Г. М. ФИХТЕНГОЛЬЦ КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТОМ I ИЗДАНИЕ СЕДЬМОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для университетов и педагогических институтов ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1969 517.2 Ф65 УДК 517(075.8) ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИВ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА § 1. Область рациональных чисел ....................... 11 1. Предварительные замечания ........................ 11 2. Упорядочение области рациональных чисел .......'...... 12 3. Сложение и вычитание рациональных чисел .............. 12 4. Умножение и деление рациональных чисел ............... 14 5. Аксиома Архимеда .............................. .16 § 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области ве- щественных чисел ............................... 17 6. Определение иррационального числа ................... 17 7. Упорядочение области вещественных чисел . .'-•. ............ 19 8. Вспомогательные предложения. ...................... 21 9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью ..................................... 22 10. Непрерывность области вещественных чисел ............. 24 11. Границы числовых множеств ........................ 25 § 3. Арифметические действия над вещественными числами ..... 28 12. Определение суммы вещественных чисел ................. 28 13. Свойства сложения .............................. 29 14. Определение произведения вещественных чисел ........... 31 15. Свойства умножения ............................. 32 16. Заключение ................................... 34 17. Абсолютные величины ............................. 34 §.4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел ... 35 18. Существование корня. Степень с рациональным показателем ... 35 19. Степень с любым вещественным показателем ............. 37 20. Логарифмы ................................... 39 21. Измерение отрезков ............................. 40 ГЛАВА ПЕРВАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. Варианта и ее предел ............................ 43 22. Переменная величина, варианта ...................... 43 23. Предел варианты ............................... 46 24. Бесконечно малые величины ........................ 47 Г 4 ОГЛАВЛЕНИЕ 25. Примеры..................................... 48 26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел .......... 52 27. Бесконечно большие величины ...................... 54 § 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов _. . . 56 28. Предельный переход в равенстве и неравенстве ........... 56 29. Леммы о бесконечно малых ........................ 57 30. Арифметические операции над переменными ............. 58 31. Неопределенные выражения ........................ 60 32. Примеры на нахождение пределов .................... 62 33. Теорема Штольца и ее применения ................... 67 § 3. Монотонная варианта............................. 70 34. Предел монотонной варианты ....................... 70 35. Примеры .................................... 72 36. Число е ..................................... 77 37. Приближенное вычисление числа е .................... 79 38. Лемма о вложенных промежутках .................... 82 § 4. Принцип сходимости. Частичные пределы............... 83 39. Принцип сходимости ............................. 83 40. Частичные последовательности и частичные пределы ........ 85 41. Лемма Больцано—Вейерштрасса ..................... 87 42. Наибольший и наименьший пределы................... 89 ГЛАВА ВТОРАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. Понятие функции................................ 93 43. Переменная и область ее изменения ................... 93 44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры ... 94 45. Определение понятия функции ..'.................... 95 • 46. Аналитический способ задания функции ................ 98 47. График функции ................................ 100 48. Важнейшие классы функций ........................ 102 49. Понятие обратной функции ........................ 108 50. Обратные тригонометрические функции. ................ 110 51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания. ........ 114 § 2. Предел функции ................................ 115 52. Определение предела функции ....................... 115 53. Сведение к случаю варианты ....................... 117 54. Примеры..................................... 120 55. Распространение теории пределов .................... 128 56. Примеры ..................................... 130 57. Предел монотонной функции ........................ 133 58. Общий признак Больцано—Коши ..................... 134 59. Наибольший и наименьший пределы функции ............. 135 § 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших вели- чин ......................................... 136 60. Сравнение бесконечно малых ....................... 136 61. Шкала бесконечно малых. ......................... 137 62. Эквивалентные бесконечно малые. .................... 139 63. Выделение главной части .......................... 141 64. Задачи ...................................... 143 65. Классификация бесконечно больших ................... 145 ОГЛАВЛЕНИЕ О § 4. Непрерывность (и разрывы) функций.................. 146 66. Определение непрерывности функции в точке ............ 146 67. Арифметические операции над непрерывными функциями ..... 148 68. Примеры непрерывных функций ..................... 148 69. Односторонняя непрерывность. Классификации разрывов.. .... 150 70. Примеры разрывных функций. ...................... 151 71. Непрерывность и разрывы монотонной функции. .......... 154 72. Непрерывность элементарных функций. ................ 155 73. Суперпозиция непрерывных функций .................. 156 74. Решение одного функционального уравнения ............. 157 75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной функций ............................ 158 " 76. Функциональная характеристика тригонометрического и гипербо- лического косинусов ............................. 160 77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов 162 78. Степенно-показательные выражения. .................. 165 79. Примеры .................................... 166 § 5. Свойства непрерывных функций ..................... 168 80. Теорема об обращении функции в нуль ................ 168 81. Применение к решению уравнений. .................... 170 82. Теорема о промежуточном значении. .................. 171 83. Существование обратной функции .................... 1"^2 84. Теорема об ограниченности функции .................. 174 85. Наибольшее и наименьшее значения функции ............ 175 86. Понятие равномерной непрерывности .................. 178 87. Теорема Кантора ............................... 179 88. Лемма Бореля ................................ 181) 89. Новые доказательства основных теорем................. 18'? ГЛАВА ТРЕТЬЯ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ § 1. Производная и ее вычисление....................... 186 90. Задача о вычислении скорости движущейся точки ......... 1S6 91. Задача о проведении касательной к кривой .............. 187 92. Определение производной ......................... 189 93. Примеры вычисления производных ................... 193 94. Производная обратной функции ..................... 196 95. Сводка формул для производных. .................... 198 96. Формула для приращения функции ................... 198 97. Простейшие правила вычисления производных............ 199 98. Производная сложной функции ...................... 202 99. Примеры .................................... 203 100. Односторонние производные ....................... 209 101. Бесконечные производные ......................... 209 102. Дальнейшие примеры особых случаев ................. 211 § 2. Дифференциал. ................................. 211 103. Определение дифференциала ....................... 211 104. Связь между дифференцируемостью и существованием произ- водной ..................................... 213 105. Основные формулы и правила дифференцирования ........ 215 106. Инвариантность формы дифференциала ................. 216 107. Дифференциалы как источник приближенных формул ........ 218 108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей ...... 220 6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления........ 223 109. Теорема Ферма ........................... .... 22» 110. Теорема Дарбу ................................ 224 111. Теорема Ролля ................................ 225 112. Формула Лагранжа .............................. 226 113. Предел производной ............................. 228 114. Формула Коши ................................ 229 § 4. Производные и дифференциалы высших порядков ........ 231 115. Определение производных высших порядков. ............ 231 116. Общие формулы для производных любого порядка. ........ 232 117. Формула Лейбница ............................. 236 118. Примеры .................................... 238 119. Дифференциалы высших порядков ................... 241 120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков .................................... 242 121. Параметрическое дифференцирование ................. 243 122. Конечные разности .............................. 244 § 5. Формула Тейлора ................................ 246 123. Формула Тейлора для многочлена ............'....... 246 124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано ................................. 248 125. Примеры .................................... 251 126. Другие формы дополнительного члена. ................ 254 127. Приближенные формулы .......................... 257 § 6. Интерполирование .................. ............. 263 128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа .... 263 129. Дополнительный член формулы Лагранжа ............... 264 130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита.. .... 265 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ § 1. Изучение хода изменения функции ................... 268 131. Условие постоянства функции ...................... 268 132. Условие монотонности функции ..................... 270 133. Доказательство неравенств ........................ 273 134. Максимумы и минимумы; необходимые условия. .......... 276 135. Достаточные условия. Первое правило ................. 278 136. Примеры .................................... 280 137. Второе правило. :.............................. 284 138. Использование высших производных .................. 286 139. Разыскание наибольших и наименьших значений .......... 288 140. Задачи ..................................... 290 § 2. Выпуклые (и вогнутые) функции ..................... 294 141. Определение выпуклой (вогнутой) функции ............. 294 142. Простейшие предложения о выпуклых функциях .......... 296 143. Условия выпуклости функции ...................... 298 144. Неравенство Иенсена и его приложения ................ 301 145. Точки перешба ...............,.......'......... 303 ОГЛАВЛЕНИЕ 1 § 3. Построение графиков функций ...................... 305 '146. Постановка задачи .............................. 305 147. Схема построения графика. Примеры ................. 306 148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты . . 308 149. Примеры.................................... 311 § 4. Раскрытие неопределенностей ....................... 314 150. Неопределенность вида „......................... 314 151. Неопределенность вида —......................... 320 152. Другие виды неопределенностей. .................... 322 § 5. Приближенное решение уравнений .................... 324 153. Вводные замечания ............................. 324 154. Правило пропорциональных частей (метод хорд) .......... 325 155. Правило Ньютона (метод касательных)................. 328 156. Примеры и упражнения .......................... 331 157. Комбинированный метод.......................... 335 158. Примеры и упражнения .......................... 336 ГЛАВА ПЯТАЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Основные понятия ............................... 340 159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры . . . 340 160. Функции двух переменных и области их определения ....... 341 161. Арифметическое п-мерное пространство. ............... 345 162. Примеры областей в я-мерном пространстве. ............ 348 163. Общее определение открытой и замкнутой области ........ 350 164. Функции п переменных ......... ". ................ 352 165. Предел функции нескольких переменных ............... 354 166. Сведение к случаю варианты ....................... 356 167. Примеры. ................................... 358 168. Повторные пределы ............................. 360 § 2. Непрерывные функции ............................ 362 169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных. . . 362 170. Операции над непрерывными функциями ............... 364 171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано—Коши . . 365 172. Лемма Больцано—Вейерштрасса .................... 367 173. Теоремы Вейерштрасса ........................... 369 174. Равномерная непрерывность ....................... 370 175. Лемма Борсля ................................ 372 176. Новые доказательства основных теорем ................ 373 § 3. Производные и дифференциалы функций нескольких перемен- ных ......................................... 375 177. Частные производные и частные дифференциалы .......... 375 178. Полное приращение функции ....................... 378 179. Полный дифференциал ........................... 381 180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух пере- менных ..................................... 383 181. Производные от сложных функций ................... 386 182. Примеры.................................... 388 8 ОГЛАВЛЕНИВ 183. Формула конечных приращений ..................... 390 184. Производная по заданному направлению................ 391 185. Инвариантность формы (первого) дифференциала .......... 394 186. Применение полного дифференциала в приближенных вычисле- ниях ....................................... 396 187. Однородные функции............................ 399 188. Формула Эйлера ............................... 400 § 4. Производные и дифференциалы высших порядков ........ 402 189. Производные высших порядков ...................... 402 190. Теорема о смешанных производных ................... 404 191. Обобщение .................................. 407 192. Производные высших порядков от сложной функции ....... 408 193. Дифференциалы высших порядков .................... 410 194. Дифференциалы сложных функций ................... 413 195. Формула Тейлора .............................. 414 § 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения. ........ 417 196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия..................................... 417 197. Достаточные условия (случай функции двух переменных)..... 419 198. Достаточные условия (общий случай).................. 422 199. Условия отсутствия экстремума ..................... 425 200. Наибольшее и наименьшее значения функций. Примеры ..... 427 201. Задачи ..................................... 431 ГЛАВА ШЕСТАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Формальные свойства функциональных определителей ..... 441 202. Определение функциональных определителей (якобианов) .... 441 203. Умножение якобианов ........................... 442 204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби) ........ 444 § 2. Неявные функции ............................... 447 205. Понятие неявной функции от одной переменной ........... 447 206. Существование неявной функции .................... 449 207. Дифференцируемость неявной функции ................ 451 208. Неявные функции от нескольких переменных ............ 453 209.' Вычисление производных неявных функций .............. 460 210. Примеры.................................... 463 § 3. Некоторые приложения теории неявных функций......... 467 211. Относительные экстремумы. ....................... 467 212. Метод неопределенных множителей Лагранжа ............ 470 213. Достаточные для относительного экстремума условия ....... 472 214. Примеры и задачи .............................. 473 215. Понятие независимости функций. .................... 477 216. Ранг матрицы Якоби ............................ 479 § 4. Замена переменных .............................. 483 217. Функции одной неременной ........................ 483 218. Примеры ................................... 485 ОГЛАВЛЕНИВ 9 219. Функции нескольких переменных. Замена независимых пере- менных ..................................... 488 220. Метод вычисления дифференциалов. ................... 489 221. Общий случай замены переменных ................... 491 222. Примеры........ . -. .......................... 493 ГЛАВА СЕДЬМАЯ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ § 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей...... 503 223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах) ....... 503 224. Примеры. ................................... 505 225. Кривые механического происхождения................. 508 226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры. ... 511 227. Поверхности и кривые в пространстве ................. 516 228. Параметрическое представление ..................... 518 229. Примеры ................................... 520 § 2. Касательная и касательная плоскость ................. 523 230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах 523 231. Примеры. ................................... 525 232. Касательная в полярных координатах ................. 528 233. Примеры ................................... 529 234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности ................................ 530 235. Примеры. ................................... 534 236. Особые точки плоских кривых ...................... 535 237. Случай параметрического задания криаой ............... 540 . § 3. Касание кривых между собой....................... 542 238. Огибающая семейства кривых ...................... 542 239. Примеры.................................... 545 240. Характеристические точки ......................... 549 241. Порядок касания двух кривых. ..................... 551 242. Случай неявного задания одной из кривых.............. 553 243. Соприкасающаяся кривая ......................... 554 244. Другой подход к соприкасающимся кривым ............. 556 § 4. Длина плоской кривой ............................ 557 245. Леммы ..................................... 557 246. Направление на кривой .......................... 558 247. Длина кривой. Аддитивность длины душ ............... 560 248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги ..... 562 249. Дуга в роли параметра. Положительное направление каса- тельной .................................... 565 § 5. Кривизна плоской кривой.......................... 568 250. Понятие кривизны ............................. 568 251. Круг кривизны и радиус кривизны ................... 571 252. Примеры ................................... 573 253. Координаты центра кривизны ....................... 577 ^ ОГЛАВЛЕНИЕ 254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты .... 578 •йОо. Свойства эволют и эвольвент ............ 581 256. Разыскание эвольвент ...........[ \ ...... \ ...[... 585 ДОПОЛНЕНИЕ ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ 257. Случай функции одной переменной .............. 587 258. Постановка задачи для двумерного случая . . . '. . . . . . 588 259. Вспомогательные предложения. .................. 590 260. Основная теорема о распространении ... •••••••••••• ^ 261. Обобщение ................... '. •••••••••••••• ^gg 262. Заключительные замечания ..............[......., 597 Алфавитный указатель....................... . 600 ВВЕДЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА § 1. Область рациональных чисел 1. Предварительные замечания. Из школьного курса читателю хорошо знакомы рациональные числа и их свойства. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональ- ных чисел не существует зачастую корней даже из целых положи- тельных (натуральных) чисел, например, у2, т. е. нет такой рацио- нальной дроби ' (где р a q — натуральные числа), квадрат ко- торой был бы равен 2.' Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь р-, что (-p-)==2. Мы вправе считать эту дробь несо- кратимой, т. е. р и q лишенными общих множителей. Так как /?'2==2^'2, то р есть число четное: р==2г (г—целое) и, следовательно, q— нечетное. Подставляя вместо р его выражение, найдем: q^^^lr*, откуда следует, что q — четное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. Его диагональ не мо- жет иметь рациональной длины ', ибо, в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой длины был бы равен 2, что, как мы видели, невозможно. В настоящем введении мы ставим себе задачей расширить область рациональных чисел, присоединив к ним числа новой природы— иррациональные. Вместе с тем мы покажем, что в расширенной области останутся справедливыми все привычные свойства рациональ- ных чисел, относящиеся к арифметическим действиям над ними и к сочетанию их с помощью знаков равенства и неравенства. Для того чтобы сделать реально возможной проверку упомянутых свойств для 12 ВВЕДЕНИЕ. ВВЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА (2 расширенной числовой области, очень важно выделить наименьшее количество основных свойств, из которых все остальные выте- кали бы уже как формально-логические следствия: тогда про- верке будут подлежать лишь эти основные свой- ства. В связи с этим мы приводим ниже перечень основных свойств области рациональных чисел. Попутно мы на ряде примеров показы- ваем, как другие известные их свойства выводятся из основных совершенно формально. Говоря о «числах», мы здесь всегда имеем в виду рациональные числа: буквы а, Ь и т. д. обозначают именно их. 2. Упорядочение области рациональных чисел. Условимся с са- мого начала, что равные числа мы будем рассматривать, как одно и то же число в разных формах. Иными словами, для нас понятие «равно» (=) означает «тождественно». Поэтому мы не пере- числяем свойств равных чисел. Упорядочение рациональных чисел достигается с помощью понятия «больше» С>), с которым связана первая группа свойств: I 1° для каждой пары чисел а и Ь имеет место одно, и только одно, из соотношений а == Ь, а ^> Ь, Ь ^> а; I 2° из а^>Ь и Ь^> с следует а^>с (транзитивное свой' с т во знака^>); I 3° если а^>Ь, то найдется также такое число с, что а^>с и с~^>Ь*) (свойство плотности). Понятие «меньше» (<Э вводится уже как производное. Именно, говорят, что а<^Ь в том, и только в том, случае, если Ь~^>а. Легко видеть, что из а<^Ь и Ь<^с следует, что а<^с (транзитивное свойство знака <Э. Действительно, неравенства а<^Ь и Ь<^с равно- сильны, по условию, неравенствам Ь^>а и с^>Ь; отсюда следует с^>а (I 2°) или, что то же, а<^с. Дальнейшие свойства понятия «больше», связанные с арифмети- ческими действиями над рациональными числами, будут указаны ниже. 3. Сложение и вычитание рациональных чисел. Вторая группа свойств связана со сложением, т. е. с операцией нахож- дения суммы двух чисел. Для каждой пары чисел а и Ь существует (единственное) число, называемое суммой а и и (его обозначают а -\- Ь). Это понятие обладает свойствами: II 1° a-\-b==b-{-a (перемест и тельное свойство сло- жения); *) В этих условиях говорят также, что число с лежит между числами а и Ь', очевидно, таких чисел будет бесчисленное множество, 3] § 1. ОБЛАСТЬ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 13 II 2° (а-\-Ь)-\-с== а-[-(Ь-\-с) (сочетательное свойство сложения). Особая роль нуля характеризуется свойством: II 3° а-^-0==а; кроме того, II 4° для каждого числа а существует число—а (симме- тричное ему), такое, что а -}- (— а) == 0. На основе этих свойств, прежде всего, исчерпывается вопрос о вычитании, как действии, обратном сложению. Если разностью чисел а и Ь, как обычно, называть такое число с, для которого с -\- b== a *), то встает вопрос о существовании такого числа и о его единственности. Положив с = а 4- (— Ь), получим [II 2°, 1°, 4,° 3°]: c4-&=[a+(-&)]+6=a+ [(-&)+<']== ^a-}-[b-{-(—b)]=a-^0==a, так что это число с удовлетворяет определению разности. Пусть, обратно, с' есть разность чисел а и Ь, так что с'-|-&==<г. Прибавив к обеим частям этого равенства по (—Ь) и преобразуя левую часть [II 2°, 4°, 3°]: (c'+b)-^(-b)^c'+[b^(-b)]=c'-\-0=c', заключим, что с' == а ~[- ( — Ь)==с. Таким образом, доказаны существование и однознач- ность разности чисел а и Ь; обозначают ее а — Ь. Из однозначности разности вытекает ряд следствий. Прежде всего, . из II 3° следует 0 == а — а,. и мы заключаем, что, кроме числа О, не существует числа, которое обладало бы свойством, аналогичным II 3°. Далее, отсюда же вытекает единственность числа, симметричного данному: — а == 0 — а. Так как из а-}-(—й)=0 следует (—а)-\-а==0 [II 1°], то ока- зывается, что а==—(—а), т. е. числа а и—а являются взаимно симметричными. Установим еще такое свойство симметричных чисел: ~(а+й)=(-в)+(-&); для этого достаточно доказать, что (а + &)+[(-а) + (~ <')]= О, а это вытекает из II 1°, 2°, '4°, 3°. Наконец, приведем еще одно свойство, связывающее знак ^> со знаком суммы: II 5° из а~^>Ь следует а-}-с^>Ь-\-с. *) Ввиду II 1°, это равенство, определяющее разность, можно написать и так: &4- с==а. 14 ВВЕДЕНИВ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [4 Оно устанавливает право к обеим частям неравенства прибавлять поровну; с его помощью доказывается равносильность неравенств а~^>Ь и а — Ь^>0. Далее, из а~^>Ь следует—а<^—Ь. Действительно, а^>& влечет за собой а—Ь^>0; но a-b=a-^(-b)=(-b)-{-a==(-b)+[-(-a)}== ==(-b)-(-a), так что неравенство это можно переписать так: (— Ь)—(— а) ^> О, откуда — Ь^> — а или — а<^ — Ь. ,В частности, из а^>0 следует—а<^0, и из а<^0 следует —а^>0. Если а ^ 0, то из двух взаимно симметричных чисел а, — а одно (и только одно) будет больше 0; его именно и называют абсолютной величиной как числа в, так и числа — а, и обо- значают символом Абсолютную величину числа нуль полагают. равной нулю: |0|==0. На свойстве II 5° основывается возможность почленного склады- вания неравенств: из а^>Ь и c~^>d следует a-{-c^>b-\-d. В самом деле, из а^>& следует а -[- с ^> Ь -)- с; в свою очередь, из c^>d следует с -j- b ^> d -\- b или [II 1°] b-\-c^>b-\-d, а тогда, в силу! 2°, окончательно получаем а -|- с ^> b -\- d. 4. Умножение и деление рациональных чисел. Третья г-р у п п а свойств связана с умножением, т. е. с операцией на- хождения произведения двух чисел. Для каждой пары чисел а к b существует (единственное) число, называемое произведением а и b (его обозначают а • b или просто ai>). Это понятие обладает свойствами: III 1° ab=ba (пере ме с mil те л ь но е свойство умножения); III 2° (ab) с == a (be) (сочетательное свойство умноже- ния). Особая роль единицы характеризуется свойством: III 3° a.l=ra; кроме того, III 4° для каждого числа а, отличного от 0, существует, число —г (обратное ему), такое, что а- — == 1. Вопрос о делении, как о действии, обратном умножению, ре- шается на основе свойств умножения так же, как выше был решён вопрос о вычитании на основе свойств сложения. Обратное число здесь будет играть ту же роль, какую там играло симметричное число. 4] § 1. ОБЛАСТЬ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 15 Назовем частным чисел а и b (где делитель b всегда предпо- лагается отличным от 0) такое число с, что *) с • b == а. Этому определению можно удовлетворить, положив с==а-., так как [III 2°, 1°, 4°, 3°]: c-b== a.-, }-b=a- -.а-\ --а. Обратно, если число с удовлетворяет определению частного чи- сел а и b, так что с • b == а, то, умножив обе части этого равен- ства на -, и преобразуя левую часть [III 2°, 4°, 3°]: 1 -_-,' 1г. 1 получим, что с'=а-—==с. Таким образом, доказаны существование и однознач- ность частного чисел а и b (при условии, что Ь^&О); обозначают его а: b или , . , Из однозначности частного выводим, что, кроме числа 1, нет числа, которое обладало бы свойством, аналогичным III 3°. Затем отсюда, как и выше, вытекает единственность обратного числа (как частного 1 и в); кроме того, легко устанавливается, что числа а и —являются взаимно обратными. Следующее свойство связывает оба основных арифметических действия — умножение и сложение: III 5° (a-\-b)-c=a-c-i-b-c (распределительное свой- ство умножения относительно суммы). Отсюда легко вывести и распределительное свойство ум- ножения относительно разности: (а — b) • с == а • с — b • с. По определению разности, это прямо следует из того, что (а — b) • с + b • с == [(а — b) + b} • с = а • с. Применим еще свойство III 5° к доказательству того, что b-0==0-b=:0. В самом деле [II У] а+0==а, (a-[-0)-b=a-b-\-Q-b=a-b, откуда следует 0-Ь=0, а также [III 1°] Ь-0==-0. *) Ввиду ill 1°, это равенство, определяющее частное, можно написать и так: Ь • с == а. 16 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 15 Обратно, если а-Ь==0, и Ь^О, то необходимо а==0. Действи- тельно, а == . , но одновременно и 0 == -. (так как Ь • 0 == 0), а част- ное единственно. Наконец, укажем свойство, связывающее знак ^> со знаком произ- ведения: III 6° из a^>b и с^>0 следует а-с'^>Ь-с. На этом основывается почленное перемножение неравенств с по- ложительными членами. Отсюда же получается, что при а^>0 и й^>0 также и а-Ь^>0. Заметим, что (— а) • Ь == — (а • Ь); это следует из того, что а.г,-)-(_й).г>==[а+(—а)]-&==0.й==0. Теперь нетрудно видеть, что, если а <^ О, Ь ^> 0, так что а = — |а|, Ь==\Ь\, то a.b=(-\a\).\b\==-(\a\.\b\)<^0; то же будет при а^>0, Ь<^0. Если же а<^0, Ь<^0, то а.&=(-|а|).(-|&|)==-[|а.|(-]&|)]= =-[-(la .[Z>|)]=|a|.H>0. Таким образом, мы полностью восстановили известное правило знаков при умножении, которое является логическим следствием перечисленных свойств рациональных чисел. Иными словами, пра- вило знаков принудительно навязывается нам, если мы хотим соблюдения упомянутых свойств. То же можно сказать (как это выяснено выше) н относительно правила умножения на 0. Имея в своем распоряжении свойства сложения и умножения, мы теперь могли бы доказать то свойство плотности области рацио- нальных чисел, которое мы сформулировали выше в числе основных свойств [I 3°]. Именно, с помощью их можно показать, например, что из а^>Ь следует а'^>——'^>Ь. 5, Аксиома Архимеда. Заключим наш перечень основных свойств рациональных чисел следующим простым и важным утверждением, которое не вытекает из перечисленных свойств: IV 1° каково бы. ни было число с^>0, существует натурал ь- ное число п, которое больше с («аксиома Архимеда*). В действительности Архимедом было высказано геометри- ческое предложение, которое и известно под именем «аксиомы Архимеда»: если на прямой даны любые два отрезка А и В, то можно А повторить слагаемым столько раз, чтобы сумма была боль- ше В: А + A +—b4 == А -я> В. п раз 6] § 2. ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 17 Если перефразировать это утверждение для положительных чисел а и Ь, то оно сведется к существованию такого натурального чис- ла п, что а-}-а-\-...-}-а=а-п^>Ь. п раз Это неравенство, если использовать уже изученные свойства рацио- нальных чисел, оказывается равносильным такому: п~^>—; обозна- чив частное — через с, мы и получим ту формулировку, которая дана выше. § 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел 6. Определение иррационального числа. Множество рациональ- ных чисел, со всеми их свойствами, перечисленными в § 1, считается данным. Мы изложим теорию иррациональных чисел, следуя Дедекинду (R. Dedekind). В основе этой теории лежит понятие о сечении в области рациональных чисел. Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел на два не пустые (т. е. действи- тельно содержащие хоть по одному числу) множества Л, А'. Мы будем называть такое разбиение сечением, если выполняются условия: 1° каждое рациональное число попадает в одно, и только в одно *), из множеств А или А'; 2° каждое число а множества А меньше каждого числа а множества А'. Множество А называется нижним классом сечения, мно- жество А' — верхним классом. Сечение будем обозначать Л | А'. Из определения сечения следует, что всякое рациональное число, меньшее числа а нижнего класса, также принадлежит нижнему классу. Аналогично, всякое рациональное число, большее числа а' верхнего класса, и само принадлежит верхнему классу. Пример 1. Определим Л как множество всех рациональных чисел а, удовлетворяющих неравенству а<^1, а к множеству Л' при- числим все числа а', для которых а':>:1. Легко проверить, что таким образом мы действительно получим сечение. Число 1 принадлежит классу Л' и является, очевидно, в нем наименьшим числом. С другой стороны, нет наибольшего числа в классе Л, так как, какое бы число а из Л мы ни взяли, всегда можно *) То обстоятельство, что каждое рациональное число попадает только в один из классов, вытекает, впрочем, из требования 2°. 18 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 16 указать рациональное число ffi, лежащее между ним и единицей, следовательно, большее а и тоже принадлежащее классу А. Пример 2. К нижнему классу Л отнесем все рациональные числа а, меньшие или равные 1:as$l; к верхнему—рациональные числа а', большие 1:а'^>1. Это также будет сечение, причем здесь в верхнем классе нет наименьшего числа, а в нижнем есть наибольшее (именно, 1). Пример 3. Отнесем к классу А все положительные рациональ- ные числа а, для которых в2<^2, число 0 и все отрицательные ра- циональные числа, а к классу А' — все положительные рациональные числа а' для которых а'2 ^> 2. Как легко убедиться, мы опять получили сечение. Здесь ни в классе Л нет наибольшего числа, ни в классе Л'—наименьшего. Докажем, например, первое из этих утверждений (второе доказы- вается аналогично). Пусть а — любое положительное число класса Л, тогда а2 <^ 2. Покажем, что можно подобрать такое целое положи- тельное п, что ("+^. так что и число а -\- — будет принадлежать классу Л. Это неравенство равносильно таким: «•+?+у<2, ^+р<2-Л Последнее неравенство и подавно будет выполнено, если п удов- летворит неравенству а' <^ 2 — а2, для чего достаточно взять ">"2_а2' а это всегда возможно [по «аксиоме Архимеда», IV 1°]. Итак, ка- ково бы ни было положительное число а из класса Л, в этом же классе Л найдется большее его число; так как для чисел а а$; О это утверждение непосредственно очевидно, то никакое число класса Л не является в нем наибольшим. Легко понять, что не может существовать сечение, для кото- рого одновременно в нижнем классе нашлось бы наибольшее число Оу, а в верхнем классе — наименьшее а'ц. Пусть, в самом деле, такое сечение существует. Возьмем тогда, пользуясь плотностью области рациональных чисел [I 3°], любое рациональное число с, заключаю- щееся между ад и Во: Во <^ с <^ йд. Число с не может принадлежать классу Л, ибо иначе Во не было бы наибольшим числом в этом классе, и по аналогичной причине с не может принадлежать классу Л', а это противоречит свойству 1° сечения, входящему в определение этою понятия. 7] § 2. ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 19 Таким образом, сечения могут быть только трех видов, иллюстри- руемых как раз примерами 1, 2, 3: 1) либо в нижнем классе Л нет наибольшего числа, а в верхнем классе Л' есть наименьшее число г; 2) либо в нижнем классе Л имеется наибольшее число г, а в верхнем классе Л' нет наименьшего; 3) либо, наконец, ни в нижнем классе нет наибольшего числа, ни в верхнем классе — наименьшего. В первых двух случаях мы говорим, что сечение производится рациональным числом г (которое является пограничным между классами Л и Л') или что сечение определяет рациональное число г. В примерах 1, 2 таким числом г была 1. В третьем случае пограничного числа не существует, сечение не определяет никакого рационального числа. Введем теперь новые объекты — иррацио- нальные числа, условившись говорить, что всякое сечение вида 3) определяет некоторое иррациональное число д. Это число я заменяет недостающее пограничное число, мы как бы вставляем его между всеми числами а класса Л и всеми числами d класса Л'. В примере 3) это вновь созданное число, как легко догадаться, и будет 1/^2. Не вводя для иррациональных чисел никаких однотипных обозна- чений *), мы неизменно будем связывать иррациональное число У. с тем сечением А[А' в области рациональных чисел, которое его опре- деляет. Для однообразия нам часто удобно будет то же сделать и по отношению к рациональному числу г. Но для каждого числа г суще- ствует два определяющих его сечения: в обоих случаях числа а<^г относятся к нижнему классу, числа же a'^>r—к. верхнему, но само число г можно по произволу включить либо в нижний класс (тогда г там будет наибольшим), либо в верхний (и г там будет наименьшим). Для определенности мы условимся раз навсегда, говоря о сечении, определяющем рациональное число г, включать это число в верх- ний класс. Числа рациональные и иррациональные получили общее название вещественных (или действ и те ль н ы х) чисел. Понятие веще- ственного числа является одним из основных понятий математиче- ского анализа. 7. Упорядочение области вещественных чисел. Два ирра- циональных числа я и ^, определяемых соответственно сече- ниями А\А' и В\В', считаются равными в том и только в том *) Речь идет о конечных обозначениях; со своего рода бесконеч- ными обозначениями иррациональных чисел читатель познакомится в 9. Чаще всего индивидуально заданные иррациональные числа обозначают в зависимо- сти от их происхождения и роли: У"2, log 5, sin 10° и т. п.