СПРАВОЧНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА Р. П. ФЕДОРЕНКО ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1978 22.18 Ф 33 УДК 519.6 Приближенное решение задач оптимального управления. Р. П. Ф е д о р е н к о. Главная редакция физико-математиче- ской литературы, М., Наука, 1978. 488 с. Книга посвящена методам приближенного решения задач оптимального управления в достаточно полном объеме: от теоре- тических выкладок до анализа выданных ЭВМ таблиц. Изла- гается теоретический материал, в основном связанный с важной в расчетах техникой вычисления функциональных производ- ных. Описаны основные конструкции алгоритмов приближен- ного решения, использующие прямое решение уравнений прин- ципа максимума, вариации в фазовом пространстве и вариации в пространстве управлений. Многочисленные примеры реали- зации алгоритмов для решения прикладных задач исполь- зуются для иллюстрации характерных трудностей, методов их анализа, роли различных вычислительных приемов, обеспе- чивающих эффективность алгоритмов и надежность прибли- женных решений. Книга предназначена научным работникам, занимаю- щимся фактическим решением прикладных задач оптимизации, ф 20204-144 053(02)-78 Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1978 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .......................... 7 Введение ............................ 11 Глава I. Элементы математической теории оптимального управле- ния ........................ 16 § 1. Общие замечания к первой главе ............ 16 § 2. Постановка вариационной задачи ............ 21 § 3. Дифференцирование функционалов, определенных на траек- ториях управляемой системы .............. 29 § 4. Функционалы, дифференцируемые по направлениям в функциональном пространстве ............ 34 § 5. Принцип максимума Л. С. Понтрягина — необходимое условие оптимальности управления ........... 42 § 6. Принцип максимума. Конечные вариации управления па множестве малой меры ................. 55 § 7. Некоторые обобщения задачи оптимального управления 61 § 8. Принцип максимума в задачах с фазовыми ограничениями 75 § 9, Принцип максимума — достаточное условие стационарности траектории ...................... 79 § 10. Вопросы существования решений ........... 81 § 11. Вариационные задачи для ядерного реактора ....... 96 § 12. Задачи с уравнениями в частных производных ...... 102 Глава II. Методы приближенного решения задач оптимального управления .................... 108 § 13. Общие замечания к второй главе ............ 108 § 14. Методы решения краевой задачи для П-системы ..... 114 § 15. Метод вариаций в фазовом пространстве ......... 120 S 16. Метод вариаций в фазовом пространстве. Вычислительные схемы ......................... 127 § 17. е-метод Балакришнана ................ 136 § 18. Метод проекции градиента ............... 140 § 19. Метод последовательной линеаризации ........ 164 S 20. Метод последовательной линеаризации. Вычислительная технология ...................... 173 § 21. Метод последовательной линеаризации. Задачи с функциона- лами, дифференцируемыми по Гато ........... 180 § 22. Метод поворота опорной гиперплоскости ......... 188 § 23. Приближенное решение задач со скользящим режимом 196 § 24. Градиентный метод второго порядка ........... 201 Глава III. Решение задач .................. 210 § 25. Общие замечания к третьей главе ............ 210 § 26. Задача о брахистохроне .,,....,.,,.,.,, 217 ОГЛАВЛЕНИЕ § 27. Линейная задача быстродействия ............ 227 § 28. Задача о вертикальном подъеме ракеты-зонда. Нелинейная П-система ....................... 233 § 29. Задача о вертикальном подъеме ракеты ......... 238 § 30. Задача о плоском движении тела переменной массы . . . 249 § 31. Оптимизация химического реактора .......... 255 § 32. Оптимизация производственного цикла ......... 263 S 33. Выбор оптимальных композиций защиты от излучения . . 268 § 34. Задача о стабилизации спутника ............ 275 § 35. Модельная задача с фазовым ограничением и разрывом фа- вовой траектории ................... 289 § 36. Оптимальный режим остановки реактора ........ 295 § 37. Задача о спуске космического аппарата ......... 312 § 38. Вариационные задачи, связанные с проектированием ядер- ного реактора ..................... 329 § 39. Об одном способе аппроксимации недифференцируемого функционала ..................... 338 § 40. Некорректные задачи оптимального управления. Регуляри- зация численного решения ............... 345 § 41. Решение обратных задач математической физики. Вариа- ционный подход .................... 356 Глава IV. Стандартные алгоритмы .............. 369 § 42. Основные свойства выпуклых множеств ......... 369 § 43. Метод Ньютона .................... 377 § 44. Дискретное динамическое программирование ...... 386 § 45. Поиск минимума. Гладкие задачи ............ 389 § 46. Поиск минимума. Негладкие задачи ........... 407 § 47. Линейное программирование. Симплекс-метод ...... 417 § 48. Линейное программирование. Итерационный метод .... 437 § 49. Итерационный метод решения специальной задачи квадрати- ' ческого программирования ............... 453 § 50. Модифицированная функция Лагранжа ......... 461 § 51. Метод сопряженных градиентов ............. 469 Литература .......................... 479 Предметный указатель . ...................... 484 Указатель обовначений ....................... 487 ПРЕДИСЛОВИЕ Основу этой книги составляет прежде всего опыт приближен- ного решения прикладных задач оптимального управления. Эта работа была начата автором в 1962 г. и продолжалась почти 15 лет. В течение этого времени задачи постепенно усложнялись, встречались трудности при их решении, надо было разбираться в причинах и вносить соответствующие изменения в метод реше- ния, проводить многочисленные расчеты. Все это время автор следил за журнальной литературой по данной теме, пытался на основе имеющегося у него опыта оценить некоторые идеи, проводя, в частности, и вычислительные эксперименты. Таким обрааом, накопился достаточно большой материал. На его основе автором читались спецкурсы для студентов МФТИ и факультета прикладной математики и механики Воронежского университета, циклы обзорных лекций в 7-й зимней математической школе (г. Дрогобыч, 1974 г.) и во 2-й летней математической школе (г. Вендоры, 1977 г.). Однако при написании этой книги возникли значительные трудности. Книга издается в серии СМБ и должна, в известной мере, служить справочником по различным методам решения задач оптимального управления. Однако в этом вопросе в настоящее время методов нет, если понимать метод как совокупность инструк- ций, следуя которым можно решить задачу данного типа. В этой книге описаны не методы, а скорее подходы к решению, разра- ботанные вплоть до мелких деталей, многократно опробованные. Дело осложняется тем, что применение их к решению задач неизбежно связано с реализацией на ЭВМ, а это чрезвычайно остро ставит проблему объема вычислений (машинного времени). Поэтому метод, для которого доказана теорема о возможности получить решение с заданной точностью ценой конечного числа 8 ПРЕДИСЛОВИЕ операций (а это уже действительно метод), может оказаться совершенно не пригодным в качестве средства фактического ре- шения прикладных задач, как в силу невыполнения предполо- жений, принятых в доказательстве, так и в силу непосильного для современных ЭВМ (и ЭВМ обозримого будущего) объема вычислений. Такие примеры читатель найдет в этой книге. Факт этот общеизвестен, и для нахождения минимума часто применяют алгоритмы, получившие название «эвристических». Этот термин, трактуемый иногда слишком широко, таит в себе опасность серьезного снижения требований к уровню вычисли- тельной работы. Есть и другая опасность — предъявление к ме- тодам решения сложных задач требований, принятых в совре- менной математике. Они не могут быть удовлетворены, но это не значит, что вычислительная математика находится вне науки. Эта книга написана с позиций, находящихся между двумя ука- занными крайними точками зрения. Разумеется, такая позиция неоднозначна и индивидуальна, оправданием ее может служить только основанная на ней практика решения прикладных задач. В книге читатель найдет описание достаточно широкого спек- тра различных методов (будем все-таки употреблять этот термин) решения задач оптимального управления и сопутствующего их применению набора вычислительных приемов. Этим выполняются справочные функции книги. Вместе с тем автор считал своим долгом указать на трудности, которые возникнут при использо- вании того или иного метода. Изложение некоторых методов сопровождается критикой, иногда достаточно резкой. Исключить эту часть изложения невозможно: не предупредив читателя о воз- можных трудностях фактического решения задачи, автор ввел бы его в заблуждение. Разумеется, в этой части книга в известной мере субъективна. Но и здесь читатель найдет прежде всего объ- ективную информацию. Автор никогда не позволял себе голослов- ной критики, всегда четко и определенно указываются недостатки обсуждаемого метода, и автор настаивает на объективности этой части критики. Субъективным является отношение к этим недо- статкам: можно ли, тем не менее, считать метод эффективным средством решения задач? В конце концов читатель этот вопрос должен будет решать сам, точка зрения автора для него необя- зательна. Еще раз подчеркнем, что даже самая резкая критика ПРЕДИСЛОВИЕ 9 служит в книге поводом для достаточно подробного описания некоторых методов, и читатель может ограничиться только этой информацией. Другая трудность, с которой встретился автор, состоит в из- ложении вопросов вычислительной технологии. Вопросов, в сущ- ности, мелких, но требующих достаточно ответственного решения. Без этого даже хорошая общая идея может не сработать. Попытки поднять эти вопросы до уровня науки и изложить их соответст- вующим образом (как это делается, например, в недавно переве- денной монографии Э. П о л а к а «Численные методы оптими- зации» М., «Мир», 1974), представляются автору спорными. В книге реализован другой путь: автор не пытался изложить технологию вычислений в самом общем и абстрактном виде, пред- почитая показать, как решаются эти вопросы в конкретных зада- чах. При этом используются соображения здравого смысла. Поняв их в простом частном случае, читатель без труда сможет (если сочтет нужным) использовать аналогичные соображения в своей работе, соответствующим образом видоизменив их. Большое внимание в книге уделено неудачным расчетам. Очень важно уметь обнаружить ошибочность расчета, понять и проанализировать причину неудачи. В этом случае такой не- удачный расчет оказывается (с методической точки зрения) даже поучительнее удачного. Развитие метода всегда так или иначе связано с преодолением встретившихся трудностей. Здесь нужно только избежать самой большой опасности — принять оши- бочный расчет за решение задачи. В вычислительной математике это — одна из самых серьезных неприятностей. Ведь контроль того или иного опубликованного результата редко может быть осуществлен традиционным в математике чисто логическим путем. Он требует проведения вычислений, а это связано с большими затратами чисто технической работы. Как уже отмечалось, эта книга основана на опыте решения прикладных задач. Она не могла бы появиться без сотрудничества автора с коллективами инженеров-физиков, которым принадле- жит постановка ряда оригинальных задач, подготовка необхо- димой информации для конкретных расчетов (часто весьма объ- емистой), содержательная интерпретация полученных решений. Их интерес к проводившимся автором расчетам был стимулом, 10 ПРЕДИСЛОВИЕ значение которого трудно переоценить. Автору приятно выразить искреннюю благодарность А. А. Абагяну, А. П. Дубинину, В. В. Орлову, А. П. Суворову (в связи с задачами § 33), В. Н. Ар- тамкину (в связи с задачами § 36), А. Д. Климову, И. Л. Чих- ладзе (в связи с задачами § 32 и § 38), Л. П. Беркович и И. В. Отро- щенко, принимавшим участие в решении задач § 36, а также мно- гим другим. Большое значение для автора имела работа в коллективу Института прикладной математики. Характерное для этого кол- лектива стремление найти интересные и новые области прило- жения вычислительных методов, установить творческий контакт с физиками, инженерами, химиками, медиками и представителями других естественнонаучных дисциплин и получить на ЭВМ ин- тересные для этих ученых результаты во многом определило стиль и содержание этой книги. Наконец, автор считает своим долгом отметить исключительное влияние своих учителей М. В. Келдыша и И. М. Гельфанда. У них автор старался учиться тому, что такое математика вообще и вычислительная в частности. Автор ВВЕДЕНИЕ Математическая теория оптимального управления начала осо- бенно интенсивно развиваться после выхода в свет известной монографии Л. С. Понтрягина и его сотрудников [65]. Можно даже сказать, что эта теория стала модной. Этому, в частности, способствовал и тот факт, что задачи создания оптимальных конструкций, режимов управления и т. д. возникают в самых различных прикладных областях. Одновременно с чисто теоре- тическими исследованиями началась и разработка приближенных методов решения задач оптимального управления. Поток работ на эту тему велик и не ослабевает до настоящего времени. Пред- лагаемая читателю книга является попыткой подвести итоги этой работы, разобраться в том, что уже удалось сделать, а что — пока еще нет, каковы реальные успехи на этом пути. Следует предупредить читателя, что вычислительная математика обладает обманчивой внешней простотой, и создание вычислительных методов для решения тех или иных задач кажется зачастую очень бесхитростным занятием, а в то же время актуальность разра- ботки эффективных методов вычислений постоянно подчеркива- ется. Дело в том, что понятие «эффективный вычислительный метод» после появления ЭВМ претерпело существенное измене- ние. В «домашинную» эру можно было говорить о создании эф- фективного метода решения какого-то класса задач, если была доказана теорема о том, что с любой заданной точностью задачу можно решить ценой конечного числа операций над конечным множеством чисел. Само же число операций особенно не обсужда- лось: в любом случае оно было очень большим. И сейчас продолжаются исследования подобного рода, но их, в сущности, следует относить не к вычислительной математике, а, например, к функциональному анализу или к теории аппрок- симации. В настоящее время, когда мощные ЭВМ стали доступны огромному числу научных работников, об эффективном методе решения можно говорить лишь в том случае, если действительно решаются прикладные задачи данного типа на реальных ЭВМ за реальное машинное время. К сожалению, для большинства используемых в практических расчетах методов нет эффективных 12 ВВЕДЕНИЕ оценок, позволяющих по заданной точности расчета определить необходимые для его реализации ресурсы памяти и машинного времени. Поэтому оценка подобных методов осуществляется, как правило, на основании вычислительного опыта, а вычисли- тельная математика оказывается наукой в известной мере экспе- риментальной. Это признается почти всеми, но соответствующие традиции освещения и истолкования экспериментального мате- риала еще не сложились. Во многих работах можно встретить утверждения о том, что предлагаемый метод оказался надежным, дал хорошие результаты, показал высокую эффективность и т. д. Часто подобные утверждения не подкреплены публикацией дан- ных, которые придали бы им хоть сколько-нибудь определенный смысл: читатель не получает информации ни о сложности решен- ных задач, ни об объеме вычислений, ни о качестве результатов, ни о возможности решения задачи другими, уже известными ме- тодами. Сейчас создано очень много вычислительных методов, в част- ности, и для решения задач оптимального управления. Разу- меется, они не решают проблемы полностью, но не любой формально новый метод является шагом вперед. Дальнейшее развитие вычислительных методов требует четкого представления о том, что уже сделано, а что еще не удается, ради чего предпри- нимаются усилия при создании нового метода. Без этого велика вероятность появления лишь формально новых методов вычисле- ний, которые не лучше (а часто и хуже) существующих там, где они работают, и не дают ничего в тех задачах, с которыми сущест- вующие методы не справляются. Этими замечаниями в значи- тельной мере определяется характер настоящей книги. Ее основ- ное содержание — методы приближенного решения задач опти- мального управления. Автор ставил целью не только познакомить читателя с основными идеями конструкций вычислительных алго- ритмов, но и с тем, как эти идеи доводятся до конца, до факти- ческого решения задач, какие технические трудности приходится при этом преодолевать и как это делается. Речь идет о совокупно- сти приемов, образующих, так сказать, вычислительную техно- логию. Это — очень важная часть практической вычислительной работы, без грамотного оформления которой никакую идею не удастся довести до успешного расчета. К сожалению, эта сово- купность знаний и навыков еще не доросла (и едва ли когда- нибудь дорастет) до уровня науки. Эта технология и есть то, что обычно называют «здравым смыслом», «вычислительным опытом» и т. д. Автор попытался познакомить читателя и с этой стороной вычислительной математики, разумеется, лишь в той мере, в ка- кой он сам ее понимает. Теперь несколько замечаний о содержа- нии книги, назначении ее отдельных частей и характере изложения. Весь материал естественно разбивается на четыре главы, посвя- ВВЕДЕНИЕ 13 щенные относительно самостоятельным вопросам, объединенным общей целью — познакомить читателя с методами приближенного решения задач оптимального управления в достаточно полном объеме — начиная с чисто теоретических выкладок и кончая ана- лизом выданного машиной числового материала. Первая глава — «Элементы математической теории оптималь- ного управления» (§§ 1—12) — содержит минимум необходимых теоретических результатов, без которых браться за численное решение задач оптимального управления нельзя. Хотя входящий в эту главу материал можно в той или иной форме найти в боль- шом числе руководств, она представляется автору необходимой по следующим причинам: 1. В главу включены лишь те элементы общей теории, которые имеют прямое и непосредственное приложение в конструкциях численных методов и в практике фактического решения приклад- ных задач. Многие разделы теории, как бы ни были они изящны и глубоки (например, теория линейных задач оптимального управ- ления), опущены, и с ними читатель может познакомиться по дру- гим книгам. В принципе, читатель, совершенно незнакомый с математической теорией оптимального управления, усвоив лишь теоретический материал первой главы, сможет понять и все остальное. 2. В этой главе вводится система понятий, терминов, основных математических объектов и соответствующих им обозначений, которая используется в книге. 3. Изложение теории (в частности, доказательство принципа максимума) дается в редакции, отличающейся от общепринятой, но более подходящей для основного содержания книги. Большое внимание уделяется технике вычисления функциональных про- изводных при различных способах определения функционалов. Эта техника сама по себе очень важна, особенно при численном решении задач. Кроме того, читатель, владеющий этой техникой, может, так сказать, сэкономить на теории. В современной лите- ратуре появилось много публикаций, где формулируется новый тип вариационной задачи и доказывается соответствующий ва- риант принципа максимума. В настоящей книге автор придержи- вается следующей точки зрения: подобные исследования отли- чаются друг от друга в основном лишь формой уравнения, связы- вающего управление и состояние объекта, и формой определения функционалов. Следствием этого является и различие в необхо- димых для нахождения функциональных производных вычисле- ниях. Поэтому эту техническую часть следует выделить и изучить отдельно. Все остальное формально укладывается в некоторую общую схему (см. § 1). Вторая глава — «Методы приближенного решения задач опти- мального управления» (§§ 13—24). Каждый параграф этой главы 14 ВВЕДЕНИЕ содержит описание одного из возможных подходов к построению метода приближенного решения задач оптимального управления. Их не так уж много, и это находится в видимом противоречии с обилием работ, претендующих на создание нового метода. Стоит разобраться в этом вопросе. В каждом методе приближенного решения задач оптимального управления можно достаточно четко выделить три слоя: 1. Класс задач, для которых предназначен метод. Например, это могут быть задачи для управляемых систем, описываемых обыкновенными уравнениями, уравнениями с запаздыванием, уравнениями с частными производными и т. д. 2. Общая идея конструкции численного метода. 3. И, наконец, элементы вычислительной технологии, возни- кающие при реализации метода на ЭВМ. Итак, мы имеем большое число возможных типов вариацион- ных задач, некоторое число основных идей численного их решения и достаточно большое число возможных технологических оформ- лений. И каждый из элементов этих трех уровней может сочетаться если и не с каждым, то с большим числом элементов соседнего уровня. Вот эта-то комбинаторика и создает (в значительной мере) видимое разнообразие методов приближенного решения. Однако в этих комбинациях могут содержаться и очень ценные предло- жения, когда есть достаточно веские основания утверждать, что для данного специального класса задач следует выбрать именно данный подход и дополнить его именно одним конкретным вариан- том технологии, а при других комбинациях получатся заметно менее эффективные или трудно реализуемые методы. Этой трех- слойной структуре проблемы приближенного решения задач оптимального управления и соответствуют первые три главы книги. Во второй главе каждый возможный подход описан до- статочно подробно, но самый низший уровень — технология вычислений — естественно, не излагается: это уже материал третьей главы. Выше мы отмечали, что основных конструкций приближенных методов оказалось не так уж много. Автор наде- ется, что читатель, разобравшийся в этом материале, без труда убедится, например, в том, что очень большое число предложен- ных в разное время и в разных странах методов являются несу- щественными модификациями простейших вариантов метода про- екции градиента. Третья глава — «Решение задач» — содержит большое число примеров фактической реализации того или иного метода. Хотя большая часть решавшихся задач имеет конкретное прикладное значение, с этой «физической» точки зрения они не обсуждаются. Не обсуждается и прикладное значение полученных приближен- ных решений. Все эти задачи рассматриваются исключительно с методической точки зрения, наибольшее внимание уделяется ВВЕДЕНИЕ 15 самому процессу получения приближенного решения, характер- ным трудностям и способам их преодоления. Выше подчеркива- лось значение аккуратного подхода к вопросам техники вычисле- ний. Попытка их выделения и изложения в абстрактной, общей форме автору не удалась: получалось неубедительно и голословно. Остался единственный путь: показать, как решаются эти вопросы в конкретных ситуациях, и каков эффект того или иного приема. Большое число примеров не случайно, так как в каждой задаче наиболее выпукло проявляется одна какая-то сторона вычисли- тельной технологии. Кроме того, подробные комментарии к про- цессу решения многих задач преследуют еще одну цель: ввести читателя, если так можно сказать, в «кухню» вычислительной работы. Отсюда обилие графиков, таблиц, анализ результатов, выявление возможных ошибок, то или иное объяснение возникаю- щих затруднений, попытки (удачные и неудачные) решения одной и той же задачи разными средствами и т. д. Без этого вычислитель- ная работа немыслима, а передать другому весь этот опыт можно, видимо, только заставив в какой-то мере пройти тот же путь, который прошел автор. Кроме того, этот материал наполняет конкретным содержанием утверждения об эффективности метода, об успешном решении прикладных задач. Читатель может увидеть, что же в конце концов получается в расчетах, и сам, в меру своей требовательности, оценить результаты как удовлетворительные или нет, а не полагаться на субъективные оценки автора. Нако- нец, читатель, желающий внести свой вклад в развитие прибли- женных методов, может использовать многие задачи в качестве методических тестов и сравнить свои достижения с тем, что уже получено. Изложение некоторых, часто популярных и имеющих хорошую репутацию в литературе, вычислительных приемов сопровождается критическим комментарием. Разумеется, этот скептицизм является личным делом автора и читатель не обязан его разделять. Во всех подобных случаях приводятся доводы и соображения, на которых основана точка зрения автора, а часто и подтверждающий ее экспериментальный материал. Четвертая глава — «Стандартные алгоритмы» — включает в себя §§ 42—51, каждый из которых посвящен тому или иному стандартному алгоритму. Эти алгоритмы объединены общим назначением — они используются в качестве рабочего инстру- мента при численном решении задач оптимизации. Действие этих алгоритмов также иллюстрируется числовыми примерами. В книге принята сквозная нумерация параграфов. В каждом параграфе формулы нумеруются одним числом, при ссылке на формулу данного параграфа указывается номер формулы, при ссылке на формулу из другого параграфа — номер параграфа и формулы. Та же система нумерации принята и для определений, лемм и теорем. Г;:Л А В А I ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ § 1. Общие замечания к первой главе В этой главе излагается минимальный теоретический материал, необходимый и достаточный для понимания всего остального, составляющего основное содержание книги. Тем, кто знаком с математической теорией оптимального управления, полезно познакомиться с этой главой, чтобы привыкнуть к принятой в книге терминологии и системе обозначений. Впрочем, они не очень отличаются от тех, которые используются в ставшей уже классической монографии [65]. Читатель, не разбиравший под- робно первых глав этой монографии и знакомый с теорией по упро- щенным изложениям в руководствах сугубо прикладного направ- ления (или совсем незнакомый с ней), должен основательно ус- воить хотя бы содержание §§ 1—7; без этого трудно будет понять все остальное. Заметим, что хотя данная книга имеет явно при- кладной характер, в изложении теоретического материала она гораздо ближе к чисто теоретическим работам типа [65], [34]. Это связано с существом дела. Читатель убедится, что JuaifiMam- ческие тонкости ^оказ^1Т^вдьства_принципа_максимума^ которые мы специально' выделяем и подчеркиваем в §§~5, 6,имеют самое прямое отношение ^приближенному решению задач. Кстати, из "м'ногйх~известных сейчас схем~доказательства приндипа мак- симума (так же, как и других приведенных в книге теоремУ~автор специально отобрал не самые краткие, общие и изящные, но те, которые более или менее явно индуцируют методы приближен- ного,решения. Большая часть исследований, связанных с принципом макси- мума, проводится по следующей общей схеме. В ней в абстрак- тной форме отражены основные преобразования и рассуждения Общая постановка задачи. Пусть определено некоторое замкнутое ограниченное множество U в функциональ- ном пространстве; элементы этого пространства будем обозначать § " ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ПЕРВОЙ ГЛАВЕ 17 и. Пусть определены функционалы от и: ад. F, (u),... ,F„.(u). Задача состоит в определении и из условий mm FQ (а), ^(У)=О«О), i ==1,2, u.^U. т, (1) Это есть достаточно общая постановка задачи ^аатематического ^o^^MMUpJoeoHUA^ частным "йГучаем котороЭГявляется и задача' оптимальногсГуправленияТ^ля"110'0-"1®^6^ характерно следующее усложнёниёГФункцйоВалы F, (и) задаются явными формулами, содержащими, кроме и, еще и аргумент х, являющийся точкой другого функционального пространства, причем и и х связаны операторным уравнением ~" .-—.__.-- ^ ^ ^ ^ ^ Оно предполагается разрешимым относительно х при заданном и. Таким образом, для F, (и) имеем формулы ""~""~"""" Р,(й)=Ф,^,и), (3) причем зависимости Ф, (х, и) считаются _явно_ заданными, в то время как F^ (и) есть' лишь абстрактное обрзначениё7"выражаю- щее принципиальную возможность вычислить F, зная и. Факти- чески эта возможность реализуется следующими вычислениями: задав ц^ нужноопределить х из уравнения R (х, u)=0,JiareM^ вы- числить (Р^Т^, и)) что и будет^ У,.^Форма^1ьная"схема исследования некоторой точйагГ— предполагаемого решения задачи — состоит в анализе последствий малого возмущения 5 и. Пусть все функцио- налы Ff (и) — дифференцируемы. Тогда следует выяснить, раз- решима ли задача 8/W=^8"<0, S^,(8u)==^'^==0 (<0), и + Ьи ^ U. Если эта линеаризованная задача неразрешима, точка и удовдет- воряет необходимому_условию оптимальности. В противном слу- чае в бкрестшютиГм есть «лучшая» точка, и многие методы прибли- женного^^рёшёнйязадачиматематического программирования основаны на следующей простой схеме: если задача для §.м_разре; шима, следует ее решить, перейти к точке и+Ьи и исследовать 2 Р. П. Федоренио >•————V.——у<-—.----— Г \ i .- • ' Ь 478 СТАНДАРТНЫЕ АЛГОРИТМЫ [ГЛ. IV причем эти векторы брались и такими, как описано выше, и не- посредственно предшествующими r^'l^. Заметного улучшения сходимости получить не удалось. Было бы важно разобраться в вопросах влияния ошибок округления на сходимость метода сопряженных градиентов. Не имея хорошей теории этого вопроса, трудно разработать и методы улучшения сходимости. Можно с достаточными основаниями утверждать, что существенным фак- тором является число обусловленности матрицы G — отношение минимального собственного числа ^щ,п к максимальному Хдцд, при- чем чем меньше ^шш/^тазп тем сильнее портится сходимость метода. Поэтому предложенный в [62] переход к базису, в котором G становится возможно более близкой к Е, представляется убеди- тельным. ЛИТЕРАТУРА 1.Абагяа А. А., Федоренко Р. П. и др. Some new aspects of the application of the adjoint function and of the perturbation theory in reactor and shielding design. — Женева, 1964. Третья международная конференция по мирному использованию атомной энергии. — Доклад № 364. 2. Артамкин В. Н., Васенкова Г. Н., О т р о щ е н к о И. В., 'SfS ^Ф е д о р е н к о Р. П. Оптимальный режим остановки реактора. — Атомная энергия, 1964, 17, вып. 3, с. 189—193. 3. Артамкин В.Н., Бабикова Л. П., Федоренко Р. П. Оптимальный режим остановки реактора при проведении краткосрочных работ. — Атомная энергия, 1967, 23, вып. 2, с. 143—145. ^4. А ш (Ash M.). Optimal Shutdown Control of Nuclear Reactor. — New York: Academic Press, 1966. 5. Балакришнан (Balacrishnan A. V.). On a new ComputingTechnique in Optimal Control and its Application to Minimal—Time Flight Profile Optimization — JOTA, 1969, 4, № 1. 6.Беллман Р. Динамическое программирование. —M.: ИЛ, 1963. 7. Беллман, Калаба, Аш (Bellman R., Calaba R., Ash M.). On con- trol of reactor shut-down involving xenon-poisoning. — Nucl. Sc. and Eng., 1959, 6, № 2, р. 152—156. 8. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. — M.: Наука, 1965. 9. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. — M.: Наука, 1964. s» 10. Белов Е. Н. Алгоритм решения задач линейного программирова- ния. — Программной алгоритмы, M.: ЦЭМИ, 1973, вып. 47. 11. Белов ^Е. Н. Алгоритм решения задач квадратичного и линейного программирования. — Программы и алгоритмы, М ,:ЦЭМИ, 19 74, вып. 57. 12. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управ- ления. — М.: Наука, 1969. 13. Б р а и с о н А. Е., Д е н х е м В. Ф., Дрейфус С. Задачи опти- мального управления с ограничениями типа неравенств (I, II). — Ракет- ная техника и космонавтика (AIAA — Jou rnal). I, 1963, № 11, р. 107— 115; II, 1964, № 1, р. 25-34. 14. Б у д а к Б. М., Беркович Е. М., Соловьева Е.Н. О схо- димости разностных аппроксимаций для задач оптимального управле- ния. — ЖВМ и МФ, 1969, 9, № 3. 15. Б у т к о в с к и и А. Г. Методы управления системами и с распределен- ными параметрами. — М.: Наука, 1975. 16. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифферен- циальных уравнений, с частными производными. — М.: ИЛ, 1963. 17. В а т е л ь И. А., Кононенко А.Ф. Об одной численной схеме решения задач оптимального управления. — ЖВМ и МФ, 1970, 10, № 1, с. 67—37. 18. Величенко В. В. Оптимальное управление составными систе- мами. — ДАН СССР, 1967, 176, № 4, с. 754—756. /l 80 ЛИТЕРАТУРА 19. В е л и ч е н к о В. В. О задаче минимума максимальной перегрузки. — Космические исследования, 1972, X, вып. 5, с. 700—710. 20. В у д к о к, Б э б б (Woodcoch С., Babb A.). Optimal Reactor Shutdown ^Programs for Control of Xenon Poisoning. — Trans. Ашег. Nucl. Soc., 1965, 8, p. 235. 21. Габасов ,Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума для опти- мизации систем с запаздыванием. — ДАН СССР, 1970, 194, № 5, с. 995— 998. 22. Глестон С., Эдлунд М. Основы теории ядерных реакторов. — М.: ИЛ, 1954. 23. Годунов С. К., Рябенький B.C. Введение в теорию разност- ных схем. — М.: Физматгиз, 1962. 24. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977. 25. Гольштейн Е. Г., Третьяков Н. В., Модифицированная функция Лагранжа. — Экономика и матем. методы, 1974, X, вып. 3, 568—591. 26. Горлов В.М. О существовании цены игры в задачах преследова- ния. - ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 1, с. 78-88. 27. Д е м ь я н о в В. Ф. К нахождению оптимального управления в зада- чах автоматического регулирования. — Вестник ЛГУ, 1965, 13, вып. 3, с. 26-35. 28-Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений. — ЖВМ и МФ, 1965, 5, № 3, с. 395—453. 29. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Необходимые условия слабого экстремума в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями типа неравенств. — ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 4, с. 725—779. 30. Дубовицкий А. Я., Рубцов В. А. Линейные быстродей- ствия. — ЖВМ и МФ, 1968, 8, .№ 5, с. 937. 31. Е,р м о л ь е в Ю. П., Гулонко В. П. Конечно-разностный метод в'задачах оптимального управления. — Кибернетика, 1967, № 3. 32. И в а ш к и н В. Оптимизация космических маневров.—М.: Наука, 1975. з 33. И о с л о в и ч И. О., Б о р щ е в с к и и М. 3. Некоторые задачи оптимизации стабилизации осесимметричного спутника. — Космические исследования, 1966, вып. 3. 34. Иоффе А. Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных за- дач. — М.: Наука, 1974. 35. Итеративные методы в теории игр и программировании. — М.: Наука, 1974. 36. К л и м о в А. Д., Федоренко Р. П., Чихладзе И. Л. Решение одной задачи оптимизации импульсного реактора. — М.: ИПМ АН СССР, 1970. 37. Коробов В. И. О сходимости одного варианта метода динамического программирования для задач оптимального управления. — ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 2, с. 429—435. 38. Курант (Courant R.). Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration. — Bull. Amer. Math. Soc., 1943, 49, p. 1—23. 39. К р о т о в В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1973. 40. Крылов И. А., Черноусько Ф.Л. О методе последователь- ных приближений для решения задач оптимального управления. — ЖВМ и МФ, 1962, 2, № 6, с. 1132—1138. 41. Крылов И. А. Численное решение задачи об оптимальной стабили- зации спутника. — ЖВМ и МФ, 1968, 8, ,№ 1. 42. Крылов И. А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последо- вательных приближений для задач оптимального управления. — ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 1, с. 14—34. ft ЛИТЕРАТУРА /igl 43. Леоичук М.П. О численном решении задач оптимальных процессов с распределенными параметрами. — ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 6, с. 1112— 1116. 44. Л е о н ч у к М.П. и др. О численном решении одной задачи оптималь- ного управления ядерными реакторами. — ЖВМ и МФ, 1965, 5, .N'» 3, с. 558—560. 45. Лионе Ж. Л., Л а т т е с Р. Метод квазиобращения и его прило- жение, — М.: Мир, 1970. 46. Л е и т м а н А. Г. Оптимальное программирование тяги высотных ра- кет. — В кн.: Исследования оптимальных режимов движения ракет, М.: Оборонгиз, 1959. 47. Лотов А. В. Численный метод исследования непрерывности времени быстродействия. — ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 5, с. 1315—1318. 48. Л о у д е н Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навига- ции. — М.: Мир, 1966. 49. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. — М.: Наука, 1975. 50. М а р ч у к Г. И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1977. 51. Мель ц И. О. Применение метода динамического программирова- ния. — Автоматика и телемеханика, 1968, № 1, с. 79. 52. Миль, Дамулакис, Клотье, Титц (Miele A., Damoula- kis J. N., Cloutier J. В., Tietze J. L.). Sequential Gradient-Restoration Algorithm for Optimal Control Problems with'' Nondifferential Con- strainst. — JOTA, 1974, 13, № 2. 53. Миль (Miele A.). Recent Advances in Gradient Algorithms for Optimal Control Problems. - JOTA, 1975, 17, №'516. 54. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. — Сборник под редакцией Лейтмана, М.: Наука, 1965. 55. Моисеев Н.Н. Методы динамического программирования в теории оптимальных управлений. — ЖВМ и МФ, I, 1964, 4, № 3; II, 1965, 5, № 1. 56. Моисеев Н.Н. Численные методы теории оптимального управле- ния, использующие вариации в пространстве состояний. — Кибернетика, 1966, 5, № 3, 1-23. 57. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных Систем. — М.: Наука, 1971. 58. Нойштадт (Neustadt L. W.) Synthesis of time-optimal control sy- stems. — J. Math. Anal. AppL, 1960, 1, p. 484—492. 59. Орлов В. В., Федоренко Р. П. и др. Оптимизация физических характеристик защиты от излучения. — В сб.: Вопросы физики защиты реакторов, М.: Атомиздат, 1966. 60. Поляк Б. Т. О некоторых способах ускорения сходимости итерацион- ных методов. — ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 5, с. 791—803. 61. Поляк Б. Т. Об одном методе решения задач линейного и квадратич- ного программирования большого объема. — В сб.: Вычислительные ме- тоды и программирование, М.: Изд-во МГУ, 1969, вып. 12. 62. П о л я к Б. Т. Метод сопряженных градиентов в задачах на экстре- мум. - ЖВМ'и МФ, 1969, 9, № 4, с. 807-821. 63. Поляк Б. Т., Третьяков Н.В. Об одном итерационном методе линейного программирования и его экономической интерпретации. — Экономика и матем. методы, 1973,~\Ш, вып. 5, с. 740—751. 64. П о л я к Б. Т., Третьяков Н. В. Метод штрафных оценок для задач на условный- экстремум. — ЖВМ'и МФ, '1973, 13,"№ 1, с. 34—46. -- 'ч5"-" 65. П о н т р я г и н Л. С., Болтянский В. Г., Г а м к р е- лидзе Р. В., Мищенко Е. В. Математическая теория оптималь- ных процессов. — М.: Физматгиз, 1976. 482 ЛИТЕРАТУРА 66. Пшеничный Б. Н. Численный метод расчета оптимального по бы- стродействию управления для линейных систем. — ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 1, с. 52—60. 67. П ш е н и ч н ы и Б. Н., Соболенко Л. А. Ускоренный метод решения задачи линейного быстродействия. — ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 6, с. 1345—1351. 68. Пропой А. И. Методы возможных направлений в задачах дискрет- ного оптимального управления. — Автоматика и телемеханика, 1967, № 2, с. 69-79. 69. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процес- сов. —М.: Наука, 1973. 70. Розенброк X., Стори С. Вычислительные методы для инжене- ров-химиков. — М.: Мир, 1968. 71. Роберт с, Смит (Roberts J. J., Smith H. P.). Time Optimal Solu- tion to the Reactivity-Xenon Shutdown Problems. — Nucl. Sc. and Eng., 1975, 22, № 4, р. 470—478. 72. Р о с т о ц к и, Л и и н (Rostoszy Z., Lynn E.). Optimal Reactor Shut- down Programming for Minimum Xenon Buildup. — Nucl. Sc. and Eng., 1964, :0, № 3. 73. Суворов А. П., Федоренко Р. П. Выбор оптимальных ме- талловодных защит реакторов. — В кн.: Вопросы физики защиты реакто- ров, М.: Атомиздат, 1969. 74. С ы р о в Ю. П., Чурквеидзе Ш.С. Вопросы оптимизации меж- отраслевых и межрайонных связей при планировании развития единой народнохозяйственной системы. — Иркутск: Иркутский ин-т народ- ного хозяйства, 1970. 75. Т а б а к, К у о (Tabak D., Kuo В. С.). Application of mathematical programming in the design of optimal control systems. Intern. Journal of Control, 1969, 10, № 5, р. 548—552. 76. Табак, К у о (Tabak D., Kuo В. С.). Optimal Control by Mathematical Programming. — New Jersey: Prentice-Hall Inc. Encrewood Cliffs, 1971. 77. Табак Д., К у о В. С. Оптимальное управление и математическое программирование. — М.: Наука, 1975. 78. Тейлор, Смит, Айлиф (Taylor L. W., Smith J., Iliff К. W.) A comparison of minimum time problem for F-104 using Balakrishnan's в-technique, — In: Lect. Notes in Math., № 132. — New York: Springer- Verlag, 1969. 79. Тихонов А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления. — ДАН СССР, 1965, 162, № 4, с. 763. 80. Т и х о н о в А. Н. Об устойчивости задач оптимизации функциона- лов. - ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 4, с. 631. 81. Т и х о н о в А. Н., Галкин В. Я., 3 а и к и н П. Н. О прямых методах решения задач оптимального управления. — ЖВМ и МФ, 1957, 7, № 2, с. 416—424. 82. Шор Н.Э. О скорости сходимости метода обобщенного спуска с растя- жением пространства. — Кибернетика, 1970, № 2. 83. Ш о р Н. 3., Журбенко Н. Г. Метод минимизации, использую- щий растяжение пространства. — Кибернетика, 1971, 10, № 3. 84. Ш о р Н.Э., Ш а б а ш о в а Л. П. О решении минимаксных задач методом обобщенного градиента с растяжением пространства. — Кибер- нетика, 1972, 11, № 1. 85. Шор Н. 3. Обобщенные'градиептные методы минимизации негладких функций. —^Экономика и математ, методы, 1976, XII, вып. 2. 86.Черноусько Ф. Л., Баничук В. П. Вариационные задачи [механики^и^управления. —'М.: Наука, 1973. 87. Федоренко Р. П. Приближенное решение некоторых задач опти- мального управления. — ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 6. ЛИТЕРАТУРА 483 88. Федоренко Р. П. Опыт итерационного решения задач линейного программирования. — ЖВМ и МФ, 1965, 5, № 4. 89. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: ИПМ АН СССР, 1968. 90. Ф е д о р е н к о Р. П. Приближенное решение задач линейного про- граммирования высокой размерности. — М.: ИПМ АН СССР, 1968. 91. Федоренко Р. П. Об одной специальной задаче оптимального управления. — ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 3, с. 578. 92. Ф е д о р е н к о Р. П. Приближенное решение вариационных задач с недифференцируемыми функционалами. — ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 2, с. 348—364. 93. Ф е д о р е н к о Р. П. Итерационное решение задач линейного про- граммирования. — ЖВМ и МФ, 1970, 10, № 4, с. 895—907. 94. Ф е д о р о н к о Р. П. Об итерационном решении задач линейного программирования. — ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 2. 95. Ф е д о р е н к о Р. П. О приближенном решении вариационных за- дач. — ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 3, 652—668. 96. Ф е д о р е н к о Р. П. Метод проекции градиента в задачах оптималь- ного управления. — М.: ИПМ АН СССР, 1975, № 5. 97. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регу- лирования. — Вестник МГУ, 1959, № 2, с. 25—32. 98.фресдаль, Бэбб (Fresdal J., Babb A.) Xenon-135 transient re- sulting from time-varying shut down of thermal reactors. — Trans. Amer. Nucl. Soc., 1961, 4, p. 316. 99. Э н е е в Т. М. О применении градиентного метода в задачах оптималь- ного управления. — Космические исследования, 1966, IV, № 5, с. 651. 100. Энеев Т. М. Некоторые вопросы применения мэгэт,г гпяз-орэ"! шег спуска. — М.: ИПМ АН СССР, 1970, № 17. 101. Я н г Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. — М.: Мир, 1974 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгоритм безусловной оптимизации 393 — параболической аппроксимации 393 — условной оптимизации 400 Альтернатива для выпуклого конуса 46 Аппроксимация недифференцируе- мого функционала 181, 339 — оптимального управления 268, 308, 349, 355 — фазового ограничения 76, 291, 320 Базисная переменная 419 Базисный вектор 419 Безусловная минимизация 310 Биортогональный базис 420 Вариация второго порядка 202 — управления конечная 55, 197 — — малая 30, 42, 197 — фазовой траектории 30, 56 — функционала 31, 35, 58, 60, 62, 98 Вектограмма 52, 95 Внебазисная переменная 419 Вторая вариация 203 Выпуклая оболочка 86, 125 Выпуклое тело, множество 369 Выпуклый конус 46 Вырожденная задача линейного про- граммирования 171 Вычислительная технология 173, 210 Глобальный экстремум 404 Двухточечные краевые условия 64 Двухшаговый процесс минимизации 407 Динамическое программирование 122, 305, 389 — — дискретное 387 Дискретная задача управления 386 Дифференциальное включение 86, 88 Дифференциальные управления спус- ка 383 Дифференцирование по направлению Допустимое управление 46 Допустимый план 419 Задача быстродействия 309 — выпуклого программирования 373 — классического типа 146 — математического программирова- ния 17, 123 — на узкие места 28 — с разрывной правой частью 6J — со свободным временем 68 — строго выпуклого программиро- вания 188, 373 Замыкание множества траекторий 84 Интервал локализации 408 — управления 24 Искусственный базис 425 Канторова лестница 91 Касательное многообразие 19, 159 Конечномерная аппроксимация 167, 205, 218 Конечноразностная аппроксимация 229 Конечные связи 157 Континуальная задача линейного программирования 437 Конус запрещенных смещении 72 — допустимых вариаций управления 43, 59, 265 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 485 Конус смещений 44, 60, 63, 243, 261, 266 — убывания функции 414 Коэффициент штрафа 213 Краевые условия общие 25, 65 Критерий качества 26 _; Линеаризация 165 Локальная вариация 129 Локальный экстремум 197, 199, 312 Ломаная Эйлера 126 Матрица влияния 44 Метод бегущей волны 129 — вариаций в пространстве управ- лений 109 — — в фазовом пространстве 109, 120 — Величенко 315 — второго порядка 201 — Гамкрелидзе 88 — динамического программирования 122, 305 — дробных шагов 129 — золотого сечения 409 — интерпретатора 360 — квазиобращения 357 — Кифера 409 — локальных вариаций 127, 134, 280 — математического программиро- вания 112, 123, 211, 308 — Мельца 162 — Miele 149 — минимальной поправки 148 — Моисеева 120 — Монте-Карло 405 — наискорейшего спуска 395 — Неймадта—Итона 188, 192 — Ньютона 116, 229, 377, 410 — — модифицированный 379 — обобщенного градиента 412 — первого порядка 201 — поворота опорной плоскости 188 — покоординатного спуска 394 — последовательной линеаризации 164, 285 — — минимизации без ограничений 213 — — сверхрелаксации 135 — проектирования градиента 110, 140, 155, 281, 398 — релаксации 135 — случайного спуска 394 — сопряженных направлений 192, 469 — спуска 314, 394 — трубки 133 Мегид тяжелого шарика 406 — условного градиента 148, 223, 400 — штрафных функций 10, 110, 160, 213, 314 — Энеева 111 Минимизирующая последователь- ность 18, 22, 32, 85, 390, 408, 295, 325, 338, 412 Множество достижимости 44 Направление спуска 218, 410 Неединственность задачи Коши 117, 236 Некорректность задачи оптимального управления 345 Нормировка задачи 174, 175, 230, 382 Область достижимости 44, 125, 188, 192, 249 Обобщенный градиент 413 Обратная задача 358 Общие краевые условия 65 Овраг 111, 406 Ограничения общего типа 28, 78, 112 — в фазовом пространстве 27, 112 Одномерный поиск минимума 393 Операторные преобразования гради- ента 222 Опорная гиперплоскость 189, 370, 372 Опорный вектор 46 Особый режим 236, 313 Отделимость выпуклых тел 371 Ошибка аппроксимации 225, 240, 293 — поиска 213, 293 Параметр регуляризации 349, 357 — системы 114, 228, 233 Показатель качества 26 Полнота конуса вариации 131, 166 Правило множителей Лагранжа 209 398, 400 Преобразование Валентайна 111, 161 Принцип максимума 49, 52, 59, 77, 79, 114, 132, 243, 253, 261, 266 — — дискретный 53 Программирование квадратичное 208, 454 — линейное 29, 170, 417, 437 — нелинейное 29 Проектирование 390 — градиента 18, 111, 141 Производная Гато 35, 39, 18U — по направлению 35, 408 — Фреше 21, 30 486 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Разностная аппроксимация 54, 309 Раскрытие области управления 160 Растяжение пространства 444 Расширенная система 85, 125 Регулирование шага поиска 177, 195, 287, 397, 403, 416 Регуляризация 277, 347, 357 Релейное управление 307, 313 Сетка в фазовом пространстве 121, 133, 305 Симплекс-метод двойственный 426 — — прямой 419 Склерономные системы 68 Скользящий режим 25, 87, 95, 155. 197 Скрытое решение 95 Согласованная аппроксимация 54, 219 Сопряженное уравнение 32, 234 Сопряженные краевые условия 33 Спуск в пространстве управлений 164 Стационарная траектория 79 — точка метода спуска 395 Строго выпуклая аппроксимация 117, 228, 232 — выпуклое программирование 144 — — тело 144, 369 Сходящаяся в себе последователь- ность траекторий 84 Теорема Филиппова 86 Теория регуляризации 357 Терминальная задача 319 Тождество Лагранжа 18, 32, 70, 98, 105 Точки аппроксимации 181, 299, 320, 331 Точность линейного приближения 142, 179, 247, 282 Траектория 42 —, допустимая вариация 43, 168 —, допустимое управление 44 Улучшающая вариация 143, 166 Универсальная последовательность шагов спуска 385, 413 Унимодальная функция 408 Управление 20, 24, 61 — в широком смысле слова 61 — формой области 102 Управляемая система 21, 24 Уравнение в вариациях 18, 30, 56, 62, 70, 73, 98, 105 — — — второго порядка 202 — динамического программирования 305, 387 — связи 19 — с запаздыванием 72 — Эйлера 22 Условия входа 158 — неравенства 72 — трансверсальности 64, 67, 261, 266 Фазовое пространство 24 Фазовые координаты 24 — ограничения 75, 289 Функционал от траектории 26 Функция Беллмана 125, 305 — Гамильтона 48 — Лагранжа 461 — — модифицированная 462 Шаг спуска 394, 397 Элементарная операция 121, 126, 128 — —, метод Балакришнана 136 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ х' — i-я компонента вектора фазовых переменных. ад — ft-я компонента вектора управляющих переменных. / (ж, и) — правая часть системы уравнений движения управляемой системы. f \t\ — обозначение для определенной траектории функции: / [t] = / [ж (t), и «)], /а- Ч] = fx Ь (О, и (<)] и т. д. ф — вектор сопряженных переменных. ^*i /* — матрицы, сопряженные к А, /д. 8ж, 5u, 5F, . . . — единые символы для вариаций ж, и, F, . . . соответственно. " (•), ж(")—символы функций, рассматриваемых как точки функциональных про- странств. и ((), ж (t) — значения и (•), ж (•) в момент времени 1. F [и (•)] — стандартное обозначение для функционала от и (•). ——-——'- — производная Фреше функционала F [и (•)]. ди {t) •со (t) Ьи (i), (ю (О, 5u (f)) — обозначения для скалярных произведений. U — область допустимых значений управления и. f (х, и) — i-я компонента вектора / (ж, и). дf^ /т — матрица с элементами —— дх) f (х, U) — множество точек / (ж, и) для всех иб U. conv — символ выпуклой оболочки. Н (ж, ф, и) — функция Гамильтона. Г <ж)=0 — символическая запись краевых условий. Гж==0 — символическая запись линейных однородных краевых условий. var и (•) — вариация функции и (•). Л1\М' — разность множеств М и М'. V.v, — конус допустимых по условию и (t)+8" (Об U вариаций Ьи (•). Кр — конус возмущений значений функционалов. arg min / (ж) — точка (или множество точек), в которой достигается min / (ж). х х f (.с*) = max / (ж) — определение точки ж* как arg гпах / (ж). х х Ьи (t) — малая окрестность точки и (f). UF — точное приращение функционала. w, (t) — производная по и (•) функционала Fi[u(-)]. 5 (t—t') — 8-функция Дирака. == — обозначение «равно по определению»; слева от знака = помещается определяемый объект, справа — определение. ч — номер итерации. ж ^ у — для векторов ж и у означает указанное соотношение для одноименных компонент. ж ag a — для вектора ж и скаляра а означает указанное соотношение для каждой компо- ненты ж. : = — знак операции, заимствованный из языка алгол; означает вычисление величины, стоящей слева, по формуле, написанной справа от знака. яя — знак «примерно равно». а ~ Ь — величина а того же порядка, что и величина Ь. {О, . . . , О, I,-, .... 0} — вектор, i-я компонента которого равна 1. ж={ж', ж2, . . . , ж*} — вектор, в фигурных скобках — его компоненты. [О, г] — интервал изменения независимого аргумента в задаче оптимального управ- ления. РаЭий Петрович федоренпо ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ (Серия: «Справочная математическая библиотека») М, 1978 г., 488 стр. с илл. Редактор М. Н. М ушников Технический редактор В. Н. Кондакова Корректоры Е. А. Белицкая, Л. С. Сомова ИБ N, 11046 Сдано в набор 25.04.78. Подписано к печати 14.09.78. Т-17447. Бумага 60Х90Ч,,, тип. Nt 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 30,5. Уч.-изд. л. 30,45. Тираж 12000 экз. Заказ .Ni 364. Цена книги 1 р. 90 к. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Первая тип. ивд-ва «Наука» 199034, Ленинград, В-34, 9 линия, 12