С.М. НИКОЛЬСКИЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА том II Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР е качестве учебника для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ -ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1973 517.2 Н 64 УДК 517 Курс математического анализа, том II. С. М. Н и- хольский. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973 г. 382 Учебник для студентов вузов физической и механико- математической специальностей с добавлениями, учиты- вающими интересы математической физики. Написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Второй том содержит кратные интегралы, теорию поля, ряды Фурье и интеграл Фурье, дифференцируемые многообразия,, дифференциальные формы и интеграл Лебега. Илл. 49. @ Издательство «Наука», 1973 г. 042(02)-73 0223—1766 15а-72 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 12 Кратные интегралы • § 12.1. Введение ........................... 7 /У i'2.2) Квадрируемые по Жордану множества ........... 9 §*Т2.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств 16 § 12.4. Еще один критерий измеримости множества. Полярные координаты .......................... 17 , § 12.5'. Измеримые по Жордану трехмерные и п-мерные множества 18 § 12.6. Понятие кратного интеграла ................ 22 § 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема 25 § 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измеримом множестве. Другие критерии .......... 30 § 12.9. Множество лебеговой меры нуль .............. 32 § 12.10. Доказательство теоремы Лебега. Интегрируемость и огра- ниченность функции ..................... 33 § 12.11. Свойства кратных интегралов ............... 35 § 12.12. Сведение кратного интеграла к интегралам по отдельным переменным .......................... 38 § 12.13. Непрерывность интеграла по параметру .......... 44 § 12.14. Геометрическая интерпретация знака определителя ... 47 § 12.15. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай ............................. 49 § 12.16. Замена переменных в крагном интеграле ......... 50 § 12.17. Доказательство леммы 1 § 12.16 .............. 53 § 12.18. Полярные координаты в плоскости ............. 56 § 12.19. Полярные координаты в пространстве ........... 58 § 12.20. Общие свойства непрерывных операций .......... 59 § 12.21. Дополнение к теореме о замене переменных в кратном интеграле .......................... 61 § 12.22. Несобственный интеграл с особенностями вдоль границы области. Замена переменных ................ .62 § 12.23. Площадь поверхности .................... . 64 I* •^ 4 ОГЛАВЛЕНИБ Гл а в а 13 Теория поля. Дифференцирование и интегрирование по параметру. Несобственные интегралы § 13.1. Криволинейный интеграл первого рода .......... 71 § 13.2. Криволинейный интеграл второго рода .......... 72 § 13.3. Поле потенциала ....................... 74 § 13.4. Ориентация плоской области ................ 81 § 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволиней- ный интеграл ........................ 82 § 13.6. Интеграл по поверхности первого рода .......... 85 § 13.7. Ориентация поверхностей .........,.,,.,... 87 § 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области ..... 90 § 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность ... 93 § 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса — Остроградского ..... 96 § 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса .............. 102 § 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру ....... 106 § 13.13. Несобственный интеграл ................... 108 § 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла .... 115 § 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области ............................ 121 § 13.16. Равномерно сходящийся интеграл с переменной особой точкой ............................. 125 Глава 14 Линейные нормированные пространства. Ортогональные системы § 14.1. Пространство С непрерывных функций ........... 132 § 14.2. Пространства L', Up и lp .................. 134 § 14.3. Пространство Ц (Ls) ...................... 138 § 14.4. Приближение финитными функциями ........... ". 140 § 14.5. Сведения из теории линейных множеств и линейных нор- мированных пространств ................... 146 § 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным про- изведением ........................... 153 § 14.7, Ортогонализация системы ................... 164 § 14.8. Свойства пространств Ц (П) и Ц (Q) ............ 167 § 14.9. Полнота системы функций в С, Ц и L' (Z.,, L) ....... 169 Г л а в а 1.5 Ряды Фурье. Приближение функций полиномами § 15.1. Предварительные сведения .................. 171 § 15.2. Сумма Дирихле ....,.,....,.,,.,....,.., 177 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье .............. 180 § 15.4. Леммы об осцилляции ..................... 182 § 15.5. Критерии сходимости рядов Фурье. Полнота тригономет- рической системы функций .................. 186 § 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье .......... 193 § 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье .... 195 § 15.8. Оценка остатка ряда Фурье ................. 198 § 15.9. Явление Гиббса ........................ 199 § 15.10. Сумма Фейера ......................... 203 § 15.11. Сведения из теории многомерных рядов Фурье ...... 206 § 15.12. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебыщева . . . 216 § 15.13. Теорема Вейерштрасса .................... 217 § 15.14. Многочлены Лежандра ................... 218 Гл ав а 16 Интеграл Фурье. Обобщенные функции § 16.1. Понятие интеграла Фурье .................. 221 § 16.2. Лемма об изменении порядка интегрирования ...... .224 § 16.3. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его функции .......................... 225 § 16.4. Преобразования Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус и синус преобразования Фурье ......... 227 § 16.5. Производная и преобразование Фурье ........... 230 § 16.6. Пространств о S ........................ 231 § 16.7. Пространство S' обобщенных функций .......... 235 § 16.8. Многомерные интегралы Фурье и обобщенные функции . . 244 § 16.9. Ступенчатые финитные функции. Квадратические прибли- жения ............................. 252 § 16,10. Теорема Планшереля. Оценка сходимости простого интег- рала .............................. 257 § 16.11. Обобщенные периодические функции ............ 262 Глава 17 Дифференцируемые многообразия и дифференциальные формы § 17.1. Дифференцируемые многообразия ............. 268 § 17.2. Край дифференцируемого многообразия и его ориентация 278 § 17.3. Дифференциальные формы .................. 288 § 17.4. Формула Стокса ........................ 298 6 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 18 Дополнительные сведения § 18.1. Обобщенное неравенство Минковского ........... 304 § 18.2. Усреднение функции по Соболеву .............. 306 § 18.3. Свертка ............................. 310 § 18.4. Разбиение единицы ...................... 313 Г л а в а 19 Интеграл Лебега § 19.1. Мера Лебега .......................... 316 § 19.2. Измеримые функции ...................... 326 § 19.3. Интеграл Лебега ....................... 333 § 19.4. Интеграл Лебега на неограниченном множестве ...... 364 § 19.5. Обобщенная производная по Соболеву ........... 368 § 19.6. Пространство обобщенных функций D' ........... 380 § 19,7. Неполнота пространства L' .................. 383 § 19.8. Продолжение функции. Теорема Вейерштрасса ...... 385 Предметный указатель ......................... 389 ГЛАВА 12 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 12.1. Введение Пусть в трехмерном пространстве, в котором определена прямо- угольная система координат (х, у, z), задана непрерывная поверх- ность z =/(Q) =/(-»-, У) (Q - (х, у) е и), где И есть некоторое ограниченное (двумерное) множество, для которого возможно определить понятие его площади (двумерной меры *)). В качестве Q может быть взят круг, прямоугольник, эллипс и т. д. Будем считать, что функция f{x, у) положительна, и поста- вим задачу: требуется определить объем тела, ограниченного сверху нашей поверхностью, снизу плоскостью z=0 и с боков цилиндри- ческой поверхностью, проходящей через границу у плоского множе- ства и, с образующей, параллельной оси z. Искомый объем естественно определить следующим образом. Разделим Q на конечное число частей йр ..., QN, (1) перекрывающихся между собой разве что по своим границам. Однако эти части - должны быть такими, чтобы можно было определить их площади (двумерные меры), которые мы обозначим соответственно через тО,^ ..., mQ^. Введем понятие диаметра множества Л — ато есть точная верхняя грань d(A)= sup \P'-P"\. Р',Р"е.А' *) См. далее S 12.2. • ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютная непрерывность интеграла Ле- бега 347 Аддитивность интеграла Лебега 343 — — Римана 35 — полная интеграла Лебега 348 Аппроксимация функции из L непрерыв- ной 351 Банахово пространство 133 Бернулли многочлен 198 Бесконечномерное линейное множество 147 Брауэра теорема 60 Буняковского неравенство 137 Бэта-функция 120 Вейерштрасса теорема 187, 217 Верхний интеграл Римана 27 Верхняя интегральная сумма Лебега 333 — — — Римана 26 — ступенчатая функция 337 Вихрь (ротор) 77, 102 Внутренняя мера Жордана 12, 18 — — Лебега 321 Второго рода криволинейный интеграл 72 Гамма-функция 122 Гармоники тригонометрического ряда 175 Гаусса—-Остроградского теорема 96 Геометрическая интерпретация знака опре- делителя 47 Гёльдера неравенство 137 Гиббса явление 199 Грина формула 82 Измеримая функция 326 Измеримое множество по Лебегу 316 Измеримость по Лебегу пересечения 322 — — — суммы 322 Интеграл Дирихле 178 — криволинейный второго рода 72 — — первого рода 71 — Лебега 316 — — на неограниченном множестве 364 — несобственный 62, 108 — —, сходящийся неравномерно 118 — —, — равномерно 126 — от дифференциальной формы 294 — по поверхности первого рода 85 — Фурье 221 Интегральная сумма Римана 22 Интегрирование по параметру несобствен- ного интеграла 116, 221 — ряда Фурье 195 Интегрируемость модуля 36 — произведения 36 — суммы 36 — частного 36 Квадрируемые по Жордану множества 9 Колмогорова пример 191 Комплексная форма ряда Фурье 193 Косинус-преобразования Фурье 227 Коши неравенство 137 Коэффициент Фурье 154, 194, 269 Край дифференцируемого многообразия 278 Криволинейный интеграл второго рода 72 — — первого рода 71 Кусочно постоянная функция 140 Двойной интеграл Римана 8 Диаметр множества 7 Дивергенция вектора 96 Дирихле интеграл 178 — сумма 177 — ядро 178 Дифференциал формы (внешний дифферен- циал) 290 Дифференциальная форма 288 Дифференциальный элемент ориентиро- ванной поверхности 89 Дифференцирование гамма-функции 123 — интеграла по параметру 106 — ряда Фурье 195, 266 ' Дифференцируемые многообразия 268 Лежандра многочлены 218 Лемма об осцилляции 182 Линейно зависимая система элементов 146 — независимая система элементов 146 Линейное нормированное пространство 132—140 — — — полное 132 Линейное свойство интеграла Лебега 342 Линейный функционал над D (обобщенная функция) 380 — — — S 235 — — — S* 263 Лист Мёбиуса 275 Логарифмический потенциал 126 Локально интегрируемая функция 227 — кусочно гладкая функция 226 Жорданова мера множества 11,. 18 Замена переменных в интеграле Лебега 362 — — в кратном интеграле 49—51 — — в несобственном интеграле 63 Мера Лебега 316 — — замкнутого ограниченного множе- ства 317 , — — открытого ограниченного множест- ва 317 390 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Мёбиуса лист 275 Многомерная сумма Фейера 207 — — Фурье 207 Многообразие, заданное параметрически 275 —, непрерывно дифференцируемое в обе стороны 269 — ориентированное 275 — ориентируемое 275 Многочлены Бернулли 198 — Лежандра 218 — Чебышева 216 Множество, измеримое по Жордану 11, 18 — — по Лебегу 321 — лебеговой меры нуль 32 — плотное 148 — полное 148 Неполнота пространства Lp 383 Непрерывность кратного интеграла по параметру 44 — равномерно сходящегося несобственно- го интеграла 115, 121 Неравенство Буняковского 137 — Гёльдера 137 — Коши 137 — Парсеваля 156 Неравномерно сходящийся интеграл 118 Нижний интеграл Римана 27 Нижняя интегральная сумма Лебега 333 — — — Римана 26 — ступенчатая функция 337 Норма L' (L) 134 — Lp (Lp) 136 — lp 136 — ^оо 307 Носитель функции 140 — — компактный 140 Ньютонов потенциал 129 Обобщенная производная по Соболеву 368 — функция над О 380 — — — S 235 — - pt/x 238 Обобщенное неравенство Минковского 304 Обобщенные периодические функции 262 Обратное преобразование Фурье 228 Объемный потенциал 129 Ограниченность интегрируемой по Риману функции 24 Операция интегрирования по Риману 8 Описание поверхности 269 Определенный интеграл Римана 9 Ориентация плоской области 81 — поверхности 87 Ориентированное многообразие 275 Ориентируемое многообразие 275 Ортогонализация системы элементов 166 Ортогональная система элементов 143 Ортонормированная система элементов 153 — — — замкнутая 159 — — — полная 157 Оценка остатка многомерного ряда Фурье 213 — — одномерного ряда Фурье 198 Парсеваля неравенство 156 — равенство 156 Первого рода криволинейный интеграл 71 Планшереля теорема 257 Площадь поверхности 64—70 — — тора 69 — — шара 68 Поверхностный интеграл первого рода 85 Повторный интеграл Фурье 227 Полигональная функция 148 Полная аддитивность интеграла Лебега 348 Полное линейное нормированное простран- ство 132 Полнота L 359 Полярные координаты в пространстве 68 —---/;„ 112 — — на плоскости 56 Потенциал логарифмический 126 — объемный 129 — простого слоя 130 Потенциальная функция вектора 74 Поток вектора через ориентированную поверхность, 93 Правило согласования ориентации 284 Преобразование переменных в дифферен- циальной форме 292 — Фурье 227 — — обратное 228 — — прямое 228 Приближение в ?„ непрерывными функ- циями 143 Р Признак Вейерштраеса равномерной схо- димости несобственного интеграла 118, 122 Пример Колмогорова 191 — неизмеримого по Жордану множества Продолжение функции в метрике С 385 Произведение дифференциальных форм 289 Производная, обобщенная по Соболеву 368 —, преобразования Фурье 230 Пространство Банаха 133 — сепарабельное 148 — С 133 . — D' 380 — L' (L) 134, 341 — Lp {Lp^ 136 — L-^ (La) 138 — lp 136, 161 — S 231 — S' 235 Процесс ортогонализации системы элемен- тов 166 Пуассона интеграл 125 Равенство Парсеваля 156 Равномерная сходимость интеграла Фурье 227 — — несобственного интеграла 115 — — ряда Фурье 186 Разбиение действительной оси 333 — единицы 343 Разность дифференциальных форм 289 — элементарных фигур 10 Ротор вектора 77, 102 Ряд из обобщенных функций 240 — Фурье 154, 171, 206 — — в комплексной форме 193, 207 Свертка функций 234,' 310 Сепарабельное пространство 148 Синус преобразования Фурье 227 Система элементов ортогональная 153 Скалярное произведение в L'y (L„) 138 Согласованно ориентированный измери- мый кусок многообразия 296 Средняя по Соболеву функция 369 Стилтьеса интеграл 238 Стокса формула 102 391 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Ступенчатая функция 334 Сумма Дирихле 177 — дифференциальных форм 289 — Фейера 203 — Фурье среднеарифметическая 203 — элементарных фигур 10 Сходимость в смысле среднего квадратиче- ского 140 — по мере S31 — простого интеграла Фурье 225 — равномерная несобственного интеграла 115 Теорема Брауэра 60 — Вейерштраеса 187,. 217, 385 — Гаусса—Остроградского 96 — Лебега 27, 31, 333, 348 — о полноте 359 — о среднем (интегральная, 37 — Планшереля 257 — Фубини 353, 367 Трехмерные множества, измеримые по Жордану 18 Тригонометрический полином п-го поряд- ка 173 — ряд 179 Тройной интеграл Римана 9 Формула Стокса 102, 298 Фубини теорема 353 Функция абсолютно непрерывная 373 — бэта 120 — гамма 122 — измеримая 326 — интегрируемая по Риману 24 — кусочно постоянная 140 — локально абсолютно непрерывная 374 — — интегрируемая 227 — — кусочно гладкая 226 — полигональная 148 — ступенчатая 334 — суммируемая 345 — финитная 140 — Хевисайда 238 — 6 {х) 237 Фурье интеграл 221 — коэффициент 154 — ряд 154 Чебышева многочлен 216 Элемент нормальный 153 — поверхности (дифференциальный) 68 Элементарная фигура 10 Фейера сумма 203 Формула Грина 82 — для остатка ряда Фурье 180 Явление Гиббса 199 ЯДРО Дирихле 178 — Фейера 204 Сергей Михайлович Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ТОМ II М., 1973 г., 392 стр. с илл. Редактор Л. Л. Вашарин Техн. редактор Е. Н. Земская Корректоры О. А. Бутусова, Н. Б. Румянцева Сдано в набор 27/XI 1972 г. Подписано к печати 14/V 1973 г. Бумага 60Х90'/ц, тип. № 2. физ. печ. л.24,5. Уеловн. печ. л. 24,5. Уч.изд. л. 24,75. Тираж 50000 экз. Т. 05783. Цена книги 1 р. 01 к, Заказ № 576 Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград- ская типография № 1 «Печатный Двор» имени А. М. Горького -Союзполиграфпрома при Госу- дарственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, Ленинград, Гатчинская ул., 26.