ББК 32.844 М74 УДК 681.3.06:621.396.6 моделирование и оптимизация на ЭВМ радио- М74 электронных устройств / 3. М. Бененсон, М Р Ели- стратов, Л. К. Ильин и др.; Под ред. 3. М. Бененсо- на. — М.: Радио и связь, 1981. — 272 с., ил. — (Проектирование радиоэлектронной аппаратуры . на интегральных микросхемах). В пер.: 1 р. 20 к. ных "c3?^^' l^0^1 ""^ЧР^НИЯ и оптимизации радиоэлектрон- ^^^^^"co^.L^^^p^Z^^^e^s-^^S^^^^^ ^Т^^^^и^^^^^^^^^^ ^iT———— для ^Spo^-p^ М 30401—145 046(01)-81 5-81 ^-Р-) 2401000000 ББК 32.844 6Ф2.1 ^.л?; ИЗ00"' м' р' ^""Р"0"' л- '<• шьни' С- В. Кравченко, Д. М. Сухов, Рецензенты: д-р техн. наук, проф. А. И. Петренко, д-р техн. наук М. И. Пес- ков Редколлегия: Алексенко А. Г., Бадулин С. С., Букреев И Н Васенкоп Л Л в.ы."B"Л.,БKo?..(ю"ИPTy&,г»"cьrн Е й- ?э-"' °"- Р"8^'^ Редакция литературы по радиоэлектронике © Издательство «Радио и связь», 1981 г. ПРЕДИСЛОВИЕ Системы автоматизации проектирования (САПР) применяют на всех этапах разработки радиоэлектронных устройств (РЭУ). Их внед- рение началось с^автоматизации ряда конструкторских работ: разме- щения компонентов и функциональных узлов в различных стандарт- ных конструкциях, разводки проводов и печатных проводников, вы- пуска управляющих перфолент для изготовления многослойных печат- ных плат и интегральных микросхем (ИС). К настоящему времени в САПР включены также подсистемы моделирования и оптимизации РЭУ, позволившие значительно улучшить характеристики и сократить сроки отработки проектируемой аппаратуры. Эти подсистемы особен- но эффективны при расчете характеристик переключательных схем и устройств автоматического регулирования. При использовании САПР для моделирования радиоприемных и те- левизионных РЭУ возникают значительные трудности из-за того, что периоды собственных колебаний в них намного меньше времени пере- ходного процесса. Моделирование этих РЭУ на ЭВМ можно реализо- вать, только комплексно решая задачи повышения производительности ЭВМ, создания специализированных терминальных и вычислительных средств в САПР и построения эффективных алгоритмов, учитывающих схемотехнические особенности высокочастотных РЭУ. Повышение степени интеграции ИС значительно усложняет мате- матические модели РЭУ, основанные на композиции моделей отдельных компонентов, т. _. резко увеличивается размерность решаемых урав- нений. Для уменьшения размерности можно применить метод макро- моделирования, при котором модель ИС, включаемая в общую мате- матическую модель устройства, представляется упрощенной схемой или упрощенной системой уравнении. При этом должна достигаться при- емлемая точность аппроксимации выходных характеристик ИС в ра- бочей области входных воздействий. При оптимизации РЭУ дополнительно к перечисленным возникают трудности формализации задачи. 'Обычно это задачи многокритериаль- ной оптимизации, которые являются наиболее сложными в теории ма- тематического программирования. Удачные формулировка критериев оптимизации и подход к построению целевых функций и ограничений могут во многом способствовать успешному выбору наилучших пара- метров РЭУ за приемлемое время работы ЭВМ. Предлагаемая книга посвящена моделированию и оптимизации РЭУ в САПР. Эта тема нашла отражение в книгах [3, 10, 14, 21, 27, 39, 40, 49, 56, 69, 89], по содержанию которых можно проследить за разви- тием методов решения задач и расширением областей применения САПР. Поэтому основное внимание здесь уделяется вопросам, кото- рые в последние годы приобрели наибольшую актуальность: построе- з нию макромоделей ИС и функциональных узлов РЭУ, методам и алго- ритмам решения линейных и нелинейных уравнений с большим числом переменных и разреженными матрицами коэффициентов, алгоритмам определения установившихся режимов и переходных процессов в слабо- демпфированных высокочастотных системах, построению целевых функ- ций задачи оптимизации и универсальных языков описания РЭУ а также организации диалогового режима в САПР. Кроме того рас- смотрены некоторые смежные задачи, возникающие в практике про- ектирования РЭУ: моделирование статических магнитных полей и тепловой расчет РЭУ. Показана связь их с традиционными за- дачами расчета электрических цепей. Анализ методов моделирования и оптимизации РЭУ, а также ре- зультатов практического использования САПР показывает что обла- сти применения САПР в проектировании РЭУ могут быть значитель- но расширены. Книга создана коллективом авторов. 3. М. Бененсоном написаны I l-1^1-6' 2;8' зл-злo•^ с- в- Кравченко-§ 1.7, 3.12-3.14, 6.1- !'9\ ^^^ТТло^2-1' 5-1-5'3' 5-5' 6-5; м- А. Удлером- t2^2-5' 6-7' 6•8;м• р- Нистратовым-§ 2.6, 2.7, 4.1-4.7, 4.13, 4.15 ^ ^о. ^"Т ^ § 4•8-4•} 1' 3- м- Бененсоном и Л. К. Ильиным —$2.2, 5.4; 3. М. Бененсоном и М. А. Удлером — § 3.11 • 3 М Бе- ненсоном и Д. М. Суховым—§4.14; 3. М. Бененсоном, С. В. Крав- ченко и Л. К. Ильиным — § 6.4. Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам д-ру техн наук, проф. А. И. Петренко и д-ру техн. наукМ. И. Пескову, сделавшим ценные замечания, способствовавшие улучшению содержания и струк- туры книги. -, Глава первая ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ В СИСТЕМЕ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ 1.1. ЗАДАЧИ АВТОМАТИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ Радиоэлектронное устройство (РЭУ) обычно выполняет достаточ- но автономную задачу и, как правило, размещается в отдельном кон- структивном блоке. Оно может входить в другое, более сложное уст- ройство и состоять из отдельных компонентов, осуществляющих не- которые функции в общей задаче, решаемой устройством. Различают РЭУ с сосредоточенными и распределенными параметрами. Первые в качестве компонентов содержат электронные лампы, полупроводни- ковые элементы, интегральные схемы и электрические элементы (кон- денсаторы, катушки индуктивности, резисторы). Вторые состоят из волноводов, линий, излучающих устройств, а также из электронных компонентов с сосредоточенными параметрами. Такая классификация обусловлена принципиальными особенно- стями построения РЭУ и их функционирования. Эти особенности про- являются и при разработке систем автоматизации проектирования (САПР). Для каждого из этих классов устройств разработаны свои подсистемы САПР. Эти системы могут содержать много общих програм- мных модулей, решающих чисто вычислительные задачи, однако выбор алгоритмов, методов решений, моделей устройств и компонентов, а также общего математического обеспечения в значительной степени зависит от назначения проектируемого устройства. Модель РЭУ „ сосредоточенными параметрами можно представить в виде электрической цепи (§ 1.3). Основными переменными, характе- ризующими ее состояние, являются токи и электрические напряжения (или электрические потенциалы) в некоторых характерных точках. Режимы работы РЭУ можно разделить на три группы: стационар- ный (статический) или постоянного тока, малого сигнала (линейный) и нестационарный. Стационарный режим характеризует исходное состояние, начиная с которого на устройство подаются сигналы (данные), являющиеся функциями времени. Во многих случаях стационарный режим опре- деляет тепловой режим работы устройства. По состоянию устройства в стационарном режиме выбираются параметры устройства для режима малого сигнала. В режиме малого сигнала процессы в модели описываются линей- ными дифференциальными уравнениями и поэтому их можно исследо- вать методами, применяемыми при анализе линейных систем. В нестационарном режиме состояния устройства изменяются во времени. В этом режиме наиболее сложны моделирование и оптимиза- ция на ЭВМ нелинейных РЭУ из-за математических трудностей и вы- числительных затрат. Проектирование РЭУ состоит из двух этапов: функционального (рис. 1.1) и конструкторского. На первом этапе производится разра- ботка структурной и электрической схем РЭУ в соответствии с харак- теристиками, заданными техническим заданием, на втором — разра- ботка конструкторской и технологической документации. Разработка П- ^ г-—————-,——г——^——^ г———^-г--1 ,§ ——^ Описав \ \ ^S^ I I Описание- \ § I—»1 электрической схемы \ указания ^ конструкции \ & .1 uanpoScmSa 1———--——————J , для теплового , Б г*ч я г \ расчета и I I I I ^ L-—————,—————I i_____ ___i ^ ___ т § 1—————————————I ^-——————1 g Обработка завания /^ ^—1 ^ ————— / \ 1_1 |————————•—————| / Библиотека \ Формиреванше amSems ——• • » списании разработчику «————1 схем ] Составление \————————————-^ уравнении Формирование \—————— математической •*——] маЭелеи ______ модели компонентов ^] устройства. устраВстда. / \ |__________^ |___________3_\ / \ I————— I/ Библиотека. \ ,————————I_____ ^"—| I моделей \ / '\ теплоВых 1 Решение __ / \ \ компонентно / уравнении. \ \ / . математической •s-i f Библиотека \ \ / навели '—— моделей I ''^ / устройства \ компонентов I I ^^Tt I———————»— V,^ у ^орнироВание ______\______ ——моделей SfF/^w 1——Я Р^чет параметровЛ • ^^ен'тов I ч ууплции д^ улучшающих целевую \————,————1. 1—————— !руНКЦШ.Ю ________I_________ J P^em ^wuuue^oS \ —————————— \ ге^/^ [ чу в cm вит ель наста g 1 у^луот-таа ^ 1__________ )——к ^ ^Частотный анализI |^S^/ ^ ^^^^^^^ у ^C-Sff I———— электрической: ——————-—————————— мощности \——————, кампонентоб ,-г _________________ » '1 ' '' 1 1 * ан^иТрТз^т^тоВ,, ///^У, ^'Уя''^ ^нных расчетов I___________ 10 иля иыаачи их В Suae таблиц и сраюикаВ v——————— а также для воспроизвебемия ' ____ ——~——————• на: дисплее Рис. 1.1. Схема функционального проектирования РЭУ с сосредоточенными папа- метрами с помощью САПР: функции, выполняемые разработчиком; функции, выполняемые ЭВМ структуры устройства производится разработчиком, а моделирование и оптимизация его —в САПР с помощью ЭВМ. Необходимо, чтобы результаты моделирования на ЭВМ соответство- вали результатам реального эксперимента. Адекватность моделирова- ния на ЭВМ определяется степенью точности математических моделей компонентов устройства и его монтажа и вычислительными алгоритма- ми, применяемыми в комплексе программ САПР. При переходе к новым схемотехническим, конструкторским и тех- нологическим решениям построения устройств точность математиче- ского моделирования на ЭВМ, как правило, снижается, так как воз- никают некоторые новые, недостаточно изученные явления, влияющие на процессы. В этих случаях обязательно натурное макетирование схемы, которое позволяет уточнить модели и их параметры, содержащие- ся в программе ЭВМ. На ЭВМ можно проанализировать работу уст- ройства при различных условиях и целенаправленно выбрать их па- раметры. Такой анализ и выбор параметров на основе натурного экс- перимента весьма затруднен из-за очень большого числа вариантов. При проектировании РЭУ с помощью САПР схему РЭУ создает человек. Он также выбирает основные компоненты устройства, опреде- ляет связи между ними и ориентировочно задает их параметры. Для ввода описания схемы устройства и директивных указаний для вычислительного процесса ЭВМ в САПР предусматривается язык высокого уровня. Директивные указания задают режим работы уст- ройства, критерии, по которым оценивается качество работы, характер выдаваемых данных и форму их выдачи, а также данные для редакти- рования параметров и структуры схемы при многовариантном анализе на ЭВМ. Комплекс программ (рис. 1.1) состоит из основных блоков, вы- полняющих следующие функции: — обработка задания для выявления в нем ошибок (блок /); — запись задания в память, редактирование заданий и выдача от- вета разработчику об ошибках (блок 2); — формирование математических моделей компонентов и запоми- нание их в библиотеке моделей — во внешней памяти ЭВМ, определен- ным образом организованной для пользования программами САПР (блок 8); — составление уравнений функционирования устройства на ос- нове информации, содержащейся в задании и библиотеке моделей ком- понентов (блок 4); — решение уравнений — моделирование устройства (блок 5); —формирование целевой функции—^показателя качества функ- ционирования устройства по результатам моделирования (блок 6); — расчет параметров компонентов устройства, улучшающих це- левую функцию (блок 7); — расчет коэффициентов чувствительности, т. е. частных производ- ных от напряжений и токов по параметрам компонентов и сигналов (блок 8); — частотный анализ временных характеристик процессов, т. е. расчет преобразования Фурье временных характеристик (блок 9); 7 — статистический анализ результатов моделирования — расчет математинеских ожиданий, дисперсий, корреляционных коэффициентов при статистическом выборе параметров (блок 10); — формирование математических моделей элементов конструкции устройства для теплового расчета устройства (блок //); — тепловой расчет устройства — определение температуры компо- нентов устройства (блок 12); — формирование ограничений по допустимой электрической мощ- ности компонентов устройства (блок 13); — обработка выходных данных расчетов для выдачи их в виде таблиц и графиков соответствующими выходными устройствами ЭВМ и для воспроизведения их на экране дисплея (блок 14). Блоки 5...7 осуществляют этап оптимизации устройства. Из перечня функций следует, что задачами комплекса программ яв- ляются как автоматическое составление уравнений для расчета про- цессов в устройстве по заданному описанию его схемы, так и решение этих уравнений для разных режимов работы. Необходимо, чтобы про- граммы позволяли моделировать электрические схемы любого вида, вне зависимости от типов и характеристик элементов, а также способов их соединения. Кроме того, целесообразно, чтобы эти программы имели достаточно универсальный характер, т. е. позволяли моделировать не только РЭУ, но и другие технические устройства, аналогичные по характеру протекающих в них процессов. К таким устройствам, например, относятся электромеханические устройства и системы авто- матического управления. Универсальность программ облегчает пере- ход к так называемым интегрированным САПР, предназначенным для моделирования и оптимизации систем, составными частями которых являются РЭУ. Моделирование устройства в интегрированной САПР позволяет более детально учесть взаимосвязь устройств системы и оце- нить влияние их характеристик на характеристики системы в целом. Чтобы разработчик мог эффективно использовать САПР, исходное задание для ЭВМ должно представлять собой некоторое формали- зованное описание устройства, близкое по сути к тем документам, ко- торыми пользуется разработчик. Для РЭУ такими документами являются эскиз принципиальной электрической схемы с изображением всех связей между компонентами и перечень наименований и номина- лов элементов. В комплексе программ следует предусмотреть возмож- ность задания системы уравнений, описывающих процессы в тех ча- стях устройства, для которых не выбраны компоненты на начальной стадии проектирования. Для каждого из перечисленных режимов работы устройства в ком- плексе программ САПР содержатся модификации всех блоков, изо- браженных на рис. 1.1, что позволяет достичь большей полноты и адек- ватности результатов моделирования и оптимизации, а также значи- тельно уменьшить вычислительные затраты'(т. е. время счета на ЭВМ и объем памяти). Естественно, что чем меньше вычислительные за- траты, тем более сложные схемы можно рассчитывать с помощью ком- плекса. Но, с другой стороны, введение всех этих модификаций зна- чительно усложняет процесс разработки комплекса программ. 8 1.2. КОМПОНЕНТЫ РАДИОЭЛЕКТРОННОГО УСТРОЙСТВА Под компонентом РЭУ будем понимать так называемый функцио- нальный многополюсник (рис. 1.2, а), имеющий п внешних полюсов. Полюс с номером I назовем базисным. За переменные, определяющие процессы в таком компоненте, примем входные токи полюсов ii, t'g, ..., ..., t'n, разности потенциалов (р, — ср; = u,; (/ ^ /) и некоторые до- полнительные переменные х^, х^, ..., Xq. Через ср; обозначен потенциал базисного полюса, относительно которого отсчитывается напряжение iiji, а через <Р] — потенциалы остальных полюсов. ^•1Ч г, и, -\dx X, —— , dt di dt '•, i, du dtU, - - , X,di dt ' dx dt du dt ' •')')- =0; =0; Полагаем, что процессы в многополюснике описываются нелиней- ными дифференциальными выражениями вида (l.la) (1.16) S i, = —h (l.lB) где '] Ф l\ p = 1, q; t — время, г, и — вектор-функции времени, имею- щие своими составляющими соответственно токи и напряжения на полюсах компонента; F, и fp—некоторые функции, в общем случае нелинейные; х — вектор-функция времени с составляющими Xi, х^, ,.., ..., Xq. Эти дополнительные переменные могут соответствовать раз- личным физическим величинам в зависимости от принципов построения многополюсника, каждый элемент имеет свой вектор х. Формула (1.1 в) справедлива при отсутствии потерь внешних зарядов в компоненте. Формулы (l.la) и (1.16) содержат только первые производные от то- ков и напряжений на полюсах компонента, а также от дополнительных переменных, что удобно для автоматического составления уравнений модели РЭУ и их решения. Вводя соответствующие дополнительные переменные, всегда можно получить выражения (1.1) для математиче- ской модели устройства с сосредоточенными параметрами. Уравнения (1.1) называются компонентными. Для составления топологических уравнений электрической цепи (см. § 1.3) в качестве стандартного представления многополюсника 7 f 2 о~4——f - , С -i- 2 а) 5) 6) Рис. 1.2. Функциональный мно- гополюсник (а) и его полюс- ный граф (б) Рис. 1.3. Двухполюсники (а) и их полюсный граф (б) удобно взять звездное дерево с центром в базисном полюсе / (рис. 1.2, б), которое называется полюсным графом [68]. Ветви дерева ориентиру- ются одинаково относительно базисного полюса. С каждой ветвью этого дерева связывается напряжение между полюсами ветви, а с каж- дым небазисным полюсом — ток, втекающий в полюс. Частным случаем функционального многополюсника является двухполюсник, для которого п == 2, Uji — падение напряжения на нем, ij == — ii. Типичными двухполюсниками являются резистор R, катушка индуктивности L, конденсатор С, идеальный источник тока /, идеальный источник напряжения Е (рис. 1.3, а). Если положить для определенности / = 2 и / == 1, то формулы (1.1) для них можно за- писать в виде u^-i.R^O; L^--un=0; dt С t'2-/=0; dt (1.2a) где / и Е — некоторые константы. К двухполюсникам также относятся зависимые источники токов и напряжения /з, Ец, которые описываются следующими выражениями: г'2 — /з (i, и, х) == 0; й21 - ^з (г, ", х) == 0, (1.26) где /а и Еу — некоторые функции векторов токов i и напряжений и на полюсах компонента электронного устройства и дополнительных переменных. Часто модели сложных компонентов электронных уст- ройств (например, интегральных схем) представляют в виде соединений таких двухполюсников. Полюсный граф двухполюсника состоит из одной ветви (рис. 1.3, б). Примером многополюсника с п полюсами (я — четное число), половина которых базисные, является линейный трансформатор (рис. 1.4, а), для которого формулы (1.1) имеют вид dl dt (1.3) Рис. 1.4. Схема линейного трансфор- матора (а) и его полюсный граф (б) Рис. 1.5. Упрощенная схемная модель биполярного транзистора (а) и ее по- люсный граф (б) 2. I S) \ I 'Z L©.L@J г\ / а) где / = I + п/2; 1=1, п/2; L], — взаимные индуктивности обмоток с полюсами /' и s. Полюсный граф трансформатора состоит из п/2 не- связанных ветвей (рис. 1.4, б). Примером трехполюсника является биполярный транзистор. Уп- рощенная схемная модель его (рис. 1.5, а) составлена из двухполюс- ников. Полюсы 2 и 5 соответствуют эмиттеру и коллектору, а полюс 1 базе. Источники токов этой модели определяются следующими за- висимостями: (1.4) где Дц, Ci2, 0:21, Й22, Фт- — некоторые параметры. Соотношения (1.1) для такой модели имеют следующий вид: ^-^(е^-О+й^е""^--!)^; ^_^(е""^г_1)+^(е""/Фг_1)^о, t'l+t2+t'3=0. (1.5) Модель электромеханического измерительного прибора можно пред- ставить в виде функционального многополюсника. Электрическая часть (рис. 1.6, а) состоит из сопротивления обмотки и зависимого источ- ника Ез, напряжение которого равно противо-ЭДС прибора. Меха- ническая часть (рис. 1,6, б) состоит из стрелки с моментом инерции JQ, пружины и демпфирующего элемента. Функциональный многополюсник, соответствующий этой модели, имеет два полюса. Для составления математических выражений моде- ли вида (1.1) вводят дополнительные переменные: Xi — угол поворота стрелки, д'2 — угловую скорость вращения стрелки. Напряжение противо-ЭДС Еу == kiX^. Движение стрелки описывается уравнением JC ——2- + ах! + ^2 == ky, t'z, dt где k^i^ — вращающий момент; axi — момент пружины; Ьхц — демпфирующий момент. Таким образом, уравнения (1.1) име- ют вид izR—kiXi— u^--=0; dx JC —— + ciXi + bx^—kz t'a = 0; dt (1.6) ^i dt (1.7) Рис. 1.6. Модель электромеха- нического измерительного при- бора 11 1.3. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАДИОЭЛЕКТРОННОГО УСТРОЙСТВА Для построения математической модели некоторой физической системы с сосредоточенными параметрами необходимо задать сведения о входящих в систему компонентах и о связях между ними (структуре системы). Будем полагать, что любое РЭУ с сосредоточенными пара- метрами состоит из соединенных идеальными проводниками полюсов компонентов, модели которых представляют собой функциональные многополюсники. Соединяя полюсы графов компонентов в соответствии со схемой соединений полюсов компонентов в РЭУ, получаем полюсный граф РЭУ—граф электрической схемы устройства (рис. 1.7, а). Полю- сы графа электрической схемы называются узлами схемы (вершина- ми графа), а отрезки, соединяющие узлы, — ветвями схемы (ветвями графа). Ветвям присваивается некоторое направление, определяющее положительное направление тока. Любой замкнутый путь, позволяющий выйти из вершины графа и вернуться в нее, не проходя дважды по одной ветви и не пересекая дважды одну вершину, называется контуром. Часть графа (подграф), содержащая все вершины графа и не содержащая ни одного контура, называется фундаментальным деревом графа (рис. 1.7, б). Ветви гра- фа, вошедшие в дерево, называются ребрами, а не вошедшие — хорда- ми. Множество хорд образует дополнение дерева. Обозначим число вер- шин (узлов) через /, число ветвей через Ь, число ребер через р и число хорд через т. Для связанного графа справедливы следующие соот- ношения: р = /— 1, т == Ь — (I— 1). Если граф состоит из не- скольких несвязанных частей k, то в этих формулах 1 нужно заменить k. Для электрической схемы с сосредоточенными параметрами справед- ливы оба закона Кирхгофа: для токов — для любого из узлов элек- трической схемы и любого момента времени алгебраическая сумма токов всех ветвей, отходящих от узла, равна нулю; дл-я напряжений — для любого контура электрической схемы и любого момента времени алге- браическая сумма напряжений ветвей, образующих контур, равна нулю. Граф электрической схемы можно охарактеризовать некоторыми так называемыми топологическими матрицами, элементами которых являются +1, 0 или—1. Вос- пользовавшись ими, можно на- писать независимую систему уравнений относительно токов и напряжений ветвей схемы на основании двух законов Кирх- гофа [69]. Соединения ветвей с узлами описываются матрицей инциден- ций А„. Число ее строк равно Рис. 1.7. Полюсный граф РЭУ (а) и фун- ^-"У У3^ l' a чцсл0 стол6- даментальное дерево его (б) ЦОВ — ЧИСЛу ветвей О. Каждый 12 элемент ац матрицы равен —1, если /-я ветвь входит в i-й узел, +1, если выходит, и 0, если не соединена с г-м узлом. Легко ви- деть, что одна строка матрицы линейно зависит от всех осталь- ных. Обычно строку, соответствующую базисному узлу всей схе- мы, исключают из матрицы и вновь полученную матрицу называют матрицей узлов А. Закон Кирхгофа для токов с помощью этой матри- цы можно записать в виде At == 0, , (1.8а) где i — вектор, состоящий из токов ветвей. Для описания графа схемы используют еще матрицы главных се- чений и главных контуров. Сечением называется любое минимальное множество ветвей, при удалении которых граф распадается на два отдельных подграфа. Главным называется сечение, одна из ветвей ко- торого есть ребро, а остальные — хорды. Главным контуром называет- ся контур, образуемый при подключении хорды к дереву графа. Чис- ло главных сечений равно числу ребер, т. е. /— 1, а число главных контуров — числу хорд т = (Ь — (l — 1)). Матрицей главных сечений П называется матрица размерностью (/ — 1) Х Ь, строки которой соответствуют главным сечениям, а столбцы—ветвям графа. Элемент матрицы а.ц = 1, если ]-я ветвь входит в г-е сечение в соответствии с направлением ориентации для сечения; а,ц = —1, если входит, но против ориентации, и а,ц = О, если не входит в сечение. Закон Кирхгофа для токов можно выразить с помощью матрицы главных сечений: Ш=0. (1.86) Матрицей главных контуров Г называется матрица размерностью (Ь — (l — 1)) Х Ь, строки которой соответствуют главным контурам, а столбцы—ветвям графа. Элемент этой матрицы ац = + 1, если j-я ветвь входит в г-й контур в соответствии с направлением обхода по контуру, —1, если ветвь входит в контур против направления обхода, и 0, если ветвь не входит в контур. Закон Кирхгофа для напряжений выражается с помощью матрицы главных контуров в виде Ги = 0. (1.9а) Располагая в матрицах П и Г сначала столбцы, соответствующие вет- вям-ребрам, а затем столбцы, соответствующие ветвям-хордам, можно записать П = [Е, ГЦ, Г = [Гр, Е], (1.96) где матрица Пх содержит столбцы, соответствующие хордам; матри- ца Гр — столбцы, соответствующие ребрам, а Е — единичные матри- цы [размерность матрицы Е, входящей в П, (/— 1) Х (l—1), а вхо- дящей в Г, (Ь — (l — 1)) Х (Ь — (l —.1))]. Матрицы Гр и Пх связаны следующим соотношением: Гр = — Щ, где т — знак транспонирования матрицы, или, обозначая Гр = F, получаем Пх = — FT. 13 Если для расчета электрической схемы за искомые переменные при- нять токи i и напряжения и ветвей, то уравнения (1.8а), (1.9а) или (1.86), (1.9а) совместно с компонентными уравнениями (l.la) составят полную систему уравнений относительно 26 переменных. При нали- чии дополнительных переменных х число уравнений возрастает на их количество во всех многополюсниках из-за добавления уравнений (1.16). Эта полная система в общем случае представляет собой набор обыкновенных дифференциальных и нелинейных уравнений. Число переменных и уравнений можно уменьшить следующим образом. Токи ребер г'р и напряжения хорд и-ц можно выразить через токи хорд /х и напряжения ребер «р: (1.10) Если подставить (1.10) в уравнения (l.la) всех многополюсников схемы, то число уравнений и переменных можно уменьшить до числа ветвей Ь. В некоторых частных случаях число компонентных уравне- ний можно уменьшить и в качестве переменных оставить только одно- родные: потенциалы узлов (р или же токи контуров г. Если, например, электрическая схема состоит из одних резисторов и независимых источников тока, то напряжение каждой /-и ветви, соответствующей резистору, и, = ijRj- Представляя Uj = (p^1' — — фУ, где (pis", (pis;2' —потенциалы узлов ^}1', ^2) ветви /, легко ви- деть, что система контурных уравнений Г (и. ((р)) == 0 всегда тождест- венно удовлетворяется относительно (р и поэтому может быть опуще- на. С другой стороны, выражая i} == ((р{г1' — ^k^)IRj или ij =• // для ветви — источника тока — и подставляя это значение в (1.8а), получаем уравнения метода узловых потенциалов А ИЛИ /) =0. (l.lOa) Число переменных в (l.lOa) равно /— 1. Следует отметить, что при расчете на ЭВМ большинства электрических схем почти все уравнения можно свести к (l.lOa). При этом дифференциальные зависимости (1.2а) для конденсаторов и катушек индуктивностей заменяют разност- ными соотношениями, так что каждый из этих элементов можно пред- ставить схемой замещения в виде параллельно соединенных сопротив- ления и источника тока (гл. 4). В моделях основных компонентов электронных устройств — полупроводниковых приборов — зависимые источники тока можно описать функциями напряжений. Если в схеме содержатся источники напряжения, то, включая источник во все ветви, подходящие к одному узлу источника, и соединяя с этим узлом все ветви, подходящие к другому узлу источника, можно также получить уравнения вида (l.lOa) [56]. Однако возможны случаи, когда выраже- ние (l.la) нельзя разрешить относительно i, т. е. представить в виде i = / (и, duldt). Число случаев, когда компонентные уравнения не разрешаются для электрических цепей, невелико. Поэтому целесообразно при выводе 14 уравнений для схемы взять за основу уравнения метода узловых по- тенциалов. Если в схеме содержатся ветви, для которых компонент- ные уравнения неразрешимы относительно i, то к уравнениям цепи сле- дует добавить уравнения (l.la) этих ветвей и сохранить токи i в ка- честве переменных. Возможен и другой подход к уменьшению числа уравнений элек- трической схемы, компонентами которой являются конденсаторы, ка- тушки индуктивности, резисторы и полупроводниковые приборы. Урав- . нения такой схемы можно представить в виде так называемых урав- нений переменных состояния, выраженных в нормальной форме си- стемы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка: (1.11) где х — напряжения на конденсаторах и токи через катушки индук- тивности. Чтобы составить эти уравнения, строят нормальное дерево для электрической схемы [69]. В ребра нормального дерева ветви от- бирают в следующем порядке: зависимые источники напряжения (?'a)> независимые источники напряжения (Е), конденсаторы (С), резисторы (R), катушки индуктивности (L), если они входят в звезду индуктивностей. В хорды дополнения схемы ветви отбирают в следую- щем порядке: зависимые источники тока (/з), независимые источники тока (/), катушки индуктивности (L), резисторы (R), конденсаторы (С), если последние входят в контур конденсаторов. Для построения уравнений переменных состояния поступают сле- дующим образом. Для токов конденсаторов в ребрах и напряжений на катушках индуктивностей в хордах применяют уравнения (1.10) di ^г и зависимости UL = L —„-, ic == С -,-. Обозначив искомые перемен- ные — напряжения конденсаторов в ребрах — через и*с и токи ин- дуктивностей в хордах через it, получим ^ r-lF7/. di1 ——=t^ rctx, —— dt dt —L 11?LUf, (1.1 la) где С, L—диагональные матрицы, состоящие из емкостей и индуктив- ностей этих компонентов соответственно; F^- и FL — части матриц F'1' и F, включающие строки, соответствующие этим конденсаторам и индуктивностям в (1.10). Среди пс^именных t\ различают искомые пе- ременные it, токи через резисторы ^д и конденсаторы ic в хордах. Переменные «р также разделяют на искомые и*с, напряжения »д на резисторах в ребрах и напряжения UL на катушках индуктивно- стей в ребрах. Разбивая матрицы Fc и FL в (l.lla) на части, соответствующие этой классификации переменных, и обозначая их темп же символами, 15 получаем следующие уравнения: с- = c^aFy^+p^^J+F^a, dt di* - = -L-1 (F? ^ + FL (u^p) -h FL UL}. dt Чтобы получить уравнения переменных состояния, лишние перемен- ные "IR , ic., UR , UL в (1.116) необходимо исключить. Для этого, снова воспользовавшись уравнениями (1.10), составляем нужные для исключения уравнения следующим образом: — для резисторов, находящихся в ребрах дерева, ^„ = FR t'x, где Rp — диагональная матрица, состоящая из сопротивлений; F^ — часть матрицы F1', состоящая из строк, соответствующих этим рези- сторам. Откуда после разбиения FR на соответствующие части ^p-Rpf^T^+FR^+F^)]; (l.llB) — для индуктивностей, находящихся в ребрах дерева, т. е. входя- щих в соответствующие звезды индуктивностей, iL-QLiI ИЛИ ^P=Q^^. dt dt где QL—матрица, элемент которой йц = 1, если в звезду ин- дуктивностей входит i-я индуктивность, находящаяся в ребре, и /'-я индуктивность, находящаяся в хорде, в противном случае ац = 0. Откуда (dl* \ , ~ ~ ^ ^ "Lp=Lp QL-^- =Lp(-Lr'Q^(F?^+F^p+F^))(l.llr) где Lp — диагональная матрица, состоящая из индуктивностей, вхо- дящих в ребра; — для резисторов, находящихся в хордах, '^ --= (Кх)~1^ = - (Кх)~1 Рд "р, где Rx —диагональная матрица, состоящая из сопротивлений, Рд — часть матрицы F, состоящая из строк соответствующих этим резисто- рам. Отсюда после разбиения Рд на соответствующие части l~R, = (-Rx)-1 (Ffi ^+ FR (uRy) +FR (^р)); (1.11Д) — для конденсаторов, находящихся в хордах, т. е. входящих в соответствующие контуры конденсаторов, ыс^-Qc"? или 16 dt =Qc dt где Qc — матрица, элемент которой ац = 1, если в контур конденса- торов входит i-й конденсатор, находящийся в хорде, и /-и конденсатор, находящийся в ребре, в противном случае а.ц == О, d^c dt (l.lle) где Сх — диагональная матрица, состоящая из емкостей конденса- торов, входящих в хорды. Выразив из (1.11в)—(1.11е) лишние переменные г/д , UL ,~1р , ic через и'с и il и подставив полученные выражения в (1.116), находим искомые уравнения относительно переменных состояния. Уравнения переменных состояния (1.11) содержат минимальное число переменных и уравнений, необходимых для определения пере- ходных процессов в электрической схеме. Однако уменьшение числа переменных и уравнений не всегда приводит к уменьшению общих вы- числительных затрат в системе автоматизации проектирования. Вы- числительные затраты и точность вычислений во многом определяются видом уравнений. Так, при использовании уравнений переменных со- стояния может быть ухудшена разреженность матрицы системы урав- нений (т. е. увеличено число ненулевых элементов в матрице) и могут возрасти ошибки при обращении матрицы. В то же время, применяя метод узловых потенциалов и неявные методы численного интегрирова- ния, можно более эффективно учесть разреженность матрицы систе- мы уравнений и положительную определенность ее отдельных частей. В современных программах анализа РЭУ чаще всего используют метод узловых потенциалов с теми модификациями, о которых уже упоми- налось. Однако в ряде случаев (например, при анализе слабодемпфирован- ных систем) целесообразно применять метод переменных состояния. 1.4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ Полученные в § 1.3 уравнения электрической цепи представляют собой систему нелинейных и обыкновенных дифференциальных урав- нений. Для упрощения допустим, что система состоит только из диффе- ренциальных уравнений, и рассмотрим возможные вычислительные алгоритмы решения их на ЭВМ. Полагаем, что система уравнений цепи имеет вид (1.12) dx где х == ,-, х == {.Vi ,..., XnY', x (/о) == х°. Ее решением является, как правило, некоторая непрерывная вектор-функция времени x(t). Ес- тественно, что любой вычислительный процесс, организованный на ЭВМ для решения (1.12), может определить только дискретную по- 17 следовательность векторов х°, xi, ..., х^, ..., в какой-то степени близ- ких к значениям х (/о), x(fi), ..., х (^), ... вектор-функции х (t) в ди- скретные моменты времени /о> ^i> ••ч ^vi ••• Следовательно, исходную задачу решения (1.12) следует заменить некоторой дискретной зада- чей, которая аппроксимирует решение (1.12) с допустимой ошибкой и может быть реализована на ЭВМ. Алгоритм решения дискретной задачи состоит из алгоритма выбо- ра некоторых дискретных значений моментов времени ty, t-s,, ..., t^, ... и решения системы нелинейных уравнений вида Gvi{x\x\-\,...,^-^=Q, . (1.13) где i = I, п; xv~k, ..., х", ... —решения дискретной задачи; GJ— некоторые функции, выбранные так, что отклонения х" от х (/у) равны допустимой малой величине*; х (tv)—точные значения х (/) решения (1.12) в момент времени t^. Функции GJ можно получить многими способами. Один из них со- стоит в следующем. Пусть система (1.12) записана в нормальном виде x^fi(t,x), t=l7n. , (1.14) Решения (1.14) в точках /у и /v-i связаны зависимостью 'V ^(^v)=^(4-i)+ J /i(T,^(T))df=---^(4-i)4- )=0. Вектор х° = х (/о) задан (вектор начальных значений). При выборе системы вида (1.13) необходимо выяснить, имеет ли эта система единственное решение ^v и насколько оно отличается от * Значение отклонений должно быть определено в каком-то разумном смыс- ле относительно качества решения. 18 истинного решения х (iv) (1.12). Для этого прежде всего надо придать точный смысл выражению «насколько отличается», т. е. ввести количе- ственную оценку отклонений. Допускаем, что отрезок времени [^, Т], на котором ищется решение (1.12), конечен. Введем линейное норми- рованное пространство XN функций х°, заданных в дискретных точ- ках to, ti, ..., tn (in = Г), т. е. в точках сетки по оси / и некоторую норму \\х°\\ функции х°, которая принимается за меру отклонения функции х° от функции, равной нулю во всех точках сетки. Норма в нормированном линейном пространстве XN вводится следующим образом. Каждому элементу х, содержащемуся в XN, ставится в соответствие неотрицательное число \\х\\, удовлетворяю- щее трем условиям: Ы>0; (1^11=1^)^11; 1|л:+г/|К1И|+1Ы1, , (1.17) где К — произвольное число; х, у (: Хм. Норма определяется различными способами. Обычно в пространст- ве XN выбирают норму так, чтобы при h == max \fv+i — tv\—>-0 •v=o,.... N она переходила в ту или иную норму функций х (t), заданных на от- резке [ty, Т]. Можно за норму функции, заданной на сетке, принять верхнюю грань модуля значений в точках сетки, т. е. fl^H-supM. . (1.18) v Возможности замены решения (1.12)'решением дискретной задачи (1.13) определяются тремя характеристиками: аппроксимацией, схо- димостью и устойчивостью. Понятие аппроксимации вводится следую- щим образом. В (1.13) вместо xv, xv~l, ..., xv~k подставляются точ-_ ные значения х (/v), ..., х (/v-^) решения (1.12). При этом получаем G^x{f.),...,x^-^)=6f\ - (1.19) где G"^—вектор, состоящий из компонент G] (i = 1, п), получае- мых в результате произведенной подстановки. По определению пола- гаем, что (1.13) аппроксимирует решение (1.12), если 6^-> 0 при h-> 0. Если Цб/^ || ^ с/г6, где с >0 и k — целое число, то имеет ме- сто аппроксимация порядка k. Сходимость решения xv дискретной задачи к решениям х (/у) (1-12) в точках сетки имеет место, если \\x(tv)—xv\\->0 при h-^0. (1.20) Однако наличие аппроксимации порядка k (k ^s 1) еще не означает, что имеет место сходимость. Для дискретной задачи (1.13) вводится еще понятие устойчивости. Задача (1.13) называется устойчивой, если существуют числа hy >0, б >0 такие, что при любых h < hy и s ^ Rn, Це||< б, дискретная задача G^' (xv, ..., ^v-*) = е имеет тг"'^о одно решение х^, ..., х°, причем это решение отклоняется от решения х0, х1, ..., xN задачи (1.13) на величину |1^-^1|<с||е|), (1.21) 19 где с — некоторая постоянная, не зависящая от h. Вектор е, фигу- рирующий в определении устойчивости, характеризует некоторое воз- мущение в дискретной задаче (1.13). Например, это возмущение мо- жет быть вызвано ошибками выполнения операций на ЭВМ. Неравенство (1.21) означает, что малое изменение правой части (1.13) вызывает малое изменение решения дискретной задачи при лю- бых h < hy (т. е. при любом увеличении числа точек дискретизации). В теории разностных схем [28] имеется теорема, которая утвер- ждает, что из аппроксимации и устойчивости дискретной задачи сле- дует ее сходимость. Легко видеть, что для приближенных решений исходной задачи (1.12) с помощью ЭВМ можно применять такие дискретные задачи, ко- торые аппроксимируют исходную и обладают свойством устойчиво- сти. При этом гарантируются достаточная точность приближения к истинным решениям при выборе необходимого числа точек дискрети- зации и малые ошибки в решении дискретной задачи из-за ошибок вы- числений на ЭВМ. Большое значение при моделировании РЭУ имеют А-устойчивые методы построения дискретных задач. По определению дискретная задача называется А-устойчивой, если (1.21) выполняется при любых h и Т в случае, когда исходная система дифференциальных уравнений линейна: (1.22) где А — матрица, и имеет собственные значения К, удовлетворяющие условию Re (К) < 0, \\b (t)\\ <.d (d — некоторая константа). При этом шаг h можно выбирать только на основании критериев достиже- ния необходимой точности решения. Число практически приемлемых А-устойчивых методов невелико (см. гл. 4). Теорию методов дискретизации можно применить к задаче решения уравнений электрической цепи, когда система уравнений (1.12) или (1.14) в явном виде не построена. При этом дифференциальные зави- симости между токами и напряжениями для отдельных компонентов электрической цепи заменяют соответствующими алгебраическими за- висимостями для дискретных моментов времени, после чего расчет це- пи во времени сводится к расчету последовательности цепей в режиме постоянного тока. Такой подход.облегчает составление уравнений цепи и учет разреженности матрицы системы уравнения. 1.5. О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В общем случае G; являются нелинейными функциями многих переменных. Поэтому решение дискретной задачи (1.13) сводится к решению систем нелинейных уравнений со многими неизвестными. Мы будем рассматривать нелинейные уравнения вида F(x)=0, (1.23) где х—вектор с п компонентами, принимающими вещественные зна- чения; F — вещественная вектор-функция с п компонентами, причем 20 х и F расположены в некоторых ограниченных областях /г-мерного эвклидова пространства. Для решения таких нелинейных уравнений на ЭВМ применяются итерационные методы, которые могут быть много- и одношаговыми. В многошаговых итерационных методах очередное (k + 1)-е прибли- женное решение системы уравнений (1.23) находится из соотношения (1.24) где k = О, 1, ..., т—число шагов, используемых в методе; Н*-— функции, подобранные таким образом, что Xй —г х* — к решению (1.23) при k->oo. Практически в большинстве случаев применяются одношаговые методы (т = 1). Наиболее распространенный из них заключается в том, что функция F (х) при xks^x•^xk + 6х (6х — некоторый интервал) заменяется функцией (1.25) где А6 — некоторая невырожденная матрица размерностью п Х п, зависящая в общем случае от х^-. В качестве нового приближения х^1 берется единственное решение системы Mk(x)^0•. xk+{=xk—(A'г)-lF(xk). (1.26) Таким образом, в этом случае функция Hk имеет вид Hk=.xk—(Ak)-lF(xk). В частном случае, когда матрица А6 есть (1/т)Е, где Е—еди- ничная матрица, (1.26) соответствует методу простой итерации: ^+1=^—^р{х11). Это выражение самое простое в смысле вычис- лительных затрат на одну итерацию. Для определения сходимости итерационных методов вида (1.26) используют теорему о сжимающих отображениях и теорему Остров- ского. Точка х* называется точкой притяжения итерационного процес- са, если xk -> х* при k —>- оо. Теорема о сжимающем отображении фор- мулируется следующим образом. Пусть задана функция H, отображаю- щая R'1 fe R" (^+1 = Н (Xй)), шар -S = S (х*, 6) 6 ^" (х* — центр шара, 6 — радиус шара) и постоянная 0 < а < 1, такие, что ||Я (х) — — х* || < к || х—х*\\, Vx^S. Тогда для любой точки л; 6 S ите- рации, определяемые формулой х^1 = H(xk), лежат в S и сходятся к х*. Если отображение Н имеет неподвижную точку х* == Н (х*) и не- прерывно дифференцируемо, а р(Н')==ст<1 —спектральный ра- диус матрицы Н' (х*), то х* является точкой притяжения итераций в некотором шаре S = 5 (х*, 6) (теорема Островского). Под спектраль- ным радиусом матрицы р понимается наибольший из модулей собст- венных значений матрицы. Теорему Островского можно доказать, воспользовавшись теоре- мой о сжимающем отображении и разложив Н (х) в шаре S (х*, 6) 21 в ряд Тейлора: H(x)=H(x*)+H'(x*)(x-x*)+0^x-x•?\\s). Матрица Н' (х*) называется якобианом, и ее элементами являют- ся частные производные функций Hi по х, в точке х*: ая, (х*) дх, Если взять достаточно малое б •< в, то при \\х — х*\\ < 6 \\H{x)-HW\\-^\\W{x*)\\(\+^\\x-x*\\ или где а = сг (1 + е) < 1. Для некоторой функции F (х) следует выбирать Н (х) так, чтобы ее неподвижная точка х* была корнем уравнения F (х) = 0. Следова- тельно, достаточное условие сходимости итерационного процесса (1.26) при постоянной матрице А имеет вид (1.26а) тЕ, из (1.26а) p(E-(A)-l^7/(^)) то число итераций для метода простой ите- рации будет пропорционально отношению Tmin \t i min К} i Для большинства РЭУ отношение ХтазДт1п велико (104 ... 10е) и, следовательно, число итераций при методе простой итерации будет не- допустимо большим. Поэтому целесообразнее применять формулу (1.25), выбирая матрицу А так, чтобы значительно уменьшилось чис- ло итераций. Если в качестве матрицы А* взять матрицу F' (л:*), то (1.26) сво- дится к формуле, полученной по методу Ньютона: (1.28) 22 Достоинство метода Ньютона состоит в том, что при существовании первых (F' (л:6)) и вторых (F" (х^) производных для х, достаточно близ- ких к х*, справедлива оценка \\xk+\—x*\\<^c\\xk—x*\\ъ. (1.28а) Таким образом, при малых отклонениях метод Ньютона имеет квад- ратичную сходимость. Соотношение (1.28а) можно обосновать следую- щим образом. Чтобы найти х*, можно воспользоваться соотношением Q^F (х*) = F (^) + F' (х") (x*—xk) + О (\\х*—х111|2). (1.29) Так как х^1 = х'1—(F' (A:6))"1 F (д^), то при умножении (1.29) на (F' (.У6))"1 получаем (F'(xk))-lF(xk)+(x*—xk)+(Ft(xk))-l•0(\\x*—xk^f) == О или x'г—xk+l+(x'i!—xk)+(Fr(xk))-1.0(^\x*—xk^)==0, откуда следует, что | \х^1 — х*\\<с\\ xk — х* 112. На сходимость метода Ньютона существенно влияет выбор началь- ного приближения. Если начальное приближение недостаточно близ- ко к х*, то метод Ньютона не обязательно сходится. Область сходи- мости можно расширить, используя метод продолжения, позволяющий получить достаточно близкие начальные приближения, или же моди- фицируя метод Ньютона [53]. Суть метода продолжения состоит в следующем. Вместо одного отображения F вводится целое семейство их: H(x,t)^tF(x)+Fo(x,t—l)(l-t),te[0, I], (1.30) где t — некоторый положительный параметр, а функция Fy (х, t — 1) при t == 0 должна быть близка к линейной относительно х или равна нулю при х == х° и t = 0, а х" — известное начальное приближение. Таким образом, Н (х, 0) = Гц (х, —1), Н (х, 1) = F (х). На практике оператор задачи естественным образом зависит от не- которого физического параметра / и обладает требуемым свойством. Например, в РЭУ за этот параметр можно принять сопротивление утечки на переходах транзистора или же напряжение источника пита- ния транзисторов. Полагаем, что решение х (t) уравнения Н (х, t) = 0 единственно и непрерывно для всех / и матрица tF' (х) + (1 — t) F6 (х, t— 1) не- вырождена при х, содержащихся в некоторой окрестности х (f), где t 6 10, 1]. Так как при известном х° или же линейной функции Fy (х, —1) в точке х = х° имеет место точное решение, то, учитывая непрерывность х (t) и выбирая достаточно малый шаг по t, можно га- рантировать хорошее начальное приближение для метода Ньютона при всех дискретных значениях t, в том числе при / == 1 (при / == 1 на- ходится искомое значение). Непрерывность Н при выборе физических параметров t и невырожденность матрицы обычно имеют место. Модификация метода Ньютона состоит в следующем. Вводят пара- метр / и на ходят очередное приближение xk по формуле х^ = х11'1 — 23 — / (F' (Jc6"'1))"1 Т7^"1), причем параметр t определяют из усло- вия min \\F(x11-1 — t (F' (х"-1))-1 F {х^)\\. t Таким образом, на каждом шаге итерационного процесса необхо- димо решать одномерную задачу минимизации. В гл. 3 будет показа- но, что затраты на это решение невелики. В качестве нормы!)/-' (х) 11 можно, например, взять эвклидову нор- МУ \\F(x}\\=Y^F!(x}. Справедлива следующая теорема [82] о сходимости модифицирован- ного метода Ньютона. Пусть в некоторой ограниченной области \\F МП ^ R F (х) имеет равномерно ограниченные первые и вторые производные, причем отображение г = F (х) в этой области взаимно- однозначно и || (F' (л;))"1]! ^ G, и пусть в этой области имеется един- ственное решение х* (F (х*) == 0). Тогда модифицированный метод Ньютона сходится при \\F (х°)\\ ^R, т. е. xk->x* при k-> oo. До- казательство проведем следующим образом. Пусть последовательность точек модифицированного метода Ньютона х°, х1, .,., х^ не сходится к точке х*. Выделим из нее подпоследовательность, сходящуюся к точке х ф х* (F (х) ^=0). Рассмотрим шаг модифицированного про- цесса, начинающегося- в точке х. В результате сделанных предполо- жений ||^(^-^F')-l^a))|l-ll^(^-^/(^(F'^))-lF(^)+0(^ll= ' == || F (x)-fF Q + О (/2) || = 11 -t \ || F (х) /I + О (/2).^ Выберем t из условия min \\F (х) — t (F' (x))~1 F (х)\\, при этом получим точку Xх == х — t (F' (х))~1 F (х). Так как t ф 0, то сущест- вует такое е >0, для которого ||F (х1))! < Ц F (х}\\ — е, причем в некоторой окрестности точки х окажется бесконечное число точек по- следовательности {Xй}, для которых нормы ||/7 (Xй} || будут отличать- ся друг от друга не менее чем на е/2. Это противоречит соотношению \\F (х)\\ ~>0 для окрестности точки х. Следовательно, F (х) = 0, т. е. х == х*. Из (1.28) видно, что реализация метода Ньютона сводится к реше- нию на каждом шаге итераций линейных алгебраических уравнений вида F' (x^^+^—x^^F^). (1.31) Матрицы F' (л^), получающиеся при моделировании РЭУ на ЭВМ, относятся к так называемым разреженным. Большая часть их коэффициентов равна нулю (общий процент ненулевых коэф- фициентов не превышает 3 ... 10%). Такая особенность этих матриц позволяет решать уравнения вида (1.31) за О (п) операций: число опе- раций, затрачиваемых на вычисление коэффициентов этих матриц, незначительно превышает число операций на вычисление F (^fe), обязательных в любом итерационном методе. Поэтому метод Ньютона широко применяется в программах анализа и оптимизации электрон- ных устройств. 24 1.6. О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В общем случае задача оптимизации РЭУ ставится следующим об- разом. Процессы в устройстве описываются системой уравнений со- стояния (1.32) где а == {й1, ..., a,i, ..., a-mY 6 R"1 — вектор параметров компонентов устройства. Решая эту систему, находим х (t) — вектор состояния уст- ройства. Свойства функционирования устройства задаются некоторым вектором характеристик Ь, который определяется х (f): b= •••> ^'nL причем W1' = U""1. Чтобы выбрать начальное приближение, предположим, что агре- гированная система имеет собственные значения, совпадающие с не- которыми собственными значениями матрицы А, т. е. значениями Кц, ^,;2> •••> ^-шг Число т и эти значения выбирают в зависимости от спектра А. Собственные значения.^.п, ^,2, ..., ^im выбираем следую- щим образом. Интервал [^min> ^maxi делим на т одинаковых отрезков. Выбрасываем отрезки, на которые не попали собственные значения. Пусть число их равно Si. Затем выбираем отрезки, на которые попало по одному собственному значению, обозначим их число через Sg. Эти собственные значения вносим в список собственных значений аг- регированной модели. Затем суммарную длину оставшихся т — Si — — S^ отрезков делим равномерно на т — Sy отрезков, и повторяем 40 эту процедуру до тех пор, пока на каждом отрезке будет хотя бы од- но собственное значение. Значения, наиболее близкие к серединам отрезков, вводим в список собственных значений агрегированной мо- дели. Составляем из собственных векторов vo-i для выбранных соб- ственных значений матрицу W,. = [wn, w^, ..., Wi^}, полагаем К = W?. Соответственно F = W^AU,., где Ur == [«,1, ы;г, •••, Щт}- Лег- ко видеть, что F-diag{^,?i,2,...,^m}- (2.8a) Матрицы F и К удовлетворяют первому уравнению (2.8), из вто- рого можно получить матрицу G. Вообще говоря, существует много матриц К и^Р. Но такой начальный выбор ?i,r>K и F позволяет сде- лать малой норму рассогласования ||НК—С||. Затем выберем начальную матрицу Н. Для этого зададим входной вектор v в виде синусоидальной функции на разных частотах и опре- делим у (]'<в), численно решая систему (2.5). Составляем квадратичные функционалы относительно /г;: Ф. =ф(/г.)=^(г/' (J