ББК 22.18 В 44 УДК 519.816 Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1990. - 256 с. ISBN 5-02-014255-7. Посвящена систематическому изложению принципов оптимальности в раз- личных задачах принятия решений при неопределенности. Большую часть книги занимают теоретико-игровые принципы, излагаемые с точки зрения единого под- хода. Впервые в монографической литературе систематически рассматриваются функции значения (стоимости, полезности) игры. Содержит также весьма подробное изложение аксиоматических определений принципов оптимальнос- ти для игр против природы и арбитражных задач, а также некоторых решений задач многоцелевой оптимизации и групповых решений; знакомит с важней- шими результатами теории полезности. Для математиков и других специалистов, занимающихся проблемами при- нятия решений. Ил. 10. Библиогр. 230 назв. Рецензент доктор физико-математических наук Н.Н. Воробьев 1602110000-025 В -——————————7-90 053 (02) -90 ISBN 5-02-014255-7 © Издательство "Наука". Главная редакция физико-математической литературы, 1990 ПРЕДИСЛОВИЕ Работа над книгой началась около десяти лет тому назад, и первый ее вариант появился менее чем через два года с начала работы. Тогда книгу предполагалось назвать "Математическая теория оптимальности". Одна- ко, несмотря на то что число работ по проблеме оптимальности и тогда было большим, а в последнее десятилетие увеличилось, возможно, экспо- ненциально, это направление исследований и теперь еще не обрело такой ло- гической стройности, однородности и завершенности, чтобы назвать его теорией в строгом смысле этого слова. Это главным образом объясняется чрезвычайным разнообразием практических ситуаций принятия решений, которое необходимо учитывать в их математическом анализе. Настоящее название книги, по-видимому, точнее соответствует современному уровню развития того предмета, которому она посвящена. Целью данной книги является систематическое изложение матема- тических результатов о принципах оптимальности, описанных в об- щих чертах во введении. Мы стремились охватить все основные клас- сы игр и задач принятия решений при неопределенности, а также боль- шинство принципов оптимальности. Из известных классов игр в книге не рассматриваются лишь. игры с бесконечным множеством игроков. Что касается принципов оптимальности, то изложение уже является не столь полным. Ввиду чрезвычайного разнообразия интерпретаций стратегических и коалиционных игр список принципов оптимальности для них выглядит весьма нечетким. В нем, конечно, выделяются: равновесие, с-ядро, функ- ция Шепли и п-ядро, другие же принципы либо основаны на более частных идеях, либо трудно поддаются математическому анализу. Чтобы как-то охватить большинство стратегических принципов оптимальности, показать их взаимосвязи и различия заложенных в них подходов к оптимальности, мы начинаем с изучения наиболее общих моделей и наиболее общих прин- ципов оптимальности. Затем эти принципы конкретизируются для различ- ных частных классов игр. Путем добавления новых свойств к общему принципу оптимальности или некоторой его модификации получается большинство известных в литературе принципов: равновесие, Н — М-ре- шение, М-устойчивость, п-ядро, k-ядро и др. Все это излагается в главе 2, где, кроме того, рассматриваются два новых принципа оптимальности. Почти везде в этой главе принцип оптимальности является отображением в семейство всех подмножеств множества исходов игры. Глава 3 посвящена подробному аксиоматическому изучению функ- ции Шепли и и-ядра — двух принципов оптимальности в виде отображе- ния кооперативных игр в их множества дележей. Значения компонент этих отображений естественно считать полезностями или стоимостями соответствующих игр для каждого из их участников. В главе 3 также рас- сматривается индекс Банзафа и некоторые обобщенные функции Шепли. В главе 4 изучаются принципы оптимальности для многоцелевых моде- лей, причем достаточно подробно для игр против природы и для арбит- ражных задач. Принципы оптимальности в этой главе определяются ак- сиоматически и притом во всех формах: в виде функции выбора, функ- ции полезности и отношения предпочтения, на альтернативах и на самих играх. Аксиоматическое изучение принципов оптимальности для срав- нительно несложной модели, имеющей, однако, весьма различные интерпретации, выявляет характерные группы аксиом, их универсаль- ность. Для демонстрации этой универсальности мы рассматриваем и не- которые вопросы многоцелевой оптимизации и групповых решений. Это рассмотрение, конечно, не есть систематическое изложение вектор- ной оптимизации и теории групповых решений. Глава 1 посвящена знакомству с основными результатами теории полезности. Она необходима для перехода от принципа оптимальности, сформулированного в терминах отношения предпочтения, к принципу, сформулированному в терминах функции полезности. Однако этим роль теории полезности в изучении оптимальности далеко не исчерпы- вается. В теории полезности изучаются существование и вид функции полезности, когда отношения предпочтения, возможно, не заданы, но известны некоторые их свойства. В задаче принятия решения в усло- виях неопределенности отношение предпочтения также известно лишь частично. Его реконструкция д& совершенного отношения или нахожде- ния непосредственно функции полезности для данного предпочтения есть не что иное, как построение принципа оптимальности. Оптималь- ными в данном случае являются альтернативы, максимальные по ре- конструированному отношению или найденной функции. Свойства отноше- ния предпочтения, которыми определяется вид функции полезности, ока- зывается, попадают в упомянутый список аксиом оптимальности; следо- вательно, теория полезности представляет собой один из подходов в проб- леме оптимальности. Знакомство с ней, кроме того, существенно углуб- ляет понимание проблем принятия решений, поэтому мы сочли целесооб- разным дать краткий обзор и привести некоторые результаты теории по- лезности в главе 1 книги. Каждая из четырех глав, по существу, не зависит от остальных. Хотя в главе 2 рассматриваются модели, охватывающие модели и двух последую- щих глав, тем не менее изучаемые в ней принципы оптимальности ориен- тированы на устранение стратегической неопределенности, поэтому мало пригодны при рассмотрении неопределенности другого вида. Конечно, со временем положение будет меняться в сторону большей универсальности принципов, и мы надеемся, что настоящая книга также этому будет спо- собствовать. Примером, подтверждающим возможность создания универ- сальных принципов оптимальности (точнее, распространения принципа на весьма различные классы задач), может служить и-ядро. В главе 2 оно определено как конкретизация общего (стратегического) принципа опти- мальности, в главе 3 — как полезность игры и в главе 4 — как принцип оптимальности для игр против природы. Два последних определения ак- сиоматические. В конце каждой главы приводятся библиографические замечания. Я признателен своим коллегам по отделу математической экономики Института экономики АН ЛитССР, с которыми имел возможность обсуж- дать многие научные проблемы, затрагиваемые в книге. Неоценимую по- мощь в улучшении содержания книги оказали критика и советы коллек- тива ученых-математиков из Института социально-экономических проб- лем АН СССР, в особенности Е.В. Яновской, Г.Н. Дюбина, А.А. Корбута, В.Е. Лапицкого, С.Л. Печерского и А.И. Соболева. Больше всего я благо- дарен руководителю этого коллектива Н.Н. Воробьеву, который целиком прочитал и первый, и последний варианты рукописи, сделав при этом множество замечаний. Именно благодаря критике, советам и редактор- ской работе Н.Н. Воробьева книга обрела теперешние содержание и форму Э.Й. Вил кис ВВЕДЕНИЕ Под оптимальностью понимается строго определенное понятие разумно- го поведения, позволяющее сделать выбор между допустимыми вариан- тами действий или хотя бы отбросить некоторые из них как негодные, неразумные. Нет нужды доказывать важность такого понятия для социаль- ных наук и даже для повседневной жизни человека. Природа не задала человеку объективного критерия разумности в явном виде, а лишь раскрывает его в процессе эволюции, т.е. критерий разумности познается человеком лишь в результате балансирования между "быть" или "не быть" в процессе эволюции. Разумное действительно, и что дейст- вительно, то разумно, утверждает Гегель. Марк Аврелий говорит не так строго, но более конструктивно: "Для мыслящего существа действие, ко- торое соответствует его природе, одновременно есть разумное действие". Исходя из эволюционистской схемы, можно утверждать, что определе- ние разумного правомерно лишь по тем аспектам поведения, которые достаточно хорошо исследованы в их связи с существованием человека. Вместе с тем правомерно изучать определение оптимального поведения в сложных ситуациях по поведению в столь простых ситуациях, что опти- мальность в них выявляется непосредственно на основе познанных зако- нов природы и общества. Этим мы в основном и будем заниматься. Для выявнения содержания нашей проблематики обратимся к рас- смотрению задач принятия решений и соответствующих им понятий оп- тимальности, не вдаваясь, однако, пока в подробности. Задачи принятия решений. Хотя на самом деле принятие решений являет- ся процессом, по своей сложности и характеру сравнимым с процессом мышления в целом, мы здесь под "принятием решений" будем понимать однократный акт выбора некоторых альтернатив из заданного их множест- ва. Такое ограничение проблемы может быть оправдано тем, что имеется много реальных задач именно такого типа, и, кроме того, даже в этом случае проблема остается весьма сложной. С другой стороны, и весьма общий процесс принятия решений можно представлять себе как последо- вательность таких выборов альтернатив (см. Э.Й. Вилкас, Е.З. Майми- нас [1981]), поэтому он в известном смысле сводится к рассматривае- мому случаю. Пусть А = {д} — множество альтернатив. Для того чтобы выбрать луч- шую альтернативу, надо знать хотя бы попарные их сравнения по предпочти- тельности для принимающего решения лица, т.е. надо знать то, что назы- вается отношением предпочтения индивида на множе- стве А. Но в большинстве практических задач предпочтение задается не на самом множестве А, а на множестве возможных исходов выбора. Обозначим это множество через X, а отношение предпочтения на нем — через ^ . Запись х ^ у для х, у ? X будем читать как "исход х не менее предпочт! телен, чем исход у". Для заданных А, X, ^ требуется найти наиболее предпочитаемые альтернативы. Чтобы это сделать, в первую очередь надо знать соотношение между альтернативами и исходами. Рас- смотрим основные виды этого соотношения. 1. Если выбор альтернативы a ? А влечет появление одного вполне опре- деленного исхода х ? X, то нет никакой разницы, что выбирать альтерна- тивы или исходы, и мы можем считать, что предпочтение задано просто на множестве альтернатив А. В этом случае, который можно назвать д е- терминированным, мы можем осуществить разумный выбор, если только предпочтение на А "достаточно хорошее" (пока мы не будем уточнять, что именно скрывается за этими словами). 2. Соответствие между А и Х может быть стохастическим, когда выбираемые альтернативы являются случайными величинами со значениями в множестве исходов X. Характер этой случайности полностью описывается распределением вероятностей (т.е. вероятностной мерой) ра на X. Тогда выбор альтернативы д равносилен выбору рц, и множество А мы можем заменить на множество теперь уже неслучайных объектов Р= {рд: д ? А}. Однако при этом необходимо построить отношение пред- почтения наР,'ибо предпочтение задано лишь на X. Может случиться, что исходы из Х являются действительными числа- ми, а принимающего решение интересует лишь математическое ожидание Е(а) альтернативы д, так что д >. Ь, если Е(а} > Е(Ь). Однако гораздо чаще важно не только само математическое ожидание Е, но и математи- ческое ожидание г (квадратического) отклонения исхода от него, кото- рое обычно называется риском. В этом случае индивид оценивает альтернативы по двум параметрам: Е и г. Если он может указать свое пред- почтение между парами (Е (д), г (д)), то у нас будет предпочтение на Р и тем самым на А. Задача таким образом будет сведена к детерминиро- ванной. 3. Сходное положение дел имеет место и в том случае, когда неопре- деленность исхода имеет нестохастический характер. С содержа- тельной стороны причины неопределенности исхода могут быть весьма различными; информация может быть неполной или недостоверной в силу несовершенства методов измерения, нехватки средств и времени, невозможности провести эксперимент и т.д. Сравнительно хорошо изучен случай, когда неопределенность возникает вследствие независимых от принимающего решение субъекта действий других лиц, влияющих на исход выбора альтернативы. Такие модели принятия решений изучают- ся теорией игр, и в данной книге они будут основными. Игрок не знает, каким будет исход игры в случае того или иного своего выбора, но знает область возможных действий и предпочтений партнеров. Как и в стохас- 7 тическом случае ему здесь приходится принимать решение с учетом пред- почтений по нескольким "параметрам". 4. Вернемся опять к детерминированному случаю. Если выбор альтер- нативы влечет один и только один исход, то неопределенности относитель- но исходов выбора нет. Однако здесь может иметь место неопределенность другого рода: индивид может не полностью знать свое предпочтение на исходах или же это предпочтение может быть противоречивым. Такая ситуация является достаточно типичной для практических задач; она рав- ным образом может иметь место в стохастическом или игровом случае, однако его рассмотрение в этом случае в принципе не отличается от рас- смотрения в детерминированном случае. Если индивид о своем предпочтении не знает ничего, то никакая теория ему не поможет. Поэтому по крайней мере в большинстве случаев считает- ся, что совокупное предпочтение индивида есть некоторый агрегат не- скольких "хороших" предпочтений, каждое из которых отражает жела- тельность альтернатив по какому-либо одному аспекту, признаку, пара- метру и т.п. Приведенная классификация неопределенностей не является строгой. Мы уже указали, что на принятие решения при стохастической неопределен- ности можно смотреть как на принятие решения по двум предпочтениям (целевым функциям). Игровые задачи также можно трактовать как при- нятие решений при нескольких целях. Однако как стохастическая, так и игровая неопределенность имеет каждая свою специфику; поэтому они рассматриваются порознь, равно как и другие виды неопределенностей предпочтения. Вопросам оптимальности в случае стохастической неопределенности посвящено много работ (см. Эрроу [1970], П. Фишберн [1964], Кини и X. Райфа [1976] и др., библиография по стохастическому доминирова- нию - Бава [1982]). В настоящей книге эти вопросы рассматриваются лишь в той мере, в какой они являются частным случаем неигровой неопределенности предпочтения, специфика же стохастики не затрагива- ется. Вообще в этой книге рассматриваются примерно те же задачи, что и в широко известной книге Р.Д. Льюса и X. Райфы "Игры и решения". Все эти задачи можно назвать играми и задачами принятия решений в условиях неопределенности: формальной разницы между ними нет. Но одни такие задачи принято называть играми, а другие называются иначе: принятием решений в условиях неопределенности, групповыми решения- ми, задачами векторной оптимизации и т.д., в зависимости от того, какие содержательные соображения положены в основу интерпретаций рассматри- ваемых принципов оптимальности. Принципы оптимальности. Достаточные пока для нас общность и кон- кретность описания принципов оптимальности получатся, если ограничить- ся классом простейших задач принятия решений при неопределенности: G = {X, N, f), где Х ~ множество альтернатив, N - множество "точек зрения" на альтернативы, а / - действительная функция на Х Х N, кото- рая интерпретируется как "показатель качества" альтернативы по каждо- му г ? N; более привычно представлять / в виде вектор-функции / ={/,}, где ; ? N и каждая функция /; определена на X. Если Х и N интерпрети- ровать как множества стратегий двух игроков, а / — как выигрыш игро- 8 ка 1 (проигрыш игрока 2) на ситуациях Х Х N, т G будет описывать простейшую стратегическую игру двух лиц (так называемую антагонисти- ческую игру). Обозначим через 'S какой-либо класс задач типа G. Чтобы отличить, к какой именно задаче относятся конкретные X, Ли/, снабдим их индекса- ми: XG, NG, fo- Принципом оптимальности будем называть некоторое отображение f одного из видов: 1) 2^G X^G); 2) ip: 'S -»•^?JVG; ^ArG -числовое пространство с индексами компонент из NG; 3) ^р: 'S ->-R; R — одномерное числовое пространство. В случае 1) отображение if ставит в соответствие каждой задаче G опти- мальную альтернативу (или их множество, или множество ситуаций). В случае 2) if(G) представляет собой наборы оптимальных выигрышей для каждого г ? N. В случае 3) i^(G) указывает просто выигрыш (полез- ность, оценку) принимающего решение в G. Формы принципов оптималь- ности выписаны здесь в порядке убывания их информативности: зная оптимальные альтернативы, легко подсчитать оптимальные выигрыши по каждому г S N; зная последние, мы будем, как правило, знать выигрыш принимающего решение лица. Конечно, перечисленными случаями не исчерпываются все формы прин- ципов оптимальности. Например, в случае 1) rf>(G) может также быть предпочтением или функцией (полезности, выигрыша) на XQ, в случаях 2) и 3) отображение if(G) необязательно однозначно, а, кроме того, также может быть предпочтением или функцией соответственно на 'S Х N или на У. Чтобы отображение ^ можно было назвать принципом оптимальности, оно должно обладать некоторыми свойствами, вытекающими из интерпре- тации компонент G, т.е. из их прикладного смысла. В зависимости от контекста эти свойства должны выражать выгодность, устойчивость, спра- ведливость и т.п. Выбор отдельных свойств принципа оптимальности отно- сится к области искусства моделирования; математическое определение принципа оптимальности делает возможным формализацию гипотез об оптимальности, наблюдаемых в практике или специально изобретаемых для решения каких-либо практических задач. В данной книге мы приводим все достаточно широко известные прин- ципы оптимальности, а также некоторые не столь распространенные. Одна- ко невозможно рассмотреть все изучаемые в литературе принципы, так как одних лишь принципов равновесии насчитывается более 30. Математические результаты, относящиеся к оптимальности. Целью математического анализа принципов оптимальности является углубление знаний о них путем установления свойств и взаимосвязей, нахождения альтернативных определений, изучения способов построения новых прин- ципов оптимальности. Все это и составляет основное содержание настоя- щей книги. Перечислим более конкретно математические задачи, решаемые при рассмотрении принципов оптимальности. Реализуемость. Первой задачей, возникающей при анализе принципа оптимальности применительно к классу ^.является доказательство теорем существования, т.е. непустоты • R , то его значения интерпретируются как полезности G для каждого г ? N, и если полезность можно представить в виде математического ожидания, то и для принципа оптимальности должно выполняться равенство ip(aG + (1 - a)G) = = a^(G) + (1 - a)rf>(G'), где ocG + (1 - a)G' означает "сумму" в линей- ном пространстве 'S, в частности лотерею, в которой G появляется с вероят- ностью а и G' - с вероятностью 1 - а, 0<а <1. Конечно, иногда рассмат- риваются и нелинейные операции на 'S . Непрерывность в контексте оптимальности означает, что небольшие погрешности в измерении компонент G не должны вести к существен- ному изменению ifi(G). Ковариантность опять-таки следует из полезностной интерпретации ф. Так как полезность чаще всего определяется лишь" с точностью до линей- ного или монотонного преобразования, желательно, чтобы при таких пре- образованиях полезностей, входящих .в G, значение , на Х одновременно являются условиями определен- ности оптимального выбора в данной задаче, т.е. критерием того, явля- ется ли эта задача задачей принятия решения в условиях неопределенности или задачей детерминированной, в которой отношение предпочтения поз- воляет сделать оптимальный выбор без какого-либо доопределения опти- мальности. В последнем случае задача становится обычной оптимизацион- ной задачей, как только отношение предпочтения заменяется функцией оценки альтернатив — функцией полезности. Для задачи принятия решений в условиях неопределенности принцип оптимальности чаще всего также строится в виде функции полезности. В этом случае первостепенное значение для теории принятия решений приобретают результаты теории полезности о свойствах функции полез- ности или конкретном ее выражении, вытекающих из того или иного на- бора свойств отношения предпочтения. Такие результаты, по существу, являются аксиоматическими определениями принципов оптимальности. Иногда конкретный набор свойств отношения предпочтения может ока- заться недостаточным для определения индивидуального принципа опти- мальности, но вместе с тем достаточным для определения некоторого их класса. Теоремы такого типа дают дополнительный инструмент для аксио- матических построений принципов оптимальности и для выделения роли той или иной аксиомы в определении как конкретного принципа оптималь- ности, так и их классов. Теория полезности "не вписывается " в теорию принятия решений лишь в тех случаях, когда в ней используются свойства отношений предпочте- 12 ния, не имеющие подходящей интерпретации в терминах принятия опти- мальных решений. Однако такие случаи оказываются весьма редкими, особенно если учесть возможность того, что не поддающиеся интерпрета- ции утверждения иногда можно вывести из более элементарных и хорошо интерпретируемых свойств отношений предпочтения. § 1. Предпочтения и их численное отображение 1.1. Определения. На протяжении всей книги мы будем пользоваться некоторыми общеизвестными понягиями. Для полноты изложения и од- нозначного их понимания приведем точные определения. Определение 1.1. Бинарное отношение R на Х называется упоря- дочением, если оно совершенно, т.е. любые две альтернативы сравнимы по этому отношению: xRy или yRx для всех х, у ? X, и транзитивно, т.е. для всех х,у, г^ХнзхРу nyRz следует xRz. Несовершенное, но транзитивное отношение называется частичным упорядочением. Хотя многие результаты верны как для упорядочения, так и для частичного упорядочения, мы будем рассматривать лишь упо- рядочение, подчеркивая частичность, лишь когда это существенно. Определение 1.2. Упорядочение называется строгим, если оно асимметрично*), т.е. для любых х, у ? Х из xRy следует не yRx, и не- строгим, если оно рефлексивно, т.е. xRx для всех^с ? X. Совершенное упорядочение называется линейным, если оно антисим- метрично,J.e. из xRy и yRx следует х = у; ясно, что это то же самое, что и строгое совершенное упорядочение. Строгое упорядочение всегда будет обозначаться через > , а нестрогое - через >,. С заданным нестрогим упорядочением можно связать индуцируемые им отношение эквивалентности, обозначаемое через ~, и строгое упоря- дочение. Определение 1.3. Если задано нестрогое упорядочение >, , то х~у, если х >,у и у >. х; х > у, если х >; у, но х i- у. Если задано строгое упорядочение > , то с ним иногда также связыва- ются отношение эквивалентности и нестрогое упорядочение: х ~ у, если ни х > у, ни у > х; х >; у, если либо х > у, либо х ~ у. Под предпочтением будем понимать упорядочение, используемое для описания целевой ориентации индивида. К нему будут прибавляться по мере необходимости те же эпитеты, что и к упорядочению: строгое, не- строгое, частичное, а иногда и нетранзитивное, хотя последнее и не сов- сем логично. Определение 1.4. Действительная функция и на упорядоченном множестве Х называется функцией полезности, если она монотонна, т.е. ) При условии транзитивности асимметричность следует из нерефлексивности: не xRx для всех х е X. 13 2.3. Результаты позаимствованы из статьи Э. Калаи [ 1977 ]. 2.4. В статье С.Л. Печерского [1979], следуя которой мы рассмотрели арбитражное решение для линейного пространства задач, рассмотрен несколько более общий случай. 2.5. Арбитражное решение для игр с квазираэбиениями рассмотрел Б.З. Бигулаев [1979]; в этой статье содержится подробное доказательство теоремы 2-12. 3. Литература по процедурам принятия решений по многим целям весьма обшир- на. Ввиду ее разбросанности по журналам самых различных направлений было бы весьма затруднительно составить исчерпывающий ее список. Поэтому мы укажем фактически лишь начало для дальнейших поисков: Б. Руа [1971, 1972], Ю.Б. Гермейер [ 1971], В.М. Озерной [1974], В.М. Озерной и М.Г. Гафт [1974, 1978). Можно считать, что многоцелевая оптимизация возникла с появлением книги С. Карлина [1957], в которой дается метод нахождения оптимальных по Парето то- чек выпуклого множества. Пожалуй, наиболее полно вычислительные методы пред- ставлены в книге В.В. Подиновского [1971]. Дальнейшие ссылки см.: Б. Руа[1972] и Р.Л. Кини и X. Райфа [1976]. Многоцелевой оптимизации с применением теории полезности посвящена упомя- нутая работа Р.Л. Кини и X. Райфы [1976], которая представляется наиболее солид- ной работой по многоцелевой оптимизации. Обратную теорему к теореме 3.1 для линейных функций доказал И. Фокке [1973]. Равноценные цели впервые рассматривал В.В. Подиновский [1975]. Он же рас- смотрел и неравноценные цели [1976]. Изложенное здесь несколько отличается от этих рассмотрении (см. Э.Й. Вилкас [1976]). Литература по упорядоченным крите- риям на этом почти и исчерпывается; можно добавить лишь две работы - В.В. Поди- новского [1978] и В.В. Хоменюка [1983]. 4. Кроме упомянутой книги К. Эрроу [1951] по групповым решениям можно указать еще несколько солидных монографий: А.К. Сена [1970], П. Патанайка [1971], П. Фишберна [1973], Б.Г. Миркина [1974], Э. Мулена [1983] и др. Весьма полезными представляются обзоры К. Дапремо [1983] и А.К. Сена [1986]. 4.1. Парадокс Эрроу очень подробно разбирается в книге Р. Д. Льюса и X. Райфы [1957]. Ему, конечно, много места уделяется и в упомянутых книгах по теории груп- повых решений. Групповые решения при бесконечном числе индивидов впервые рас- смотрел П. Фишберн [1970]. Его результат о "недиктаторстве" правильно был интер- претирован А. Кирманом и Д. Зондерманом [1972]. Проблему выбора для случая булевой алгебры индивидов обстоятельно исследовал А.С. Тангян [1980,1981, 1982]. 4.2. Изложенное в книге аксиоматическое определение правила простого большин- ства принадлежит К. Мею [1952], а а-болыпинства - А. Апинису [1976]. В обоих случаях доказана независимость используемых аксиом. 4.3. При определении правила Гудмана - Марковица [1952] мы следовали статье А. Моркелюнаса [1971], которая, кстати, содержит и первое аксиоматическое опре- деление правила Борда [1781] (для строгих предпочтений), которое Моркелюнас там называет правилом Копленда. Но здесь дано другое определение правила Борда, принадлежащее X. Янгу [1974]. Однако вместо доказательства X. Янга дается эле- ментарное доказательство. Аксиома Y3 (равноправия), предложенная X. Янгом, хотя и является интуитивно приемлемой, однако содержит ту же функцию, которую надо "вывести" из аксиом. В случае строгих предпочтений эту аксиому удается за- менить другой аксиомой, однако в общем случае эта другая аксиома не приводит к правилу Борда[А.Моркелюнас,1982].Теорема4.16 принадлежит Дж. Смиту [1973]. 4.4. Относительно теории общественного блага мы ограничимся упоминанием книг К. Эрроу [1951] и А.К. Сена [1970], а также статьи А.К. Сена [1976], по которой написан п. 4.4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Аксельрод (Axelrod R.) The evolution of cooperation. - N.Y.: Basic Books, 1984. А п и H и с А. Аксиоматическое определение правила а-болъшинства. Современные направле- ния теории игр. - Вильнюс: Мокслас, 1976. - С. 12-17. Ауман (Aumann R.J.) Acceptable points in general cooperative л-person games // Contributions to the theo- ry of games. Vol. 4. Ann. of Math. Studies. V. 40. - Princeton: University Press, 1959. - P. 287-324. Ауман (Aumann R.J.) Survey of cooperative games without side payments // Essays in Mathematical Econo- mics. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1967. Ауман (Aumann R.J.) An axiomatization of the non-transferable utility value // Econometrica. - 1985. - V. 53.-P. 599-612. Ауман (Aumann R.J.) What is game theory trying to accomplish? // Frontiers of economics. - Oxford: Basil Blackwell, 1985. Ауман, Д ре з (Aumann R.J., Dreze J.H.) Cooperative games with coalition structures // Internal. J. Game Theory. - 1974. - V. 3.-P. 217-237. Ауман, Машлер (Aumann R.J., Maschler M.) The bergaining set for cooperative games // Advances in game theory, Ann. Math. Stu- dies. V. 52. - Princeton: Princeton Univ. Press, 1964. - P. 443-476. Ауман, Машлер (Aumann R.J., Maschler M.) Some thoughts on the minimax principle // Manag. Sci. - 1972. - V. 18, № 5. - Р.54-63. Ауман, Шепли (Aumann R.J., Shapley L.S.) Values of non-atomic games. - Princeton: Princeton Univ. Press, 1974. [Рус. п е р.: Значения для неатомических игр. - М.: Мир, 1977.] Банзаф (Banzhaf J.F.) Weighted voting doesn't work: a mathematical analysis // Rutgers Law Rev. - 1965. — V. 19.-P. 317-343. Бернулли (В ег п о u 11 i D.) Specimen theoriae novae de mensura sortis // Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. - 1738. - V. 5. - P. 175-192. [Англ. пер.: Econo- metrica. -. 1954. - V. 22. - Р. 23-36.] Бигулаев Б.З. Арбитражное решение кооперативных игр с квазиразбиениями множества игро- ков // Математические методы в социальных науках. Вып. 12. — Вильнюс, 1979. 239 Биркгоф Г. Теория структур. - М.: МЛ, 1952. (3-е англ. изд.: Providence, RI: Amer. Math. Sciety, i 1967.) Б л с к у з л л, Г и р ш и к (В 1 а с k w е 11 D., С- i г s h i с k М.Л.) Theory of games and statistical decisions. - N.Y.: Wiley, 1954. [Рус. пер.: Теория игр и статистических решений. - М.: ИЛ, 1958.) Бодье (Baudier E.) Un critere de choix collectif dans un jeu a n personnes et a some constante // La deci- •*> sion. Collog. internat. centre nat. rech. sci. № 171. - Paris, 1969. - P. 47-52. Бондарева О.Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории коопера- тивных игр // Проблемы кибернетики. Вып. 10. - М.: физматгиз, 1963- - С. 119- 140. Борда (Borda J.C. de) ^ »- Memoire sur les elections au scrutin. - Historic de 1'Academie Royale des Sciences, 1781. Борель(Воге1Е.) ^ La theorie du jeu et les equations integrates a noyau symetrique // Comptes Reridus de 1'Acad. Sci. - 1921. - V. 173. - P. 1304-1308. Борель(Воге1Е.) ^ ^ . , Sur les jeux ou interviennet 1'hasard et 1'habilete des joieuers. Theorie des probabilites. - Paris, 1924. - P. 204-224. Брамс (В rams S.J.) < Game theory and politics. - N.Y.: Free Press, 1975. Б утр им Б.И. Модифицированное решение задачи торга // ЖВМ и МФ. - 1976. - Т. 16. - С. 340— 350. Б у тр им Б.И. i Игры я лиц с существенным множеством критериев // ЖВМ и МФ. - 1978. - и Т. 18. - С. 62-72. Васильев В.А. Вектор Шепли для игр ограниченной полиномиальной вариации // Оптимиза- г ция. - 1975. - № 17 (34). - С. 5-27. BHKpH(VickreyW.) Self—policing properties of certain imputation sets // Contributions to the theory of games. V. IV; Ann. Math. Studies. V. 40. - Princeton: Princeton Univ. Press., 1959. - P.213-246. Вилка с Э.Й. -t Аксиоматическое определение значения матричной игры //Теория вероятностей и ее применение. - 1963. - Т. 8:3. - С. 324-327. В и л к а с Э.Й. Теория полезности и принятие решений // Математические методы в социальных науках. Вып. 1. - Вильнюс, 1972а. - С. 13-60. В и л к а с Э.Й. Л Формализация проблемы выбора теоретико-игрового критерия оптимальности // Математические методы в социальных науках. Вып. 2. - Вильнюс, 1972b. - С.9-31. В и л к а с Э.Й. К вопросу устойчивости коалиционных структур // Математические методы в со- циальных науках. Вып. 2. - Вильнюс, 1972с. - С. 33-49. Вилкас (VilkasE.) The problem of game theoretical optimality principles // Working paper № 6. - New York University, 1973. - P. 1-39. В и л к а с (V i 1 k а s Е.) The von Neumann-Morgenstern solution and the nucleolus as certain bargaining sets // Математические методы в социальных науках. - 1974. — Вып. 4. - С. 43—56. В и л к а с Э.Й. Многоцелевая оптимизация // Математические методы в социальных науках. Вып. 7. - Вильнюс, 1976 а. - С. 17-67. 240 В и л к а с (VilkasE.) On a general approach to optimality in game theory // Cowles Foundation Discussion Paper №419. - Yale University, 1976 b. В и л к а с Э.Й. Понятия оптимальности в теории игр // Современные направления теории игр. — Вильнюс: Минтис, 1976 с. - С. 25—43. В и л к а с Э.Й. Теория полезности // Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей Мате- матическая ститистика. Теоретическая кибернетика. — 1977 а. — Т. 14. — С. 123-151. Вилка с (VilkasE.) Optimality and dynamics in coalitional games // Mathematical Economics and Game Theory. Lecture notes in Economics and Math. Systems. Vol. 141. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977 b. - P. 181-194. В и л к а с Э.Й. Две теоретико-игровые теоремы // Математические методы в социальных науках. Вып. 10. - Вильнюс, 1978. - С. 9-17. Вилка с Э.Й. Аксиоматическое определение обобщенного л-ядра // Математические методы в социальных науках. Вып. 12. - Вильнюс, 1979. В и л к а с Э.Й. К вопросу существования одного переговорного множества // Литовский мат. сб. - 1986. - Т. 26. - С. 27-36. Вилкас (VilkasE.) An axiomatic definition of leximin // European J. Polit Economy. - 1986. - V 2/4 - P. 455-463. Вилкас Э.Й., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. - М.: Радио и связь, 1981. Воробьев Н.Н. Устойчивые ситуации в коалиционных играх // ДАН СССР. - 1960 - Т 131 - С. 493-495. Воробьев Н.Н. Коалиционные игры // Теория вероятностей и ее применения. - 1967. - Т. 12, вып. 2. - С. 28.9-306. Воробьев Н.Н. Современное состояние теории игр // УМН - 1970 а. - Т. 25, вып. 2(152). - С. 81-140. Воробьев Н.Н. • Развитие теории игр. Добавление к кн. фон Неймана и Моргенштерна: Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука, 1970 b. - С. 631-694. Воробьев Н.Н. Теория игр. Курс лекций для экономистов-кибернетиков. - Л.: ЛГУ, 1974 [Англ. пер: Game theory. Lectures for economists and system scientists. - N.Y.: Springer, 1977.] Воробьев H.H. Метастратегии в бескоалиционных играх // Math. Operationsforsch. Statist. Ser. Opti- mization. - 1978. - V. 9. - Р. 43-55. Воробьев H.H. Принцип оптимальности Нэша для общих арбитражных схем // Теоретико-игро- вые вопросы принятия решений. - М.: Наука, 1978. - С. 26-38. Воробьев .Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. - М.: Наука, 1984. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М.: Наука, 1985. renbnep