РЕЦЕНЗЕНТЫ:

А. М. ЗАЕЗДНЫИ и Н. Т. ПЕТРОВИЧ

6Ф1

К50
УДК 621.391

Кловский Д. Д.

К50    Теория передачи сигналов. Учебник для вузов. М.,
«Связь», 1973 •г.

376 с. с ил., табл.

В книге последовательно рассматриваются основные положения тео-
рии передачи сигналов. Описываются основы теории сигналов, теории по-
мехоустойчивого приема. Рассматриваются проблемы кодирования,

Определяются наиболее помехоустойчивые способы передачи, срав-
ниваются между собой различные системы связи. Формулируются конт-
рольные вопросы, которые помогут глубже понять материал.

Книга предназначена для студентов электротехнических институтов
связи. Она может быть полезна широкому кругу специалистов радиотех-
ники и электросвязи.

К

6Ф!
Г0341—12

п__"уо

045(01)—73

Даниил Давидович
Кловский

ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ
СИГНАЛОВ

Редактор В. Л. Черняк
Техн. редактор К,- Г. Маркой-
Корректор М. X. Механик

Сдано в набор 18/IX 1972 г.
Подписано в печать 19/XII 1972 г.
Форм. бум. 60х90/16 23,5 печ. л.
23,5 усл.-печ. л.    25,68 уч.-язд. л.
Т-16681    Тираж 20.000 экз. Зак. изд. 14707
Бумага типографская № 2 Цена 1 руб. 14 коп.
Издательство «Связь», Москва-центр,
Чистопрудный бульвар, 2

Типография изд-ва «Связь» Государственного
комитета Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва-центр, ул. Кирова, 40. Зак. тип. 386

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.
Условные обозначения .   ..............     5

Предисловие    .................     7

Введение    ..................     8

Глава 1. Математическое описание и свойства сигналов и помех

1.1. Детерминированные и случайные процессы   .......    16

1.2. Вероятностные характеристики случайных процессов   .....    19

1.3. Стационарные случайные процессы ..........    26

1.4. Эргоднческие случайные процессы   ..........    31

1.5. Нормальный (гауссовскпй) случайный процесс и его основные

свойства   .................    35

1.6. Элементы спектральной теории  случайных  процессов.   Энерге-
тический спектр   ...............    37

1.7. Огибающая, мгновенная фаза и частота   ........    44

i 1.8. Вероятностные характеристики огибающей и фазы   .....    52

V 1.9. Основы теории дискретизации функций непрерывного аргумента. Тео-
рема Котельникова   ......'........    57

1.10. Пространства сообщении и сигналов. Системы сигналов, ортогональ-
ных в обычном и усиленном смысле   .........    64

Физический объем сигнала и канала связи   .......    74

Глава 2. Модулированные сигналы

2.1. Виды модуляции. Модуляция и демодуляция  .......    78

2.2. Спектры модулированных колебаний при модуляции детерминирован-
ными сигналами .   .............'.   86

2.3. Функция корреляции и энергетический спектр модулированных сигна-
лов при модуляции гармонической несущей случайным процессом   .    94

Глава 3. Каналы связи и их звенья

3.1. Общие сведения о каналах связи, их классификация   ....   106

32. Искажения сигналов, обусловленные   характеристиками каналов

связи .   .................   113

^ 3.3. Аддитивные помехи в канале связи, их физическая природа, клас-
сификация и статистика   ............   126

\! 3.4. Модели каналов связи и их математическое описание   .....   131

3.5. Прохождение случайных воздействий через канал связи и его звенья   138

Глава 4. Основы теории информации

'4.1. Количественное определение информации. Энтропия и информацион-
ные характеристики дискретного источника   .......   153

V 4.2. Количество и скорость передачи информации по дискретному кана-

I     лу с шумами  ...............  164

V 4.3. Пропускная способность дискретного канала и теоремы оптимального

кодирования  ................   173

4.4. Энтропия непрерывного источника сообщений   ......   184

4.5. Количество и скорость передачи информации по непрерывным кана-
лам. Пропускная способность непрерывного канала   .....   190

is              Г л а в а 5. Основы теории кодирования

i;        5.1. Классификация кодов, их представление, свойства кодов без избы.-
^             точности .    ................   208

"                                                                   э

Стр.

5.2. Корректирующие коды и их.свокства. Методы декодирования при ис-
пользовании корректирующих кодов   .........   209

5.3. Эффективность избыточного кодирования   ........   226

Глава 6. Основы теории помехоустойчивости приема дискретных сообще-
ний в непрерывных каналах

6.1. Постановка задачи оптимального приема сигналов   .....   232

6.2. Критерии оптимального приема дискретных сообщений в непрерыв-
ном канале   ................  235

6.3. Алгоритм оптимального приема при точно известном сигнале и его

реализация на основе фильтров ...........   240

6.4. Реализация алгоритма оптимального приема на основе согласованных

фильтров .   .............   ...   246

6.5. Потенциальная помехоустойчивость (минимальная вероятность ошиб-
ки) при точно известном ансамбле сигналов. Оптимальный ансамбль
двоичных сигналов   ..............   254

6.6. Алгоритм оптимального приема и потенциальная помехоустойчивость

при сигналах с неопределенной фазой  .........   261

6.7. Схемы неоптимального приема при неопределенной фазе сигналов   .   270

6.8. Потенциальная помехоустойчивость при неопределенной фазе и ам-
плитуде сигнала, оптимальный прием при недостаточной априорной
информации   ................   274

6.9. Эффективность дискретных систем связи ........   277

Глава 7. Основы теории помехоустойчивости приема непрерывных
сообщений

ТЛ. Оптимальная оценка отдельных параметров сигнала  .....  282

7.2. Оптимальный прием непрерывных сообщений и оценка качества не-
прерывных систем   ..............   286

7.3. Потенциальная помехоустойчивость при различных видах модуляции .

несущей непрерывными сообщениями  .........  294

7.4. Пороговый эффект в широкополосных системах  ......   306

7.5. Оптимальная и субоптимальная фильтрация непрерывных сигналов   ,   313

7.6. Эффективность непрерывных систем связи   .......   321

Гл а в а 8. Методы уплотнения линий связи

, 8.1. Многоканальные системы связи и основы теории линейного разде-
ления сигналов   ...............   325

8.2. Различные системы уплотнения   ..........   332

Глава 9. Методы повышения эффективности и помехоустойчивости
систем связи

9.1. Устранение избыточности   ............   348

9.2. Статистическое  уплотнение    ...........   350

9.3. Разнесенный прием .   .............   351

9.4. Прием п целом   ...............   354

9.5. Использование каналов обратной связи .........   356

9.6. Применение широкополосных сигналов   ........   365

9.7. Адаптивная компенсация (коррекция) каналов связи  .....   367

Заключение .   .................   368

Список литературы ................   369

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

A (t) — случайное сообщение, подле-
жащее передаче

A'(t)—случайное сообщение на при-
емной стороне

а — реализация сообщения на пере-
даче

•а' — реализация сообщения на приеме
B{t)—случайный первичный сигнал

на передаче
G'(t)—случайный первичный сигнал

на приеме

b(t) — реализация сигнала на пере-
даче

b'(t) — реализация сигнала на прие-
ме

&i—кодовый символ
b — кодовая комбинация
В — база сигнала

Bx(ti,t'i)—корреляционная    функ-
ция случайного процесса
В (т) —корреляционная функция ста-
ционарного случайного процес-
са

б^ — усредненная   корреляционная
функция стационарного случай-
ного процесса

С — пропускная способность канала
D[X.(t)} —дисперсия случайного про-
цесса
D — динамический диапазон сигнала

и канала

d — хеммингово расстояние между
кодовыми комбинациями

Е,= { sj(t)df= fsj (t)dt

l)                       •!

сигнала i-позиции на передаче
Е\= [ s^(t)dt= Г^2' (^Ж—энергия

сигнала f-позиции на приеме
Г\{Х, t) — одномерная   интегральная
функция    распределения
случайного процесса
FifXiXt, titt) — двумерная интеграль-
ная функция распре-
деления

Fi, Fc — соответственно полоса ча-
стот канального и первич-
ного сигнала
<?ш — энергетический спектр помехи

типа белого шума.
О* (о) —усредненный энергетический

спектр процесса
g — выигрыш системы модуляции

энергия

g1 — обобщенный выигрыш систем мо-
дуляции
8(1.1:) —импульсная     переходная

функция линейной системы
0(/,т) —импульсная     переходная
функция линейной системы
со случайными параметра-
ми

0(<в)—энергетический спектр слу-
чайного процесса
hlX) —дифференциальная  энтропия

непрерывной величины
H(AIAi) — энтропия дискретной слу-
чайной величины
Н'(В/В,) — энтропия в единицу вре-
мени

/га — отношение  энергии   элемента
сигнала к спектральной плотно-
сти мощности флуктуациоуного
шума

!''- — отношение средней энергии эле-
мента сигнала к спектральной
плотности мощности флуктуаки-
онного шума

Ih(x) — модифицированная  функция
Бесселя k-го порядка перво-
го рода
.','..'' х)—функция Бесселя'й-го поряд-

J(cii) — количество переданной инфор-
мации
Г (А) =Н(А) — энтропия   источника

сообщений

(, j, k — индекс, указывающий номер
позиции символа (элемента
сигнала)

f\f\Wit)—передаточная функция ли-
нейной системы со случай-
ными параметрами
K('KDit)—передаточная функция де-
терминированной линейной
системы

К — объем алфавита источника сооб-
щений

Кс. Кц—соответственно    эффектив-
ность системы связи и пере-
дачи информации
''ix(i) —математическое   ожидание

случайного процесса
ft: — основание кода
Л'типМ^ —типичные  последователь-
ности источника




п—число символов кодовой комби-
нации

Р()—вероятность события, указан-
ного в скобках

р — вероятность ошибочного приема
элемента сигнала
ошибки
рз — эквивалентная вероятность

V2
in

п2 = -—————параметр радиокана-

0^+0^

ла   —   отношение
средних  мощностей
регулярной и флук-
туирующей   частей
сигнала
q — кратность исправляемых ошибок

кода

Rx(tit'2.) —нормированный   коэффи-
циент корреляции случай-
ного процесса

r(t)—огибающая реализации про-
цесса
s(t) — канальный сигнал

Sliui) — спектр Фурье сигнала
Те, Гц — соответственно длительность
элемента первичного и ка-
нального сигнала
u(i) — реализация аддитивного флук-

туациоиного шума
V, — огибающая сигнала на выходе
фильтра, согласованного с сиг-
налом S'i(t)

Vc VK — соответственно   физический

объем сигнала и канала
X(t) — случайный   (стохастический)

процесс
Y(t) — отклик системы на случайное

воздействие

- реализация принимаемого коле-
бания (сигнал—шум)
Р — индекс угловой модуляции
Pi/j—выигрыш по эквивалентной ве-
роятности ошибки при перехо-
де от i-ой системы к j-ой си-
стеме

'Чг/з, ч •/] — 'соответственно энергети-
ческий выигрыш и обобщен-
ный энергетический выигрыш
по эквивалентной вероятнос-
ти ошибки при переходе от
i-ой системы к j-ой системе
v — количество информации в 1 сек

на 1 гц полосы частот
Кр — спектральная цена уплотнения
П — пикфактор первичного сигнала
.рк — избыточность кода
ри — избыточность источника
о2 ("О—среднеквадратическое откло-
нение (дисперсия) случайного
процесса
Тк — интервал корреляции

X.              f

2

Г

dt

функция

Крампа

wi(Xfti)—одномерная  дифференци-
альная функция распреде-
ления

(OaOci^i^.) — двумерная дифферен-
циальная функция рас-'
'лределеиия

(u(t) — мгновенная круговая частота
сигнала

•^(t) — мгновенная фаза сигнала

———  — знак усреднения по ан-
самблю

----'   —знак усреднения во вре-
мени

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебник написан на основе 'курса «Теория пере-
дачи сигналов», читаемого автором в Куйбышевс-
ком электротехническом институте связи. В нем рас-
сматриваются вопросы анализа и 'синтеза систем
(цапей) для'передачи'информации (сообщений).

Курс теории передачи сигналов базируется на
материалах теории линейных и нелинейных элект-
рических цепей, теории вероятностей и призван со-
здать общие основы для изучения студентами с
единых позиций современной теории связи.

В курсе ТПС и соответственно в настоящей кни-
ге излагаются лишь основы современной теории
связи. Автор стремился не злоупотреблять матема-
тическими выкладками, а дать инженерное толко-
вание основным результатам теории передачи сиг-
налов.

Автор признателен профессору Л. М. Финку и
доцентам Б. Н. Бондареву, Е. 3. Финкельштейну,
М. А. Кораблину, критические замечания которых
способствовали улучшению книги. Автор выражает
большую благодарность профессорам А. М. Заезд-
ному и Н. Т. Петровичу за советы и замечания, ко-
торые помогли устранить ряд недочетов в рукопи-
си. Автор признателен доценту Б. И. Николаеву
за ряд критических замечаний и большую помощь
ири подготовке книги к изданию.

Замечания и предложения читателей просьба
направлять в издательство «Связь» по адресу:

Москва-центр, Чистопрудный бульвар, 2.

ВВЕДЕНИЕ

П@д теорией передачи сигналов (или общей теорией связи) пони-
мают в настоящее время науку о передаче информации на расстоя-
нии с помощью технических средств. Когда говорят об информа-
ции, имеют в виду совокупность сведений о каком-либо событии
или о состоянии некоторой материальной системы. Форма пред-
ставления информации называется сообщением. Примеры сообще-
ний: текст телеграммы, речь, музыка, фототелеграмма, телеви-
зионное изображение, данные на выходе вычислительной машины,
отраженные от цели локационные сигналы, команды в системах
телеуправления космическими аппаратами и т. д.

Для того чтобы сообщение можно было передать получателю,
необходимо воспользоваться некоторым физическим процессом,
способным с той или иной скоростью распространяться от источ-
ника к получателю сообщения. Изменяющаяся во времени физи-
ческая величина (например, звуковая волна, ток, интенсивность
электромагнитного поля и т. п.), отображающая сообщение в про-
цессе его передачи, называется сигналом. Часто говорят, что со-
общение или соответствующий ему сигнал создается источником
сообщения или сигнала.

В дальнейшем речь пойдет исключительно о системах электри-
ческой связи (проводная и радиосвязь)1), в которых для передачи
сообщений попользуются электрические'сигналы 2).

Как отправителем, так и получателем сообщения могут быть
человек или различные приборы, передающие, регистрирующие,
хранящие и использующие информацию.

В схеме рис. B.I показано прохождение сообщения от его
источника до получателя (в одном направлении).

Передающее устройство преобразует исходное сообщение в
сигнал, форма которого удобна для передачи по данной линии
связи (физической среде). Приемное устройство выполняет обрат-
ное преобразование.

') Следует подчеркнуть, что системы оптической ч гидроакустической свя-
зи, получившие за последние годы заметное развитие, вполне укладываются в
общую схему систем электрической связи.

') Рассматриваемая теория имеет более широкое приложение к произволь-
ной передаче информации в окружающем нас мире.

Рис. B.I. Общая схема системы электри-
ческой связи для передачи сообщений в
одном направлении:

/—источник сообщений; 2—иереда-ющее ус-
ройство; 3 — линия связи; 4 — приемное ус-
тройство; 5 — получатель сообщения; 6 — ис-
точник помех

Совокупность средств, предназначенных для передачи сообще-
ний или сигналов, называют каналом связи (в широком смысле).
При этом средства — это технические устройства и линия связи,
по которым проходит сигнал. В зависимости от степени детализа-
ции пути прохождения сигнала под каналом связи понимают ту
или   иную   совокупность
средств. Так иногда в лите-
ратуре под каналом связи
(собственно канал связи или
канал связи в узком смыс-
ле) понимают лишь линию
связи (физическую среду)
между передающим и при-
емным   устройствами.   В
этом смысле говорят, напри-
мер, о радио- или провод-
ном канале или о радио- или
провод нон линии.

Помимо сигнала, в кана-
ле связи, как правило, воз-
никают посторонние сигналы, называемые помехами или шумами
(например, различные наводки, шумы). Накладываясь на полез-
ный сигнал, помехи приводят к неоднозначности при восстановле-
нии сообщения.

Различного рода помехи в реальных каналах связи воздейст-
вуют на сигнал на всем пути его раоггросграяения. Однако для
удобства анализа общее воздействие помех представлено на рис.
B.I суммарным эквивалентным блоком «источник помех». От это-
го источника на вход приемного устройства поступают случайные
электрические возмущения и, взаимодействуя с полезным сигна-
лом, искажают его так, как это вызвано общим воздействием
всех помех, распределенных по тракту передачи.

С выхода линии сигнал поступает на приемное устройство. Его
назначение — преобразовать принятый сигнал в сообщение, как
можно точнее воспроизводящее переданное, несмотря на помехи.

Источник сообщения, передающее устройство, линия (среда)
между пунктами связи, приемное устройство и получатель сооб-
щения образуют систему связи. В ТПС система считается задан-
ной, если в ней даны методы преобразования сообщения в сигнал
и восстановления сообщения по принятому сигналу.

Сообщения, а также .соответствующие им сигналы обычно де-
лят на непрерывные и дискретные. Примером непрерывного сооб-
щения могут служить речь, музыка, температура исследуемого
объекта и т. д. Для таких источников два нетождественных сооб-
щения одинаковой длительности Те или соответствующие им сиг-
налы могут отличаться друг от друга в каждый момент времени
сколь УГОДНО мало.






Часто встречаются источники, характеризующиеся дискретным
рядом состояний. Дискретным является, например, источник, вы-
дающий сообщение в виде текста, записанного русским алфавитом
или, скажем, в виде последовательности арабских цифр. У таких
источников два нетождественных сообщения, как и информацион-
ные параметры соответствующих им сигналов, всегда имеют ко-
нечное отличие. Так, у телеграфного источника два нетождествен-
ных сообщения отличаются хотя бы одной буквой или порядком
следования букв.

Системы связи, предназначенные для передачи непрерывных
сообщений, называют непрерывными (аналоговыми), а для пере-
дачи дискретных сообщений — дискретными. Выделяют также
смешанные системы связи, в которых непрерывные сообщения пу-
тем дискретизации (квантования) соответствующих им сигналов
(т. е. их преобразования в дискретную форму) могут быть переда-
ны дискретными методами. Типичными примерами систем связи,
в которых передаются дискретные сообщения, являются телеграф-
ные системы, системы передачи телекодовой информации, системы
передачи данных с цифровых вычислительных машин и т. д.

Рассмотрим подробнее дискретную систему связи. Дискретные
сообщения составляются из отдельных элементов (или букв), их
совокупность образует первичный алфавит сообщения. Когда ко-
личество К букв в 'первичном алфавите сообщения (объем алфа-
вита) велико, прибегают, как правило, еще к одному дополнитель-
ному преобразованию, называемому кодированием. При этом каж-
дая k-я буква dk передается 'с 'помощью кодовой комбинации Ъь.
(k=\, 2,..., К), содержащей несколько более простых символов 6,
(f='l, 2, 3, ..., m) — элементов вторичного алфавита сообщения.
Число различных символов вторичного алфавита т называют

основанием кода. Допустим, что каждая 'кодовая комбинация &л
содержит п символов, причем каждый из них может принимать
одно из т значений. Тогда число различных кодовых комбинаций
(отличающихся хотя бы одним символом) равно /п".

Если при заданном основании кода т длину кодовой комбина-
ции п выбирать так, чтобы удовлетворялось условие

т^К,                      (B.I)
то число различных кодовых комбинаций будет достаточным для
передачи всех букв первичного алфавита сообщения. Наименьшее
значение основания кода т равно 2. Дискретные системы связи, в
которых используется код с таким основанием, называются двоич-
ными. Вследствие своей простоты они особенно широко приме-
няются на практике. Так, во многих телеграфных системах исполь-
зуется пятиразрядный двоичный код Бодо (п=5, т =2), обеспечи-
вающий передачу сообщений с объемом алфавита K~=25-=32. Для
передачи сообщений ад кодовые 'символы &< чаще всего последова-
тельно преобразуются в элементы канального сигнала Si(t) оди-
наковой длительности Т. Этот процесс сводится к модуляции. При-

10

менительно к дискретным сообщениям в этом же смысле чаще
употребляется термин «манипуляция». При наиболее распростра-
ненном способе приема дискретных сообщений — поэлементном
приеме — элементы (отрезки) принимаемого колебания z(t)
(сигнал + шум) сначала поочередно преобразуются в совокуп-
ность кодовых символов &'.1) (процесс демодуляции или детекти-
рования), а затем по ним восстанавливаются кодовая комбинация
b'k и буква сообщения а/г (процесс декодирования). Часть схемы
приемника дискретных сообщений, выполняющую функцию преоб-
разования элементов принимаемого колебания z(t) в совокупность
кодовых символов Ь'^, часто называют первой решающей схемой,
а часть схемы, восстанавливающую по совокупности Ь\ буквы со-
общения йд, — второй решающей схемой приемника.

Рассмотрим функциональную схему преобразований сообщений
сигналов в системе связи (рис. В.2). На вход передающего устрой-

ф	W,t] ——\-		Передающее	устройств bit]	о	—	S[t]		l(t)-S'(t)
1			2		3			^	
	Wt)								t)
а'(									^	
						
				в	
					
		i—	/IpUSHHS	е устройсп Ш	г/Во				
7			В		t;и				
		i					
							

Рис. В.2. Функциональная схема преобразований сообщений и сиг-
налов в линии связи:

/—источник сообщений; 2—преобразователь в электрический сигнал и ко-
дер; 3 — модулятор; 4 — линия связи; 5 — демодулятор (1-я решающая схе-
ма); в—декодер и преобразователь в сообщение (2-я решающая схема);

7 — получатель сообщений; S — источник помех

ства от источника поступает сообщение а {(t, х, у, г), которое в
общем случае (например, в системах телевидения) может быть
функцией времени t и пространственных координат х, у, г. В ча-
стных случаях сообщение а может не зависеть от некоторых из
аргументов х, у, z и t. Так, при передаче фототелеграмм сообщение
зависит лишь от двух пространственных координат передаваемой
«точки» изображения.

') Штрих указывает на возможное несоответствие передаваемых и прини-
маемых символов и сигналов, обусловленное искажениями в канале и влиянием
помех.

11

Передающее устройство преобразует сообщение а в канальный
сигнал s (7), являющийся только функцией времени. Подобное пре-
образование осуществляется, как правило, в несколько этапов, в
связи с чем можно отдельно выделить несколько самостоятельных
блоков передающего устройства. Чаще всего их бывает два (рис
В.2, В.З).                                               •'

В блоке 2 сообщение а преобразуется в так называемый пер-
вичный ('или низкочастотный) электрический сигнал Ь (t). В си-
стемах телеизмерения такие преобразователи получили название
датчиков.

В аналоговых (непрерывных) системах связи первичный сигнал
Ь (t), как правило, линейно связан с сообщением. В дискретных
системах этот сигнал образуется из сообщения в результате более
сложных преобразований (кодирования) и представляет собой на
выходе кодера последовательность кодовых символов {Ьг}, образо-
ванную по некоторому определенному правилу. Это преобразова-
ние необходимо (как увидим в дальнейшем) для лучшего согла-
сования сипнала с каналом связи, его характеристиками. Сигнал
b(t) в дискретных системах называют дискретным, так как один
пли более из его параметров (информационных) принимают лишь
дискретные значения.

В блоке 3 (модуляторе) окончательно формируется канальный
сигнал s(t), способный распространяться по линии и достичь ме-
ста приема. Это преобразование, как правило, заключается в из-
менении определенного параметра переменного или постоянного
тока (несущей) в соответствии с изменением модулирующего сиг-
нала b(t). Иногда канальный сигнал формируется многократной
последовательной модуляцией.

Из-за искажений в канале сигнала s(t) и из-за наличия адди-
тивных шумов .(.помех) u(t) принимаемое колебание z(t)=s'(t)+
+u(t) тождественно не равно передаваемому s(t).

Приемное устройство, как и передающее, можно представить
несколькими блоками (рис. В.2, 5 и 6). Демодулятор выделяет из
принимаемого колебания z(t) первичный сигнал b'(t), а декодер
восстанавливает по нему (по последовательности кодовых симво-
лов) сообщение. В общем случае принятое сообщение a'(t, x, у, г)
отличается от переданного a(t, x, у. z), что вызвано помехами и
искажениями в тракте передачи. Чем меньше отличается приня-
тое сообщение от переданного, тем выше верность (качество) пе-
редачи.

Подчеркнем, что структурная схема рис. В.2 верна в.целом и
для непрерывных систем связи [сообщение a(t, x, у, z) — непре-
рывная функция своих аргументов]. Однако в этом случае не
нужны блоки 2 и 6. Разумеется, они необходимы в смешанных си-
стемах с дискретизацией сигнала.

На примере некоторых наиболее типичных дискретных и непрерывных си-
стем связи рассмотрим преобразования, которым подвергаются сообщения и сиг-
налы в процессе их передачи.

12

. Так, например, в телеграфной связи элементами сообщения (передаваемого
письменного текста) являются буквы, цифры, выбираемые из первичного алфа-
вита сообщения. При простейшем кодировании передающий телеграфный аппа-
рат .(например, аппарат Бодо, СТ-35, СТА-2М) превращает их в электрические
сигналы, определенным образом .(в соответствии с тем или иным кодом, при-
нятым в данной системе) отображающие передаваемые элементы сообщения,
Эти сигналы (низкочастотные) непосредственно передаются по проводам в мес-
то приема (тогда они являются канальными) или (как это делается, например,
а радиосвязи) предварительно поступают в модулятор, который образует высо-
кочастотный канальный сигнал. Посторонние шумы (помехи) могут привести
к тому, что принятые кодовые символы не будут соответствовать переданным,
и тогда элемент сообщения окажется восстановленным неверно '(приемный ап-
парат отпечатает другую букву).

В телефонной связи сообщением является человеческая речь, т. е. звуковые
колебания воздушной среды между говорящим и микрофоном, который превра-
щает их в электрические колебания. Последние непосредственно (городской те-
лефон, одпоканальные телефонные линии небольшой протяженности) по прово-
дам передаются в место приема или служат модулирующим сигналом для вы-
сокочастотного переносчика (при многоканальном уплотнении проводной теле-
фонной линии или в радиотелефонии). При использовании модуляции канальный
сигнал в месте приема поступает сначала на демодулятор, превращающий высо-
кочастотный канальный сигнал в сигнал звуковой частоты. Электрический сиг-
нал звуковой частоты в месте приема преобразуется в звук с помощью телефона
(громкоговорителя). Помехи в этом случае сказываются в виде посторонних
шумов, снижающих разборчивость принимаемого речевого сообщения.

В фототелеграфной связи сообщение представляет собой неподвижное изоб-
ражение (при телевизионной связи — подвижное). С помощью фотоэлектриче-
ских преобразователен и так называемой последовательной развертки по строкам
вырабатывается электрический сигнал, величина которого пропорциональна яр-
кости «считываемого» в данный момент участка изображения. Этот сигнал, вос-
становленный в месте приема (после демодуляции, если использовался высоко»
частотный переносчик), поступает в той же временной последовательности на
устройство (например, на электроннолучевую трубку), способное превращать
его в световой сигнал, интенсивность которого пропорциональна в каждый данный
момент величине электрического сигнала. Этим процесс передачи сигнала завер-
шается. В рассматриваемых системах помехи искажают отдельные участки пе-
редаваемого изображения.

Основой современного курса теории передачи сигналов являет-
ся статистическая теория связи, интенсивное развитие которой на-
чалось в послевоенные годы.

Статистическая теория связи, или теория информации, возник-
ла на стыке физико-математических и инженерно-технических ме-
тодов. Поэтому она обладает характерной особенностью: с одной
стороны, является дальнейшим развитием отдельных математиче-
ских дисциплин (теории вероятностей, теории случайных функций,
аналитической геометрии, теории множеств), а с другой — обобще-
нием теории электрической связи.

Применение вероятностных методов в теории связи позволяет
находить эффективное решение многих актуальных практических
задач, которые раньше либо вовсе не ставились, либо представля-
лись неразрешимыми. Эти методы адекватны существу изучаемых
процессов. На самом деле сигналы, поступающие на приемное
устройство системы связи, не могут быть заранее предсказаны
(носят случайный характер). Во-первых, потому, что источник (о
состоянии которого несет информацию полезный сигнал) выдает

13

одно из возможных для него сообщений, заранее неизвестное
на приемной стороне. Если бы в месте приема всегда было
известно заранее, какое (из возможных для заданного источника)
сообщение будет передаваться, то отпала бы надобность в самой
передаче. Во-вторых, случайный характер принимаемых сигналов
связи') вызван наложением на полезный сигнал различных помех:

атмосферных, космических, искусственных, флуктуационных шу-
мов и др.

Основной математический аппарат статистической теории свя-
зи — теория случайных процессов и статистических решений —
развивался, в известной степени, независимо от конкретных физи-
ческих и технических задач как самостоятельное направление тео-
рии вероятностей. Значительный вклад в развитие этого аппарата
внесли выдающиеся математики нашего времени: А. Н. Колмого-
ров, Н. Винер, А. Вальд. Первыми основополагающими трудами
по прикладной статистической теории связи были работы В. А. К.о-
тельникова (1946 г.) по оптимальным (вероятностным) методам
приема-сигналов на фоне шумов и К. Шеннона (1948 г.) по обос-
нованию строгой количественной меры информации, оптимальным
методам кодирования, при которых обеспечивается предельно до-
стижимая скорость передачи информации по каналу связи. Совре-
менная теория информации разработана в трудах советских мате-
матиков А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, Р. Л. Добрушина,
М. С. Пинскера и других. Достижения общей теории связи в зна-
чительной степени 'определяются трудами 'советских ученых. По-
мимо В. А. Котельникова, следует отметить А. А. Пистолькорса,
Д. В. Агеева, А. Н. Щукина, А. А. Харкевича, В. И. Сифорова,
В. С. Пугачева, В. С. Мельникова, Л. М. Финка, Р. Л. Стратоновича,
Б. Р. Левина, Б. С. Цыбакова, Л. Ф. Бородина, В. И. Тихонова,
Н. Т. Петровича и других. Заметный вклад в теорию, помимо
К. Шеннона, внесли зарубежные ученые Р. Хартли, А. Файнстейн,
Ф. Вудворд, Д. Миддлтон, Р. Хемминг, С. Райе, У. Питерсон,
Л. Бриллюэн, Дж. Турин, Р. Фано, Т. Кайлатс, П. Грин, Дж. Во-
зенкрафт, К. Хелстром и другие.

Теория связи оказала значительное влияние на оценку любых
систем передачи информации по их обобщенным характеристикам.
Различают внешние характеристики систем связи, по которым по-
лучатель 'сообщений оценивает их качество безотносительно к их
внутренней структуре, и внутренние характеристики самой систе-
мы. К внешним характеристикам относятся: скорость (количество
информации, передаваемой получателю в единицу времени), вер-
ность (степень соответствия переданного сообщения принятому),
своевременность (определяется допустимой задержкой во времени
принятого 'сообщения относительно '.переданного) 2).

') Случайный характер принимаемых сигналов связан также с искажения-
ми и помехами, которые возникают при многолучевом распространении.

2) Для спецсвязей следует учесть и такую характеристику, как скрытность
(невозможность расшифровки сообщения не адресатом).

14

Наиболее полной внутренней характеристикой любой системы
связи является ее эффективность, показывающая, как и какой це-
ной система решает поставленную задачу (т. е. передает инфор-
мацию с необходимыми скоростью, верностью и задержкой) при
заданных условиях (прежде всего, свойствах линии связи). Эффек-
тивность системы связи определяется, вообще говоря, многими по-
казателями, например, такими, как сложность аппаратуры, ее
стоимость, надежность во времени, габариты, требуемая мощность
сигнала, ширина полосы частот. Однако в рамках теории переда-
чи сигналов чаще всего уделяется внимание следующим численным
показателям эффективности: помехоустойчивости (способности
системы противостоять вредному воздействию помех), которая
определяет верность связи; энергетическому выигрышу (проигры-
шу) перехода от одной .системы к другой *) при сохранении верности
и скорости; удельной (на 1 Гц полосы частот) 'скорости передачи
информации три заданной верности. Универсалыной характеристик
кой эффективности систем 'передачи информации 'является коэффи-
циент использования системой пропускной способности канала
(максимально возможной скорости передачи информации по ка-
налу) .

Курс ТПС и соответственно материал книги можно условно
'разделить на две части. В первой (гл. 1—3) рассматриваются
только вопросы анализа систем электрической связи, т. е. опреде-
ляются их характеристики при заданном способе функционирова-
ния отдельных звеньев. Во второй части (гл. 4—9) рассматривают-
ся вопросы синтеза (построения) оптимальных систем и отдельных
звеньев, у которых скорость передачи и верность приближаются
к предельным значениям.

Контрольные вопросы

1. Что понимают под теорией передачи сигналов или общей теорией связи?

2. Что называют сообщением в ТПС?

3. Какая разница между сигналом и сообщением?

4. Что понимают под линией, каналом и системой связи?

5. Какие сообщения передаются в системах электрической связи, как они прев-
ращаются в электрический сигнал на передающем конце линии связи и вос-
станавливаются на приемном конце линии?

6. Какая разница между дискретными и непрерывными сообщениями?

7. Что понимают под помехами и шумами в канале связи?

8. Что понимают под первичным и вторичным алфавитом в дискретных систе-
мах связи?

9. Как Вы понимаете 3 основные внешние характеристики систем связи: ско-
рость, верность, своевременность?

10. Какие характеристики являются внутренними характеристиками эффектив-
ности систем связи?
Ч. В чем различие задач анализа и синтеза, рассматриваемых в курсе ТПС?

') Или степени возможного изменения средней мощности сигнала в срав-
ниваемых системах.

!5

ГЛАВА

Математическое описание и
свойства сигналов и помех

1.1. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Многообразие физических процессов (изменений во времени
различных физических величин, в том числе и сигналов электриче-
ской связи), с .которыми можно встретиться в повседневной жиз-
ни, разделяется на два класса.

К первому классу относятся процессы, течение которых во вре-
мени можно заранее предсказать, имея некоторые априорные')
сведения. Например, известно, что генератор вырабатывает сину-
соидальное напряжение 'с амплитудой Но частотой соо и начальной
фазой (ро ('рис. 1.1). В этом случае заранее известно мгновенное на-
пряжение на клеммах генератора в любой момент времени:

s(t)=UaCOs(Qat+ifo).                  (1.1)

Рис. 1.1. Детермини-
рованный гармониче-
ский процесс

Подобные процессы называются детерминированными (предо-
пределенными). Таким образом, детерминированный физический
процесс может быть задан .математически
некоторой вполне определенной 'функцией
времени. Однако, 'строго говоря, в 'природе
йет 'и не может быть «чисто» детерминиро-
ванных .процессов. Такие 'процессы .могли
бы .возникнуть только в полностью изоли-
рованных физических системах. Так, пол-
ная изоляция 'системы предполагалась в
приведенном выше примере детерминиро-
ванного процесса, где не учитывалось |БЛИЯ-
ние окружающей среды на работу генера-
тора синусоидального напряжения (генера-
тор 'предполагался идеальным). Поэтому
реальный физический процесс может счи-
таться детерминированным и, следовательно, описываться вполне
определенной (детермированной) функцией времени лишь прибли-
женно. Сложные причинно-следственные связи, присущие всем фи-

') apriori (лат.) — заранее, прежде чем.

t6

зическим явлениям в масштабе Вселенной, приводят к тому, что
эволюция реальных физических процессов определяется колоссаль-
ным числом различных факторов, полный учет которых невозмо-
жен. Однако совокупное воздействие этих факторов, как правило,
подчиняется устойчивым закономерностям, поддающимся изуче-
•'   пню методами современной теории вероятностей. Закономерности
эти называются статистическими. Знание их позволяет '.плодот-
ворно изучать различные случайные процессы, а также их взаимо-
связь в окружающей нас природе. Успешное применение теорети-
ко-вероятностных методов привело к возникновению целого ряда
'   статистических теорий. Это статистическая механика, статистиче-
ская термодинамика и другие науки, среди которых сравнительно
недавно получила развитие и статистическая теория связи.

Следовательно, второй класс составляют процессы, течение ко-
торых не может быть описано регулярной функцией времени. В
каждый данный момент процесс с некоторой вероятностью может
принять то или иное количественное значение из множества воз-
1   можных. Рассмотрим пример. Известно, что даже при постоянной
разности потенциалов на электродах радиоламп отмечается хао-
тическое колебание анодного тока, вызванного флуктуацией интен-
сивности потока электронов, текущих от катода к аноду. Явление
. это называется дробовым эффектом, а вызванная им флуктуация
анодного тока — это типичный пример случайного процесса. В
этом случае заранее невозможно описать ход процесса детермини-
рованной функцией времени. Можно только указать для каждого
момента времени распределение вероятностей значений процесса.

Случайным можно назвать процесс, эволюция (изменение) ко-
торого зависит не только от времени, но и от случайных факторов.
Конкретный ход случайного процесса, установленный в результате
всякого отдельного опыта, называется его реализацией.

Размерность отдельных реализации определяет и размерность
случайного процесса в целом. Всюду в дальнейшем случайные
величины и процессы обозначаются большими латинскими и гре-
ческими буквами (X, Y, Z, У и т. п.), в отличие от детерминирован-
ных процессов (реализации), обозначаемых малыми буквами4).
Число различных реализации случайного процесса может быть
конечным, счетным (бесконечным, но все реализации можно прону-
меровать) и несчетным.

Так, например, на рис. 1.2а показана двоичная кодовая после-
довательность b(t) длительности Гц (ее элементы Ьг имеют одина-
ковую длительность Г), содержащая одиннадцать двоичных сим-
волов. Это реализация кода Баркера [48] или некоторого случай-
ного процесса, который обозначим через B(t). Считая, что возмож-
ны любые сочетания кодовых элементов на интервале Гк, легко

') В порядке исключения большими буквами иногда, по установившейся
традиции, обозначаются некоторые регулярные величины и детерминированные
характеристики случайных процессов.

17

подсчитать, что число реализации случайного процесса B(i) рав-
но 2й.

Бели (1.1) 'считать реализацией 'непрерывного случайного про-
цесса s(t) ='L'ocos('coo^+^) на интервале Т, то в случае непрерыв-

+й

Рис. 1.2. Последова-
тельность Баркера:

а) представление ре-
ализации   двоичного
синхронного  случай-
ного процесса; б) ав-
токорреляционная
функция

-Ь

,  а)

i	т г	г	~з7	w	5Г	вг	11	S7	9Т	W	ИГ:
					7к	11Г					

В)    t В&1

lew

• -пг-ют-дг-дт -п -67 -57-1-7 -зт -PT-J,

IT ЗТ 47 57 S7 77 87 97 Ю7 ИТ

ного распределения начальной фазы ф множество реализации это-
го процесса несчетно. Заметим, что детерминированный процесс
можно рассматривать как частный случай вырожденного случай-
ного процесса, характеризу-
емого единственной реали-
зацией,  имеющей вероят-
ность единица.

Рис. 1.3. Совокупность реализации непре-
рывного случайного процесса и его
магического ожидания

Представить случайный
процесс одной кривой1) не-
возможно, но иногда поль-
зуются графиком, на кото-
ром нанесено несколько ре-
ализации процесса из числа
возможных (рис. 1.3). Та-
кое графическое представ-
ление благодаря наглядно-
сти домотает показать те ил'и
иные особенности изучаемо-
мате- го 'случайного процесса, луч-
ше яыявить смысл его веро-
ятностных   характеристик.
Случайный процесс может 'быть задан на .всей оси времени (—оо<:

•</<:+оо), но чаще всего три изучении сигналов 'связи, которые

') Исключая отмеченный выше вырожденный случай.

18

практически всегда ограничены во времени (финитны), его удобно
рассматривать на ограниченном временном интервале (например,
0^^7^. Если фиксировать какой-нибудь момент времени to, то
значение случайного процесса в этот момент представляет собой
случайную величину, называемую сечением процесса в точке to.

Различные связные сигналы, будучи носителями информации
различных сообщений, представляют собой реализации случайно-
го процесса.

Случайным процессом является и помеха (шум) в канале
связи. Следовательно, для дальнейшего изучения сигналов, помех
и их взаимодействия при передаче сообщений, а также для иссле-
дований самого процесса передачи и объективной оценки различ-
ных систем связи необходимо воспользоваться методами теории
случайных процессов.

Контрольные вопросы

1. Какой процесс называется случайным?

2. Что такое реализация случайного процесса и каким числом реализации мо-
жет характеризоваться случайный процесс?

3. Что называется сечением случайного процесса?

1.2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Уже отмечалось, что количественно случайный процесс описы-
вается случайной функцией времени X(t), которая в любой момент
времени может принимать различные значения с заданным рас-
пределением вероятностей.

В зависимости от того, какие значения принимают аргумент
(время t) и уровни реализации случайного процесса X, различают
четыре типа случайных процессов.

Непрерывный случайный процесс: t и Х могут принимать лю-
бые значения на отрезке (или, быть может, на всей) действитель-
ной оси.

Дискретный случайный процесс: t непрерывно, а величины Х
дискретны (принимают одно из возможных значений с шагом Ах).

Непрерывная случайная последовательность: t дискретно (с
шагом At), а Х может принимать любые значения на отрезке (или
на всей) числовой оси. Такие процессы часто называют также про-
цессами с дискретным временем.

Дискретная случайная последовательность^: t и Х дискретны.

Примеры реализации четырех классов приведены на рис. 1.4.

Рассмотрим теперь некоторые количественные характеристики
случайных процессов, ибо одно лишь сведение о том, что два про-

') Дискретная случайная последовательность часто служит аппроксимацией
непрерывного случайного процесса и значительно облегчает исследования.

19

цесса X(t) и Y(t) случайны, не позволяет никак сравнивать их
между собой. При рассмотрении процесса X(t) зафиксируем
какой-нибудь   момент времени-/!, т. е.
возьмем сечение Xi=X(ti), подчиняю-
щееся, как всякая случайная величина,
тому или иному закону распределения
вероятностей. Пусть Fi(x, ti) — интег-
ральная функция распределения выбран-
ного сечения Xi. Это означает, что

Fi(x, ti)=P(Xi<x),

где символом Р обозначена вероятность
выполнения неравенства, указанного в
скобках.

Сечению Хг, взятому в другой моменг
времени tz^ti, соответствует интеграль-
ная функция ') 'распределения

F,(x,tz)=P(X2<x).

Fi(x, ti) и Fi(x, 4) в общем случае могут
быть различными при различных величи-
нах fi и tz. Поэтому, характеризуя про-
цесс X(t), можно говорить о семействе
функций распределения, зависящем от
параметра t:

F,(x. t)=P(X(i)<x).        (1.2)

Рис. 1.4. Реализации:

а) непрерывного случайного
•процесса;   б) дискретного
случайного процесса; в) не-
прерывной случайной после-
довательности; г) дискрет-
ной случайной последова-
тельности

Фиксируя в функции двух переменных
(1.2) второй аргумент (время t), получим
интегральную функцию распределения
для сечения процесса X(t) в соответст-
вующий момент времени. Если сущест-
вует частная производная от функции
(1.2) по переменной х

(й^(Х, t)

'^Ы^^Л
дх

то она называется одномерной диффе-
ренциальной функцией  распределения
процесса X(t) или его одномерной плотностью вероятности.

При достаточно малых приращениях по переменной х из (1.3)
имеем

^[Fi(x, f}]=ai(x, t)\x,                  (1,4)

откуда следует, что приращение Fi(x, f) в окрестности точки х

2) Индекс 1 означает, что данная функция распределения является одно-
мерной.

20

(1.3)

геометрически определяется приращением элементарной площад-
ки под кривой плотности вероятности. Из (1.4) следует также, что
размерность дифференциальной функции обратна размерности
процесса, так как интегральная функция, определяющая вероят-
ность некоторого события, всегда безразмерна.

Если случайный процесс X(t) может принимать только диск-
ретные 'значения Xh(k=\, 2, 3, ..., К.) 'с вероятностями Ръ., то интег-
ральная функция (1.2) принимает вид

к.
Fi(x, t)=P(X<x)= ^ Р„\(х-х„),           (1.5)

й=1

где 1 (г)—единичная функция, равная 1 при z>0 и нулю при
г<0 [2].

Взяв производную от (1.5) по х, получим выражение для плот-
ности вероятности дискретного распределения в виде решетчатой
функции:

coi (^ t) = aFltгo = S^6^-^)'       о'6)

k=\

где
б (z)=

dL(гi

dz

— функция Дирака, существующая только в точке

z=0 и имеющая единичную площадь (2].

На рис. 1.5.0, б изображены одномерные интегральные и диф-
ференциальные распределения.

/^     Ху     Х

Рис. 1.5. Графики одномерных дифференциальных и интегральных
распределений случайного процесса:

а) непрерывного; б) дискретного

2t