СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА ВВОДНЫЕ КУРСЫ CURVES AND SINGULARITIES Дж.БРУС П. ДЖИБЛИН A geometrical introduction to singularity theory J. William BRUCE Department of Pure Mathematics, University of Newcastle-upon-Tyne Peter G. G1BL1N Department of Pure Mathematics, University of Liverpool КРИВЫЕ И ОСОБЕННОСТИ Геометрическое введение в теорию особенностей Cambridge University Press Cambridge London New York New Roohelle Melbourne Sydney Перевод с английского И. Г. ЩЕРБАК под редакцией В. И. АРНОЛЬДА МОСКВА «МИР» 1988 ББК 22.16 + 22.151 Б89 УДК 517 + 514.7 Брус Дж., Джиблин П. 589 Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей: Пер. с англ. —М.: Мир, 1988. — 262 с., ил. ISBN 5-03-001194-3 Введение в современную теорию особенностей и её приложения к диф- ференциальной геометрии кривых, написанное известными английскими мате- матиками. Получаемые из общей теории результаты интерпретируются как нетривиальная информация о кривых, огибающих, точках возврата, эволю- тах, каустиках, волновых фронтах. В книге много чертежей и рисунков, облег- чающих восприятие материала. Приведено большое число задач и упражнений. Для преподающих и изучающих геометрию в вузах и средней школе. 1702050000—201, 041 (01)—88 -24—88, ч. 1 ББК 22.16+ 22.151 Редакция литературы по математическим наукам ISBN 5-03-001194-3 (русск.) ISBN 0-521-24945-7 (англ. Cambridge University Press 1984 This book was originally published in the English language by Cambridge Univer- sity Press of Cambridge, England перевод на русский язык, с добавления- ми, «Мир», 1988 От редактора перевода Эта книга посвящена исследованию особенностей кривых. Большая часть результатов, о которых в ней идёт речь, вос- ходит к оптическим работам Гюйгенса и Барроу — предше- ственников Ньютона и Лейбница — и имеется уже в первом (1696 г.) учебнике анализа (написанном Лопиталем), который так и назывался — «Анализ бесконечно малых для исследова- ния кривых линий». В курсах анализа эти результаты и изла- гались примерно до середины 20-го века. Но впоследствии эволюты, эвольвенты, каустики, огибающие и рёбра возврата постепенно исчезли из математического преподавания, так как плохо укладывались в прокрустово ложе аксиоматически-дедук- тивных построений теоретико-множественного бурбакист- ского толка. Авторы предприняли попытку изложить этот материал, не предполагая у читателя почти никаких предварительных знаний и сообщая ему попутно некоторые основные идеи и методы теории особенностей дифференцируемых отображе- ний. С современной точки зрения большая часть материала этой книги — разнообразные частные случаи теории лагран- жевых особенностей симплектической геометрии и теории лежандровых особенностей контактной геометрии. Эти тео- рии доставляют соответственно списки типичных особенностей каустик (огибающих систем лучей) и волновых фронтов, рас- пространяющихся в произвольной (вообще говоря, неоднород- ной и неизотропной) среде, например — на римановом много- образии. В частных случаях, рассматриваемых в книге, среда предполагается плоской, однородной и изотропной, так что лучи — прямые линии — могут быть явно вычислены. В об- щем случае потребовалось бы решать дифференциальные урав- нения Гамильтона и столь явных формул для лучей и рассто- яний, как в рассматриваемых в книге примерах, не было бы. Хотя это не очевидно и в книге не доказывается, на самом деле ответы в общей теории лагранжевых и лежандровых особен- От редактора перевода костей кривых и поверхностей не сложнее, чем в рассматрива- емых в книге элементарных частных случаях. Преимущество избранного авторами уровня общности со- стоит в том, что им удаётся заменить простые общие идеи теории лагранжевых и лежандровых особенностей выкладочными дока- зательствами частных результатов (различными в разных ча- стных случаях). Такой подход можно уподобить определению касательной к окружности как нормали к радиусу. Исходя из этого определения, можно доказывать теоремы об окруж- ностях, но недостаток такого подхода в том, что читатель может лишь догадываться, какова степень общности получаемых результатов и от каких структур они на самом деле зависят (общие теоремы симплектической и контактной геометрии выглядят в книге как факты дифференциальной геометрии эвклидовой плоскости). Из книги трудно понять, почему в не- похожих на первый (а часто и на второй) взгляд задачах полу- чаются одинаковые ответы. Можно надеяться, что вдумчивый читатель, познакомившись с изложенными здесь фактами, заинтересуется их связями и сам разыщет в литературе соот- ветствующие общие теории. Авторы почти нигде не указывают источников обсуждаемых результатов и, как правило, ссылаются не на первые, а на возможно более поздние изложения. В тех же немногих слу- чаях, когда авторы затрагивают историю вопроса, они не всегда объективны. В связи с этим будет не лишним приводи- мый ниже краткий обзор. Особенности эволют и эвольвент, каустик и систем лучей и фронтов были подробно изучены Гюйгенсом ещё до появления математического анализа (1654 г.). В упомянутом выше учеб- нике Лопиталя 1696 г. исследование этих вопросов доведено уже до более сложных случаев, чем в книге Бруса и Джиб- лина — например, Лопиталь описывает поведение семейства эвольвент кривой общего положения вблизи её точки перегиба (попробуйте самостоятельно нарисовать эти эвольвенты!). Л. Кронекер в 1878 г. подробно изучил ласточкин хвост, а в работах А. Кэли того же времени исследование особенностей распространяющихся волновых фронтов и каустик (фокальных поверхностей) общего положения проведено значительно дальше, чем в настоящей книге (попробуйте нарисовать, вслед за Кэли, множество центров кривизны трёхосного эллипсоида и его параллели — аналогичная задача для эллипса решена в данной книге). Необходимые для обоснования подобных теорий соображе- ния общего положения, теперь формализуемые леммой Сарда и леммой трансверсальности Тома, в те времена считали оче- видными не только физики (типичный пример — «правило фаз» Гиббса, 1873 г.), но и математики. Сошлюсь лишь на иссле- От редактора перевода дование типичных особенностей функции расстояния на эллип- соиде, проведённое Якоби в 1866 г. и на постановку Кэли (1868 г.) задачи о топологическом описании типичных гладких функций — функций Морса, как мы сказали бы сейчас. Впрочем, и с обоснованием дело обстояло не так плохо: в' 1882 г. Бертини доказал теорему, заменяющую теорему транс- версальности или лемму Сарда в ситуации алгебраической геометрии (и достаточную, в действительности, для большинства приложений). Общая теория гладких многообразии, в виде, чрезвычайно близком к тому, в каком она изложена в настоящей книге, представлена А. Пуанкаре в Analysis situs (1885 г.). (После- дующие поколения предпочитали менее удачные, хотя и экви- валентные определения многообразии, и даже сейчас в литера- туре можно встретить утверждение, что Пуанкаре не знал, что такое многообразие.) Теорема о вложимости многообразии в R2^' принадлежит Уитни (1936 г.). Современная теория особенностей дифференцируемых отображений также начата Уитни, в замечательной работе о типичных особенностях отображений поверхностей на плоскость Whitney [1955]* /. Р. Том, усовершенствовавший ряд пунктов теории Уитни (1959 г.), первым осознал всеобъемлющий характер теории Уитни и всё ее значение для многочисленных приложений. В 1969 г. он опубликовал работу «Топологические модели в биологии» (Thorn [1969] *), содержащую список типичных бифуркаций критических точек функций, встречающихся в че- тырёхпараметрических семействах. Том предполагал, что он описал все типичные топологи- ческие бифуркации фазовых портретов градиентных динами- ческих систем, встречающихся в не более чем четырёхпараме- трических семействах (параметров четыре потому, что эти системы, по Тому, описывают химические реакции в разных точках организма в разные моменты времени). К 1973 г. выяснилось, что составленный Томом список типичных градиентных бифуркаций не полон уже для случая трёх параметров (для случаев одного и двух параметров списки Тома правильны). Полный список градиентных бифуркаций в типичных трёхпараметрических семействах найден лишь в 1984 г. (Б. А. Хесиным). Он оказался конечным, хотя и шире первоначального списка Тома. Конечен ли топологически пол- ный список градиентных бифуркаций в типичных четырёх- параметрических семействах — неизвестно и сейчас. Таким образом, программа исследования «катастроф» Тома на сегодняшний день выполнена в меньшей степени, чем та, которую Том считал достигнутой в первой своей работе на эту ' Звёздочка отсылает к списку литературы, добавленной при переводе. On» редактора перевода тему. Последующие работы Зимана и др. по теории катастроф скорее посвящены приложениям результатов теории особен- ностей и приведению в систему полученных ранее результатов других авторов, чем новым теоремам. Важным вкладом Тома в теорию особенностей явилось открытие им непрерывных инвариантов (модулей) типичных особенностей гладких отображений многомерных пространств, рассматриваемых с точностью до диффеоморфизмов (1959 г.). Том предположил, а А. Н. Варченко доказал (1972—1973 гг.), что в топологической теории типичных особенностей гладких отображений (рассматриваемых с точностью до гомеоморфиз- мов) модулей нет. Из теории Варченко следует, например, конечность числа топологических типов типичных особенностей каустик и волновых фронтов в пространстве любого числа измерений (это следствие другим способом позже доказал Лоэйенга (Looijenga [1974]). Завершение общей теории особенностей дифференцируемых отображений является заслугой Дж. Мазера (1965 г.), опубли- ковавшего в 1968—1971 гг. серию из 6 статей (Mather [1968— 19711 *), в которых вычислены все «хорошие размерности», где нет модулей и дифференцируемая классификация конечна (ошибки, имевшиеся в классификации особенностей Мазера, исправлены позже Джусти и другими; на список хороших размерностей они не влияют). Начала теории лагранжевых особенностей обсуждаются в книге В. П. Маслова [1965] * (где исследуется, в частности, лагранжева сборка над точкой возврата каустики) и в моей статье [1967] *. «Математические методы классической меха- ники» (Арнольд [1974] *) содержат уже и теорию лежандровых особенностей, из которой большинство результатов настоящей книги вытекает в качестве простых частных случаев. Список особенностей видимых контуров типичных поверхностей трёх- мерного пространства (проектируемых из бесконечности) опу- бликован в УМН в 1979 г. (см. Arnold [1981 ], 7)). Исследование особенностей проективно двойственных кривых, их развёрток и метаморфоз проведено О. П. Щерба- ком (1982 г.) значительно дальше, чем в настоящей книге. В 1985 г. М.Э. Казарян связал эту теорию с теорией бифуркаций фундаментальных систем решений линейных дифференциальных уравнений и с особенностями стратификации Шуберта много- образии Грассмана (см. Арнольд [1986] *). С общей теорией систем лучей, построенной О. П. Щерба- ком, А. Б. Гивенталем, В. В. Горюновым, В. М. Закалюки- ным, Е. Е. Ландис, О. А. Платоновой, И. Г. Щербак, В. А. Ва- сильевым, А. А. Давыдовым, В. Д. Седых и другими авторами, далеко выходящей за рамки настоящей книги, можно позна- комиться по обзорам «Особенности систем лучей» От редактора перевода и «Особенности в вариационном исчислении» (Арнольд [19836 и в] *). Более полные списки литературы имеются в двухтомнике В. И. Арнольда, А. Н. Варченко и С. М. Гу- сейна-Заде «Особенности дифференцируемых отображений» [1982; 1984] * и в томах 4—6 серии «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», издаваемой ВИНИТИ. Но для того чтобы проникнуть в мир современной теории особенностей, быть может, лучше всего начать с конкретных элементарных примеров, составляющих эту книжку. В. И. Арнольд Линде и Рэчел Предисловие — Думаю, вам не стоит беспо- коиться, — сказал я. — До сих пор всегда оказывалось, что в его безумии есть метод. — Лучше бы было сказать, что есть безумие в его методе, — про- бормотал инспектор. Записки о Шерлоке Холмсе • Особенность — почти всегда ключ к разгадке. Цель этой книги — познакомить новое поколение студентов с областью математики, получившей за последнее двадцати- летие новый мощный импульс в результате возникновения теории особенностей. Дифференциальная геометрия кривых, семейств кривых и поверхностей в эвклидовом пространстве привлекала к себе математиков и пользователей математики со. времён Ньютона. В шестидесятые годы в математическом мышлении и математи- ческой технике произошел незаметный переворот, во многом обязанный изобретательному гению французского математика Ренэ Тома. Из его идей (отчасти навеянных более ранними исследованиями X. Уитни) родилось то, что получило название теоЕии_ особенностей — науки, включающей; в се<5я .теорию катастрофи__те.орию бифуркаций. Теория особенностей не только придала точный смысл"многому, сделанному в диффе- ренциальной геометрии, так сказать, наощупь (как это часто бывает, многие математики обладали сверхъестественным чутьём, но их идеям недоставало надлежащего формального обрамления), — она ещё привела к открытию такого изобилия фактов, которое поразило бы воображение любого из великих геометров прошлого. Свои идеи Том сразу же применил и во многих других областях, помимо геометрии; см., например, его знаменитую (но очень трудную) книгу Thorn [19751. Впоследствии и сам он, и другие исследователи уточняли и усовершенствовали эти идеи, и в настоящее время перечень их приложений, действи- тельных и возможных, к различным наукам весьма впечатляющ, хотя приложения эти порой и довольно спорны. По нашему мнению, лучший способ познакомить с теорией особенностей — показать, как она работает в ситуации, где совершенно ясно, о чём идет речь, и где требуется минимум специальных знаний. По этой причине мы ограничились лишь геометрическими приложениями, если не считать беглого рассмотрения «машин катастроф» в главе 1 и небольших доз геометрической оптики 12 Предисловие и дифференциальных уравнений в главе 7. Более того, чтобы удержать «в узде» технический аппарат, мы ограничились обсуждением геометрических приложений теории особенностей, вращающихся вокруг понятия трансверсальности и понятия деформации гладкой функции одной переменной. В результате мы остановились на следующих сюжетах: геометрия плоских и пространственных кривых, огибающие однопараметрических семейств кривых и поверхностей, эволюты, двойственные кри- вые и поверхности, касание, видимые контуры поверхностей, каустики, множества симметрии, отображения плоскости в пло- скость и «геометрия общего положения» плоских и простран- ственных кривых — свойства, выполняющиеся для «почти всех» кривых. (Даже если эти названия не много вам говорят, мы надеемся, что, просмотрев наудачу несколько рисунков, вы убедитесь в потенциальной увлекательности этих сюже- тов.) Никаких предварительных знаний о кривых и поверхностях не предполагается. В главе 2 мы начинаем изучать кривые с самого начала, уделяя повышенное внимание двум вопросам: особенностям (вещественнозначных) функций на кривых и касанию кривых с прямыми, окружностями, плоскостями и сферами. Книга распадается, надеемся не буквально, на две части. Первых семи глав, вероятно, хватит на годовой спецкурс (в 30— 35 лекций) для студентов последнего (или предпоследнего) года обучения. Неформальным завершением такого курса могла бы послужить глава 11. Здесь подробно изучаются гладкие кривые на плоскости и в пространстве, понятие каса- ния, огибающие, гладкие параметризованные многообразия и деформации. По ходу дела (а более систематически — в главе 7) разбираются многочисленные приложения и иллю- страции этих понятий. (Мы добавляли всё новые и новые при- ложения, но надо же было где-то остановиться!) Надеемся, что подобный курс может послужить полезным противоядием к составленным по современной моде аксиоматическим курсам для студентов, а также привнести немного реальной геометрии в спецкурсы для аспирантов. (Так ли неразумна вера в то, что лучше основательно понять что-то конкретное и не слишком сложное, чем получить расплывчатое представление о высоко- научных и технически очень сложных материях?) Всё, что пред- полагается известным, — это ряд сведений из линейной ал- гебры (матрицы и линейные отображения) и анализа функций многих переменных. (Мы формулируем и используем, но не доказываем теорему об обратной функции.) В главе 6 довольно подробно обсуждается, но не доказывается один сравнительно глубокий и трудный результат о существовании «универсаль- ной деформации». Предисловие 13 Главы 8—10 чуть посложнее, чем первые семь: они подойдут для хорошо подготовленных старшекурсников или аспирантов первого года. Мы продвигаемся здесь быстрее и предполагаем хорошее понимание пройденного ранее, а также некоторое знакомство с такими понятиями, как компактность. Кроме того, в главе 9 не все доказательства проведены с полными подробностями. В главах 8 и 9 обсуждается понятие транс- версальности и с помощью леммы Тома о трансверсальности показывается, как можно применить это важнейшее понятие для получения результатов о свойствах «общих» кривых (кри- вых общего положения) — свойствах, которыми обладают «почти все» кривые. В главе 10 мы доказываем использовав- шуюся в главе 6 теорему об универсальной деформации, но не в полной общности (максимальная общность в курсе такого рода не является ни желательной, ни достижимой), а при том предположении, что все наши функции, кривые и т. д. — аналитические, а не просто гладкие. Таким образом, в этом случае, который сам по себе достаточно интересен, наше изло- жение полно. Приведенное в главе 10 доказательство — не «стандартное» (с использованием «подготовительной теоремы»), а представляет собой упрощенный вариант более общих рас- суждений Каса и Шлессинджера. По нашему мнению, оно проясняет, почему критерий версальности деформации имеет именно такой вид. Первая часть главы 10 технически совсем не сложна. Наконец, в главе 11 мы кратко обозреваем пер- спективу с достигнутых «высот». В текст включено большое число упражнений, многие — с указаниями, как их решать. Мы считаем, что математику можно считать развивающейся только тогда, когда математик (профессионал или студент, но все мы в некотором роде сту- денты) решает задачи, а одна из привлекательнейших черт предмета этой книги в том и состоит, что на любой стадии он предоставляет прекрасные возможности для решения конкрет- ных задач. Кроме того, мы надеемся, что многочисленные упражнения придадут неспециалистам духу попытаться вы- учить этот конкретный и (на наш взгляд) доставляющий истин- ное удовольствие материал, большая часть которого еще не появлялась в книгах. Результаты некоторых упражнений в дальнейшем исполь- зуются в книге, в этих случаях они снабжены необходимыми указаниями, так что их можно считать небольшим расширением основного текста, в котором опущены кое-какие детали. С дру- гой стороны, куски основного текста, напечатанные мелким шрифтом, посвящены вопросам, периферийным по отношению к главным темам, и их можно пропустить, не потеряв нити из- ложения — но потеряв известную долю удовольствия, ибо 14 Предисловие в представленном здесь предмете немало завлекательнейших тёмных заводей. Большая часть материала книги была прочитана студентам- старшекурсникам Ливерпульского университета или аспи- рантам первого года обучения Университетского колледжа г. Корк (или и тем и другим). Мы хотели бы поблагодарить коллег из этих учебных заведений и, конечно, наших студентов за вольную или невольную помощь по приведению материала в порядок. Особенная наша признательность профес- сору Ч. Уоллу из Ливерпуля, впервые заинтересовавшему нас этим предметом. Второй из авторов значительную часть времени написания книги провел в Университете Северной Каролины (Чэпл Хилл) и Калифорнийском университете (Бер- кли) в качестве приглашённого профессора. Он благодарит эти учреждения за гостеприимство, первое из них и Ливерпульский университет — за финансовую поддержку и всех сотрудников названных университетов, особенно профессора Дж. Н. Дэй- мона из Университета Северной Каролины, — за поддержку как в моральном, так и в математическом плане. Компьютерные рисунки, помещенные в книге, выполнены в Ливерпуле с по- мощью машины IBM 4341 и графопостроителя CalComp. Все эпиграфы позаимствованы из рассказов сэра Артура Конан Дойля о Шерлоке Холмсе. Фронтиспис нарисовал для нас X. Хэррисон. Наконец, мы хотим поблагодарить друг друга за снисходи- тельность, выдержку и терпение. Мы остались друзьями. Декабрь 1983 Дж. У. Брус П. Дж. Джиблин 1 Вводный пример: машина катастроф ^качалка' — Боюсь, что от объяснений всё проигрывает, — сказал он. — Одни только результаты впечатляют го- раздо больше. Приключения клерка Давно установлено, что никогда не следует начинать раз- говор — и книгу, видимо, тоже — с извинений. Поэтому мы приносим извинения за то, что начинаем с извинений в том, что книга наша, несмотря на название этой главы, — не книга по теории катастроф. С машины катастроф мы начинаем по той причине, что в этом наглядном примере возникают многие из понятий, которые мы будем подробно изучать в дальнейшем, такие как функции на кривой, огибающие, поверхности, проек- ции, эволюты и бифуркационные множества. В настоящей главе эти понятия лишь затрагиваются — не рассчитывайте сразу понять все детали. Изобретённая Т. Постоном машина катастроф «качалка» / рассматривалась в известной монографии Poston, Stewart [1978 ]. Другие введения в теорию катастроф можно найти в книгах: Zeeman [1977 ], Poston, Stewart [1976 ], Saunders 119801. Рассмотрим сегмент параболы, отсекаемый некоторой пря- мой, скажем перпендикулярной к её оси, как на рис. 1.1. Представим себе, что область, ограниченная параболой и пря- мой, — это'тонкая пластин- ка («колесо»), которая всё вре- мя остаётся в вертикальной плоскости и может перекаты- ваться по горизонтальной прямой; мы ищем положе- ние устойчивого равновесия. Плотность пластинки не пред- полагается постоянной, так что её центр тяжести нахо- дится в точке (а, Ь) (см. ри- ; В оригинале gravitational catastrophe machine. — Прим. перев. Рис. 1.1. Параболическая пластинка в вертикальной плоскости 16 1. Вводный пример: машина катастроф «качалка» сунок); координаты берутся по отношению к осям х, у, в ко- торых уравнение параболы имеет вид у = х2. (Часто говорят, что точка (а, Ь) лежит в пространстве управления', величины а и Ь управляют поведением пластинки.) Нас интересует поло- жение, дающее (локальный или глобальный) минимум потен- циальной энергии пластинки. Последнюю легко вычислить: она равна mgh, где т — масса, g — ускорение силы тяжести и /i — высота центра тяжести над некоторой фиксированной горизонтальной линией. В качестве этой линии возьмём пря- мую, по которой перекатывается пластинка. Таким образом, если парабола касается прямой в точке (t, <2), то h есть рассто- яние от точки (а, Ь) до касательной у — 2tx + t2 = 0 в точке (/, <2). Поэтому потенциальная энергия равна 1.1. и математически задача сводится к отысканию для заданных а и Ь значения переменной t, минимизирующего функцию V (t). Вычисление производной даёт 1.2. так что в искомой точке минимума t должно выполняться равен- ство U (t) = 0 и функция U должна менять знак с отрицатель- ного на положительный. Заметим, что функция U зависит от заданных значений а и Ь; если а и Ь считать переменными, мы получаем двухпараметрическое семейство функций. Такие семейства будут в дальнейшем играть большую роль. Далее, 2t3 + t (1 — 2у) — х = 0 есть в точности уравнение нормали к параболе в точке {t, <2). Таким образом, мы при- ходим к тому не вызывающему удивления заключению, что в положении равновесия точка (а, Ь) должна располагаться вертикально над точкой касания (t, <2), ибо нормалью к пара- боле в точке (t, t2) служит вертикальная прямая, проходящая через эту точку. Вскоре мы вернёмся к вопросу о минимумах. Поучительно рассмотреть уравнение 2t3 + t (1 — 2b) — — а = 0 как уравнение поверхности М (называемой поверх- ностью катастроф для У) в трёхмерном пространстве с коор- динатами (t, а, Ь). Если ось t направлена вертикально, то t == = to — горизонтальная плоскость, пересекающая поверхность М по прямой t — ty = 2^ + ty (1 — 2b) — а. Это нормаль к параболе Ь = а2, лежащей в плоскости t = to; нормаль бе- рётся в точке t = ty, а = ty, b = Уу Геометрически это озна- чает, что поверхность М получается из нормалей к параболе Ь = а2 в плоскости а, Ь, если нормаль, взятую в точке {ty, Q, t /. Вводный пример: машина катастроф «.качалке» 17 сдвинуть по вертикали на высоту <о- Будучи «развернуты» в ^-направлении, нормали образуют поверхность (рис. 1.2) /. Вертикальная плоскость b == by пересекает поверхность М по кубической кривой 2t3 + t (1 — 2Ьу) — а = 0. Если рас- сматривать а как функцию от t, то эта функция имеет максимум и минимум при by > 1/2- it Рис. 1.2. Поверхность нормалей к параболе. 1.3. Упражнение. Нарисуйте указанную выше кубическую кривую в пло- скости Ь = &о для &о = 0, 1/2 и 3/2. Таким образом, поверхность М имеет «складку» (см. рис. 1.3). При данных а и Ь вертикаль, проходящая через точку (О, а, Ь), пересекает поверхность М в точках (t, а, Ь), являющихся / Можно построить модель поверхности М, используя в качестве этих прямых нитки, проходящие через отверстия в двух плоскостях b = const, сделанных из оргстекла или фанеры. Подойдут такие размеры (в сантиметрах). Возьмите кривую 326 = а8; плоскости Ь = 0 и Ь = 24; t = 0; ±0,8; ±1,6; ...; ±16 Размеры плоскости Ь == 0: около 36 по /-направлению и около 24 по а-направлению (координаты центра (0, 0, 0)); плоскости Ь = 24: около 36 по /-направлению и около 12 по а-направлению (координаты центра (О, О, 24)). Добавление (ii) Покажите, далее, что при т > 1 множество С Х {0} С С: R" X R"1 имеет меру нуль в R""1"'". (iii) Докажите теперь, что множество R" Х {0} С R" X R'" имеет меру нуль в R""*''". 5. Покажите, что всякой многообразие Х С R" обладает счётным набо- ром карт, покрывающим X. [Для каждой точки х 6 Х С R^ су- ществуют открытые окрестности Ux точки 0 и Vx точки х в R^ и диффеоморфизм (р: t/ж -» Уж, такие что (р (t/a: П (R" X {0})) = = Х П У,. Построим покрытие Х координатными картами, задавае- мыми шарами в R" с рациональными радиусами, центры которых имеют рациональные координаты. А именно, для всякой точки х 6 Х с рациональными координатами выберем любой такой шар, содер- жащийся в координатной карте Vx', это и будет новая координатная карта для этой точки. Если же х имеет иррациональные координаты, то возьмём координатную карту Vx и выберем шар: (i) лежащий внутри Vx, (ii) имеющий рациональные радиус и центр, (iii) содер- жащий х. Ясно, что это возможно. Поскольку шаров с рациональными радиусами и центрами счётное число, требуемое счётное покрытие построено. ] Что читать дальше — Они мастера накапливать фак- ты, а вот извлечь из них пользу им удаётся не всегда. Морской договор Мысль и впрямь отрезвляющая. В этой книге мы изо всех сил старались не просто накопить факты, но и употребить их с пользой. Разумеется, к книгам, которые мы отобрали для приводимого ниже очень короткого списка литературы, реко- мендуемой для дальнейшего чтения, изречение Холмса никак не подходит. Наш список короток, потому что длинные списки лишь понапрасну пугают, к тому же читатель может сам про- должить этот список (почти) неограниченно, пополняя его списками литературы из работ приведённого списка и т. д., вплоть до Ньютона и его предшественников. Претендуем мы только на неполноту списка и придерживаемся наших личных вкусов и предпочтений. Геометрия и её приложения — чу- десное и обширное творение, и одному человеку (и даже двум) не охватить больше, чем маленький его кусочек. Надеемся, что и вы отыщете там уголок для своих собственных исследо- ваний. 1. Ещё о функциях: Brocker, Lander [19751, Arnold [1981 ]. 2. Устойчивые отображения: Gibson [1979], Martinet [1982] (в этих двух книжках речь идёт и о функциях), Golubitsky, Guillemin [1973]. 3. Дифференциальная геометрия: Thorpe [1979], DoCarmo [1976 ], Banchoff, Gaffney, McCrory 11982 ]. 4. Теория катастроф: Poston, Stewart [1978], Zeeman 11977 ]. 5. Дифференциальная топология: Milnor [19651, Guillemin, Pollack [19741. Литература — Располагая этой информацией, вы сможете прийти к какому-нибудь правильному заключению. Знак четырёх Agnew R. Р. [1960] Differential Equations, McGraw-Hill, New York. Ahlfors L. V. [1966] Complex Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill, New York. Arnold V. I. [1976] Wavefront evolution and equivariant Morse lemma, Comm. Pure Appl. Math. 29, 557—582. Arnold V. I. [1981] Singularity Theory—Selected Papers, London Math. Soc. Lecture Notes 53, Gambridge University Press. [Это перевод на английский следующих семи работ В. И. Арнольда: 1) Особенности гладких отобра- жений. — УМН, 1968, т. 23, № 1, с. 3—44. 2) О матрицах, зависящих от параметра. — УМН, 1971, т. 26, № 2, с. 101—114. 3) Замечания о ме- тоде стационарной фазы и числах Кокстера. — УМН, 1973, т. 28, № 5, с. 17—44. 4) Нормальные формы функций вблизи вырожденных крити- ческих точек. — УМН, 1974, т. 29, № 2, с. 11—45. 5) Критические точки гладких функций и их нормальные формы.—УМН,1975,т. 30, № 5, с. 3—65. 6) Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли Дд, Сд, F, и особенности эволют. — УМН, 1978, т. 33, № 5, с. 91— 105. 7) Индексы особых точек 1-форм на многообразии с краем, сворачя- вание инвариантов групп, порождённых отражениями, и особые проек- ции гладких поверхностей. — УМН, 1979, т. 34, № 2, с. 3—38]. Banchoff Т., Gaffney Т., McCrory С. [1982] Cusps of Gauss Mappings, Research Notes in Math. 55, Pitman, London. Brocker Th., Janich K. [1982] Introduction to Differential Topology, Cambridge University Press. Brocker Th., Lander L. [1975] Differential Germs and Catastrophes, London Math. Soc. Lecture Notes 17, Cambridge University Press. [Имеется перевод: Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. —М.: Мир, 1977.] Bruce J. W. [1984] A note on first order differential equations of degree greater than one and wavefront evolution. Bull. London Math. Soc. 16: 2, 139—144. Bruce J. W., Giblin P. J., Gibson С. G. [1981] On caustics of plane curves, American Math. Monthly, 88, 651—667. Bruce J. W., Giblin P. J., Gibson C. G. [1982] On caustics by reflexion. Topo- logy, 21, 179—199. Coxeter H. S. M. [1969] Introduction to Geometry (2nd ed.), John Wiley, New York. [Имеется перевод: Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966.1 DoCarmo M. [1976] Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice- Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Eisenhart L. P. [1909] A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Ginn and Co., Boston. Gibson C. G. [1979] Singular Points of Smooth Mappings, Research Notes in Math. 25, Pitman, London. Golubitsky M., Guillemin V. [1973] Stable Mappings and their Singularities, Graduate Texts in Math. 14, Springer-Verlag, Heidelberg. [Имеется пере- Лчтература 249 вод: Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особен- ности.—М.: Мир, 1977.1 Golubitsky M., Schaeffer D. [1979] A theory for imperfect bifurcation via singularity theory, Comm. Pure Appl. Math. 32, 21—98. Goursat E. [1917] A Course in Mathematical Analysis, Vol. 1, Ginn and Co., Boston. [Имеется перевод: Гурса Э. Курс математического анализа, т. 1, 4. П.—М.—Л.: ГТТИ, 1933.1 Guillemin V., Pollack A. [1974] Differential Topology, Prentice-Hall, Engle- wood Cliffs, New Jersey. Hirsch M. W. [1976] Differential Topology, Graduate Texts in Math. 33, Sprin- ger-Verlag, Heidelberg. [Имеется перевод: Хирш М. Дифференциальная топология.—М.: Мир, 1979.] Kas A., Schlessinger M. [1972] On the versal deformation of a complex space with an isolated singularity. Math. Ann. 196, 23—29. Looijenga E. J. N. [1974] Structural Stability of Smooth Families oi C°°Func- tions. Thesis, Univ. of Amsterdam. Martinet J. [1982] Singularities of Smooth Functions and Maps, London Math. Soc. Lecture Notes 58, Cambridge University Press. MilnorJ.W. [1965] Topology from the Differential Viewpoint, The University Press of Virginia, Charlottesville. [Имеется перевод: Милнор Дж. Тополо- гия с дифференциальной точки зрения. — В кн.: Милнор Дж., Уоллес Дж. Дифференциальная топология.—М.: Мир, 1972.] Porteous I. R. [1971 ] The normal singularities of a submanifold, J. Diff. Geom. 5. 543—564. Poston Т., Stewart I. N. [1976] Taylor Expansions and Catastrophes, Research Notes in Math. 7, Pitman, London. Poston Т., Stewart I. N. [1978] Catastrophe Theory and its Applications, Sur- veys and Reference Works in Math. 2, Pitman, London. [Имеется перевод: Постои Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. — М.: Мир, 1980.] Poston Т., Woodcock A. E. R. [1974] A Geometrical Study of the Elementary Catastrophes, Lecture Notes in Math. 373, Springer-Verlag, Heidelberg. Saunders P. T. [1980] An Introduction to Catastrophe Theory, Cambridge University Press. Sommerville D. M. Y. [1924] Analitical Conies, G. Bell, London. Spivak M. [1965] Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, New York. [Имеется перевод: Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.1 Thorn R. [1975] Structural Stability and Morphogenesis, W. A. Benjamin, Reading, Massachusetts. Thorpe J. A. [1979] Elementary Topics in Differential Geometry, Springer- Veriag, Heidelberg. [Имеется перевод: Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии.—М.: Мир, 1982.] Wall С. Т. С. (ed.) [1971] Proceedings of Liverpool Singularities Sympo- sium I, Lecture Notes in Math. 192, Springer-Verlag, Heidelberg. Wall C. T. C. [1976] Geometric properties of generic differentiable manifolds, In: Geometry and Topology III, Lecture Notes in Math. 597, Springer- Verlag, Heidelberg, pp. 707—774. Willmore T. J. [19591 An Introduction to Differential Geometry, Oxford University Press. Zeeman E. C. [19771 Catastrophe Theory, Selected Paper 1972—77, Addison- Wesley, London. Zeitlin J. [1981] Nesting behavior of osculating circles and the Presnel Integ- rals, Math. Mag. 54, 76—80. Литература, добавленная при переводе Арнольд В. И. [1967]* О характеристических классах, входящих в условия квантования.—Функц. анализ, т. 1, № 1, с. 1—14. 250 Литература Арнольд В. И. [1974]* Математические методы классической механики. — М.: Наука. Арнольд В. И. [1983а]* Теория катастроф.—2-е изд.—М.: Изд-во МГУ. Арнольд В. И. [19836]* Особенности систем лучей. — УМН, т. 38, № 2, с. 77—147. Арнольд В. И. [1983в]* Особенности в вариационном исчислении. — Итоги науки. Современные проблемы математики (ВИНИТИ), т. 22, с. 3—55. Арнольд В. И. [1984]* Обыкновенные дифференциальные уравнения. —3-е изд. — М.: Наука. Арнольд В. И. [1986]* Особенности границ пространств дифференциальных уравнений. — УМН, т. 41, № 1, с. 152—154. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. [1982; 1984]* Особен- ности дифференцируемых отображений. — В двух томах. — М.: Наука, 1982 (т. 1), 1984 (т. 2). Бляшке В. [1957]* Введение в дифференциальную геометрию.—М.: Гос- техиздат. Варченко А. Н. [1972]* Теоремы топологической эквисингулярности семейств алгебраических многообразии и семейств полиномиальных отображений.— ИАН СССР, т. 36, № 5, с. 957—1019. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Э. [1981]* Наглядная геометрия. — М.: Наука. Давыдов А. А. [1985]* Нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности его особой точки. — Функц. анализ, т. 19, № 2, с. 1—10. Залгаллер В. А. [1975]* Теория огибающих. — М.: Наука. Зорич В. А. [1981]* Математический анализ.—М.: Наука. Маслов В. П. [1965]* Теория возмущений и асимптотические методы.—М.: изд-во МГУ. Рашевский П. К. [1967]* Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука. Шабат Б. В. [1975]* Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. Шафаревич И. Р. [1972]* Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука. Jaworski P. [1986]* Distribution of critical values of miniversal deformations of parabolic singularities. Invent. Math. 86: 1, 19—33. Mather J. [1968—1971]* Stability of C~-mappings. I—VI.—I: Ann. Math. 87(1968), 89—104; II: Ibid. 89(1969), 254—291; III: Publ. Math. IHES 35 (1968), 127—156; IV: ibid. 37 (1969), 223—248; V: Adv. Math. 4 (1970), 301—336; VI: Springer Lect. Notes in Math. 192 (1971), 207—253. [Имеются переводы всех шести статей: Мезер Дж. Устойчивость С~-отображений. I—VI. — I: в сб.: Особенности дифференцируемых отображений. —М.: Мир, 1968, с. 198—215; II: там же, с. 216—267; III: Математика, 1970, т. 14, № 1, с. 145—175; IV: УМН, 1973, т. 28, № 6, с. 169—190; V, VI: там же, 1974, т. 29, № 1, с. 99—158.] Thorn R. [1969]* Topological models in biology, Topology 8, 313—335. Whitney H. [1955]* The singularities of smooth n-manifolds into (2n—1)- space, Ann. Math. 62, 247—293. Указатель обозначений — Целью придумавших систему было, очевидно, скрыть, что в этих значках содержится какой-то смысл ... Пляшущие человечки Лц тип особенности 60, 236 В орт бинормали 52 !Я бифуркационное множество 135 Be прямое произведение кругов Dg 223 DH тип особенности 236 De круг в С 223 SD дискриминант 96 D/ производная от / 69 •Bjk тип особенности 236 /а функция квадрата расстояния 34 /h функция высоты 34 N орт нормали, главная нормаль 41 Si право- (эквивалентный) 57, 230 R" эвклидово пространство R+ {t^R :t>0\ R» касательное пространство к R" в точке о 83 Sp особое множество деформации F 135 Т касательный орт 41 Tf касательное отображение для / 84 V\ многочлены степени ^2 и -s^k 205 х кривизна 41 ф кручение 52 р радиус кривизны 45 •ф угол между касательной к рассматриваемой кривой и осью х 42 2 множество складки 106 х-у скалярное произведение векторов 29 || л: || длина вектора 29 хх у векторное произведение векторов 54 Ху вектор, закреплённый в точке о 83 М, касательное пространство к М в точке о 84, 186 Рц функция из семейства Р, отвечающая фикси- рованному значению параметра и 252 Указатель обозначений F (•, и} то же, что и Р f, f", f", /(0 первая, вторая, третья, ('-я производная от / / о g композиция отображений fug (сначала дей- ствует g) /:R,/o-*-R функция/, определённая вблизи точки - R, с то же, что и выше, причём / (/о) == с 58 /: R" >-»- RP функция, область определения которой — не- которое открытое множество в R" 75 х >—»• у f {х) = у (какое именно отображение / имеется в виду, ясно из контекста) ji трансверсально к 190 <С отношение между аналитическими функциями 223 Q конец (или отсутствие) доказательства Именной указатель' Арнольд В. И. 8, 9, 61, 123, 157, 160, 183, 235, 238, 241, 247, 248, 250 Артин (М. Artin) 235, 241 Барроу (I. Barrow) 5 Берри (М. Berry) 239 Бертини (Е. Bertini) 7 Бляшке (W. Blaschke) 177, 211, 250 Бохнак (J. Bochnack) 241 Брёкер (Th. Brocker) 58, 63, 75, 92, 126, 146, 159, 203, 219, 241, 247, 248 Брискорн (Е. Brieskorn) 235 Брус (J. W. Bruce) 6. 14, 170, 171, 178, 183, 248 Варченко А. Н. 8, 9, 160, 234, 241, 250 Васильев В. А. 8 Гиббс (J. Gibbs) 6 Гивенталь А. Б. 8 Гийемин (V. Guillemin) 160, 203, 242, 245, 247, 248, 249 Гильберт (D. Hilbert) 124, 250 Голубицкий (М. Qolubitsky) 160, 240, 242, 245, 247, 248, 249 Горюнов В. В. 8 Гурса (Е. Goursat) 110, 249 Гусейн-Заде С. М. 9, 160, 241, 250 Гюйгенс (Ch. Huygens) 5, 6 Давыдов А. А. 8, 123, 250 Джиблин (Р. J. Giblin) 6, 14, 170, 171, 178, 183, 248 Джусти (Е. Giusti) 8 Дэймон (J. N. Damon) 14 Дю Валь (Р. Du Val) 235 Закалюкин В. М. 8 Залгаллер В. А. 123, 250 Зиман (Е. С. Zeeman) 8, 15, 22, 122, 238, 247, 249 Зорич В. А. 39, 250 Казарян М. Э. 8 Кае (A. Kas) 13, 219, 249 Кёрби (D. Kirby) 235 Клейн (F. Klein) 235 Кокстер (H. S. М. Coxeter) 118, 248 Конан Дойль (A. Conan Doyle) 14, 68 Кон-Фоссен С. Э. 124, 250 Кронекер (L. Kronecker) 6 Кэли (A. Cayley) 6, 7 Ландер (L. Lander) 58, 63, 75, 92, 126, 146, 159, 219, 241, 247, 248 Ландис Е. Е. 8 Лейбниц (0. Leibniz) 5 Лопиталь (Q. F. A. Lhopital) 5, 6 Лоэйенга (Е. Looijenga) 8, 234, 235, 240. 249 Лоясевич (S. Lojasiewicz) 241 Мазер (=Мезер) (J. Mather) 8, 160, 241. 250 Маслов В. П. 8, 250 Милнор (J. W. Milnor) 81, 242, 247, 249 Морэн (В. Morin) 160 Ньютон (I. Newton) 5, 11 Платонова О. А. 8 Портьюс (I. R. Porteous) 22, 240, 249 Постон (Т. Poston) 15, 21, 122, 146, 185, 238, 247, 249 Пуанкаре (Н. Poincare) 7 Рашевский П. К. 55, 250 t Курсивом выделены номера страниц, относящиеся к списку литера- туры. — Прим. перев. 254 Именной указатель Сард (A. Sard) 68, 75, 81 Седых В. Д. 8 Спивак (М. Spivak) 70, 249 Стюарт (I. Stewart) 15, 21, 122, 146, 185, 238, 247, 249 Том (R. Thorn) 7, 8, 11, 160, 184, 194, 238—240, 249, 250 Topn (J. A. Thorpe) 55, 247, 249 Тюрина Г. Н. 235 Уитни (Н. Whitney) 7, 11, 75, 159, 160, 250 Уолл (С. Т. С. Wall) 14, 241, 249 Уоллес (A. Wallace) 249 Уотсон (Dr. Watson) 23, 105, 184, 219 Фаядал (D. L. Fidal) 121 Хесин Б. А. 7 Хирш (М. Нш-sch) 203, 249 Холмс (Sherlock Holmes) 14, 75, 93, 184, 238, 242, 247 Хэррисон (Н. Harrison) 14 Шабат Б. В. 225, 250 Шафаревич И. Р. 118, 250 Шлессинджер (М. Schlessinger) 13, 219, 249 Щербак И. Г. 8 Щербак О. П. 8 Эгнью (R. P. Agnew) 123, 248 Элиашберг Я. М. 123 Якоби (С. Jacobi) 7 Авторы, встречающиеся лишь в латинской транскрипции Ahlfors L. V. 225, 248 BanchoffT. 152, 241, 247, 248 DoCarmo M. 55, 211, 247, 248 Eisenhart L. P. 124, 248 Gaffney T. 152, 241, 247, 248 Gibson C. Q. 160, 170, 171, 178, 183, 241, 242, 247, 248 Janich K. 203, 248 Jaworski P. 235, 250 Martinet J. 160, 167, 247, 249 McCrory C. 152, 241, 247, 248 Pollack A. 203, 247, 249 Saunders P. T. 15, 249 Schaeffer D. 240, 249 Sommerville D. M. Y. 173, 249 Willmore T. J. 39, 249 Woodcock A. E. R. 146, 249 Zeitlin J. 102, 249 Предметный указатель — Что, растерялись, Уотсон? — Даже не знаю, что и подумать. — Полно, полно, решали мы за- дачи и посложнее. Во всяком случае, материала у нас в изобилии, надо только им воспользоваться. Монастырская школа Жирным шрифтом выделены ссылки на определения и формулировки теорем. Номера страниц, набранные курсивом, отсылают к рисункам, но не исклю- чено, что соответствующее слово или словосочетание встречается и в тексте на той же странице. / Адамара лемма (Hadamar's lemma) 58 — — двумерный вариант 60—61, 92 аналитическая функция (analytic function) 62 антиортотомика (antiorthotomic) 161, 161 астроида (astroid) 99, 99 бабочка (butterfly) 122, 146, 238 бинормаль (binormal) 52 бифуркаций теория (bifurcation theo- ry) 11 бифуркационное множество (~ set) 19 — — деформации 135, 136 — — простой особенности 257 буферная функция (bump function) 63, 64 вектор (vector) 28 — закреплённый (based ~) 28, 83 — касательный (tangent ~) 28, 29 векторное поле (~ field) на простран- ственной кривой 216 — произведение (~ product) 54 вектор-столбец (column ~) 84 версальности критерий (criterion for versality) 143 нереальны d.(versal) 129, 142 — деформация (— deformation) 142 вершина (vertex) 32, 33 — вырожденная (degenerate —) 32 — высшая (higher ~) 32 — простая (ordinary ~) 32 — эллипса (~ of ellipse) 25 ветвь (branch) 108 вещественно-аналитическая функция (real-analytic function) 62 видимый контур (apparent contour) 19, 23, 89, 90, 95, 97, 157, 180 - винтовая линия (helix) 27, 40 вложение (embedding) 72 вложенное подмногообразие (embed- ded submanifold) 72 возврата точка см. точка возврата возмущение (perturbation) 82, см. также шевеление волновой фронт (wavefront) 110 всюду открытое см. открытое — плотное см. плотное вырожденный минимум (degenerate minimum) 22 Гаусса отображение (Gauss map) 151, 236 гигантская крыса с Суматры (giant rat of Sumatra) 231, 232 гиперболическая омбилика (hyper- bolic umbilic) 237, 238 гиперплоскость (hyperplane) 30 главная нормаль (principal normal) 41 гладкий (smooth) / Курсивный шрифт окончания слова (например, гладкий) указывает на возможность изменения окончания при последующих подстановках этого слова вместо тире. В скобках приведены соответствующие английские термины; здесь при повторении слово заменяется волной. — Прим. изд. ред. 256 Предметный указатель — многообразие 185 — неаналитическая функция: при- мер 63 — отображение 69 —— многообразии 187 — функция 26, 68 график (graph) 188 двойственная кривая (dual curve) 114, 152—154 — множество (~ set) 155 — поверхность (~ surface) 155 деформация (unfolding) 125 — версальная (versal —) 142 — индуцированная (induced ~) 143 — миниверсальная (miniversal —) 130, 143 — п-версальная ((p)versal ~) 129 — п-индуцированная ((p)induced --—) 129 — универсальная (universal —) 125 — /--параметрическая (/--parame- ter~) 127 дискриминант (discriminant) — кубического многочлена 119—120 — семейства функций см. дискрими- нантное множество дискриминантное множество (discri- minant set или просто discrimi- nant) 19, 96 диффеоморфизм (diffeomorphism) 69 — интервала на интервал 37 — локальный (local ----) 70 дифференциал (differential) 69 длина вектора (length of vector) 29 — дуги (arc-length) 39 Дюпена циклиды (cyclides of Dupin) 124 замена параметра (change of parame- ter) 37 Зимина машина катастроф (Zeeman's catastrophe machine) 22 иммерсия (immersion) 73, 112, 196 инверсия относительно единичной ок- ружности (inversion in the unit circle) 116 интегральная кривая (solution curve) 179, 180 карта (chart) 243 касание (contact) — не менее чем й-точечное (at least k-pomt ~) 31 — поверхности с плоскостью 237 — й-кратное (k-Md —) 31 — ft-точечное (й-point —) 24, 31, 32 касательная (tangent line) 28, 29 — вектор (— vector.) 28, 29, 84, 84 — — единичный (unit — vector) 29 — — к R" 83 — орт (unit ~ vector) 29 — отображение (~ map) 84, 187 — плоскость (~ plane) 85 — — к кривой 154 — — — — ориентированная 154 — пространство (~ space) — — к гладкому многообразию 186 — — к параметризованному много- образию 84, 85 — — к R" 83 — развёртка (~ developable) 74, 118, 119, 163 — — винтовой линии 163 — расслоение (~ bundle) 203 катастроф машина (catastrophe ma- chine) 15 — поверхность (~ surface) 16, 18, 21 — теория (~ theory) 11, 238 катастрофа (catastrophe) 21 — элементарная (elementary ~) 238 каустика (caustic) 23, 110 — при отражении (— by reflexion) 23, 93, 116, 117, 170, 172, 175 качалка (gravitational catastrophe machine) 15 квартика (quartic) — приведённая (reduced —) 120, 122 квинтика (quintic) — приведённая (reduced —) 122 класса С°° (С°°) 68 Клеро уравнение (Clairaut equation) 123 клюв (rhamphoid cusp) 44, 141 контур см. видимый контур коразмерность (codimension) 72, 185 Коши неравенства (Cauchy's inequa- lities) 224 кратность пересечения 31 кривая (curve) 26 — единичной скорости (unit speed ~) 29 — кубическая (cubic ~) 17 — параметризованная (parametri- zed ~) 26 — — длиной дуги 39 — плоская (plane —) 34 — пространственная (space ~) 52 — регулярная (regular —) 26, 205 кривизна (curvature) 41, 52 Предметный указатель 257 критическое значение (critical va- lue) 75 — — отображения проектирования 106 — точка (— point) 75 кручение (torsion) 52 куб (cube) 242 кубика (cubic) см. кубическая кри- вая — приведённая (reduced -—•) 119, 120 кубическая кривая (cubic curve) 17 — — скрученная (twisted ~ ~) 27 ласточкин хвост (swallowtail или do- vetail; франц. queue d'aronde) 121, 121, 238 Лежандра преобразование (Legendre transformation) 179 — формула (Legendre's formula) 110 линия складки (fold curve) 96 — уровня (level curve) 76 натуральный параметр 39 не-п- ... (non-(p) ...) 129 неустойчивое свойство (unstable pro- perty) 214 нормаль (normal line или просто nor- mal) 41, 42 — главная (principal normal) 41 нормальный (normal) — вектор (~ vector) 41, 89 — плоскость (~ plane) 52, 154 — пространство (~ space) 89 — расслоение (~ bundle) 148, 150 — — сферическое (unit ~ bundle) 151 — форма (~ form) — — деформации 127 — — Монжа (Monge ~ form) 206 — — отображения плоскости на пло- скость 159 ——— R"-^R" 160 — — простых особенностей 236 — — функции одной переменной 58, 59 мальгранжа подготовительная тео- рема (Malgrange preparation theo- rem) 126, 219 машина катастроф (catastrophe machi- ne) 15 — — Зимана 22 миниверсальность (miniversality) 130, 143 минимум вырожденный (degenerate minimum) 22 многообразие (manifold) — гладкое п-мерное (smooth n-rnani- fold) 185 — одномерное (1-manifold) 71 — параметризованное п-мерное (pa- rametrized n-manifold) 72 множество меры нуль (null set) 81, 242, 243 — симметрии (symmetry set) 166, 166, 169 — складки (fold set) 106 модуль (modulus) 8, 232 Монжа нормальная форма (Monge normal form) 206 Монжа—Тейлора отображение (Mon- ge—Tay lor map) 205, 208, 207 — — — для окружности 207 — — — для пространственной кри- вой 216 — — — для улитки 204 — — — для эллипса 208 Морэна особенности (Morin singula- rities) 160 общего положения (generic) — — кривая (~ curve) 213 — — свойство (~ property) 213 овал (oval) 104 — кубический (cubic ~) 113 огибающая (envelope) 19, 91, 93, 94, 95, 96, 101, 103 — касательных 162 — нормалей 19, 20, 110, 155 — нормальных плоскостей 163 — соприкасающихся окружностей 100 однородные координаты (homogene- ous coordinates) 118 ОДУ (ODE, ordinary differential equation) 122 окружность кривизны (circle of cur- vature) 35, 45 омбилика (umbilic) 237 — гиперболическая (hyperbolic —) 237, 238 — параболическая (parabolic ~) 238 — эллиптическая (elliptic ~) 237, 238 омбилическая точка (umbilic point) 237 определённая функция см. fe-опреде- ленная функция определённость (determinacy) 241 орт (unit vector) 258 Предметный указатель — бинормали (binormal vector) 52 — касательный (tangent unit vec- tor) 29 — нормали (unit normal) 41, 42 ортотомика (orthotomic) 114, 115, 153, 160 — из бесконечности (— from infi- nity) 124 ортотомическая кривая см. ортото- мика особенностей теория (singularity theory) 11 особенность (singularity) — типа Л (Л singularity) 60, 64, 236 — типа D (D singularity) 236, 238, 239 — типа Е (Е singularity) 236 особое множество (singular set) де- формации 135 — решение (~ solution) 123, 179 остриё (cusp point или просто cusp) 22, 44 открытое множество (open set) кри- вых 213 — свойство (~ property) 201, 213 п- ... ((р) ...) 129 парабола (parabola) — безопасности (~ of safety) 93, 100 — полукубическая (cuspidal cubic) 19, 140 параболическая омбилика (parabolic umbilic) 238 параллель (parallel) 49, 50, 112, 113. 156 параметр (parameter) 26 параметризация (parametrization) 19 — многообразия 72 — регулярная (regular —-•) 19 п-версальности критерий (criterion for (р) versality) 132 педаль (pedal) 48, 48, 114, 153 — улитки 49 педальные координаты (pedal coordi- nates) 176, 177 — кривая (~ curve) см. педаль — поверхность (~ surface) 236 перегиб (inflexion) 32 — вырожденный (degenerate —) 32 — высший (higher ~) 32 — простой (ordinary ~) 32 перегиба точка (inflexion) 32, 33 переменная состояния (state variable) 239 — управляющая (control —) 239 перепараметризация (reparametriza- tion) 36, 38 плоская кривая (plane curve) 34 — функция (flat function) 56, 63 плотное множество (dense set) кри- вых 212 — свойство (~ property) 201, 212 поверхность (surface) 72 — катастроф (catastrophe ~) 16, 18, 21 полукубическая парабола (cuspidal cubic) 19 полярная прямая (polar line) 162 порядок касания (order of contact) 31 потенциал (potential) 129 почти все (almost all) 82, 126, 133, 147, 199 правая эквивалентность (right-equi- valence) 56, 57, 230 правоориентированная (right-han- ded) тройка векторов 52 правоэквивалентные (right-equiva- lent) функции 56, 57, 230 приведение (reduction) деформации к нормальной форме 127—128 принцип максимума (maximum mo- dulus principle) 225 проективная плоскость (projective plane) 117 производная (derivative) 69 пространство управления (control space) 16, 21 простые особенности (simple singulari- ties) 233, 235 радиус кривизны (radius of curvatu- re) 45 размерность (dimension) 72, 185 ребро' возврата Jcuspidal edge) 140 — — на ласточкином хвосте 121 регрессия (regression) 109 регулярный (regular) — значение (~ value) 75, 79, 188 — кривая (~ curve) 26, 205 — точка (~ point) 75, 109 — — огибающей 109 росток (germ) 58 Сарда теорема (Sard's theorem) 75, 81, 188, 244 сборка (cusp) 158, 138, см. также точка сборки семейство (family) — окружностей 94 — плоских кривых 91 — функций 95 Предметный указатель 259 Серре—Френе формулы (Serret—Fre- net formulae) 43 — — — для кривых единичной ско- рости 52 скалярное произведение (scalar pro- duct или dot product) 29 складка (fold) 17, 18, 70, 139, 158, 238, см. также линия складки, множество складки, точка складки складывающее отображение см. складка скорости вектор (velocity vector) 26 скорость кривой (speed of curve) 29 соответствует (correspond) 96, 135 соприкасающаяся (osculating) — окружность (~ circle) 25, 35, 45, 102 — плоскость (~ plane) 52, 151 — сфера (~ sphere) 53, 237 струя (jet) 64 — кривой (~ of curve) 65 — со свободным членом (~ with constant) 64 субмерсия (submersion) 75 сфера (sphere) 30 — кривизны (~ of curvature) 53, 237 трансверсальность (transversality) 184, 193 — многообразия к многообразию 192 — отображения к многообразию 190 Тайлора ряд (Taylor series) 64 — теорема (Т ay lor's theorem) 61 узор на пяльцах (embroidery) 99, 162 Уитни зонтик (Whitney's umbrel- la) 80 — теорема (~ theorem) 75 улитка (limacon) 35, 35 универсальная стратифицированная эквивалентность (universal strati- fied equivalence) 234 управления пространство (control space) 16, 21 управляющая переменная (~ va- riable) 239 уровня линия (level curve) 76 — множество (~ set) 230 устойчивое свойство (stable proper- ty) 214 теория бифуркаций (bifurcation theo- ry) 11 — катастроф (catastrophe ~) 11 — особенностей (singularity ~) 11 теорема о неявной функции (impli- cit function theorem) 77 — о четырёх вершинах (four ver- tex ~) 211 — об обратной функции (inverse function ~) 70 — — — — для многообразии 189 тип особенности (type of singularity) см. особенность типа A, D, E ТК 238 Тома лемма о трансверсальности (Thorn's transversality lemma) 82 194 тор (torus) 74, 86 — плоский (flat —) 74 точка возврата (cusp) 27, 140, 141 — — высшая (higher ~) 178 — — простая (ordinary —) 44, 141 — перегиба (inflexion) 32, 33 — регрессии (point of regression) 109 — сборки (cusp point) 157 — складки (fold point) 157 — — простая (ordinary ~ ~) 157 траектория (trace) кривой 26 Ферма принцип (Fermat's principle) 238 фокальное множество (focal set) 237 фокусоид (focoid) 178 функция (function) — высоты (height ~) 34 — — на плоской кривой 47, 152 — — на пространственной кривой 151 — — — — — единичной скорости 53 — гладкая (smooth ~) 26, 68 — квадрата расстояния (distance- squared ~) 34 — — — на плоской кривой 45, 148 — — — на пространственной кри- вой 150 — — — — — — единичной скоро- сти 53 — — — на эллипсе 25 — класса С" (С°° ~) 68 центр кривизны (centre of curvature) 45, 111 — сферической кривизны (— of sphe- rical curvature) 53, 150 цепное правило (chain rule) 86, 188 циклида Дюпена (cyclide of Dupin) 124 циклоида (cycloid) 23, 40 260 Предметный указатель Чирнгауэена преобразование (Tschirn- hausen's transformation) 119 шевеление (как процесс perturbing, как результат perturbation) — деформации 144—145 — функции 125 эволюта (evolute) 19, 49, 50, 111, 148, 149, 155 — параболы 20, 50 — эллипса 25 Эйлера ломаная (Euler curve) 178 — неустойчивость, «прощёлкивание» (~ buckling) 240 эллиптическая омбилика (elliptic urn- bilic) 237, 238 Якоби матрица (Jacobian matrix) 69 якобиан (Jacobian) 70 якобиев идеал (Jacobian ideal) 62 С"1'-функция (С" function) 68 А-достаточная функция (й-sufficient function) 60 fe-кратное касание (A-fold contact) 31 й-листное проектирование (й-sheeted projection) 160 ^-определённая функция (k-determi- ned function) 60, 241 fe-параметрическая деформация (ft-pa- rameter unfolding) 127 ft-струя (ft-jet) 64 — кривой (~ of curve) 65 — со свободным членом (— with constant) 64 й-точечное касание (fe-point contact) 24, 31, 47 Ж-эквивалентность (Я-equivalence) 57, 230 ^•••-эквивалентность (^-equivalence) 56 Оглавление От редактора перевода ..................... 5 Предисловие .......................... 13 1. Вводный пример: машина катастроф «качалка» ........ 15 2. Кривые и функции на них................... 23 Параметризованные кривые ................... 26 Касательные векторы ..................... 28 Касание .......................... 30 Перепараметризация ..................... 36 Кривизна .......................... 40 Функции на плоских кривых ................ 44 Пространственные кривые .................. 52 3. Ещё о функциях ....................... 56 Правая эквивалентность ................... 57 Плоские функции ...................... 62 Струи ........................... 64 4. Регулярные значения и гладкие многообразия ......... 68 Гладкие отображения и параметризованные многообразия ... 69 Регулярные значения .................... 74 Касательные пространства .................. 82 5. Огибающие .......................... 93 Семейства и огибающие ................... 94 Другие определения огибающей ................ 101 Локальная структура огибающих .............. 105 Примеры огибающих .................... 110 Огибающие и дифференциальные уравнения......... 122 6. Деформации ......................... 125 Деформации и п-версальные деформации ........... 126 Точки возврата ....................... 141 Нереальные деформации ................... 142 7. Деформации: приложения ................... 147 Функции квадрата расстояния и высоты ........... 148 Огибающие ......................... 155 Некоторые другие локальные картинки ........... 164 Множества симметрии .................... 165 262 Оглавление Каустики при отражениях .................. 170 Двойственные кривые и дифференциальные уравнения ..... 178 8. Трансверсальность ...................... 184 Гладкие многообразия .................... 185 Трансверсальность ...................... 190 Лемма трансверсальности Тома ............... 194 Алгебраические поверхности и ещё о видимых контурах . . . 198 Открытые и плотные свойства ................ 201 0. Свойства кривых общего положения .............. 204 Отображение Монжа—Тэйлора ................ 205 Теорема трансверсальности для пространственных кривых . . . 215 10. Ещё о деформациях ..................... 219 Нахождение искомых степенных рядов ............ 220 Доказательство сходимости ................. 222 11. Поверхности, простые особенности и катастрофы ...... 230 Функции двух переменных .................. 230 Простые особенности .................... 235 Катастрофы ......................... 238 Добавление. Множества меры нуль и теорема Сарда ....... 242 Что читать дальше ....................... 247 Литература ........................... 248 Указатель обозначений ..................... 251 Именной указатель ................. ...... 253 Предметный указатель ...................... 255 Уважаемый читатель! Ваши замечания о содержании книги, ее офор- млении, качестве перевода и другие просим присы- лать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Риж- ский пер., д. 2, издательство «Мир». Научное издание Дж. Уильям Брус, Питер Дж. Джиблин КРИВЫЕ И ОСОБЕННОСТИ Геометрическое введение в теорию особенностей Заведующий редакцией доктор физ.-мат. наук профессор |Б. В.Шабат| Зам. зав. редакцией А. С. Попов Ст. научн. редактор В. И. Авербух Мл. научн. редактор Л. А. Королёва Художник | А. В. Шипов | Художественный редактор В. И. Шаповалов Технический редактор И. П. Гаврилина Корректор М. А. Смирнов ИБ № 6173 Сдано в набор 27.07.87. Подписано к печати 14.03.88. Формат бОХЭСГ/ц. Бумага кн.-журн. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 8,25 бум. л. Усл. печ. л. 16,50. Усл. кр.-отт. 16,76. Уч.-изд. л. 16,56. Изд. № 1/5141. Тираж 14000 экз. Зак. 267. Цена 1 р. 20 к. Издательство «МИР» 129820, ГСП. Москва. И-110, 1-й Рижский пер., 2. Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 193144, г. Ленинград, ул. Монсеенко, 10.