И. А. АЛЕКСАНДРОВ, В. В. СОБОЛЕВ Аналитические функции комплексного переменного Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физико-математических специальностей вузов МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1984 ББК 22.11 А 46 УД К 51 Рецензенты: кафедра высшей математики Московского физико-технического инсти- тута; проф. Д. Ф. Калиниченко (Московский инженерно-физический институт) Александров И. А., Соболев В. В. А 46 Аналитические функции комплексного переменного: Учеб. пособие для физ.-мат. спец. вузов.—М.: Высш. шк., 1984.— —192с. 40 к. Пособие содержит систематическое сжатсе изложение основных понятий» мето- дов и результатов теории функций одного комплексного переменного в объеме обя- зательного курса, предусматриваемого действующей программой для университетов. Наряду с традиционным материалом книга содержит также некоторые вопросы; обычно рассматриваемые в спецкурсах и углубляющие связь общего курса с топо- логией, теорией дифференциальных уравнений, экстремальными задачами» 1702050000-333 ББК 22.11 " 001 (01)-84 "• 517 Игорь Александрович Александров Вадим Владимирович Соболев АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Зав. редакцией литературы по физике и математике Е. С. Гридасова Редактор А. М. Суходский Мл. редакторы С. А. Доровских, Н. П. Майкова Технический редактор Т. А. Новикова Корректор Р. К. Косинова ИБ № 4680 Изд. № ФМ-765. Сдано в'набор 26.01..84. Подп. в печать 13.06.84. формат 60х90'/ц. Бум. тип. № 3. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 12 усл. печ. л. 12,25 усл. кр.-отт. 12,45 уч.-изд. л. Тираж 10 000 экз. Зак. №2665—25. Цена 40коп. Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 2ау14 Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома .рри Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, Валовая, 28. Заказ 3012 Издательство «Высшая школа», 1984 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга возникла на основе лекций по общему курсу теории функций комплекс- ного переменного, который авторы на протяжении нескольких лет читали в Том- ском и Тюменском университетах на механико-математическом и математическом факультетах. В нее вошли также некоторые вопросы, обычно рассматриваемые в спецкурсах, непосредственно примыкающих к общему курсу и углубляющих его связи с топологией, теорией уравнений в частных производных, обыкновен- ными дифференциальными уравнениями, экстремальными задачами. Объем книги соответствует 70-часовому изложению теоретического материа- ла студентам пятого и шестого семестров обучения. Такое же количество часов отводится обычно аудиторным практическим занятиям по данному курсу. Имею- щиеся в книге задачи (чаще всего в форме небольших теорем, предлагаемых для самостоятельного доказательства) могут быть полезны для самоконтроля усвое- ния материала, но они не определяют хотя бы в какой-то мере содержания прак- тических занятий. Как наиболее подвижная часть обучения, такие занятия еже- годно отдельно планируются и проводятся с использованием имеющихся весьма интересных сборников задач и упражнений. Названия таких сборников приведе- ны в конце книги в перечне литературы, использованной авторами при подготов- ке лекций. Внешней особенностью книги является отсутствие в ней рисунков. Это не означает, что авторы считают графические иллюстрации в данном курсе архаич- ностью или излишеством. Напротив, лекционные изложения всех разделов курса сопровождаются многочисленными рисунками. Но они, как правило, просты, лег- ко воспроизводятся по словесным описаниям. Через N, Z и Е обозначаются соответственно множество натуральных, целых и действительных чисел; через 7?„(n^N)—га-мерное евклидово пространство. Значками Q и Д отмечаются соответственно начало и конец доказательства утверждения. Авторы выражают благодарность своим коллегам и ученикам В. А. Андрееву, Г. М. Кесельману, С. А. Копаневу, В. И. Пелиху, Б. Р. Элимелаху, Н. М. Ялды- гиной, познакомившимся с отдельными частями текста и сделавшими полезные и учтенные авторами замечания. Авторы ГЛАВА I. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ § 1. Комплексные числа и действия над ними 1.1. Поле комплексных чисел. Пусть Е—множество всех действи- тельных (вещественных) чисел и R—поле действительных чисел. Далее, пусть Е^ЕхЕ—декартово произведение Е на себя, т. е. множество всех упорядоченных пар г=<.х, г/>, гдел;^Е—пер-, вый, а г/6Е—второй элемент пары. Два элемента 2i= и г^=<,х-у г/з> множества Е2 счи- таются равными (обозначение 21=23) тогда и только тогда, когда Xi=Xa, y-i~=y^ Запись z^^-z.^ означает неравенство элементов г; и г.,. Определим на Е2 алгебраические операции сложения и умножения следующим образом. Суммой элементов 2i == = <л"1, У!> с Е2 и г^=<.х^, г/з> С Е2 называется элемент 21+23= -= <д;1+д-2, > а произведением—элемент г^г^=<,х^х^—у^уу -^У-г+Х^у^. Непосредственно из определений следует, что введенные опе- рации коммутативны: 21+23=22+21, 2123=2221. Для произволь- ных элементов 2i, г^, 2g из Е2 справедливы равенства (2i+2g)+23== == 21+(2з+2з), (212д)2з= 21(2323), т.'е. выполняется закон ассо- циативности соответственно по отношению к сложению и умно- жению. Проверка показывает, что эти операции подчинены закону ДИСТрибуТИВНОСТИ: (2i + 2^) Zy = 2^3 + 2д2з. Для любых двух элементов 2i=<^i, t/i>, г^=<.х^, у^> мно- жества Е2 существует единственный элемент z = <л", г/> ^ Е2 такой, что 21+2=23; этот элемент 2, называемый разностью 2g и 2, и обозначаемый г ==г^—2ц имеет вид 2=<л-2—х^ г/д—г/1>. Эле- мент <0, 0> называется нулем. Операция нахождения разности— вычитание—является обратной к сложению. Введем операцию, обратную к умножению,—деление—как нахождение элемента г = <.х, г/> 6 Е2, удовлетворяющего условию 2i2=22 в предположении, что 2i, 2геЕ2 и 2i7'=<0, 0>. Числа х и у, образующие решение линейной системы х^х—у^у==х^ г/1^+л'1У=г/а' для которой x^-^-yi^O, находятся единственным г- I XlXs^yitfs xlУ2——XS^/1^ образом и приводят к элементу 2= (——-———, ————), назы- \ xi+yi ^i+yi < ваемому частным от деления г^=(х^, г/а> на 2i=<^i, у^^^О, 0> и обозначаемому либо 23/21, либо г^гг1. Рассматриваемое множество Е2 упорядоченных пар 2== О", уу, х, t/^E, с введенными операциями сложения и умножения пред- 4 ставляет собой, как видим, поле. Оно называется полем комплекс- ных чисел и обозначается символом С; элементы поля С назы- ваются комплексными числами. Роль единицы поля С выполняет комплексное число <1, 0>. Множество Сд всех комплексных чисел вида <-f, 0>, д:$Е, образует подполе поля С. При этом Сц изоморфно полю R дейст- вительных чисел, т. е. между элементами полей С^ и R можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющееся при операциях сложения и умножения, а значит, и вычитания и деле- ния. Ввиду изоморфизма Сд s: R естественно, когда речь идет лишь об алгебраической структуре, отождествлять поля Сд и R, отож- дествляя соответствующие друг другу элементы и х разных полей. Это дает основание вместо <.х, 0> писать л", т. е. х=<^х, 0>, д:бЕ. Например, нуль <0, 0> и единица <1, 0> поля С примут в новой записи соответственно вид 0 и 1. Для обозначения упорядоченной пары <0, 1> вводится сим- вол i, который будем называть мнимой единицей. Заметим, что и==<0, 1><0, 1>=<—1, 0>=—1, или, что то же, ;2=—1. С помощью символа i комплексное число г = <,х, у) может быть представлено в декартовой (алгебраической) форме z ==x-\-iy. Действительно, г=<х, у>—<х, 0>+<0, г/>=<х, 0>+<0, 1><г/,0>= =л'+гг/. Исходя из этой записи, число х называют действитель- ной (вещественной), а у—мнимой частью (компонентой) комп- лексного числа 2 и пишут х = Re 2, у = Im 2 (Reel—«действитель- ный», Imaginaire—«мнимый»). Комплексное число z называется мнимым, если его вещест- венная часть равна нулю. Комплексное число х—iy называется сопряженным с комплексным числом г = х + iy; для комплексного числа, сопряженного с г, используется обозначение z. Переход от данного числа 2 к сопряженному г называется операцией комплексного сопряжения (или сопряжения). 1.1. Проверьте равенства: а) (г)=г, Zi+Z3=.?i+2s,, г^=г^, (zi/Za) = г^/гц при Zg у 0; б) г+7= 2 Re г, z—F=2iImz, гг= (Re г)'2-^- (Imz)2; в) Re(?iz)=?iRez, ?. ^ Е; Im (ог) =д Irn г, а ^Е; Re (i'z),=—Im г, Im (t'z) ==Re г. 1.г. Докажите: а) 1тг=0<^г=7; б) Re г==0 Ф» г=—7. 1.3. Докажите: С представляет собой простое алгебраическое расширение поля R, полученное присоединением корня < многочлена x2-\-\. 1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и основных операций над ними. Обозначим через R^ плоскость с прямоуголь- ными декартовыми координатами и евклидовой метрикой. Между 7?з и С установим соответствие по следующему предложенному Гауссом правилу: точке (х, у) $ Рц поставим в соответствие комп- лексное число 2 = л-+г'г/$ С и обратно. Поскольку такое соответст- вие является, очевидно, взаимно однозначным, точку (х, у) можно 5 ЛИТЕРАТУРА 1. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплесного пере- менного.—М.: Наука, 1972. 2. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по тео- рии функций комплексного переменного.—М.:?Наука, 1975. 2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменно- го.—М.: Наука, 1966. 4. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций.— М.: Наука, 1968. ' 5. Евграфов М. А. Аналитические функции;—М.: Наука, 1968. 6. Евграфов М. А. и др. Сборник задач^по теории аналитических функций.— М.: Наука, 1972. 7. Картон А. Элементарная теория аналитических функций одного и не- скольких комплексных переменных.—М.: ИЛ, 1963. 8. Лаврентьев М. А. и^Шабат Б. В. Методы теории функций комлексного переменного.—М.: Наука, 1965. 9. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций —М.: Наука, 1966. 10. Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций.— М.—Л.: Гостехиздат, 1951. 11. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций.—М.: Наука, 1967, т. 1, 2. 12. Полна Г., Сеге Г. Задачей теоремыиз анализа.— М.: Наука, 1978, ч. I, II. 13. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменно- го.—М.: Наука, 1967. 14. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексного перемен- ного.—М.: Наука, 1967. 15. Стоилов С. Теория функций "комплексного переменного.— М.: ИЛ, 1962, т. 1, 2. 16. Титчмарш. Теория функций.—М.—Л.: Гостехиздат, 1951. 17. Фукс Б. А. и Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некото- рые их приложения.— М.: Наука, 1964. 18. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ.— М.: Наука, 1976, ч. I, II. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютно сходящийся ряд 21 Автоморфизм 118 Алгебраическая точка ветвления 28 — форма комплексного числа 5 Аналитическая функция 39 Аналитическое продолжение 142 Ангармоническое отношение 115 Антиконформное отображение 113 Аргумент 6 Арккосинус 34 Арккотангенс 34 Арксинус 34 Арктангенс 34 Л-точка 153 Аффикс 6 Главная точка 130 — часть ряда Лорана 81 Главное значение аргумента 6 — — логарифма 32 Главный промежуток аргумента 6 Гладкая кривая 41 Гладкий путь 41 Голоморфная функция 39 Граница выпуклости класса 5 164 — Каратеодори 139 — области 17 Граничная точка области 17 Граничный элемент 127 — — I, II, III, IV рода 130 График 24 Бесконечно связная .область 17 — удаленная точка 9 Бесконечное произведение 105 •Бесконечность 9 Верхний предел последовательности 21 Ветвь аргумента 27 Вещественная ось 6 — часть комплексного числа 5 Внешность кривой 42 Внешняя точка 17 Внутренность кривой 42 Внутренняя точка 11 Вторая производная 37 Выпуклая область 17 Вырожденное ядро 164, 169 Вычет 92 Гармоническая функция 67 Геометрическая прогрессия 20 Гиперболический косинус 31 — котангенс 31 — синус 31 — тангенс 31 Действительная ось 6 — часть комплексного числа 5 Декартова форма комплексного числа 5 Диаметр множества 15 — разбиения 43 Дифференциал функции в смысле /?а 35 Дифференцирование 37—39 Дифференцируемая функция 35, 36 Дополнительная точка 130 Достаточное условие сходимости чис- лового ряда 21 Дробно-линейная функция 29 Дробно-линейное отображение 114, 115 Дуга кривой 42 Евклидова граница области 17 — е-окрестность точки 10, 11 Евклидово расстояние 8 Жорданова область 42 187 Задача Дирихле для единичного круга 68, 69 • Замкнутая жорданова кривая 41 — обобщенно жорданова кривая 42 Замкнутое множество 11 Замкнутый путь 40 — жордановый путь 41 — обобщенно жордановый путь 41 Замыкание множества 11 Звездная область 17 Критерий Коши равномерной сходи- мости функционального ряда 74 — — сходимости числового ряда 20,21 — — — числовой последовательно- сти 19 Круг на Сг 116 — сходимости степенного ряда 76 Круговое свойство 116 Кусочно-гладкая кривая 41 Кусочно-гладкий путь 41 Извлечение корня из комплексного числа'7, 8 Изолированная особая точка 88 Инверсия 117 Индекс пути 96 — элемента 18 Идентификатор 40 Интеграл в смысле главного значения по Коши 59 — Коши 53 — от функции вдоль кривой 43, 45—47 — типа Коши 55 Интегральная сумма 43 — теорема Коши 48, 51 — формула Коши 52 Интегральное условие голоморфности 66 Интегрируемая по кривой функция 43 Лемма Гейне — Бореля — Лебега об открытом покрытии 13, 14 — Гу pea 47, 48 — Жордана 99, 100 — Кебе 134, 135 — Линделефа 87 — Монтеля 152, 153 — Шварца 86, 87 — — в инвариантной форме 118 Линейная функция 29 Линейно связное множество 15 Линия уровня 163 Логарифм 32 Логарифмическая производная 95 Логарифмический вычет функции в точке 95 — — — относительно границы 95 Луч Жулиа 154 Лучевая функция 160, 161 Каноническое произведение 105 Канонический элемент 144 Класс С 156 — М [а, Ь\ 158 — S 155 — 2 156 Компакт 13 Компактное в себе .множество 13 — множество 12 Комплексная плоскость 6 Комплексное переменное 23 • — сопряжение 5 — число 5 Компонента связности множества 16 Конец пути 40 Конечная комплексная плоскость 9 Континуум 17 Контур 42 Конформно эквивалентные области 121 Конформное отображение 123 Конформный радиус области относи- тельно точки 123 Корень га-й .степени 28 Косинус 30 Котангенс 31 Кратность нуля 84 Кривая 40 188 Мёроморфная функция 106 Мнимая единица 5 — ось 6 — часть комплексного числа 5 Мнимое комплексное число 5 Многозначная функция 23 Многосвязная область 17 Множество значений функции 24 Модуль 6 — непрерывности 27 Модулярная риманова поверхность 149 — функция 147 Моногенная функция 36 Настоящая точка пересечения 129 Начало пути 40 Необходимое условие сходимости ряда 21 Непосредственное аналитическое про- должение 142 Непрерывная функция 25, 26, 59 Неравенство Коши 79 Несобственный интеграл 45 — —, вычисление с помощью вычетов 98—102 Нижний предел последовательности 21 Номер элемента 18 п-связная область 17 Носитель граничного элемента 128 Нуль 4 — функции 83 Область 17 — существования функции 143 — элемента 142 Обобщенная интегральная теорема Ко- ши 48—50 Обобщенно непрерывная функция 26 — простая дуга 41, 42 — простой путь 41 Образ множества 23, 24 — точки 23 Обратная функция 24 Общая степенная функция 33 Объединение кривых 46 Ограниченная последовательность 18 — функция 24 Ограниченное множество 12 Однозначная ветвь 143 — функция 23 Однолистная функция 24 Односвязная область 17 Окрестность 10, 11 Окружность на Сг 116 Оператор Лапласа 67 Ориентированная граница области 42, 50 — кривая 42 Основной период 30 Особенность 88 Открытая дуга 145 ' — плоскость 12 — часть множества 12 Открытое множество 11. — покрытие 13 Отображение 23, 24 —, конформное в области 112 —, — — точке 112 Параметризация кривой 40 Первичное слагаемое 107 Первичный множитель 103 Первообразная 65 Период эллиптической функции 147 Пикаровское исключительное значе- ние 153 /з-кратная симметрия вращения от- носительно точки 153 — точка 140 Плоская кривая 40 Плоскость С 6 Плотность интеграла типа Коши 55 Поверхность модуля 24 Подчиненный элемент 142 Показатель Гельдера 59 Показательная форма комплексного числа 30 — функция 29 Поле комплексных чисел 45 Полином 28, 29 Полная аналитическая функция 143' Полюс 89, 91, 92 Порядок нуля 84 — полюса 89 — связности области 17 — элементов на пути 40 Последовательность 18 — Коши 19 — областей, стягивающаяся к обла- сти 165 — —, сходящаяся к ядру относитель- но точки 164, 165 — точек, сходящаяся к граничному элементу 132 — функций, равномерно сходящаяся внутри области к бесконечности 149 Постоянная функция 24 Правильная часть ряда Лорана 11 Предел функции .25 Предельная точка множества 11 — — последовательности 18 — функция 70 Признак мажорации 21 — нормальности 150 Принцип аргумента 95 — взаимно однозначного соответст- вия 123 — единственности 82 — компактности 73 — — в С_12 ' — — — С ГЗ — максимума модуля 84 — однолистности 114 — симметрии Римана — Шварца 145с- — сохранения области 97 Присоединенная функция 171 Произведение путей 97 — рядов (по Коши) 22 — элементов 4 Производная 37 — функции в смысле Rs 36 — — — — С 36 Производящая функция 171 Проколотая е-окрестность 11; Прообраз точки 23 Простая дуга 41 — точка 140 Простой конец 127 — нуль 84 — полюс 89 — путь 41 Путь 40 — интегрирования 43 189' Равномерно непрерывная функция 26 — ограниченная последовательность 72 — сходящаяся последовательность 70 — сходящийся функциональный ряд 74 Равностепенно непрерывная последо- вательность 72 Равные элементы 4, 142 Радиус звездности класса Sp 185 — сходимости степенного ряда 76 Разложение Вейерштрасса 105 — мероморфной функции на простей- шие дроби 108 Разность элементов 4 Расстояние между множествами 14 — от точки до множества 14 Расходящаяся последовательность 18 Расходящийся ряд 20 Расширенная комплексная плоскость 8, 9 —Рациональная функция 29 Регулярная функция 39 —Риманова поверхность 143 — — функции г= "/аа 28 — — — z=Lnm 33 —Ряд Лорана 81 — — в бесконечности 91 — Тейлора 77 —Связное множество 15 Семейство областей Левнера 170, 171 — —, сходящееся как к ядру к об- ласти относительно точки 169, 170 — функций, нормальное в области 149 — —, — — точке 149 —Сечение 126, 127 Сингулярный интеграл Коши 59 Синус 30 Сложная функция 26 Смежная точка 130 Смена направления 40 Сопряженная гармоническая функция 68 Сопряженное комплексное число 5 'Спрямляемая кривая 41 Спрямляемый путь 41 Стандартное семейство областей Лев- нера 172 Степенная функция 27 Степенной ряд 75, 76 Степень полинома 29 Стереографическая проекция 9 Стереографический образ 9 Сумма ряда 20, 74 — элементов 4 Существенно особая точка 89, 91 'Сферическая е-окрестность 11 — метрика 10 — производная 39 ,190 Сходящаяся последовательность 18, 70 — цепь сечений 127 Сходящийся ряд 20, 74 Тангенс 31 Тело граничного элемента 128 Теорема Абеля 76 — алгебры основная 96 — Бибербаха 160, 161 л — Вейерштрасса (достаточный при- 11 знак оавномерной сходимости ряда) 74, 75 1 — — о голоморфности предельной функции 71, 72 — — — — суммы ряда 75 — — — существовании целой функ- ции с заданными нулями 104 — Витали 83 — Гронуолла 159, 160 — Жордана 42 — Жулиа 153, 154 — Кантора 26, 27 — Каратеодори о компактности по- следовательности 132, 133 — — — соответствии границ 137—139 — — — сходимости последовательно- сти односвязных областей к ядру 165— 169 — Кебе 161 — Коши (критерий Коши) 19—21, 74 — — интегральная 48 — — — для многосвязной области 51 — — — обобщенная 48—50 — — о вычетах 93, 94 — Коши — Адамара 77 — Лиувилля 57 — Лорана 80, 81 — Миттаг-Лефлера -107, 108 —— Монтеля (признак нормальности) 150—152 — — (принцип компактности) 73 — Морера 66 — Пикара большая 153 — Руше 96 — сложения для показательной функ- ции 30 , , — Сохоцкого о поведении функции в окрестности существенно особой точки 90, 91 — — — предельных значениях инте- грала типа Коши 64 — Римана о конформной эквивалент- ности односвязных областей 121—123 I) — Римана — Шварца 145, 146 д — Ф. Рисса — Херглотца 158, 15,9 f — Тейлора 78, 79 — Фабера 161 — фрагмена — Линделефа 86 — Шварца 53, 54 Теоремы вращения 184 — о вычислении несобственных ин- тегралов 99—102 — — гармонических функциях 68—70 — — голоморфных функциях 82—88 — — граничных элементах 128—130, 132, 133, 135—141 — — конформных отображениях 112— 114, 119, 120 — — мероморфных функциях 106— 108, 111 — — нормальных семействах 150— 154 — — первообразной 65, 66 — — свойствах уравнения Левнера — Куфарева 177—180 — о степенных рядах 76, 77 — — функциональных последователь- ностях и рядах 70—75 — — числовых последовательностях и рядах 19—22 — об изолированных особых точках 89, 90 — — интеграле типа Коши 55, 56, 60—62, 64 — — оценках модуля функции и мо- дуля производной 161—163 — покрытия 161 — сложения для гиперболического ко- синуса и гиперболического синуса 31 — — — синуса и косинуса 31 — — — тангенса и котангенса 30 Топология С 12 Точка на пути 40 Точки, симметричные относительно ок- ружности 116 Трансцендентная точка ветвления 33 Тригонометрическая форма комплекс- ного числа 6 — Пуассона 54 — Шварца 53, 54 — Эйлера 29 Формулы приведения 31 Фундаментальная последовательно 19 Функциональный ряд 74 Функция, голоморфная в точке 39 —, — на множестве 39 —, дифференцируемая в смысле /?а —, — — — С 36 — комплексного переменного 23 —, непрерывная в точке 25, 26 —, — на множестве 26 —, — по Гельдеру 59 —, равномерно относительно г вну1 области непрерывная по t 170 Хорда кривой 42 Целая трансцендентная функция 1 — функция 39 Центр ядра 164 Цепь подобластей 127 — сечений 127 — элементов 142 Циклически упорядоченные точки 1 Циклические постоянные 67 Частичная сумма ряда 20, 75 Частичный предел 20 Частное 4 Числовая последовательность 18 Числовой ряд 20 Член последовательности 18 Упорядоченная пара 4 Уравнение кривой 40 — Лапласа 67 — Левнера 176 — Левнера — Куфарева 176 Условие Гельдера 58 — ЯдО-О 58 Условия Коши — Римана 36 Условно сходящийся ряд 23 Устранимая особенность 89, 92 Формула Базилевича 182 бинома Ньютона 8 — Коши интегральная 52 — Муавра 7 — Ньютона — Лейбница 66 Эквивалентные пути 40 — цепи сечений 127 Экспоненциальная функция 29 Элемент 142 — последовательности 18 — пути -40 Эллиптическая функция 147 Эллиптический интеграл I рода 125 — синус 146 Ядро Коши .55 — последовательности относителы точки 164 — семейства областей относителы точки 169 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ... .......................... 3 Глава I. Комплексная плоскость .................... 4 § 1. Комплексные числа и действия над ними . ........... 4 § 2. Множества точек на С и С .................... 10 | § 3. Числовые последовательности и числовые ряды .......... 18 | Глава II. Функции ......................... 23 § 4. Непрерывные функции комплексного переменного ......... 23 § 5. Элементарные функции ..................... 27 § 6. Дифференцируемость и голоморфность функций ......... 35 Глава III. Интегрирование ...................... 40 § 7. Криволинейный интеграл от функции комплексного переменного . . 40 § 8. Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши .... 47 § 9. Интеграл типа Коши . . .................... 55 § 10. Первообразная ........ ................ 65 Глава IV. Ряды . . ......................... 70 ^ 11. Общие свойства функциональных последовательностей и рядов ... 70, § 12. Ряды Тейлора и Лорана ..................... 78 § 13. Единственность и принцип максимума голоморфных функций .... 82 - § 14. Изолированные особые точки ................... 88 .Глава V. Вычеты, и их приложения ................... 92 •§ 15. Основная теорема о вычетах ................... 92 § 16. Вычисление несобственных интегралов .............. 98 § 17. Разложение целой функции на первичные множители ....... 102 § 18. Представление мероморфной функции в виде суммы рациональных функций . . ......................... 106 Глава VI. Конформные отображения .'.............'... 111, § 19. Голоморфные функции с производной, не обращающейся в нуль В Сг .....'......................... 111 •§ 20. Конформная эквивалентность односвязных областей ........ 121 •§21. Соответствие границ конформно эквивалентных односвязных обла- стей ............................... 126 Глава VII. Полная аналитическая функция ............... 142 § 22. Аналитическое продолжение ................... 142 § 23. Нормальные семейства голоморфных функций ....,,.... 149 Глава VIII. Однолистные функции ................... 154 § 24. Некоторые классы функций и их простейшие экстремальные свой- ства .. ........................... 154 § 25. Сходимость областей к ядру и равномерная сходимость функций .'. 164 5 26. Семейства областей и дифференцируемость отображений по парамет- ру ............................... 170 § 27. Уравнение Левнера — Куфарева ................ 176 Литература.............................. 186 Предметный указатель ....................... 187