Г. М. ФИХТЕНГОЛЬЦ КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТОМ II ИЗДАНИЕ ШВСТОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образованач РСФСР в качестве учебного пособия для университетов и педагогических институтов ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1966 517.2 Ф65 УДК 517.0(075.8) Григорий Михайлович Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II М., 1966 г., 800 стр. с илл. Редакторы Г. П. Акилов, Ю. А. Горькое Техн. редактор Л. А. Пыжова Корректор Г. Д. Довермак Слано в набор 26'Х! 1965 г. Подписано к печати 5/III 1966 г. Бумага 60Х90'/]б. Физ. печ. л. 50. Условн. печ. л. 50. Уч.-изд. л. 55,75. Тираж 75 000 экз. Т-04602. Цена книги 1 р. 66 к. Заказ № 78. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор» имени А. М. Горького Главполиграф- прома Комитета по печати при Совете Министров СССР, Гатчинская, 26. 2-2-3 "Т(Й)6 ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА ВОСЬМАЯ ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) § 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисле- ния ......................................... 11 263. Понятие первообразной функции (и неопределенного инте- грала) .................................... 11 264. Интеграл и задача об определении площади ........... 14 265. Таблица основных интегралов .................... П 266. Простейшие правила интегрирования. ............... 18 267. Примеры .................................. 19 268. Интегрирование путем замены переменно» ............ 23 269. Примеры .................................. 27 270. Интегрирование по частям ....................... 31 271. Примеры .................................. 32 § 2. Интегрирование рациональных выражений .............. 36 272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде ...... 36 273. Простые дроби и их интегрирование................ 37 274. Разложение правильных дробей на простые ........... 38 275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных , дробей ................................... 42 276. Выделение рациональной части интеграла ............. 43 277. Примеры .................................. 47 § 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 59 / m/ay|В\ 278. Интегрирование выражений вида R ix, 1/ —i1 . Примеры 50 279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры... 51 280. Формулы приведения ............. ......... .... 54 281. Интегрирование выражений вида R(x, Y ал'2 + Ьх -4- с). Под- становки Эйлера ............................. 56 282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок ....... 59 283. Примеры .................................. 60 284. Другие приемы вычисления ...................... 63 285. Примеры..............................'.... 72 § 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции ......................... 74 286. Интегрирование дифференциалов R ( sin л', cos x} dx ...... 74 287. Интегрирование выражений sin'л" cosv-x ............. 76 288. Примеры ................................. 78 289. Обзор других случаев ......................... 83 1* ,l 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 5. Эллиптические интегралы .......................... 84 290. Общие замечания и определения .................. 84 291. Вспомогательные преобразования .................. 86 292. Приведение к канонической форме ................. 88 293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода ......... 90 ГЛАВА ДЕВЯТАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Определение и условия существования определенного инте- грала ........................................ 94 294. Другой подход к задаче о площади................. 94 295. Определение ................................ 96 296. Суммы Дарбу ............................... 97 297. Условие существования интеграла .................. 100 298. Классы интегрируемых функций ................... 101 299. Свойства интегрируемых функций.................. 103 300. Примеры и дополнения......................... 105 301. Нижний и верхний интегралы как пределы ............ 106 § 2. Свойства определенных интегралов. .................. 108 302. Интеграл по ориентированному промежутку ........ ^. .. 108 303. Свойства, выражаемые равенствами..............'... 109 304. Свойства, выражаемые неравенствами. ............... 110 305. Определенный интеграл как функция верхнего предела .... 115 306. Вторая теорема о среднем значении. ................ 117 § 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов. . . . 120 » 307. Вычисление с помощью интегральных сумм ............ 120 308. Основная формула интегрального исчисления ........... 123 309. Примеры .................................. 125 310. Другой вывод основной формулы .................. 128 311. Формулы приведения .......................... 130 312. Примеры .................................. 131 313. Формула замены переменной в определенном интеграле .... 134 314. Примеры .................................. 135 315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена ............ 141 316. Другой вывод формулы замены переменной ........... 143 § 4. Некоторые приложения определенных интегралов......... 145 317. Формула Валлиса. ............................ !45 318. Формула Тейлора с дополнительным членом ........... 146 319. Трансцендентность числа е....................... 146 320. Многочлены Лежандра ......................... 148 321. Интегральные неравенства. ...................... 151 § 5. Приближенное вычисление интегралов................. 153 322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеци:"!. . 153 323. Параболическое интерполирование .................. 156 324. Дробление промежутка интегрирования .............. 158 325. Дополнительный член формулы прямоугольников ........ 159 326. Дополнительный член формулы трапеций. ............ 161 327. Дополнительный член формулы Симпсона ............. 162 328. Примеры .................................. 164 ОГЛАВЛЕНИЕ ^ ГЛАВА ДЕСЯТАЯ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ § 1. Длина кривой .................................. 169 329. Вычисление длины кривой....................... 169 330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению ................................ 171 331. Примеры .................................. 174 332. Натуральное уравнение плоской кривой. ............. 180 333. Примеры .................................. 183 334. Длина дуги пространственной кривой................ 185 § 2. Площади и объемы .............................. 186 335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности .... 186 336. Площадь как предел.......................... 188 337. Классы квадрируемых областей ................... 190 338. Выражение площади интегралом ................... 192 339. Примеры .................................. 195 340. Определение понятия объема. Его свойства ............ 202 341. Классы тел, имеющих объемы ..................... 204 342. Выражение объема интегралом .................... 205 343. Примеры .................................. 208 344. Площадь поверхности вращения................... 214 345. Примеры .................................. 217 346. Площадь цилиндрической поверхности ............... 220 347. Примеры .................................. 222 § 3. Вычисление механических и физических величин......... 225 S48. Схема применения определенного интеграла ........... 225 349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой 228 350. Примеры .................................. 229 351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры ................................... 230 352. Примеры .................................. 232 353. Механическая работа .......................... 233 354. Примеры .................................. 235 355. Работа силы трения в плоской пяте ................ 237 356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов ..... 239 § 4. Простейшие дифференциальные уравнения ............. 244 357. Основные понятия. Уравнения первого порядка......... 244 358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделе- ние переменных ............................. 245 359. Задачи ................................... 247 360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений. . . 253 361. Задачи ................................... 254 ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ § 1.Введение ..................................... 257 362. Основные понятия............................ 257 363. Примеры .................................. 258 364. Основные теоремы ........................... 260 6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 2. Сходимость положительных рядов ................... 262 365. Условие сходимости положительного ряда ............. 262 366. Теоремы сравнения рядов....................... 264 367. Примеры .................................. 266 368. Признаки Коши и Даламбера ..................... 270 369. Признак Раабе .............................. 272 370. Примеры .................................. 274 371. Признак Куммера ............................ 277 372. Признак Гаусса .............................. 279 373. Интегральный признак Маклорена—Кошч ............. 281 374. Признак Ермакова ............................ 285 375. Дополнения ................................ 287 § 3. Сходимость произвольных рядов..................... 293 376. Общее условие сходимости ряда .................. 293 377. Абсолютная сходимость ........................ 294 378. Примеры .................................. 296 379. Степенной ряд, его промежуток сходимости ........... 298 380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты ..... 300 381. Знакопеременные ряды ......................... 302 382. Примеры .................................. 303 383. Преобразование Абеля ......................... 305 384. Признаки Абеля и Дирихле ...................... 307 385. Примеры .................................. 308 § 4. Свойства сходящихся рядов ........................ 313 386. Сочетательное свойство ......................... 313 387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов . . . 315 388. Случай неабсолютно сходящихся рядов .............. 316 389. Умножение рядов ............................ 320 390. Примеры .................................. 323 391. Общая теорема из теории пределов ................ 325 392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов ............ 327 § 5. Повторные и двойные ряды ........................ 329 393. Повторные ряды ............................. 329 394. Двойные ряды ............................... 333 395. Примеры .................................. 338 396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости . . 346 397. Примеры .................................. 348 398. Кратные ряды ............................... 350 § 6. Бесконечные произведения......................... 350 399. Основные понятия............................ 350 400. Примеры .................................. 351 401. Основные теоремы. Связь с рядами ................. 353 402. Примеры .................................. 356 § 7. Разложения элементарных функций .................. 364 403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора ...... 364 404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометриче- ских функций и др. ........................... 366 405. Логарифмический ряд.......................... 368 406. Формула Стирлинга ........................... 369 407. Биномиальный ряд. ........................... 371 408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения . 374 ОГЛАВЛЕНИЕ 7 § 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов ....................................... 378 409. Общие замечания ............................ 378 410. Вычисление'числа я ........................... 379 411. Вычисление логарифмов ........................ 381 412. Вычисление корней ........................... 383 413. Преобразование рядов по Эйлеру .................. 384 414. Примеры .................................. 386 415. Преобразование Куммера. ....................... 388 416. Преобразование Маркова ........................ 392 § 9. Суммирование расходящихся рядов................... 394 417. Введение. ................................. 394 418. Метод степенных рядов ........................ 396 419. Теорема Таубера............................. 398 420. Метод средних арифметических ................... 401 421. Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро . 403 422. Теорема Харди—Ландау ........................ 405 423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов 407 424. Другие методы обобщенного суммирования рядов ....... 408 425. Примеры ..'.............,................. 413 426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования. . 416 ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ § 1. Равномерная сходимость .......................... 419 427. Вводные замечания ........................... 419 428. Равномерная и неравномерная сходимости ............ 421 429. Условие равномерной сходимости .................. 425 430. Признаки равномерной сходимости рядов ............. 427 § 2. Функциональные свойства суммы ряда ............... 430 431. Непрерывность суммы ряда ...................... 430 432. Замечание о квази-равномерной сходимоггп ........... 432 433. Почленный переход к пределу .................... 434 434. Почленное интегрирование рядов ................... 436 435. Почленное дифференцирование рядов ................ 438 436. Точка зрения последовательности .................. 441 437. Непрерывность суммы степенного ряда .............. 444 438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов .... 447 § 3. Приложения ................................... 450 439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный пере- ход к пределу .............................. 450 440. Примеры на почленное интегрирование рядов .......... 457 441. Примеры на почленное дифференцирование рядов ....... 468 442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций .................................. 474 443. Аналитическое определение тригонометрических функций . . 477 444. Пример непрерывной функции без производной......... 479 § 4. Дополнительные сведения о степенных рядах ........... 481 445. Действия над степенными рядами .................. 481 . 446. Подстановка ряда в ряд ........................ 485 447. Примеры .................................. 487 8 ОГЛАВЛЕНИЕ 448. Деление степенных рядов ....................... 492 449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются . . 494 450. Решение уравнений рядами ...................... 498 451. Обращение степенного ряда ..................... 502 452. Ряд Лагранжа ............................... 504 § 5. Элементарные функции комплексной переменной ......... 508 453. Комплексные числа ........................... 508 454. Комплексная варианта и ее предел ................. 511 • 455. Функции комплексной переменной ................. 513 456. Степенные ряды ............................. 515 ', 457. Показательная функция ......................... 518 458. Логарифмическая функция ...................... 520 459. Тригонометрические функции и им обратные .......... 522 460. Степенная функция ........................... 526 461. Примеры .................................. 527 § 6. Обвертывающие и асимптотические ряды.Формула Эйлера—Мак- лорена ...................................... 531 462. Примеры .................................. 531 463. Определения ............................... 533 464. Основные свойства асимптотических разложений ........ 536 465. Вывод формулы Эйлера—Маклорена ................ 540 466. Исследование дополнительного члена ................ 542 467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена 544 468. Другой вид формулы Эйлера—Маклорена ............. 547 469. Формула и ряд Стирлинга ....................... 550 ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами...... 552 470. Определение интегралов с бесконечными пределами ...... 552 471. Применение основной формулы интегрального исчисления . . 554 472. Примеры .................................. 555 473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы. ............ 558 474. Сходимость интеграла в случае положительной функции . . . 559 475. Сходимость интеграла в общем случае.............. 561 476. Признаки Абеля и Дирихле ...................... 563 477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду 566 478. Примеры .................................. 569 § 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций..... 577 479. Определение интегралов от неограниченных функций ..... 577 480. Замечание относительно особых точек ............... 581 481. Применение основной формулы интегрального исчисления. . Примеры .................................. 582 482. Условия и признаки существования интеграла.......... 584 483. Примеры .................................. 587 484. Главные значения несобственных интегралов ........... 590 485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интег- ралов .................................... 595 § 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов..... 597 486. Простейшие свойства .......................... 597 487. Теоремы о среднем значении..................... 600 ОГЛАВЛЕНИЕ 9 488. Интегрирование по частям в случае несобственных интег- ралов .................................... 602 489. Примеры .................................. 602 490. Замена переменных в несобственных интегралах ........ 604 491. Примеры .................................. 605 § 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов ... 611 492. Некоторые замечательные интегралы. ............... 611 493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интеграль- ных сумм. Случай интегралов с конечными пределами ..... 615 494. Случай интегралов с бесконечным пределом ........... 617 495. Интегралы Фруллани .......................... 621 496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами ................................. 623 497. Смешанные примеры и упражнения................. 629 § 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов. ..... 641 498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей 641 499. Примеры .................................. 642 500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов ................................. 646 501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бес- конечным пределом ........................... 647 502. Использование асимптотических разложений ........... 650 ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА § 1. Элементарная теория ............................ 654 503. Постановка задачи ............................ 654 504. Равномерное стремление к предельной функции ......... 654 505. Перестановка двух предельных переходов ............. 657 506. Пределиный переход под знаком интеграла ............ 659 507. Дифференцирование под знаком интеграла ............ 661 508. Интегрирование под знаком интеграла............... 663 509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра . . . 665 510. Введение множителя, зависящего лишь от х ........... 668 511. Примеры .................................. 669 512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры ...... 680 § 2. Равномерная сходимость интегралов .................. 682 513. Определение равномерной сходимости интегралов ........ 682 514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами ....... 684 515. Достаточные признаки равномерной сходимости ......... 684 516. Другой случай равномерной сходимости .............. 687 517. Примеры .................................. 689 § 3. Использование равномерной сходимости интегралов....... 694 518. Предельный переход под знаком интеграла ............ 694 519. Примеры .................................. 697 520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по пара- метру .................................... 710 521. Интегрирование интеграла по параметру. ............. 714 522. Применение к вычислению некоторых интегралов. ....... 717 523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла .... 723 524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла ....... 733 10 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. Дополнения ................................... 743 525. Лемма Арцела ............................... 743 526. Предельный переход под знаком интеграла ............ 745 527. Дифференцирование под знаком интеграла ............ 748 528. Интегрирование под знаком интеграла ............... 749 § 5. Эйлеровы интегралы ............................. 750 529. Эйлеров интеграл первого рода ................... 750 530. Эйлеров интеграл второго рода ................... 753 531. Простейшие свойства функции Г................... 754 532. Однозначное определение функции Г ее свойствами ...... 760 533. Другая функциональная характеристика функции Г....... 762 534. Примеры .................................. 764 535. Логарифмическая производная функции Г............. 770 536. Теорема умножения для функции Г................. 772 537. Некоторые разложения в ряды и произведения ......... 774 538. Примеры и дополнения......................... 775 539. Вычисление некоторых определенных интегралов ........ 782 540. Формула Стирлинга ........................... 789 541. Вычисление эйлеровой постоянной. ................. 792 542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г... 793 Алфавитный указатель ............................... 795 •^ ГЛАВА ВОСЬМАЯ ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) § 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла). Во многих вопросах науки и техники приходится не по заданной функции искать ее производную, а наоборот—восстанав- ливать функцию по известной ее производной. В 91, предполагая известным уравнение движения s==s(t), т. е. закон изменения пути с течением времени, мы путем дифференцирования нашли сначала скорость v==—, а затем и ускорение а==— На деле, однако, ча- сто приходится решать обратную задачу: ускорение а задано в функции от времени t: я == a (t), требуется опреде- лить скорость v и пройденный путь s в зависимо- сти от t. Таким образом, здесь оказывается нужным по функции a=a(t) восстановить ту 41ункцию v=v(t), для которой а является производной, а затем, зная функцию v, найти ту функцию s==s(t), для которой производной будет v. Дадим следующее определение: Функция F(x) в данном промежутке называется первооб- разной функцией для функции f(x) ила интегралом от f(x), если во всем этом промежутке f(x) является производной для функции Р(х) или, что то же, f(x)dx служит для F(x) диф- ференциалом F'(x)==f(x) или dF(x)==f(x)dxsf. Разыскание для функции всех ее первообразных, называемое интегрированием ее, и составляет одну из задач интегрального ис- числения; как видим, эта задача является обратной основной задаче дифференциального исчисления. * В этом случае говорят также, что функция F(x) является первооб- разной (или интегралом) для дифференциального выражения /(л-) dx. 12 [263 ГЛ. VIII. ПВРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Теорема. Если в некотором (конечном или бесконечном, замкнутом или нет) промежутке Ж функция F(x) есть перво- образная для функции f(x), то и функция F(x)-\-C, где С— любая постоянная, также будет первообразной. Обратно, каж- дая функция, первообразная для f(x) в промежутке ?f может быть представлена в этой форме. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. То обстоятельство, что, наряду с F(x), и F(x)-\-C является первообразной для f(x), вполне очевидно, ибо [F(x)-}-C]'=F'(x)=f(x). Пусть теперь Ф(х) будет любая первообразная для f(x) функ- ция, так что в промежутке Ж ф'(х)=/(х). Так как функции F(х) и Ф(х) в рассматриваемом промежутке имеют одну и ту же производную, то они разнятся на постоянную [131, следствие]: Ф(х)=Р(х)+С, что и требовалось доказать. Из теоремы следует, что достаточно найти для данной функции f(x) только одну первообразную функцию F(x), чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми. В силу этого выражение F(x)-\-C, где С—произвольная по- стоянная, представляет собой общий вид функции, которая имеет производную f(x) или дифференциал f(x)dx. Это выраже- ние называется неопределенным интегралом f(x) и обо- значается символом \f(x)dx, в котором неявным образом уже заключена произвольная постоянная. Произведение f(x) dx называется подинтегральным выраже- нием, а функция f(x) — подинтегральной функцией. Пример. Пусть f(x)=x'г•, тогда, как нетрудно видеть, неопре- деленный интеграл этой функции будет \x2dx=XS^C. *i о Это легко проверить обратным действием — дифференцированием. Обращаем внимание читателя на то, что под знаком «интеграла» \ пишут дифференциал искомой первообразной функции, а не производную (в нашем примере: х* dx, а не х1). Такой способ записи, как будет выяснено ниже [294], создался исторически; к тому же он предоставляет ряд преимуществ, и его сохранение вполне це- лесообразно. 263] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 13 Из определения неопределенного интеграла непосредственно выте- кают следующие свойства: 1. d\f(x)dx===f(x)dx, т. е. знаки d и \, когда первый помещен перед вторым, взаимно сокращаются. 2. Так как F (х) есть первообразная функция для F'(х), то имеем \F'(x)dx=F(x)-\-C, что может быть переписано так: \dF(,x)==F(x)-{-C. Отсюда видим, что знаки d и \, стоящие перед F (х), сокра- J щаются и тогда, когда d стоит после \, но только к F(x) нуж- но прибавить произвольную постоянную. Возвращаясь к той механической задаче, которую мы поставили вначале, мы можем теперь написать, что v == \ a (t) dt s=\v(f)dt. Предположим для определенности, что мы имеем дело с равноуско- ренным движением, например под действием силы тяжести; тогда a==g (если направление по вертикали вниз считать положительным) и — как нетрудно сообразить — Мы получили выражение для скорости v, в которое, кроме вре- мени t, входит еще и произвольная постоянная С. При различных значениях С мы будем получать и различные значения для скорости в один и тот же момент времени; следовательно, имеющихся у нас данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину скорости в один какой-нибудь момент времени. Например, пусть нам известно, что в момент t===t» скорость v=Vy; подставим эти зна- чения в полученное выражение для скорости откуда v» = gtu + С, C=vy—gty, 14 (264 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ и теперь наше решение принимает уже вполне определенный вид v==g(t—to)-{-vo. Найдем, далее, выражение для пути & Имеем -t») + С' •v,]dt==^g(t-t,y^-v,(t. (дифференцированием легко проверить, что первообразная функция может быть взята в такой форме). Неизвестную нам новую постоян- ную С' можно определить, если, например, дано, что путь s==&'o в момент t==to; найдя, что С'==5д, перепишем решение в оконча- тельном виде s=Ji-^—^)2+^-0, то, вследствие непрерывности, т и М будут стре- миться к /(х), а тогда и АР Р'(х)= \im-==f(x). Дл- Таким образом, мы приходим к замечательной теореме (обычно называемой теоремой Ньютона и Лейбница):* производная от переменной площади Р(х) по конечной абсциссе х равна ко- нечной ординате у ==f(x). Иными словами, переменная площадь Р(х) представляет собой первообразную функцию для данной функции y==f(x). В ряду других первообразных эта первообразная выделяется по тому признаку, что она обращается в 0 при х==а. Поэтому, если * В действительности это предложение—хотя и в другой форме—опу- бликовал еще Б а р р о у (Is. Barrow), учитель Ньютона. 16 [264 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ известна какая-либо первообразная F(x) для функции f(x), и по теореме предыдущего п° P(x)=F(x)+C, то постоянную С легко определить, положив здесь х=а О ==.F (а) 4-С, так что C=—F(a). Окончательно P(x)==F(x)—F(a). В частности, для получения площади Р всей криволинейной тра- пеции ABCD нужно взять х = Ь: P==F(b)—F(a). В виде примера, найдем площадь Р(х) фигуры, ограниченной параболой у=== ах2, ординатой, отвечающей данной абсциссе х, и отрезком оси х (рис. 3); так как парабола пересекает ось х в начале координат, то начальное значение х здесь 0. Для функции f(x)=ax1' легко найти первообразную: /7у3 F(x)=—^-. Эта функция как раз и об- 0 ращается в 0 при х=0, так что P(x)=F(x)=a^xi [ср. 32, 4)]. Ввиду той связи, которая существует между вычислением интегралов и нахож- дением площадей плоских фигур, т. е. квад- ратурой их, стало обычным и самое вы- числение интегралов называть квадра- турой. Для распространения всего сказанного выше на случай функции, принимающей и отрицательные значения, достаточно условиться считать отрица- тельными площади частей фигуры, расположенных под осью х. Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежутке [а, Ь} функция f(x), читатель всегда может представить себе перво- образную для нее функцию в виде переменной площади фигуры, ограниченной графиком данной функции. Однако считать эту геомет- рическую иллюстрацию доказательством существования первооб- разной, разумеется, нельзя, поскольку самое понятие площади еще не обосновано. В следующей главе [305] мы сможем дать строгое и притом чисто аналитическое доказательство того важного факта, что каждая 265] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 17 непрерывная в данном промежутке функция f(x) имеет в нем первообразную. Это утверждение мы принимаем уже сейчас. В настоящей главе мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Если функция задана конкретно и имеет точки разрыва, то рассматривать ее будем лишь в промежутках ее непрерывности. Поэтому, допустив сформулированное выше утвер- ждение, мы освобождаемся от необходимости всякий раз оговаривать существование интегралов: рассматриваемые нами инте- гралы все существуют. 265. Таблица основных интегралов. Каждая формула диффе- ренциального исчисления, устанавливающая, что для некоторой функ- ции F(x) производной будет f(x), непосредственно приводит к со- ответствующей формуле интегрального исчисления \f(x)dx==F(x)+C. Перебрав формулы п° 95, по которым вычислялись производные эле- ментарных функций, а также некоторые формулы, выведенные даль- ше (для гиперболических функций), мы можем теперь составить сле- дующую таблицуинтегралов: 1. ^0-dx==C. 2. \\ -dx==\dx=x-\-C. J J 3. ^x^dx=-^-}-C (y.^-1). 4•$т^=$?==lnM+^• 5- ^тт^Чг^=al•ct^+c• 6. Y\—x -dx= dx == arcsin x + C. 7. V^rfn:=^+C. \exdx=ex-{-C. 8. ^ sin л- dx = — cos x + C. 9. 0, то из известной формулы дифференцирования [1пл:]'==— непосредственно следует Х Г dx , , „ ^=ы,;4-с. Если же промежуток лежит влево от нуля и х<^0, то дифферен- цированием легко убедиться в том, что [In (— x)]* == —, откуда dx == In (— x) + С. Обе эти формулы и объединены в формуле 4. Рамки приведенной выше таблицы интегралов раздвигаются при помощи правилинтегрирования. 266. Простейшие правила интегрирования. I. Если а—по- стоянная (а ^ 0), то \ a-f(x) dx=a- \f(x)dx. Действительно, дифференцируя выражение справа, мы получим [105, I] d [a • ^ f (x) dx\ = a • d \\,f(x) dx] == a -f(x) dx, так что это выражение является первообразной для дифференциала a-f(x)dx, ч. и тр. д. Итак, постоянный множитель можно вы- носить из-под знака интеграла. П. \[f(x)±g(x)]dx==\f(x)dx±\g(x)dx. Дифференцируем выражение справа [105, II]: d[\f(x)dx+\g(x)dx]= = d \ f (x) dx ± d \g(x) dx == [f (x) ± g (x)] dx, 267] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 19 таким образом, это выражение является первообразной функцией для последнего дифференциала, ч. и тр. д. Неопределенный инте- грал от суммы, (разности) дифференциалов равен сумме (разности) интегралов от каждого дифференциала в отдельности. Замечание. По поводу этих двух формул заметим следующее. В них входят неопределенные интегралы, содержащие каждый произ- вольное постоянное слагаемое. Равенства подобного типа пони- маются в том смысле, что разность между правой и левой частями его есть постоянная. Можно понимать эти равенства и буквально, но тогда один "из фигурирующих в них интегралов перестает быть произвольной первообразной: постоянная в нем устанавливается после выбора постоянных в других интегралах. Это важное заме- чание следует иметь в виду и впредь. 111. Если \f(t)dt=F(t)+C, то \f(ax-^b)dx=-^-F(ax+b)^-C'. Действительно, данное соотношение равносильно следующему: dt Но тогда так что ^ F (ах + Ь) = F' (ах + V) • а = а • f (ах + Ь), ^F(ax-^b)\=f{ax^-b-), т. е. —F(ax-}-b) действительно оказывается первообразной для функции f(ax -\- Ь). Особенно часто встречаются случаи, когда а === 1 или Ь == 0: ^ f(x + b) dx = F (x + b) + Ci, \f(ax-)dx=^.F(x)-}-C„ j [На деле правило III есть весьма частный случай правила замены переменной в неопределенном интеграле, о чем будет речь ниже, 268.] 267. Примеры. ^ (6л-2 — Зх + 5) dx. Пользуясь правилами II и I (и формулами 3, 2), имеем ^ (6х2 — Зх + 5) dx == \ 6л-2 dx — [ Sxdx + ^ 5 dx == ==6^xadx—3^xdx+5^c!x==2xз—зx^!+5x+C.