517.2 Н64 УДК 517 Курс математического анализа, том I, С. М. Никольский. Главная редакция физико-математи- ческой литературы изд-ва «Наука», 1975. 432 Учебник для студентов физических и механико- математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Москов- ском физико-техническом институте. Фактически при- нят как учебное пособие в некоторых втузах с повы- шенной программой по математике. Первый том содержит дифференциальное исчис- ление функций одной и многих переменных, ряды и интегральное исчисление для функций одной пере- менной. Илл. — 83. 20403-075 053(02)-75 18"75 I Главная редакция физико-математической литературы изд-ва &Наука», с изменениями, 1975. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к первому изданию ....................... 7 Предисловие ко второму изданию ...................... 10 Глава 1 Введение ..................................... 11 § 1.1. Вступление ............................. 11 § 1.2. Множество. Интервал, отрезок .................. 11 § 1.3. Функция .............................. 14 § 1.4. Понятие непрерывности функции. ................ 24 § 1.5. Производная. ............................ 27 § 1.6. Первообразная. Неопределенный интервал ........... 33 § 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры ............................... 35 Глава 2 «* Действительное число .............................. 41 § 2.1. Рациональные и иррациональные числа. ............ 41 § 2.2. Определение неравенства ..................... 45 § 2.3. Определение арифметических действий ............. 46 § 2.4. Основные свойства действительных чисел ............ 49 § 2.5. Точные верхняя и нижняя грани множества .......... 52 § 2.6. Другие формулировки свойства V ................ 53 § 2.7. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Длина отрезка, физические величины .............. 55 § 2.8. Дополнение ............................. 61 § 2.9. Неравенства для абсолютных величин .............. 63 Глава 3 Предел последовательности .......................... 64 § 3.1. Понятие предела последовательности .............. 64 § 3.2. Арифметические действия с пределами ............. 68 § 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины ...... 70 § 3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последо- вательности ............................. 72 § 3.5. Число е ............................... 73 § 3.6. Критерий Коши существования предела............. 74 § 3.7. Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы ..... 76 § 3.8. Теорема Вейерштрасса....................... 82 § 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел ......... 83 Глава 4 Предел функции ................................. 86 § 4.1. Понятие предела функции .................... 86 § 4.2. Непрерывность функции в точке ................ 93 1* 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция . . 99 § 4.4. Функции, непрерывные на отрезке ............... 103 § 4.5. Обратная функция ........................ 106 § 4.6. Показательная и логарифмическая функции .......... 109 § 4.7. Степенная функция х1' ...................... 113 § 4.8. Еще о числе е ........................... 115 § 4.9. lim sln-^. ............................. 116 х-^о х § 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика). .... 116 Глава 5 Дифференциальное исчисление для функций одной переменной ....... 121 § 5.1. Производная ............................ 121 § 5.2. Дифференциал функции ..................... 125 § 5.3. Производная функции от функции ............... 127 § 5.4. Производная обратной функции ................ 129 § 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций 131 § 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка ....... 132 § 5.7. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Локальный экстремум ...................... 136 § 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убы- вания функции на интервале. Достаточные критерии локаль- ных экстремумов ......................... 138 § 5.9. Формула Тейлора ......................... 143 § 5.10. Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций 151 § 5.11. Ряд Тейлора ............................ 155 § 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба ......... 158 § 5.13. Выпуклость кривой на отрезке ................. 160 § 5.14. Раскрытие неопределенностей .................. 161 § 5.15. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции ...... 1Р6 Глава 6 га-мерное пространство. Геометрия кривой .................. 169 § 6.1. я-мерное пространство. Линейное множество ......... 169 § 6.2. Евклидово п-мерное пространство. Пространство со скаляр- ным произведением ........................ 170 § 6.3. Линейное нормированное пространство ............. 173 § 6.4. Вектор-функция в п-мерном евклидовом -пространстве .... 174 § 6.5. Кривая в л-мерном пространстве ................ 177 § 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции ..... 183 § 6.7. Длина дуги кривой ........................ 184 § 6.8. Касательная. Нормаль к плоской кривой ........... 186 § 6.9. Кривизна и радиус кривизны кривой. Плоская кривая Эво- люта и эвольвента ........................ 188 § 6.10. Соприкасающаяся плоскость и подвижный триэдр кривой 192 § 6.11. Асимптота ............................. 197 § 6.12. Замена переменных ........................ 199 Г л а в а 7 Дифференциальное исчисление функций многих переменных ........ 201 § 7.1. Открытое множество ....................... 201 § 7.2. Предел функции. ........................ 204 § 7.3. Непрерывная функция ................... . 207 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 7.4. Частные производные и производная по направлению .... 211 § 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость .... 2!2 § 7.6. Производная сложной функции; производная по направле- нию; градиент ........................... 216 § 7.7. Независимость от порядка дифференцирования ........ 222 § 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка 224 § 7.9. Предельная точка. Теорема Вейерштрасса. Замкнутые и открытые множества ....................... 228 § 7.10. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом множестве ....................... 233 §7.11. Продолжение равномерно непрерывной функции. Частная производная на границе области ................ 238 § 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля . . . 240 § 7.13. Формула Тейлора ......................... 241 § 7.14. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано. Единствен- ность ................................ 245 § 7.15. Локальный (абсолютный) экстремум функции ......... 246 § 7.16. Теоремы существования неявной функции ........... 250 § 7.17. Теорема существования решения системы уравнений ..... 254 § 7.18. Отображения. ................"........... 258 § 7.19. Гладкая поверхность ....................... 260 § 7.20. Гладкая поверхность, заданная параметрически. Ориенти- руемая поверхность ........................ 264 § 7.21. Пример неориентируемой поверхности. Лист Мёбиуса .... 269 § 7.22. Локальный "относительный экстремум .............. 269 § 7.23. Особые точки кривой ....................... 276 § 7.24. Кривые на поверхности ..................... 280 § 7.25. Криволинейные координаты в окрестности гладкой границы области .............................'*.. 285 § 7.26. Замена переменных в частных производных .......... 287 § 7.27. Система зависимых функций ................... 291 Глава 8 Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов .............. 295 § 8.1. Введение. Методы замены переменных и интегрирования по частям ............................... 295 § 8.2. Комплексные числа ........................ 300 § 8.3. Предел последовательности комплексных чисел. Функция комплексного переманного .................... 305 § 8.4. Многочлены ............................ 308 § 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби 312 § 8.6. Интегрирование рациональных дробей ............. 317 § 8.7. Метод Остроградского выделения рациональной части из ин- теграла ............................... 318 § 8.8. Интегрирование алгебраических иррациональностей ..... 321 § 8.9. Подстановки Эйлера ....................... 322 § 8.10. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева . ..... 324 §8.11. Интегрирование тригонометрических выражений ....... 325 § 8.12. Тригонометрические подстановки ................ 328 § 8.13. Несколько важных интегралов, не выражаемых в элемен- тарных функциях ......................... 329 Глава 9 Определенный интеграл Римана ........................ 331 § 9.1. Вводная часть и опргделение .................. 331 § 9.2. Ограниченность интегрируемой функции ............ 332 6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 9.3. Суммы Дарбу ........................... 333 § 9.4. Основная теорема ......................... 335 § 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и мо- нотонной функции на [а, Ь] ..•..•• ............ 338 § 9.6. Теорема Лебега ................. ......... 339 S 9.7. Аддитивные и однородные свойства интеграла ........ 340 § 9.8. Неравенства и теорема о среднем................ 343 § 9.9. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньюто- на—Лейбница ........................... 345 § 9.10. Вторая теорема о среднем .................... 349 § 9.11. Видоизменение функции ..................... 350 § 9.12. Несобственные интегралы .................... 351 § 9.13. Несобственные интегралы от неотрицательных функций . . . 355 § 9.14. Интегрирование по частям .................... 358 § 9.15. Несобственный интеграл и ряд ................. 360 S 9.16. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точ- ках ................................ 364 § 9.17. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме. .... 367 § 9.18. Формулы Валлиса и Стирлинга ................. 368 Глава 10 Некоторые приложения интегралов. Приближенные методы ......... 372 § 10.1. Площадь в полярных координатах .............. 372 § 10.2. Объем тела вращения ...................... 373 § 10.3. Длина дуги гладкой кривой .................. 374 § 10.4. Площадь поверхности тела вращения ............. 376 § 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа ........... 377 § 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций . . . 378 § 10.7. Общая квадратурная формула. Функционал ......... 379 § 10.8. Формула Симпсона ....................... 380 § 10.9. Общий метод получения оценок квадратурных формул . . . 382 § 10.10. Еще о длине дуги ........................ 385 § 10.11. Число я. Тригонометрические функции. ........... 387 Глава 11 Ряды ....................................... 391 § 11.1. Понятие ряда .......................... 391 § 11.2. Действия с рядами ....................... 393 § 11.3. Ряды с неотрицательными членами .............. 394 § 11.4. Ряд Лейбница .......................... 398 § 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды. ................. 399 § 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами.............................. 400 § 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходи- мость ............................... 402 § 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходя- щихся рядов на отрезке .................... 407 § 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов 411 § 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом сред- них арифметических ....................... 416 § 11.11. Степенные ряды ......................... 417 § 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. . . 420 § 11.13. Степенные ряды функций е^, cos г, sin г комплексной пере- менной .............................. 423 Предметный указатель............................. 426 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Этот учебник, выходящий в двух томах, соответствует, если не считать некоторых добавлений, программе курса математического ана- лиза, читаемого мною уже много лет в Московском физико-техниче- ском институте. Первая глава носит вводный характер. В ней на основе интуитивных представлений о пределе вводятся основные понягия математического анализа и даже на основании наглядных и физических соображений устанавливается связь между производной и интегралом и даются элементы техники дифференцирования и интегрирования, нужные читателю, изучающему параллельно физику. Вторая глава посвящена действительному числу. В основу по- нятия числа взято его представление в виде бесконечной десятич- ной дроби. Только часть этой главы—крупный шрифт,—рас- сматривается как обязательная. При желании она может быть еще уменьшена. Я придерживаюсь точки зрения, впрочем, традиционной, что основ- ные факты математического анализа сначала должны быть изложены для функций одной переменной, а затем уже для многих переменных. Здесь неизбежны повторения, но они незначительны. С другой стороны, для такой аудитории, какой являются студенты наших мехматов, физ- матов и физтехов, вполне возможно переходить от одной не к двум и не к трем, а сразу же к я переменным. Весь вопрос тут только в удачных обозначениях. Но они уже выработаны в журнальной и монографической литературе, целесообразность их уже проверена и теперь они должны-становиться достоянием наших учебников. Такой подход обеспечивает правильную перспективу. Ведь во второй поло- вине курса, — в таких разделах как ряды Фурье, интеграл Фурье, — читателю придется овладевать представлением о бесконечномерности функциональных пространств. В своем изложении я достаточно рано ввожу понятие /г-мерного евклидова пространства, пространства со скалярным произведением, банахова пространства и широко пользуюсь этими понятиями, однако, в меру необходимости выполнения программы. Как требуется программами, изложение курса ведется на основе интеграла Римана. Я старался аналогичные теоремы в одномерном и многомерном случаях доказывать аналогично, чтобы сэкономигь силы читателя для других вопросов. 8 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Очень деликатный вопрос—как быть с полнотой пространств L и L2? Чтобы решить этот вопрос, я не строю абстрактные эле- менты, заменяющие функции, интегрируемые по Лебегу, и в основном тексте ограничиваюсь только разъяснениямя о том, как соответствую- щий факт выглядел бы в терминах интеграла Лебега. Впрочем, учебник снабжен добавочной главой 19 (том II), посвя- щенной интегралу Лебега. Я уверен, что многие мои читатели по собственной инициативе будут заглядывать в нее. Они от этого ничего не потеряют. Современная математическая физика, которую им придется изучать, нуждается в интеграле Лебега. Например, прямые вариацион- ные методы математической физики немыслимы без употребления интеграла Лебега. К чтению главы 19 читатель будет вполне подго- товлен после того как он познакомится с понятием меры Жордана. Главы 17 и 18 (том II) тоже дополнительные. В главе 18 уделено место таким важным понятиям современного анализа, как усреднение функции по Соболеву и разбиение единицы. По-настоящему они должны входить в обязательные программы повышенных курсов анализа. Глава 17 посвящена дифференцируемым многообразиям и диффе- ренциальным формам. Кульминационным ее пунктом является доказа- тельство теоремы Стокса в й-мерном пространстве. Эта глава может служить проверкой того, насколько оказался подготовленным чита- тель, освоивший эту книгу. Я желал, чтобы мой читатель, освоив курс, легче ориентировался в методах математической физики. Ряд добавлений сделан именно исходя из интересов математической физики. Большое ноле деятель- ности здесь возникает при изложении вопросов, связанных с функциями многих переменных. Здесь наша педагогическая мысль должна еще поработать. Я надеюсь, что и моя книга вносит некоторую лепту в это трудное дело. Я хочу отметить книги, оказавшие на меня большое влияние. Во-первых, это «Курс анализа бесконечно малых» Ш. Ж. де ла Валле-Пуссена. Двухтомник Валле-Пуссена, память которого я хочу здесь почтить, я старательно изучал будучи студентом, а теперь он служит моей настольной книгой. Во-зторых, эта книга «Введение в теорию функций действитель- ного переменного» П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова, кото- рую я тоже в свое время старательно изучил и, следуя ей, читал свои курсы в Днепропетровском университете. Но я, кроме того, неоднократно слушал лекции этих двух выдающихся авторов, один и:-; них — А. Н. Колмогоров — мой научный учитель. Выражаю им здесь свою глубокую благодарность. Я хочу выразить свою признательность коллективу кафедры мате- матики Московского физико-технического инстнгута, в котором я рабо- таю двадцать пять лет, в течение которых много раз обсуждались вопросы преподавания математического анализа. Конечно, при этом я должен особо выделить моих коллег проф. Л. Д. Кудрявцева, ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 9 заведующего кафедрой, и проф. О. В. Бесова, беседы с которыми были особенно интенсивными. С первыми главами рукописи книги детально ознакомились мои коллеги проф. Е. А. Волков и проф. П. И. Лизоркин, отметив име- ющиеся там недочеты, которые я устранил. Главу 17, посвященную дифференциальным формам, внимательно прочитал проф. Р. В. Гам- крелидзе; многие его советы я учел. Мне были очень полезны также советы проф. А. А. Дезина, с которым я беседовал по этому вопросу. Мои официальные рецензенты академик И. Н. Векуа и кафедра математики Московского института электронного машиностроения весьма благожелательно отнеслись к моей книге; они дали ряд полез- ных советов, которыми я воспользовался. Я учел, конечно, и советы моего коллеги, редактора книги А. А. Вашарина, тщательно прочитавшего текст рукописи и прове- рившего его во всех деталях. Всем указанным лицам я приношу свою глубокую благодарность. 1970 С. /И. Никольский ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Для 2-го издания сделаны изменения, носящие чисто педагогиче- ский характер (см., в частности, §§ 3.7, 3.8, 5.8, 5.11, 6.2, 6.11, 7.5, 7.12, 7.22, 8.5, 10.10). Иногда они свелись к перераспределению мате- риала внутри параграфа. Менее нужные факты по возможности отно- сились в конец параграфа, чтобы в случае необходимости можно было их опустить без ущерба для понимания дальнейшего текста. Автор считает существенными следующие недочеты, замеченные в 1-м издании тома I: стр. 223, строки 5, 6 снизу, следует читать так: Л^А^/,/= Ay/, [f(x + h, y)-f(x, у)} == = h [fy (x + h, у + Qh) -fy (x, у + Qh)} = == A2/;; (x + 6Д у + О/О = h2 [/;; (х, у) + е] стр. 173, строки 5, 6 снизу, следует читать так: ст неотрицательное число. Я благодарю А. А. Вашарина, Ю. С. Никольского, А. М. Поло- суева и С. А. Теляковского, обративших мое внимание на некоторые недочеты в 1-м издании. 1974 С. М. Никольский Г ла в а I ВВЕДЕНИЕ § 1.1. Вступление Название «Математический анализ» представляет собой сокращенное видоизменение старого названия «Анализ бесконечно малых». Последнее больше говорит, но оно тоже сокращенное. Название «Анализ посредст- вом бесконечно малых» характеризовало бы предмет более точно. Было бы лучше, если бы название отражало те объекты, кото- рые подвергаются анализу (изучению). В классическом математическом анализе такими объектами являются прежде всего функции, т. е. пере- менные величины, зависящие от других переменных величин. Мы говорим «прежде всего», потому что дальнейшее развитие математического анализа привело к возможности изучения его мето- дами более сложных образований, чем функции (функционалов, опера- торов и т. д.). Но об этом говорить пока рано. Ближайшей нашей задачей является изучение достаточно общих, встречающихся на прак- тике функций методами бесконечно малых или, что все равно, мето- дами пределов. В чем заключаются эти методы — это постепенно будет разворачиваться перед читателем в дальнейшем. Скажем пока, что эти методы, в частности, приводят к очень важным операциям над функциями—дифференцирования и интегрирования. Параграфы 1.2, 1.3 посвящены понятиям множества и функции. Следующие три параграфа, 1.4—1.6, носят чисто вводный харак- тер. Из них читатель получит представление об основных понятиях математического анализа, которые будут подробно в развернутом виде изучаться в этой книге, — непрерывности, производной, неопределен- ного и определенного интегралов. Понятием предела мы, конечно, здесь пользуемся, но вовсе его пока не определяем и не разъясняем, всецело пока полагаясь на интуицию читателя. Возможен и такой способ чтения книги, при котором параграфы 1.4—1.6 выпускаются, с тем чтобы впоследствии возвратиться к ним по мере ссылок на них. § 1.2. Множество. Интервал, отрезок Любое собрание или совокупность каких-либо предметов назы- вают в математике множеством. Например, можно говорить о мно- жестве всех деревьев, находящихся на данной поляне, или о множе- стве гусей, пасущихся на ней, или о множестве всех целых чисел. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абеля преобразование 405 — теорема о сходимости степенного ряда 417 — теоремы о рядах 405, 422 Абсолютная величина числа 46 Абсолютно сходящийся интеграл 354 — — ряд 399, 401, 412 Аддитивность интеграла 340 Алгоритм Евклида 310 Аналитическая функция 157, 425 Аргумент (независимая переменная) 14 — комплексного числа 302 Арифметические действия над числами 47, 48, 300 .Архимедово свойство чисел 50 Асимптота 197 Асимптотическое равенство 118 Ассоциативный закон сложения чисел 49 — — умножения чисел 50 Астроида 182 Бесконечная десятичная дробь 43 Бесконечно большая величина (после- довательность) 70 — малая величина (последователь- ность) 70 Бесконечный интервал 13 — полуинтервал 13 — предел 70 Бином Ньютона 31, 145, 154 Биномиальный дифференциал 324 Бинормаль кривой 194 Бореля лемма 240 Буняковского неравенство 171 Валлиса формула 368 Вейерштрасса признак равномерной сходимости 404 — теорема 82 — — об ограниченности непрерывной функции 104 — — об экстремальных значениях не- прерывной функции 104 Вектор /г-мерный 169 Вектор-функция 174 Величина (последовательность) беско- нечно большая 70 — (—) — малая 70 — физическая 61 Верхний интеграл Дарбу 334, 338 Верхняя грань точная 52 — сумма Дарбу 333, 334 Винтовая линия 195 Вложенных отрезков лемма 51 — прямоугольников лемма 240 Внутренняя точка множества 203 Выпуклость кривой в точке 158 — — на отрезке 160 Гамильтона оператор (набла) 220 Гармонический ряд 396 Гиперболическая точка 283, 284 Главная нормаль кривой 193 Главное значение интеграла по Коши 367 Главные радиусы кривизны 282 Главный линейный член приращения 126, 213, 214, 225 — степенной член функции 120 Годограф вектор-функции 177 Градиент функции 218 Граница множества 232 Грань точная верхняя 52 — — нижняя 52 График функции 16 Даламбера признак сходимости ряда 395 Дарбу интегральные суммы 333 Дедекинда сечение 54 Действительная часть комплексного числа 302 Действия над числами арифметические 47, 48, 300 Десятичная дробь 42 — — бесконечная 43 Дирихле признак 359, 405 — функция 338 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 427 Дирихле ядро 305 Дифференциал биномиальный 324 — функции 126, 214, 225 Дифференциалы высших порядков 134, 135, 226 Дифференцирование рядов 409, 420 Дифференцируемое многообразие 182 Длина дуги кривой 184, 186, 374, 385 Допустимые параметры гладкой кри- вой 178 — — — поверхности 266 Евклида алгоритм 310 Евклидово га-мерное пространство 170, 172 е (число) 73, 74, 115 Жордана кривая 180 — теорема 181 Зависимая переменная 14, 134, 224 Замена переменных 199, 200, 287 — —, метод дифференциалов 290 Замкнутое множество 230 Значение интеграла главное по Коши 367 Изолированная точка множества 234 Изоморфизм 55, 56, 301 Инвариантность формы первого диф- ференциала 135, 227 Интеграл, аддитивность 340 — Дарбу верхний 334 — — нижний 334 — неопределенный 34, 295 — несобственный 351—366 — определенный 36, 37, 331 — от монотонной функции 338 — от непрерывной функции 338 — с переменным верхним пределом 345 — сходящийся абсолютно 354 — эллиптический 329, 330 Интегральная сумма Дарбу 333 — — Римана 36, 331 — теорема о среднем 344, 349 Интегральный признак сходимости ря- дов 361 Интегрирование подстановкой 296, 348 — по частям 298, 348, 358 — рядов 408, 419 —- тригонометрических выражений 325 Интервал 13 Интерполяционный многочлен Лагран- жа 377 Иррациональное число 42, 44 Касательная 28, 30, 31, 184, 186 Колебание функции в точке 236 — — на множестве 236, 334 Коммутативный закон сложения чисел 49 — — умножения чисел 50 Комплексное число 300 — — сопряженное 304 Комплекснозначная функция 307 Координаты криволинейные 285 — полярные 23 Корень (нуль) многочлена 309 Коши вид остаточного члена формулы Тейлора 147 — критерий для несобственных ин- тегралов 352 — — для последовательностей 75, 76 — — для рядов 391 — — для функций 91, 204 — — равномерной сходимости 403 — неравенство 173 — признак сходимости ряда 395 — теорема о среднем 139 Край поверхности 261 Кратный ряд 411 Кривая гладкая 178 — Жордана 180 — замкнутая 180 — кусочно гладкая 180 — — непрерывная 167, 180 — непрерывная 177 — ориентированная 178 — плоская 189 — самонепересекающаяся 180 — спрямляемая 184 Кривизна кривой 188 — —, радиус кривизны 188 — —, центр кривизны 190, 194 Критерий Коши для несобственных интегралов 352 Круг сходимости степенного ряда 418 Кручение кривой 194 Куб 201, 203 Кусочно гладкая кривая 180 Лагранжа вид остаточного члена фор- мулы Тейлора 147, 149, 243 — теорема о среднем 139 Лапласа оператор 290 Лейбница формула 133 Линейное множество 169 — нормированное пространство 173 Лист Мёбиуса 269 Локальный экстремум 137, 246 — — относительный 269 Лопиталя правило 161—166 428 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Максимум локальный 137, 246 Мгновенная скорость 28, 31 Метод дифференциалов 290 — множителей Лаграпжа 271 Минимум локальный 137, 246 Минковского неравенство 173 Мнимая часть комплексного числа 302 Многообразие одномерное дифферен- цируемое 182 Многочлен 22, 208, 308 — Лагранжа 377 — Тейлора 143 Множество 11, 12 — замкнутое 230 — линейное 169 — неограниченное 52, 229 — ограниченное 52, 229 — — сверху 52 — — снизу 52 — открытое 202 — производное 82 — счетное 83 —, точка предельная 228 Множителей Лагранжа метод 271 Модуль комплексного числа 302 — непрерывности 235 Набла (оператор Гамильтона) 220 Независимая переменная 14, 134, 224 Необходимое условие интегрируемости функции 332 — — сходимости ряда 392 Неопределенностей раскрытие 162 Непрерывная вектор-функция 175 — кривая 177 — функция 93, 94, 207, 233 — — комплексного переменного 306 Непрерывность действительных чисел 51 Неравенство Бернулли 110 — Буняковского 171 — Коши 173 — Минковского 173 — треугольника 173 — чисел 45 Несчетность действительных чисел 85 Неявная функция 21, 250 Нижний интеграл Дарбу 334 — предел последовательности 78 Нижняя грань точная 52 — сумма Дарбу 333, 334 Норма элемента 172, 173 Нормаль (к кривой) 187, 193 — главная 193 Ньютона — Лейбница теорема 39, 347 Область определения функции 14 Обобщенная производная ?,39 Образ посредством функция 15 Обратная функция 106 Обратные тригонометрические функ- ции 23, 388, 389 Объединение (сумма) множеств 13 Объем тела вращения 373 Однозначная функция 18 Односторонние окрестности 99 — пределы 99, 100 Окрестность символов оо, + °°. — °° 99 — точки 65, 99, 202 Оператор Лапласа 290 Операция дифференцирования 30 — интегрирования 36 Ориентированная кривая 178 Ориентируемая поверхность 267 Особая точка кривой 276 Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме 244, 367 — — — — в форме Коши 147 — — — — — — Лагранжа 147, 243 —————— Пеано 149, 245 Остроградского метод 318 Отображение 258 Отрезок (числовой) 12 Параметры гладкой кривой допусти- мые 178, 179 — — поверхности допустимые 266 Первообразная 33, 296 Переменная (величина) 14 — зависимая 14, 134, 224 — независимая 14, 134, 224 Переместительный (коммутативный) закон сложения 49 — (—) — умножения 50 Пересечение множеств 13 Плоскость касательная 214, 262 — соприкасающаяся 192 Площадь в полярных координатах 372 — криволинейной фигуры 36 — поверхности 376 Поверхность гладкая 260, 261 — ориентированная 267 — ориентируемая 267 —, параметрически заданная 264 — самопересекающаяся 265 Подпоследовательность 76 Подстановки Эйлера 322, 323 Полином (многочлен) 22, 208, 308 Полярные координаты 23 Порядок дифференцирования 222 — переменной 116 429 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Последовательность 64 — бесконечно большая 70 — — малая 70 — монотонная 73 — неубывающая 46 — ограниченная 72 —, — сверху 46 — стабилизирующаяся 46 — функций (функциональная) 403 — —, равномерно сходящаяся 403, 404 Правило Лопнталя 161—166 Предел вектор-функции 175 — по направлению 205 — последовательности 64, 65 — — верхний 78 — — комплексных чисел 305 — — нижний 78 — — слева 99 — — справа 99 — функции 86, 87, 204 Предельная точка множества 228 Преобразование Абеля 405 Признак равномерной сходимости Абе- ля 406 — — — Вейерштрасса 404 — — — Дирихле 405 — сходимости рЭДз Даламбера 395 — — — интегральный 361 — — — Коши 395 Приращение аргумента 25 — функции 25, 95 — —, главный линейный член 126, 213, 214, 225 Произведение комплексных чисел 301 — скалярное 171 Производная 27, 30, 121, 122 — бесконечно большая 122 — в параметрическом виде. 180 — вектор-функции 176, 183 — высшего порядка 132 — левая 30, 122 — обобщенная 239 — обратной функции 130 — по направлению 211, 217, 218 — правая 30, 122 — суперпозиции (функции от функ- ции) 127, 216 — частная 211, 239 Производное множество 82 Пространство евклидово (га-мерное) 170, 172 — линейное нормированное 173 — со скалярным произведением 171 Прямоугольник 201 Равномерная непрерывность 235, 236 — — частной производной 239 Равномерно сходящаяся последова- тельность 403, 404 — сходящийся ряд 404 Радиус кривизны 188 — сходимости степенного ряда 417 Радиусы кривизны главные 382 Разность комплексных чисел 300, 301 — множеств 13 — последовательностей 68 Разрыв второго рода 103 — первого рода 102 Рациональная функция 22, 208, 312 Рациональное число 41, 43 Римана интегральная сумма 331 Ролля теорема о среднем 138 Ряд 391 — гармонический 396 — кратный 411 — Лейбница 398 — равномерно сходящийся 404 — с неотрицательными членами 394 — степенной 156, 417 — — сходящийся 391 — —, теорема о сходимости 417 — сходящийся абсолютно 399, 401, 412 — — безусловно 401 — — условно 401 —, теоремы Абеля о рядах 405, 406, 417, 423 — Тейлора 155 — функций 402 Свойство Архимеда вещественных чи- сел 50 Сечение Дедекинда 54 Система зависимых функций 291 Скалярное произведение 171 Скорость мгновенная 28, 31 Сложение чисел 49 Сочетательный (ассоциативный) закон сложения 49 — (—) — умножения 50 Спрямляемая кривая 184 Средняя скорость 28 Степенная функция 22, 113 Степенной ряд 156, 417 Стирлинга формула 370 Строго возрастающая функция 136 — убывающая функция 136 Сумма Дарбу интегральная 333 — (объединение) множеств 13 — последовательностей 68 — Римана интегральная 36, 331 — ряда 155, 391 — — частичная 391 Суммирование рядов 416 430 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Суперпозиция функций 15 Существование •л/~а 109 — решения системы уравнений 254 Сходимость степенного ряда 417 — — —, круг сходимости 418 Счетное множество 83 Таблица интегралов 296 — производных 131 Тейлора многочлен 143, 146 — ряд 155 — формула 144, 242, 367 Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости 404 — — об ограниченности непрерывной функции 104 — — об экстремальных значениях не- прерывной функции 104 — Коши о промежуточных значениях непрерывной функции 106 — — о среднем 139 — Лагранжа о среднем 139 — Лебега 340 — о среднем интегральная 344, 349 — — — Ролл я 138 — Ньютона — Лейбница 39, 347 — Ферма 138 — Чебышева 325 Теоремы Абеля о рядах 406, 417, 423 Точка возврата кривой 279 — выпуклости кверху 158 — — книзу 158 — гиперболическая 283, 284 — множества внутренняя 203 — — изолированная 234 — — граничная 231 — параболическая 283, 284 — перегиба 159 — разрыва 94 — — второго рода 103 — — первого рода 102 — стационарная 271 — устранимого разрыва 103 — эллиптическая 283, 284 — п-мерного пространства 169 Тригонометрическая форма комплекс- ного числа 302, 303 Умножение чисел 50 Условие необходимое интегрируемости функции 52 — — сходимости ряда 391 Формула Валлиса 368 — квадратурная 378, 382 — Лейбница 133 Формула Менье 281 — Ньютона—Лейбница 39, 347 — Остроградского 318 — прямоугольников 378 — Симпсона 380, 381 — Стирлинга 370 — Тейлора 144, 242, 367 — трапеций 379 — Френе 195 Функции эквивалентные 118 Функционал 380 — линейный 380 Функция 14, 19 — аналитическая 157, 423 — бесконечно дифференцируемая 157 — гладкая 166 — Дирихле 338 — дифференцируемая 125, 213 — комплексного переменного 306 — комплекснозначная от действитель- ного переменного 307 — кусочно гладкая 167 — — непрерывная 167 — логарифмическая 112, 423 — многих переменных 19 — многозначная 18, 106 — монотонная 100 — на множестве 233 —, непрерывная в точке 25, 93, 94, 207 —, — — — слева 102 —, — — — справа 102 —, — на замкнутом ограниченном множестве 26, 203, 234 — нечетная 17 — неявная 21, 250 — обратная 21, 106 — — тригонометрическая 23 — однозначная 18 — показательная 23, 109, 151, 423 — постоянная 22, 97 — разрывная в точке 26, 94 — рациональная 22, 208, 312, 317 — сложная 15, 20 ~ степенная 22, 97, 113 — строго возрастающая 136 — — убывающая 136 — тригонометрическая 23, 31, 97 98, 151, 152, 387, 423 — четная 17 — элементарная 22, 23, 209 Центр кривизны 190, 194 Циклоида 191 Чисел аксиомы 45, 49—52 — свойства 45, 49—52 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 431 Число, величина абсолютная 46 — действительное 41, 44, 45 — иррациональное 42, 44 — комплексное 300 — —, аргумент 302 — —, действительная часть 302 — —, мнимая часть 302 — —, модуль 302 — — сопряженное 304 — рациональное 41, 43 — е 73, 74, 115 — л 387 Шар 201, 202 Эвольвента 190 Эволюта кривой 190 Эйлера подстановки 322, 323 Эквивалентные функции 118 Экстремум локальный 137, 246 Элемент последовательности 64, 77 Элементарная функция 23, 209 Эллипс 182, 192 Эллиптические интегралы в форме Лежандра 330 Ядро Дирихле 305 — Пуассона 411