Ю. В. СИДОРОВ, М. В. ФЕДОРЮК, М. И. ШАБУНИН

ЛЕКЦИИ

ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

КОМПЛЕКСНОГО

ПЕРЕМЕННОГО

Допущено Министерством

высшего и среднего специального образования СССР

в качестве учебника для студентов

инженерно-физических и физико-технических специальностей вузов

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1982

22.161.5
С 34

У ДК 517.5

Сидоров Ю. В., Ф е д о р ю к М. В., Ш а б у н и н М. И, Лекции по теории
функций комплексного переменного. — 2-е изд., перераб. и доп.—М.: Наука.
Главная редакция физико-математической литературы, 1982. — 488 с.

Книга представляет собой учебник для студентов втузов и университетов.
В ней изложены основы теории функций комплексного переменного. Наряду
с традиционными разделами курса в книге подробно рассмотрены многознач-
ные аналитические функции и элементарные асимптотические методы.

Для 2-го издания книга переработана и существенно дополнена. В нее
включена, в частности, новая глава VIII «Операционное исчисление».

Книга снабжена большим количеством примеров и может быть полезной
при самостоятельном изучении курса.

Юрий Викторович Сидоров
Михаил Васильевич Федорюк
Михаил Иванович Шабунин

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Редактор М. М, Горячая

Техн. редактор И. Ш. Аксельрод

Корректор Д. И. Назарова

ИВ № 11542

Сдано в набор 18.08.81. Подписано к печати 05.05.8?. формат 60х90'/ц.
Бумага тип. № 2. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ.
л. 30,5. Уч.- изд. л. 29,05. Тираж 25 000 экз. Заказ 1254. Цена 1 р. 20 к.

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им.
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 19805<i
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.                        '

^ 1702050000-072
0——053(02)-82

© С изменениями.

Издательство «Наука»,
Главная     редакция
физико-математической
литературы, 1982

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к первому изданию ................  5

Предисловие ко второму изданию ................  6

Глава I. Введение. ...................  7

§ 1. Комплексные числа .................  7

§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел ...... 18

§ 3. Кривые и области на комплексной плоскости ....... 24

§ 4. Непрерывные функции комплексного переменного ...... 35

§ 5. Интегрирование функций комплексного переменного ..... 45

§ 6. Функция argz .................... 51

Глава II. Регулярные функции . . . . ........... Й8

§ 7. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана ... 58
§ 8. Геометрический смысл производной ........... 65

§ 9. Интегральная теорема Коши .............. 76

§ 10. Интегральная формула Коши . ............ 85

§ 11. Степенные ряды ................... 88

§ 12. Свойства регулярных функций ............. 91

§ 13. Обратная функция . . . .............. 104

§ 14. Теорема единственности  .  .  ............. 110

§ 15. Аналитическое продолжение . . . . .......... 112

§ 16. Интегралы, зависящие от параметра ........... 115

Глава III. Ряд Лорана. Изолированные особые точки однозначного ха-
рактера ......................... 125

§ 17. Ряд Лорана .................... 125

§ 18. Изолированные особые точки однозначного характера . . . .130

§ 19. Теорема Лиувилля .................. 141

Глава IV. Многозначные аналитические функции ......... 144

§ 20. Понятие аналитической функции ............ 144

§ 21. Функция 1пг .................... 150

§ 22. Степенная функция. Точки ветвления аналитических функций . 158
§ 23. Первообразная аналитической функции. Обратные тригонометри-
ческие функции ................... 170

§ 24. Регулярные ветви аналитических функций ........ 174

§ 25. Граничные особые точки . . . ............ 194

§ 26. Особые точки аналитических функций. Понятие о римановой

поверхности . . . . ................ 198

§ 27. Аналитическая теория обыкновенных линейных дифференциаль-
ных уравнений второго порядка ............ 210

Г

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава V. Теория вычетов и ее приложения ........... 225

§ 28. Теоремы о вычетах . . ............... 225

§ 29. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов . . 235
§ 30. Принцип аргумента и теорема Руше . . ........ 260

§ 31. Разложение мероморфной функции на элементарные дроби . 265

Глава VI. Конформные отображения .............. 276

§ 32. Локальные свойства отображений регулярными функциями . . 276
§ 33. Общие свойства конформных отображений ........ 283

§ 34 Дробно-линейная функция ............... 289

§ 35. Конформные отображения элементарными функциями .... 297

§ 36. Принцип симметрии . . . .............. 322

§ 37. Интеграл Кристоффеля — Шварца ............ 333

§ 38. Задача Дирихле . . . . .............. 345

§ 39. Векторные поля на плоскости . ............ 361

§ 40. Некоторые физические задачи теории поля   . . ..... 369

Глава VII. Элементарные асимптотические методы ........ 377

§ 41. Простейшие асимптотические оценки .   ......... 377

§ 42. Асимптотические разложения .............. 395

§ 43. Метод Лапласа ................... 402

§ 44. Метод стационарной фазы ............... 415

§ 45. Метод перевала . .  . ............... 424

§ 46. Метод контурного интегрирования Лапласа ........ 438

Глава VIII. Операционное исчисление ............. 450

§ 47. Основные свойства преобразования Лапласа ........ 450

§ 48. Восстановление оригинала по изображению ........ 458

§ 49. Применение преобразования Лапласа к решению линейных урав-
нений ....................... 472

§ 50. Колебания струны под действием мгновенных толчков . . . 479

Литература . . . . . . ................. 488

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящая книга написана авторами на основе их более чем
десятилетнего опыта преподавания теории функций комплекс-
ного переменного в Московском физико-техническом институте.
Эта книга является учебным пособием для студентов высших
технических учебных заведений с повышенным курсом матема-
тики. Авторы полагают, что она может оказаться полезной так-
же при самостоятельном изучении курса ТФКП.

Основное внимание в книге уделяется методам ТФКП, кото-
рые часто применяются в прикладных задачах (разложения в
ряды, конформные отображения, вычисление интегралов с по-
мощью теории вычетов, асимптотические методы). Материал
книги авторы старались изложить так, чтобы максимально по-
мочь читателю овладеть основами ТФКП. С этой целью в книге
подробно разобрано большое количество примеров. Авторы на-
деются, что эти примеры помогут читателю глубже усвоить тео-
ретический материал курса и приобрести навыки в решении
задач.

Книгу условно можно разделить на две части. Первая часть
(главы I—III, V, VI) содержит тот необходимый минимум све-
дений по ТФКП, которым должен овладеть современный инже-
нер-исследователь. Глава I носит вводный характер, в ней со-
держатся основные сведения о комплексных числах и непрерыв-
ных функциях комплексного переменного. В главе II изложены
основные свойства регулярных функций, включая понятие ана-
литического продолжения и аналитические свойства интегралов,
зависящих от параметра. В главе III рассматриваются ряды Ло-
рана и особые точки однозначного характера. Глава V посвя-
щена теории вычетов и ее приложениям. Рассмотрено много
важных типов интегралов от однозначных и неоднозначных ана-
литических функций, в частности интегральные преобразования
математической физики (Фурье, Меллина, Лапласа), интегралы
типа бета-функции. В главе VI рассматриваются свойства кон-
формных отображений и подробно изучаются отображения эле-
ментарными функциями.

Вторая часть (главы IV, VII) рассчитана на более подготов-
ленного читателя. Глава IV посвящена многозначным аналити-

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

ческим функциям. В ней подробно изучены аналитические свой-
ства и приведены основные формулы для вычисления значений
важнейших элементарных функций. Особое внимание уделяется
вопросу о выделении регулярных ветвей многозначных аналити-
ческих функций. Глава VII содержит изложение основных эле-
ментарных асимптотических методов (метод Лапласа, метод
стационарной фазы, метод перевала и некоторые другие ме-
тоды) .

Авторы считают своим приятным долгом выразить глубокую
благодарность профессору Б. В. Шабату, прочитавшему руко-
пись всей книги и сделавшему много полезных предложений.

1975

Авторы

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Во второе издание книги включена новая глава VIII «Опе-
рационное исчисление». Глава VI дополнена приложениями: за-
дача Дирихле, векторные поля на плоскости, некоторые физи-
ческие задачи теории поля. В главу IV включена аналитическая
теория обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
второго порядка, а в главу VII — метод контурного интегриро-
вания Лапласа.

Материал первого издания частично переработан (местами
значительно), добавлены новые примеры.

1981 Авторы

Глава I
ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Комплексные числа

1. Определение комплексного числа. Комплексными числами
называются пары (х, у) действительных чисел х и у, если для
них определены понятие равенства и операции сложения и ум-
ножения следующим образом:

1. Два комплексных числа (х\, у\) и (х^, г/з) считаются рав-
ными тогда и только тогда, когда х\ = х-г и у\ = уч.

2. Суммой двух комплексных чисел (xi, г/i) и (д-г, Уг) назы-
вается комплексное число (х\ + Хг, у\ + у-г)-

3. Произведением двух комплексных чисел (xi, у\} и (х^, Уч)
называется комплексное число {х\ху,—y\yi, х\у^ + х^у\).

Для обозначения равенства, суммы, произведения и других
операций над комплексными числами применяются те же знаки,
что и для действительных чисел. Таким образом, по определе-
нию комплексного числа

(xi, у\) == (л'2, уч) тогда и только тогда, когда

Л-1==А-2   И  У1=У2;   (1)

сумма и произведение двух комплексных чисел соответственно
равны

(^i, Hi) + (-^2, У2) ^ (Xi + х<2, yi + уг},                (2)
(xi, У() (x.t, уч) == (Л-1Л-2 — У1Уг, х^ + ^г/i).             (3)

Из формул (2), (3) вытекают, в частности, соотношения
(xi, 0) + (^2, 0) = (Xi + X2, 0), (^i, 0) (Xs, 0) = (х^. О),

которые показывают, что операции над комплексными числами
вида (х, 0) совпадают с операциями над действительными чис-
лами х. Поэтому комплексные числа вида (х, 0) отождествляют-
ся с действительными числами: (х, 0) = х.

Комплексное число (О, 1) называется мнимой единицей и
обозначается буквой f, т. е. i == (О, 1). Вычислим по формуле
(3) произведение i-i == i2. Имеем

t2=t./=(0, 1)(0, 1)=(-1, 0)=- 1.

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

Из формул (2), (3) вытекают также равенства
(0,г/)=(0, 1)(у, 0)=ц/,
(х, у)=(х, 0)+(0, y)==x+iy.

Таким образом, каждое комплексное число (х, у) можно пред-
ставить в виде х + iy. Запись комплексного числа в виде х + iy
называется алгебраической формой комплексного числа. Комп-
лексные числа вида iy называются чисто мнимыми. В частности,
число 0, т. е. комплексное число (0, 0), является единственным
числом, которое одновременно и действительное, и чисто мни-
мое.

С помощью алгебраической формы комплексного числа фор-
мулы (1)—(3) записываются так:

х\ + "/1 = Х2+ "/2 тогда и только тогда, когда

х\ = х-,, и г/i ^ г/2;   (4)
Оч + г'г/i) + (х2 + "/2) == (^i + х^) + i (г/i + У^,          (5)

(Х1+1У1){Х2+1У2)==(Х1Х2—У^}+1(Х1У2+Х2У1).      (6)

Комплексное число х + iy принято обозначать одной буквой
г, т. е. г = х + Гг/. Число л: называется действительной частью,
а число у — мнимой частью комплексного числа г = х + "/• Д^
этих чисел приняты следующие обозначения:

х == Re (х + 40 = Re z, г/ = Im {х + "/) = Im z *).

Здесь, как и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное,
в записи г = х + iy предполагается, что х и у—действительные
числа.

Комплексное число х — iy называется сопряженным с ком-
плексным числом z == х + iy и обозначается z:

z==x Т- "/ ==л; —iy.                 (7)

Очевидно, (г) == г для любого комплексного числа г- Из (4)
вытекает, что равенство г = г имеет место в том и только в том
случае, когда z—действительное число.

Число -\/х2 + у2 называется модулем комплексного числа
2 == х 4-(у и обозначается | г\:

l2l=|A:+U/|=V^T72.                     (8)

Очевидно, lz| S^ 0, причем [z\ == 0 тогда и только тогда, когда
г = 0. Модуль действительного числа совпадает с абсолютной
величиной этого числа.

*) Обозначения Re и Im являются сокращениями французских слов Reel
(действительный) и Imaginaire (мнимый).

§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Отметим две формулы:

|2|=|Z|,                               (9)

zz=|z|2,                     (10)
которые вытекают из (7), (8) и равенства

zz == (х + г у) (x—iy)=x2+ у2.

Дальнейшие свойства, связанные с понятиями i и |г|, будут
рассмотрены ниже.

2. Свойства операций. Операции сложения и умножения
комплексных чисел обладают следующими свойствами:

1. Коммутативности:

2:i + 2:2 == 2:2 + 2:i,   Z^ == 2:22:1.

2. Ассоциативности:

(2:i + 22) + 2:3 == 2:1 + (2:2 + 2:з),   (2:12:2) 2:з = г, (2^3).

3. Дистрибутивности:

2:1(22+2:3) ==2:i22+ZiZ3.

Докажем, например, коммутативность сложения. Пусть Zi ==
=== -^1 + "/i, 22 == Хч 4- "/2. Тогда по формуле (5) имеем

Zl + 2:2 = (Л-l + А-2) + i (У I + Уг),

2:2 + zi = (л:2 + Xi) + г(г/2 + г/i).

Но по свойству коммутативности сложения действительных чи-
сел Xi + Ич = Х2 + Xi и г/i + t/2 == У2 + У1. Следовательно, Zi +

+ 2:2 = 22 + Zl.

Аналогично проверяются остальные свойства 1—3.
Из свойств 1—3 вытекает, что операции сложения и умноже-
ния над комплексными числами х + iy обладают формально та-
кими же свойствами, как если бы число i было действительным.
В частности, нет необходимости запоминать формулы (5) и (6),
их можно получить по обычным правилам алгебры. Например,
(6) вытекает из равенства

(Xi + iyi) (Xs + 1Уч) == A:i^2 + 1Х\У2 + IXsVl + РУ1У2

и равенства i2 == —1.

Числа нуль и единица в множестве комплексных чисел об-
ладают теми же свойствами, что и в множестве действительных
чисел. А именно, для любого комплексного числа г имеют место
равенства

г + 0 ==2:, г • 1 ==z.

В множестве комплексных чисел можно ввести операцию,
обратную к операции сложения. Эта операция, как обычно,

ЛИТЕРАТУРА

1. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций—М.: Наука,
1972.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Нау-
ка, 1981.

3. Волков ыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г.—
Сборник задач по теории функций комплексного переменного.—М.: Наука,
1975.

4. Г о л у з и н Г. М. Геометрическая теория функций комплексного пере-
менного.—М.: Наука, 1966.

5. Г урви ц А., Курант Р. Теория функций.—М.: Наука, 1968.

6. Ев граф о-в М. А. Аналитические функции.—М.: Наука, 1968.

7. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.э
Наука, 1979.

8. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображе-
ний.—М.: ИЛ, 1963.

9. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.—М.: Высшая
школа, 1981, т. 1,2.

10. Лаврентьев М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций комп-
лексного переменного.—М.: Наука, 1973.

11. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций.—М.: Наука,
1967, т. 1; 1968, т. 2.

12. Морс Б. А., Ф е ш б а х Б. Методы теоретической физики. — М.: ИЛ,
1958, т. 1.

13. Никольский С. М. Курс математического анализа.—М.: Наука,
1975, тт. 1, 2.

14. О л вер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функ-
ции.—М.: Наука, 1978.

15. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного пере-
менного.—М.: Наука, 1967.

16. Сборник задач по теории аналитических функций/Под ред. Евгра-
фова М. А.—М.: Наука, 1972.

17. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплекс-
ной переменной.—М.: Наука, 1979.

18. Смирнов В. И. Курс высшей математики.—М.: Наука, 1974, т. 3,
ч. 2.

19. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей.^
М.: ИЛ, 1960.

20. Титчмарш Е. Теория функций.—М.: Наука, 1980.

21. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж, Н. Курс современного анализа.—
М.: Наука, 1963, тт. 1.2.

22. Федорюк М. В. Метод перевала.—М.: Наука, 1977.

23. Фукс Б. А., Ш а б а т Б. В. Функции комплексного переменного и
некоторые их приложения.—М.: Физматгиз, 1959.

24. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ.—М.: Наука, 1976,
чч. 1,2.