этот способ требует глубо- кого понимания метрических и линейных пространств, которые мы изучим в последующих главах. 1.3. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИОНАЛЫ В предыдущем параграфе мы ввели с помощью отношений экви- валентности непересекающиеся множества для описания свойств сигна- лов. Другой возмджный_и_существеннд_более общий способ установле- ния отношения между элементами состоит в отображении элементов 'одного~множества на элементы другого множества. Отображение — это правило, по которому элементам одного множества, скажем Si, ставятся в соответствие элементы другого множества, скажем 5з. Символически отображение обозначается как /: 51->-5г,что является компактной формой следующего выражения: y=f{x); ^6 Si и г/6 So. (1.21) Элемент у в 5д называется образом х при отображении /. Множество Si является областью определения отображения, а входящее в 5з мно- жество всех образов элементов из 5i является областью изображений. Если область изображений f совпадает с 5g, то говорят, что f есть отоб- ражение Si на 5г. Если же в 5г содержатся элементы, которые не явля- ются изображениями элементов 5i, то говорят об отображении б 5г. Отображение всегда однозначно в том смысле, что для каждого элемента Si существует только один образ (по определению). Если различным 18 элементам из 5i соответствуют различные изображения в 5g, то ото- бражение взаимно-однозначно. Если отображение / взаимно-однозначно и является отображением типа на, то можно говорить об отображении 5g на 5i, /~1: 5з —>- 5i, где /~1 — обратное отображение. В этом слу- чае существует взаимно-однозначное соответствие между элементами из 5i и 5г. Часто удобно применять составные отображения, которые полу- чаются в результате двух или нескольких последовательных отобра- жений. На рис. 1.8 показано отображение /: 5i ->- Sg, полученное по- средством двух отображений: /i : 5i ->• 5 2 и /з : Sg —>- 5з. В этом случае мы пишем / == /д/i, что означает для всех х (^ 5i / : 5i -»- 5з => г = /, (у) = /J/i (х)] = / (х). f^f. Рис. 1.8. Составное отображение, состоящее из двух отображений. (1.22) Чтобы проиллюстрировать идею составного отображения, предста- вим преобразование, производимое устройством примера 1.4, в виде двух отображений: 1) отображение множества 5 = {х; х (/о) =?= 0}, задаваемого отно- шением эквивалентности (1.15), h:S^{S+, 5.}, причем f5,., если x(to)>0, /, 1. | Г' \-U/ -^ ? ,^ ПГ)\ ^kecnn^oXO; (L23) причем 2) отображения множеств эквивалентности в числовые значения h: {5+, S,}-> {+!,-!}, MS+)- +1;M5-)=-1. Результирующее отображение есть просто ^ J+1 для ^(/о)>0, (1.24) —1 для x(fo)<0- (1.25) Здесь мы использовали тот факт, что отношение эквивалентности (1.12) можно интерпретировать как преобразование (в общем случае, не взаимно-однозначное) элементов в их множества эквивалентности 19 (1.13). Другими словами, любое отношение эквивалентности может быть выражено как отображенйе"7^~такоё, что ^ : М ^ {^} ^ ^ W == 5„ (1.26) Вероятно, более интересен тот факт, что любое отображение порождает отдощение^эквивадентности. Для произвольного отображенияТТ^-»- -»• Sg имеет~место отношение эквивалентности x^x,<=f(x,)=f(x,). (1.27) Например, пусть / есть отображение вида 00 f(x)= J x^Ddt. S '- множество сигналов конечной, энергии. 5р(Ю -множество ' эквивалентности. О К К К. S-положи/пель- "г 1 г ная полуось Рис. 1.9. Отображение сигналов в действительные числа. Тогда мы имеем отображение множества сигналов на действительную положительную полуось в соответствии с их энергией, как показано на рис. 1.9. Отношение эквивалентности, соответствующее f, разби- вает Si на подмножества сигналов с равной энергией. Преобразование Фурье Преобразование Фурье является отображением, широко применяе- мым в теории сигналов. Если Si — множество сигналов с ограничен- ной энергией I 00 1 Si= \х; ^ ^(Od/<°° , { ——00 j то преобразование Фурье f : Si ->- Sa — есть отображение в другое множество функций с интегрируемым квадратом* ) *' Интегрируемость х2 (t) является достаточным, но не необходимым услови- ем существования преобразования Фурье Х (f) [2] 20 s^ х; S |Х(/)|^/<оо . I ——00 J Отображение задается следующим образом: 00 ^:Si-^S2=^X(f)= ^ x^e-i^df. (1.28) Строго говоря, это отображение не взаимно-однозначное. Могут су- ществовать две или более функций времени, таких, как показано на рис. 1.10, для которых преобразование Фурье одинаково. x^t)=^(t);t^^ x^(t)=a; t Рис. 1.10. Две функции времени, имеющие одно и то же преобразование Фурье. Ясно, что ^ — это отображение «многих в одно». Множество эк- вивалентности, определяемое преобразованием У, содержит функции времени, отличающиеся лишь на конечном множестве точек в любом интервале времени. Такие разрывные сигналы не имеют практического значения, и мы вправе рассматривать каждое множество эквивалент- ности как один сигнал. Эта эквивалентность означает равенство почти всюду, и мы не будем различать сигналы и соответствующие им мно- жества эквивалентности, определяемые равенством «почти всюду». Исходя из этого, можно считать Цр взаимно-однозначным отображе- нием «на». Обратное отображение задается соотношением (1.29) Соотношения (1.28) и (1.29), взятые вместе, называются паройпреоб- разований Фурье. Упражнение 1.4. Показать, что для любого отображения f, соотношение (1.27) действительно описывает отношение эквивалентности, причем множества эквивалентности задаются в виде Sx= (У; Щ- Ж). Упражнение 1.5. Рассмотреть множества эквивалентности, соответствую- щие отображению F, задаваемому как F (х) = | Х (Л|2. Показать на частных примерах, что в противоположность отображению У (1.28) элементы множества эквивалентности могут быть существенно различными. 21 Указание: X (f) и X (f)e1<-^ — это преобразования Фурье элементов из одного множества эквивалентности, причем 6 (/) — произвольная фаза. Упражнение 1.6. Показать, что для произвольного сигнала с ограниченной энергией справедливо тождество ^(t)dt= J \X(f}\^df. Функционалы Преобразование достаточно общих множеств сигналов в числовые значения особенно важно потому, что физические измерения сигналов дают некоторые их числовые характеристики. Отображение произ- вольного множества в множество чисел часто называют функцией*^. —'——'——^—«^ "^.^.ж—э« -г о f-^ZT зт t Интерполирующий импульс Приближенное представление произвольного сигнала, суммой интррполируюших импульсов Рис. 1.11. Разложение сигнала по смещенным во времени базисным функ- циям. Но в наших приложениях исходными элементами часто являются функции в обычном смысле (т. е. отображения одного множества чисел в другое множество чисел, например: функции времени, функции ча- стоты и т. д.). Во избежание недоразумений мы будем, как принято, называть отображения множества обычных функций в числовые зна- чения функционалами. Таким образом, под функционалом понимают «функцию от функции». Здесь нужно уточнить, что мы понимаем под числами. Разумно было бы использовать только множество действительных чисел R; однако для удобства анализа мы расширяем это множество, включив в него множество комплексных чисел С, хотя это не имеет прямой связи с физическими измерениями. Мы возвратимся к «реальному», заметив, что каждому комплексному числу могут быть сопоставлены два вещественных числа. Имея это в виду, приведем несколько типич- ных функционалов: *' Некоторые авторы используют термины «отображение» и «функция» как синонимы, но общепринято называть функциями только отображения, опи- санные выше. 22 /iM= S x(t)^(t)dt, —со 00 М^)= S ^W^Wdt, ——00 00 Q ,2л fs{x)= S x{t)t-^Qtdt=X ——00 00 f,(x)=-- S x(t)6(t-to}di=x(t»), (L30) ——00 00 f,(x)^ S ^)о(")(^-^=-(-1)"^ , ^"t=t, <2 ~Л\1П x(rt|"d/ . Г'2 /б(х)=тах{|х(0[; ^^<у=Нт \\ |x(/)|"d/ п —A rv-i 1 " Не случайно все приведенные функционалы выражаются интегра- лами; такая форма функционала наиболее удобна и применяется даже тогда, когда содержит особые (обобщенные) функции, такие, как 6-функция в ^ и fs, требующие специального определения, чтобы функционал имел смысл. Представление рядами В дальнейшем нам понадобятся (см. гл. 3) приближенные пред- ставления сигналов в виде рядов, которые можно рассматривать как счетную последовательность функционалов {/ь; k == 1, 2, ...}*' x(t)w^f^(x)^(t); t^T, (1.31) k здесь {(ph; k -= 1, 2, ...} —заданное множество сигналов, выбранных независимо от аппроксимируемого сигнала х (f). Знак 'w указывает на то, что ряд дает приближенное представление. В качестве известного примера рассмотрим представление произ- вольного сигнала временным рядом, т. е. его разложение по функциям, представляющим собой некоторый импульс при разных его смещениях по оси времени. Импульс ср (/) называется интерполирующим, если он удовлетворяет условиям ср (0) = 1 и (р (kx) == 0 для k =^= О, как показано на рис. 1.11. Разложение по таким функциям достаточно наглядно: f^ в (1.31) есть значения сигнала в моменты времени kx, т. е. fk(x)=x(kx); k^O, ±1, ±2,... (1.32) ' Символ Т в (1.31) и далее — это не число, а интервал действительной оси, на котором аппроксимация рядом правомерна. 23 x(t)w^x(k'c)(p(t—kt}; k -00 «•< 00. (1.33) Ясно, что такое представление дает точное равенство в моменты t == kx и, если х (t) изменяется не слишком быстро (или, если t до- статочно мало), то при подходящем интерполирующем импульсе ошиб- ка интерполяции рядом на участках между отсчетами получается до- пустимой. Значительно более сильное утверждение справедливо для сигналов с ограниченной полосой, т. е. принадлежащих множеству S в(^У) (1.7). Согласно известной теореме отсчетов*' [1.2] для любого л; 65д(1У) и любого t мы имеем x(t)= 2 6= —с ' k \ sin'2nW[t—(k/2W)] ^2WJ 2nW[t—(k/2W)] —oo<:t как в (1.34), то говорят, что выборки делаются с частотой Найкеиста. В этом случае сигнал имеет единственное и точ- ное представление рядом с интерполирующим импульсом, указанным в (1.34). Другим хорошо известным способом представления сигналов ря- дом, пригодным для периодических сигналов и сигналов конечной дли- тельности, является разложенцев ряд Фурье. Если л; 6 So (Т) см. (1.6), то мы имеем" . nmt x(t}= 2 ^е^; |/|<Т, m=—oo где коэффициенты разложения определяются функционалами Inmt (1.35) fm W = С^ == 2Г x(t)e т df, m=0, ± 1, ±2,... (1.36) Дуальность времени и частоты В качестве последнего замечания об отображениях и функционалах напомним о взаимно-однозначном соответствии множества функций с интегрируемым квадратом и их преобразований Фурье; отметим так- же существенно симметричную природу прямого и обратного преобра- зования Фурье. Вследствие этого, каждому отношению временных функций соответствует дуальное отношение для их Фурье-преобразо- *> В советской литературе она обычно называется теоремой Котельникова.— Прим. ред. **i Выражение (1.35) является также разложением для сигналов из 5д (IT) см. (1.3)]. В этом случае — оо < t < оо, 24 ваний. Это свойство частотно-временной дуальности [5], проявляемое функциями времени и их преобразованиями Фурье, часто используется в теории сигналов; в последующих главах будут даны примеры. При решении любой задачи из теории сигналов мы всегда получаем также решение дуальной задачи, которая может иметь или не иметь практи- ческого значения. Простой пример результатов, получаемых таким образом, дает рассмотрение разложения сигнала во временной ряд и ряд Фурье. Из (1.35) и (1.36) мы получаем дуальное соотношение X^SD(T}^X(f)= 1 ^^уш2пТ[1-(т/2Т)] ст=-оо [2Т) 2nT[f-(m/2T)] ' ' \ ' В то же время дуальным к (1.34) является - /г • ,2W, , Ttftf W • где W . nkf х X(f)e ^ df. (1.38) Упражнение 1.7. Рассмотреть различные возможности интерпретации выражения «приблизительно равно» (;s) как отношения эквивалентности. Ис- пользовано ли очевидное отношение эквивалентности в (1.31)? Если да, тоопи- шите соответствующее множество эквивалентности. Упражнение 1.8. Найти преобразовано Фурье от x(t)=- -00 ^ t <^ 00 . Упражнение 1.9. Используя теорему отсчетов (1.34), показать, что сигна- лы из множества периодических сигналов с ограниченной полосой можно точно представить конечным множеством функционалов. В частности, если Т — период х (t), и х (t) не содержит частот выше W == N/T, то x(t) 2N S / IT IT —— 00 < / < 00 , где Указание. Рассматривая разложение х (t) во временной ряд и в ряд Фурье, мы имеем: 2W со •«)=S S ;=о <;=—( / IT {2N+1 +kT x{t)= T N i S Jx (s)e m = — N T ds. 25 Объединение этих выражений и последующие преобразования приводят к желаемому результату. Упражнение 1.10. Доказать теорему отсчетов (1.34) для случая сигналов с конечной энергией и ограниченной полосой. Указание. Рассмотреть разложение в ряд Фурье преобразования Фурье. Упражнение 1.11. Рассмотреть отображение /, которое отображает реаль- ные сигналы в бесконечную последовательность вещественных чисел согласно правилу: Ж = х (k-c); k = 0, ±1, ±2, .... Известно полезное соотношение, содержащее преобразование Фурье пары элементов из множества эквивалентности, получаемого с помощью этого отобра- жения. Показать, что если х и у — элементы одного множества эквивалентно- сти, т. е. если у них равны отсчетные значения, то S m= — Х f- S Y(f- ——ОС R называется метрикой, если он обладает следующими свойствами: ————— а) d (х, у) ^ 0 и d (х, у) = 0, только если х -=- у, б) d (х, у)= d (у, х) (симметрия), (2.1) в) d (х, г) ^ d (х, у) + d (у, г) (неравенство треугольника). Эти требования являются просто формализацией свойств, инту- итивно связываемых с расстоянием: а) расстояние — это неотрицатель- ная величина, б) расстояние от х до у равно расстоянию от у до х, в) длина одной стороны треугольника не может превосходить сумму длин двух других (здесь мы геометрически представляем элементы х, у и г как вершины треугольника). Множество 9С с метрикой d называется метрическим пространст- вом^!, d). Следует заметить, что две разные метрики, определенные нТодгюмТГТом же множестве элементов, образуют разные метрические пространства. Пример 2.1. Действительная ось R, включающая множество всех действительных чисел, есть метрическое пространство с метрикой d(x,y) =\х-у ;x,y^R. (2.2) Это обычная метрика на R. Полезно представлять себе другие метри- ческие пространства как обобщение этого знакомого примера. Пример 2.2. На базе множества R11 упорядоченных последователь- ностей п действительных чисел (вектор-строк из n чисел) можно обра- зовать различные метрические пространства. Если мы положим х =- = {cq, 0:2, ..., к„} и у == {pi, рз, ..., р„}, то следующие функционалы дают примеры возможных метрик: a) d,(x, у)= S «г-М, d^(x, y)= а. (2.3) п}. ds(x, г/)=тах{|к,—р, Эти метрики могут быть использованы и на множестве С" после- довательностей комплексных п чисел; при этом модуль комплексного числа выражается как корень квадратный из суммы квадратов дей- 27 ствительной и мнимой частей, т. е. если а = а + jb, то | к | = (а2 + Ч-^2)'72. Все определения также могут быть распространены на беско- нечные последовательности; тогда задаются метрики на R00 и С°°. В этом случае в метрике (2.3 в) maximum заменяется на supremum — точную верхнюю грань множества {|сх; — р; |; i == 1,2, ...} и записы- вается так: da (х, у) == sup {|йг — |3J; f == 1, 2, ...}. Метрика (2.36) соответствует обычному пониманию расстояния в трех- мерном пространстве и называется евклидовой метрикой. Информационные разряды si C? •-3 С:N^ 1 Ч °S л? <*, ^f 000 0 x! 0 0 1 1 "3 0 1 0 1 Ху. 0 1 1 0 х: 1 0 0 1 ^s 1 0 1 0 XJ 1 1 0 0 ^ 1 1 1 \ 1 7 л^^+л^+си}) тос[2 Рис. 2.1. Система кодовых слов с ми- нимальным расстоянием, равным 2. Инфор^а.и.ион- Проверок' и h If НЫР разряды разряды ' OL ^ л' S °^ я? i ^ ч- х, :• 0 о о 0 000 ^ : о о о 1 1 1 1 ^J : о о 1 о 0 1 1 ^: о о 1 1 1 0 0 xs : о 1 о о 7 0 1 Хц'. 1111 ill oi.j=foif +а^ +а^) mod 2, vL^fs.i+d.J^dit.) mod 2, я •г=(а^ +o(j+a^ mod. 1 Рис. 2.2. Система кодовых слов с ми- нимальным расстоянием, равным 3. Пример 2.3. В системах связи, в которых информация передается в виде двоичных символов (0 или 1), сообщение обычно является не- которой последовательностью кодовых слов фиксированной длины, скажем, га-значных. Кодовые слова—это наборы п чисел, принимающих значение 0 или 1. Из множества 2" различных слов может быть обра- зовано метрическое пространство путем задания расстояния между любой парой слов, равного числу несовпадающих символов. Это эк- вивалентно суммированию по модулю 2 символов во всех позициях d{x, г/)= 1 [(a;+p,)mod2]. (2.4) i= 1 Эта метрика называется расстоянием по Хеммингу для двоичных слов и употребляется для изучения кодов с обнаружением ошибок и коррек- тирующих кодов [1, 2]. Пример кода с обнаружением ошибок показан на рис. 2.1, где даны восемь кодовых слов, выбранных из шестнадцати возможных таким образом, чтобы минимальное расстояние между лю- 28 бой парой слов было равно 2. Это достигается путем добавления к трем информационным разрядам разряда проверки на четность, так чтобы каждое слово содержало четное число единиц. Поскольку минимальное расстояние между словами равно 2, появление ошибки в одном раз- ряде может быть обнаружено. Добавив еще разряды проверки на четность, получим множество кодовых слов с минимальным расстоянием, равным 3. В этом случае получается корректирующий код, так как появление одной ошибки при передаче приводит к получению кода, который ближе к правиль- ному коду, чем ко всем остальным. Пример семиразрядного кода, име- ющего четыре информационных разряда и три разряда проверки на четность, приведен на рис. 2.2. Пример 2.4. Для произвольного множества действительных или комплексных функций времени, заданных на определенном интервале Т =• {i; а ^ / ^ Ь}, могут быть определены метрики, аналогичные примеру 2.2: б) rig (X, у) в) ds (x, у) (2.5) sup {\x(t)-y(t), Для метрик u?i и ds характерна известная трудность. Если х и у отличаются только в одной точке, например в точке /о> то х (ty) ^= ^У (^о)> ^0 6 Т, но d (х, у) = 0 (см. рис. 1.10). Мы преодолеем эту труд- ность, если будем трактовать функции, отличающиеся лишь на счетном множестве точек интервала Т, как одну точку метрического простран- ства. В этом случае мы говорим, что х и у равны почти всюду. Пример 2.5. Для произвольного множества SC метрика может быть определена с помощью функции d, такой, что f0 для х = у, а(х, у)= . , (2.6) \ ' -/ [I для х=/=у. ' Хотя эта метрика тривиальна, она иногда полезна для доказательства общих теорем и для построения противоречащих примеров (поскольку она применима к любому множеству). Упражнение 2.1 Если условия, определяющие метрику (2.1), сделать менее жесткими, т. е. а) d(x, у} > 0 и d {х, у) = 0, если х = у, б) d (х. у)= d (у, х), в) d (х, г) < d (х, у) + d (у, г), то функционал d (х, у), определенный на множестве дС', называется псевдо- метрикой [З]. Псевдометрика отличается от метрики только', тем, что расстояние может быть равно нулю для х =f= у. Показать, что в ЗС имет место отношение эквивалентности, обусловленное равенством нулю псевдометрики: х ~ у =^ d {х, у} = 0. Показать, что множество множеств эквивалентности, порождаемых этим отно- шением эквивалентности, можно преобразовать в метрическое пространство. Объяснить смысл отношения «равны почти всюду». 29 Упражнение 2.2. Пусть fi: х -> R — произвольный функционал, опреде- ленный на 37. Показать, что d (х. у) -= | f (х) - h (У) I , d) —t d (х, у) есть псевдометрика. Упражнение 2.3. Пусть (SC', d) — метрическое пространство и пусть l+d(x,y) ; х, y^SC Показать, что (SC', d) есть метрическое пространство. Какими существенными свойствами оно обладает? 2.2. СХОДИМОСТЬ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ В задачах анализа мы часто имеем дело с бесконечными последо- вательностями элементов [х^, х^, Ху, ...}, выбранными из некоторого множества ЗС'. Понятие расстояния в метрическом пространстве поз- воляет анализировать важное свойство последовательностей, назы- ваемое сходимостью. Мы говорим, что последовательность {л"п; л",; G SC, и-= 1, 2, ...} сходится, если существует такое х (: SC, что для любого е >• О имеется целое положительное «д, такое, что п > По =»• d (х„, х) < е. Это часто записывают так: lim х^ = х. П-^со Интуитивно ясно, что соседние точки в сходящейся последователь- ности в конце концов становятся все ближе и ближе друг к другу с уве- личением п. Любая последовательность, обладающая этим свойством, называется последовательностью Коши. Точнее, если для любого е > 0 существует положительное целое п.у, такое, что т, п >• Пц => =»• d (х^, х^) <: е, то последовательность называется последователь- ностью Коши. Из неравенства треугольника d (Хц, Хт) < d (д-„, х) + d (х, х^) следует, что сходящаяся последовательность является последователь- ностью Коши. С другой стороны, последовательность Коши может не быть сходящейся просто потому, что элемент х, к которому в пределе стремится последовательность, может не принадлежать множеству SE. Пример последовательности, имеющей предел, лежащий за пределами множества, приведен ниже. Некоторые метрические пространства об- ладают удобным свойством, состоящим в том, что в них все последова- тельности Коши являются сходящимися. Такие метрические простран- ства называются полными.. Пример 2.6. Пусть С [Г] — множество непрерывных действитель- ных функций времени, определенных на интервале Т = {t; а ^ t ^ sSS b}, и пусть на этом множестве определена метрика вида (2.5 б). Можно показать путем построения несходящейся последовательности Коши (рис. 2.3), что такое метрическое пространство—не полное. зо Положив а = — 1, Ь = + 1, имеем согласно рис. 2.3 Г 1 -jl/2 dz {Хт, ^) = | S I x'» ^~~x^^ W I2 dt | -= 3/г для т ~> п. (2.7) Следовательно, последовательность функций {х^ (/), х^ (t), ...} есть последовательность Коши, но в пределе она стремится к разрывной функции sign t = tl t\ .Этот противоречащий пример показывает, что пространство (С [Т], dy) — не полное. х'+<- Г"у Л л. w —^—г /f-J - о-1 .'/v^= v^= +1 -f 1nt &ля t<- t1 0.пя \t\ ^ п1~гГ ^^!t)--+1 для i>^j- Рис. 2.3. Последовательность Коши непрерывных функций. Если на множестве С [Т\ определена метрика (2.5 в), то последо- вательность функций, показанная на рис. 2.3, не является последова- тельностью Коши, так как dy (х^, Хп} = sup {| х^ (t) — Хп (t) |; —leS^+l}^—-^ для т>п. (2.8) in Следовательно, эта последовательность не может служить опроверга- ющим примером, доказывающим, что пространство (С [Т], dy) — не полное. Мы можем убедиться, что пространство (С [Т], dy) полное, путем следующих рассуждении. Пусть {х^, п .-= 1, 2, 3, ...} — некото- рая последовательность Коши; тогда для любого е >• 0 имеем d3 (Xm, X^ = SUp{ (О (О 1; t 6 Т} < е для достаточно больших п и т. Но это означает, что \х^ (f) —х^ {t) | <: •< е для любого / (= Т. Следовательно, {х^ (/)}—это последователь- ность Коши в R для любого / и она сходится к пределу, который мы назовем х (<). Мы можем сказать, что \х^ (t)—х (t) <:е/3, для доста- точно большого п. Теперь нужно показать, что х есть непрерывная функция /, т. е. что для любого е >• 0 и любого fy 6 Т можно найти та- кое 6 > 0, что х (t) — х (Q | < в, если 11 — /о | < б. (2.9) 31 Поскольку х^ — непрерывная функция, можно найти такое б, для которого | х„ (/) — A"n(^o) I < ^З; тогда --- lx(t)-x(to)'\=[[x(t)-x,(t)]+[x„(t)~x,(to)]+ +[Xn(fo)-x(to)]\^\x(t)-x,(t)\+\x,(t)-x,{to)\+ +К(^)-хМ<е. Отсюда следует, что х (t) — непрерывная функция для любого to 6 Т, (С [Т], dy) — полное метрическое пространство. Одно из важных следствий введения метрических пространств состоит в том, что понятие непрерывности, обсуждавшееся выше, мо- жет быть обобщено применительно к произвольному отображению одного метрического пространства в другое. Пусть/ : (Д7, 4i) —>- (^, ^з). Мы говорим, что отображение / непрерывно в окрестности Хц, если для любого е > О существует б > 0 такое, что d, (х, х,) < 6 =»- d^ (у, г/о) < е; х 6 9С и у 6 ^, (2.10) где у == f (х) и г/о==/ (.Ха). Если / непрерывно во всех точках области определения, тогда говорят, что отображение / непрерывно. Пример 2.7. Для иллюстрации этого более общего понятия не- прерывности рассмотрим отображение пространства действительных функций времени в R, т. е. функционал. Для пространства функций времени используем метрику d.^ из (2.5), а для R — обычную метрику (2.2). Отображение задается следующим образом: 00 /ф(^)= J x(f)^(t)df. ' (2.11) ——00 Для любого Хц имеем 00 d(f^(x), Лр(^о))=1^)-М^)1= S [x(t)-x,(t)}fp(t)dt . (2.12) ——00 Применяя неравенство Шварца (см. § 2.5) к (2.12), получаем S {x(t)-xo(t)}^(t)dt < —00 -jl/2 Г оо < S {x(t-}-x,(t)Ydt\ S ^^dt 1/2 (2.13) Следовательно, если ср — функция с интегрируемым квадратом, т. е. Г °° "11/2 [ S ^(t)dt\ 0 можно найти счетную последовательность элементов множества SC, {х^, х^, ...}, таких, что d (х, xi} < е для некоторого i и любого х (: 9С. Метрическое пространство компактно, если можно НАЙ- ТИ конечную последовательность элементов {х^, х^, ..., -v„(e)}, таких, что d (х, х,) •< е для некоторого г; 1 ^ г <^ п (е) и любого х 6<27- Мы можем представлять себе компактное пространство «покрытым» ко- нечным множеством «сфер» радиуса е. Сепарабельное пространство «больше» компактного, однако оно может быть покрыто счетным мно- жеством сфер. 2.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Следующая ступень в усовершенствовании структуры пространства сигналов достигается при внесении достаточно простых алгебраических взаимосвязей между рассматриваемыми сигналами. Такие взаимо- связи имеют место в линейных пространствах, определяемых следу- ющим образом. Линейное пространство — это множество элементов (называемых векторами и обозначаемых жирным шрифтом), обладающих следу- ющими свойствами. А. Для каждой пары векторов х и у из рассматриваемого мно- жества имеется соответствующий вектор (х + у), принадлежащий этому же множеству и называемый суммой х и у, такой, что: а) сложение коммутативно х + у = у + х; б) сложение ассоциативно х + (у + z) = (х + у) + z; (2.15 а) в) множество содержит единственный вектор 0 (называемый ну- левым элементом), такой, что х -)- 0 == х для любого х; г) для любого х имеется единственный вектор (—х), такой, что х + (—х) - 0. Б. Имеется множество элементов (называемых скалярами), ко- торые образуют поле, а также операция (называемая умножением 2 Зак. 527 33 вектора на скаляр), ставящая любому скаляру а и любому вектору х в соответствие вектор »х, такая, что: а) умножение на скаляр ассоциативно: к (рх) = офх, б) 1х=х и Ох==0 для любого х, в) а (х + у) = кх + ку, 1 , , „, n f законы дистрибутивности. (2.156) г) (ос + р) х = осх + рх j Читатель, знакомый с современной алгеброй, заметит, что свойства (2.15 а) являются определениями коммутативной группы относительно операции, обозначенной (+)• Во второй части определения вводится другая операция, а связанные с ней отношения выражаются с помощью первой операции. Полем является любое множество элементов, которые образуют коммутативную группу и по сложению, и по умножению; исключение составляет один элемент — нуль, не имеющий обратного по умноже- нию [З]. Скалярное поле содержит, таким образом, два элемента, при ис- пользовании которых в соответствующих операциях результат не из- меняется. Это 0—в операции сложения и 1 —в операции умножения. Мы видим, что линейное пространство содержит два различных «нуля» для сложения: один для векторов (нулевой элемент) и другой для скаляров; оба называются «нулями». Символически эти «нули» отличаются тем, что нулевой вектор обозначается жирным шрифтом, а скалярный нуль — обычным. Для простоты понимания можно отождествить поле скаляров или с множеством действительных чисел R или с множеством комплексных чисел С. Однако обычно в приложениях теории сигналов (особенно в тео- рии кодирования) рассматриваются линейные пространства с конеч- ными полями скаляров. Например, бинарное множество {0, 1} с обыч- ными двоичными арифметическими операциями образует конечное поле; линейные пространства над этим полем широко применяются в теории связи. Если в качестве скаляров взять действительные числа, то линей- ное пространство называется действительным линейным пространст- вом. Если же взять комплексные числа, мы получаем комплексное ли- нейное пространство. Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами, называется линейной комбинацией п х= S «.х,. 1=1 (2.16) Легко видеть, что множество всех линейных комбинаций векторов {х^, Хг, ..., х„} образует линейное пространство. Далее, если взять подмножество {х^, Xg, ..., х,„} множества {х^, Хд, ..., х„}, где т <: п, то множество линейных комбинаций векторов подмножества образует линейное пространство, являющееся подпространством исходного ли- нейного пространства, образованного линейными комбинациями пер- вичного множества векторов {хц Хд, ..., х„}. Это подпространство называется линейным подпространством. Множество векторов {х;; i = 1, 2, ..., п} называется линейно независимым, если равенство (2.17) справедливо только при всех а,, равных нулю. Другими словами, в линейно независимом множестве вектор не может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов множества. Пусть М —- это пространство линейных комбинаций п линейно независимых век- торов {\i; i == 1, 2, ..., п}. Каждый вектор в М соответствует един- ственной линейной комбинации векторов {х;} — единственному мно- жеству скалярных коэффициентов. М называется п-мерным линейным пространством. Множество {х;} называется базисом для М; говорят, что М. натянуто на этом базисе. Любое множество п линейно незави- симых векторов в М может служить его базисом; таким образом, ли- нейное пространство имеет не один базис. Воспользуемся двумя примерами, чтобы уточнить представление о линейных пространствах, применяемых в теории сигналов. Пример 2.8. Множество упорядоченных последовательностей из п чисел (п-мерных вектор-строк) в R'1 или С" образует га-мерное линейное пространство. Пусть х = {а^, «а, •••, »„} и у = {pi, рз, ..., ?„}• Сло- жение векторов определяется в виде х + У = К + Pi, «2 + Pa -, "n + М, (2.18) а умножение на скаляр — в виде ИХ == {(XKi, (Х»2. •••> «"п}- (2.19) Ясно, что любой вектор представим линейной комбинацией п х= 2 ",е„ (2.20) i= I где п линейно независимых векторов {е;,} задаются следующим образом: ei={l, О, О,..., О}, е,=={0, 1, О,..., О}, (2.21) ец={0, О, О,... 1}. Представление конечномерных векторов Пусть М—произвольное д-мерное линейное пространство с бази- сом {u;; t = 1, 2, ..., п}. Любой вектор х ^ М имеет единственное раз- ложение х= S «,",. i= 1 2* (2.22) 35 Упорядоченную последовательность скалярных коэффициентов {«;} можно трактовать как /г-мерную вектор-строку. Таким образом, имеется взаимно-однозначное соответствие между произвольными век- торами в пространстве М. и пространством /г-мерных вектор-строк, а пространства R'1 или С" могут служить моделями любого действи- тельного или комплексного п-мерного пространства. Мы говорим, что набор из п чисел ос = {ст;} является представлением вектора х (в R'г или С") по отношению к базису {и;}. Важно помнить, что такое представление не имеет смысла само по себе, оно обязательно должно быть отнесено к конкретному базису. Различные наборы из п чисел могут представлять один и тот же вектор х по отношению к различным базисам. Пример 2.9. Множество действительных или комплексных функций времени, определенных на интервале Т= {t; a-^t-^b}, является линейным пространством, в котором операции сложения векторов и умножения на скаляр определены в каждой точке следующим об- разом: z==x+y^z(t)=x(t)+y(t),\ , , ,„ } для всех t ^ Т. (2.23) z=a\=>z(t)==ax(t) j - \ ' Это пространство является функциональным пространством. В большинстве представляющих интерес случаев такие пространства бесконечномерны. Этот факт нетрудно установить, если построить бес- конечную последовательность функций в данном пространстве, любое конечное число которых линейно независимо. Задача отображения сигналов, заданных в обычном, естественном виде, в наиболее удобные конечномерные функциональные пространства рассмотрена в гл. 3. что подпространство функционального прост- (0) = 0}, само является линейным простран- Упражнение 2.5. Показать, ранства, определенное как {х; х ством. Упражнение 2.6. Показать, что С [Г], рассмотренное в примере 2.6, яв ляется линейным пространством. 2.4. НОРМИРОВАННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Теперь объединим геометрические свойства, характерные для мет- рических пространств, и алгебраические свойства, выявленные в ли- нейных пространствах. Это достигается путем определения действи- тельного числа, характеризующего «размер» элемента в линейном про- странстве. Такое число называется нормой вектора (обозначается | х ||) и может быть определено с помощью любого отображения линейного пространства в действительную ось, удовлетворяющего следующим требованиям: а) ||х||>0 и ||х||=0, только если х = 0; б) ||х+у||<||х||+||у||; (2.24) 36 в) кх С учетом этих свойств легко показать, что d(x, y)=||x-y|| (2.25) есть метрика, удовлетворяющая условиям (2.1); такая метрика исполь- зуется в нормированном линейном пространстве, если мы хотим, чтобы оно было метрическим. Заметим, что норма вектора равна расстоянию точки от начала координат. Нормированное линейное пространство, являющееся полным метрическим пространством, называется банахо- вым пространством. Во всех примерах § 2.1, за исключением примера 2.5, можно счи- тать, что метрики получены через нормы. Например, мы можем опре- делить норму для R" или С" соотношением 1/2 . '= 1 (2.26) а для действительных или комплексных функций времени, определен- ных на Т, — соотношением ]1/2 (2.27) Именно такое определение нормы мы выбрали для представления сигналов в силу простоты физической интерпретации квадрата нормы как энергии сигнала (1.5), а также потому, что эта норма естественным образом возникает в более сложных линейных пространствах, ис- пользуемых в последующих параграфах. Множество функций, для ко- торых норма (2.27) ограничена, называется пространством L2, обозна- чаемым L2 (Г)*). Началом координат в этом пространстве является функция, равная нулю почти всюду на интервале Т. Упражнение 2.7. Показать, что отображение f, : ЗС -> R, определяемое выражением f, (х) == |[ х || , является непрерывным. 2.5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ Последним шагом в усовершенствовании структуры пространства сигналов является введение дополнительной геометрической харак- теристики — скалярного произведения двух векторов. Мы рассмотрим здесь комплексные линейные пространства; действительные простран- ства являются их частными случаями. Скалярное произведение — ** Здесь мы вводим более удобное обозначение для временных интервалов. Удобно записывать их так: [а, 6] = {<; д < t < Ь}, [а, Ь) = {t; а < t < Ь}, (а, Ь] = [t; а < f < Ь), (а, Ь) = {t; а < t < Ь}. Соответственно, различные виды функциональных пространств L2 будем обозна- чать: Z.2 (-оо, ос). L2 [0, оо], L.2 [-1, +1] и т. д. 37 это отображение упорядоченных пар векторов линейного пространства в комплексную плоскость С. Это отображение обозначается (х, у) и удовлетворяет следующим условиям*): а) (х, у)=(у, х)*, б) (ах+Ру, z)=a(x, z)+p(y, z), \ • ' в) (х, х) ^г 0 и (х, х) == 0, только если х = 0. Из (2.28а) и (2.286) видно, что (схх, у) = а(х, у), (х, »у) == ст*(х, у) и (х, х) — действительное число. Скалярное произведение называют иногда также внутренним произведением. Важным следствием из ука- занного определения скалярного произведения является то, что ве- личина ||х||=(х, х)'/2 (2.29) есть норма в линейном пространстве. Действительно, легко видеть, что условия а) и в) в (2.24) удовлетворяются. Условие б), т. е. неравен- ство треугольника, требует доказательства. Сначала докажем очень важное соотношение, известное как неравенство Шварца: |(х, y)P<(x, x)(y, у). (2.30) Чтобы это доказать, применим свойство (2.28 в) к вектору х + сту, где а — любой скаляр. О ^ (х + ау, х + сту) == =(х, х)+я(у, х)+а*(х, y)+M2(У, У). (2.31) В частности, положив а -= — (х, у)/(у, у), из (2.31) получаем нера- венство (2.32) из которого следует (2.30). Заметим, что (2.30) обращается в равенство, если х == ау для некоторого ст. Теперь, используя равенство |] х ||2 = =^ (х, х), докажем неравенство треугольника: Итак, Цх+уЦ^х+у, х+у)=(х, х)+(х, у)+ +(У, х)+(у, yXW+llyll^llxlllly^dlxl+llyl])2. !х+у||<|х||-Ц|у||, (2.33) и определение (2.29) удовлетворяет условиям для нормы. Таким образом, скалярное произведение порождает норму, ко- торая в свою очередь согласно (2.25) порождает метрику. Следователь- но, пространство со скалярным произведением становится метрическим пространством, если ввести указанную частную метрику. Пространство со скалярным произведением, если оно является также полным (как метрическое), называется гильбертовым пространством. t> Звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину. 38 Иногда полезно трактовать скалярное произведение как некую меру угла между векторами. Поскольку неравенство Шварца можно переписать в виде |(х, у)|<||х||||у|, (2.34) мы можем определить угол 9 между векторами х и у соотношением cosO-^6^ y). (2.35) 1|х|||| у || Но в теоретических исследованиях мы будем пользоваться только понятием ортогональности векторов. Два вектора х и у ортогональны тогда и только тогда, когда (х, у) == 0. При попытке применить опре- деление (2.35) к комплексным пространствам возникают некоторые трудности, связанные с тем, что 9 может быть равен ±л/2, когда (х, у) =/= 0. С другой стороны, если попытаться заменить в (2.35) Re (х, у) на | (х, у)|, мы не сможем получить углов во втором и третьем квадрантах. Для рассмотренных ранее пространств, в которых задано скаляр- ное произведение, оно выражается следующим образом: (х, У)= S «гР?; х, у 6 С", i= 1 (х, y)=J^)y*(0^; х, у^(Т). Т (2.36) (2.37) Упражнение 2.8. Пусть х и у — векторы с единичной нормой в действи- тельном постранстве со скалярным произведением. Показать, что векторы х+уих — у — ортогональны. Сохранится ли ортогональность в комплексном пространстве? Какой угол между векторами х+уих — у будет согласно (2.35) в комплексном случае? Упражнение 2.9. Для пространства со скалярным произведением выбра- на норма [| х [| 2 = (х, х) доказать равенство параллелограмма: Цх+У^+Цх-уЦ^ЦхЦ^^. Упражнение 2.10 Показать, что скалярное произведение в комплексном пространстве удовлетворяет поляризационному тождеству: 4(х, y)=i|x4-y||2-||x-y|[2+^•||x+^y||2-^]|x-^•y||2. Упражнение 2.11. Пусть ЗС — банахово пространство, в котором норма удовлетворяет равенству параллелограмма. Определить скалярное произведе- ние согласно поляризационному тождеству. Показать, что это действительно скалярное произведение, и, следовательно, ЗС — гильбертово пространство. Упражнение 2.12. Привести пример нормированного линейного простран- ства, в котором норма не удовлетворяет равенству параллелограмма. Пример 2.10. Сечение функции неопределенности вдоль оси вре- мени. Важный пример применения скалярного произведения связан со свойствами сигналов ограниченной энергии. Если сигнал быстро из- меняется во времени, можно ожидать, что сравнительно малые вре- менные сдвиги должны приводить к значительным смещениям изо- бражающей точки в подходящем пространстве сигналов, скажем в ^-2 ( — оо, оо). С другой стороны, для медленно меняющихся сигналов \ 39 малые смещения во времени не приводят к существенным изменениям, и изображающая точка в пространстве сдвигается незначительно. Обозначим через x-i сдвинутый на время г сигнал х, т. е. Хт; (0=х (У+тО- Тогда имеем: ^(Х, Хт^-Цх—Х^^Х—Хт;, Х—Х^)= =(х, х)+(хгх,)-(хг,х)-(х, x^lxf+W-^I^x, х,). (2.38) Энергия сигнала не зависит от сдвига во времени ||х|12 == [|Хт||2, сле- довательно (2.39) Рис. 2.4. Два сигнала, имеющие почти одинаковую временную функцию неопределенности. где обозначено 00 r^(T)=Re(x, x,)=Re J x (t) x* (t + т) dt. (2.40) Таким образом, каждому сигналу х соответствует действительная функ- ция от временного сдвига, которая характеризует смещение изобра- жающей точки в пространстве сигналов, обусловленное таким сдвигом. Для быстро изменяющихся сигналов следует ожидать, что г у (т) резко уменьшается с увеличением т. В случае короткого импульса г,; (т), очевидно, узкая, но, как ясно из рис. 2.4, и сигналу большой длитель- ности может соответствовать узкая i\ (т). Во многих случаях, например в радиолокации, желательно использовать сигналы с узкой Гх (т), поскольку это позволяет измерить время прихода сигнала с высокой точностью [5]. Соответственно, будем называть г ж (т) сечением функции неопределенности вдоль оси времени. Малой неопределенности соответ- ствует большое расстояние (2.39). По аналогии с подобной характе- ристикой случайных процессов функцию т-д (т) часто называют также 40 функцией автокорреляции сигнала х [Г)*\ Функция автокорреляции будет определена в гл. 7, а в гл. 8 даны некоторые соотношения между функциями автокорреляции случайных процессов и сечениями функ- ции неопределенности вдоль оси времени. Для вещественных сигналов легко найти преобразование Фурье от (2.40): со ^x(/)== J ^(T)e-/2"ft^=[X(/)|2. (2.41) —оо Мы видим, что сигналы с одной и той же функцией автокорреля- ции имеют преобразования Фурье, которые могут отличаться произ- вольным фазовым множителем (см. упражнение 1.5). Упражнение 2.13. Показать, что функция автокорреляции произвольно го сигнала с ограниченной энергией есть непрерывная функция^ Для дейс^" I г^^У с "''Р3"114611110" энергией показать, что\ (-т)!^?) и рел^ц^Тл^уйиТ^ изобразить графически ^HKWW ————P- а) x(t)^ б) х (/) = в) х(<)=| 1, 00, t <0. Указание: может оказаться полезным (2.41). Представление элементов векторного пространства. со скалярным произведением Наиболее важное свойство пространства сигналов, в котором оп- ределено скалярное произведение, состоит в том, что имеется прямая связь между сигналом и его представлением. Предположим что М — произвольное «-мерное пространство, натянутое на базис {u.- i = - 1,2, ..., п}, тогда для х ^ ЛПшеем Х== 2 OCt"f (2.42) ципн*'^9""0" ФУ"^"" неопределенности вдоль оси времени (автокорреля- ционной функциеи сигнала) часто называют комплексную функцию ^^щесттную часть' как в (2•40)• тогда «'отношение (2.41) справедливо ^'я любых сигналов, не только вещественных. —Прим. ред. • ' Г " 41 2.6. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ Мы ввели различные виды линейных пространств сигналов. Те- перь рассмотрим отображение этих пространств в числовые величины. Такие отображения представляют большой практический интерес в силу их соответствия физически измеряемым параметрам сигналов. Для представления и идентификации сигналов особенно важны линей- ные измерения. По сути дела главной для нас причиной введения линейных пространств сигналов и наделения их определенными гео- метрическими свойствами было то, что при этом достигается замечатель- ное соответствие между результатами различных линейных измерений, проводимых над сигналами, и самими сигналами. Ниже обсуждаются различные аспекты этого вопроса. Отображение комплексного линейного пространства 9С в множе- ство комплексных скаляров / : ОС -- С, обладающее следующим свой- ством: (2.51) для любых а, |3 (: С и любых х и у С 9С, называется линейным, функцио- налом. Если ЗС — пространство со скалярным произведением, то из свойства б) (2.28) следует, что (2.52) есть линейный функционал**. Кроме того, если норма |]ср|| ограничена, т. е. ||<р|| < К, то /<р — непрерывный линейный функционал. Это прямо следует из неравенства Шварца: для любого Хо (:_ёС I fv (х)—Лр (Хо) | = | (x—Xo, у) К I х—Хо :7<|[х—хо||. (2.53) Тот же результат был получен в примере (2.7) для более общего случая. Важно, что для полного, т. е. гильбертова пространства 9С любой непрерывный линейный функционал можно трактовать как скалярное произведение (2.52), причем каждому непрерывному линейному функ- ционалу соответствует единственный вектор ;р (: SC. Доказательство этого утверждения имеется во многих курсах функционального ана- лиза [3, 4]. Существенным моментом доказательства является установ- ление того факта, что множество векторов, которые отображаются в нуль линейным функционалом, есть линейное подпространство про- странства SC'. Обозначим это подпространство для оператора / через Mf, т. е. Mf = {х; f (х) == 0}. Возьмем ненулевой вектор Хо, ортого- нальный к Mf: (у, хр) ==0 для любого у 6 Mf. (2.54) Если такого вектора Хо не существует, то мы заключаем, что/ = 0. В противном случае / (хо) =^ 0, и для любого х ^_SC вектор у - / (х) х„ - / (Хо)х (2.55) *' Обоснованность написания f как векторной величины вскоре станет очевидной. 44 принадлежит Mf, так как / (у) = / (х) / (хо) — / (х„) f (х) -- 0. Умножив скалярно (2.55) на х„ и учитывая (2.54), найдем Пх^-^^х, Хо)=(х, (р), (2.56) (Хо, Хо) ,де <р=^х, (Хо, Хо) Пример такого построения линейного функционала в R2 показан на рис. 2.5. Мы рассмотрим более глубоко соответствие между линейными функционалами и векторами, заметив, что множество линейных функ- Рис. 2.5. Линейный функционал f в R2. ционалов в линейном пространстве ЗС само образует линейное про- странство. Векторное сложение и умножение на скаляр определяются для функционалов условием: / = "/1 + (3/2 => Цх) - K/i(x) + |3/, (х) для всех х 6Ж'. (2.57) Это пространство можно нормировать, если ввести следующие опре- деления нормы: |Л|=зир{[Пх)1; ||х||<1, хе^} (2.58) или, что эквивалентно, (2.59) Функционал с конечной нормой называется ограниченным. (Заметим, что при этом |/(х) | не обязательно ограничено.) Ограниченный линей- ный функционал непрерывен, так как |/ (х) — / (хц) ] == / (х — Хо) ^ ^ 11/11 Цх—Хо|| для любого Хо 6 9С. Непрерывность в точке Хц означает непрерывность функционала, так как ||/|| от XQ не зависит. Обратно, непрерывный линейный функционал ограничен, так как из непрерыв- ности в начале координат следует 2е 45 при I] y I) < 2. Следовательно, ограниченность и непрерывность линей- ных функционалов — эквивалентные понятия. Если к линейному функционалу, записанному в форме скалярного произведения, применить неравенство Шварца и учесть, что равенство достигается, когда х пропорционален у, мы получим 14 ИМ- (2.60) Покажем, что пространство всех непрерывных линейных функционалов, определенных на гильбертовом пространстве SC (это подпростран- ство пространства всех линейных функционалов на SC), само является гильбертовым пространством, связанным очень простым образом с SC. Унножитрль Интегратор Усилитель Рис. 2.6. Схема отсчетного устройства (квантователя по времени). Такое пространство называется сопряженным пространством SC*- Мы уже видели, что существует взаимно-однозначное соответствие меж- ду элементами fy (: SC* и у 6 SC. Более того, соответствующие скаля- ры просто являются комплексно-сопряженными, т. е. fnip = cx*f(p. Отсюда следует, что (Гф, f„,)=((p, ^=(ф, <р). (2.61) Легко видеть, что (2.61) можно принять за определение скалярного произведения в пространстве SC*. Норма, порождаемая этим ска- i_ лярным произведением ЦЛрЦ^ (fvp, fy)2 = ll?!!' согласуется с общим определением (2.60). И, наконец, если {и;} есть базис для SC, то {fp;} есть базис для SC*, где {v;}—взаимный базис [(u;, v,) = 6ц]. Следо- вательно, произвольный линейный непрерывный функционал f может быть представлен линейной комбинацией ^=2П",)^. (2.62) В некоторых пространствах сигналов, скажем в L2 (Г), мы будем пользоваться не непрерывными (неограниченными) линейными функ- ционалами. Важный пример такого функционала в L2 (Т) это представ- ление временной функции ее отсчетами — временное квантование. Ясно, что / (х) == х (/о) есть линейный функционал; ясно также, что 46 существуют функции с интегрируемым квадратом, которые не являются _i_ ограниченными для всех t^T. Рассмотрим, например, х (f}=\t\ 2; х (t) принадлежит L2 (—1,1), но не ограничена при / = 0. В этом слу- чае мы можем сохранить представление функционала в виде скалярного произведения, если определим 6-функцию (не в L2) следующим обра- зом: / (х) == х (Q = ^ (0 6 (t - Q dt; t, 6 Т. (2.63) fxWy^ddx/X^yW^ При * • ffocmamovHo ______ Уольшон t yW Весобая ipi/нкция Рис. 2.7. Реализация произвольного линейного функционала fy (х) == (х, (р). Практически, физическая реализация операции временного кванто- вания непрерывна, поскольку нельзя реализовать бесконечно узкий стробирующий импульс. Типичная схема квантователя приведена на рис. 2.6, где сигнал умножается на прямоугольную стробирующую Линейная, инвариантная во времени цепь Квантователь рис. 2.В -^f^(d)wWad «y(^ =fy(x) при t>t^ ^ Рис. 2.8. Другая реализация f(p(x)==(x, ф). функцию, достаточно узкую по сравнению с временем изменения кван- туемого сигнала. Стробирующий сигнал обычно реализуется с помощью ключа, замыкаемого в течение времени ,ty—т/2 ^ t $; ty + т/2 и разомк- нутого в остальное время. Интеграл от близкого к прямоугольному сиг- налу на выходе ключа приблизительно пропорционален х (ty). Аналогично реализуется произвольный линейный функционал над действительными сигналами. Для этого используется перемно- жающее устройство и интегратор, как показано на рис. 2.7. Конечно, предполагается, что или сигнал, или весовая функция достаточно малы за пределами некоторого конечного интервала времени, так что на вы- ходе интегратора получается значение функционала. 47 Возможна также другая реализация линейного функционала, при которой порядок квантования и умножения изменен на обратный, как показано на рис. 2.8. Поскольку сигнал на выходе стационарной линейной цепи в момент /ц определяется интегралом свертки у (Q = ^ (a) h (to - о) do, (2.64) нужное скалярное произведение получится, если импульсная реакция цепи имеет вид h (t) - ср (/„ - 0. (2.65) Это означает инверсию во времени и задержку весовой функции, по- казанной на рис. 2.7. Из-за того, что в физически реализуемых цепях h (t) отлична от нуля только для положительных /, может потребоваться дополнитель- ная задержка за счет увеличения длительности стробирующего им- пульса. Упражнение 2.18. Мы показали, что сопряженное пространство ЭС* явля- ется пространством, в котором определено скалярное произведение. Если это гильбертово пространство, оно должно быть полным. Рассмотреть произволь- ную последовательность Коши в SC* и показать, что она сходится к точке в ОС*. Указания: 1) для fn, /m^*, ||/п—/т||<е=^|/п(х)—/пг(х)|<ецх|| 2) предположим, что последовательность чисел {fn (х)} сходится к числу, назовем его f, (х), для каждого х. Показать, что для этого необходимо, чтобы ото-. бражение f, было линейным и непрерывным; 3) | / (х) -f (Хо) | < | / (х) -fn (х) | + | fn (х) -fn (хо) | +1 fn (хо) -/ (х„) 1. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1.Hamming R. W. Error detecting and error correcting codes. — «Bell Sys. Tech. Jour.», 1950, v. 29, p. 147—160. 2.Питерсон У. Коды, исправляющие ошибки. М., «Мир», 1964. 3. S i m m о n s G. F. Introduction to topology and modern analysis. McGraw- Hill, 1963. 4. А х и е з е р H. И. и Г л а з м а н И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., Гостехиздат, 1950. 5. В у д в о р д Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с примене- ниями в радиолокации. М., «Сов. радио», 1955. 3 ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ 3.1. ПОДПРОСТРАНСТВА ИЗ L2 (Т) Используя понятия, введенные в предыдущих главах, рассмотрим теперь задачу сопоставления произвольному сигналу с ограниченной энергией, т. е. временной функции (возможно, комплексной) х (: L2 (Г) ее численного представления. 48 Задача сводится к нахождению подходящего отображения прост- ранства L2 (Т) в пространство С", причем п обычно выбирается ком- промиссно, с учетом точности и экономичности представления. По- скольку число измерений пространства L2 (Г) бесконечно, а С" ко- нечно, отображение должно быть типа «много в одно»; это подразуме- вает такую степень приближения, при которой произвольный сигнал из L2 (Т) не может иметь представления в С", отличного от представ- ления всех других сигналов. К таким отображениям естественно под- ходить с позиций отношения эквивалентности. Мы разбиваем прост- ранство L2 (Г) на множества эквивалентности, каждому из которых взаимно-однозначно соответствует некоторая точка в С". Обычный подход к этой задаче состоит в выборе некоторого п-мерного подпространства из L2 (Г). Пусть {(р;; i == 1, 2, ...,п} есть система линейно независимых функций в L2 (Т), так что при t ^ Т условие 2^^(0=0 i'== i (3.1) выполняется почти всюду в том и только в том случае, если а, = О при всех t. Обозначим через Мц линейное подпространство, натянутое на эти функции. Если рассматриваемый сигнал принадлежит М^, то он может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации {(рг}: i= 1 (3.2) и набор п чисел (вектор-строка) а = {а^, otg, ..., »„} образует искомое представление в С'1. Поскольку L2 (Т) есть пространство со скалярным произведением (х, у)== \x(t)y*(t)df, (3.3) то согласно (2.43) отношение между х и а может быть выражено в мат- ричной форме: ~( <Р2) .(„). или (3.4) Ga=p=^•a=G-lP, гдер={(х, (р,); ;•=!, 2,..., п}. Применяя другую запись, введем в Мп взаимные базисные функции {в;; г = 1, 2, ..., п}, которые могут быть представлены в виде линейной комбинации {<р;}; 49 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1.Hamming R. W. Error detecting and error correcting codes. — «Bell Sys. Tech. Jour.», 1950, v. 29, p. 147—160. 2.Питерсон У. Коды, исправляющие ошибки. М., «Мир», 1964. 3. S i m m о n s G. F. Introduction to topology and modern analysis. McGraw- Hill, 1963. 4. A x и е з е р Н. И. и Г л а з м а н И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., Гостехиздат, 1950. 5. В у д в о р д Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с примене- ниями в радиолокации. М., «Сов. радио», 1955. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Р а р о u I i s A. The Fourier integral and its applications. McGraw-Hill, 1962. 2. R i e s z F. and Sz.-Nagy B. Functional analysis. Frederick Ungar, 1955. 3. A x и е з е р Н. И. и Г л а з м а н И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., Гостехиздат, 1950. 4. Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики. М.—Л., ГИТТЛ, 1951. • 5. А х и е з е р Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М., «Наука», 1965. 6. L е е Y. W. Statistical theory of communication. John Wiley and Sons, 1960. 7. К а u t z W. Н. Transient synthesis in the time domain, — «Trans. IRE», 1954, v. CT-1, № 3, p. 29—39. 8. Y о u n g T. Y. and H u g g i n s W. H. Complementary signals and orthogonalized exponentials.—«Trans. IRE», 1962, v. CT-9, № 4, p. 362—370. 9. W a 1 s h J. Z. A closed set of normal orthogonal functions. — «American Jour., Math.», 1923, v. 45, p. 5—24. 10. H a m m о n d J. L. and J о h s о n , R. S. Review of orthogonal square- wave functions and their application to linear networks. — «J. Franklin Institute», 1962, v. 273, p. 211—225. 11.Harmuth H. F.A generalized concept of frequency and some applica- tions. — «Trans. IEEE», 1968, v. IT-14, № 3, p. 375—382. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Z a d e h L. A. A general theory of linear signal transmission systems. — «J. Franklin Institute», 1952, v. 253, p. 293—312. 2. Т и т ч м а р ш E. Введение в теорию Фурье. М., Гостехиздат, 1948. 3. L i g h t h i 1 1 М. J. Introduction to Fourier analysis and generalized functions. Cambridge University Press, 1958. 4.Bremermann H. Distributions, complex variables and Fourier trans- forms. Addison—Wesley, 1965. б.Гельфанд И. М. и Шилов Г. E. Обобщенные функции и действия над ними. Серия «Обобщенные функции», вып. 1. М., Физматгиз, 1959. 6. Г е л ь ф а н д И. М. и В и л е и к и н H. Я. Некоторые применения гар- монического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. Серия «Обоб- щенные функции», вып. 4. М., Физматгиз, 1961. 7. G a b о г D. Theory of communication. — «J. IEE», 1946, pt. Ill, v. 93, p. 429—457. 8. В у д в о р д Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с примене- ниями к радиолокации. М., «Сов. радио», 1955. 9. Dugundji J. Envelopes and pre-envelopes of real waveforms. — «Trans. IRE», 1950, v. IT-4, № 1, p. 53—57. 10. К у к Ч., Б е р н ф е л ь д М. Радиолокационные сигналы. М., «Сов. радио», 1971. 11. Теория и расчет импульсных радиолокационных станций с частотной моду- ляцией. —«Зарубежная радиоэлектроника», 1961 № 1. Авт.: К л а у д е р. Прайс, Дарлингтон, Элберзгайм. 12. Клаудер. Радиолокационные сигналы с высокой разрешающей способ- ностью по дальности и скорости. — «Зарубежная радиоэлектроника», 1961, № 1. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. ЛИТЕРАТУРА ПО ОБЩИМ ВОПРОСАМ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 1. S i m m о n s G. F. Introduction to topology and modern analysis. McGraw- Hill, 1963. 2. A x и е з е р Н. И. и Г л а з м а н И. M. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., Гостехиздат, 1950. 3. R i е s z F. and S z-N a g у В. Functional analysis. Frederick Ungar, 1955. 4. Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики. М.—Л., ГИТТЛ, 1951. 5. 3 а д е А. А. и Д е з о е р Ч. А. Теория линейных систем. Метод прост- ранственных состояний. М., Наука, 1970. II. ЛИТЕРАТУРА ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ РАЗДЕЛАМ 6. Z a d e h L. A. Circuit analysis of linear varying-parameter networks. — «J. Appl. Phys», 1950, v. 21, p. 1171—1177. 7. Q e r s h о A. and D е с 1 а г i s N. Duality concepts in timevarying li- near systems. —«IEEE Int'l Conv. Record», 1964, pt. 1, p. 344—356. 8. Y о u 1 a D. C. The synthesis of linear dynamical systems from prescribed weighting patterns. —«J. SIAM», 1966, v. 14, p. 527—549. 9. J u r у Е. I. Theory and application of the z-transform method. John. Wiley and Sons, 1964. 10. S i 1 v e r m a n L. M. and Meadows H. E. Equivalence and synthe- sis of time-variable linear systems. — «Proc. Fourth Annual Allerton Con- ference on Circuit and System Theory», 1966, p. 776—784. 11. Meadows H. E., Silverman L. M. and Franks L. E. A canonical network for periodically variable linear systems. — «Proc. Fo- urth Annual Allerton Conference on Circuit and System Theory», 1966, p. 649— 658. 12. F r a n k s L. E. and Sandberg I. W. An alternative approach to the realization of network transfer functions. The ^/-path filter.—«Bell Sys. Tech. Jour.», 1960, v. 39, p. 1321—1350. 13. Kallmann H. E. Transversal filters. — «Proc. IRE», 1940, v. 38, p. 302—311. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Gabor D. Theory of communication. — «J. IEE», 1946, pt. Ill, v. 93, p. 429—457. 2. Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики. М.—Л., ГИТТЛ, 1951. 3. С h а 1 k J. H. H. The Optimum pulse-shape for pulse communication. — «Proc. IEE», 1950, Pt. Ill, v. 97, p. 82—92. 4. P i e r r e D. A. Optimal time-limited energy constrained inputs to linear systems. Symposium on signal Transmission and Processing. — «IEEE Con- ference Record 4C9». 5. L a e m m e 1 A. E. Optimum pulse shape for digital Transmission. — «Proc. Symposium on Modern Network Synthesis». Polytechnic Institute of Brooklyn, 1955, p. 211—220. 6. В e n n e t t W. R. and Dave у J. R. Data transmission. McGraw- Hill, 1965. 7. Т а у 1 о r T. Design of line-lource antennas for narrow beamwidth and low side-lobes. — «Trans. IRE-PG on Antennas and Propagation», 1955, v. AP-3, № 1, p. 16—20. 8. V i 1 1 e J. A. and Bouzitat J. Note sur un signal de duree finic et d'energie filtree maximum. — «Cables et Transmission», 1957, v. 11, № 2, p. 102—127. 9. Гуревич М. С. Сигналы конечной продолжительности, содержащие максимальную долю энергии в заданной полосе частот. — «Радиотехника и электроника», 1956, т. 1, № 3, стр. 313. 10. S 1 e р i a n D. and P о 1 1 a k H. 0. Prolate spheroidal wave functions. Fourier analysis and uncertainty — I. — «Bell sys. Tech. Jour.», 1961, v. 40, №Л, р. 43—63. 11.^Landau H. J. andPollak H. 0. Prolate spheroidal wave functions. 'Fourier analysis and uncertainty — II. — «Bell sys. Tech. Jour.», 1961, v 40, № 1, p. 65—84. 12. L a n d a u H. J. and P о 1 1 a k H. 0. Prolate spheriidal wave functi- ons. Fourier analysis and uncertainty — III. The dimension of the space of essentially time and band-limited signals. — «Bell sys. Tech. Jour.», 1962, v. 41, № 4. 13. Z a k a i M. A class of definitions of duration (or «uncertainty») and the associated uncertainty relations. — «Information and control», 1960, v. 3, № 2, p. 101—115 14. К а у I. and S i 1 v e r m a n R. A. On the uncertainty relation for real signals. —«Information and control», 1957, v. 1, №1, p. 64—75. 15. В о u r r e t R. A Note on an information theoretic form of the uncertainty principle, — «Information and control», 1958, v. 1, № 4, p. 398—401. 16. L e i p n i k R. Entropy and the uncertainty principle. — «Information and control», 1959, v. 2, № 1, p. 64—79. 17. Д ж e ф ф р ис Г. и Д ж е ф ф р ис Б. Методы математической физики. М., «Мир», 1969—1970, вып. 1—3. 18. N у q u i s t H. Certain topics in telegraph transmission theory. — «Trans. AIEE», 1928, v. 47, p. 617—644. 19. Р а р о u 1 i s A. The Fourier integral and its applications. McQraw-Hill, 1962, ch. 3. 20. R i e s z F. and S z.-N a g у В. Functional analysis. Frederick Ungar, 1955. 21. S 1 e p i a n D. and Sonnenblick E. Eigenvalues associated with prolate spheroidal wave functions of zero order. — «Bell Sys. Tech. Jour», 1965, v. 44, № 8, р. 1745-1759. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Loeve M. Probability Theory. Van Nostrand„Ch. X, 1955. 2. Я г л о м А. M. Введение в теорию стационарных случайных функций «Успехи математических наук», вып. 5, 1952. 3. Р а р о u 1 i s A. Probability random variables, and Stochastic process McGraw-Hill, 1965. 4. Blackmanand Tukey. The measurement of power spectra, Dover, 1958. 5. J о r d a n К. L. Discrete representations of random signals — «MII-RLE Report», 1961, № 378. 6. Brown J. L. Mean square truncation error in series expansions of random functions. — «J. SIAM». 1960, v. 8, № 1, p. 28—32. 7. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики т 1 Гостехиздат, 1951. 194 8. В а н Т р и с Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции, т. 1, «Сов. ра- дио», 1972. 9. S 1 e p i а n D. Estimation of signal parameters in the presence of noise. — «Trans. IRE», 1954, v. IT-3, p. 68—89. 10. Д а в е н п о р т В. Б. и Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. ИЛ, М., 1960. 11. К а i 1 a t h Т. Some integral equations with «Nonrational» kernels. — «Trans. IEEE», 1966, IT-12, № 4, p. 442—447. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Parzen E. Stochastic process. Holden-Day, 1962. 2 В e n n e t W. R. Statistics of regenerative digital transmission. — «Bell Sys. Tech. Jour.» 1958, v. 37, p. 1501—1542. 3 Papoulis A. Probability, random variables, and stochastic processes. McGraw-Hill, 1965. , , , ., „ 4 А а г о n M. R. PCM Transmission in the exchange plant. —«Bell Sys. Tech. Jour», 1962, 41, p. 99—141. 5 Lender A. Correlative digital communication techniques. — «Trans. IEEE». 1964, COM-12, p. 128—135. 6 Kretzmer E. R. Binary data communication by partial response trans- mission. Paper № CP65-419 at the 1965 — «IEEE Communications conven- tion», Boulder, Colorado. , , , , , , 7 Johns M. V. Spectral analysis of a process of randomly delayed pulses.— «Trans. IEEE», 1960, v. IT-6, № 4, p. 440—444. 8 Franks L. E.A Model for the random video process. — «Bell Sys. Tech. Jour.», 1966, v. 45, p. 609—630. ,,. , „ х. „ ,, 9. H i 1 d e b r a n d F. B. Methods of applied mathematics. Prentice-Hall, 1952. 10 Lender A. The duobinary technique for high-speed data transmission. — «IEEE Trans on Communication and Electronics» 1963, v. 82, p. 214—218. 11. L a n d i n g J. H. and B a t t i n R. H. Random precesses in auto- matic control. McGraw-Hill, 1956. • 224 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Р а р о u I i s A. Probability random and stochastic processes. McGraw- Hill, 1965. 2. С о s t a s J. P. Coding with Linear systems. — «Proc. IRE», 1952, v. 40, p. 1101—1103. 3. M a u r e r R. E. The optimal equalization of random channels. Communi- cation theory Group report № 09. Northeastern University, 1968. 4. V a n V 1 e с k J. H. and Middleton D.A theoretical comparison of the visual aural, and meter reception of pulses signals in the presence of Noise. — «J. Appl. Phys», 1946, v. 17, p. 940—971. 5. D w о r k B. M. Detection of a pulse', superimposed on fluctuation noise. — «Proc. IRE», 1950, v. 38, p. 771—774. 6. T u r i n G. L/An Introduction to matched-filters. — «IRE Trans. on In- formation Theory», 1960, v. IT-6, p. 311—329. 7. T u f t s D. W. Nyquist's problem — The Joint optimization of transmit- ter and receiver in pulse amplitude modulation. — «Proc. IEEE», 1965, v. 53, p. 248—259. 8. A a r о n M. R. and Tufts D. W. Intersymbol interference and error probability. — «IEEE Trans. on Information Theory», 1966, v. IT-12, p. 26—34. 9. Lucky R. W. Automatic equalization for digital communication.— «Bell Sys. Tech. Jour.», 1965, v. 44,' p. 547—588. 10. Lucky R. W. Techniques for adaptive equalization of digital commu- nication systems."— «Bell Sys. Tech. Jour», 1966, v. 45, p. 255—686. 11. Lee Y. W. Statistical Theory of communication. John Wiley and Sons, 1960. 12. L a n i n g J. H. J r. and^Battin R. H. Random processes in au- tomatic control. McGraw-Hill, 1956. " 13. Д а в е н п о р т В. Б. и Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. M., ИЛ, 1960. 14. M и д д л т о н Д. Введение в статистическую теорию связи, т. 2. Изд. <Сов. радио», 1962. 15. В а н Т р и с Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции, т. 1. Изд. «Сов. радио», 1972. 16. В о d e H. W. and Shannon С. Е.А simplified derivation of Linear Least square smoothing and prediction theory. — «Proc IRE», 1950, v. 38, p. 417-425. 17. D a r 1 i n g t о n S. Linear least-squares smoothing and prediction with applications. — «Bell Sys. Tech. Journ., 1958, v. 37, p. 1221—1294. 18. Р а р о u 1 i s A. The fourier integral and its applications. McGraw-Hill, 1962. 19. Z a d e h L. A. and Ragazzini J. R. Optimum filters for detecti- on of signal in Noise. — «Proc. IRE», 1952, v. 40, p. 1223—1231. 264 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. W о z e n с г a f t J. M. and Jacobs I. M. Principles of communication engineering. John Wiley and Sons. 1965. 2. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и медуляции, т. 1. Изд. «Сов. ра- дио, 1972. 3 Papoulis A. Probability random variables and stochastic processes. McGraw-Hill, 1965. 4 Bennett W. R. and Dave у J. R. Data transmittion. McGraw-Hill, \96^- 5.Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. M., ИЛ, 1963. 6 К a i 1 а t h T. A projection method for signal detection in colored gaussian noise. — «Trans. IEEE», 1967, v. IT-13, № 3, p. 441—447. 7.Marcum J. I. Table of Q-functions. Rand Corparation Rpt, 1950, RM-339. 8. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1. Гостехиздат, 1951. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Автоковариационная функция 178 Автокорреляционная функция 178 — — комплексного процесса 180 — — комплексной огибающей про- цесса 191 — — процесса на выходе фильтра 181 — — случайного канала 247 — — случайного фототелеграфного сигнала 220 — — случайной импульсной после- довательности 222 — — дискретного процесса 199 АИМ сигнал 205 — — корректирующая функция 210, 211, 213 случайный фототелеграфный 220 — — выборки 203 Амплитудная модуляция 90—94 — — когерентная демодуляция 93 — — формирование однополосных сигналов 90, 91 Анализатор формы сигнала 63, 65 Аналитический сигнал 78, 83, 191 Базис 35 — взаимный 42, 49, 52, 53 — изменение 43,- 66, 115 Базисное ядро 70—74, 107 — — зависящее от разности аргу- ментов 76 — — — — произведения аргумен- тов 79 — — сопряженное 70—74 — — самосопряженное 74 — — Фурье 79 Байеса формула полной вероят- ности 267 Байесов приемник 267—270 — риск 270 Банаха пространство 37 Белый шум 183, 257, 273, 288 Бесселя неравенство 55, 188 Билинейный функционал 134 Биполярное кодирование 210 Вектор 33 Вероятность — апостериорная 265, 267 — априорная 267, 268 — ложной тревоги 267, 279, 286, 294 — пропуска 267, 279, 286 — ошибки 280, 267, 294 Вивера модулятор 92 Винера фильтр 230 Винера—Хопфа уравнение 255 Временная функция неопределен- ности 39—41, 96 Гауссов импульс 134, 156 — случайный процесс 274 Гауссовы случайные величины 276 Гильберта преобразование 77, 83,190 Гильбертово пространство 38, 44, 46 Градиента вектор 141 Грамма—Шмидта процедура 42, 59 Граф отображения 101 График функции 10 Двоичная система связи 15, 16, 280, 290 Дельта-функция 23, 47, 72, 74, 175, 206 Детектор огибающей 291 Дибинарное кодирование 213 Дисперсия 175, 178 — канала, обладающего диспйрсион- ностью 239 — компонент шума 282, 289, 296 Дифференциальное кодирование 208 Допплеровский сдвиг 96 Дробовый шум 198 Дуальность времени и частоты 24, 75, 169 Евклидова метрика 28 г-преобразование 114 Идеального наблюдателя критерий 270 Импульсная амплитудная модуля- ция 203—214, 250—253 — — — с временной нестабиль- ностью 212—215 — реакция 48, 59, 87, 107, 120, 226 Импульсы синхронизации 162—164 Интерполирующий импульс 23, 26 Карунена—Лоэва разложение 187, 282 Квадратичный функционал 134—139 Квадратурная модуляция 94 Квадратурные искажения 93 — компоненты 85, 191 Квантование, операция 198—200 Квантователь 47 337 Кемпбелла теорема 198 Ковариация 177 Ковариационная матрица 275 Когерентный демодулятор 93 Кодовые слова 28 Компактность 33, 116 Компактный оператор (см. Оператор) Компенсатор 230 —при ограничении на площадь уси- ления 231 — случайного зазора считывающе- го устройства 240 Комплексная огибающая 82—96, 191, 287 Конгруэнтность целых чисел 15 — функций 17, 51 Корреляция 176 Коши последовательность 30, 55 Кронеккера функция 42 — функция 295 Лаггера полиномы 59 Лагранжа множитель 143 Лежандра полиномы 58, 60 Линейная независимость 35 — — случайных величин 177 — комбинация 34 Линейное пространство 33 — подпространство 35 — преобразование 102 (см. также Оператор) — линейный функционал 44—48, 63—69 Максимального правдоподобия кри- терий 272, 278, 285, 290 Марковская в широком смысле по- следовательность 213, 222 Маркума Q-функция 295 Матричное представление линей- ного преобразования 105, 113 Мгновенная частота 84, 194 Межсимвольные помехи 148, 160— 164, 252 Меллина преобразование 80 Метрика 27 — для га-мерных векторов 27 — для функций времени 29 Метрические пространства 26—33 — — полнота 30, 37, 38 Минимаксный критерий 272 Найквиста критерий 163 — частота 24 Неймана—Пирсона лемма 271 Некогерентный обнаружитель 288 Непрерывность 31 — квадратичного функционала 135 — линейного преобразования 102 Непрерывные отображения 32 — представления сигналов 69 338 — функции 30 — функционалы 45 Неравенство треугольника 27, 38 — п-мерный вектор 18, 27 — п-мерное линейное пространство 35 Норма 36 — билинейного функционала 135 — в пространстве со скалярным произведением 38 — линейного функционала 46 — оператора 103 Нормированное линейное пространст- во 36—37 Нуль-пространство 105, 126 Область отображения 18, 104, 106 Обобщенные функции 71 Обычная метрика 27 Огибающая 83 Ограниченные по длительности сиг- налы 12, 120, 146, 157—160, 167— 171 Ограниченный линейный функцио- нал 45 Ограниченное линейное преобразо вание 102, 106 Ограниченные сигналы 12 Однополосная амплитудная моду- ляция 90—94 Ожидания 174—184 Оператор 103—130 —вырожденный 112, 116—123, 126— 127 — Гильберта—Шмидта 118—120, 166, 186 — задержки 110 — инвариантный во времени 109 — компактный 116—120, 165 — матричное представление 105, 114 — неособенный 104 — нормальный 125—130, 136 — нормы 103 — обратный 104 — ограниченный 103 — положительно определенный 136 — проектирования 115, 127 — простой 125 — самосопряженный 129, 136 — сопряженный 117, 125, 135 — спектральное представление 128 — спектр 127 — стробирования 110, 167—171 — тождественный 104, 110 — унитарный 136 — физически реализуемый 111, 254— 264 Оптимальная фильтрация 225—264 — — аддитивного шума 220, 243 — — АИМ сигнала с синхрониза- цией 250 — — мультипликативного шума 235 — — помех от смежных импульсов 249 — — случайного дисперсионного канала 238, 246 — — физически реализуемая 254 Оптимальный базис 165—170, 185— 189 Ортогональная проекция 51, 127 Ортогональное дополнение 51 Ортогональность комплексных оги- бающих 292 Ортогональности принцип 227 Ортогональные векторы 39 — случайные величины 177 Ортонормированная базисная си- стема 42 — — — примеры 57—62 — — —с весовой функцией 57 Отбеливающий фильтр 255, 257, 260, 262 Отклик на базисную функцию 104, 107 Отношение сигнал/шум 234, 247, 280, 287, 295 Отсчетные значения 24, 26, 46, 164, 204 Отсчетов теорема 24, 164 — — для случайного процесса 204 Оценка — амплитуды импульса 242—250 — периодичности 250—253 — формы сигнала 226—241 Параллелограмма равенство 39 Парсеваля равенство 56, 75, 96, 137 Парциальное кодирование 218 Передаточная функция 110, 112, 123, 130 Перекрестная корреляционная функ- ция 180 Пересечения нулевого уровня 16 Периодические сигналы 12 Подобия преобразование 115, 137 Поле скалярное 33 Полные метрические пространства 30, 37, 38 — ортонормальные системы 55, 57—62 Полноты условие 55 Полосовая фильтрация 87—91 — — случайных процессов 192—194 Поляризационное тождество 39 Плотность вероятности 175 — — гауссовой случайной величины 275 — — пуассоновских элементарных событий 218 Правдоподобия функция 266—296 — — аддитивного шума 274 — — гауссова шума 276, 282 — — некогерентных сигналов 289 Представление в пространстве со скалярным произведением 41 — временным рядом 24 — линейного преобразования 104, 105, 107 - — сигнала п-мерным вектором 18, 49 — функциональным рядом 24 Принцип неопределенности 155—162 Проверка на четность 29 Проектирование 51 — неортогональное 51, 284 — оператор 115, 127 — ортогональное 51 — теорема 50 Произведение длительности на по- лосу 133, 156—160 — усиления на полосу 152, 231, 245, 260 Производная по направлению 139 Процессы с ограниченной полосой 204 Прямая сумма 51, 284 Псевдометрика 29 Пуассоновский процесс 218 — — интенсивность 220 Пуассона формула суммирования 76, 163, 202 Пустое множество 13 Рабочая характеристика приемника 272, 280 Равенство почти всюду 21, 29 Равномерная ограниченность 116 Радиолокационная функция неопре- деленности 95—100 Разбиение 14 Разностный сигнал 277 Ранг линейного преобразования 105 Рандомизация фазы 200, 205, 214, 215 Расстояние (см. Метрика) Риск апостериорный 267 — байесов 270 — средний 267, 269 Самосопряженное ядро 74 Свертка 48, 76, 88, 109, 11), 196 Сепарабельность 33, 54, 55 Сигналы с ограниченной полосой 13, 24, 157—160, 163—164, 167—171 — синусоидальные 12, 57 Синфазная компонента 85, 191 Скаляр 33 Скалярное произведение 37 — — векторов 39 — — случайных величин 177 Сканирование 109, 198 — окном случайной ширины 240 Случайная дисперсионность канала 238, 246 — импульсная последовательность 222—224 — ступенчатая функция 218 339 Случайный фототелеграфный сигнал 220, 233, 257 Собственные значения 124—130, 145, 147 159, 166, 170 — — автокорреляционного ядра 186 — пространства 124—130 Совместная оптимизация 152, 231 — плотность вероятности 176 — характеристическая функция 176 Согласованный фильтр 148, 243, 246, 252 — — для импульсов со случайным временем прихода 247 — — для обнаружения сигналов 277, 278, 291 — — физически реализуемый 261 Сопряженное пространство 46, 64 — ядро 70—74 — оператор 117, 125, 135 Составное отображение 19, 103 Спектр оператора 127 Спектральная плотность мощности 177 — — — дискретных компонент 206 — — — комплексной огибающей процесса 197 — факторизация 255, 260, 262 Спектральное представление 123— 130, 165 Среднеквадратическое значение 174, 178 Средний квадрат ошибки 226 — — —, минимальное значение 227 — — флюктуации 179, 184 Статистическая независимость 177 Стационарная точка 140 Стационарность в широком смысле 179 — — — при рандомизации фазы 200 Стационарный случайный процесс 178 Стробирование 47, 110, 167—171 Суперпозиция 101 Сфероидальные функции 158, 171 Сходимость 30 — в L2 (Г) 55 — операторов 116—120 Счетный процесс 218 Тождественный оператор 104, 110, 136 Трансверсальный фильтр 60, 129, 252 Узкополосные процессы 190—194 287—297 Уолша функции 61 Уплотнение времени 215 Фильтр с конечной памятью 263 Фредгольма интегральное уравне ние 142, 147, 155, 157, 283, 284 Функционал 22—24 — билинейный 134 — квадратичный 134—139 — линейный 44—48, 63—68 — ошибки 226 Функциональное пространство 36 — — L2 (Г) 37 Функция неопределенности времен- ная 39—41, 96 — — радиолокационная 96—99 — — частотная 96, 97 — распределения 279 Фурье преобразование 20, 74—76, 108, 136 — ряды 24, 25, 57, 66 — ядро 79 Ханкеля преобразование 79 Характеристическая функция 176 — — гауссовых случайных величин 273 Характеристический полином 127 Хартли модулятор 91 Хемминга расстояние 28 Циклостационарность 198 Циклостационарные процессы 198— 218 Частота 75 — центральная 84, 191, 194 — мгновенная 84, 194 Частотная манипуляция 292 — функция неопределенности 96, 97 Чебышева полиномы 58, 60 Шварца неравенство 32, 38, 44, 133, 141 Широтно-импульсная модуляция 206 Шумовая добавка 281, 296 Эквивалентности условия 15 Эквивалентные множества 14 — — в L2 (Т) 50 Энергия сигнала 12, 20, 37, 138, 145—154, 280 Эрмита полиномы 61 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому переводу ................... 5 Предисловие автора ......................... 7 Глава 1. Введение .......................... 9 1.1. Системы обработки сигналов ................ 9 1.2. Множества сигналов ................... 11 Операции над множествами ................ 13 Разбиение и отношение эквивалентности .......... 14 1.3. Отображения и функционалы ................ 18 Преобразование Фурье .................. 20 Функционалы ....................... 22 Представление рядами ................... 23 Дуальность времени и частоты ............... 24 Список литературы ......................... 26 Глава 2. Пространство сигналов ................... 26 2.1. Метрические пространства ................. 26 2.2. Сходимость и непрерывность ................ 30 2.3. Линейные пространства . . . . .......... 33 Представление конечномерных векторов .......... 35 2.4. Нормированные линейные пространства . . . ....... 36 2.5. Пространства со скалярным произведением ......... 37 Представление элементов векторного пространства со ска- лярным произведением .................. 41 2.6. Линейные функционалы .................. 44 Список литературы .......................... 48 Глава 3. Дискретные представления сигналов ........... . . 48 3.1. Подпространства из L^T) .................. 48 Сигналы, расположенные вне М^ (теорема проектирования) 50 3.2. Полные ортонормальные системы . . .......... 54 3.3. Примеры полных ортонормальных систем ......... 57 Комплексные гармонические функции. ........... 57 Полиномы Лежандра ................... 58 Полиномы Чебышева ................... 58 Функции Лагерра ..................... 59 Функции Лежандра .................... 60 Функции Чебышева ................... 60 Функции Эрмита ... ................. 61 Функции Уолша ..................... 61 3.4. Оператор разложения сигнала в аппаратурной реализации 63 Список литературы .......................... 69 Глава 4. Интегральные представления сигналов ............ 69 4.1. Непрерывные представления ................ 69 4.2. Базисные и сопряженные базисные ядра ........... 70 4.3. Преобразования Фурье, Гильберта и другие интегральные преобразования ...................... 74 Преобразование Фурье .................. 74 Базисные ядра, зависящие от разности аргументов ..... 76 Базисные ядра, зависящие от произведения аргументов ... 79 4.4. Представление узкополосных сигналов .......... 82 Комплексная огибающая сигнала ............. 82 Полосовая фильтрация .................. 87 Радиолокационная функция неопределенности ....... 95 Список литературы .......................... 100 341 Г лава 5. Представление линейных операторов ........ . . ... 100 5.1. Введение ......................... 100 5.2. Линейные преобразования ................. 102 5.3. Представление линейных преобразовании, действующих в конечномерном пространстве. Представление с помощью век- гор-откликов ........................ 104 Представление последовательностью линейных функциона- лов ..... ....................... 105 Матричное представление .................. 105 5.4. Представление операторов, действующих в пространстве L2 (Г) .......................... 106 Смешанный базис ..................... 108 Классификация операторов ................ 109 5.5. Приближенное представление операторов, действующих в L2 (Т) ......................... 113 Приближение операторов по норме ............ 116 Компактные операторы . ................. 116 5.6. Реализация вырожденных операторов ............ 120 5.7. Спектральное представление операторов ........... 123 Собственные значения и собственные пространства ..... 124 Сопряженный оператор .................. 125 Спектральное представление нормальных вырожденных опера- торов . . ....................... 126 Спектральное представление нормальных компактных опе- раторов .......................... 128 Список литературы ......................... 131 Глава 6. Числовые характеристики сигналов ............. 131 6.1. Введение ......................... 131 Произведение длительности на полосу ........... 132 6.2. Квадратичные функционалы ................ 134 6.3. Некоторые характерные квадратичные функционалы во вре- менной и частотной областях ............... 137 6.4. Вариационная задача без ограничений ........... 139 Градиент линейного и квадратичного функционалов .... 140 6.5. Вариационная задача при наличии ограничений ....... 142 6.6. Некоторые примеры .................... 145 6.7. Область, занимаемая сигналом на плоскости время—частота 154 Обобщенный принцип неопределенности ........... 155 Межсимвольные искажения . . .............. 160 Синхронные импульсные последовательности, критерий Найквиста, теорема отсчетов . . ............... 162 6.8. Приближенное число измерений пространства сигналов . . . 164 Стробирование и фильтрация ............... 167 Список литературы .......................... 172 Глава 7. Представления случайных сигналов ............. 173 7.1. Введение ......................... 173 7.2. Случайные величины и ожидания ............. 174 7.3. Случайные процессы ................... 178 Автокорреляционная и автоковариационная функция .... 178 7.4. Двумерные комплексные процессы ............. 180 Фильтрация случайных процессов ............ 181 Спектральная плотность мощности. ............ 182 7.5. Конечномерные представления случайного процесса ..... 184 Разложение Карунена—Лоэва ............... 185 7.6. Узкополосные процессы .................. 190 Комплексная огибающая процесса ............. 191 Полосовая фильтрация .................. 192 Список литературы ......................... 194 342 Глава 8. Модели случайных процессов . . ............. 195 8.1. Введение ......................... 195 8.2. Импульсные сигналы со случайной амплитудой и случайным временем прихода ..................... 195 Одиночный импульс ................... 196 Последовательность импульсов ............... 197 8.3. Процессы с циклической стационарностью ......... 198 Операция дискретизации. ..;............... 198 Рандомизация фазы .................... 200 Синхронизированные импульсы с амплитудной модуляцией 203 Теорема отсчетов ...................... 204 Спектральная плотность мощности АИМ сигнала ....... 205 8.4. Влияние кодирования на спектральную плотность. ..... 207 Дифференциальное двоичное кодирование ......... 208 Биполярное кодирование ................. 210 Парциальное кодирование ................. 212 8.5. АИМ сигналы с временной нестабильностью ........ 214 8.6. Сигналы с временным уплотнением ............ 215 8.7. Процессы, связанные с пуассоновскими .......... 218 Случайный фототелеграфный сигнал. ............ 220 Случайная последовательность импульсов ......... 222 Список 'литературы .......................... 224 Глава 9. Оптимальная фильтрация сигналов ............. 225 nnc 9.1. Введение ......................... ^^ 9.2. Минимизация среднего квадрата ошибки при оценке пара- метра .......................... 226 Принцип ортогональности ................ 227 9.3. Непрерывная оценка формы сигнала ............ 228 Влияние аддитивного шума ... ............ 229 Влияние мультипликативного шума ............ 235 Канал со случайными дисперсионными свойствами ..... 238 9.4. Оценка импульсных амплитуд ............... 242 Согласованный фильтр. .................. 243 Согласованный фильтр для импульсов со случайными искаже- ниями ... .......................... 246 Помехи за счет смежных импульсов ............ 249 9.5. Периодическая оценка формы сигнала ........... 250 9.6. Условие физической реализуемости ............. 254 Физически реализуемый фильтр с ограниченным усилением 260 Физически реализуемый согласованный фильтр . . .... 261 Фильтр с конечной памятью ... ............ 263 Список литературы ......................... 264 Глава 10. Обнаружение сигналов ................... ^.w 10.1. Введение ........................ 265 10.2. Критерий отношения правдоподобия . . ......... 266 10.3. Критерий Неймана—Пирсона ............... 271 10.4. Обнаружение бинарных сигналов в белом гауссовом шуме 273 Совместная плотность вероятности для гауссовых случайных величин. ......................... 274 Отношение правдоподобия для аддитивного гауссова шума 276 • Реализация приемника .................. 277 10.5. Двоичное обнаружение сигналов в окрашенном гауссовом шуме .......................... 282 Характеристика приемника ................ 284 10.6. Узкополосные сигналы — некогерентное обнаружение 287 Список литературы .......................... 297 Решения задач ........................... 298 Предметный указатель ......................... 337 343 Френкс Л. Ф87 Теория сигналов. М, «Сов. радио», 1974. 344 с. с ил. Рассматриваются различные способы представления и описания сигналов, а, также свойства и характеристики оптимальных сигналов и оптимальных систем их обработки. Охвачены как детерминистический, так и статистический аспекты теории сигналов. Последовательно раз- виваются концепции пространства сигналов как основного метода ис- следования. Показывается глубокая связь, идейная общность соответ- ствующего математического аппарата и инженерных проблем. Книга полезна всем, кто интересуется теорией информации и смеж- ными вопросами. Особенно рекомендуется аспирантам, студентам, ин- женерам, научным работникам радиотехнического и радиофизического профиля. ф 30401-046 7.73 6Ф2.4 046(0))-74 Л. ФРЕНКС ТЕОРИЯ СИГНАЛОВ Перевод с английского М. Р. КРАЕВСКОЙ ч Р. М. СЕДЛЕЦКОГО под ред. Д. Е. ВАКМАНА Редактор К. И. Кучумова Художественный редактор В. Т. Сидоренко Обложка художника Б. К. Шаповалова Технический редактор 3. Н. Ратникова Корректор Н. М. Кухтяева Сдано в набор 30/IX 1973 г. Подписано в печать 20/III 197,4 г. формат 60Х90'/ц Бумага типографская № 2 Объем 21,5 усл. п. л., 21,985 уч.-изд. л. Тираж 16500 экз. Зак. 527 Цена 1 р. 68 к. Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт а/я 693 Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, И-41, Б. Переяславская ул., дом. № 46