Е.М.ЧЕТЫРКИН МЕТОДЫ ФИНАНСОВЫХ И КОММЕРЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ Издание второе, исправленное и дополненное Академия народного хозяйства при Правительстве Российской Федерации Москва • ДЕЛО Лтд« 1995 ББК 65.03 Ч 54 Четыркин Е.М. Ч 54 Методы финансовых и коммерческих расче- тов. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: "Дело Лтд", 1995. - 320 с. ISBN 5-86461-187-5 Книга содержит систематизированное изложение методов ко- личественного анализа, необходимого для осуществления широ- кого спектра разнообразных расчетов, с которыми сталкиваются банкиры, финансисты-аналитики, бухгалтеры и экономисты в банках, финансовых отделах производственных и коммерческих организаций, в инвестиционных подразделениях страховых учре- ждений и пенсионных фондов и т.п. В первых двух разделах рас- сматриваются методы начисления процентов и дисконтирования разовых выплат и потоков платежей в различных условиях, кото- рые могут предусматривать контракты. Третий раздел охватывает методы, применяемые при разработке планов погашения задол- женности, оценке ценных бумаг, анализе портфеля векселей, сравнении коммерческих контрактов и инвестиционных проек- тов. Каждый из методов расчета иллюстрируется примерами. Книга предназначена коммерческим и финансовым специа- листам различного уровня — от менеджеров, принимающих стра- тегические решения и оценивающих их последствия, до рядовых сотрудников. Ч 0605010204-061 4М4(03)-95 Без объявл. ББК 65.03 ISBN 5-86461-187-5 © Е.М. Четыркин, 1995 © Издательство "Дело Лтд", оформление, 1995 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ............................................... .7 Раздел 1. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ......................... .11 Глава 1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ .................................. .11 1.1. Время как фактор в финансовых расчетах .................... .11 1.2. Проценты, виды процентных ставок ........................ .12 1.3. Наращение по простой процентной ставке ................... .14 1.4. Погашение задолженности частями ........................ .19 1.5. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите ...... .23 1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке ................................. .24 1.7. Ставка наращения и учетная ставка. Прямые и обратные задачи ... .27 1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки ........ .28 1.9. Конверсия валюты и наращение процентов .................. .30 Глава 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ ................................. .36 2.1. Начисление сложных годовых процентов .................... .36 2.2. Рост по сложным и простым процентам ..................... .40 2.3. Наращение процентов т раз в году; номинальная и эффективная ставки ............................................. .42 2.4. Дисконтирование по сложной ставке процента ................ .44 2.5. Операции со сложной учетной ставкой ...................... .46 2.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок ........ .48 2.7. Непрерывное наращение и дисконтирование — непрерывные проценты ........................................... .49 2.8. Определение срока платежа и процентных ставок .............. .52 2.9. Кривые доходности .................................... .54 3 2.10. Конверсия валюты и наращение сложных процентов ........... .57 2.11. Наращение процентов, налоги и инфляция (простые и сложные проценты) .......................................... .59 Глава 3. КОНВЕРСИЯ ПЛАТЕЖЕЙ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК .............................................. .67 3.1. Финансовая эквивалентность обязательств ................... .67 3.2. Консолидирование задолженности ......................... .69 3.3. Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей .............................................74 3.4. Эквивалентность процентных ставок ....................... .76 3.5. Средние процентные ставки .............................. .81 Раздел 2. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ ............................... .84 Глава 4. ПОСТОЯННЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ ..................... .84 4.1. Виды потоков платежей и их основные параметры ............. .84 4.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо ........... .88 4.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо ....... .94 4.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо ........ .99 4.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент ..................................... .106 4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей ........... 110 4.7. Постоянная непрерывная рента .......................... .112 Глава 5. ПЕРЕМЕННЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ ...................... .119 5.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей ......... .119 5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей ....... .124 5.3. Непрерывные переменные потоки платежей ................. .127 5.4. Конверсии постоянных аннуитетов ........................ .130 5.5. Изменения параметров ренты ............................ .134 Раздел 3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОЛИЧЕСТВЕННОГО ФИНАНСОВОГО АНАЛИЗА .......................... .139 Глава 6. СТРАХОВЫЕ АННУИТЕТЫ .............................. .139 6.1. Финансовые ренты в страховании ......................... .139 6.2. Страхование жизни ................................... .144 6.3. Пенсионное страхование ................................147 6.4. Расчеты тарифов и размеров пенсий ....................... .152 6.5. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий .............. .156 4 Глава 7. ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГОСРОЧНОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТИ .................................... .159 7.1. Расходы по обслуживанию долга ......................... .159 7.2. Планирование погасительного фонда ...................... .160 7.3. Погашение долга в рассрочку ............................ .166 7.4. Льготные займы и кредиты ............................. .173 7.5. Реструктурирование займа ............................... .178 Глава 8. ИПОТЕЧНЫЕ ССУДЫ. ПОГАШЕНИЕ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО КРЕДИТА ............................................ .180 8.1. Виды ипотечных ссуд .................................. .180 8.2. Расчеты по стандартным ипотечным ссудам ................. .182 8.3. Нестандартные ипотеки ................................ .186 8.4. Погашение потребительского кредита ...................... .190 Глава 9. АНАЛИЗ КРЕДИТНЫХ ОПЕРАЦИЙ ....................... .194 9.1. Полная доходность ................................... .194 9.2. Баланс финансово-кредитной операции .................... .196 9.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных ....................................... .198 9.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов ......... .202 9.5. Доходность потребительского кредита ...................... .208 9.6. Долгосрочные ссуды .................................. .210 9.7. Сравнение коммерческих контрактов ...................... .213 9.8. Определение предельных значений параметров контрактов ...... .226 Глава 10. ФОРФЕЙТНАЯ ОПЕРАЦИЯ ............................. .229 10.1. Сущность операции а форфэ ........................... .229 10.2. Анализ позиции продавца .............................. .230 10.3. Анализ позиций покупателя и банка ...................... .239 Глава 11. ОБЛИГАЦИИ ........................................ .246 11.1. Виды облигаций и их рейтинг ........................... .246 11.2. Измерение доходности облигаций ........................ .250 11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций . . .257 11.4. Характеристики поступления средств от облигации и измерение риска ............................................. .260 11.5. Оценка займов и облигаций ............................ .265 11.6. Возмещение премии и накопление дисконта облигаций ........ .269 11.7. Портфель облигаций ................................. .271 11.8. Изменение структуры портфеля облигаций. Метод "бабочки" .... .275 5 Глава 12. ИЗМЕРЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ ....... . .279 12.1. Инвестиционный процесс как объект количественного финансового анализа ............................. . .279 12.2. Чистый приведенный доход ............................ .282 12.3. Основные измерители эффективности капиталовложений ....... .287 12.4. Измерение эффективности сложных систем. Моделирование инвестиционного процесса ............................. .299 12.5. Аренда оборудования ............................. . .302 ПРИЛОЖЕНИЕ. Таблицы для финансовых расчетов ............... . . .307 ПРЕДИСЛОВИЕ При подготовке второго издания структура книги в основном со- хранена. В связи с тем значением, которое имеют в настоящее вре- мя страховые расчеты и ипотечные операции, соответствующий ма- териал существенно расширен и выделен в самостоятельные главы. Расширено содержание и ряда глав за счет включения материала, посвященного актуальным проблемам — оценке эффективности конверсионных операций, измерению доходности ссудных опера- ций с учетом налогообложения, методу изменения структуры порт- феля облигаций и др. Устранены замеченные опечатки и погрешно- сти, допущенные в первом издании. Любая финансовая, кредитная или коммерческая операция предполагает совокупность согласованных ее участниками условий, а именно: сумму кредита (займа, инвестиций), цену товара, сроки, способы начисления процентов и погашения основного долга и т.д. Множественность влияющих в каждом случае факторов приводит к тому, что их совместный результат часто неочевиден (кроме, разу- меется, простейших ситуаций). Необходим количественный анализ, часто выходящий за рамки элементарных расчетов. Совокупность методов расчетов, объединяемых под общим названием финансо- вые и коммерческие расчеты, финансовая математика, высшие фи- нансовые вычисления, и является предметом этой книги. Количественный финансовый анализ — одно из самых динамич- ных направлений экономической науки — сформировался на сты- ке финансовой науки и математики. Он нацелен на решение широ- кого круга задач — от элементарного начисления процентов до ана- лиза сложных инвестиционных, кредитных и коммерческих проб- лем в различных их постановках, зависящих от конкретных усло- вий. К ним, в частности, можно отнести: • измерение конечных финансовых результатов операции для ка- ждой из участвующих в ней сторон; • выявление зависимости конечных результатов от основных пара- метров операции или сделки, измерение взаимосвязи этих пара- метров, определение их допустимых граничных значений; • разработку планов, в том числе оптимальных, выполнения фи- нансовых операций; • нахождение параметров эквивалентного (безубыточного) изме- нения условий сделки. Настоящая книга содержит систематизированное изложение ос- новных понятий и методов количественного анализа финансовых операций. Монография состоит из трех разделов. В первом рассма- триваются основные понятия, которыми оперируют в финансовых вычислениях, — процент, ставка процентов, учетная ставка, совре- менная (приведенная) величина платежа и т.д. Соответствующие показатели обязательно присутствуют в любой финансовой опера- ции. В разделе охарактеризованы как принципы, лежащие в основе различных операций, связанных с наращением или дисконтирова- нием платежей, так и современная практика расчетов (например, методы, применяемые центральными и коммерческими банками при начислении процентов, различные методы учета). Большое внимание уделено принципу финансовой эквивалентности плате- жей, который позволяет применить количественный анализ при пе- ресмотре условий финансовых соглашений (удлинении или умень- шении срока кредита, изменении сроков платежей, консолидации обязательств и т.д.). Второй раздел охватывает вопросы, относящиеся к количественно- му анализу последовательностей (потоков) платежей, в частности — финансовых рент (аннуитетов). С потоками платежей в практике встречаются всякий раз, когда по условиям соглашения платежи рас- пределены во времени или имеется некоторый упорядоченный поток денежных поступлений. Без знания количественных соотношений между показателями, характеризующими потоки платежей, нельзя понять механизм любой долгосрочной финансовой и коммерческой операции. В разделе показаны методы расчетов, разработанных при- менительно к различным видам финансовых рент (равномерных, с изменением членов рент, с различными способами начисления про- центов и т.д.). Такие расчеты дают возможность определить обобща- ющие характеристики рент (наращенная сумма, современная величи- на) и отдельные их параметры. Материал первых двух разделов имеет общий характер и может быть применен в расчетах, связанных с любыми видами финансо- вых операций, в том числе и при подготовке контрактов. Назначение третьего раздела — снабдить читателя методикой финансово-экономических расчетов, выполняемых при решении конкретных проблем: разработке планов погашения долгосрочной задолженности, анализе и сравнении условий контрактов, нако- нец, измерении эффективности различных финансово-кредитных и коммерческих операций. Каждая из упомянутых проблем рас- сматривается для ряда вариантов постановки соответствующих за- дач. Книга в основном содержит традиционные методы финансово- экономических расчетов (некоторые из них у нас, к сожалению, за- быты). Вместе с тем в нее включены и новые методы, появившие- ся за рубежом. Заметное место занимает анализ соотношений меж- ду различными финансовыми характеристиками. Хотя книга имеет главным образом практическое назначение, для лучшего раскрытия содержания формул и для того, чтобы читатель смог самостоятель- но получить варианты для условий, не рассмотренных в работе, приводятся краткие доказательства. Книга содержит большое число примеров, что позволит читате- лю овладеть соответствующими навыками. В ряде случаев они име- ют самостоятельную познавательную ценность. В Приложении приводятся таблицы наиболее часто встречаю- щихся в расчетах коэффициентов. Все они представляют собой зна- чения функций от числа лет и уровня процентной ставки. В книге внимание в основном уделяется, так сказать, техниче- ской стороне финансовых вычислений, выводу формул и показу методики их применения при определении тех или иных финансо- вых характеристик. Об области приложения этих методов можно получить представление из примеров третьего раздела. Следует, од- нако, подчеркнуть, что сфера применения данных методов сущест- венно шире, чем это может показаться, если исходить из приведен- ных конкретных примеров. Необходимость в финансовых вычислениях того типа, который рассмотрен в книге, возникает всякий раз, когда сделка включает три основных элемента — размер платежа, срок (время) и ставку процентов. Все три элемента равноправны в рамках той или иной финансовой задачи, все они требуют одинакового внимания при анализе каждой сделки, и пренебрежение даже одним из них мо- жет привести к нежелательным финансовым последствиям. Изме- нение его значения неминуемо ведет к изменению финансовых отношений сторон, принося выгоды одной из них и убытки дру- гой. Рассмотренные в книге методы расчетов, естественно, не смогли охватить все случаи, с которыми может столкнуться в своей повсе- дневной жизни финансист. Финансовая практика многообразна и непрерывно меняется. Сделки могут предусматривать различного 9 рода ограничения, особые обстоятельства, конкретные правила производства платежей, условия начисления процентов и т.д. Соб- ственно, автор и не ставил перед собой задачу исчерпывающим об- разом охватить все возможные случаи. Цель работы более скромная — познакомить читателя с одним из направлений финансового ко- личественного анализа, с применяемым в данной области матема- тическим аппаратом, показать важность строгого аналитического подхода к решению соответствующих проблем, наконец, пробудить интерес к постановке и решению практических задач. Автор наде- ется, что методический материал, приведенный в книге, позволит читателю самостоятельно решать целый ряд нерассмотренных за- дач. Раздел 1 Начисление процентов Глаба Г. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ 1.1. Время как фактор в финансовых расчетах В практических финансовых операциях суммы денег вне зависи- мости от их назначения или происхождения так или иначе, но обя- зательно связываются с конкретными моментами или периодами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже боль- шую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета вре- менного фактора вытекает из сущности финансирования и креди- тования и выражается в принципе неравноценности денег, относящих- ся к разным моментам времени (time-value of money). Очевидно, что 1000 руб., полученные через пять лет, не равноценны этой же сум- ме, поступившей сегодня, даже если не принимать во внимание ин- фляцию и риск их неполучения. Здесь, вероятно, вполне уместен известный афоризм: "Время — деньги". Отмеченная неравноценность двух одинаковых по абсолютной величине сумм связана прежде всего с тем, что имеющиеся сегодня деньги теоретически могут быть инвестированы и принести доход в будущем. Полученный доход, в свою очередь, может быть реинве- стирован и т.д. Если сегодняшние деньги, в силу сказанного, цен- нее будущих (в том смысле, о котором шла речь), то соответствен- но будущие поступления менее ценны, чем современные. Приведем пример. В газетах сообщалось, что американская ком- пания "Юнион карбайд", на химическом заводе которой в Индии произошла крупная авария, первоначально предложила в качестве компенсации выплатить пострадавшим 200 млн. долл. в течение 35 лет (предложение было отклонено). Воспользуемся этими данными 11 для демонстрации влияния фактора времени и определим сумму де- нег, которую необходимо положить в банк, скажем, под 10% годо- вых для того, чтобы полностью обеспечить последовательную вы- плату 200 млн. долл. Оказывается, для этого достаточно выделить 57,6 млн. долл. Иначе говоря, 57,6 млн. долл., выплаченных сегод- ня, равнозначны 200 млн. долл., погашаемым ежемесячно в равных долях на протяжении 35 лет. Влияние фактора времени многократно усиливается, как мы знаем из собственного житейского опыта, в период инфляции. Этот фактор, увы, часто является инструментом явного или скрытого мо- шенничества и недобросовестности. Достаточно в связи с этим упо- мянуть о частых случаях умышленной задержки выплат или о ситу- ациях, когда "продавец" получал деньги в качестве предоплаты за товар, который он и не собирался поставить. Обесцененные деньги через некоторый срок возвращались покупателю. Очевидным следствием принципа временной неравноценности денег является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, в финансовом и, более широко, в экономическом анализе, особенно при принятии реше- ний финансового порядка. Однако такое суммирование вполне до- пустимо там, где фактор времени не имеет принципиального значе- ния. Например, в бухгалтерском учете для получения итогов по пе- риодам и в финансовом контроле, но, повторяем, не при принятии решений долгосрочного характера. Как будет показано, каждый из методов вычислений, рассмот- ренных в книге, обязательно учитывает в качестве одного из важ- нейших условий время. Учет этого фактора, как известно, осущест- вляется с помощью начисления процентов или дисконтирования. 1.2. Проценты, виды процентных ставок Проценты. Под процентными деньгами, или, кратко, процентами (interest), понимают абсолютную величину дохода от предоставле- ния денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, по- купка сберегательного сертификата или облигации и т.д. Какой бы вид или происхождение не имели проценты, это всегда конкретное проявление такой экономической категории, как ссудный процент. Практика получения процентов за выданные в долг деньги сущест- вовала задолго до нашей эры. Например, в Древней Греции взима- ли от 10 до 36% суммы долга в год. По "Русской Правде" годовой рост на занятый капитал определялся в 40%'. ' Краткие сведения об истории выплат процентов в России и Европе см: Мале- шевский Б.Ф. Теория и практика пенсионных касс. T.I. Теория долгосрочных фи- нансовых операций. Спб., 1890. 12 В современных условиях проценты — один из важнейших эле- ментов коммерческих, кредитных и инвестиционных контрактов, межстрановых экономических и финансовых соглашений. При заключении финансового или кредитного соглашения сто- роны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки. Под процентной ставкой (rate of interest) понимается отно- сительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т.е. отношение дохода (процентных денег) к сумме долга за единицу времени. Процентная ставка измеряется в процентах и в виде деся- тичной или натуральной дроби. В последнем случае она фиксиру- ется в контрактах с точностью до 1/16 или 1/32. Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве последнего принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Проценты согласно договоренности между кредитором и заем- щиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяют- ся к основной сумме долга (капитализация процентов). Процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов на- зывают наращением, или ростом, этой суммы. Размер процентной ставки зависит от ряда как объективных, так и субъективных факторов, а именно: общего состояния экономики, в том числе денежно-кредитного рынка, кратковременных и долго- срочных ожиданий его динамики, вида сделки, ее валюты, срока кредита, особенностей заемщика и кредитора, истории их предыду- щих отношений и т. д. В финансовом анализе процентная ставка применяется не толь- ко как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле — как измеритель степени доходности (эффективности) лю- бой финансовой, кредитной или коммерческо-хозяйственной дея- тельности независимо от того, имел место или нет факт выдачи де- нег в долг и процесс наращения этой суммы. Виды процентных ставок. Существуют различные способы начисле- ния процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют разные виды процентных ставок. Можно выделить ряд признаков, по которым различаются процентные ставки. Проценты различаются по базе для их начисления. Применяет- ся постоянная или последовательно изменяющаяся база для расче- та. В последнем случае за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения, или дисконтирования, иначе говоря, проценты начисляются на проценты. При постоянной базе исполь- зуют простые, при переменной — сложные процентные ставки. Важным также является выбор принципа расчетов процентов. Су- ществует два таких принципа — наращение на сумму долга и скидка с конечной суммы задолженности. Соответственно применяют став- 13 ки наращения (interest base rate) и учетные ставки (discount base rate). В специальной финансовой литературе проценты, полученные по ставке наращения, иногда называют декурсивными, по учетной став- ке — антисипативными. (В России этим понятиям соответствовали проценты "на 100" и "со 100".) Далее декурсивные проценты в боль- шинстве случаев будем называть просто процентами. Процентные ставки могут быть фиксированными (в контракте указывается их размер) или "плавающими" (floating). В последнем случае фиксируется не сама ставка, а изменяющаяся во времени ба- за ("базовая ставка") и размер надбавки к ней — маржи. Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (London interbank offered rate). В России для тех же целей применяются базовые ставки по рублевым кредитам МИБОР. Раз- мер маржи определяется рядом условий, в частности финансовым положением заемщика, сроком кредита и т.д. Размер маржи может быть постоянным на протяжении срока ссудной операции или пе- ременным. Постоянными или переменными могут быть и фиксиро- ванные процентные ставки. В практических расчетах применяют так называемые дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные в догово- ре интервалы времени (год, полугодие и т.д.). Иначе говоря, время рассматривается как дискретная переменная. "В некоторых случаях — ^формальных доказательствах и в финансовых расчетах, связан- ных с процессами, которые можно рассматривать как непрерывные, а также в общих теоретических разработках, редко на практике — возникает необходимость в применении непрерывных процентов (continuous interest). Пока ограничимся этими сведениями. Подробную характеристи- ку упомянутых процентных ставок отложим до параграфов, в кото- рых обсуждаются конкретные методики их применения в финансо- вых расчетах. 1.3. Наращение по простой процентной ставке Формула наращения. Под наращенной суммой (amount, maturity value) ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвести- рованных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленны- ми процентами к концу срока (date of maturity, due date). Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга (prin- cipal) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зави- сит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения. Для записи формулы наращения простых процентов (simple interest) примем обозначения: / — проценты за весь срок ссуды; 14 U I С. HU 1 И РИС. 1.1 РИС. 1.2 Р — первоначальная сумма долга; S — наращенная сумма, или сумма в конце срока; / — ставка наращения (десятичная дробь); п — срок ссуды. Срок обычно измеряется в годах, соответственно i — годовая ставка. Каждый год приносит проценты в сумме Pi. Начисленные за весь срок проценты (accrued interest) составят /= Pni. Наращенная сумма, таким образом, находится как S» P+ 1= Р{\ + ni). (1.1) Выражение (1.1) называют формулой наращения по простым про- центам или кратко — формулой простых процентов, а множитель — множителем наращения простых процентов. График роста по про- стым процентам представлен на рис. 1.1. Заметим, что увеличение процентной ставки или срока в k раз увеличит множитель наращения в (1 + km") / (1 + ni) раз. Пример 1.1. Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 700 тыс. руб., срок — четыре года, проценты простые, ставка — 20% годовых. Находим / = 700 х 4 х 0,2 = 560 тыс. руб.; S = 700 + 560 = 1260 тыс. руб. Увеличим ставку в два раза. Сумма процентов при этом удво- ится, однако наращенная сумма увеличится в (1 + 2 х 4 х 0,2) / (1 + 4 х 0,2) = 1,444 раза. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд. Обычно к на- ращению по простым процентам прибегают при выдаче кратко- срочных ссуд (на срок до одного года) или в случаях, когда процен- ты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачива- ются кредитору. Поскольку ставка, как правило, фиксируется в контракте в расчете за год, то при сроке ссуды менее года необхо- димо определить, какая часть годового процента уплачивается кре- дитору. Аналогичная проблема возникает и в других случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления. Рассмотрим наиболее распространенный в практике случай — с годовым периодом начисления. Для начала выразим общий срок п в виде дроби: / "Т где / — число дней ссуды; К — число дней в году, или временная база (time basis). При расчете простых процентов предполагают, что К = 360 (12 месяцев по 30 дней) или К = 365, 366 дней. Если К = 360, то полу- чают обыкновенные, или коммерческие, проценты (ordinary interest), a при использовании действительной продолжительности года (365, 366) получают точные проценты (exact interest). Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае продолжительность ссуды определяется из усло- вия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням. Точное число дней ссуды "определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Для подсчета числа дней можно воспользоваться табл. 1 Приложения. Итак, возможны и применяются на практике три варианта рас- чета простых процентов: а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. Данный способ приме- няется центральными банками многих стран и крупными коммер- ческими банками, например в Великобритании. Обычно он обозна- чается как 365/365 или ACT/ACT;' """" б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот ме- тод, иногда называемый банковским (Banker's Rule), распространен в ссудных операциях коммерческих банков, в частности во Фран-„ ции. Он обозначается как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает "несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если /= 364, то п= 364/360= 1,011; 16 в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Та- кой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в практике ком- мерческих банков Германии. Этот метод обозначается как 360/360. - Вариант расчета с точными процентами и приближенным чис- t лом дней ссуды лишен смысла и не применяется. * "" Заметим, что поскольку точное число дней ссуды в большинст- S ве случаев, но, разумеется, не всегда больше приближенного (в чем легко убедиться, определив среднее за год число дней в месяце, ко- торое равно 30,58), то проценты с точным числом дней обычно да- ют больший рост. Пример 1.2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока? При решении применим все три метода. Предварительно определим число дней ссуды: точ- ное — 258, приближенное — 255. 7 ' - ' 1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365): 5= 1 000 000 (l + ^11- х 0,Щ = 1 127 232,88 руб. I 365 ; 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365): S= 1 000 000 1 + ^Ц x 0,18| = 1 129 000 руб. I 360 i 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360): S= 1 000 000 1 + ^- х 0,181 = 1 127 500 руб. l 360 ) Начисление процентов в смежных календарных периодах. Выше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока ссудной операции относительно календарных периодов. Вме- сте с тем часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух смежных календарных отрезках времени. Ясно, что начисленные проценты не могут быть целиком отнесены к одному из них. Необ- ходимость деления общей суммы процентов между периодами воз- никает в бухгалтерском учете, при налогообложении, финансовом анализе деятельности предприятия. Алгоритм деления общей массы 17 процентов очевиден (рис. 1.2). Если общий срок ссуды захватывает два смежных календарных периода, причем на первый период при- ходится срок /I,, на второй — Ну то /= /, + /з = Рп^+ Pn-fi. Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда предусматри- ваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяет- ся следующим образом: 5= Р(\ + /»,<•, + п^ +...+ /v-J = р[\ + ^ n,i), (1.2) \ / / где /у— ставка простых процентов в периоде t, t = 1,2,..., т, я,— продолжительность периода; п = ^п, t Пример 1.3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год — ставка 16%, в каждом по- следующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим 1 + Уи,;, = 1 + 1 х 0,16 + 0,5 х 0,17 + 0,5 х 0,18 + 0,5 х 0,19 = = 1,43. Многие коммерческие банки России практикуют начисление и выплату процентов вкладчика ежеквартально или ежемесячно, при- чем начисление производится по постоянной или изменяющейся (растущей) процентной ставке. Для этого в контракте фиксируется одна или ряд годовых ставок, исходя из которых определяются раз- меры квартальных или месячных ставок. Годовые ставки в этом случае назовем номинальными. Например, один из крупных коммер- ческих банков в 1994 г. привлекал средства населения, предлагая следующие переменные номинальные ставки для поквартального начисления и выплат процентов: 165, 195, 240, 295%. Таким обра- зом, за первый квартал выплачивается 165/4 = 41,25%, за второй — 195/4 = 48,75% и т.д. Реинвестирование. В практике при инвестировании средств в крат- косрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последо- вательному повторению наращения по простым процентам в преде- лах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию (rollover) полу- 18 ченных на каждом этапе наращения средств. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае 5= (1+Ai/,)(l+л^)... (1.3) где if— ставки, по которым производится реинвестирование. Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо формулы (1.3) имеем: S = Р(\ + /пу, (1.4) где т — количество реинвестиций. Пример 1.4. 100 тыс. руб. положены 1 марта на месячный депо- зит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза? Если начислять точные проценты, то ,.10o(l^0,2)(l^0,2](l^0,2). = 105,013 тыс. руб. Начисление обыкновенных процентов дает S= lOofl +-^-0,2| = 105,084 тыс. руб. I 360 J » 1.4. Погашение задолженности частями Контур финансовой операции. Необходимым условием финансовой или кредитной операции в любой ее форме является сбалансиро- ванность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности удобно пояснить на графике. Пусть ссуда в размере Dy выдана на срок Т. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности про- изводятся, допустим, два платежа: /?, и R-^, а в конце срока выпла- чивается остаток задолженности (balance) в сумме R^ (рис 1 .За) (для нас здесь не имеет значения, какая часть этой суммы идет на вы- плату процентов, а какая на погашение долга). Очевидно, что на интервале ?, задолженность возрастает (в силу начисления процен- тов) до величины D(. В конце этого периода в счет погашения за- долженности выплачивается сумма /?,, долг уменьшается до К^ и т.д. Заканчивается операция получением кредитором в окончательный расчет суммы Ry В этот момент задолженность должна быть равна нулю. Назовем такой график контуром операции (рис. 1.36). 19 Сбалансированная операция обяза- тельно имеет замкнутый контур, иначе говоря, последняя выплата полностью покрывает остаток задол- женности. В этом случае совокуп- ность платежей точно соответствует условиям сделки. Контур операции мы будем неоднократно применять в книге при обсуждении ряда финан- совых операций, в частности при по- гашении задолженности частичными (промежуточными) платежами. Частичные платежи. Краткосрочные обязательства иногда погашаются с помощью последовательности час- тичных платежей. В этом случае надо решить вопрос о том, какую сумму надо брать за базу для расчета процентов и каким путем оп- ределять остаток задолженности. Существуют два метода решения этой задачи. Первый метод, который применяется в основном в операциях со сроком более года, называют актуарным (Actuarial Method). Второй метод назван правилом торговца (Merchant's Rule). Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года. Если иное не оговорено, то, как правило, при начислении про- центов используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней. Актуарнмй метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату пла- тежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных про- центов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Не- погашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше на- численных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делают- ся. Такое поступление п^иплюс^ываетс^' кследующему платежу. Для случая, показанного" на'рис'"1.3, получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности: ^ " ДоО + t^i) - /?,; К, = К^(\ + t^l) - /?з; Л^(1 + /дО - R^ = 0. Пример 1.5. Имеется обязательство погасить за 1,5 года (с 12 мар- та 1994 г. по 12 сентября 1995 г.) долг в сумме 15 млн. руб. Кре- дитор согласен получать частичные платежи. Проценты начисля- 20 ются по ставке 20% годовых. Частичные поступления характери- зуются следующими данными (в тыс. руб.): 12 июня 1994 г. - 500; 12 июня 1995 г. - 5000; 30 июня 1995 г. - 8000; 12 сентября 1995 г. — ? Решение представим в последовательной записи: 12 марта 1994 г. долг 15()(ю 12 июня 1994 г. долг с процентами 15750 Поступление 500 -500 Поскольку поступившая сумма меньше начисленных процентов (750), то она присоединяется к следующему платежу. 12 июня 1995 г. долг с процентами 18750 Поступления 500 + 5000 -5500 Остаток долга 13250 30 июня 1995 г. долг с процентами 133»^,э Поступление 8000 -8000 S 487 S Остаток долга J •)0~'J 12 сентября ,1995 г. долг с процентами 5-)94,.? Контур данной операции представлен на рис. 1.4. Нетрудно понять, что актуарный метод в известной мере нару- шает принцип начисления простых проце^в,"так как проценты начисляются не на первоначальную сумму долга, а на остаток за- долженности, который в ряде случаев может частично содержать 1Я71; Рис. 1.4 ранее начисленные проценты. Такая ситуация, разумеется, не возникает тогда, когда на каж- дом этапе выплачиваются только проценты. Рис. 1.5 Иной подход предусматри- вается правилом торговца. Здесь возможны два варианта. Если срок ссуды не превышает год, то сумма долга с начисленны- ми за весь срок процентами остается неизменной до полного пога- шения. Параллельно идет накопление частичных платежей с начис- ленными на них до конца срока процентами. Последний взнос дол- жен сбалансировать долг и платежи. ''" " В случае когда срок превышает год, указанные выше расчеты де- лаются для годового периода задолженности. В конце года из сум- мы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных ча- стичных платежей. Остаток погашается в следующем году. Алгоритм можно записать следующим образом: S=D-K= Р(\ + ni) - V^(1 + //), (1.5) где S — остаток долга на конец срока или года; D — наращенная сумма долга; К — наращенная сумма платежей; R. —"сумма частичного платежа; п — общий срок ссуды; г.. — интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды или года. Графическое изображение такой операции охватывает два как бы параллельных контура (рис. 1.5). Второй относится к промежуточ- ному платежу. Заметим, что для одних и тех же данных актуарный метод и пра- вило торговца в общем случае дают разные результаты. Результат первого метода немного выше, чем второго. Пример 1.6. Обязательство, датированное 10 августа 1994 г., должно быть погашено 10 июня 1995 г. Ссуда (1,5 млн. руб.) вы- дана под 20% годовых. В счет погашения долга 10 декабря 1994 г. поступило 800 тыс. руб. Остаток долга на конец срока соглас- но формуле (1.5) 5=1,5 |1 + -^ 0,2\ - 0,8 fl + -^ 0,2о] = 0,87 млн. руб. 22 При применении актуарного метода получим 1+— 0,21=0,88 млн. руб. i iZ. ) 1.5. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите В потребительском кредите (consumer loan) проценты, как пра- вило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к ос- новному долгу уже в момент открытия кредита (Hat rate of interest, add-on interest). Назовем такой метод разовым начислением процен- тов. Погашение долга с процентами производится частями (обыч- но равными суммами) на протяжении всего срока кредита. Из ска- занного^ следует, что наращенная сумма долга равна S= P(\ +ni), а величина разового погасительного платежа R составит п S тп (1.6) R- где п — срок кредита в годах; т — число платежей в году. Следующая задача, с которой сталкиваются при анализе потре- бительского кредита, заключается в разбиении величины R на про- центы и суммы, идущие на погашение основного долга. Отложим рассмотрение этой проблемы до гл. 7. Здесь же предварительно за- метим, что проценты начисляются на первоначальную сумму долга, в то время как его фактическая величина систематически уменьша- ется во времениГВ связи сэтй^дейсТв^ёЖЖя^тоТМЗсть^редита заметно "превышает договорную Jigoi^eHTHXIOJCraB'Ky.*'*" Пример 1.7. Кредит для покупки товара на сумму 1 млн. руб. от- крыт на три года, процентная ставка — 15%, выплаты в конце каждого месяца. Сумма долга с процентами: S = 1(1 + 3 х 0,15) = 1,45 млн. руб. Ежемесячные платежи: 1450 3х12 - 40,278 тыс. руб. 23 1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует упла-" тить через некоторое время п, необходимо определить сумму полу- ченной ссуды Р. Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредст- венно при выдаче ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процен- тов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты — дисконтом (discount). Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств, оплата кото- рых должником произойдет в будущем. Термин "дисконтирование" употребляется и в более широком смысле — как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени. (Строго говоря, приведение может быть осуществлено на любой момент времени.) Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной величиной (present value) суммы S, а иногда, в зависи- мости от контекста, — современной (текущей, капитализированной) стоимостью. Современная величина суммы денег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых опе- раций. ^В большинстве случаев именно с помощью дисконтирова- ния, а не наращения учитывается такой фактор, как время. Как бу- дет показано далее, большинство аналитических методов основыва- ется на определении современной величины платежей. В зависимости от вида процентной ставки применяют два мето- да дисконтирования — математическое дисконтирование и банков- ский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка на- ращения, во втором — учетная ставка. Математическое дисконтирование. Математическое дисконтирова- ние представляет собой формальное решение задачи, обратной на- ращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае фор- мулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по ставке <"? Решив уравнение (1.1) от- носительно Р, находим: Р- S 1 + ni (1.7) 24 Напомним, что п = t/K — срок ссуды в годах. Установленная та- ким путем величина Р является современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя л лет. Дробь 1/(1 + ni) называют дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме. Разность S - Р можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S. Обозначим послед- ний символом D. Пример 1.8. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням? Согласно формуле (1.7) находим: 310 000 180 Р= . 287 328,59 руб. Дисконт равен: D = 310000 - 287328,59 = 22 671,41 руб. Разумеется, дисконт как скидка с конечной суммы долга необя- зательно определяется через процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде абсолютной величины для всего срока. Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в сле- дующем. Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа (date of maturity) по векселю или иному платежно- му обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении сро- ка векселя деньги, банк реализует дисконт. В свою очередь владе- лец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги, хотя и не в полном объеме, однако раньше указанного на нем срока. При учете векселя применяется банковский, или ком- мерческий, учет (bank discount). Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (maturity value). При этом при- меняется учетная ставка d. Размер дисконта, или суммы учета, очевидно, равен Snd; если а — годовая ставка, то п измеряется в годах. Таким образом: 25 P= S- Snd= S{\ - nd), (1.8) где п — срок от момента учета до даты погашения векселя. Дисконтный множитель здес]г_давец_С1_^.,/г^). "Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе К = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным. Пример 1.9. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17 ноября 1995 г. Владелец векселя учел его в бан- ке 23 сентября 1995 г. по учетной ставке 20%. Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сум- ма (без уплаты комиссионных) равна Р= 1 000 000 (l --^5 0,21 = 96 944,4 руб. [ 360 ) Дисконт составит 30 555,6 руб. Продолжим пример. Пусть на первоначальную сумму долга (1 млн. руб.) начисляются проценты по ставке простых процен- тов / = 20,5% годовых. В этом случае, очевидно, надо решить две задачи: определить наращенную сумму долга и сумму, получае- мую при учете. Оба последовательных действия можно предста- вить в одной формуле: Р' = Р(1 + /»)(! - n'd), где п — общий срок обязательства, п— срок от момента учета до погашения. Пусть в данном примере п = 120/360, тогда •ч Р' = 1 000 000 fl +420 0,205] (l -5— 0,2\ = 1 035 689,8 руб. t jbl) I i JoU i Наращение по учетной ставке. Простая учетная ставка иногда при- меняется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращен- ная сумма в этом случае S=P 1 -nd (1.9) 26 Множитель_наЕащения^ ,здесь ^вен_1Д1^я^ Заметим, что при п ^"Т/Э^расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становит- ся бесконечно большим числом. Пример 1.10. По данным примера 1.2 определим наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учет- ной ставке d = 18%. 5=1 000000 -= 1 148 105,63 руб. 1.7. Ставка наращения и учетная ставка. Прямые и обратные задачи Как было показано выше, оба вида ставок применяются для ре- шения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой зада- чей является определение наращенной суммы, обратной — дискон- тирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключа- ется в дисконтировании, обратная — в наращении. Ставки Прямая задача Обратная задача i S = Р(\ + ni) ^ ., Р = 5/(1 + ni) (1.1)(1.7) d Р= S{\ - nd) < ' - < S = Р/(\ - nd) (1.8)(1.9) Очевидно, что рассмотренные два метода дисконтирования — по ставке наращения i и учетной ставке d — приводят к разным резуль- татам даже тогда, когда i = d. Заметим, что учетная ставка отражает фактор времени более же- стко. Так, из формулы (1.8) следует, что при п > \/d величина дис- контного множителя и, следовательно, суммы Р станет отрицатель- ной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме Р, что лишено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок дос- таточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете. Влияние фактора времени усиливается при увеличении величи- ны ставки. Так, при d = 100% отрицательный результат проявится уже при п > 1. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина платежа здесь больше нуля. Для иллюстрации сказанного на рис. 1.6 и в табл. 1.1 приведены дисконтные множители (ДМ) для случая, когда i = d = 20%. 27 дм. 10,833 0,8 \ fl^ ' . МН,flho() 1.251,2^~ ^^ J - h^ i.^ 0 1 л 0 1л Рис. 1.6 Рис. 1.7Таблица 1.1 Дисконтные множители, i=d= 20% Вид i п "тавки ]/12 1/4 1/2 1 2 10 i 0,9836 0,9524 0,9091 0,8333 0,7143 0,3333 d 0,9833 0,9500 0,9000 0,8000 0,6000 — Сравнивая формулы (1.1) и (1.9), легко понять, что учетная ставка дает более быстрый рост суммы задолженности, чем такой же величины ставка наращения. Множители наращения (МН) для двух видов ставок при условии, что i = d = 20%, показаны на рис. 1.7 и в табл. 1.2.Таблица 1.2 Множители наращения, i=d= 20% Виде п •тавки 1/12 1/4 1/2 1 2 10 i 1,0167 1,0500 1,1000 1,2000 1,4000 3 d 1,0169 1,0526 1,1111 1,2500 1,6667 оо Из сказанного выше следует, что выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги операции. Однако возможен такой подбор величин ставок, при котором результаты будут равноценными. Проблема эквивалентности процентных ставок рассматривается в гл. 3.1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставкиПри разработке условий контрактов или их анализе возникает необходимость в решении ряда вторичных задач — определении28 срока ссуды или размера процентной ставки в том или ином ее ви- де при всех прочих заданных условиях. Срок ссуды. Необходимые для расчета продолжительности ссуды в годах и днях формулы получим, решив уравнения (1.1) и (1.8) от- носительно я: срок в годах с р v р t=——K- t="—-K. ,^.^J^_, „.^.l^L, (,.10) (1.11) срок в днях (напомним, что п = t/K, где К — временная база) Pi Sd (1.12) (1.13) Пример 1.11. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 1 млн. руб., вырос до 1,2 млн. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365)? По формуле (1.12) находим ^l1^365-292^- Величина процентной ставки. Необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении финансовой эффективности операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде w указаны. Решив выраже- ния (1.1) и (1.8) относительно / или d, получим S-P _ S-P Рп Pi К: d- S-P _ S-P Sn St К. (1.14) (1.15) Пример 1.12. В контракте предусматривается погашение обяза- тельства в сумме 110 млн. руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга — 90 млн. руб. Необходимо огфеделить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой ставки процента и учетной ставки (^=360). По формулам (1.14) и (1.15) находим <=110—90 369=0.666(6), или 66,67%; 90 х 12U -- • ' - ........-- -•-' »'-W. -•Sf y»A^4--»--'~~^-r---r : : „*-~.-^ случае -..---—- Р= S(\ -d'). Имея в виду, что Р = S/{\ + ni), находим годовую ставку нара- щения п{\ -d')' Годовая учетная ставка находится элементарно: d = d'/n. Пример 1.13. Стороны договорились о том, что из суммы ссуды, выданной на 210 дней, удерживается дисконт в размере 12%. Не- обходимо определить цену кредита в виде годовой ставки про- стых процентов и учетной ставки (К = 360). О 19 i= ,,.,. '———=0,23376, или 23,38%; 11 (1-0.12) d=°^-= 0,20571, или 20,57%. 360' 1.9. Конверсия валюты и наращение процентов Рассмотренные выше методы наращения процентов позволяют перейти к обсуждению более сложных и важных в практическом от- ношении задач. Остановимся на одной из них. Речь пойдет о совме- щении конверсии (обмена) валюты и наращении простых процентов. При возможности обмена рублевых средств на СКВ и наоборот целесообразно сравнить результаты от непосредственного размеще- ния имеющихся денежных средств в депозиты или опосредованно через другую валюту. Таким образом, имеются четыре варианта для наращения процентов: без конверсии: СКВ —• СКВ; с конверсией: СКВ — Руб. -* Руб. — СКВ; без конверсии: Руб. -» Руб.; с конверсией: Руб. -» СКВ --СКВ — Руб. Варианты с конверсией показаны на рис. 1.8. В операции наращения с конверсией валют существует два ис- точника дохода: изменение курса и наращение процента, "причем 30 Р(СКВ) S(CKB) Р(руб.) S(py6.) Р(руб.)- •S(py6.) Р(СКВ)- •S(CKB) б) Рис.1.8 если второй из них безусловный (ставка процента фиксирована), то этого нельзя сказать о первом. Более того, двойное конвертирова- ние валюты может быть и убыточным. Вариант СКВ -» Руб. -> Руб. -» СКВ. Проанализируем сперва вари- ант "а", показанный на рис. 1.8. Для записи формул примем следу- ющие обозначения: Ру — сумма депозита в СКВ; /^ — сумма депозита в рублях; 5у — наращенная сумма в СКВ; 5^ — наращенная сумма в рублях; KQ — курс обмена в_начале операции (курс СКВ в руб.); А", — курс обмена в конце операции; п — срок депозита; / — ставка наращения для рублевых сумм; j — ставка наращения для конкретного вида СКВ. Операция предполагает три шага: обмен валюты на рубли, нара- щение процентов на эту сумму и, наконец, конвертирование в ис- ходную валюту. Конечная (наращенная) сумма в валюте определя- ется как ^=РДх(1+/!Ох—. А. (1.16) Три сомножителя этой формулы соответствуют упомянутым трем шагам. Множитель наращения с учетом двойного конвертиро- вания рассчитывается как .^ К, т (1 + ni) = (1.17) 1 + ni Взаимодействие двух факторов роста исходной суммы здесь представлено наиболее наглядно. С ростом ставки множитель ли- нейно увеличивается (прирост на единицу I равен [Ку/К^п), в свою 31 очередь рост конечного курса уменьшает его — производная мно- dm К. жителя по этому курсу dK, К Пример 1.14. Предполагается поместить 1000 долл. на рублевый депозит. Курс продажи на начало срока депозита 1500 руб. за 1 долл., ожидаемый курс покупки — 1820 руб. (данные середи- ны 1994 г.). Процентные ставки: i = 220% (ставка, которая не бы- ла исключительной в операциях коммерческих банков в начале и середине того же года), j = 15%. Срок депозита — три месяца. ,,.1000^1^«-^). ,277,47 долл. В свою очередь прямое наращение исходной долларовой сум- мы по долларовой процентной ставке дает S, = 1000(1 + 0,25 х 0,15) = 1037,5 долл. Продолжим анализ и поставим перед собой новую задачу — из- мерим доходность операции в целом. В качестве измерителя при- мем простую ставку процентов i^. Пусть эта ставка характеризует рост суммы У^до 5у. Для ее расчета воспользуемся формулой (1.14). Теперь ее можно записать как s. -Л Р,п Подставим в эту формулу значение Sy, полученное по (1.16). После несложных преобразований этой формулы получим 1 + ni т-\ п (1.18) Полученное выражение позволяет сделать ряд заключений. Для этого обратимся к графику (рис 1.9). Предварительно введем вели- чину, характеризующую отношение курсов валюты: 32 k - (1.19) Рис. 1.9 Из формулы (1.18) следует: k" С увеличением k эффективность падает. При k = 1 iy - /, при k > 1 (точка а на оси К) iy < i, наконец, при k < 1 имеем /д > i. Найдем теперь критическое значе- ние k (обозначим его как k'), при котором iy = 0 (точка b на рис 1.9). ni, что в свою очередь означает (1.20) Если ожидаемые величины k или К^ превышают свои критиче- ские значения, то операция явно убыточна. Поскольку в момент заключения контракта величина Л', являет- ся неизвестной, то, вероятно, полезно определить максимально до- пустимое ее значение, при котором эффективность будет равна су- ществующей ставке по депозитам в СКВ и применение двойного конвертирования не дает никакой дополнительной выгоды. Из ра- венства множителей наращения (1+"/)..-^(1+т) л! (1.21) следует: К, ^К, 1+т ' 1 + п] 1+ ni 1+/у (1.22) Пример 1.15. Продолжим анализ операции из примера 1.14. Пусть речь идет о принятии решения до проведения операции. Величина курса на конец срока неизвестна. Максимально допу- стимое значение курса составит 1+0.25х2.2 К, =1500 .2241 руб. 1+0,25х0,15 Иначе говоря, если в начале операции ожидают, что курс дол- лара в рублях в конце срока будет меньше 2241 руб., то выгод- нее применить конверсию, если же он будет выше указанной ве- личины, то целесообразнее непосредственный депозит в СКВ. -1240 33 Вариант Руб. — СКВ -»СКВ -» Руб. В этом варианте (вариант "б" на рис. 1.8) трем шагам операции соответствуют три сомножителя следующей формулы: (1.23) Как и в предыдущем варианте, множитель наращения линейно зависит от ставки, но теперь ставки процента по СКВ. Очевидно, что зависимость множителя от конечного курса или его темпа рос- та также линейная. Пример 1.16. Допустим, необходимо помзстить на валютном де- позите сумму в рублях (1 млн.). Остальные условия из примера 1.14. Наращенная сумма в рублях к концу срока составит 1820 1500 = 1,2588 млн. руб. Прямое инвестирование в рублевый депозит дает существен- но больше: S, = 1(1 + 0,25 х 2,2) = 1,55 млн. руб. Перейдем теперь к анализу эффективности данной операции и определению критических точек. Доходность операции определяет- ся как Отсюда Р,п (К, /Ао)(1+я/)-1 _k(l+nj)-l п п (1.24) Зависимость показателя эффек- тивности от k линейная. При k = 1 ;э =у (рис. 1.10), при k > 1 /з >j, наконец, при k < 1 iy < j. Найдем теперь критическое значение k* (точка а на рис. 1.9), при кото- ром Уд = 0. Из формулы (1.24) следует: Рис. 1.10 34 k' ^-\—; К; =-^-. 1 + nj • 1 + nj Минимально допустимая величина k определяется по формуле (1.21). Пример 1.17. В примере 1.16 прямое инвестирование рублей да- ет заметно большее наращение. Найдем минимальный темп ро- ста курса, при котором будет получен аналогичный результат при двойном конвертировании рублей. По формуле (1.21) нахо- дим . 1+0,25х2,2 , ,^ 1+0,25х0,15 -1'"^- Иначе говоря, этот вариант окажется более эффективным толь- ко тогда, когда ожидается прирост курса не менее чем на 50%. Глава 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ 2.1. Начисление сложных годовых процентов Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредит- ных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, для наращения, как правило, применяют сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов (в отличие от простых) не ос- тается постоянной — она увеличивается с каждым шагом во време- ни, абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное ре- инвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления, — см. формулы (1.3) и (1.4). Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов. Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (го- довые проценты), т.е. применяется сложная годовая ставка нараще- ния. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам: Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита и т.д.); S — наращенная сумма; п — срок, число лет наращения. Ставку наращения по сложным процентам обозначим как /. В тех случаях, когда одновременно речь идет о простых и сложных процентах, для ставки простых процентов применим подписной индекс s. В формулах для сокращения записи / всегда измеряется в десятичных дробях. 36 Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = Р(\ + I). К концу второго года она достигнет величины Р(\ + /) + Р(\ + i)i = P(l + i)2 и т.д. В конце я-го года наращенная сумма будет равна S = Р(\ + <•)". Проценты за этот же период равны /= S- Р=Р[(\ +0"-1]. (2.1) (2.2) Проценты за каждый последовательный год увеличиваются. Для некоторого промежуточного года / они равны (2.3) Рост по сложным процентам представляет собой процесс, следу- ющий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель — (1+0. Последний член прогрессии равен наращен- ной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация нараще- ния по сложным процентам представлена на рис. 2.1. Величину q = (1 + i)" называют множителем наращения по слож- ным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п при- водятся в таблицах сложных процентов. Фрагмент такой таблицы приведен в Приложении (см. табл. 2). Точность расчета множите- ля в практических расчетах определяется допустимой степенью ок- ругления наращенной суммы (до последней копейки, рубля, тыся- чи и т.д.). Пример 2.1 Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через пять лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? S = 1 000 000(1 + 0,155)5 = 2 055 464,22 руб. Как видим, величина множителя наращения зависит от двух па- раметров — i и п. Следует отметить, что при большом сроке нара- щения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на вели- чину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Здесь уместна следующая иллюстрация. Остров Манхэттен, на ко- тором расположена центральная часть Нью-Йорка, был куплен (а точнее выменен) за 24 долл.' Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась примерно в 40 млрд. долл., т.е. первоначальная i Томас Д. Воротилы финансового мира. М.: Прогресс, 1976. 37 "2 Рис. 2.1 Рис. 2.2 сумма увеличилась в 1,666 х 109 раз. Такой рост достигается при ставке всего 6,3 % годовых. Очевидно, что очень высокая (инфляционная) процентная став- ка может быть применена только для относительно небольшого срока. Например, уже при i = 220% и п = 10 получим следующий множитель наращения: ^=(1 +2,2)10=112 589,99. Формула (2.1) получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других пе- риодах начисления. В этих случаях i — ставка за период начисле- ния, п — число таких периодов. Например, если / — ставка за по- лугодие, то п — число полугодий и т.д. Начисление процентов в смежных календарных периодах. На практи- ке часто даты начала и конца ссудной операции находятся в двух смежных календарных периодах. Как и в случае с простыми про- центами, иногда возникает задача распределения процентов по пе- риодам. Алгоритм деления общей массы процентов легко предста- вить на основе графика (рис. 2.2). и п-^. Соответственно Общий срок ссуды (пусть он меньше двух лет) делится на два пе- риода — я, и п^. Соответственно где /| = Р[(\ + /)"' - 1]; /г - Р(\ + 0"l[(l + 0"2 - 1] = Р[(1 + if- (1 + /)".]. Переменные ставки. Формула (2.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать "классиче- скую" схему, например с помощью применения плавающих ставок 38 (floating rate). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело расчет постфактум. В этом слу- чае, а также тогда, когда значения переменных ставок фиксируют- ся в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных множителей 5=PCЩ)"•(l+^)n2...(l+^)^ где У,, i^, ..., i^— последовательные во времени значения ставок; Пр п^, ..., п, — периоды, в течение которых "работают" соответ- ствующие ставки. Пример 2.2. Срок ссуды — 5 лет, договорная процентная ставка 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся. Множитель наращения в этом случае составит q=(\ +0.125)2 (1 +0,1275)3 =1,81407. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок для начис- ления процентов не является целым числом. В правилах ряда ком- мерческих банков для ^екоторых операции в ^тих',сдучаях дроцен- ты начисляются только за целое число дет (или других периодов на- числения). В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяются два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется непосредственно по формуле (2.1). Второй, смешанный, метод предполагает начисление процентов за целое чис- ло лет по формуле сложных процентов и по формуле простых про- центов за дробную часть периода: " S=P(\ +<Г(1 +Ы), (2.4) где а + b = п; а — целое число периодов; b — дробная часть периода. При выборе метода следует иметь в виду, что множитель нара- щения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему методу, так как для п < 1 справедливо соотношение 1 + + ni > (1 + О". Наибольшая "разница наблюдается при b = 1/2 . - "Соотношения простых и сложных процентов для разных сроков рассматриваются в следующем параграфе. 39 Пример 2.3. Кредит в размере 3 млн. руб. выдан на три года и 160 дней (/i=3 160/ 365 = 3,43836 года) под 16,5% сложных го- довых. Сумму долга на конец срока находим по формуле (2.1): S = 3 000 000 х 1,1653-43836 = 5 071 934,82 руб. В свою очередь смешанный метод дает S= 3 000 000 х 1,1653 х (1 + 0,438356 х 0,165) = 5 086 592,85 руб. 2.2. Рост по сложным и простым процентам Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие мно- жители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей сущест- венно зависят от срока. Для того чтобы различать сложные и про- стые ставки, введем подписной индекс s для ставки простых про- центов. Получим следующие соотношения множителей наращения: для срока меньше года простые проценты больше сложных: (1 + /«,) > (1 + /)"; для срока больше года сложные проценты больше простых: (1+^)<(1 +о"; наконец, для срока, равного году, множители наращения равны друг другу при условии, что временная база для начисления про- центов одна и та же. S=P(1 +л(,) Заметим также, что с увеличением срока (при п > 1) различие в послед- ствиях применения про- стых и сложных процен- тов усиливается. Графи- ческая иллюстрация соот- ношения множителей на- ращения приведена на рис. 2.3. В табл. 2.1 содер- жатся значения множите- лей наращения для / = / = =12%, ^=365 дней. Рис. 2.3 40 Таблица 2.1 Сравнение множителей наращения (», = »'= 12%) Срок ссуды Множители наращения 30 дней 180 дней 1 год 5 лет 10 лет ЮО лет 1,01644 1,05918 1,12 1,00936 1,05748 1,12 1 + и/, (1+/)" Срок ссуды и формулы удвоения. Различия в последствиях примене- ния простых и сложных процентов наиболее наглядно проявляют- ся при определении времени, необходимого для увеличения перво- начальной суммы в N раз. В этом случае множитель наращения, очевидно, равен N, следовательно, для простых процентов 1 + ni^ = N, откуда 1,6 2,2 13,0 1,76234 3,10584 83522,3 п = N -1 (2.5) для сложных процентов (1 + i)" = N, откуда In N In (1 + О (2.6) Пример 2.4. Определим число лет, необходимое для увеличения первоначального капитала в пять раз, применяя сложные и про- стые проценты по ставке 15% годовых: "ч^-"'52- "-^-2W Наиболее наглядно влияние вида ставки можно охарактеризо- вать, сопоставляя числа лет, необходимые для удвоения первона- чальной суммы. В этом случае, положив /V= 2, получим следующие формулы удвоения: удвоение по простым процентам: удвоение по сложным процентам: „ In 2 In (1 +0 41