SEQUENCY THEORY foundations and applications Henning F. Harmuth Department of Electrical Engineering The Catholic University of America Washington, D. C. 1977 Academic Press New York San A Subsidiary of Harcourt Brai mcisco London ivanovich, Publishers Х.Хармут ТЕОРИЯ СЕКВЕНТНОГО АНАЛИЗА основы и применения Перевод с английского Л. М. СОРОКО Издательство «Мир- Москва 1980 УД К 517 В книге дана теория секвентного анализа и рассмотрены ее различные применения. Описаны генераторы функций Уолша, фильтры пространственных сигналов, принцип получения под- водных киноизображений в поле акустической волны без по- мощи линз или элементов топографии, а также новые системы сканирования изображений. Значительная часть книги по- священа несинусоидальным электромагнитным волнам, пере- датчикам и приемникам этого типа волн, а также радиолока- ционным системам с использованием волн Уолша в качестве несущей. Рассмотрена проблема топологии пространства-вре^ мени и найдены решения разностных волновых уравнений квантовой механики. Представляет интерес для специалистов в области техники связи, радиолокации, телевидения, подводной акустики, элек- троники, вычислительной техники, а также для физиков и ра- диофизиков. Редакция литературы по новой технике 1702050000 ^20204-172 041(01)-80 172-80 Copyright © 1977, by Academic Press, Inc. Перевод на русский язык с дополнением, «Мир», 1980 От переводчика Спокойные периоды развития науки и техники время от вре- мени сменяются бурными и драматическими. Чаще всего общую гармонию нарушает необычная идея, которая, получив подтвержде- ние на практике, приводит к рождению нового направления и активно воздействует на многие области техники и физики. Именно к такой категории идей можно отнести представления секвентного анализа. В основе секвентного анализа лежит понятие «секвента». По определению секвента равна числу изменений знака несинусоидальных функций за единицу времени. Типичным при- мером несинусоидальных функций являются функции Уолша. Понимание сущности секвентного анализа затрудняется тем, что мы привыкли к аппарату спектрального анализа и глубоко верим в его универсальность. Это и неудивительно. Понятия гар- монического анализа формировались в течение весьма длительного периода времени начиная с 1822 г., когда была опубликована работа Фурье по теории теплопроводности. Эти понятия к середи- не нашего века стали господствовать в физике, радиотехнике, теории информации и во многих других разделах науки и техники. Секвентный анализ следует понимать как_|зазновпттттодть и ка_к альтернативу гармонического анализа. Последнее следует из того, что попытки совместить эти две теории не приводят к каким-либо новым и существенным положениям. Успехи секвентного анализа не могут быть объяснены только тем, что был сделан переход от понятий гармонического анализа к понятиям секвентного анализа; они связаны с практической необходимостью использова- ния наряду с синусоидальными сигналами и синусоидальными несущими сигналов и несущих, описываемых функциями Уолша и другими несинусоидальными функциями. Для описания систем, в которых происходит преобразование несинусоидальных сигна- лов, лучше всего подходит секвентный анализ. Автор книги широко известен своими оригинальными работами в области секвентного анализа. В 1969 г. вышла в свет его книга «Передача информации ортогональными функциями» 1). В 1972 г. опубликовано второе, существенно дополненное и переработанное издание этой монографии. 1) Перевод этой книги выпустило в свет издательство «Связь» М., 1975). ОТ ПВРЕВОДЧИКА В данной книге Хармут подробно излагает основы теории секвентного анализа. Интересное введение с историческим обзором эволюции догмы об окружности и первых представлений о сек- вентном анализе, блестящие ответы на типичные возражения противников секвентного анализа и в целом содержательное и последовательное изложение материала позволяют глубоко про- никнуть в сущность теории секвентного анализа. Техника связи — традиционная область интересов автора, и поэтому не удивительно, что подробнее всего в книге представле- ны теория передачи и приема несинусоидальных электромагнит- ных волн, а также конструкции действующих устройств. Этому отведена третья часть всего объема книги. Описан принципиально новый быстродействующий метод получения изображений в поле акустической волны при помощи двумерных пространственных фильтров, в которых нет ни оптических, ни голографических элементов. Особое место занимает четвертая глава книги. В ней автор пытается использовать для построения топологии микромира понятия техники связи и секвентного анализа. Впервые рас- смотрен принцип действия неинвариантной во времени дифрак- ционной решетки, которая разлагает свет на компоненты, описы- ваемые функциями Уолша. Построены и решены разностные уравнения квантовой механики. Значительное внимание уделено математическому аппарату и анализу условий сходимости реше- ний. Небезынтересно отметить, что родственные по тематике вопро- сы рассмотрены в работе В. П. Карасева и Л. А. Шелепина (Труды ФИАН, 1977, т. 87, с. 55—91), посвященной разностным методам и их роли в теории оптических когерентных явлений. В. Г. Кадышевскому [Nuclear Physics, B141, № 4, 477— 496(1978)] удалось построить принципиально новое калибровоч- ное векторное поле, которое математически строго связано с поня- тием фундаментальной длины и последовательно учитывает кри- визну импульсного пространства. Перевод данной книги по предложению автора дополнен его статьей, опубликованной в журнале IEEE Trans., EMC-19, № 3, 137—144(1977). В этой работе описаны принцип действия и кон- струкции селективных приемников периодических несинусоидаль- ных электромагнитных волн. Книга Хармута вместе с дополнением представляет несомнен- ный интерес для широкого круга специалистов. Основная цен- ность книги состоит в том, что в ней освещается новое, нетради- ционное направление, которое в настоящее время находится в стадии бурного развития. Л. М. Сорока Джозефу Ли (ITT Electro-Pry sics Laboratories) за многолетнюю помощь Предисловие Первые работы по теории секвентного анализа появились около 10 лет назад и были настороженно встречены научной общественностью. Несмотря на это, теория секвентного анализа быстро переросла в прикладную науку и стала использоваться в системах обработки телевизионных изображений, при получении акустических киноизображений под водой и в радиолокации. Поскольку в одной книге невозможно изложить эту теорию со всей полнотой, автор выбрал только те ее разделы, которые пред- ставляются ему наиболее перспективными и в то же время дискус- сионными. Трудности, которые были преодолены на пути становления теории секвентного анализа, а также стремительность ее развития лучше всего иллюстрируются эволюцией вопроса об использова- нии несинусоидальных электромагнитных волн. В мае 1968 г. на первом научном семинаре по теории секвентного анализа в Институте связи в Дармштадте (ФРГ) идея о возможном исполь- зовании несинусоидальных электромагнитных волн была встрече- на весьма враждебно. Однако в январе 1976 г. Чэпмен успешно продемонстрировал первое применение несинусоидальных электро- магнитных волн в радиолокации. Путь от стадии осмеяния до стадии реализации был пройден за 8 лет. Магнитофонная запись оживленной дискуссии, сделанная Хюбнером в мае 1968 г., храни! эмоциональную реакцию, которую вызвала новая идея об исполь- зовании несинусоидальных электромагнитных волн. Работы исследователей, которые внесли вклад в развитие теории секвентного анализа, отражены в списке литературы. приведенном в конце книги. Организационную и финансовую поддержку исследований в области секвентного анализа, и в частности работ автора книги оказывали следующие организации и лица: 10 ВВЕДЕНИЕ у Эпицикл ностей. Коперник перенес центр дви- жения из области Земли в область, где находится Солнце, сохранив при этом принцип наложения круговых ор- бит. Орбита планеты Меркурий содер- жала 11 окружностей, Венера и Земля имели по 9, Луна — 4, а каждая из ос- тальных планет — по 5, всего 48 ок- ружностей. Рис. 0-1. Принцип наложе- ния окружностей в астро- номии и технике связи. Кеплер в 1609 г. опроверг гипотезу о наложении окружностей, доказав в своей книге «Новая астрономия», что эллиптические орбиты планет лучше и проще согласуются с результатами наблюдений. Однако было бы неверно считать, что Кеплер уничтожил догму об окружности. Окружность исчезла из астрономии, но в скрытом виде перешла в другие области науки. В теории электричества и во многих разделах физики окружность встречается под видом экспоненциальной функции е"0* или единичного круга на комп- лексной плоскости. Для тех, кто знаком с техникой связи, рис. 0-1 иллюстрирует не наложение деферента и эпицикла, а сложение двух синусоидальных колебаний, которые в комплексных обозна- чениях имеют вид /I exp (iw^t) и 7g exp (fo)^)1' . Это традицион- ная иллюстрация процесса однополосной модуляции синусоидаль- ной несущей сигналом синусоидальной формы. Таким образом, идея о наложении окружностей Птоломея и Коперника перешла в гармонический анализ, где используется для разложения функ- ций в ряд Фурье. На первый взгляд понятие «характер группы топологической группы вещественных чисел» не имеет никакого отношения к ок- ружности. Между тем математическая запись этого понятия в виде е^ч раскрывает его суть. Такой характер группы приводит к кон- тинуальной топологии пространства и времени и дает возможность применять классическое дифференциальное исчисление к функциям пространственных и временных переменных. Подчеркивая универ- сальность дифференциального исчисления в физике, никто не подозревает, что окружность господствует в настоящее время в физике в такой же степени, как это было когда-то в астрономии. Цель секвентного анализа заключается в том, чтобы выявлять и изучать скрытые проявления догмы об окружности. Следует отметить, что деференты и эпициклы Птоломея пред- ставляли орбиты планет достаточно точно: Васко да Гама дошел до Индии, Христофор Колумб — до Америки, а один из кораблей 11 В сравнительно старой литературе, например в работах Черрп [71] и Кукчия [84], величины /i exp (t(0i<) n 12 exp {iw^t) называют векторами, •а в новой литературе [348, 336] — фазорами. ВВЕДЕНИЕ 11 Фердинанда Магеллана обогнул земной шар. Это была вполне хорошая теория для многих практических целей. Однако более тонкие детали теории всегда указывали на то, что в ней не все корректно. Точно так же экспоненциальные синусоидальные функции оказывались вполне пригодными для многих задач техни- ки связи, хотя всем известно, что некоторые положения теории не являются абсолютно верными. Так, например, любой веществен- ный сигнал имеет бесконечную полосу частот, и поэтому сигнал на выходе фильтра должен появиться раньше, чем он будет подан на вход этого же фильтра. Существуют также и другие противоре- чия. Для того чтобы устранить подобные трудности, опираются на опыт и доводы здравого смысла. Ясно, что точная теория не нуждается в поправках, и необходимость их введения должна настораживать. Возвращаясь к понятию «характер группы топо- логической группы вещественных чисел», можно констатировать, что без каких-либо оговорок дифференциальное исчисление успеш- но используют в физике. Между тем некорректность возникает, если поставить вопрос о том, что происходит в точках х и х + dx, если измерения в этих двух точках, отстоящих друг от друга на расстоянии dx, выполнить невозможно. Окружность и круговые функции в технике связи Единичная окружность на комплексной плоскости, точки которой описываются функцией е1014 == cos (nt + i sin u>t, и ее разложение по круговым функциям играют доминирующую роль в технике связи и физике. Стоит произнести термин «частота», как всем становится ясно, что речь идет о круговых функциях. Каким образом возникло это доминирующее положение и где находятся его границы? В XIX в. наиболее распространенными функциями в технике связи были прямоугольные импульсы, показанные на рис. 0-2. Сигналы электрического напряжения или тока такого вида генери- ровались механическими переключателями, усиливались при помо- щи реле и регистрировались различными магнитомеханическими устройствами. Синусоидальные и экспоненциальные функции были хорошо известны и лежали в основе теории гармонического фурье- анализа, хотя эта теория находилась в зачаточном состоянии. В технике того времени эти знания почти не имели практического значения. Генрих Герц использовал экспоненциальные функции ' ЛРИ_решении_уравнений Максвелла для задачи излучения диполя^ Ему никогда не удавалось получить синусоидальные волны. В установке Герца излучались волны, которые теперь называют «окрашенным шумом» [163]. Александр Грахем Бэлл пытался 12____________ ВВЕДЕНИЕ Рис. 0-2. Синусоидальные функции, функции Уолша и прямоугольные импульсы. создать ^мультиплексную телеграфию при помощи синусоидальных функций, но безуспешно, так как ему не удалось построить гене- ратор электрического напряжения, изменяющегося во времени по такому закону. Получаемые им напряжения имели вид пря- моугольных импульсов, тогда как его приемники были настроены на синусоидальные волны. В результате работ Бэлла в технике- связи появилось слово синусоидальный и был открыт способ передачи речи при помощи электричества. Передатчик телеграфа Бэлла разлагал речевой сигнал на прямоугольные импульсы, а приемник воссоздавал его из прямоугольных импульсов. Следо- вательно, разложение речевого сигнала на прямоугольные импуль- сы было осуществлено несколькими десятками лет раньше, чем на синусоидальные волны [34, 214]. Только спустя 70 лет было создано телеграфное устройство, в котором ортогональные сину- соидальные функции использовались по идее Бэлла. Это устройство называют кинеплекс, ректиплекс и цифроплекс. Первое практическое использование синусоидальных функций относится к концу XIX в., когда электрические конденсаторы приобрели форму, удобную для их применения. До этого конденса- торы имели вид металлической сферы или лейденской банки, причем емкость их была мала, а конструкция — неудобной." Наоборот, катушки индуктивности были известны задолго до этого. Таким образом, действующие резонансные цепи, пред- назначенные для разделения синусоидальных волн с различными частотами, были созданы только к началу нашего века. Низко- ВВЕДЕНИЕ 13 частотные и полосовые фильтры, содержащие катушки индуктив- ности и конденсаторы, были построены в 1915 г. Тем самым была открыта новая область применения синусоидальных функций. Обобщая, можно сказать, что прикладная значимость синусоидаль- ных функций тесно связана с появлением компонент линейных, инвариантных во времени цепей в форме, удобной для практи- ческих целей. Переходя к вопросам теории, следует указать, что применению синусоидальных функций в сильной степени способствовало диф- ференциальное исчисление, а также наши представления о топо- логии пространства и времени, которые из него вытекали. Эти вопросы теории подробно обсуждаются в разделах книги, посвя- щенных физике. Первые признаки того, что теория связи, базирующаяся на синусоидальных функциях, может стать некорректной, следовали из того особого значения, которое имели для этих функций эле- менты линейных, инвариантных во времени цепей и сами цепи. Суть дела состоит в том, что, строго говоря, никакую информацию "нельзя передать по цепи, если все ее параметры сохраняются постоянными во времени. Таким образом, телеграфный ключ, микрофон или амплитудный модулятор являются линейными, но неинвариантными во времени устройствами. Стоит сделать их инвариантными во времени и прекратить работу на ключе, пере- стать говорить в микрофон или убрать с модулятора напряжение, изменяющееся во времени, как передача информации прекратится. Непостоянство во времени параметров систем, передающих инфор- мацию, является весьма общим требованием. Так, например, атом, у которого все электроны занимают определенные квантовые состояния, никакой информации не передает. Квант света испус- кается в результате изменения квантового состояния атома, и это изменение во времени несет информацию о разности энергий начального и конечного состояний атома. Синусоидальные функции являются собственными функциями систем, описываемых линейными дифференциальными уравнения- ми с постоянными коэффициентами, и пригодны лучше всего там, где можно пренебречь изменениями во времени. Поэтому методы решения уравнений с переменными коэффициентами (не только дифференциальных) при помощи синусоидальных функций, кото- рые для этих уравнений не являются собственными функциями, оказываются чрезвычайно сложными. До сих пор речь шла о временных изменениях. Их можно пере- нести непосредственно на пространственные изменения. Термин «синусоидальные функции» всегда подразумевает временные сигна- лы. Рассмотрим, например, перестраиваемый генератор синусо- идальных сигналов. Обычно используют генератор синусоидаль- ных сигналов, изменяющихся во времени. Генератор синусоидаль- 14 ВВЕДЕНИЕ ных сигналов, изменяющихся в пространстве, купить невозможно. Трудно даже представить себе генератор, перестраиваемый, напри- мер, в диапазоне 20—20 000 циклов на метр. В большинстве учебников пространственные сигналы не упоминаются вообще Почти во всех публикациях по фильтрам рассматриваются только временные сигналы. Простейший пример пространственного сигнала от двух пере- менных — это черно-белая фотография, плотность почернения которой является функцией декартовых координат х и у или полярных координат г и (р. Телевизионный сигнал — это функция двух пространственных координат и времени. Массовая распрост- раненность телевизионных сигналов позволяет с определенностью утверждать, что значительная часть передаваемой информации состоит не только из функций времени. Но и помимо телевизионных передач большая часть информации воспринимается нами через зрение, а не через слух. Почему же так мало известно о пространственных сигналах и фильтрах пространственных сигналов? Одна из причин состоит в том, что понятие инвариантности во времени, которое означает нечто неизменное, проникло глубоко в наш образ мышления, хотя" все знают, насколько это понятие неточно. С другой стороны. инвариантность в пространстве представляется еще менее реаль- ной. Действительно, телевизионное изображение имеет левый и правый края, верх и низ кадра, между тем как конечная протя- женность во времени значительно менее осязаема. В соответствии с телевизионным стандартом США за один час передается 30 Х Х 3600 = 108 000 изображений, причем используемая в настоя- щее время телевизионная система содержит около 500—600 эле- ментов изображения вдоль х- и у-направлений. Поэтому изложе- ние теории пространственных фильтров следует начинать с прост- ранственно-неинвариантных фильтров, а не с пространственно- инвариантных. Вторая причина того, почему мы так мало знаем о фильтрах пространственных сигналов, состоит в том, что фильтры временных сигналов повсюду реализуют при помощи индуктив- ностей и конденсаторов, тогда как для фильтров пространственных сигналов подобная техника неприменима. Часто задают вопрос: для чего нужно вводить несинусоидаль- ные функции, если синусоидальные функции оказались хорошими как в теории, так и на практике. Ответ на него состоит в следую- щем. Действительно, существуют области применения, для кото- рых синусоидальные функции являются хорошими. Эти направле- ния были разработаны в течение последних 80 лет. Вместе с тем имеются области применения, для которых синусоидальные функ- ции не являются адекватными. Эти области находятся пока еще в стадии развития и о них ничего не говорится в наших учебниках. Появление пространственных электрических фильтров не связано ВВЕДЕНИЕ 15 с синусоидальными функциями. Телевизионные сканирующие устройства, основанные на синусоидальных функциях, никогда не изготовлялись. При помощи синусоидальных электромагнитных волн невозможно различить отражающий объект от рассеивающего или проводящий рассеиватель от непроводящего. Несмотря на то что обе эти задачи представляют большой интерес для радиолока- ции, сама постановка таких задач ускользала от нашего внимания только потому, что все мыслили в терминах синусоидальных волн. Многолучевое прохождение электромагнитных волн создает интерференционный эффект замирания. Но это имеет место только для синусоидальных волн и для тех волн, которые обладают симметрией по полярности. Существует много других эффектов, которые настолько трудно обнаружить при помощи синусоидаль- ных электромагнитных волн, что их вообще никогда не замечали. Перейдем к третьей основной причине, которая заставляет выйти за пределы синусоидальных функций. Это сходимость рядов Фурье или интеграла Фурье. Любой реальный сигнал можно \ аппроксимировать рядом Фурье или интегралом Фурье по крите- рию устремления к нулю среднеквадратичной ошибки. Среднеквад- ратичная сходимость означает, что энергия сигнала равна сумме j энергий синусоидальных функций, которые аппроксимируют ис- ходный сигнал. Такое сохранение энергии, конечно, необходимо, 1 однако этого еще недостаточно для точной передачи информации. \ Разъяснение этого утверждения дано на рис. 0-2. Приведенные там функции Уолша характеризуются расположением точек пересе- чения нуля, или точек, где функция изменяет знак. В промежутке между точками пересечения нуля функция Уолша имеет постоян- ное значение и поэтому не несет никакой информации. РядФурье / или интеграл Фурье функции Уолша сходится всюду, кроме точек , пересечения нуля. Расходимость ряда в точках, где функция имеет скачки, хорошо известна; ее называют явлением Гиббса. Следова- тельно, приходится констатировать, что ряд Фурье сходится всюду, кроме точек, где эта сходимость больше всего необходима. Перейдем теперь к рассмотрению электрического тока, который протекает через диполь Герца. Напряженности электрического и магнитного полей в дальней зоне пропорциональны первой производной тока по времени. Если же ток представить в виде ряда Фурье, то этот ряд нельзя продифференцировать слагаемое за слагаемым, с тем чтобы получить напряженность поля, так как сходимость ряда не означает сходимости его производной. Чтобы дать представление о множестве решений волнового уравне- ния или уравнений Максвелла, которые нельзя представить в виде ряда Фурье или интеграла Фурье с равномерной сходимостью, Достаточно заметить, что для каждого решения с равномерной сходимостью имеется бесконечное множество решений без равно- мерной сходимости. 16 ВВЕДЕНИЕ Здесь целесообразно вернуться к астрономии. Эллиптическую -орбиту планеты можно представить как сумму окружностей, при- чем проблемы сходимости здесь не возникает. Понятие эпициклов не было ошибочным — оно было без необходимости сложным. Между тем простота модели, когда орбиты планет изображаются эллипсами, в одном из фокусов которого находится Солнце, впоследствии привела к созданию теории гравитации. Едва ли можно привести другой пример, иллюстрирующий важность про- стоты научных моделей. Те особенности явлений, которые дает более простое представление, невозможно заметить даже в том случае, если разложение в ряд можно выполнить корректно. Подходя к проблеме сходимости с практической точки зрения, можно показать, что прогресс в электронной технике заметно опережает теорию. Действительно, наиболее распространенные в полупроводниковых устройствах переключательные элементы типа «включено — выключено» невозможно аппроксимировать рядами Фурье в точках перехода из одного состояния в другое вследствие явления Гиббса. Но именно эти участки играют су- щественную роль в переключательных цепях. Однако на практике проблем здесь не возникает, так как при формировании импульсов с двумя возможными значениями никто не использует набор генераторов синусоидальных волн с постоянными амплитудами, частотами и фазами. Наоборот, синусоидальные сигналы стабиль- ной частоты синтезируют при помощи прямоугольных импульсов, которые генерируются элементами цифровых устройств 1). Основные математические понятия Вернемся вновь к рис. 0-2 и посмотрим, каким образом можно эффективно обобщить теорию связи, основанную на синусоидаль- ных функциях. Справа показаны прямоугольные импульсы, кото- рые исторически явились первой системой функций, используемой в технике связи. Слева приведены синусоидальные функции, которые вместе с постоянной функцией используют для разложе- ния в ряд Фурье. Легко понять, почему широкое развитие получи- ла теория, основанная на синусоидальных функциях, а не на пря- моугольных импульсах. Прямоугольные импульсы отличаются друг от друга только сдвигом во времени или, иначе говоря, содер- жат один свободный параметр, который называют задержкой. Периодически продолженные синусоидальные функции также содержат параметр задержки, который для таких функций назы- вается фазой, но, кроме этого, имеют еще один параметр — частоту. 1) Еще лучше для этой цели использовать функции Уолша [185]. ВВЕДЕНИЕ 17 фактически синусоидальные функции разных частот имеют раз- личную форму, тогда как все прямоугольные импульсы, показан- ные на рис. 0-2, имеют одинаковую форму. Чтобы построить более удовлетворительную общую теорию, следует найти такие системы несинусоидальных функций, у которых было бы по крайней мере столько же параметров, сколько у синусоидальных функций. Так как синусоидальные функции составляют всего лишь частную систему ортогональных функций, то их можно заменить более общей системой ортогональных функций. Определим понятие ортогональности. Две функции / (/, 0) и / (k, Q) от переменной 9 и параметров / и k называют ортого- нальными на интервале —Vg < 9 •< 1!^ если +1/2 f f(},Q)f(k,Q)dQ--=0, }^k. Л/2 Эти функции называют ортогональными и нормированными, если +1/2 J f(],Q)f(k,Q)dQ=i, j^k. -1/2 Синусоидальные функции от нормированного времени 9 = tIT в качестве переменной являются одной из хорошо известных систем ортонормированных функций. Эти функции вместе с постоянной функцией, показанной сверху на рис. 0-2, использу- ют при разложении функций в ряд Фурье. Другим представителем системы ортонормированных функций являются функции Уолша [360, 110, 242, 259]. Некоторые из них показаны на рис. 0-2. Эти функции принимают только два значе- ния: +1 или —1, их можно сравнивать с прямоугольными импуль- сами, а устройства, необходимые для их генерации, оказываются достаточно простыми. С другой стороны, функции Уолта отли- чаются друг от друга по форме, так же как и синусоидальные функции, а это приводит к тому, что теория функций Уолша и соответствующая техника не имеют тех ограничений, которые свойственны прямоугольным импульсам. Для обозначения функций Уолша используют сокращения sal (г, 0) и cal (i, Q). Буквы s и с указывают на аналогию и тесную связь между соответствующими функциями Уолша и функциями sin и cos. Сочетание букв а1 возникло от имени Walsh. Функции cal (i, 9) являются четными функциями, подобно У^2 cos 2лг9. Функции sal (г, 9) являются нечетными функциями, подобно Y2 sin 2niQ. Параметр i = 1, 2, ... в функциях }^2 sin 2niQ и 1/2 cos 2niQ характеризует число колебаний функций на интервале 2-0737 18 ВВЕДЕНИЕ —1'' i ^а 9 < 1! •И называется нормированной частотой i = fT та. его можно также интерпретировать как число пересечений нуля за единицу времени [208, 327, 350]. При этом для функций sin пере- сечение нуля учитывают только в точке 9 = —1/^ и отбрасывают пересечение нуля в точке 9 = +l/2• Для функций Уолша на рис. 0-2 параметр i может быть равен половине числа пересечений нуля на интервале —1/^ ^ Q < Va- В отличие от синусоидальных функций точки пересечения нуля для функций Уолша в общем случае расположены не эквидистант- но. На рис. 0-2 приведены значения i, равные целым числам. Если же значения i не равны целым числам, то это значит, что в ка- честве i взята половина среднего числа пересечений нуля за еди- ницу времени. Нормированной секвентпой 1» называют i, а ненорми- рованной секвентой — величину (р == ilT. Последняя величина равна половине среднего числа пересечений нуля в секунду. Понятия «период колебаний», т = 1//, и «длина волны», \ == == y/f, связаны с частотой. Переход от частоты / к секвенте ц> приводит к более общим понятиям: среднему периоду колебаний т = 1/<р и средней длине волны К == у/(р. Средний период колебаний равен среднему времени между моментами пересечения нуля» умноженному на 2. Средняя длина волны равна среднему расстоя- нию между точками пересечения нуля, умноженному на 2, где v — скорость распространения точки пересечения нуля 2>. Одна из основных особенностей синусоидальных функций состоит в том, что большинство функций, используемых в технике 1) Термин «секвента», а также обозначения sal (г, 6), cal (t, 6) и wal (г, 6) впервые использовались в работе Лидла, Лохса, Пыхлера и Вейсса (сотруд- ников Университета в Инсбруке, Австрия), а также в работах автора книги в 1964—1968 гг. Первой публикацией, содержащей термин «секвента», была работа Пыхлера [255]. В научной литературе других стран термин «секвента» имеет следующие написания: sequentie (датский), sequence (французский), Sequenz (исходный термин на немецком языке), sequencia (итальянский), secuencia (испанский) и sekvens (шведский). 2) Термин «скорость распространения» создает трудности в технике связи бесконечно длинных периодических синусоидальных функций. Наше интуитивное представление о скорости здесь не может быть применено. Суще- ствуют понятия фазовой скорости и групповой скорости, но при определен- ных условиях обе эти скорости могут оказаться бесконечными. Зоммерфельд [321] определил скорость синусоидальных пакетов, амплитуда которых обра- щается в нуль за пределами конечного интервала. Однако эти определения нельзя применить к бесконечным периодическим функциям и к системам, инвариантным во времени. Между тем понятие «скорость распространения точки пересечения нуля» не создает тех проблем, которые возникают для фазовой и групповой скоростей. Если функции Уолша, приведенные на рис. 0-2, обращаются в нуль за пределами интервала —1/^ sS 6 <: i/з, то оче- видно, что точки пересечения нуля не могут распространяться быстрее, чем энергия сигнала, а любые виды искажений сигнала не приведут к[каким-либо неопределенностям. Наконец, скорости начала и конца сигнала не имеют отношения к сигналам, характеризующимся большим числом пересечений нуля. Аналогичные замечания применимы также к другим функциям, кото- рые равны нулю вне конечного интервала. ВВЕДЕНИЕ 19 связи, можно представить как наложение синусоидальных функ- ций, используя фурье-анализ в качестве математического аппара- та. В результате^мьцпереходим от функции времени к функции частоты.' Иногда~зто воспринимают настолько само собой разу- меющимся, что сигнал напряжения с микрофона или передатчика телетайпа инстинктивно представляют в виде суперпозиции сину- соидальных функций. В действительности же представление функ- ций времени через синусоидальные функции является всего лишь одним из многих возможных представлений. В общем случае любая полная система ортогональных функций допускает разло- жение, которое эквивалентно рядам Фурье. Соответственно для многих систем функций можно построить интегральные образы,, аналогичные фурье-образу. Таким образом, сигнал напряжения ' на выходе микрофона можно представить как суперпозицию функций Уолша, полиномов Лежандра, параболических цилиндри- ческих функций и т. д. Переход от системы синусоидальных функций к более общим системам ортогональных функций вносит в математическую теорию связи как упрощения, так и усложнения. Например, известно, что любой сигнал занимает бесконечную область на плоскости время— частота. Эта трудность устраняется, если взять плоскость, обра- зованную временем и параметром, который эквивалентен частоте, но характеризует данную систему функций. Любой ограниченный во времени сигнал, содержащий конечный объем информации, занимает на этой плоскости конечную область. Почти все упроще- ния являются следствием того, что периодические синусоидальные функции не подходят для описания систем, неинвариантных во времени. Кроме трудностей перехода к чему-то новому, усложне- ния возникают из-за того, что в дополнение к параметрам, которые характеризуют синусоидальные функции, имеется еще один пара- метр. Чтобы уяснить это, продолжим периодически синусоидаль- ные функции и функции Уолша, приведенные на рис. 0-2. Сразу видно, что функция Уолша с i = 3 не может быть переведена в другие функции Уолша при помощи поступательного сдвига, растяжения или сжатия, тогда как любые синусоидальные функции могут быть образованы всего лишь одной синусоидальной функци- ей при помощи этих трех операций. Сигналы во времени и пространстве Серьезным испытанием любой научной теории является ее применение на практике. Теория секвентного анализа нашла широкое применение в области фильтров временных и простран- ственных сигналов и процессоров, выполняющих операции в реальном времени. Построены фильтры временных сигналов, 9* 20 ВВЕДЕНИЕ основанные на корреляционном принципе и содержащие умножи- тели, интеграторы, сумматоры и запоминающие элементы. Кроме этого были изготовлены фильтры, основанные на резонансном принципе и содержащие ключи наряду с индуктивностями и кон- денсаторами. Значительно больший интерес представляют фильтры прост- ранственных сигналов и сигналов, зависящих от временной и пространственных координат. Потребителями таких фильтров являются те, кто разрабатывает телевизионное оборудование для национальной спутниковой связи методами импульсно-кодовой модуляции или системы передачи изображений по кабелям. Тра- диционная теория фильтров, разработанная для временных сигна- лов, не может быть использована для пространственных фильтров. Что касается цифровых компьютеров, то их успешно применяют для пространственной фильтрации сигналов там, где не требуется большая скорость обработки. Эти вычислительные методы изложе- ны в двух превосходных книгах Эндрюса [20, 21]. Аналоговые и цифровые системы, выполняющие операции в реальном времени и предназначенные для сжатия данных в системе передачи телеви- зионных сигналов методами импульсно-кодовой модуляции, бы- ли построены на основе традиционных компонент электронных схем сначала в Японии, затем в Англии, США и ФРГ. Особый интерес представляют считывающие устройства, осно- ванные на Жидких кристаллах и отображающие преобразованные сигналы так, как это требуется в системах обработки простран- ственных сигналов. Подобные сканирующие устройства были разработаны независимо в Японии путем использования немати- ческих жидких кристаллов и в ФРГ на основе управления двойным лучепреломлением в жидком кристалле при помощи электрическо- го поля. Оптические изображения в поле акустической волны Лучшим показателем результативности теории секвентного анализа является метод получения кинокадров в поле звуковых волн. Это первый и пока единственный метод, позволяющий реаль- но получать кинокадры, качество которых сравнимо с качеством изображений подводного телевидения. В прошлом изображения получали при помощи линз, по принципу эха в радиолокации и звуколокации, а также методами голографии. Изображающее устройство, содержащее под водой акустические линзы, получает- ся весьма громоздким для тех длин волн, которые представляют наибольший интерес, а именно для 10 мм и более. Быстродействие систем звуколокации и голографии недостаточно, чтобы принять ВВЕДЕНИЕ 21 20—30 изображений в секунду, необходимых для обнаружения движений. Между тем пространственные электрические фильтры, являющиеся плодом теории секвентного анализа, имеют вполне достаточное для этих целей быстродействие. Еще до проникнове- ния теории секвентного анализа в подводную акустику существо- вала потенциальная возможность построения фильтров для изобра- жающих систем при помощи синусоидальных акустических волн. Однако прямая реализация пространственных электрических фильтров при помощи синусоидальных функций оказалась весьма трудным делом. Подобные фильтры были изготовлены только на базе функций Уолша. Принцип получения изображений при помощи звуковых волн и пространственных электрических фильтров состоит в следующем. Звуковой генератор озвучивает плоскость объекта. Каждая точка объекта отражает рассеянную волну. Сумма всех рассеянных сферических волн образует в плоскости объекта волновой фронт рассеянных волн, который распространяется до плоскости прием- ников. Существует линейное соотношение между волновым фрон- том в плоскости объекта и волновым фронтом в плоскости прием- ников. Зная это линейное соотношение, можно провести обратное преобразование и тем самым восстановить волновой фронт в плоскости объекта, который является изображением. Для того чтобы выполнить обратное преобразование, акусти- ческий волновой фронт превращают в двумерную пространствен- ную матрицу электрических напряжений. Это делают при помощи двумерного массива гидрофонов. Напряжения с выходов гидрофо- нов подают на входные терминалы двумерного пространственного электрического фильтра, который выполняет обратное преобразо- вание со скоростью около 106 преобразований в секунду. На выходных терминалах фильтра получают электрические напряже- ния, которые пропорциональны амплитудам волнового фронта в плоскости объекта. Иначе говоря, акустическое изображение отображается при помощи электрических напряжений. Наблюдатель предпочитает иметь дело с оптическим изображе- нием, а не с акустическим, так как двумерные пространственные сигналы можно воспринимать только зрением, а не слухом. Поэто- му выходные сигналы с фильтра подают на электрооптический отображающий экран, например на телевизионную трубку или матрицу светодиодов. Поле яркостей диодов отображает амплитуду рассеянной звуковой волны в соответствующих точках плоскости объекта. 22 ВВЕДЕНИЕ Несинусоидальные электромагнитные волны Большинство генераторов электромагнитных волн не излучает синусоидальных волн. О существовании несинусоидальных волн было известно со времен Д'Аламбера (XIX в.), который показал, что общее решение волнового уравнения в одномерном случае состоит из двух произвольных волн вида f (х — ct) и g (х -г ct), распространяющихся слева направо и справа налево. Несмотря на это, синусоидальные волны доминировали как в теории, так и в технике получения электромагнитных волн. Иногда высказыва- ли предположение, что общее решение Д'Аламбера можно пред- ставить в виде наложения синусоидальных функций, но еще рань- ше отмечалось, что это неверно как математически, так и практи- чески. Выдвигались также догадки, что из-за отсутствия у несину- соидальных волн инвариантности к сдвигу, которым обладали синусоидальные волны, их нельзя использовать в технике связи. Выполненные математически корректно доказательства этих ут- верждений были основаны на некоторых предположениях о топо- логии пространства и времени, коточые нельзя было доказать экспериментально. Эти предположения приводили к новым недока- зуемым гипотезам. Вывести из такого тупика мог только экспери- мент, который и был сделан. Теперь у нас имеются передатчики и приемники несинусоидальных электромагнитных волн, которые демонстрируют в соответствии с теорией реальность подвижных систем связи на таких волнах. Самым важным итогом этого успешного эксперимента, повто- ренного много раз, будет, по-видимому, то, что теперь мы освобо- димся от психологических оков гипотезы, которая, опираясь на топологию пространства и времени, придавала особую роль синусоидальным функциям. Накопленный опыт свидетельствует о том, что современная техника достаточно далеко продвинулась вперед по пути использования несинусоидальных электромаг- нитных BOAHJH что существует много других, ранее неизвестных областей их применения. Проблема топологии рассматривается в гл. 4, а практическому применению несинусоидальных электро- магнитных волн в электронике посвящена гл. 3. Систематический поиск возможных применений различных типов волн нельзя начинать с попытки разрешить известные проблемы, так как тот, кто привык мыслить в терминах сину- соидальных волн, никогда не выйдет из сферы задач, которые имеют простое решение. Лучше всего начать с выявления различий между синусоидальными волнами и некоторой определенной систе- мой несинусоидальных волн. При этом можно обнаружить области применения, которые характерны для данной системы несинусои- дальных волн, и сконцентрировать внимание на тех особенностях синусоидальных волн, которые отсутствуют у других систем. ВВЕДЕНИЕ 23 Наконец, можно рассмотреть те виды волн, которые существенно отличаются от синусоидальных волн вполне определенной характе- ристикой. Волны Уолша были выбраны для общего исследования потому, что их реализация приводит к легко изготавливаемым устройствам. Вместе с тем в одном из применений, а именно при построении устройств, позволяющих методами радиолокации раз- личать электрически проводящий рассеиватель от электрически непроводящего, было обнаружено, что волны Уолша, близкие к математическому идеалу, для этой цели не подходят. В резуль- тате как теория, так и эксперимент были вынуждены выйти за пределы волн Уолша. Существует большое число эффектов, которые отличают сину- соидальные волны от волн Уолша и других несинусоидальных волн. Все их можно свести к небольшому числу следующих мате- матических утверждений: а. Производная или интеграл от синусоидальной функции является той же синусоидальной функцией, которая сдвинута во времени и имеет другую амплитуду. С другой стороны, функции Уолша изменяются, если их продифференцировать или проинтегри- ровать. б. Сумма синусоидальных функций с одной и той же частотой, но с различными амплитудами и фазами равна синусоидальной функции с той же частотой. Сложение других волн происходит иначе. в. Эффект Доплера проявляется двояко. Одиночная волна Уолша дает более сильный эффект Доплера, чем одиночная сину- соидальная волна. С другой стороны, эффект Доплера у ортого- нальной последовательности волн Уолша слабее, чем у ортого- нальной последовательности синусоидальных волн. Для того чтобы преобразовать одну волну Уолша в другую, необходимо, чтобы относительная скорость удовлетворяла условию [ и/с \ > ^д. Для синусоидальных волн никакой пороговой скорости для такого преобразования не существует. г. Изменение знака синусоидальных функций на обратный эквивалентно сдвигу их во времени. Для волн, которые не обла- дают симметрией по знаку и не являются полярно-симметричными, такой эквивалентности не существует. Отметим, что значительная часть свойств несинусоидальных волн была обнаружена не случайно. Электромагнитные волны описываются векторами, зависящими от четырех переменных: х, у, z и f, тогда как речевые сигналы задаются скалярной функ- цией всего лишь одной переменной t. Чем больше степеней свобо- ды, тем больше шансов обнаружить что-то новое. Это лежит в основе решения вопроса о том, в каком направлении вести исследования. 24 ВВЕДЕНИЕ Многие из свойств несинусоидальных волн можно объяснить тем, что эти волны имеют большую полосу частот. Однако надо быть осторожным и не заходить с этим объяснением слишком дале- ко. Так, например, способность радиолокатора отличить самолет, изготовленный из алюминия, от скопления дождевых капель или от участка земной поверхности при помощи несинусоидальных полярно-несимметричных волн не вытекает непосредственно из широкополосности излучаемых сигналов. Что касается коли- чественных характеристик эффектов, то их надо рассматривать особенно внимательно с учетом того, что любой сигнал имеет начало и конец, а следовательно, занимает бесконечно большую полосу частот. Понятия техники связи в физике Тот факт, что несинусоидальные электромагнитные волны мож- но передавать и принимать в радиодиапазоне, с неизбежностью приводит к вопросу о существовании несинусоидальных световых волн. Известно, что в любом спектрометре световые волны разла- гаются на синусоидальные. Однако это не означает, что свет нельзя разложить на несинусоидальные волны 1). Действительно, совсем недавно был сконструирован спектрометр для разложения света на функции Уолша. Правда, в настоящее время его построить невозможно, так как для этого требуются оптические затворы с временем срабатывания около 10"16 с, тогда как самые быстрые затворы, использующие эффект Керра, имеют время срабатывания около 10~10 с. г Физикам Х1Хв было хорошо известно, что разложение света на сину- соидальные волны является всего лишь одной из многих возможностей. «Там, где удобно, белый свет можно представить в виде наложения большого числа однородных колебаний, периоды которых близки друг к другу. Одна- ко можно взять любое другое представление, если только это разложение в силу теоремы Фурье дает распределение интенсивности, совпадающее с наблюдаемым» [299]. «...белый свет можно рассматривать как последова- тельность совершенно нерегулярных импульсов или беспорядочных колеба- ний подобно тому, как в соответствии с взглядами некоторых физиков вибра- ционные движения составляют основу теплового движения» [133]. Рэлей ука- зывал на возможность разложения звука на несинусоидальные функции [267], однако о свете писал следующее [268]: «Нет ничего произвольного в выборе круговых функций для представления волн. Как правило, круговые функции являются единственными волнами, которые не изменяют своей фор- мы в процессе распространения. Нарушения общности не возникает даже в тех особых случаях, когда скорость распространения не зависит от длины волны, так как в силу теоремы Фурье любую периодическую волну можно рассматривать как состоящую из таких (синусоидальных) волн, длины кото- рых находятся в гармонической прогрессии». В своем трактате о свете Гюй- генс [168] никогда не упоминал синусоидальных волн. Только после появле- ния книги Фурье в 1822 г. синусоидальные волны стали широко применяться. ВВЕДЕНИЕ 25 Убедившись в том, что спектрометр для разложения света по несинусоидальным функциям действительно может быть по- строен, хотя он «работает» только на бумаге, естественно под- вергнуть сомнению незыблемость фундаментальной роли сину- соидальных функций в физике. Сущность особой роли синусои- дальных функций заключается в том, что так называемая тополо- гия пространства и времени, базирующаяся на вещественных числах, выдвигает эти функции на особое место и однозначно выде- ляет их среди всех остальных систем функций. Такое представле- ние о пространстве и времени считается общепринятым, несмотря на то что результаты теории информации ему полностью противо- речат. Поэтому следует тщательно изучить сущность вопроса, попытаться выявить противоречие, найти его причины и, наконец, указать область, где можно искать для него экспериментальное решение. Рассмотрим интервал времени 0 ^ t < Т, где Т — произволь- но велико, но конечно. Так как ни один эксперимент еще не про- должался бесконечно долго и это не предвидится в ближайшем будущем, то величину Т выбираем равной наибольшему интервалу времени, который представляет интерес для физики. В соответ- ствии с общепринятым понятием времени множество точек времени на этом интервале равно множеству вещественных чисел между О и Т. Любому расположению точек времени соответствует точно такое же расположение вещественных чисел. Например, t + tg обозначает момент времени, более поздний, чем t, и соответственно число t + ty больше числа t. Пусть функция времени F (t) описы- вает некоторое событие или последовательность событий. Если такое же событие произошло с запаздыванием во времени на At, то новое событие описывается функцией F (f — At). Проведем теперь отображение интервала времени 0 ^ t <: Т на единичную окружность при помощи экспоненциальной функции exp (i2nt/T). Между точками интервала 0 ^ t < Т и точками окружности возникает взаимно однозначное соответствие. Для отображения можно использовать также шестиугольник или неко- торую другую кривую и при этом еще получить взаимно однознач- ное соответствие. Однако эффект запаздывания на время At будет Другим 1). Если исключить постоянный множитель, то запаздыва- ние At оставляет без изменения функцию exp [г2л (t — At)/T] = == exp (—г2зг—) exp ii2n-\. Отображение на любую другую 11 Любая точка на прямой линии или на круге находится в тех же соот- ношениях с точками, которые лежат по соседству, если только исключить начало и конец линии. Иначе ведут себя точки в углах шестиугольника, так как они имеют другие соотношения со своими соседями, чем точки на пря- молинейных участках между углами. Математики говорят, что экспонен- циальная функция является характером группы топологической группы вещественных чисел. 26 ВВЕДЕНИЕ кривую, отличную от окружности, нарушает сдвиговую инва- риантность процессов F (t) и F (t — At). Эти рассуждения вынуждают нас признать, что время обладает способностью выделять только круговые и экспоненциальные функции, а следовательно, и синусоидальные функции, так как последние являются всего лишь одной из форм записи экспонен- циальных функций, а именно в виде двух компонент, вещественной и мнимой, в декартовой системе координат. Кроме этого, легко убедиться в том, что все сказанное остается верным, если времен- ную переменную t заменить на пространственную переменную х, а интервал времени Т — на пространственный интервал дли- ной X. Очевидное затруднение, которое содержится в наших рас- суждениях, состоит в том, что все сказанное должно быть верно не только для конечного времени запаздывания Д<, но и для беско- нечно короткого, или бесконечно малого, времени запаздыва- ния dt. В противном случае мы могли бы заменить окружность на правильный многоугольник, стороны которого имели бы длину Т/АТ или даже 2Г/АГ. Между тем измерение бесконечно малых интервалов dt едва ли проще измерения бесконечно больших интервалов времени Г—»-оо. Из этого факта вытекает следующее количественное соотношение. Для того чтобы измерить положение точки времени ty на интервале 0 ^ t < Г, последний разбивают на левую и правую половины. Если to попало в правую половину, то пишут 1, а если в левую , то пишут 0. Каждый из полученных интервалов, 0 ^ t < <; Т/2 и Т/2 ^ t •< Т, опять разбивают на правую и левую поло- вины. Положение точки ty в одной из четырех четвертей 0 ^ t < < 7V4, Г/4 < t < Т/2, Т/2 < t <ЗГ/4, ЗГ/4 ^ t < Т обозна- чают при помощи двоичных чисел 00, 01, 10, 11. Дальнейшие разбиения интервалов дают большую точность измерений и луч- шее значение положения точки ty, а двоичные числа, характери- зующие ее положение, содержат все больше и больше цифр 1). Каждая из двоичных цифр имеет один бит информации. Поэтому, измеряя время способом, описанным выше, всегда можно сказать, сколько бит информации задают положение точки ty. Пусть теперь точность измерений возрастает, выходя за все известные пределы. Двоичное число, описывающее положение t„, содержит теперь счетное множество цифр, а информация становится счетно беско- нечной. Это, конечно, противоречит реальной ситуации. Действи- 11 Такой способ измерения, основанный на логике «да — нет», широко используют в теории информации и технике связи. В физике этот способ известен как исчисление высказываний [173, 218]. Те, кто знаком с устрой- ствами обработки данных, хорошо понимают значение конечности числа цифр в способе «да — нет». Однако этого гельзя сказать о чистых теоретиках {173, с. 73, § 3, или с. 97, последний параграф]. ВВЕДЕНИЕ 27 тельно, нет никаких методов хранения, обработки и передачи счетного множества двоичных цифр. Здесь нельзя спекулировать на точности различных методов измерения, которая может нахо- диться за^ пределами наших представлений, но мы всегда будем оперировать с конечным объемом информации 1). Однако это еще не предел, который может быть достигнут. Если множество разбиений станет счетно бесконечным, оно может расти дальше, пока не станет несчетно бесконечным. Таким обра- зом, определив в конце концов число бесконечно малых расстоя- ний dt, покрывающих интервал 0 ^ t •< Т, мы делаем два ут- верждения, далеких от реальности. Выше мы показали, что представления о пространстве — времени как о вещественных числах находятся в явном противоре- чии с реальными возможностями обработки информации. Теперь остается найти причину появления такого противоречия. Разгадка кроется в использовании дифференциала dt. Действительно, топо- логия пространства — времени, базирующаяся на вещественных числах 1), следует из дифференциального исчисления, и не приняв этой топологии, нельзя использовать дифференциальное исчисле- ние. Конечно, это еще ничего не говорит о топологии реального пространства — времени, так как любую математическую модель можно применять к реальному миру только в том случае, если предсказания данной модели согласуются с экспериментальными результатами. Дифференциальное исчисление является всего лишь удобным математическим аппаратом, причем этот аппарат может задавать топологию пространства — времени только в определен- ных пределах, подобно тому как евклидова геометрия правильно задает метрику пространства в определенных границах. Упрощая метрику пространства и используя аксиомы геометрии на плос- кости, мы получаем удобный аппарат, но из него не следует, что Земля является плоской фигурой. Этот пример с евклидовой геометрией ясно показывает, что именно надо сделать в нашей ситуации. Напомним, что позиция сторонников евклидовой геометрии пошатнулась после того, как возникли две другие модели: сферическая и псевдосферическая геометрии3', которые подготовили почву для возникновения ри- мановых геометрий. Поэтому мы должны исследовать специальную модель топологии пространства и времени. Если исходить из только что рассмотренного способа измерения положения точки ty ыа_интервале 0 ^ t << Т, то можно ожидать, что данная специаль- 11 Чтобы подкрепить важность конечности объема информации, напом- ним, что в основе специальной теории относительности лежит конечная ско- рость передачи информации, или, что то же самое, конечная скорость распро- втранения сигналов. 21 Математики называют ее обычной топологией на вещественных числах, гак как на вещественных числах можно построить не одну топологию. См. работы Болиа [46] и Лобачевского [203]. 28 ВВЕДЕНИЕ ная модель будет отдавать предпочтение функциям Уолша. Есть основание полагать, что это предположение может подтвердиться в будущем. Установлено, что целый класс разных топологий дает один и тот же результат, если рассматривать движение только одной точки или только одной частицы. При этом топология вещественных чисел не принадлежит к указанному классу. Поэто- му могут существовать эффекты, которые топология вещественных чисел не предсказывает. Вероятнее всего, различие между резуль- татами, вытекающими из модели, основанной на конечных раз- ностях At, Аж, и модели, основанной на дифференциалах dt, dx, будет обнаружено в ядерной физике, где разности времени и рас- стояния весьма малы. В данной книге показано, что топологии, базирующиеся на невещественных числах, дают добавочные эффек- ты для релятивистской частицы в кулоновском поле при расстоя- нии от силового центра порядка комптоновской длины волны. Рекомендации читателю Тематика данной книги весьма широка и простирается от абстрактной математики до подробных описаний технических устройств. Такое переплетение теории и ее приложений является вполне естественным, поскольку только опыт и успехи прикладных исследований могут позволить решить вопрос о том, является ли новая теория полезным обобщением или бесполезной абстракцией. Так как читатели, как правило, интересуются либо только теорией, либо только приложениями, то им можно дать следующие реко- мендации по чтению книги. Основную часть гл. 1 должны прочитать все, хотя некоторые ее разделы содержат только общие положения. Исключение составля- ют разд. 1.1.8, 1.2.4—1.2.6 и 1.4.1—1.4.4, в которых изложены методы обработки данных, не являющиеся обязательными для понимания остальных разделов книги. Разд. 1.3.2 и 1.3.3 представ- ляют интерес только для тех, кто будет читать гл. 4. Гл. 2—4 по существу не зависят друг от друга, если не считать следующих оговорок. Разд. 2.1.1 представляет общий интерес, разд. 3.7.1—3.7.6 связаны с подводной акустикой, а разд. 2.4.1— 2.4.4 — с акустическими изображающими системами. В разд. 4.1.1—4.1.2, которые представляют общий интерес, описаны устройства, неинвариантные во времени. 1. Математические основы 1.1. Ортогональные функции 1.1.1. Ортогональность и линейная независимость Система {/ (/', ж)} вещественных и почти всюду отличных от нуля функций / (0, ж), / (1, ж), ... называется ортогональной на интервале Хц <^х <^х^, если выполнено следующее условие: г1. ^,/, •, J ус с fl при j==k, f(J,x)f(k, x)dx=X,6,k, 6jk={ ., i I ° "p11 i =^k- (i) Функции называются ортогональными и нормированными, если постоянная Xj равна 1. Обе эти характеристики обычно объеди- няют в одну — ортонормированную систему функций. Ненормированная система ортогональных функций может быть всегда преобразована в нормированную систему. Например, если Xj в уравнении (1) не равно 1, нормированной является система функций {^J172 / (/> х}}- Система ортогональных функций является специальным случаем систем линейно-независимых функций. Система {/ (у, х)} из т функций называется линейно-зависимой, если уравнение "S c(j)f(j,x)==0 }=0 (2) Удовлетворяется для всех значений х, при этом не все константы с (/) равны нулю. Функции / (у, х) называются линейно-независи- мыми, если уравнение (2) не удовлетворяется. Функции ортого- нальной системы всегда являются линейно-независимыми, так как если уравнение (2) умножить на / (k, х) и проинтегрировать полу- ченное произведение на интервале Хц <.х <.х^, то для каждой постоянной с (k) получим с (k) =0. Система {g (7, х}} из т линейно-независимых функций всегда может быть преобразована в систему {/ (/, х)} из т ортогональных 564 ДОПОЛНЕНИЕ Литература 1. Chapman J. С., Experimental Results with a Walsh Wave Radiator, 1976 National Telecommunications Conference Record, Vol. Ill, IEEE Cat. No. 76CH1149-4CSCB, pp. 44.2.1—44.2.3. 2. Harmuth H. F., Sequency Theory — Foundations and Applications, New York, Academic Press, 1977. 3. Spetner L. M., Radiation of Arbitrary Electromagnetic Waveforms, Appli- cations of Walsh Functions and Sequency Theory, Eds. H. Schreiber and G. F. Sandy, IEEE Cat. No. 74CH0861-5 EMC, pp. 249—274. (См. [10].) 4. Chapman J. С., Transient Radiation from Digital Signals on Transmission Lines, Proc. 1976 IEEE Intern. Symposium on Electromagnetic Compatibi- lity, IEEE Cat. No. 76CH1104-9EMC, pp. 264—266. 5. Spectrum Utilization and Monitoring, CCIR, XIIIth Plenary Assembly, Vol. 1 (Study Group 1), Question 45/1, No. 2, Telecommunication Union, Geneva, 1976, p. 502. 6. Harmuth H. F., Interference Caused by Additional Radio Channels Using Nonsinusoidal Carriers, Proc. 1977 Electromagnetic Compatibility Symposi- um and Exhibition, Ed. T. Dvorak, ETH Zentrum-HF, Zurich, Switzer- land. Предметный указатель Абсцисса сходимости 510, 518 Аксиома — об отсчетах 86 — — энергии 86 Алгебра Буля 81 Алгоритм быстрый 40 Амплитуда — мгновенная функции Уолша 321 — пиковая 300 Антенна — резонансная 331 — стержневая 342 — с излучающим концом 345 Апертура 221 — эффективная 442 Аттенюатор 558 — цифровой вариант 560 База временная 302 Бозон 471 — собственная энергия 485 Вектор 10 — Пойнтинга 267, 280, 283, 291 Викодер 185 Воздействие поверхности Земли на радиолокатор 315 Возражения против несинусоидаль- ных электромагнитных волн 436 Вокодер 185 Волна — вернувшаяся 310 — вязкостная 310 — квазипостоянная 555 — непериодическая 325 — отраженная 310 — Радемахера 339 — рассеянная 312 — симметричная по полярности 314 — электромагнитная 264 — — под водой 324 — — синусоидальная 366 Время — интегрирования 555 — отсчетное 112 — переключения 274, 385 Гармоники сферические 519 Генератор — озвучивающий 215 — функций Уолша 163 Генерация синусоидальных волн 388 Геометрия — Евклида 27 — Римана 27 Геометрическое место точек фокуса 238 Гидрофоны 226 Граф мировой 453 Группа — диаднан 46, 113, 450 — каналов 247 — эталонная 247 Дальнодействие 466 Демодулятор 545 Демодуляция синхронная 415 Деферент 9 Диагонализация 359, 362 Диаграмма — амплитудная 297 — — вычисленная на ЭВМ 411, 412 — — направленности 395 — — преобразованная 428 — — приема 403 — мощности 301 — — для излучения 301 — — — приема 301 — пеленга 402 Диод Трапатта 275, 386 Диполь — Герца 267 — — магнитный 278, 325, 237 — — электрический 264, 270, 275, 291, 315, 325, 341, 435 Диск радиолокационный 309 566 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Дискриминатор формы — волны 356 — сигналов 545, 560 Дисперсия 368 Дифракционная решетка — — инвариантная во времени 445 — — неинвариантная во времени 446 Дифракция пучка 222 — акустическая 222 — двумерная 225 Дифференцируемость 433 Длина — волны 18, 20 — — комптоновская 494 — — средняя 18, 285 Дополнительные каналы радиосвязи 324 — синусоидальный 369, 372 — трапецеидальный 301 — Уолша 372 Инвариант преобразования Лорен- ца 303 Инвариантность к сдвигу 110 Интегратор 162, 552 Интегрируемость квадратичная 36 Интервал времени, свободный от неопределенности 380 Интерферометрия 307 Интуиция в науке 442 Информация — переданная 319 — принимаемая 319 — скорость передачи 319 Исчисление высказываний 26, 114 Единица длины элементарная 464 Задержка квадрупольной моды 336 Закон пропорциональности 143 Затворы дифракционной решетки не- инвариантные во времени 448 Зона — ближняя 266 — дальняя 266 Излучатель — большой мощности 339 — несинусоидальных электромаг- нитных »волн 544 — резонансный 337 — с длинной линией 341 — — обратной связью 339 — спиральный 334 — сферический 289 Излучение — боковое 343 — в переходном режиме 269 — линейного массива сферических излучателей 289 — непосредственное 368 — сопротивления 271, 284 Измерение расстояний 462 Изображение; принцип получения 215 — трехмерное 262 Импеданс волновой 264 Импульс 31 — Дирака 312, 353 — запускающий 555 — прямоугольный 33, 292 Кабель электрический 543 Канал 247 Картина дифракции акустического пучка 222 Квадруполь — магнитный 287 — электрический 280 — — двумерный 286 Клиппирование амплитуды 396 Ключи — отсчитывающие 552 — сброса 552 — селекции 414 Код — Баркера 375, 437 — Грея 49 — Рида—Маллера 125 — типа Баркера 135 Компаратор амплитудный 403 Компоненты ближней зоны 267 Координата собственная 459 Коррелятор скользящий 563 Корреляция диадная 106, 136 Коэффициент ослабления относитель- ный 550 Лепестки — боковые 380 — главные 381 Линии — без потерь 336 — задержки в квадрупольной моде 336 Линия — мировая 453 Локатор акустический 388 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 567 Маска дополняющая 202 Массив — антенн инвариантных во времени 300 — приемников — — линейный 289, 296 — — на искривленной поверхности 246 Матрица Адамара 60, 445 Машина Грина 125 Международная консультативная ко- миссия по радиосвязи 545 Метод — линейного преобразования 425 — отсчитывания 415, 426 — факторизации Бернулли 265 Метрика Хэмминга 113, 114 Мишень радиолокационная 313 Множители весовые 563 Модуляция — амплитудная 371 — импульсно-кодовая 186 Момент дипольный — магнитный 264 — электрический 264 Мощность — средняя 269 — — относительная 219 Напряжение среднеквадратичное 274 Независимость линейная 29 Нейтрон 458 Неравенство Бесселя 35 Несущая радиолокатора 368 — — несинусоидальная 325 — — синусоидальная 369 — — Уолша 378 Область дальность — скорость 373 Обмен между протоном и нейтроном 458 Обнаружение наибольшего положи- тельного напряжения 365 Образ — Уолша — Фурье 88, 179 — Фурье 38 Обращение амплитуды эксперимен- тальное 353 Октуполь 338 Оператор — линейный 144 — разностный 469 — — левый 469 — — правый 469 — симметричный 469 — Серла 79, 80, 96 Операция без переноса 78 Ортогональность 17, 29 — инвариантная к сдвигу 345 — с конечным числом отсчетов 36 Ослабление — коэффициент 144 — — как функция частоты 396 — — морской воды 409 — — относительный 580 Отражение 310 Отсчет дискретный 39 Отсчитывание оптическое 201 Период колебаний средний 18 Петля — задержек с обратной связью 349, 352, 354 — магнитная 329 — слежения для волн Уолша 358 Плотность сжатия импульсов 381 Поверхность фокусов цилиндриче- ская 238 Поглотитель идеальный 315 Поглощение элетромагнитных волн — в атмосфере 543 — — земле 543 Поле — индукции 266 — кулоновское 474 — постоянное 555 — статическое 266 — тензорное 282 Полоса базовая 367 Полоски пересекающиеся 210 — — отсчитывающего устройства 211 Поляризация — волн Уолша 304 — — круговая 304 — — линейная 305 — — циркулярная 306 Постоянная Эйлера 521 Потенциал — векторный 264 — скалярный 264 Предел разрешения классический 397 Преобразование — Карунена — Лоева 174, 179, 180, 198 — Лапласа 476, 486 — Лоренца 303 — наилучшее 179, 200 — пилообразное 194 — ter-Фурье 177, 178 — Фурье 175, 177 — Уолша 177 — Хаара 179 568 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Преобразователь — аналого-цифровой 558 — быстродействующий 557 — секвенты 546, 555 — Уолша 259 Прием — линейного массива 296 — на искривленной поверхности 246 — сигналов одновременный 420 — периодических несинусоидальных электромагнитных волн 543 — селективный 349, 357 — синхронный 357 — — Уолша 357 Приемник — волн Уолша 349 — селективный 544 — синхронный 363 Принцип — измерения расстояний 277 — супергетеродинирования 355 — суперпозиции 143 Продолжительность сигналов эффек- тивная 441 Произведение кронекеровское 61, 360 Производная Гиббса 450 Пропускная способность (емкость) канала 319 Пространство однородное 113 Пространство — время вещественное 451 — диадное 121, 451, 460 — квартиадное 460 — континуальное, эксперименталь- ная проверка 452 — обычное 121, 450 — топология 450 — целочисленное 451 Протон 458 Процесс ветвления 62, 64 — отсчитывания 393 — переходной — — линейный 280 — — экспоненциальный 280 Пучок приема — узкий 442 — широкий 422 Радиолокатор — бокового обзора 442, 544 — — — на синусоидальных волнах 544 — доплеровский 354 — — приемник 352 — — разрешение 375 — загоризонтный 367, 409 443, 544 — прямой видимости 368 — с высоким разрешением 543 — — малым углом возвышения 544 — чирп 382, 385, 441 Разложение — в ряд 15 — — — с конечным числом отсче- тов 36 — — — — несчетным числом отсче- тов 34 — света спектральное 445 Разрешающая способность 412 Разрешение — по дальности 374, 544 — — скорости 375, 382 — угловое 386 — — массива приемников 386 — — предел классический 397, 401 Распознавание формы предметов 313 Расстояние Хэмминга 113, 451 Регистр сдига аналоговый 555, 558 — — параллельный 559 Регулятор потерь 558, 559 Резонанс непериодических волн 325 Рефлектор радиолокационный 310 Решение — асимптотическое 489 — второе каноническое 521 — неинвариантное во времени 482 — стационарное 470 — сходящееся 490 Ряд — Тейлора 524 — факториальный 494 Свет монохроматический 397 Сдвиг — Доплера 442 — диадный 100, 452 — обычный 100 — по модулю 452 — целочисленный 452 Секвента 18 — нормированная 18 — преобразованная 302 Селекция несущей 347 Сжатие импульсов 379 — телевизионных данных 184 — трехмерных данных 258 Сигнал базовой полосы 368 — временной 218 — диадно-сдвинутый 134 — радиолокационный 131 — с малой относительной полосой частот 545 — синхронно-демодулированный 364 — широкополосный 367 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 569 Сигнатура радиолокационная 438 Силы обменные 458 Симметрия по полярности 15, 314 Система гидрофонов мультиплексная 246 — замкнутая 26 — квазистационарная 85 — полная 36 — радиолокационная 308 — связи 22, 543 — — подвижная 345 Скорость передачи информации 317, 318 Сложение по модулю 2, 45 Собственные координаты 459 Совместное использование частот 545 Соотношение независимости 469, 496 Состояние установившееся 85 Спираль магнитная 333 — двойная 334 Сравнение преобразований 179, 200 Супергруппа 247 Суперпозиция 131 Сфера металлическая 311 — фокусов 232, 245 Схема отсчитывания и запомина- ния 162 — параллельного вычитания 559 Телевидение кодово-импульсное 184 Телескоп астрономический 308 Теорема Винера—Хинчина 88 — Гаусса интегральная 526 — Гельдера 463 — Парсеваля 35 — полноты 35 — Пыхлера 108 Ток номинальный 289 — синусоидальный 273 — среднеквадратичный 271 Топология пространства-времени 110, 121, 450 — вещественных чисел 451 — диадной группы 451 — обычная 451 — экспериментальная проверка 451 Точки ложные 253 Трубы из бетона 543 — — металла 543 — — пластмассы 543 Умножитель 161, 234, 243, 559 Уравнение волновое 346, 432 — Дирака 465 — — дифференциальное 503 — — квадрированное 498, 505 — — линеаризованное 506 — — разностное 465 — Максвелла 264, 270, 442 — — дискретных сферических функ- ций 515 — — Клейна — Гордона 465, 467, 469, 471, 482, 505 — Шредпнгера 465, 469, 482 Усилитель, изменяющий знак ам- плитуды на обратный 560 — суммирующий 555, 557 Условие Лоренца 266 — устойчивости 469 Фаза 51 Фазор 10 Фединг интерференционный 544 Фильтр временных сигналов 141 — — в акустической изображающей системе 224 — высоких секвент 163 — нижних секвент 163, 181 — ослабления нижних секвент 182 — отсчитывающий 201 — промежуточной частоты 545 — промежуточной секвенты 356, 545, 557 — пространственных сигналов 171 — радиосеквентный 356, 546, 547, 553 — — длинных периодов 545 — — коротких периодов 545, 552 — радиочастотный 545, 547 — разрешения по амплитуде 191 — резонансный LCS 449 — с задержкой в цепи обратной связи 315 — трехмерный 258 — электрический 141 Фильтрация асинхронная 449 Фокусировка в декартовых коорди- натах 210, 212 Формирование сигнала 368 Формула Грина 524 — — обобщенная 526 Фронт волновой 224 — сферической волны 204 Функции Бесселя 398 — временные 218 — глобальные 51 — кросс-корреляции 359 — локальные 51 — пилообразные 196, 197 — подавление боковых лепестков 135 — Пэли 63, 555 — Радемахера 44, 165 — Уолша 43, 445, 555 570___________________ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ — Фурье 24, 433 — Хаара 64 Характер группы 10 Характеристики акустических изо- бражений 254 Цепь мировая 453 Цепи отсчитывания и хранения 162 Число отсчетов конечное 36 — несчетное 38 — счетное 37, 38 — пересечений нуля Ширина полосы относительная 330, 331 Шумы 412, 417 Элемент вычитания 563 — запоминающий 555 — связи гибридной 338 — синусоиды 30, 322 — функции Уолша 32, 322 Эпицикл 9 Эффект ближней и волновой зон 276 — Доплера 23, 302, 398, 400 — Керра 24 — контурный 253 Явление Гиббса 15, 16 Ячейка неопределенности 461 — по дальности 367 Оглавление От переводчика ......................... 5 Предисловие .......................... 7 Введение ............................ 9 Догма об окружности .................... 9 Окружность и круговые функции в технике связи ....... 11 Основные математические понятия .............. 16 Сигналы во времени и пространстве .............. 19 Оптические изображения в поле акустической волны ...... 20 Несинусоидальные электромагнитные волны ......... 22 Понятия техники связи в физике ............... 24 Рекомендации читателю ................... 28 1. Математические основы ................... 29 1.1. Ортогональные функции .................. 29 1.1.1. Ортогональность и линейная независимость ....... 29 1.1.2. Разложение в ряд по ортогональным функциям ..... 34 1.1.3. Ортогональность и разложение в ряд для конечного числа точек отсчетов .................... 36 1.1.4. Функции Уолша ................... ^3 1.1.5. Матрицы Адамара .................. 60 1.1.6. Функции Хаара ................... 64 1.1.7. Функции нескольких переменных ........... 66 1.1.8. Операции без переноса вместо сложения и вычитания ... '" 1.2. Некоторые вопросы анализа Уолша — Фурье ......... 83 1.2.1. Ортогональные разложения на конечных и бесконечных интервалах ...................... °3 1.2.2. Аксиома об отсчетах и аксиома об энергии ........ оь 1.2.3. Быстрое преобразование Уолша — Фурье ........ °° 1.2.4. Быстрое преобразование Хаара — Фурье ........ 93 1.2.5. Быстрое преобразование Уолша — Фурье без переноса . . 96 1.2.6. Диадный сдвиг .................... 10й 1.2.7. Диадная корреляция ................. 106 1.3. Инвариантность к сдвигу и топология ............ 11й 1.3.1. Изменения во времени и инвариантность к сдвигу .... 110 1.3.2. Некоторые свойства пространства — времени, топология которого определяется диадной группой и метрикой Хэм- минга ........................ 113 1.3.3. Стоячие волны в диадном пространстве — времени . . . 121 1.4. Применения для обработки сигналов ............. 12° 1.4.1, Обнаружение сигналов, закодированных кодами Рида — Маллера, при помощи быстрого преобразования Уолша без переноса ....................... 125 572 ОГЛАВЛЕНИЕ 1.4.2. Дпадная корреляция при обработке радиолокационных сигналов ....................... 131 1.4.3. Многократные опросы, основанные на диадной корреляции 136 1.4.4. Цепи и обобщенные сигналы для диадной корреляции . . 138 2. Электрические фильтры временных и пространственных сигналов 141 2.1. Фильтры временных сигналов ................ 141 2.1.1. Спектральное описание фильтров временных сигналов 141 2.1.2. Несинхронизованные фильтры для несинусоидальных функций ....................... 146 2.1.3. Синхронизованные фильтры для несинусоидальных функ- ций ......................... 155 2.2. Генераторы временных и пространственных функций ..... 163 2.2.1. Генераторы функций Уолша, изменяющихся во времени 163 2.2.2. Генераторы пространственных функций Уолша ..... 167 2.3. Фильтры двумерных пространственных сигналов ....... 171 2.3.1. Принцип работы фильтров мгновенного действия .... 171 2.3.2. Аппаратурная реализация фильтров для телевидения . . . 184 2.3.3. Принцип действия отсчитывающих фильтров ...... 201 2.3.4. Реализация отсчитывающих фильтров при помощи жид- ких кристаллов ................... 209 2.4. Получение акустических изображений при помощи двумерных фильтров .......................... 213 2.4.1. Преобразование Фурье, осуществляемое средой, и обрат- ное преобразование Фурье, выполняемое при помощи дву- мерного фильтра .................. 213 2.4.2. Аппаратурная реализация фильтров .......... 226 2.4.3. Система фокусировки сферических волн ........ 230 2.4.4. Мультиплексная система гидрофонов и процессора . . . 246 2.5. Фильтры мгновенного действия для трехмерных и четырехмер- ных сигналов ....................... 255 3. Несинусоидальные электромагнитные волны .......... 264 3.1. Излучение диполя под действием тока i (t) .......... 264 3.1.1. Решение уравнений Максвелла для электрического диполя Герца ........................ 264 3.1.2. Эффекты ближней и волновой зон ............ 276 3.1.3. Магнитный диполь Герца ............... 278 3.2. Мультипольное излучение под действием тока i (t) ....... 280 3.2.1. Одномерный электрический квадруполь ........ 280 3.2.2. Двумерный электрический квадруполь ......... 286 3.2.3. Одномерный магнитный квадруполь .......... 287 3.3. Некоторые общие свойства несинусоидальных электромагнитных волн ............................ 289 3.3.1. Излучение линейного массива сферических излучателей 289 3.3.2. Прием линейным массивом сферических приемников . . . 296 3.3.3. Эффект Доплера ................... 302 3.3.4. Круговая поляризация ................ 304 3.3.5. Интерферометрия ................... 307 3.3.6. Радиолокационная система, способная отличать отража- тель от рассеивателя ................. 308 3.3.7. Эффекты, обусловленные несимметрией по полярности . . 314 3.3.8. Увеличение числа независимых каналов радиосвязи . . . 316 3.4. Аппаратура для излучения несинусоидальных электромагнитных волн ............................ 325 3.4.1. Массивы из диполей Герца ............... 325 3.4.2. Резонансные антенны ................. 331 ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ 573 3.4.3. Эффективное преобразование мощности ......... 332 3.4.4. Излучатели с длинной линией ............. 341 .1.5. Аппаратура для приема несинусоидальных электромагнитных волн ............................ 345 3.5.1. Разделение сигналов в подвижной системе связи .... 345 3.5.2. Селективный прием сигналов, имеющих правильный период 349 3.5.3. Синхронный прием электромагнитных волн Уолша . . . 357 'Л.б. Применение несинусоидальных электромагнитных волн в радио- локации .......................... 366 3.6.1. Непосредственное излучение сигналов и модуляция сину- соидальных несущих ................. 366 3.6.2. Двумерная функция автокорреляции амплитудно-моду- лированной синусоидальной несущей ......... 369 3.6.3. Двумерная функция автокорреляции амплитудно-моду- лированной несущей Уолша .............. 372 3.6.4. Разрешение по дальности без доплеровского сдвига . . . 374 3.6.5. Разрешение по скорости при известной дальности .... 375 3.6.6. Сжатие импульсов и чирп-радиолокатор ........ 379 3.6.7. Чирп-радиолокатор с разрешением по скорости ..... 382 3.7. Угловое разрешение массивов отсчитывающих приемников . . . 386 3.7.1. Прием некоторых несинусоидальных волн ....... 386 3.7.2. Классический предел разрешающей способности для синусоидальных волн ................. 397 3.7.3. Массив отсчитывающих приемников синусоидальных волн 401 3.7.4. Разрешающая способность и шум ............ 412 3.7.5. Одновременный прием сигналов ............ 420 3.7.6. Комбинация линейного преобразования и метода отсчи- тывания ....................... 426 3.8. Некоторые поучительные замечания ............ 432 3.8.1. Решения волнового уравнения ............ 432 3.8.2. Часто выдвигаемые возражения против несинусоидаль- ных электромагнитных волн .............. 436 4. Понятия техники связи в физике ................ 445 4.1. Спектральное разложение света ............... 445 4.1.1. Дифракционная решетка, инвариантная во времени . . . 445 4.1.2. Дифракционная решетка, неинвариантная во времени 446 4.2. О топологии пространства — времени ............ 450 4.2.1. Два базиса модели пространства — времени: вещественные числа и диадная группа ......... 450 4.2.2. Целочисленный сдвиг и диадный сдвиг ......... 452 4.2.3. Где следует искать подтверждения топологических моде- лей, основанных на невещественных числах? ...... 462 4.3. Разностные уравнения Шредингера и Клейна — Гордона . . . 467 4.3.1. Зависимость от времени решений уравнений в частных разностях ...................... 467 4.3.2. Уравнение Шредингера ............... 469 4.3.3. Уравнение Клейна — Гордона ............ 471 4.4. Разностное уравнение Шредингера для частиц в кулоновском поле ............................ 474 4.4.1. Разделение переменных для центрально-симметричного поля ......................... 474 4.4.2. Дискретные собственные значения энергии бозонов в ку- лоновском поле ................... 476 4.4.3. Решения, неинвариантные во времени ......... 482 4.5. Разностное уравнение Клейна — Гордона для частицы в куло- новском поле ....................... 48? 574 ОГЛАВЛЕНИЕ 4.5.1. Разделение переменных; задача с начальными условиями 483 4.5.2. Дискретные собственные значения энергии бозонов в куло- новском поле ..................... 485 4.5.3. Асимптотическое решение ............... 489 4.5.4. Сходящееся решение ................. 490 4.5.5. Свободные частицы в кулоновском поле ........ 494 4.5.6. Соотношение независимости .............. 496 4.6. Разностные уравнения Дирака для частиц в кулоновском поле 498 4.6.1. Квадрированное уравнение Дирака ........... 498 4.6.2. Линеаризованные уравнения Дирака ......... 506 4.7. Математические приложения ................ 510 4.7.1. Правое и левое разностные частные ........... 510 4.7.2. Соотношение независимости в трехмерных декартовых координатах ..................... 511 4.7.3. Полиномы как решения разностных уравнений второго порядка ....................... 512 4.7.4. Разностное уравнение дискретных сферических функций 515 4.7.5. Сходимость решения разностного уравнения Клейна — Гордона для частиц в кулоновском поле ......... 520 4.7.6. Сходимость при г=0................. 522 4.7.7. Ортогональность собственных функций ......... 523 4.7.8. Обобщение формулы Грина ............... 526 Литература ........................... 528 Дополнение ........................... 543 Селективный прием периодических несинусоидальных электромагнит- ных волн ........................... 543 1. Введение ......................... 543 2. Принцип действия приемника периодических несинусоидаль- ных волн ........................ 545 3. Радио-секвентный фильтр ................. 547 4. Преобразователь секвенты ................ 555 5. Фильтр промежуточной секвенты .............. 557 6. Дискриминатор формы сигналов .............. 560 Литература ........................... 564 Предметный указатель ...................... 565