517.2 Ф65 У ДК 517 (075.8) Григорий Михайлович Фцхтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III М., 1970 г., 656 стр. с илл. Редактор В. В. Абгарян Техн. редактор В. Н. Кондакова Корректор Т. А. Панъкова Сдано в набор 18/XI 1968 г. Подписано к печати 16/VI 1970 г. Бумага 60х90 1/16. Физ. печ. л. 41. Условн. печ. л. 41. Уч.-изд. л. 43,17. Тираж 50000 экз. Цена книги 1 р. 31 к. Заказ № 13.003 Издательство « Наука » Главная редакция физико-математической литературы Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Университетская типография, Будапешт 2-2-3 183-69 ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА § 1. Криволинейные интегралы первого типа ............................... 11 543. Определение криволинейного интеграла первого типа ............ 11 544. Сведение к обыкновенному определенному интегралу ............ 13 545. Примеры ....................................................... 15 § 2. Криволинейные интегралы второго типа ............................... 20 546. Определение криволинейных интегралов второго типа ............ 20 547. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа ........................................................... 22 548. Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости .............. 25 549. Примеры ........................'............................... 27 550. Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной ....... 30 551. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов .... 32 552. Примеры ....................................................... 35 553. Связь между криволинейными интегралами обоих типов ........ 38 554. Физические задачи ............................................. 40 § 3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути ............. 45 555. Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале ... 45 556. Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути ........... 46 557. Вычисление криволинейного интеграла через первообразную ...... 49 558. Признак точного дифференциала и нахождение первообразной в слу- чае прямоугольной области ..................................... 50 559. Обобщение на случай произвольной области ..................... 52 560. Окончательные результаты ..................................... 55 561. Интегралы по замкнутому контуру .............................. 56 562. Случай неодносвязной области или наличия особых точек ........ 57 563. Интеграл Гаусса ................................................ 62 564. Трехмерный случай ............................................ 64 565. Примеры ....................................................... 67 566. Приложение к физическим задачам .............................. 71 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. Функции с ограниченным изменением .................................. 74 567. Определение функции с ограниченным изменением .............. 74 568. Классы функций с ограниченным изменением .................... 76 569. Свойства функций с ограниченным изменением .................. 79 570. Критерии для функций с ограниченным изменением ............. 82 571. Непрерывные функции с ограниченным изменением ............. 84 572. Спрямляемые кривые ........................................... 87 § 5. Интеграл Стилтьеса ................................................. 89 573. Определение интеграла Стилтьеса ............................... 89 574. Общие условия существования интеграла Стилтьеса .............. 91 575. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса ............. 92 576. Свойства интеграла Стилтьеса .................................. 95 577. Интегрирование по частям ..................................... 97 578. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана ............ 98 579. Вычисление интегралов Стилтьеса .............................. 100 580. Примеры ....................................................... Ю4 581. Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса .............. 111 582. Теорема о среднем, оценки .;.................................. 112 583. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса ........... 114 584. Примеры и дополнения ........................................ 115 585. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса ...................................................... 120 ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла ................ 122 586. Задача об объеме цилиндрического бруса ........................ 122 587. Сведение двойного интеграла к повторному ..................... 123 588. Определение двойного интеграла ............................... 125 589. Условия существования двойного интеграла ..................... 127 590. Классы интегрируемых функций ................................. 128 591. Нижний и верхний интегралы, как пределы ...................... 130 592. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов ......... 131 593. Интеграл, как аддитивная функция области; дифференцирование по области ........................................................ 134 § 2. Вычисление двойного интеграла ....................................... 137 594. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоуголь- ной области ................................................... 137 595. Примеры ....................................................... 141 596. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволиней- ной области ................................................... 149 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 597. Примеры ....................................................... 152 598. Механические приложения ....................................... 165 599. Примеры ....................................................... 167 § 3. Формула Грина ...................................................... 174 600. Вывод формулы Грина ......................................... 174 601. Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных ин- тегралов ....................................................... 178 602. Примеры и дополнения ........................................ 179 § 4. Замена переменных в двойном интеграле .............................. 182 603. Преобразование плоских областей .............................. 182 604. Примеры ....................................................... 184 605. Выражение площади в криволинейных координатах .............. 189 606. Дополнительные замечания ..................................... 192 607. Геометрический вывод ......................................... 194 608. Примеры ....................................................... 196 609. Замена переменных в двойных интегралах ...................... 204 610. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области .............................•..•••.•.....•••••••••••••• 206 611. Примеры ........................................••••••••••••••• 207 § 5. Несобственные двойные интегралы .................................... 214 612. Интегралы, распространенные на неограниченную область ....... 214 613. Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного ин- теграла ..............................•....•.•.....•••••••••••••• 217 614. Приведение двойного интеграла к повторному ................... 219 615. Интегралы от неограниченных функций .......................... 221 616. Замена переменных в несобственных интегралах ................. 223 617. Примеры ...............................•..•.•••.••••••••••••••• 325 ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Двусторонние поверхности ............................................ 241 618. Сторона поверхности ..............................••••••••••••• 241 619. Примеры ....................................................... 243 620. Ориентация поверхностей и пространства ........................ 244 621. Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали ... 246 622. Случай кусочно-гладкой поверхности ................•....••••••• 247 § 2. Площадь кривой поверхности .............................•••-•••••••• 248 623. Пример Шварца ................................................ 248 624. Определение площади кривой поверхности ................••••••• 251 625. Замечание .....................................•.••••••••••••••• 252 6 ОГЛАВЛЕНИЕ 626. Существование площади поверхности и ее вычисление ........... 253 627. Подход через вписанные многогранные поверхности ............. 258 628. Особые случаи определения площади ........................... 259 629. Примеры ....................................................... 260 § 3. Поверхностные интегралы первого типа ............................... 274 630. Определение поверхностного интеграла первого типа ............. 274 631. Сведение к обыкновенному двойному интегралу ................. 275 632. Механические приложения поверхностных интегралов первого типа ........................................................... 277 633. Примеры ....................................................... 279 § 4. Поверхностные интегралы второго типа .............................. 285 634. Определение поверхностного интеграла второго типа ............ 285 635. Простейшие частные случаи ..................................... 287 636. Общий случай ................................................. 290 637. Деталь доказательства ......................................... 292 638. Выражение объема тела поверхностным интегралом ............. 293 639. Формула Стокса ................................................ 297 640. Примеры ....................................................... 299 641. Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных ин- тегралов в пространстве ........................................ 305 ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Тройной интеграл и его вычисление .................................. 308 642. Задача о вычислении массы тела ............................... 308 643. Тройной интеграл и условия его существования ................. 309 644. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов ......... 310 645. Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллеле-' пипед .......................................................... 312 646. Вычисление тройного интеграла по любой области .............. 314 647. Несобственные тройные интегралы .............................. 315 648. Примеры ....................................................... 316 649. Механические приложения ....................................... 323 650. Примеры ....................................................... 325 § 2. Формула Гаусса—Остроградского .................................... 333 651. Формула Остроградского ....................................... 333 652. Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхност- ных интегралов ................................................. 335 653. Интеграл Гаусса ................................................ 336 654. Примеры ....................................................... 338 ОГЛАВЛЕНИЕ 7 § 3. Замена переменных в тройных интегралах ............................. 342 655. Преобразование пространств и криволинейные координаты ....... 342 656. Примеры ....................................................... 343 657. Выражение объема в криволинейных координатах ................ 345 658. Дополнительные замечания ..................................... 348 659. Геометрический вывод ......................................... 349 660. Примеры ....................................................... 350 661. Замена переменных в тройных интегралах ....................... 358 662. Примеры ....................................................... 359 663. Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку .......................................................... 364 § 4. Элементы векторного анализа ........................................ 366 664. Скаляры и векторы ............................................. 366 665. Скалярное и векторное поля .................................... 367 666. Градиент ...................................................... 368 667. Поток вектора через поверхность ............................... 370 668. Формула Остроградского. Дивергенция .......................... 371 669. Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь .................... 372 670. Специальные поля ............................................. 374 671. Обратная задача векторного анализа ............................ 378 672. Приложения ................................................... 378 § 5. Многократные интегралы ............................................ 384 673. Задача о притяжении и потенциале двух тел ..................... 384 674. Объем п-мерного тела, и-кратный интеграл ..................... 386 675. Замена переменных в и-кратном интеграле ....................... 388 676. Примеры ....................................................... 391 ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. Введение ........................................................... 414 677. Периодические величины и гармонический анализ ................ 414 678. Определение коэффициентов по методу Эйлера—Фурье ........... 417 679. Ортогональные системы функций ................................ 419 680. Тригонометрическое интерполирование .......................... 424 § 2. Разложение функций в ряд Фурье .................................... 427 681. Постановка вопроса. Интеграл Дирихле ......................... 427 682. Первая основная лемма ......................................... 429 683. Принцип локализации ........................................... 432 8 ОГЛАВЛЕНИЕ 684. Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье ............ 433 685. Вторая основная лемма ......................................... 436 686. Признак Дирихле—Жордана .................................... 438 687. Случай непериодической функции ................................ 440 688. Случай произвольного промежутка .............................. 441 689. Разложения только по косинусам или только по синусам ........ 442 690. Примеры ....................................................... 446 691. Разложение In Г (х) ............................................. 461 § 3. Дополнения .......................................................... 463 692. Ряды с убывающими коэффициентами ........................... 463 693. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитиче- ских функций комплексной переменной .......................... 469 694. Примеры ....................................................... 472 695. Комплексная форма рядов Фурье ............................... 477 696. Сопряженный ряд .............................................. 480 697. Кратные ряды Фурье ........................................... 483 § 4. Характер сходимости рядов Фурье .................................... 484 698. Некоторые дополнения к основным леммам .................... 484 699. Признаки равномерной сходимости рядов Фурье ................. 487 700. Поведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай ...... 490 701. Случай произвольной функции .................................. 495 702. Особенности рядов Фурье; предварительные замечания ........... 497 703. Построение особенностей ....................................... 500 § 5. Оценка остатка в зависимости от дифференциальных свойств функции ... 502 704. Связь между коэффициентами Фурье функции и ее произ- водных ......................................................... 502 705. Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции ....... 503 706. Оценка остатка в случае функции с ограниченной k-u. производ- ной ............................................................ 505 707. Случай функции, имеющей k-ю производную с ограниченным изме- нением ........................................................ 507 708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье ........................................... 509 709. Случай функции, заданной в промежутке [0, л] .................. 514 710. Метод выделения особенностей ..............•.••..•••..••..•••• 516 § 6. Интеграл Фурье ..................................................... 524 711. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье ............. 524 712. Предварительные замечания ..................................... 526 713. Достаточные признаки .......................................... 527 7.14. Видоизменение основного предположения ........................... 529 ОГЛАВЛЕНИЕ 9 715. Различные виды формулы Фурье ................................ 532 716. Преобразование Фурье .......................................... 534 717. Некоторые свойства преобразований Фурье ..................... 537 718. Примеры и дополнения ........................................ 538 719. Случай функции двух переменных .............................. 545 § 7. Приложения ........................................................ 547 720. Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию ..................................................... 547 721. Задача о колебании струны ..................................... 549 722. Задача о распространении тепла в конечном стержне ............ 553 723. Случай бесконечного стержня ................................... 557 724. Видоизменение предельных условий ............................. 559 725. Распространение тепла в круглой пластине ...................... 561 726. Практический гармонический анализ. Схема для двенадцати ординат ....................................................... 563 727. Примеры ....................................................... 565 728. Схема для двадцати четырех ординат ........................... 569 729. Примеры ....................................................... 570 730. Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов Фурье ......................................................... 571 ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ РЯДЫ ФУРЬЕ (продолжение) , § 1. Операции над рядами Фурье. Полнота и замкнутость ................. 574 731. Почленное интегрирование ряда Фурье .......................... 574 732. Почленное дифференцирование ряда Фурье ...................... 577 733. Полнота тригонометрической системы ........................... 578 734. Равномерная аппроксимация функций. Теоремы Вейерштрасса .... 580 735. Аппроксимация функций в среднем. Экстремальные свойства отрез- ков ряда Фурье ................................................. 583 736. Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Ляпунова .... 586 737. Обобщенное уравнение замкнутости ............................. 589 738. Умножение рядов Фурье ....................................... 592 739. Некоторые приложения уравнения замкнутости .................. 593 § 2. Применение методов обобщенного суммирования к рядам Фурье ......... 599 740. Основная лемма ............................................... 599 741. Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона—Абеля ......... 601 742. Решение задачи Дирихле для круга ............................. 605 743. Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро—Фейера ........... 60,7 10 ОГЛАВЛЕНИЕ 744. Некоторые приложения обобщенного суммирования рядов Фурье 609 745. Почленное дифференцирование рядов Фурье ..................... 611 § 3. Единственность тригонометрического разложения функции .............. 613 746. Вспомогательные предложения об обобщенных производных ...... 613 747. Риманов метод суммирования тригонометрических рядов ........ 616 748. Лемма о коэффициентах сходящегося ряда ...................... 620 749. Единственность тригонометрического разложения ................ 621 750. Заключительные теоремы о рядах Фурье ........................ 623 751. Обобщение .................................................... 626 ДОПОЛНЕНИЕ ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ПРЕДЕЛ 752. Различные виды пределов, встречающиеся в анализе ............ 631 753. Упорядоченные множества (в собственном смысле) .............. 632 754. Упорядоченные множества (в обобщенном смысле) .............. 633 755. Упорядоченная переменная и ее предел .......................... 636 756. Примеры ....................................................... 637 757. Замечание о пределе функции ................................... 639 758. Распространение теории пределов ............................... 640 759. Одинаково упорядоченные переменные ........................... 643 760. Упорядочение с помощью числового параметра ................. 644 761. Сведение к варианте ........................................... 645 762. Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной ... 647 Алфавитный указатель .................................................. 650 ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА § 1. Криволинейные интегралы первого типа 543. Определение криволинейного интеграла первого типа. Для того чтобы естественным путем прийти к этому новому понятию, рас- смотрим одну механическую задачу, которая к нему приводит. Пусть на плоскости дана непрерывная простая * спрямляемая кри- вая (К) (рис. 1), вдоль которой расположены массы, причем известна их линейная плотность ц(М) во всех точках М кривой. Тре- буется определить массу т всей кривой (К). Рис. 1. С этой целью между концами А и В кривой вставим произвольно ряд точек А^,А^, ...,Ап-\ (,Ац и An для симметрии обозначений ото- ждествляются с А и В). Мы счи- таем, что точки эти перенумеро- ваны в направлении от А к В [см. 246], хотя ничто не мешало бы нам нумеровать их и в обратном напра- влении. Взяв какую-нибудь точку М, на дуге А,А,^ кривой, вычислим плотность е(М,) в этой точке. Приближенно считая, что такова же плотность во всех точках этого уча- стка, и обозначая длину дуги А,А^ через о-,, для массы w, этой дуги будем иметь приближенное выражение w, = р(М,) о-,, а для всей искомой массы - выражение m^'ZeWff,- 1=0 * Ограничимся для определенности случаем незамкнутой кривой. 12 ГЛ. XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА [543 Погрешность этого последнего, связанная с сделанным выше при - ближенным допущением, будет стремиться к нулю, если длины о-; всех участков стремятся к нулю. Таким образом, обозначая через ). наибольшую из длин сг;, для получения точной формулы остается лишь перейти к пределу: л-1 т = lim J5" (?(Л^)сг; • Л-О 1=0 Станем же изучать вообще пределы этого рода и, отвлекаясь от рассмотренной задачи, возьмем произвольную «функцию точки»/(М) = =» f(x, у), заданную вдоль непрерывной простой спрямляемой кривой (К) *, и повторим указанный процесс: разбив кривую (К) на элемен- тарные дуги А,А,^ и выбрав на них произвольно по точке М^, rji), вычислим значения f(M,) = /(^,•, г],) в них и составим сумму 2w^=27^,^; она представляет собой также своего рода «интегральную сумму». Аналогичный процесс может быть применен и в случае замкну- той кривой, если за точку Ац(А^) выбрать любую ее точку, а осталь- ные точки Ai расположить в соответствии с тем или другим направле- нием на кривой [246]. Если при стремлении Л = тах о к нулю интегральная сумма имеет определенный конечный предел I, не зависящий ни от способа дробле- ния кривой (К), ни от выбора точек М, на участках А,А,^, то он на- зывается криволинейным интегралом (первого типа **) от функции f(M) = f(x, у), взятым по кривой или по пути (К), и обозначается символом (1) т т (где s есть длина дуги кривой и ds напоминает об элементарных дли- нах ст,). Точную характеристику предельного процесса можно предо- ставить читателю. Таким образом, полученное выше выражение для массы матери- альной кривой может быть переписано так: т = д(М) ds. (2) т * При этом предполагается, что в основу положена некоторая прямоуголь- ная система координат. ** В отличие от криволинейных интегралов второго типа, рассматри- ваемых ниже [546]. 544] 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА 13 Отметим особо, что в приведенном определении не играет никакой роли направление, которое может быть придано пути (К). Если, например, эта кривая не замкнута и под (АВ) и (ВА) разуметь разно направленные кривые, то \f(M)ds^ \f(M)ds. (АВ) (.ВА) Аналогично рассмотренному, мы могли бы ввести понятие инте- грала, распространенного на пространственную кривую {К): jf(M)ds= ff(x,y,z)d^-. W (K) Ввиду отсутствия новых принципиальных моментов нет надоб- ности вдаваться здесь в подробности. 544. Сведение к обыкновенному определенному интегралу. Пред- положим, что на кривой (К) произвольно установлено направление (одно из двух возможных), так что положение точки М на кривой может быть определено длиной дуги s-=AM, отсчитываемой от на- чальной точки А. Тогда кривая (К) параметрически выразится урав- нениями вида: x=x(s\ y=y(s) (O^s^S), а функция f(x, у), заданная в точках кривой, сведется к сложной функ- ции f(x(s), у (s)) от переменной s. Если через s, (i-=0, I, ..., и) обозначить значения дуги, отвечаю- щие выбранным на кривой точкам деления А,, то, очевидно, о-,= = •s'i+1- Sf=Asi. Обозначив через ^ значения s, определяющие точки М, (причем, очевидно, 5,^^asJ,+i), видим, что интегральная сумма для криволинейного интеграла "ZfW^ZfW, y(s,))zis, 1=0 1=0 является в то же время интегральной суммой для обыкновенного опре- деленного интеграла, так что сразу имеем: s J f(M) ds = (R) J f(x(s), y(s)) ds **, (3) (к) о причем существование одного из интегралов влечет за собой суще- ствование другого. * В основу кладется некоторая прямоугольная система координат. Функция / определена лишь в точках кривой (К). ** Значок (R) указывает, что интеграл понимается здесь в согласии с обыкно- венным, римановым определением. 14 ГЛ. XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА [544 Эта непо средственность сведения криволинейного ин- теграла первого типа к обыкновенному интегралу, разумеется, пони- жает его теоретическое значение, но методическое значение он все же сохраняет. Интеграл, очевидно, существует, например, в случае непрерывно- сти функции /(М) *, что мы будем впредь предполагать. Пусть теперь простая кривая (К) задана произвольными параме- трическими уравнениями x=cp(t), y^(t) (?„«s^r), где функции (р и у непрерывны со своими производными у' и у'. Тогда кривая заведомо спрямляема, и если возрастание дуги .?= =AM=s(t) отвечает возрастанию параметра г, то s',=y[vW+Wwp [248 (10)]. Заменяя переменную в интеграле (3) справа, сразу полу- чим: т J/(M) ds= J/(y(/), ^WW^WWdt. (.К) /, (4) Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла перво- го типа надлежит заменить в подынтегральной функции переменные х и у выражениями координат через параметр, а множитель ds - дифференциалом дуги, как функции параметра. Подчеркнем, что ниж- ний предел определенного интеграла(4) должен быть меньше верхнего. В случае кривой, заданной явным уравнением y^y(x) (a^sx^b), формула (4) принимает вид: J/(M) ds -= J/(.v, у{х)) /1Т[700Г2 dx. т а (5) Этому соотношению можно придать и другую форму. В предположении непрерывности функции у(х) вместе с ее производной у'(х), кривая (К) в каждой точке будет иметь определенную касательную, не параллельную оси у. Обозначив через о: угол касательной с осью х, получим: 1 tg ос - у'(х), | cos a [ - —— . Vl+[y'(x)f * Мы имеем в виду непрерывность в точках кривой (К) вдоль нее. На языке w-(5» это означает, что по е>0 найдется такое й>0, что \f(M')-f(M)\ ) (6i^S«s0«) в полярных координатах. е, Ответ. /= j f(r cos в, г sin в) Уг2Т72 ей. t'i I* ds S) Вычислить интеграл Н= ————, если (К) есть отрезок гиперболической