В.И.ТИХОНОВ СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОТЕХНИКА Издание 2-е, переработанное и дополненное МОСКВА «РАДИО И СВЯЗЬ »1982 1 УД К 621.37s621.39I Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. —- 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1982.— 624с. Приведены необходимые сведения из теории вероятностей и математической статистики, подробно изложена прикладная теория разных видов случайных процессов и рассмотрено их влияние на работу нелинейных и линейных систем. На базе тео- ретических сведений подробно рассмотрены разнообразные содер- жательные радиотехнические задачи. В книгу включены вопросы программ-минимумов кандидатских экзаменов по нескольким ра- диотехническим специальностям. Для научных работников, инженеров, аспирантов и студен- тов, специализирующихся в области радиотехники и автомати- ческого управления. 186 рис., 15 табл., библ. 221 назв. Рецензент д-р техн. наук проф. И. Н. АМИАНТОВ Редакция литературы по кибернетике и вычислительной технике И Б № 66 Василий Иванович Тихонов СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОТЕХНИКА Редактор Т. М. Любимова Художник В. А. Аминов Художественный редактор Л. Н, Сильянов Технический редактор Л, К. Грачева, Г. И. Колосова Корректор Т, С. Властна Сдано в набор 28.04.82 г. Подписано в печать 6.10.82 г. Т-13678 Формат 60><90'/ц Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная Печать высокая Усл. печ. л. 39,0 Уел, кр.-отт. 39,0 Уч.-изд. л. 42,9 Тираж 20000 экз. Изд. № 19693 Зак. 956 Цена 2 р. 90 к. Издательство »Радио и связь», 10КЮО Москва, Главпочтамт, а/я 693 Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 129041, Москва, Б. Переяславская ул., д. 48 2402020000-195 046(01)-82 5-82 | Издательство «Радио и связь», 1982 ПРЕДИСЛОВИЕ Первое издание книги «Статистическая радиотехника» (1966 г.) быстро разошлось и получило положительную оценку среди радиоспе- циалистов. Данное издание книги предпринято в основном по инициа- тиве издательства «Радио и связь». Несмотря на прежнее название, книга по существу написана зано- во. При этом сохранена явно выраженная радиотехническая направ- ленность и расширен круг рассмотренных проблем с учетом новых ре- зультатов. Из-за ограниченного объема в книгу включена лишь основ- ная часть вопросов статистической радиотехники, а именно, приведены необходимые сведения из теории вероятностей и математической стати- стики, изложена прикладная теория разных видов случайных процео- еов и полей и рассмотрено их влияние на работу нелинейных устройств и линейных систем. Настоящую книгу следует раевматривать как пер- вую часть. Автор считает работу над «Статиетичевкой радиотехникой» незавершенной и планирует издание второй части. Оеновой для написания данной книги послужили обработанные и расширенные материалы лекций по статистической радиотехнике, которые, читались автором в течение продолжительного времени для етудентов и аспирантов радиотехнической специальности. Нумерация рисунков и таблиц в книге ведется по главам, а фор- мул — по главам и параграфам: первая цифра указывает номер гла- вы, вторая — номер параграфа, третья — номер формулы в параграфе. Исключение составляют формулы приложений: первая римская циф- ра указывает номер приложения, вторая — номер формулы в приложе- нии. Ссылки на формулы в пределах одного параграфа даются без ука- зания номера главы и параграфа. В список литературы включены лишь оригинальные источники и работы, использованные при написании книги. Сведения по случайным полям изложены по материалам, представ- ленным по просьбе автора К. Б. Челышевым, а по марковским процеа- сам (§ 2.6) — М. А. Мироновым. Профессор И. Н. Амиантов ознако- мился е рукописью и сделал ряд полезных предложений. Существен- ную помощью при напиеании книги оказали Л. А. Ершов, А. И. Пап- ков и особенно В. Н. Харисов. Всем им выражаю глубокую благодар- ность. ВВЕДЕНИЕ Основное и общее требование, обычно предъявляемое к любой радио- технической системе, состоит в довтоверном и своевременном получе- нии большого объема информации из излучений с ограниченной энерге такой. Ясно, что ошибочные, запоздалые или неполные сведения обес- ценивают полученную информацию, так как не позволяют оперативно принимать правильные решения. Однако достоверному приему информации по реальным радиока- налам препятствуют: 1) случайные искажения самого радиосигнала при распространении через турбулентную среду, 2) наличие разнообраз- ных (внешних и внутренних) помех и 3) техническое несовершенство радиоустройств. Ухудшение качества приема из-за технического несовершенства ап- паратуры в принципе может быть снижено путем ее совершенетвования. Что же касается помех и искажений радиосигнала при распростране- нии, то они имеют принципиальный характер, так как обусловлены неподвластными нам причинами. Действительно, вследствие распро- странения электромагнитных волн через турбулентную атмосферу и ионосферу, обладающих случайными коэффициентами поглощения и преломления, происходит случайная модуляция радиосигнала по амплитуде, частоте и фазе. Внешние помехи принимаются приемной антенной вместе а полез- ным сигналом. Они создаются различными евтественными электромаг- нитными процеееами, происходящими в атмосфере, ионосфере и кос- мическом пространстве (атмосферные помехи, космические шумы и т. д.), электроустановками и соседними радиотехническими устройства- ми и системами, а также специальными средствами, применяемыми противником для создания помех (пассивные отражатели, радиостан- ции помех). Кроме перечисленных внешних источников помех, имеются другие— внутренние, локализованные в различных элементах самих радио- уетройств. Сюда можно отнести флюктуационные шумы электронных ламп, полупроводниковых приборов и сопротивлений потерь, неста- бильности питающих напряжений и др. Из-за наличия такого вида внутренних помех сами передаваемые радиосигналы оказываются в той или иной мере случайными. Таким образом, задача радиоприема вводится к наилучшему вое- становлению полезной информации по искаженному радиосигналу слу- чайного характера, принимаемому совместно с помехами. Во многих практических ситуациях прием вигналов должен осуществляться при небольших значениях отношения сигнал-помеха, так как при ограни- ченной мощности передатчика сигнал на большой дальности оказывает- ся слабым. Очевидно, что искажения радиосигнала и помехи уменьшают веро- ятность правильного приема переданного информационного сообще- ния, причем принимаемые сообщения всегда являются в той или иной мере случайными. Многие задачи радиотехники становятся бессодер- жательными без учета наличия помех и случайного характера прини- маемого радиосигнала. Математический аппарат, позволяющий описывать и оперировать со случайными величинами и случайными процессами, дает теория ве- роятностей и математическая статистика. Ярко выраженная научная тенденция развития радиотехники за последние 40 лет состоит в про- грессивно возрастающем внедрении вероятностных и статистических методов. При этом рассмотрение разнообразных задач радиотехники (с учетом случайного характера радиосигналов и наличия помех) на базе теории вероятностей и математической статистики составляет ос- новное содержание «Статистической радиотехники». В иностранной на- учно прикладной литературе этот круг задач обычно включают в «Ста- тистическую теорию связи». В статистической радиотехнике можно выделить две главные зада- чи: 1) задачу анализа и 2) задачу синтеза радиотехнических устройств и систем. Типичная формулировка задачи анализа следующая. Предполагая известными необходимые характеристики сигнала и помех, нужно по- лучить требуемые количественные характеристики работы рассмат- риваемого радиоустройства или системы. Поскольку радиоустройства представляют собой различные комбинации линейных и нелинейных звеньев, то задача по существу сводится к анализу прохождения сигна- ла и шума через линейные и нелинейные устройства. Количественные характеристики, подлежащие расчету, и вообще необходимая сте- пень детальности анализа в значительной мере определяются тем ко- личественным критерием, по которому оценивается качество работы устройства или системы. В последнее время большую актуальность приобрела задача синте- за радиотехнических систем. Общую задачу синтеза радиотехнических систем условно можно подразделить на две частные задачи: выбор под- ходящих сигналов для достижения поставленной цели с учетом реаль- ной обстановки и оптимальный прием (обработка) принимаемых сигна- лов. Применительно к оптимальным методам радиоприема задачу синте- за можно сформулировать так. Предполагая априорно известными неко- торые характеристики передаваемого полезного сигнала, канала и по- мех, а также их, функциональное взаимодействие, нужно получить оптимальное радиоприемное устройство, которое бы воспроизводило переданное сообщение или принимало решение с наименьшими ошиб- ками. Чем больше объем априорных сведений и чем они достовернее, тем легче и точнее решается сформулированная задача. При очень ма- лом объеме априорных данных необходимо пользоваться методами адаптивного приема. Отметим, что синтез радиотехнических уетройств не исключает необ- ходимости их анализа. Дело в том, что во многих случаях практики 5 затруднительно точно реализовать оптимальные устройства как по соображениям их сложности, так и ввиду отсутствия элементов, которые бы адекватно осуществляли нужные математические опе- рации. Кроме того, в большинстве реальных ситуаций некоторые из априорных сведений являются не точными, а ориентировочными.^ и в процессе эксплуатации могут изменяться внешние условия рабо- ты устройств. Работоспособность «оптимальных» устройств при воз- можных отклонениях от принятых априорных данных может быть оценена путем анализа их работы в изменившихся условиях. Изучение случайных процессов в радиотехнике началось вскоре после изобретения радио нашим соотечественником А. С. Поповым (1895 г.). Практическая необходимость изучения случайных помех ра- диоприему была обусловлена совершенствованием техники генерации и приема радиоволн (в частности, на электронных лампах). Развитие теории вероятности и математической статистики к тому времени служило необходимой теоретической базой. Условно можно указать несколько основных направлений, по ко- торым развивалось изучение случайных явлений в радиотехнике: 1. Анализ внутренних флюктуационных шумов в элементах ра- диоустройств (дробовой шум электронных ламп и полупроводнико- вых приборов, тепловой шум резисторов и др.). Дробовой шум элект- ронных ламп был предсказан теоретически Шоттки в 1918 г. [11 и в 1922 г. им же исследован теоретически [21. Основная формула для теплового шума в резисторах была предложена и физически обосно- вана Найквистом в 1928 г. [3] и в этом же году экспериментально подтверждена Джонсоном [4]. С содержанием этого направления и историей развития его можно ознакомиться по работам [5—8]. 2. Изучение статистических характеристик внешних помех (ат- мосферные и индустриальные помехи, космические шумы, активные и пассивные преднамеренные помехи и т. д.). Основные физические задачи, рассматриваемые в этом направлении, изложены в книге Н. Д. Папалекси [9]. Некоторое представление об истории развития этого направления можно составить по обзорным статьям [10, II]. 3. Анализ влияния флюктуационных шумов и внешних помех на работу радиоаппараутры и, в частности, на качество радиоприема; изыскание методов уменьшения влияния шумов и помех [9, 12—20]. Из последних работ следует особо выделить три классические рабо- ты: А. Н. Колмогорова [12], Л. С. Понтрягина [14] и С. О. Раиса [17, 18], которые сыграли прогрессивную роль во внедрении вероятност- ных методов в практику радиотехнических расчетов. Они и в настоящее время являются математической базой для анализа работы многих радиотехнических устройств при воздействии на них случайных сиг- налов и помех. 4. Исследования искажений радиосигналов при их распростране- нии в различных условиях [21—233. Известно, что при выбранной фор- ме передаваемого сигнала вид полезного сигнала в пункте приема су- щественно зависит от параметров канала, по которому он передается. Например, при одном и том же передаваемом сигнале принимаемый сигнал в радиолокации и в различных системах радиосвязи (наземной, 6 ионосферной, тропосферной, метеорной, космической и др.) будет не- сколько разным. Вследствие распространения электромагнитных коле- баний через турбулентную бреду и изрезанности диаграмм направлен- ности антенны полезный сигнал в месте приема оказываетоя в той или иной мере случайным. Знание вероятноетных характеристик прини- маемых полезных сигналов необходимо при решении различных за- дач анализа и синтеза радиоувтройств. 5. Синтез радиоэлектронных систем и устройств. Это направление в течение последних 30 лет стало одним из основных. Оно базируется на широком применении методов математической статистики. Хотя мно- гие из этих методов были хорошо извеетны, научно-прикладные рабо- ты в этом направлении сыграли весьма прогрессивную роль, так как они вооружили конструкторов некоторыми общими руководящими принципами, позволили оценить предельные возможности решения конкретных задач при определенных условиях и существенно расши- рили радиотехническую проблематику. С развитием элементной базы и внедрением цифровых методов обработки, позволяющих реализовать сложные алгоритмы приема, синтез радиоэлектронных сиетем превра- тился в непосредственный инструмент разработки оптимальных при- емных устройств. На возможности использования статиетичееких методов в радио- технике, по-видимому, впервые указали А. Н. Колмогоров (1939 г.) [24], Н. Винер (1942 г) [25] и Д. Hope (1943 г.) [261 по синтезу опти- мальных линейных фильтров. Первая фундаментальная работа, по- священная систематическому применению методов математической статистики для решения задач радиосвязи, принадлежит В. А. Котель- никову (1946 г.) [27]. Последующие оеновополагающие работы, посвя- щенные оптимальной фильтрации случайных сообщений, содержа- щихся в сигналах, принимаемых на фоне помех.» принадлежат Р. Л. Стратоновичу (1959 г.) [28], Р. Е. Калману (1960 г.). и Р. С. Бьюси 1961 Р.) [29. 301. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ - 1. Schottky W. Ober spontana Stroinschwankungen in versfehiedenen Elektizi- tatsleitern. — Ann. Phys., 1918, В. 57, S. 541—567. 2. Schottky W. Zur Berechnung und Beurteilung des Schroteffekts. — Ann. Phys., 1922, В. 68, S. 157-176. 3. Nyquist H. Thermal agitation of electrio charge in condiiGtors. — Phys. Rev., 1928, v. 32, N 1, р. 110—113. 4. Johnson J. В. Thermal agitation of electricity in eonduators. —Phys, Rev., 1928, v. 32, N 1, р. 97—109. 5. Эйнштейн А., Смолуховский М. Брауновскоа движение: Сб. статей/Под ред. Б. И. Давыдова. — М.: ОНТИ, 1936. — 608 с. < 6. Грановский В. Л. Электрические флюктуации. — М.: ОНТИ, 1936. — 218 с. 7. Тихонов В. И. Флюктуационные шумы в элементах приемно усилительны» устройств. — М.: ВВИД, 195!.—232 с. 8. Ван-дер-Зил А. Флюктуации в радиотехника и физике: Пер. С англ./Под ред. Л. С. Гуткина. —М.: Госэнергоиздат, 1958. —296 с. 9. Папалекси Н. Д. Радиопомехи и борьба с ними. — М.: ГИТТЛ, 1944. — 104 с. 10. Венскаускас К. К., Малахов Л. М. Обзор по импульсным пометам. — За- рубежная радиоэлектроника, 1978., № 1, с. 95—125. 7 Кузьмин Б. И. Импульсные помехи и анализ помехоустойчивости. — Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1981, т. 24, № 4, с. 4—16. Kolmogoroff A. Uber die analytischen Mettioden in der Wahrscheinlickeit- srechnung. — Math. Ann. 1931, В. 104, S. 415—458. Рус. пер. в УМН, 1938, вып. 5, с. 5—41. Хинчин А. Я. Теория корреляции стационарных стохастических процес- сов. — УМН, 1938, вып. 5, с. 42—56. Понтрягин Л. С., Андронов А. А., Витт А. А. О статистическом рассмотре- нии динамических систем. — ЖЭТФ, 1933, т. 3, вып. 3, о. 165—180. Лошаков Л. Н., Хайкин С. Э. Экспериментальное исследование поведения динамической системы при случайных начальных условиях. — ЖЭТФ 1936, т. 6, вып. 8, с. 856—869. Бернштейн И. Л. Флюктуации амплитуды и фазы лампового генератора — Изв. АН СССР, Сер. физ., 1950, т. 14, № 2, с. 145—173. Rise S. О. Mathematical analysis of random noise. — BSTJ, 1944, v. 23 N 3 p. 282—332; 1945, v. 24, N 1, р. 46-156. Rice S. 0. Statistical properties of a sine wave plus random noise. — BSTJ 1948, v. 27, N 1, р. 109-157. Бунимович В. И. Флюктуационные процессы в радиоприемных устройствах —М.: Сов. радио, 1951. — 360 с. Сифоров В. И. Радиоприемники сверхвысоких частот. — 2-е изд доп _ М.: Воениздат, 1957. — 634 с. Чернов Л. А. Распространение волн в среде со случайными неоднородно- стями. — М.: Изд-во АН СССР, 1958. — 160 с. Лекции по теории систем связи; Пер. с англ./В. Е. Морроу, Г. Шерман, Т. Кейлоо и др.; Под ред. Е. Дж. Богдади. Пер. под ред. Б. Р. Левина — М.: Мир. 1964. —402 с. Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику. В 2-х ч.: Учебное пособив для вузов. 2-е изд., перераб и доп. —М.: Наука, Ч. 11, 1978. —464 с. Колмогоров А. Н. Интерполированиэ и экстраполирование стационарных случайных поеледовательностей. — Изв. АН СССР. Сер. матем 1941 т 5 № 1, с. 3—11. Wiener N. Etctrapolation, interpolation and smoothing of stationary time se- ries. — New York; John Wiley, 1949. — 162 p. North D. 0. Analysis of the factors which determine signal/noise discrimina- tion in radar. — Proo. IRE, 1963, v. 51, N 7, p. 1016—1028. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. — М • Госэнергоиада», 1956. — 152 с. Стратонович Р. Л. Условные марковские процеесы. — М.; МГУ, 1966. — 320 с. Kalman R. Е. A new approach to linear filtering and prediction problem. — Л. Basic Engr. (Trans. ASME), 1960, v. 82D, p. 35—45. , Kalman R. E., Busy R. S. New results in linear filtering and prediction theo- ry. —J. Basie Engr. (Trans, ASME), 1961, v. 83, N 1, p. 95—108. ГЛАВА I СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В теории вероятностей изучаются закономерности случайных со- бытий и устанавливаются правила, позволяющие по вероятностям од- них случайных событий находить вероятности других случайных собы- тий, связанных каким-либо образом с первыми [1—5]. Для описания закономерной связи между теми или иными повторяю- щимися определенными условиями S и событием А в естествознании обычно используют один из двух подходов: детерминированный или вероятностный. Детерминированный подход характеризуется тем, что при каждом осуществлении условий S наступает событие Л. Такой ха- рактер, например, имеют все законы классической механики, которые утверждают, что при заданных начальных условиях и силах, действую- щих на тело или систему тел, движение будет происходить однозначно определенным образом. Сущность вероятностного подхода заключает- ся в том, что при осуществлении заданных условий 5 событие Л, в за- висимости от привходящих обстоятельств, может произойти, а может и не произойти, т. е. является случайным. Характерной чертой случай- ных событий является то, что их закономерности проявляются лишь при многократном повторении испытаний (осуществлении условий 5). Наиболее просто основные понятия теории вероятностей определя- ются в рамках элементарной теории вероятностей. Основным и наибо- лее важным является понятие вероятности. Вероятность есть числовая характеристика степени возможности появления какого-либо опреде- ленного события Л в определенных условиях 5, могущих повторяться неограниченное число раз. Приведем статистическое и классическое определения вероятности. Пусть некоторое испытание повторяется п раз, причем в результате каждого отдельного испытания событие Л или не осуществляется сов- сем, или осуществляется один раз. Назовем частотой события Л в дан- ной серии из п испытаний отношение числа т тех испытаний, в кото- рых событие Л наступило, к общему числу п произведенных испытаний: v (Л) = т/п. (1.1.1) Наличие у события Л при условиях 5 определенной вероятности р (Л | S) == р (Л) проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота v события Л приблизительно равна Р (Л). Это и есть статистическое определение вероятности. 9 Учитывая связь между v (Л) и р (Л), следует принять, что веро- ятность события удовлетворяет тем же ограничениям, что и относи- тельная чаетота v (Л), т. е. 00. (1-34) л-о—е Если производная fW (x) имеет в точке Ху разрыв первого рода, то хц+е Г /W6^">(^-^)^=(-l)"y[f(")(л:o+)+/(")^o-)L е>0. (1-35) Хц—е Применяя формулу (34) к двукратному интегралу вида Ь Ь J==^f(x, y)6"(x-y-)dxdy, получаем, что при выполнении равенства .„/.. -л ^f(X,y) Гх (У.У)=- (1-36) дх2 -fix ^-^^У) — /о (х I х) — ~~——— х=у " ду2 у=х порядок интегрирования с дельта-функцией не имеет значения, т. е. ь ь J^ f"x(y,y)dy==4 fy(x.x)dx. (1-37) Аналогично дельта-функции одного аргумента можно ввести двумерную дельта-функцию 6о (х — Ху, у — у») = 6 (х — х„) 6 (у — уд), определив ее как единичную массу, сосредоточенную в точке (ху, уу). Для двумерной дельта-функ- ции справедливы соотношения JJ" 63 (х—Хо, y—yy)dxdy==l, —— 00 00 П f,(x, У) ^ (x—Хц, у—уо) dxdy=f (Хц, уо), —— 00 00 J f(x, у)6^(х—Хц, у— г/о) dy=f (х, Уо)б(х-Хо). :——• 00 Приложение 11 СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ Х Ф(х)^——=. f e-^^df, Ф(—х)=-1—Ф(х). У2л J 2 с Ч. с етЦх)=——— е-' dt, ет1с(х)=——— e-^dt. У я J Уя J (1-38) (1-39) (1-40) (II-l) (11-2) 614 1 f х \ Ф(х)=1—— з ^l-i/a"}' erf(л:)-l—eгfc(л:)• rP W Р (V) ^N'"-" dx -- = Г ly(x,y)dx+?>' (у) HP (у), У) L«(г/) J "(у) -«' (у) /(«(у), у). ^("т-т' - J-^=e-д:i/24-У27Г^;Ф(л;)-л;^/ J 00J ^(^ exp^ps.»;2);»:11-1^^ о rf^) ! ь \ 1 2 ) [чр ^F.^+^l: V+1: 62 1 (П-3) (11-4) (11-5) 2^Г(У+1) "Ч 2 •-••-• 4^ ; ^^ Право- и левосторонние пределы функции / (х) обозначаются соответственно 6 (х» +0) == lim / (х), f (Хц-0) = lim f (x) . x\x, x\x„ (11-7) Неравенство Шварца—Буняковского для двух функций/(х) и^(^)имеет вид оо 2 оз оо J' f*(x)g(x)dx < J \f(x)\^dx J \g(x)[^dx, (11-8) —» 00 ;— 00 I— CO причем знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда (11-9) где с — некоторая постоянная. Если отношение f (x)/g (х) остается ограниченным, когда х стремится к своему пределу, то пишут / (х) = О (g (х)) и говорят, что «/ (х) имеет порядок, не боль- ший, чем g (х)». Если / (х) /g (х) стремится к нулю, то пишут / (х) == о (g (х}) и говорят, что «/ (х) высшего порядка малости по сравнению с g (х}». Если / {x)/g (х) стремится к единице, то пишут/ (х) ~ g (х) и говорят, что «/ (х) асимп- тотически равна g (х)». < ^ Функция Бесселя /п-го порядка от мнимого аргумента 2Л /та (х) = ~Г' \ е* cos ф cos т^ • (II-10) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник для университетов. — 5-е изд., стереотип. — М.: Наука, 1969.— 400 с. 2. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. по- собие для вузов. — М.: Наука, 1979. — 496 с. 3. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука, 1978. — 224 с. 4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. — 3-е изд., испр. — М.: Наука, 1964.— 576 с. 615 5. Papoulis A. Probability, random variables and stochastic processes — New Jork: McGiaw-Hill Book Co., 1965.—584 p. 6. Лукач Е. Характеристические функции: Пер. с англ.—М.: Наука, 1979. 7. Оберхеттингер Ф. Преобразования Фурье распределений и их обобщения Таблицы: Пер. с англ./Пер. М. С. Никулина. — М.: Наука, 1979.—248 с 8. Крамер Г. Математические методы статистики: Пер. с англ.—М.: Мир, 1975. 9. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике — М.: Сов. радио, 1961.— 558 с. 10. Малахов А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований.— М.: Сов. радио, 1978.— 376 с. 11. Таблицы функции ошибок и ее первых двадцати производных: Пер с англ / Пер. Л. С. Барк и Л. Н. Болыпева. — М.: ВЦ АН СССР, 1965. — 276 с. 12. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения в 2-х т '• Пер. с англ. Т.2: /Пер. Ю. В. Прохорова.— М.: Мир, 1967.— 752с. 13. Сарманов О. В. Замечания о некоррелированных гауссовских зависимых слу- чайных величинах. — Теория вероятностей и ее применения, 1967 т 12 вып. 1, с. 141—143. ' ' ' 14. Masonson M. On the gaussian sum of gaussian variates, the non-gaussian sum of gaussian variates and the gaussian sum of non-gaussian variates — Proc. IEEE, 1967, v. 55, № 9, p. 1661. 15. Brown J. L. On the expansion of the bivariate gaussian probability density using results of nonlinear theory. — IEEE Trans., 1968, v. IT-14 № 1. 16. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений: Пер. с англ./Под ред*. А Н' Колмогорова.— М.: Наука, 1966. — 588 с. 17. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. — М.: Сов. радио, 1977. 18. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы: Пер. с англ / Под ред. Ю. К. Беляева. — М.: Мир, 1969. — 400 с. 19. Дуб Д. Вероятностные процессы: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1956. —606с. 20. Горяинов В. Т., Журавлев А. Г., Тихонов В. И. Статистическая радиотех- ника. Примеры и задачи: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб и доп. /Под ред. В. И. Тихонова.— М.: Сов. радио, 1980. — 544 с. 21. Френкс Л. Теория сигналов: Пер. с англ. — М.: Сов. радио, 1974. — 344с. 22. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов: Пер. с англ./Под ред. Г. Я. Мирского. — М.: Мир, 1974.— 464 с. 23. Kak S. С. Probability distribution to characterize clipped waves — Proc IEEE, 1971, v. 59, № 10, р. 1534—1535. 24. Расщепляев Ю. С., Фандиенко В. Н. О построении моделей стационарных случайных процессов для исследования систем управления. — Техническая кибернетика, 1974, № 1, с. 224—231. 25. Blanc-Lapierre A., Fortet R. Theorie des fonktions aleatoires. — Paris- Masson, 1953. — 694 p. 26. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике: Пер. с англ./Под ред. В. И. Алексеева. — М.: Мир, 1971.— 496 с. 27. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции в 3-х т.: Пер с англ. — М.: Сов. радио, 1972—1977.—T.I. Теория обнаружения, оценок и линей- ной модуляции /Под ред. В. И. Тихонова, 1972.— 744 с. 28. Возенкрафт Д., Джекобс И. Теоретические основы техники связи: Пер. с англ./Под ред. Р. Л. Добрушина. — М.: Мир, 1969. — 640 с. 29. Wise С. I., Gallagher N. С. On spherically invariant random processes. — IEEE Trans., 1978, v. IT-24, №1, p. 118—120. 30. Кемени Дж. Д., Снелл Дж. Л. Конечные цепи Маркова: Пер. с англ./Под ред. А. А. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 271 с. 31. Кузьмин С. 3. Цифровая обработка радиолокационной информации — М.: Сов. радио, 1967.—400 с. 32. Holmes J. К. Performance of a first-order transition sampling digital phase- locked loop using random walk models. — IEEE Trans., 1972, v. COM-20. №2, p. 119—131. 33. Блох Э. Л., Попов О. В., Турин В. Я. Модели источников ошибок в кана- лах передачи цифровой информации. — М.: Связь, 1971.—312 с. 616 34. Тихонов В. И., Харисов В. Н., Смирнов В. А. Оптимальная фильтрация дис- кретно-непрерывных процессов.—Радиотехника и электроника, 1978, т. 23, №7, с. 1441—1452. 35. Миронов М. А. Случайные блуждания между отражающим и поглощающим экранами. — Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1974, т. 17, № 4. 36. Kemeny J. G., Snell J. L. Finite continious Markov chains. — Теория веро- ятностей и ее применения, 1961, т. 6, вып. 1, с. 110—115. 37. Беллман Р. Введение в теорию матриц: Пер. с англ./Под ред. В. Б. Лид- ского. — М.: Наука, 1969. — 367 с. 38. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслужива- ния. — М.: Наука, 1966. — 432 с. 39. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: Пер. с англ./Под ред. И. Н. Коваленко. — М: Сов. радио, 1971. — 520 с. 40. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения: Пер. с франц./Под ред. И. Н. Коваленко. — М.: Мир, 1965.—302 с. 41. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в тео- рии надежности. — М.: Наука, 1965. — 524 с. 42. Васильев Б. В., Козлов Б. А., Ткаченко Л. Г. Надежность и эффективность радиоэлектронных устройств. — М.: Сов. радио, 1964. — 368 с. 43. Васильев Б. В. Прогнозирование надежности и эффективности радиоэлект- ронных устройств. —М.: Сов. радио, 1970. — 335 с. 44. Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерент- ный прием сигналов. — М.: Сов. радио, 1975.— 704 с. 45. Aein J. M. A multi-user-class, blocked-calls-cleared, demand access model. — IEEE Trans., 1978, v. COM-26, № 3, p. 378—385. 46. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения : Пер. с англ./Под ред. А. Н. Ширяева. — М.: Наука, 1969.—511 с. 47. Kendall D. G. On the generalized birth-and-death process. — Ann. Math. Statist., 1948, v. 19, p. 1—15. 48. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления.—М.: МГУ, 1966.—319 с. 49. Обрезков Г. В., Разевиг В. Д. Методы анализа срыва слежения. — М.: Сов. радио, 1972. — 239 с. 50. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравне- ния. — Киев: Наукова думка, 1968. — 584 с. 51. Параев Ю. И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. —М.: Сов радио, 1976.— 184 с. 52. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1965.—654 с. 53. Миронов М. А. Нелинейное преобразование случайного телеграфного сиг- нала.— Радиотехника, 1980, т. 35, № 7, с. 70—72. 54. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. — М.: Физматгиз, 1963. — 859 с. 55. Годунове. К. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1971.—416с. 56. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1972. — 735 с. 57. Михлин С. Г., Смолицкий X. Л. Приближенные методы решения дифферен- циальных и интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965. — 383 с. 58. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ. /Под ред. Ю. Н. Бакаева, М. В. Капранова.—М.: Сов. радио, 1978.— 597 с. 59. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.— М.: Наука, 1977. 60. Казаков И. Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. — М.: Наука, 1977. — 416 с. 61. Фрейдлин М. И. О стохастических уравнениях Ито и вырождающихся эл- липтических уравнениях. — Изв. АН СССР. Сер. матем. 1962, т. 26, № 5. 62. Никитин Н. Н., Разевиг В. Д. Методы цифрового моделирования стоха- стических дифференциальных уравнений и оценка их погрешности. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1978, т. 18, № 1, с. 106—117. 63. Красовский А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динами- ческих систем. — М.: Наука, 1974. — 232 с. 64. Сейдж Э. П., Мелса Дж. П. Теория оценивания и ее применение в связи^ и управлении: Пер. с англ./Под ред. Б. Р. Левина. — М.: Связь, 1976. 617 65. Витерби Э. Д. Принципы когерентной связи: Пер. с англ./Под ред. Б. Р. Левина. — М.: Сов. радио, 1970.— 391 с. 66. Миронов М. А., Белоусова В. С. Срыв синхронизации в системах фазовой автоподстройки второго порядка.— Радиотехника и электроника, 1981, т. 26, № 1, с. 118—126. 67. Миронов М. А., Белоусова В. С. Статистические характеристики срыва син- хронизации в аналоговых системах фазовой автоподстройки второго порядка. — Радиотехника и электроника, 1981, т. 26, № 4, с. 783—792. 68. Теория связи: Пер. с англ./А. В. Балакришнан, Дж. В. Карлил, В. Л. Рут и др.; Пер. под ред. Б. Р. Левина. — М.: Связь, 1972. — 391 с. 69. Weinberg A., Liu В. Discrete time analyses of nonuniform sampling first — and second order digital phase lock loops. — IEEE Trans., 1974, v. COM-22, №2, p. 123—137. 70. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника.— М.: Сов. радио, 1966. 71. Кокс Д. Р., Смит В. Л. Теория восстановления: Пер. с англ./Под ред. и с до- полн. Ю. К. Беляева. — М.: Сов. радио, 1967. — 300 с. 72. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий: Пер. с англ./Под ред. Н. П. Бусленко. — М.: Мир, 1969.—312. с. 73. Сох D. R., Miller H. D. The theory of stochastic processes. — London: Met- huen, 1965. .— 398 p. 74. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963. — 236 с. 75. Parzen E. Stochastic processes. — Holden day, inc., 1962. — 324 p. 76. Davenport W. В. Probability and random processes. — New Jork: McGraw- Hill, 1970. — 542 p. 77. Snyder D. L. Random point processes. — New Jork: John Wiley, 1975. 78. Венскаускас К. К., Малахов Л. М. Обзор по импульсным помехам.—Зару- бежная радиоэлектроника, 1978, № 1, с.95—125. 79. Лихтер Я. И. О некоторых статистических свойствах атмосферных радио- помех. — Радиотехника и электроника, 1956, т. I, № 10, с. 1295—1302. 80. Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов: Пер. с англ./Под ред. Р. Л. Добрушина. — М.: ИЛ, 1960. — 468 с. 81. Brown J. L. Mean square truncation error in series expansion of random functions. — SIAM, 1960, v. 8, № 1, р. 28—32. 82. Сегё Г. Ортогональные многочлены: Пер. с англ./Пер. В. С. Виденского.— М.: Физматгиз, 1962. — 500 с. 83. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1976. — 342 с. 84. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И. Квазимоментные функ- ции в теории случайных процессов. — Теория вероятностей и ее примене- ния, 1960, т. 5, № 1, с. 84—102. 85. Магсшп J. I. A statistical theory of target detection by pulsed radar. — IRE Trans., 1960, v. IT-6, № 2, p. 59—267. 86. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов: Пер. с англ./ Под ред. Б. Р. Левина. — М.: Сов. радио, 1965. — 206 с. 87. Barret J. P., Lampard D. 0. An expansion for some second-order probabi- lity distributions and its application to noise problems. — IRE Trans., 1955, v. IT-1, № 1, p. 10—15. 88. Brown J. L. A criterion for the diagonal expansion of a second-order pro- bability distribution in orthogonal polynomials. — IRE Trans., 1958, v. IT-4, № 4, p. 172. 89. Leipnik R. Integral equations, bjorthonormal expansions and noise. — SIAM, 1959, v. 7, № 1, р. 6—30. 90/ Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов,""сумм, рядов и произ- ' 'ведений.'— М.: Наука, 1971. — 1108 с. 91. McFadden J. A. A diagonal expansion in Gegenbauer polynomials for a class of second-order probability densities. — SIAM, 1966, v. 14, № 6. 92.5Wong E., Thomas'».!. B. 1^ On 1 polynomial expansions of second-order distri- butions. — SIAM, 1962, v. 10, № 3, р. 507—516. ^й^ 93. Быков В.' В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. — М.: Сов. радио, 1971. — 326 с. 618 94. Коваленко^И.^Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 1973. —368 с. 95. Фельдман Ю. И. Распределения амплитуды и фазы вектора, проекции кото- рого распределены нормально и коррелированы друг с другом (общий слу- чай). — Вопросы радиоэлектроники. Сер. ОТ, 1964, № 1, с. 78—98. 96. Middleton D. A statistical theory of reverberation and similar first-order scattered fields: pt. I — Waveforms and the general process. — IEEE Trans., 1967, v. IT-13, № 3, p. 372—392; part II — Moments, Spectra and special distributions. — IEEE Trans., 1967, v. IT-13, № 3, p. 393—414. 97. Pao С. Р. Линейные статистические методы и их применения: Пер. с англ. /Под ред. Ю. В. Линника,— М.: Наука, 1968. — 548 с. 98. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах: Пер. с англ./Под ред. В. В. Налимова. — М.: Мир, 1969. — 396 с. 99. Чабдаров Ш. М., Трофимов А. Т. Полигауссовы представления произ- вольных помех и прием дискретных сигналов. — Радиотехника и электро- ника, 1975, т. 20, № 4, с. 734—745. 100. Харисов В. Н., Минь Н. Д. Спектральные плотности радиосигналов, мани- пулированных бинарными случайными последовательностями. — Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1981, т. 24, № 4, с. 92—95. 101. Харисов В. Н., Минь Н. Д. Корреляционная функция и спектральная плот- ность дискретных ЧМ радиосигналов с непрерывной фазой. — Радиотех- ника и электроника, 1983, т. 28, № 1, с. 74—81. 102. Bennet W. R., Rice S. 0. Spectral density and autocorrelation function associated with binary frequency — shift keying. — BSTJ, 1963, v. 42, № 5. 103. Gronemeyer S. A., McBrideA. L. MSK and offset QPSK modulation. — IEEE Trans., 1976, v. COM-24, № 8, p. 809—819. 104. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И. Прохождение слу- чайных функций через нелинейные системы. — Автоматика и телемехани- ка, 1953, т. 14, № 4, с. 375—391. 105. Rice S..O. Mathematical analysis of random noise.—BSTJ, 1944, v. 23, № 3, p. 282—332; 1945, v. 24, № 1, р. 46—156. 106. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи: Пер. с англ./ Под ред. Б. Р. Левина.— М.: Сов. радио. Т. 1. 1961.— 782 с. 107. Слейтер Л. Дж. Вырожденные гипергеометрические функции: Пер. с англ. Пер. М. К. Керимова.— М.: ВЦ АН.СССР, 1966.—250 с. 108. Амиантов И. Н., Тихонов В. И. Воздействие нормальных флюктуации на типовые нелинейные элементы. — Изв. АН СССР. ОТН, 1956, № 4. 109. Тихонов В. И., Амиантов И. Н. Воздействие сигнала и шума на нелинейные элементы (прямой метод).—Радиотехника и электроника, 1957, т. 11, № 5. 110. Price R. A useful theorem for nonlinear devices having gaussian inputs.— IRE Trans., 1958, v. IT-4, № 2, p. 69—72; 1964, v. IT-10, № 2, p. 171. 111. McFadden J. A. An alternate proof Nuttal's theorem on output crosscova- riance. — IEEE Trans., 1965, v. IT-11, № 2, p. 306. 112. Papoulis A. Comment on «An extension of Price's theorem».— IEEE Trans., 1965, v. 1Т-11,№ 1,р. 154. 113. Brown J. L. A generalized form of Price's theorem and its converse. — IEEE Trans., 1967, v. IT-13, № 1, p. 27—30. 114. Pawula R. F. A modified version of Price's theorem. — IEEE Trans., 1967, v. IT-13, № 2, p. 285—288. 115. Bonnet G. Transformations des signaux aleatoires a travers les systemes non lineaires sans memoire. — Ann. Telecommun., 1964, v. 19, p. 203—220. 116. Dussauchoy A. Application due development de Gram — Charlier au calcul des moments d'unefonction aleatoire ayant subi une transformation sans me- moire. — Rev. C. E. T. H. E. D.E.C., 1967, v. 4, № 9, p. 99—123. 117. Dussauchoy A. A direct proof of a result of Bonnet's. — IEEE Trans., 1969, v. IT-15, № 1, p. 163. 118. Thomas J. B. An introduction to statistical communication theory. — New York: John Wiley, 1969.— 670 p. 119. Bamn R. F. The correlation function of gaussian noise passed through nonli- near devices. — IEEE Trans., 1969, v. IT-15, № 4, p. 448—456. 619 120. Гершман С. Г., Фейнберг Е. Л. Об измерении коэффициента корреляции — Акуст. журн., 1955, т. 1, № 4, с. 326—338. 121. Вольф, Томас, Уильяме. Коррелятор совпадения полярностей.— Зарубеж- ная радиоэлектроника, 1962, № 4, с. 66—74. 122. Jespers P., Chu P. Т., Fettweis A. A new method to compute correlation functions. — IRE Trans., 1962, v. IT-8, № 5, p. 106—107. 123. Экри. Коррелятор совпадения полярностей для обнаружения источника слабых шумов. — Зарубежная радиоэлектроника, 1963, № 10, с. 57—66. 124. Черняк Ю. Б. Корреляторы с идеальными ограничителями.— Радиотехни- ка, 1965, т. 20, № з, с. 70—77. 125. Ruchkin D. S. Error of correlation coefficient estimates from polarity coin- cidences.— IEEE Trans., 1965, v. IT-11, № 2, p. 296—297. 126. Копилович Л. Е. К теории коррелятора совпадения полярностей. — Изв'. вузов СССР. Радиотехника, 1966, т. 9, № 6, с. 719—725. 127. Бурунсузян Э. С. Знаковый коррелятор как индикатор отношения сигнал/ шум. — Радиотехника и электроника, 1968, т. 13, № 2, с. 268—275. 128. Егоров Н. И. Расширение области прямого применения метода полярной корреляции.— Автоматика и вычислительная техника, 1968, № 2, с. 54—59. 129. Веселова Г. П., Грибанов Ю. И. О некоторых погрешностях полярных корреляторов.—Автоматика и телемеханика, 1970, т. 31, № 10, с. 54 —59. 130. Томас Д. Б. Непараметрические методы обнаружения сигналов. — ТИИЭР, 1970, т. 58, № 5, с. 23—31. 131. Курочкин С. С. Многоканальные счетные системы и коррелометры. — М • Энергия, 1972.— 344 с. 132. Baum R. F. The correlation function of smoothly limited gaussian noise. — IRE Trans., 1957, v. IT-3, № 3, p. 193—197. 133. Величкин А. И. Теория дискретной передачи непрерывных сообщений. — М.: Сов. радио, 1970.— 296 с. 134. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции в 3-х т.: Пер. с англ. — М.: Сов. радио, 1972—1977. Т. 2. Теория нелинейной модуляции/Под ред. В. Т. Горяинова. 1975.— 344 с. 135. Bennet W. R. Spectra of quantized signals. — BSTJ, 1948, v. 27, № 3. 136. Косякин А. А. Статистическая теория квантования по уровню. — Автома- тика и телемеханика, 1961, т. 22, № 6, с. 722—729. 137. Spirad A., Snyder D. L. A necessary and sufficient condition for quantiza- tion errors to be uniform and white.—IEEE Trans., 1977, v. ASSP-25, №5. 138. Max J. Quantizing for minimum distortion.— IRE Trans., 1960, v. IT-6, № 1. 139. Roe G. M. Quantizing for minimum distortion. — IEEE Trans., 1964, v. IT-10, № 4, p. 384—385. 140. Banta E. D. On the autocorrelation function of quantized signal plus noise. — IEEE Trans., 1965, v. IT-11, № 1, p. 114—117. 141. Fine Т. Optimum mean-square quantization of a noisy input. — IEEE Trans., 1965, v. IT-11, № 2, p. 190—195. 142. Paez M. D., Glisson Т. Н. Minimum mean-squared-error quantization in speech PCM and DPCM Systems. — IEEE Trans., 1972, v. COM-20, № 2, p. 225—230. 143. Larson R. E. Optimum quantization in dynamic systems. — IEEE Trans., 1967, v. AC-12, p. 162-168. 144. BIachman N. M. Noise and its effect on communication. — New York: Mc- Graw-Hill, 1966. — 212 p. 145. Безуглый В. В., Жуков В. П. Сигнал и шум на выходе умножителя час- тоты.— Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1976, т. 19, № 12, с. 45—49. 146. Безуглый В. В., Жуков В. П. Максимальное отношение сигнал/шум после нелинейного преобразования суммы гармонического сигнала и узкополос- ного гауссова шума. — Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1979, т. 22, № 3. с. 51—55. '. г , , , 147. Davenport W. В. Signal-to-noise ratios in band-pass limiters. —J. Appl. Phys., 1953, v. 24, № 6, р. 720—727. 148. Berglund С. N. A note on power-law devices and their effect on signal-to- noise ratio. — IEEE Trans., 1964, v. IT-10, №1,р.52—57. 149. Nuttall A. H. On the envelopes of zonal filters outputs of memoryless dis- tortions of narrow-band processes. — IEEE Trans., v. IT-11, № 2. 150. Jain P. C. Limiting of signals in random noise. — IEEE Trans., 1972, v. IT-18, №3, p. 333—340. 151. Andrews L. С. The probability density function for the output of a cross- correlator with bandpass inputs. — IEEE Trans., 1973, v. IT-19, № 1. 152. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм не- зависимых случайных величин. — М.: Гостехиздат, 1949.—264 с. 153. Артамонов Г. Т., Тюрин В. Д. Анализ информационно-управляющих систем со случайным интервалом квантования сигнала по времени. — М.: Энер- гия, 1977. — 112с. 154. Dawson С. Н., Sclar H. False addresses in a random access system employ- ing discrete time-frequency addressing. — IEEE Internal, conven. record, 1964, pt 6, p. 217—227. 155. Дынкин Е. Б. Об одной задаче из теории вероятностей. — УМН, 1949, т. 4, вып. 5, с. 183—197. 156. Лившиц А. Р., Биленко А. П. Многоканальные асинхронные системы пере- дачи информации. — М.: Связь, 1974.— 232 с. 157. Кузенков В. Д. Распределение вероятности огибающей и фазы суммы слу- чайных сигналов. — Науч. труды вузов Поволжья, 1971, вып. 6, с. 3—12. 158. Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В. Теория вероятностей и математи- ческая статистика в технике.— М.: Гостехиздат, 1955. — 556 с. 159. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями: Пер. с англ./Под ред. Ю. В. Линийка.— М.: ИЛ, 1956. — 664 с. 160. Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика: Пер. с немец./Под ред. Н. В. Смирнова. — М.: ИЛ, 1960. — 434 с. 161. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наб- людений. — М.: Физматгиз, 1962. — 350 с. 162. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи: Пер с. англ. /Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Наука, 1973. — 900 с. 163. Дюге Д. Теоретическая и прикладная статистика: Пер. с франц./Под ред. Ю. В. Линника.— М.: Наука, 1972. — 384 с. 164. Уилкс С. Математическая статистика: Пер. с англ. — М.: Наука, 1967. 165. Беляев Ю. К. Вероятностные методы выборочного контроля. — М.: Наука, 1975. — 408 с. 166. Nahi N. Е. Estimation theory and applications. — New York: John Wiley, 1969. — 280 p. 167. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И. Прохождение некоторых случайных функций через линейные системы.—Автоматика и телемехани- ка, 1953, т. 14, № 2, с. 144—163. 168. Тихонов В. И., Толкачев А. А. Воздействие ненормальных флюктуации на линейные системы. — Изв. АН СССР, ОТН, 1956, № 2, с. 48—56. 169. Бендат Дж. Основы теории случайных шумов и ее применения: Пер. с англ. / Под ред. В. С. Пугачева. — М.: Наука, 1965. — 464 с. 170. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для радио- технических вузов. —3-е изд., перер. и доп. —М.: Советское радио, 1977. — 608 с. 171. Гренандер У. Случайные процессы и статистические выводы: Пер. с англ./ Пер. А. М. Яглома. — М.: ИЛ, 1961. — 168 с. 172. Определение параметров случайных процессов, сб. статей: Пер. с англ./ Под ред. В. И. Чайковского. — Киев.: Гостехиздат УССР, 1962. — 168 с. 173. Виленкин С. Я. Статистическая обработка результатов исследования слу- чайных функций. — М.: Энергия, 1979. — 320 с. 174. Дженкинс Г., Ватте. Спектральный анализ и его приложения в 2-х вып.: Пер. с англ. —М.: Мир, вып. 1, 1971, вып. 2, 1972. 175. Коняев К. В. Спектральный анализ случайных процессов. — М.: Наука, 1973. — 168 с. 176. Грибанов Ю. И., Мальков В. Л. Выборочные оценки спектральных харак- теристик стационарных случайных процессов. — М.: Энергия, 1978.—150 с. 177. Цветков Э. И. Нестационарные случайные процессы и их анализ. — М.: Энергия, 1973.— 128 с. 621 178. Корн Г. Моделирование случайных процессов на аналоговых и аналого- цифровых машинах: Пер. с англ. — М.: Мир, 1968.— 316 с. 179. Котюк А. Ф., Ольшевский В. В., Цветков Э. И. Методы и аппаратура для анализа характеристик случайных процессов. — М.: Энергия, 1967. — 238с. 180. Балл Г. А. Аппаратурный корреляционный анализ случайных процессов.— М.: Энергия, 1968. — 160 с. 181. Palmer D. F. Bias criteria for selection of spectral windows. — IEEE Trans., 1969, v. IT-15, № 5, p. 613—615. 182. Pa рои 1 is A. Minimum-bias windows for high-resolution spectral estimates.— IEEE Trans., 1973, v. IT-19, № 1, p. 9—12. 183. Хэррис Ф. Дж. Использование окоп при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье. — ТИИЭР, 1978, т. 66, № 1, с. 60—99. 184. Тихонов В. И., Левиков А. А. О квазиоптимальных линейных фильтрах для импульсных сигналов. — Радиотехника, 1965, т. 20, № 1, с. 10—17. 185. Беляев Ю. К. Аналитические случайные процессы. — Теор. вероят. и ее применения, 1959, т. 4, вып. 4, с. 437—444. 186. Wonham W. M., Fuller A. T. Probability densities of the smoothed ran- dom telegraph signal. — J. Electronics Control, 1958, v. 4, № 6, p. 567—576. 187. Pawula R. F. Statistical geometry of the smothed telegraph signal. — Intern. J. Control, 1972, v. 16, № 4, p. 629— 640. 188. Keilson J., Mermin N. D. The second-order distribution of integrated shot noise. — IRE Trans., 1959, v. IT-5, № 2, p. 75 —77. 189. Racine P., Haber F. Bruit a la sortie d'un filtre passe-bande resultant d'impulsions breves, avec une distribution de poisson a lentree. — Anna!. Telecommuns., 1969, v. 24, №9 — 10, р. 296—298. 190. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей.— Изв. АН СССР, Сер. матем., 1941, № 5. 191. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. — New York: John Wiley, 1949. — 162 p. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вариационный ряд 430 Вероятность 10 — доверительная 447 Воспроизводящее свойство 335 Время корреляции 126 Выборочный метод 429 Гипотезы 16, 466 Граница доверительная 435 Дельта-функция 608 Дисперсия 49 — оценки 438, 452 — условная 58 Диффузионный процесс 497 Задача анализа 5, 309, 481 — синтеза 5 Закон распределения 19 — больших чисел 52 —Пуассона 129, 251, 261 —Эрланга 253, 411 Значение верхнее 430 — нижнее 430 Интеграл вероятности 64 — Ито 219 — Стратоновича 221 Интенсивность потока 252 Квазимоменты 283, 596 Квантиль 47 Квантователь 381 Ковариационная функция 104 Композиция плотностей вероятностей 324 Коррелятор совпадения полярностей 372 Корреляционная функция 104, 121 — матрица 72, 120 ——нормированная 120 Коэффициент асимметрии 55, 285 — эксцесса 55, 285 622 Критерий Пирсона 434 — согласия 434 Лемма Лебега—Римана 591 Математическое ожидание 44 — — условное 58 Медиана 47 Мода 47 Моменты абсолютные 48 — ковариационные 104 — начальные 48, 67 — совместные 56 — центральные 48, 67 Метод прямой 360 — характеристической функции 360 Надежность системы 14, 329 Неравенство Коши—Буняковского 615 — Рао—Крамера 440 — Чебышева 50 Нормализация случайного процесса 592 Область критическая 467 — принятия гипотезы 467 Объем выборки 430 Ограничитель 314, 366, 372, 378, 400 Окно корреляционное 537 — спектральное 537 Ортогональные случайные величины 61, 120 Оценивание линейное 602 — нелинейное 602 Оценка достаточная 438 — линейная 460 — моментов 443 — несмещенная 437 — состоятельная 436 — эффективная 440 Оценки некоррелированные 443 Плотность вероятности 20, 34, 36, 40, 98 — — апостериорная 452 — — априорная 451 — — нормальная 63, 68, 73 Полиномы Чебышева—Эрмита 72, 284 Порог квантования 381 Преобразование безынерционное 309 — Ганкеля 173 — кусочно-линейное 314 — линейное 308 — моментов 322, 488 — плотностей вероятностей 310, 321 — функциональное 309 Разложение Карунена—Лоэва 281 — Мелера 72 Рандомизация 324 Размах выборки 430 Ряд Грама—Шарлье 595 — Лагерра 286 — Эджворта 284 Случайная величина 19, 49 Случайная функция 92 Случайное поле 92 — — изотропное 176 — — однородное 114 — — стационарное 114 Случайный процесс 92 — — аналитический 564 — — вырожденный 566 ——гауссовский 181 — — марковский 196 — — непрерывный 94, 485 — — пуассоновский 213, 249 — — стационарный 106, 108 — — точечный 94, 245 — — узкополосный 145, 507 — — эквивалентный 98 — — эргодический 117, 515 Смесь 324 Средний квадрат ошибки 53 Среднее квадратическое отклонение 49 Средний риск 469 Статистические характеристики 428 Спектральная плотность 139 ——взаимная 149 ——нестационарного процесса 160 —• — нормированная 146 ——случайного поля 173 Спектр пространственно-временной 170 Сходимость в среднеквадратическом 483 — по вероятности 484 — почти наверное 483 — по распределению 484 Теорема Кемпбелла 272 — центральная предельная 64, 593 Условия физической возможности 478 Условная плотность вероятности 37, 186 — функция распределения 36 Уравнение Колмогорова обратное 223 — Колмогорова—Феллера 223 — Колмогорова—Чэпмена 42, 223 — правдоподобия 453 — Понтрягина 225 — стохастическое 218 — флюктуационное 568 — Фоккера—Планка—Колмогорова 228 Уровень значимости 435 Формула Винера—Хинчина 139 функция передаточная 478 — правдоподобия 452 — потерь 453 — производящая 205 — распределения 21, 34, 36, 39, 98 — характеристическая 32, 35, 101 Характеристика амплитудно-частотная 47. — комплексная частотная 478 — импульсная 477 — переходная 478 — фазочастотная 478 Цепь Маркова однородная 200 — — неоднородная 200 Шум белый 191 — — дискретный 504 —дробовой 192, 265 — тепловой 193 Шаг квантования 381 Эффективная ширина спектра 145 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . .............. 3 Введение . . . ............... 4 Список литературы ............... 7 ГЛАВА 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ........ 9 1.1. Основные понятия теории вероятностей ............. 9 1.2. Описание случайных величин .................. 19 1.3. Числовые характеристики случайных величин .......... 43 1.4. Гауссовские случайные величины ................ 63 1.5. Распределения Пирсона . . .................. 78 ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ ............. 91 2.1. Общие определения, методы описания и классификация ...... 91 2.2. Корреляционная функция .................... 119 2.3. Спектральный анализ .... ................. 138 2.4. Спектральный анализ детерминированных и случайных полей ... 168 2.5. Гауссовские случайные процессы ................. 179 2.6. Марковские процессы ....................... 196 2.7. Пуассоновский процесс и его обобщения ............. 244 2.8. Представление случайных процессов и плотностей вероятностей ор- тогональными рядами ..................... 275 2.9. Корреляционные функции и спектральные плотности манипулиро- ванных радиосигналов ...................... 293 ГЛАВА 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ПРОЦЕССОВ ................. о0/ 3.1. Классификация преобразований .................. 307 3.2. Преобразование плотностей вероятностей и моментов. ....... 310 3.3. Преобразования гауссовских процессов и гармонических колебаний со случайными параметрами ................. 334 3.4. Полиномиальные и кусочно-разрывные преобразования ..... 356 3.5. Квантование случайных сообщений ................ 380 3.6. Функциональные преобразования сигнала и шума ........ 389 3.7. Простейшие операции над пуассоновским процессом ........ 407 3.8. Дополнительные примеры . . . ................ 420 Г ЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ....... 427 4.1. Предмет математической статистики ................ 427 4.2. Оценка закона распределения ................... 431 4.3. Характеристики оценок. Оценки моментов распределения .... 436 4.4. Методы оценки параметров распределения ............ 450 4.5. Линейное оценивание. Метод наименьших квадратов. ....... 460 4.6. Проверка статистических гипотез '................ 466 Г ЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ..... 477 5.1. Основные сведения из теории цепей. Задачи анализа. Стохастическая сходимость . . . ....................... 477 5.2. Вычисление моментных и корреляционных функций на выходе линей- ной системы ........................... 488 5.3. Примеры"? линейных преобразований . ............. 497 5.4. Эргодичность и экспериментальное определение основных харак- теристик ............................ 515 5.5. Квазиоптимальные линейные фильтры ............... 546 5.6. Дифференцирование случайного процесса. Аналитические процессы 554 5.7.rЛинeйныe флюктуационные дифференциальные уравнения .... 568 5.8. О пересечениях гауссовского случайного процесса ....... 575 5.9. Воздействие импульсных случайных процессов на линейные системы 581 5.10. Нормализация случайных процессов инерционными системами . . 592 5.11. Линейное оценивание по минимуму среднего квадрата ошибки . . 600 Приложение I. Дельта-функция ................... 608 Приложение II. Справочные формулы ................ 614 Список литературы ... .................... 615