Посвящаю эту книгу 70-летшо Московского энергетического института, в котором под руководством замечательных ученых, инженеров и педагогов Г. А. Левина, В. А. Котельникова и Е. Н. Геништы я начал понимать, что такое радиоэлектронные устройства и каковы пути их оптимизации. ОПТИМИЗАЦИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ ПО СОВОКУПНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА Л. С. ГУТКИН МОСКВА СОВЕТСКОЕ РАДИО, 1975 64)2.1 Г97 УДК 621.391:519.47 Гуткин Л. С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокупности показателей качества. М., «Сов. радио», 1975. Рассматриваются методы отыскания радиоэлектронных устройств и систем, оптимальных по совокупности нескольких показателей качества (например, обладающих наилучшим в определенном смысле сочетанием среднеквад- ратической ошибки воспроизведения сообщений, пропускной способности, веса и стоимости). Показывается, какими мето- дами такая оптимизация устройства (системы) может быть сведена к обычной оптимизации, обеспечивающей наилучшее значение единственного показателя качества. Рас- сматриваются три основные случая оптимизации: синтез оп- тимальной структуры устройства, выбор оптимальной струк- туры устройства (системы) из конечного числа известных ва- риантов и отыскание оптимальных значений параметров устройства (системы). Рассмотрение иллюстрируется приме- рами отыскания структуры и параметров различных радио- электронных устройств, оптимальных в скысле совокуп- ности двух, трех и более показателей качества. Книга рассчитана на широкий круг специалистов по ра- диоэлектронике и смежным отраслям науки и техники, а также на аспирантов и студентов старших курсов вузов. Редакция литературы по вопросам космической радиоэлек- троники. М40ЬО^ ' 046(01)-751"" с Издательство «Советское радио», 1975 г. ПРЕДИСЛОВИЕ Любая радиоэлектронная система или ее часть (устройство, блок, узел) характеризуется совокуп- ностью (вектором) К = пока- зателей качества системы1. 4. Совокупность Од == {OKI, ..., Окг} ограничений, накла- дываемых на показатели качества. Ограничения Os, накладываемые на структуру и параметры системы, содержат, во-первых, ограничения на структуру сис- темы. Эти ограничения в зависимости от решаемой задачи могут варьироваться от весьма слабых (нежестких) до весьма сильных (жестких). К слабым ограничениям структуры относятся, в част- ности, ограничения класса систем, например требование, чтобы синтезированная система была одноканальной, линейной и ста- ционарной и т. п. При жестком ограничении структуры может быть, например, полностью задана принципиальная схема сис- темы и в процессе проектирования варьируются лишь числен- ные значения параметров этой схемы. Во-вторых, совокупность Os содержит ограничения на па- раметры д-1, ..., Xi, ..., Хп системы. Эти ограничения могут быть типа равенств (xi == х,„), неравенств (х;^аХ;м или Хщии ^ л"; ^ ^ -у;м), дискретности (х,. = 1, 2, 3, ...), связи [Ф, (л-i, ..., д-п) < О или включает совокупность тех пока- зателей качества системы, которые должны учитываться в про- цессе синтеза. При формулировке исходных данных определяет- ся лишь состав этой совокупности, т. е. указывается, что именно следует понимать подк^, что под тс^ и т. д.; численные же значения составляющих к.^, к^, ..., /Сщ вектора К зависят от структуры и параметров системы и в процессе синтеза варьируются. В даль- нейшем символ СК будет означать, что речь идет не о величине составляющих вектора К, а лишь о составе этого вектора. Ограничения Ок, накладываемые на величины показателей качества Кц ..., Km, могут быть типа равенства (к, == к;о)> нера- венства (/C;^K,M, Ki^O) и связи [например, Ф, (/q, ..., Кщ)^0]. Следует отметить, что деление исходных данных на условия У, огра- ничения Ос и показатели качества KI, ..., Кщ является в известной мере условным, так как в зависимости от постановки задачи проектирования одну и ту же числовую характеристику можно рассматривать или как показатель качества, или как условие, или как ограничение. Например, диапазон температур (Тщщ — Гмакс) можно рассматривать как условие работы системы, а разность температур ДГ = Гщакс — Тмин. лрч 1<ото- рых система способна функционировать, можно рассматривать как один из показателей качества системы (так как при прочих равных условиях чем больше ДГ, тем лучше система). Ряд показателей качества (например, С, V и др.) в процессе проектирования часто приходится переводить в раз- ряд ограничений (типа равенств или неравенств). Однако, несмотря на не- которую условность деления исходных данных на условия, ограничения и показатели качества, такое деление в большинстве случаев оказывается полезным. Система (вариант построения системы) 5, удовлетворяющая совокупности {У, Os} исходных данных, называется допусти- мой. В общем случае может существовать не одна допустимая система, а некоторое множество УИд допустимых систем. Допус- тимая система, удовлетворяющая совокупности ограничений Ок, называется строго допустимой. Иначе говоря, строго допустимой называется система, удовлетворяющая всей совокупности D = {У, Os, СК, Ок} исходных данных. В общем случае может существовать не одна, а некоторое множество Мел, строго до- пустимых систем. Из всех строго допустимых систем оптимальной (наилучшей) считается та система 5опт> которая обладает наилучшим (в зара- нее установленном смысле) значением вектора К показателей качества. Следовательно, для выбора оптимальной системы дол- жен быть предварительно выбран (обоснован) критерий пред- почтения (критерий оптимальности), т. е. правило, на основа- нии которого одно значение векторм К следует считать лучшим (или худшим) другого его значения, 13 Еще сравнительно недавно при проектировании не стреми- лись к отысканию обязательно оптимальной системы: задача проектирования считалась успешно решенной, если удавалось найти (спроектировать) какую-либо строго допустимую систему. Однако в последние годы становится все более актуальной зада- ча создания не только строго допустимых, но и оптимальных систем. Это объясняется тем, что с каждым годом возрастают требования, предъявляемые к радиосистемам, время и средства, затрачиваемые на их изготовление. Поэтому оказывается весь- ма существенным не просто удовлетворить исходным требова- ниям Ок, предъявляемым к показателям качества системы, но и перевыполнить эти требования — уменьшить по сравнению с за- планированными стоимость С системы и время Тр ее разработки и повысить вероятность Руд успешного выполнения основной задачи. Например, если в результате проектирования данной сис- темы удастся снизить ее стоимость всего на 10% по сравнению с заданной техническими условиями, то это может дать экономию в десятки или сотни миллионов рублей (если проектируемая сис- тема весьма сложна или должна выпускаться в больших коли- чествах). Оптимизация радиосистемы включает в себя оптимизацию как собственно разрабатываемой систем ы, так и про- цесса ее разработки. Обе эти стороны оптимизации взаимно связаны. Показатели качества разработанной системы сущест- венно зависят от степени оптимальности процесса разработки и от отпущенных на нее времени и средств. В свою очередь время и средства, затрачиваемые на разработку системы, и сам процесс разработки в значительной степени определяются структурой системы и значениями ее параметров. Однако задача одновре- менной оптимизации самой системы и процесса ее разработки весьма сложна. В дальнейшем, как правило, будет рассматри- ваться оптимизация собственно системы. При этом характерис- тики процесса разработки будут учитываться лишь в таких пока- зателях качества как Гр и С (поскольку С учитывает также и стоимость проектирования). Оптимизация системы осуществляется обычно как на этапах аванпроекта и эскизного проекта, так и на всех последующих этапах. Однако важно осуществить оптимизацию в возможно большей степени на самых ранних этапах разработки, так как при этом она может быть наиболее радикальной и требует мень- ших экономических затрат. В дальнейшем отыскание оптималь- ной системы называется для краткости синтезом системы. Из изложенного следует, что задача синтеза может быть сфор- мулирована следующим образом: найти такую систему S, кото- рая удовлетворяет совокупности {У, Os, CK, Ок} исходных данных и обладает при этом значением совокупности (вектора) К = показателей качества и ограничений Ок на показатели качества. Желательно также указывать кри- терий предпочтения одного значения вектора К другому его зна- чению (критерий оптимальности системы). Сформулировать все эти исходные данные достаточно полно и точно на этапе внешнего проектирования, т. е. до начала внутреннего проектирования системы, обычно не удается, и после этапа внутреннего проекти- рования их приходится подвергать корректировке, иногда весь- ма существенной. Эта корректировка может заключаться в из- менении как состава совокупностей У, Os, К и О к, так и чис- ленных значений отдельных составляющих совокупностей У, Os и Ок- .Необходимость корректировки исходных данных мо- жет вызываться, в частности, следующими причинами: 1. В результате синтеза (внутреннего проектирования) мо- жет выявиться, что исходные данные противоречивы, т. е. не- возможно создать систему, удовлетворяющую совокупности ис- ходных данных {У, Os, СК, Ок}. 2. Невозможно указать точно условия работы системы, не зная достаточно структуру системы и значения ее параметров. Например, не зная рабочей длины волны, нельзя точно опреде- лить характеристики внешних помех; не зная структуры и па- раметров системы, нельзя полностью определить характеристики. внутренних помех. В случае разработки систем, действующих в условиях организованных помех (или создающих такие поме- хи), т. е. при наличии конфликтных (состязательных) ситуа- ций, сформулировать сколько-нибудь полно условия работы системы независимо от ее структуры и параметров еще труднее. 3. В процессе синтеза может выявиться необходимость учета ряда дополнительных ограничений Os, которые на стадии внеш- него проектирования полагались несущественными. 4. В результате синтеза может оказаться, что некоторые из показателей качества /Ci, ..., к^, которым на стадии внешнего проектирования придавались малые или даже нулевые веса, в действительности весьма существенно влияют на выбор опти- мальной системы, и, следовательно, первоначально сформули- рованный критерий предпочтения должен быть скорректирован. По указанным причинам, а также вследствие того, что часто внешнее проектирование приходится вести почти одновременно с внутренним, исходные данные для синтеза в процессе этого синтеза обычно приходится существенно корректировать. Ина- че говоря, процесс проектирования обычно состоит из ряда пос- ледовательных этапов внешнего и внутреннего проектирова- ния, и исходные данные можно считать неизменными лишь в пре- делах данного этапа. Поэтому синтез можно считать закончен- ным лишь в том случае, если в результате его выполнения не выявилось необходимости корректировки исходных данных. 20 Процесс обоснования исходных данных (внешнее проекти- рование) существенно зависит от того, является ли проектируе- мая система частью более сложной системы, т. е. подсистемой (или устройством), или она является автономной, т. е. может использоваться потребителем (заказчиком) самостоятельно, а не в составе другой системы. Рассмотрим сначала случай, когда данная система является частью (подсистемой, устройст- вом) более сложной системы. В этом случае, перед тем как фор- мулировать исходные данные для частей системы (подсистем), необходимо разбить систему на части. На первый взгляд кажется, что при оптимизации системы не следует разбивать эту систему на части и необходимо рассмат- ривать ее как единое целое. Однако это в принципе правильное положение практически обычно оказывается несостоятельным вследствие того, что система в целом слишком сложна и выпол- нить достаточно корректно одновременный инженер- ный синтез всех ее частей не удается. Особенно это относится к случаям, в которых требуется не только выбрать параметры си- стемы, но и синтезировать ее структуру. Поэтому при синтезе системы средней и особенно большой сложности ее, как правило, приходится разбивать на части. Чем на большее число частей разбита система, тем труднее правильно сформулировать исходные данные для каждой части, но зато тем легче провести оптимизацию каждой части для ус- тановленных для этой части исходных данных. Поэтому в каж- дом конкретном случае проектирования существует некоторое наиболее целесообразное число частей, на которые следует раз- бить систему для того, чтобы получить для системы в целом решение, наиболее близкое к оптимальному. Нередко это целесо- образное число частей удается установить лишь в процессе сов- местного проведения ряда последовательных этапов внешнего и внутреннего проектирования. При разбивке системы на части необходимо учитывать су- ществующие в ней функциональные, динамические и конструк- тивные связи. Функциональные связи учитывают то, что все части системы предназначены для выполнения общей. задачи. При этом обычно выполнение этой общей задачи может быть до- стигнуто при различных вариантах распределения требований между отдельными частями. (Например, ухудшение чувстви- тельности приемника в ряде случаев может быть компенсиро- вано увеличением мощности передатчика). Динамические связи проявляются в том, что процессы, протекающие в различных ча- стях системы во время ее работы, взаимосвязаны. Положение особенно усложняется тем, что многие динамические связи яв- ляются паразитными, т. е. обусловлены не желаемыми принци- пами построения системы, а различными нежелательными по- бочными явлениями. Конструктивные связи обусловлены тем, 21 что обычно по условиям задачи система в целом или ее отдель- ные крупные части должны представлять в конструктивном от- ношении единое целое. В некоторых случаях функциональные, динамические и кон- структивные связи таковы, что обоснованное деление системы на части достаточно очевидно и не вызывает затруднений. Напри- мер, если система состоит из наземного и бортового оборудования, то естественно ее деление на наземную и бортовую части. Если система состоит из разнесенных в пространстве радиопередающе- го и радиоприемного устройств, то целесообразность ее деления на эти два устройства также очевидна. Однако в ряде случаев связи, существующие внутри системы, таковы, что выбор мест, в которых их наиболее целесообразно разорвать, далеко не очевиден и требует специального обосно- вания. Например, в ряде случаев не очевидно, какое место сле- дует считать выходом антенно-фидерного устройства и входом приемника и какое — выходом приемника и входом устройства последующей обработки информации. При этом основным факто- ром, учитываемым при разбивке системы на части, является воз- можность однозначной и четкой формулировки исходных дан- ных для каждой части системы, исходя из задачи оптимизации системы в целом. Одним из решающих факторов при этом является возмож- ность установления однозначной связи между совокупностью показателей, качества D ' пор ss-- * поро с <^ с -'а -^ '-'г.п' СО' (1.2) i Этот пример выбран лишь для иллюстрации общих положений и носит поэтому чисто гипотетический характер. 34 Требуется, исходя из этих данных, обосновать допустимые значения показателей качества йдф и Сн проектируемой системы наведения. Для этого необходимо исследовать влияние показа- телей йэф и Сн на величины Рддр и С с. В первом приближении можно полагать [18], что ^пор=(1+^ф/^ф)-1. (1.3) где 7?эф — эффективный радиус поражающего действия снаря- да. Очевидно, он может быть сделан тем большим, чем больше допустимая величина стоимости Со, где Со = Сс — Сн. Положим для простоты, что Р1ф-АС„ (1.4) где Л—известная (заданная) величина. Тогда с учетом (1.1) и (1.4) формула (1.3) дает Р„,р=(1+/г!ф/Л(С,-С„)]-\ (1:5) где Сн<Сс. Из формулы (1.5) следует, что знание допустимых значений величин Рпор и Сс не позволяет сформулировать требования на каждый из интересующих нас показателей качества (йдф и Сн) в отдельности — можно определить лишь допустимую область комбинаций значений этих параметров. Для определения границ этой области заменим Рдор и Со на их предельно допустимые значения, устанавливаемые нера- венствами (1.2). Тогда получим для границы области следующее уравнение: PnopO=[l+^VA(C,o-C„)]-1, где Сн < Ссо- Его удобно представить в следующем виде: С„=С„-/г|фМ(1/Р„„р„ -1). (1.6) В системе координат (Адф, Сд) эта граница имеет вид, изображен- ный на рис. 1.3 жирной линией. Область допустимых значений показателей качества отмечена на этом рисунке штриховкой. Если мы хотим сформулировать требования к показателям /гэф и Сн не в виде двумерной области, изображенной на рис. 1.3, а в виде неравенств "эф ^S "аф о' ^и^^но» (1-7) то это эквивалентно замене всей допустимой области некоторым вписанным в нее прямоугольником с основанием h.^ о и высотой Сно. Такая (Замена имеет, очевидно, следующие недостатки. Во-первых, она не может быть выполнена однозначно, так как в заданную область можно вписать бесконечное число различных прямоугольников. Во-вторых, такая замена исключает ряд до- пустимых комбинаций значений показателей йэф, Сн и, следо- 85 Рис. 1.3. вательно, излишне сужает возможности выбора вариантов по- строения системы в процессе ее проектирования. Отсюда следует, что формулировка требований на показатели качества Адф и Сц в виде неравенств типа (1.7) является весьма условной и непол- ной. Но и более полная и строгая формулировка требований к показателям Ьдф и Су заданием всей заштрихованной области на рис. 1.3 также является весьма условной и неполной. Действительно, граница этой области была получена в пред- положении, что показатели качества следующей иерархической ступени заданы в виде неравенств (1.2). Но эта иерархическая ступень является лишь частью еще большей системы и, следова- тельно, формулировка требований на ее показатели качества в виде неравенств также является весьма условной и неполной. Если формулировать требования на показатели качества ступеней большой системы не в виде неравенств, а в виде полных допустимых областей (подобных, например, заштрихованной области на рис. 1.3), то вместо указанных выше недостатков возникают другие трудности. Во-первых, во многих случаях нахождение соответст- вующих областей может представлять весьма значительные или даже непреодолимые трудности. Действительно, область, приве- денная на рис. 1.3, была найдена лишь в результате весьма гру- бых допущений. В частности, учитывалась всего одна иерархи- ческая ступень. Эта ступень характеризовалась всего двумя по- казателями качества и допустимая область значений этих двух показателей задавалась в виде неравенств. Проектируемая си- стема характеризовалась также всего двумя показателями и связь этих показателей с показателями следующей иерархиче- ской ступени была выбрана весьма простой. Если снять хотя бы часть этих допущений, трудность нахождения области допусти- мых значений показателей качества Ki, ..., /с „г системы управле- ния снарядом неизмеримо возросла бы. 86 Рис. 1.4, Во-вторых, при характеристике допустимых значений пока- зателей качества /q, .... Кщ сложной многомерной областью Ф, (KI, ..., /Сщ) ^s 0 (j == 1, q) весьма существенно затрудняется поиск правильных (оптимальных) решений при проектировании системы. Для уменьшения этих трудностей в первом приближе- нии требования к показателям качества каждой иерархической системы обычно формулируются в виде неравенств ^I^K^, ..., к^<к^. (1.8) Как отмечалось выше, следует различать допустимые и стро- го допустимые системы (решения задачи синтеза) S и соответст- вующие им векторы К показателей качества. Рассмотрим в ка- честве иллюстрации приведенный выше упрощенный пример синтеза бортовой части системы наведения зенитного снаряда по двум показателям качества: /q == Сц, Ку, == hy^. Пусть в пространстве [(плоскости) показателей [качества /qO/Ca (рис. 1.4) множеству Л1д соответствует замкнутое мно- жество точек, левой нижней границей которого является кривая АцА^А^. Это означает, что при данной совокупности условий У и ограничений Os невозможно создать систему S, у которой при данной стоимости С-ц значение промаха йдф было бы меньшим, чем следует из кривой AyA^A^, а при данном значении промаха Аэф стоимость Сн была бы меньше, чем следует из этой же кри- вой. Но системы, у которых совокупность значений (Сн, Аэф) выходит за пределы области, изображенной на рис. 1.3, недопу- стимы (неприемлемы с точки зрения назначения системы). По- этому на рис. 1.4 нанесена также и граница D'BE, являющаяся правой верхней границей множества строго допустимых систем. Следовательно, в рассматриваемом примере множество Мцц строго допустимых систем характеризуется замкнутым мно- жеством точек, расположенных в пределах заштрихованной области QA-^PBQ. 37 До сих пор мы полагали, что поектируется система, входя- щая в состав большой системы. Но очевидно, что совершенно аналогичная ситуация возникает при проектировании устройст- ва, являющегося частью системы (например, при проектирова- нии радиоприемного, радиопередающего или антенно-фидер- ного устройства). При этом устройство можно рассматривать как систему, а систему, в состав которой оно входит, можно считать большой системой. Спускаясь по иерархической лестнице все ниже и ниже, мы убедимся, что такие же проблемы возникают и при проектирова- нии узла и даже при проектировании части узла—детали. При этом роль «большой» системы играет узел, а роль «системы» — входящая в его состав деталь. Итак, будем в дальнейшем полагать, что на основе внешнего проектирования сформулирована совокупность исходных дан- ных {У, Os, CK, О/с} для внутреннего проектирования системы. В дальнейшем речь будет идти только о внутреннем пректиро- вании, поэтому термин «внутреннее» будет, как правило, опу- скаться. При этом будет рассматриваться оптимальное проектирование, которое обеспечивает наилучшее возможное значение вектора К при данных условиях У и ограничениях Os, 0„. 1.3. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧИ ВЕКТОРНОГО СИНТЕЗА Как отмечалось в § 1.1 задача векторного синтеза формули- руется следующим образом: найти такую систему S, которая удовлетворяет совокупности {У, Os, CK, О/с} исходных дан- ных и обладает, при этом значением вектора1) К == можно считать справедливой, если полагать, что единицы измерения всех показателей качества фиксированы, и к^, ..., ...., к,, ...., к.^ есть численные, т. е. лишенные размерности значения пока- зателей качества, выраженных в этих единицах. (Например, если /q = == G — вес системы, единица измерения веса — килограмм и вес системы равен 5 кг, то следует полагать /q = 5, а не к^ = 5 кг. При этом очевид- но, что Ki = к[, где к[ — отношение веса системы к эталонному весу, равному 1 кг). 38 выбранного критерия предпочтения. При этом под показателем качества к, (i = 1, т) понимается числовая характеристика си- стемы, связанная с ее качеством монотонной зависимостью: чем больше (чем меньше) величина к;, тем лучше система при прочих равных условиях, т. е. при неизменных {У, Os, CK, О/с} и неиз- менных значениях остальных (т — 1) показателей качества. Для удобства сравнения значений вектора К, соответствую- щих различным вариантам построения системы, удобно предва- рительно привести все показатели качества Ki, ..., к,, ..., к,т к стандартному виду. Показатель качества /с; считается стандарт- ным (или приведенным к стандартному виду), если он удовлет- воряет условию /с; >0 (г= 1, т), (1.9) и чем меньше (а не больше) величина /с,, тем лучше система (при сформулированных выше прочих равных условиях). Из (1.9) следует, в частности, что идеальной с точки зрения показателя качества к; системой является такая система, у которой к; = 0. Если некоторый показатель качества к'; не является стан- дартным, то его всегда можно привести к стандартному виду к;. Действительно, пусть, например, неотрицательный показатель качества к;' таков, что может изменяться в пределах Ki мин ^s: Ki $^ Ki макс > (1 •1 -) и чем больше величина /с/, тем лучше система. Тогда в ка- честве эквивалентного ему стандартного показателя качества можно выбрать величину (1.11) (1.12) Ki ~— Ki макс "— Ki. Если /С('макс->- °°, то вместо (1.11) можно полагать Ki== \lK'i. Наконец, если неотрицательный показатель к/ удовлетворяет условиям (1.10), но чем он м е н ь ш е, тем лучше система, то можно полагать Ki = K'i— К/мин. (1.13) В частном случае, когда Кг'мин == 0, получается к; •== Ki, т. е. исходный показатель качества к\ является стандартным и, следовательно, преобразовывать его не требуется. Очевидно, такие наиболее распространенные показатели, как С, V, G, Гр, средний квадрат ошибки е2, ее математическое ожидание е, дисперсия о| и т. п., имеют стандартный вид н в пре- образованиях не нуждается. Если показателем качества к[ является вероятность Рц некоторого события и чем больше эта 39 Рис. 1.5. вероятность (например, вероятность поражения цели), тем лучше система, то, как следует из (1.11), нужно выбрать к,=1-Р,-Р„„ (1.14) где Рцц — вероятность противоположного события (например, вероятность непоражения цели). Замена нестандартных показателей качества соответствую- щими им стандартными показателями не приводит к изменению результатов синтеза, но упрощает получение этих результатов. Основное упрощение заключается в том, что при этом в/га-мерном пространстве показателей качества к^, ..., Кщ (рис. 1.5) каждой совокупности показателей качества соответствует некоторый тп-мерный вектор К = Т, Т » 2л/йс, ц^ (f) — белый шум с энергетическим спектром (двусторонним) No- Требуется обеспечить K,-=UJU^^mm, (1.18) где Нщ"- — средний квадрат напряжения шума на выходе фильт- ра; Нем — значение напряжения сигнала на выходе фильтра в момент t = ty. Очевидно: ;, = -. / ^ \ |Кф (/со) |2 йю —— \ Кф (/о) S„ (/о) е^" dco, \ 2"-» / 2Я— (1.19) (1.20) — комплексный спектр сигнала. Как известно (см., например, [19]), функционал (1.19) достигает минимума при Л',,, (/о)) --- aS,,(—jw) e-^", (1.21) где а — произвольная константа. Величина /о может быть лю- бой в пределах t^T, (1.22) причем напряжение сигнала на выходе фильтра достигает мак- симального значения в момент I = t,. (1.23) 31 В данном случае К == /Ci, т. е. имеется всего один показа- тель качества. При этом каждому конкретному значению пока- зателя качества /q = U^/L/см соответствует не единственный линейный стационарный фильтр, а целый класс таких фильт- ров, которые могут различаться абсолютной величиной усиле- ния, величиной запаздывания, конструкцией и т. п. Поэтому в результате синтеза однозначно определяется не фильтр, а лишь форма его частотной (и фазовой) характеристики. Для того чтобы сделать результаты синтеза более определен- ными, т. е. сузить класс систем, необходимо изменить постановку задачи синтеза — ввести дополнительные условия, ограничения и дополнительные показатели качества. Например, для того что- бы в (1.21) однозначно определилась величина ty, можно ввести дополнительный показатель качества ^2 = Ч)> (1.24) т. е. потребовать не только минимума величины отношения шума к сигналу на выходе, но и минимального (при данном к^) запаз- дывания пикового значения напряжения сигнала на выходе. Тогда, в соответствии с (1.22): t, == Т. (1.25) Для конкретизации множителя а, входящего в (1.21), можно задать, например, абсолютную величину пикового значения на- пряжения выходного сигнала и т. д. Итак, в рассмотренном примере имеется избыточность числа систем по сравнению с числом показателей качества и для умень- шения этой избыточности можно вводить дополнительные усло- вия и ограничения и дополнительные показатели качества. Од- нако устранить эту избыточность систем полностью, т. е. свести класс систем соответствующих данному значению вектора К ~- , к единственной вполне определенной ре- альной системе невозможно, так как множество возможных ком- бинаций признаков, по которым одна реальная система отличается от другой, может иметь мощность континуума или даже еще большую. Покажем теперь, что возможны и такие постановки задачи синтеза, при которых данному конкретному классу систем будет соответствовать не одно значение вектора К, а множество таких значений, т. е. будет иметь место избыточность числа показа- телей качества по отношению к числу интересующих нас классов систем. Для иллюстрации этого положения предположим, что в предыдущей задаче синтеза линейного стационарного филь- тра введены вместо одного показателя качества /Ci = [/ш/^см следующие показатели качества: v _ и Л.1 — Ь 'ч т ш' -см' v __ 11 "'2 — ^mc' о • (1.26) 38 Каждая из этих величин действительно удовлетворяет сформули- рованному выше определению показателя качества (стандарт- ного): чем меньше эта величина, тем лучше система при прочих равных условиях (т. е. при неизменных У, Os и неизменных значениях остальных показателей качества). Например, чем меньше Kg, т. е. чем больше величина спектральной плотности Л/о шума, тем лучше фильтр (при данных U^!Uсм, Uте и Т), так как он будет обеспечивать такое же отношение сигнала к шу- му на выходе при большей интенсивности шума на входе. Итак, качество фильтра можно характеризовать вектором К- )|. До- кажем, что в этой задаче выбранное число показателей качества является избыточным. Для доказательства рассмотрим произведение показателей качества /Ср = к^Кц. Из (1.19) и (1.26) следует, что - — к к к — иш итс — .—к^к^Кз——— ,—- — Uc. V \Кф (/со) |2 АО (1.28) Кф 0'ю) Sc (/о) е'"^ dco В рассматриваемой задаче, как следует из (1.26), амплитуда сиг- нала U те рассматривается как показатель качества и, следова- тельно, в процессе синтеза может варьироваться. Но из (1.20) следует, что величина 5с (ja>)/Umc при этом изменяться не бу- дет. Поэтому выражение (1.28) устанавливает однозначную связь между искомой передаточной функцией Кф (/ю) и произведением Ki/с.дКз показателей качества, а не каждым из этих показателей в отдельности: каждому данному виду передаточной функции Кф (jw) могут соответствовать любые комбинации показателей KI, K.i и Кд, образующие соответствующее значение произведе- ния /Ср. Если потребовать Кр —- /q Кд Kg ^= mm, (1.29) то, как нетрудно убедиться из сравнения выражений (1.19) и (1.28), решение задачи (1.29) совпадает с решением приведенной выше задачи (1.18), так как в задаче (1.18) полагалось No = =- const и [/те = const, т. е. оптимальной оказывается переда- '^ Зак. 1179 ^ точная функция фильтра вида (1.21). Но этой передаточной функции соответствует не единственная комбинация значений по- казателей качества к^, /с.д, Кз, а бесконечное множество таких комбинаций, удовлетворяющих требованию (1.29). Смысл этого результата нетрудно понять, если учесть, что ус- ловие (1.29) можно выполнить, например, любым из следующих трех способов: 1. Обеспечить /q = min при Kg = const, Kg = = const. т. е. L/ш/с/см = min лри Umc == const, No = const. 2. Обеспечить Kg ^ min при K! =-= const, Ky = const, т. е. Umr, = min при l/ni/^cM = const, No == const. 3. Обеспечить /Сз ^ min при к^ = const, к^ ~- const т. е. No =- max при Uiu/и см = const, с/пгс = const. Естественно, в силу линейности синтезируемого фильтра, что все эти постановки задачи эквивалентны, т. е. приводят к одному и тому же оптимальному решению (1.21). На основании приведенных примеров можно сделать следую- щие заключения об условиях эквивалентности множества Мц8 систем S и множества Мцк соответствующих векторов К пока- зателей качества: 1. В общем случае множества M^s и Мцк не эквивалентны. 2. Возможны (а, строго говоря, всегда имеют место) случаи, когда одним и тем же вектором К обладает не единственная впол- не определенная система S, а некоторое множество систем. Поэтому в общем случае можно утверждать лишь, что данным вектором К обладает единственный вполне определенный класс систем. Если желательно сузить класс систем, необходимо изменить постановку задачи синтеза введением до- полнительных ограничений и (или) дополнительных показа- телей качества. 3. Если синтез необходимо выполнить лишь с точностью до класса систем (например, синтезировать лишь форму час- тотной и фазовой характеристик фильтра), то возможны случаи, в которых одному и тому же классу систем будет соответствовать не единственное вполне определенное значение вектора К, а не- которое множество значений вектора К, т. е. будет иметь место избыточность показателей качества. Для устранения этой избы- точности следует изменить исходные данные, например ввести не- который результирующий показатель /<р, однозначно связанный с искомым классом систем, или перевести часть показателей ка- чества в разряд ограничений типа равенства. 4. Из пп. 2 и 3 следует, что множества Мдз и Л1дк можно считать эквивалентными, если избыточные показатели качества отсутствуют, а под системой S понимается в общем случае класс систем, обладающих данным значением вектора К. В дальнейшем всюду, там где это не будет оговорено, пола- гается, что множества Мцз и Мдк эквивалентны и для них при- меняется одинаковое обозначение Л1д. Это допущение предпо- 34 лагает, что если исходные данные таковы, что существует избы- точность показателей качества или избыточность систем (т. е. класс систем, находимых в процессе или в результате синтеза, слишком широк), то эта избыточность ликвидируется путем со- ответствующей корректировки исходных данных. При. этом в даль- нейшем для краткости будем называть класс систем, соответст- вующих данному вектору К, системой (т. е. будем опускать сло- во «класс»). 1.4. ОСОБЕННОСТИ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ПРИ ДИСКРЕТНОМ ВЫБОРЕ СИСТЕМЫ, ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ И СИНТЕЗЕ СТРУКТУРЫ При дискретном выборе совокупность строго допустимых сис- тем образует в пространстве R'" показателей качества заданное дискретное конечное множество Л1сд точек (систем) (рис. 1.5), и задача синтеза состоит в выборе такой точки этого множества, которая обладает наилучшим значением вектора К. При оптимизации параметров варьируется совокупность (вектор) х = (X], ..., А",г> параметров системы S и требуется выбрать такое значение х этой совокупности, при котором век- тор К =~- показателей качества. Будем полагать, что зависимость между S и К взаимнооднознач- ная, и обозначим ее К - К (5). (1.35) [Случаи нарушения однозначности, т. е. наличия избыточных показателей качества или избыточных систем, рассматривались в § 1.4).] Тогда в пространстве R"1 показателей качества (рис. 1.7) каждой системе 5 будет соответствовать одна и только одна точка A (S), в которой вектор показателей качества равен К (S) и, наоборот, каждому значению вектора К (S), т. е. каждой точ- ке Л (S), будет соответствовать одна и только одна система 5. Так как на возможные значения вектора параметров х =•- ^-<-ti, ..., ХпУ, а значит, и на возможные (допустимые) системы 37 Рис. 1.7. 5 наложены ограничения [например, вида (1.31)], то допусти- мые значения вектора К в пространстве R'" ограничены неко- торой /п-мерной областью Мд. Вид этой области зависит как от ограничений (1.31), так и от вида целевых функций (1.30), т. е. определяется совокупностью {У, Os, CK.} исходных данных, принятых при формулировке задачи синтеза. Так как показатели качества должны удовлетворять опреде- ленным ограничениям [например, вида (1.18)], то из области ТИд должна быть выделена та строго допустимая область Л1сд. которая удовлетворяет этим ограничениям. При дискретном син- тезе совокупности строго допустимых систем соответствует в про- странстве R"' конечное множество точек. В отличие от этого при оптимизации параметров множество соответствующих точек в пространстве R'" (в невырожденном случае) бесконечное и име- ет мощность континуум. При этом задача оптимизации парамет- ров состоит в выборе такой точки (системы) из множества ТИсд, которой соответствует наилучшее (в смысле выбранного крите- рия предпочтения) значение вектора К. Рассмотрим теперь постановку задачи при синтезе струк- туры. С технической точки зрения синтез структуры отличается от оптимизации параметров тем, что в процессе синтеза струк- тура системы варьируется настолько существенно, что эти ва- риации не могут быть сведены к изменению конечного числа параметров системы. Например, варьируется не только число каскадов УПЧ, но и принципы построения каждого кас- када могут быть любыми в заданных пределах. Более строго, с математической точки зрения синтез структуры отличается от оптимизации параметров тем, что в процессе оптимизации варьируется не совокупность . -/с„^ (и выполнении ссех прочих условий У и ограничений Os, Ок, наложенных на систему). В этом случае целевые функции Fr Хп) играют роль функций ограни- чений f; (Xi, ..., x„), входящих в выражения (1.31). В некоторых случаях для определения целевых функций до- статочно провести обычный анализ системы. Действительно, если при изменении параметров x'i, ..., Хц структура системы остается полностью известной и неизменной (за исключением варьируе- мых параметров х^, ..., л'„), то, проведя известными способами (см., например, [20]) анализ этой структуры, мы найдем тем са- мым зависимость всех интересующих нас показателей /ч, .... Km от параметров л-i, ..., А'„, т.е. определим все необходимые для син- теза целевые функции. Однако в ряде случаев нельзя быть уверен- ными, что при вариациях параметров л-i, .... Хп структура сис- темы останется полностью известной и неизменной. Особенно это относится к конструкции системы, определяющей конструк- тивные и экономические показатели качества. 44 Рассмотрим в качестве иллюстрации этого положения сле- дующий пример1. Пусть требуется минимизировать суммар- ную стоимость С приемной и передающей частей радиолокатора, который должен обеспечивать заданную предельную дальность действия D == Do. (Здесь дальность Do определяется при нали- чии только внутреннего шума.) Минимизация должна быть обес- печена вариацией мощности Рддр передатчика и пороговой мощ- ности Рпр приемника. (Рпр — минимальная мощность сигна- ла на входе приемника, при которой обеспечивается заданное качество действия радиолокатора на фоне внутреннего шума.) В данном случае единственным минимизируемым показате- лем качества является величина к = С --- С, (2.2) -С, п"р пр' где Сцер и Спр — соответственно стоимости передатчика и при- емника. Варьируемыми параметрами являются мощности ^=Р„ер И .Y,=P„p. (2.3) Так как от параметров х^ и Ху зависит не только стоимость С, но и дальность D, то математически задача оптимизации сво- дится к следующему: Обеспечить к == F {Xi, х^) = mm при наличии ограничения D - f (х„ х,) = Do. (2.4) (2.5) Кроме того, очевидно, что в данном случае х^ и .^г должны удов- летворять следующим ограничениям: Xi > 0, х^ > 0. (2.6) Для решения поставленной задачи необходимо предваритель- но найти вид целевой функции F (х^, х^) и функции связи f (х^, х^). В данном случае функция связи находится путем анализа зависимости дальности действия D радиолокатора от параметров Pncv и -^пр и этот анализ приводит к известной формуле даль- ности действия, из которой следует, что D==a}' P^.JPw = " Т х^/Ху (2.7) где а — заданный постоянный коэффициент, зависящий от ра- бочей длины волны, усилений приемной и передающей антенн, эффективного отражающего сечения цели и других факторов. Этот пример предложен пвтору С. М. Зпйдолсм. 45 Рис. 2.1. "пер ^ Для определения целевой функции F (х^, х^) необходимо, как следует из (2.2)—(2.4), найти зависимости CIlep==Fl(paep)^ ^ ,п ^ С -F (Р } 1 ( ) "np—'al'np^ f Установить эти зависимости путем обычного анализа структур передатчика и приемника невозможно, так как при существен- ных вариациях мощностей P„gp и Рдр электрическая и особенно конструктивная структуры передатчика и приемника могут весь- ма существенно изменяться. Например, для улучшения порого- вой чувствительности Рпр приемника может потребоваться применение малошумящих входных устройств, а для увеличения Рцер — переход на другие типы электронных приборов, введе- ние охлаждения и т. п. В подобных сложных случаях задачу отыскания целевых функций называют синтезом целевых функций (или синтезом функций связи). В рассматриваемом примере задача сводится к синтезу це- левой функции F (х,, х^), а на промежуточных этапах — к син- тезу функций (2.8). Так как обычно конструктор не располагает достаточно полными априорными (исходными) данными, необ- ходимыми для точного определения функций (2.8), их вид мо- жет быть найден лишь одним из приближенных методов. Наибо- лее распространенными являются методы линейной или нелиней- ной интерполяции и- экстраполяции (детерминированной или статистической) искомых функций по нескольким опорным точ- кам (например, точкам А^, Л.д, А у, А^ на рис. 2.1). Данные для этих опорных точек могут быть получены путем расчета несколь- ких конкретных вариантов построения системы или взяты из опыта разработки подобных систем. Для рассматриваемого примера синтеза радиолокатора мож- но, например, приближенно полагать ^пгр ^ al + °i •РПРР' 1 (2.9) Г —П P~bгpПf) "пр - "2 - ' 46 i'/ie и^, а^, йд и йд — известные постоянные коэффициенты. Оче- видно, эти соотношения справедливы лишь при не слишком ма- лых значениях мощностей Рдер и ^пр> а именно при Р ~> Р 'пер sf- •'пер 0> Р "> Р ••Пр ^ 'пр О- Поэтому вместо ограничений (2.6) следует принять следующие более жесткие ограничения: у -'> у Р "^. Г) •ч f- -чо — 'п^р о -' "' Хд ^S Хдо -—— Рщ) о > 0. (2.10) При невыполнении любого из этих ограничений принятые ап- проксимации (2.9) неверны и должны быть скорректированы. Подставляя соотношения (2.9) в (2.2) и учитывая обозначения (2.3) и (2.4), получаем к = F (х^, х,) — Ci + &1 Xi + Яз ехр (— b^ x;). При этом, в соответствии с (2.4)—(2.7), математическая формули- ровка задачи синтеза принимает следующий вид: Обеспечить к == F (х^, х^) == а^ + ^i •""i + ^з exP(—^2 x-!} ^ mm (2-11) при условии, что (2.12) (2.13) f(x^, x^=a\/ х^/х^-=0д, А-1>А-Ю>0, Хз>Х2о>0. Из условия (2.12) следует, что (2.14) л-i = (Do/a)4-^. Подставляя это значение х^ в (2.11), получаем к == а^ -г ui (Do/a)4 ^ 4- а-г ехр (— &д Xg). Величина к минимальна при dulilx^ == 0, т", е. при ^ (Оу/а^—а^ Ь.^ ехр (—^ л-з) -- 0. Следовательно, оптимальные значения параметров л'а и х^ равны x^(\/b,)\n[(a^b,/b,)(a/D^], } ^=(Do/a)4^. ( При отыскании этих решений мы не учитывали, что приня- тые аппроксимации целевых ф)уикцпй справедливы лишь при вы- 1^ (2.15) полнении условий (2.13). Поэтому в действительности решения (2.15) дают достаточную точность лишь при выполнении условия х^х'^, (2.16) где Хао — наибольшая из двух величин — величины Xgo и ве- личины х'\ц = х^о (a/Do)4. (Если условие (2.16) не выполняется, то это означает, что аппроксимации (2.9) для целевых функций должны быть заменены другими аппроксимациями, более точ- ными в области малых значений мощностей.) Подставляя найденные значения Xi и х^, в (2.11), нетрудно найти минимальное значение суммарной стоимости системы. Из приведенного примера видно, что в общем случае задача отыска- ния целевых функций и функций связи не сводится только к ана- лизу системы и должна поэтому рассматриваться как задача синтеза целевых функций и функций связи. 2.2. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЭКСТРЕМУМА ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ После того как целевые функции и функции связи найдены, Наступает второй этап оптимизации — отыскание экстремума (максимума или минимума) целевой функции, являющейся в об- щем случае функцией многих переменных. Различают локаль- ный, глобальный, внутренний, граничный, условный и безуслов- ный экстремумы. Пусть функция F (х), где х == (л-i, ..., х„>, задана (опреде- лена) в некоторой области Х переменных х^, .,., Хп- Глобальным минимумом (максимумом) функции называется наименьшее (на- ибольшее) в пределах всей области Х значение этой функции. Если в некоторой точке х = а ^ Х функция F (х) имеет мень- шее значение, чем во всех точках х, принадлежащих малой ок- рестности точки а, то говорят, что в этой точке имеет место ло- кальный минимум функции F (х). Очевидно, если в пределах области Х имеется всего один минимум (максимум), то он обяза- тельно является глобальным. Экстремумы называются граничными, если они имеют место в граничных точках области X, и внутренними, если соответст- вуют внутренним точкам области (множества) X. Если на переменные л'1, ..., Хп не накладывается никаких ограничений (т. е. область Х неограничена), то экстремум на- зывается безусловным, а в противном случае — условным. Оче- видно, если условный экстремум оказывается внутренним, он совпадает с безусловным экстремумом. В практических задачах нас всегда интересует глобальный условный экстремум. Но часто для упрощения его отыскания приходится сначала находить безусловный локальный экстре- 48 мум или вообще сводить задачу на условный экстремум к соот- ветствующей задаче на безусловный экстремум. В дальнейшем для краткости под экстремумом, там где это не будет оговорено, будем понимать минимум (а не максимум) целевой функции. 2.3. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Непрерывная функция F (л-i, ..., Хп) достигает экстремума только в таких точках x=<;Ci, ..., л-тг), называемых критическими, для которых все /г первых частных производных обращаются в нуль (такие критические точки называются стационарными), либо одна или большее число таких производных перестают существовать (терпят разрыв). Следовательно, если в точке экстремума х == , (2.17) (2.18) (2.19) Точки, удовлетворяющие необходимым условиям (2.17), т. е. стацио- нарные точки, в общем случае могут бытть и не экстремальными, а седло- выми или точками перегиба. Кроме того, нас интересует не любой экстре- мум (максимум или минимум), а только экстремум определенного вида, в данном случае — минимум. Поэтому в общем случае после нахождения всех критических точек нужно вычислить соответствующие им значения функции F (,t:i, ..., Хп) и сравнять эти значения между собой. Наименьшее из них и является искомым глобальным минимумом функции. В простых случаях для выяснения того, какие из найденных стацио- нарных точек являются точками минимума, можно воспользоваться еле- , дующими достаточными условиями существования локального минимума функции. Если функция F (Jt-i, ..., Хп) имеет в некоторой окрестности точки (QI, ..., an) непрерывные вторые частные производные и если в этой точке выполняются условия (2.17), то достаточное условие того, что в этой точке имеет место локальный минимум, таково: где i - 1, F., ., • 11,• ^., FX. X, • •F^ -, ) (2.20) Здесь обозначено F,^-^/c5xt f^ ^_=д2F/дXlдx2 и т. д. 4<) 2.4. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧИ ОТЫСКАНИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА В общем виде задачу отыскания условного экстремума (ми- нимума) функции у == F (л-i, ..., Хп) удобно записать следующим образом: Найти вектор х == <^i, ..., Хп'>, обеспечивающий F(Jq, .... .r„)=min (2.21a) при условиях Ф;(^, .... -<„)--О, ф,.(^, ..,, -f„XO, Х^О, l=li, ..., 1т „ „(I) y(2) (N) л\ ^== Лу , Лу , . . . , Лу ? V==V^, ..., Vm„ где /«i < /г, Отз<^ га, m^: t --^ 1 , ОТ I» J -^ 1, /Па, (2.216) (2.21в) (2.21г) (2.21д) (2.21е) (или Vi, ..., VnJ (2.21ж) — некоторые /Пз (или ^4) индекса из системы индексов 1, 2, ..., п. В дальнейшем ограничения типа (2.21 б, в, г, д) будем на- зывать соответственно ограничениями типа равенств, нера- венств, неотрицательности и дискретности. Очевидно, ограниче- ния типа неотрицательности являются частным случаем ограни- чений типа неравенств. Действительно, например, ограничение вида л"; ^ 0 можно всегда представить в виде Ф (л;;) sS; 0, где ф (xi) = —Xi. Однако, несмотря на это, обычно удобно записы- вать' такие простейшие ограничения отдельно, так как методы их учета могут быть иными, чем сложных ограничений (2.21 в) типа связи. В выражениях вида (2.21 в) неравенства имеют вид $S U (а не >0) и стоят только справа. Однако нетрудно убедиться, что к ним могут быть сведены и более общие неравенства, например вида Л<Ф(х„ .... х„)<Д. (2.22) Действительно, неравенству (2.22) эквивалентны два неравенства вида Ф(^, ..., л:п)<5, \ /З ^ Ф(х„ ..., х„)^А. \ Поэтому, если положить Ф(х„ .... х„)-В=Ф,{х„ ..., -v„) 50 А-Ф(х„ ..- Ф.д(л:1, ..., -\-„), то неравенство (2.22) может быть записано в виде следующих неравенств: 01 (Xi, ..., А-„)<0, Ф,(х„ ..., .<„)<0. (2.24) Из этих примеров видно, что запись совокупности Os огра- ничений в виде соотношений (2.21 б, в,, г, д) является достаточ- но общей1. Решение Хд, удовлетворяющее всей этой совокупности огра- ничений, как уже отмечалось выше, называется допустимым. Следовательно, задача сводится к нахождению такого решениях, которое, являясь допустимым, в то же время доставляет функ- ции F (х) минимальное значение. Будем полагать, что такое решение существует (т. е. исходные данные непротиворечивы и корректны). Задача (2.21) является в общем случае задачей нелинейного программирования и притом настолько сложной, что единого метода ее решения, в равной мере приемлемого во всех конкрет- ных частных случаях, не существует. Поэтому ниже рассматри- вается совокупность методов, которые по отдельности или в опре- деленном сочетании позволяют в каждом конкретном случае получить решение. Прежде чем решать задачу (2.21), целесообразно проверить, нет ли между какими-либо из ограничений вида (2.216) или (2.21в) зависимости, и исключить лишние ограничения из рас- смотрения. Здесь два ограничения Ф1 (х) =0 и Фз (х) -= О [или ограничения Ф^ (х) ^ 0 и Фд (х) s^ 0] считаются зависи- мыми, если из одного из них однозначно следует другое. При этом ограничение, которое вытекает из другого ограничения, должно быть отброшено (исключено из дальнейшего рассмотрения) как излишнее. Например, если Ф^ (х) = л-i — 2х^, а Ф^ (х) -- = 4х^ — 8.^2 пли Ф^ (х) =- A-i^a, а Ф^ (х) =^ х^, то из Ф^(\)—-0 вытекает Фд (х) = 0, и наоборот; поэтому одно из этих огра- ничений (любое) должно быть отброшено. 1 Вообще говоря, кроме указанных выше ограничений, возможны ог- раничения так называемого дихотомического вида [14], состоящие в том, что параметр Xj [j ^— I, T|) может принадлежать лишь к одной из непере- секающихся областей A"i, Л"з, ..., Х . т. е. Xj должен удовлетворять ограничению вида «либо—либо»: либо Xj • Ху, либо х, ^ X,, ... либо Xj •"- Х . (Например, должно быть «либо 1 < Xj •:. 2, либо 5 - л, ; 10»). Очевидно, ограничение типа дискретности является частным случаем ди- хотомического ограничения, при котором множества (области) Х^, ..., Х являются вырожденными, т. е. содержат всего по одной точке. 51 Если 0i (х) = х^ — х^, я Фа (х) = Xi — д:2 + 10> то и3 Фа (х) ^ 0 вытекает Ф^ (х) $д 0 (но обратное не имеет места): поэтому ограничение Ф^ (х) •^ 0, как более слабое, должно быть отброшено. В дальнейшем будем полагать, что все зависимые (из- лишние) ограничения исключены из рассмотрения и, следова- тельно, все ограничения в задаче (2.21) являются в этом смысле независимыми. Для решения задачи (2.21) с методической точки зрения наиболее естественным и простым кажется следующий метод. Сначала решается задача (2.21 а) без учета каких-либо огра- ничений, т. е. отыскивается решение х, соответствующее безу- словному экстремуму функции (2.21а)1. Затем проверяется, удовлетворяет ли это решение всей совокупности ограничений. Если удовлетворяет, то, очевидно, оно и является решением задачи. Однако при наличии столь жестких ограничений, как огра- ничения типа равенств (2.216) и типа дискретности (2.21д), ма- ловероятно, что решение х, найденное без учета ограничений, ока- жется допустимым, и, следовательно, указанный метод, как пра- вило, не позволит решить задачу. Поэтому отбрасывать на пер- вом этапе все ограничения и решать задачу отыскания безуслов- ного экстремума может иметь смысл лишь в тех случаях, когда ограничения типа равенств и дискретности вообще отсутствуют или если их удалось предварительно исключить путем соответст- вующих преобразований, указанных ниже. Однако не следует думать, что отбрасывание ограничений, даже если оно возможно, всегда упрощает задачу отыскания экстремума. Действительно, отбрасывание ограничений позво- ляет оперировать лишь с целевой функцией (2.21а), не обращая внимания на все остальные зависимости (2.21 б, в, г, д). Это обстоятельство при прочих равных условиях является упрощаю- щим. Но зато экстремум функции (2.21 а) приходится искать в не- ограниченной (т. е. весьма большой) области изменения ее пе- ременных (вместо того, чтобы искать егэ лишь в ограниченной области), что при прочих равных условиях является усложняю- щим фактором. Кроме того, как будет показано ниже, наличие ограничений типа равенств в ряде случаев позволяет уменьшить число варьируемых переменных от п до п — т^чтопри прочих равных условиях является упрощающим фактором. Иначе говоря, при отбрасывании ограничений задача оты- скания экстремума может как упроститься, так и усложниться 1 Очевидно, если при отсутствии ограничений целевая функция не имеет минимума (максимума), то отбрасывание ограничении недопустимо даже на первом шаге решения, 52 в зависимости от вида целевой функции-и характера ограничений. В общем случае заранее не удается определить, даст ли отбра- сывание ограничений упрощение или усложнение задачи. Можно лишь отметить, что чем проще целевая функция и чем сложнее ограничения, тем больше оснований пытаться решать сначала задачу безусловного, а не условного экстремума. Следовательно, в большинстве реальных случаев начинать задачу отыскания экстремума с отбрасывания всех ограничений нецелесообразно и приходится учитывать эти ограничения с са- мого начала. При этом, естественно, возникает вопрос: если ог- раничения невозможно отбросить, то нельзя ли провести в зада- че (2.21) такие преобразования, чтобы свести ее к задаче на бе- зусловный экстремум? Как будет показано ниже, в ряде случаев такое преобразование возможно и целесообразно; в других слу- чаях оно возможно, но нецелесообразно и, наконец, в некоторых случаях оно невозможно. 2.5. УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИЙ ТИПА ДИСКРЕТНОСТИ Решение задач с ограничениями типа дискретности является предметом специального раздела математического программи- рования, называемого дискретным1 программированием. Диск- ретному программированию в последние годы посящен ряд моно- графий [10, 14 и др.[. Однако достаточно эффективные регуляр- ные точные методы дискретного программирования (при наличии, кроме того, и других видов ограничений) в настоящее время раз- работаны только для сравнительно простых задач. Поэтому мы остановимся здесь лишь на двух, в методическом отношении наи- более простых, методах. Первый метод применим, если числа N и т^ невелики. В этом случае ограничение типа дискретности имеет небольшое число переменных (например, только два переменных), и каждое из этих дискретных переменных может принимать лишь небольшое число значений (например, всего два значения). Поэтому можно решать задачу (2.21) отдельно для каждой возможной комбина- ции значений дискретных переменных (например, для четырех комбинаций д'1 •= 1, л"2 = 3; х^ ^ 1, х», — 4; х.\~- 2, х, -= = 3; A'i —- 2, ,<2 = 4), скажем в следующем порядке. Сначала проверяется допустимость каждой комбинации и недопустимые комбинации отбрасываются. Затем для каждой допустимой ком- бинации решается задача на условный экстремум функции (2.21 а) ч после сравнения соответствующих минимальных значений ' Иногда вместо термина «дискретный» применяют «цслочислсннын», так как ограничения типа дискретности (2.21д) могут быть сведены к Or- 1, 2, 3, .... N. 53 функций F (х) выбирается то значение вектора х, которому соот- ветствует наименьший из минимумов. Как видно, при этом методе задача отыскания условного экстремума при ограничениях типа дискретности разбивается на ряд промежуточных задач, в каждой из которых вместо ограни- чений типа дискретности фигурируют ограничения типа равенств (например, ограничения вида х^ = 1, х^ == 3). При этом полу- ченное решение оказывается точным, но процедура его нахожде- ния с ростом чисел N и т^ резко усложняется. Поэтому, если N и m.j значительно больше единицы, приходится применять ка- кой-либо другой метод. Рассмотрим в качестве примера следую- щий метод. Пусть на Xv наложено ограничение вида (2.25) N. 2, 3, где N » 1. На первом этапе заменяем дискретное переменное (2.25) не- прерывным переменным, изменяющимся в тех же пределах, т. е. полагаем 1 < Ху < N (2.26) или, что эквивалентно, Лу-Л'<0, 1—л-у<0. Иначе говоря, одно ограничение типа дискретности заменяется на два ограничения типа неравенств. С учетом ограничений (2.27) и всех прочих ограничений (среди которых нет ограничений типа дискретности) находим приближенное оптимальное решение х' задачи (2.21). Пусть, например, вектору х' соответствует зна- чение Xv =-- 2,4. На втором этапе в соответствии с (2.25) выбираем в качестве л\, ближайшее целое число или для большей надежности ближай- шее меньшее и ближайшее большее целые числа. Например, в данном примере полагаем Xv ---- Xv — 2 и A'v -- x'v - 3. Если оба этих значения переменного Xv не являются недопусти- мыми с точки зрения остальных ограничений, то на третьем эта- пе можно решить задачу (2.21) отдельно для каждого из этих ограничений на величину д\ (и при учете всех остальных огра- ничений). Сравнив полученные в результате каждого такого решения значения функции F (х) и выбрав то значение х, которо- му соответствует меньшее значение этой функции, найдем тем самым окончательное решение. Очевидно, при данном методе это решение в общем случае оказывается приближенным, (2.27) Из приведенного примера видно, что при втором методе каж- дое ограничение типа дискретности сводится сначала к двум ограничениям типа неравенств, а затем — к ограничению типа равенства (если берется ближайшее целое число) или опять к ог- раничению типа дискретности, но лишь с двумя возможными целыми значениями (ближайшим меньшим и ближайшим боль- шим). Эта последняя задача может затем решаться первым ме- тодом. Таким образом, применяя указанные выше методы, можно свести задачу дискретного программирования к решению одной или нескольких задач, в которых ограничения типа дискретно- сти отсутствуют. 2.6. УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИИ ТИПА РАВЕНСТВ Ограничения типа равенств представляют совокупность т^ уравнений 01 Qq, .... х„)=0, 0^1 (Xi, ..., ^)=0 (2.28) с п неизвестными (х^, ..., Хп). Если удается совместно решить эти уравнения относительно т^ переменных, то подстановкой ре- зультатов решения в выражения (2.21а) и (2.21 в, г, д) задача (2.21 а) сводится к отысканию условного экстремума функции (п — /га^) переменных при отсутствии ограничений типа равенств, т. е. при наличии ограничений лишь типа неравенств, неотрица- тельности и дискретности. В ряде случаев'может оказаться', полезным также следующий метод, называемый '^методом неопределенных множителей Лаг- ранжа. Пусть все ограничения имеют вид равенств (т. е. ограничения типа неравенств, неотрицательности и дискретности отсутству- ют). Пусть, кроме того, функции F (л-i, ..., х„) и Ф; (л-i, .... х^), i = 1, q непрерывны и обладают непрерывными частными про- изводными, причем в точке х = выполняется условие регулярности [9], т. е. определитель матрицы дФ1 (х) дх; дФ1 (х) дх. (2.29) дх. дх. не равен нулю. [Здесь г^, ..., i„i, — произвольные т^ индексов из системы индексов 1, ..., п.} Тогда справедлива следующая теорема. Если функция F (х^, ..., Хп) достигает своего экстремума при условиях (2.28) в точке х, то существуют такие числа К^, ..., Кпц, что для функции Рл(х, ^)=--F(x^, ..., xJ+ mi + S W-^l, .•.,-V„) (2.30) в точке х выполняются необходимые условия безусловного экст- ремума, т. е. (2.31) Функция Ел (х, ^) называется функцией Лагранжа, а числа K]_, ..., 'kmi—множителями Лагранжа. Таким образом, вычис- ление условного экстремума функции F (х-^, ..., х^) сводится к отысканию безусловного экстремума функции Лагранжа (2.30). При этом методика нахождения условного экстремума функции F (х^, ..., Хп) состоит в следующем. Прежде всего образуется функция Лагранжа (2.30), в ко- торой j (Xi, ..., Хп)—заданные функции ограничений (2.28), а \, — некоторые пока неопределенные множители. Затем записываются необходимые условия безусловного экстремума функции Лагранжа, т. е. п уравнений следующего вида: (2.32) Эти п уравнений образуют с т^ уравнениями ограниче- ний (2.28) систему из (п + т^) уравнений с (п + т^ неизвест- ными: п неизвестными переменными х^, ..., Хп и т^ неизвестными множителями Лагранжа ^i, ..., Кт^. Решение этой системы урав- нений позволяет определить как множители Лагранжа, так и значения х^, ..., Хп переменных х^, ..., Хп. В силу приведенной выше теоремы Лагранжа эти значения л-i, ..., Хп удовлетворяют необходимым условиям экстремума, т. е. соответствуют точкам экстремума или седловым точкам. Поэтому в дальнейшем оста- ется лишь выяснить, содержатся ли среди них точки, в которых имеет место минимум и, если содержатся, то какой точке соот- ветствует глобальный минимум. Решение этой задачи может производиться способами, указанными выше, применительно к задачам на безусловный экстремум. 56 2.7. УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИЙ ТИПА НЕРАВЕНСТВ Пусть одним из указанных выше методов задача отыскания экстремума приведена к такому виду, в котором ограничения типа равенств и типа дискретности отсутствуют (или ограничения такого вида отсутствуют в исходной задаче). Тогда задача мини- мизации целевой функции может быть записана в следующем виде: Обеспечить Р(л"1, ..., x„) -^ min при условиях Ф, (Xi, ..., х„)<0, Ф„гДх^ ..., Х„)ЩО, Xi^O, l^l„ ..., /, (2.33) (2.34) (2.35) т. е. при наличии ограничений лишь типа неравенств и неотри- цательности . Один из возможных методов решения этой задачи состоит в введении в каждое из неравенств (2.34) дополнительного (свободного) неотрицательного переменного, дополняющего это неравенство до равенства. Это значит, что ограничения (2.34) заменяются на следующие ограничения: 0l(A-l, ..., Х„)+Х,^--0, (2.34') Фmг(xl^ •••' -^п) +'\"7i-г^r2--'^> где .<„+!> О, ..., х„+^>0. (2.34") Целевая функция (2.33) при этом не изменяется или, что экви- валентно, заменяется на функцию FI^I, ..., -r„+n„)-F(A-i, ..., Х„)+ +0.х,,ц + ... +0.^,„„ (2.33') в которую дополнительные переменные входят с нулевыми ве- сами. Замена ограничений (2.34) на (2.34') и (2.34") и целевой функ- ции (2.33) на функцию (2.33') не изменяет результатов решения. Действительно, из совокупности ограничений (2.34') и (2.34") однозначно вытекают исходные ограничения (2.34), а функция (2.33') совпадает с исходной целевой функцией (2.33). Следова- тельно, введение указанных выше дополнительных (свободных) переменных A"„+i, ..., x,i+„i, допустимо и оно сводит исходную задачу (2.33)—(2.35) к задаче Fi(^i, ..., x„+^)=F(x^, ..., х„)+ +0-Л-П+1+ ... +0-х„^=тт при условиях 01 Qq, ..., X,,)+X„+i=0, (^.00; ^mz^l» •••i xn} ~\~xn+m•^'=Q^ ^>о, г=/„ ..., /„,, ^'71+1 > 0, ..., .^+„,„>0, т. е. к задаче, в которой ограничения типа неравенств отсут- ствуют, а остаются лишь ограничения типа равенств и типа неотрицательности. Ограничения типа неотрицательности по своему виду весьма просты, и во многих случаях наличие таких ограничений даже упрощает задачу очыскания экстремума, так как сокращает область изменения варьируемых переменных. Однако вследствие введения дополнительных переменных Хп-ц, •••, Хп+т, общее число варьируемых переменных увели- чивается от п до п + /Ttg, что может существенно затруднить отыскание экстремума. Поэтому применение изложенного ме- тода учета ограничений типа неравенств не всегда целесооб- разно. Рассмотрим теперь другой метод отыскания экстремума при ограничениях типа неравенств. Этот метод основан на теореме Куна и Таккера [12, 13] и заключается в следующем. Требуется обеспечить F(x^, ..., A:„)^min, при условиях Ф,(х^, .... ^п)<0, х,>0, i-=~\~n. ]==.}, пц, (2.37) (2.38) (2.39) Ограничения вида (2.39) могут отсутствовать или содержаться в ограничениях (2.38). Ограничимся случаями, в которых функции F (х^, .., х„) и Ф, (д'1, ..., Хп), j == 1, /"з — выпуклые. При этом множество /? значений вектора х = тогда и только тогда является ре- шением задачи (2.37)—(2.39), когда существует вектор К =-- = <^i, .... Кщ,'> такой, что Fn(x, ?.)<Рл(х, X) О г) (^л/^.)х, -^<0, д) ^ (uF.n/(^)x, ;. - О, е) Kj > О для i =- 1, п, (2.44) ДЛЯ /--- 1, 1Tl,_. Условия Куна—Таккера справедливы и при некоторых ва- риациях задачи (2.37)—(2.39) [13]. Например, если ограниче- ния (2.39) отсутствуют, то три условия (2.44 а, б, в) заменя- ются условием X, •).= =0. (2.45) Из изложенного следует, что в случае задач минимизации вида (2.37)—(2.39) возможна следующая методика их решения. Сначала образуется функция Лагранжа Fn (х, ^) вида (2.42). Затем отыскивается комбинация (х, К) векторов х и К, при кото- рой функция Fn (х, ^) имеет (в области х > О, Х > 0) седло- вую точку, т. е. точку, в которой функция FJI (х, ^) имеет ми- нимум по х и максимум по К. Если функции F (х) и Ф] (х), ; = =1, m.i дифференцируемы, то искомой (неотрицательной) седловой точке соответствуют такие (х, iC), которые удовлетво- ряют условиям (2.44). Рассмотрим простейший пример, иллюстрирующий применение метода Куна—Таккера. Пусть требуется обеспечить F (л:) = Ci д-1 -; с;, х.^ — n i n при ограничениях (?1Л;1-[-Оз Х^.гЬ, Х^О. Д'2>0. Здесь CJ, C2, ai, а^, Ь — известные положительные числа, причем Ca/Ci из/0!. Из (2.38) и (2.47) следует, что функция связи Ф (х) имеет вид Ф (х) =Ь—{а^ х^^-а^х^). Поэтому, в соответствии с (2.42), функция Лагранжа равна Гд(х, 5.)=Р(х)-^Ф(х)= (2.46) (2.47) .(2.48) (2.49) (2.50) —С1Д-1-1-д;л-д+^(/1— а^х^—п^ х^\, 60 'Гак как функции (2.46) и (2.50) дифференцируемы, то справедливы соот- ношения (2.44) Куна—Таккера. В данном случае n = 2, т^ = 1 и с учетом (2.51) соотношения (2.44) принимают следующий вид: с^—^,а^> О, Са—Ка^>0. х^ (ci —Xai)^0, л-2 (Сз — ^аг^О х^>0, х^>0, Ь— а.у х^— а^Хч, О, К (Ь—а^ х\— а; л-г) ^=0, 5С>0. (2.52) (2.53) (2.54) (2.55) (2.56) (2.57) (2.58) (2.59) Эту систему равенств и неравенств следует решить относительно неизвест- ных Xi, х^ и \. Из (2.59) следует, что может быть К -- }^ — 0 или К •~- ^з ^ 0- Если принять ^ = ?ч ^ 0, то из (2.54) и (2.55) получается л-i — 0, х^ =^ 0- При этом из (2.57) следует, что должно быть Ь < 0, что противоречит исход- ным данным (т. е. условию Ь > 0). Таким образом, следует полагать ^ = — ^.2 -^ 0 и из (2.58) имеем 01^1+02^2= Ь. (2.60) Следовательно, для определения х^ и л-з требуется еще одно уравнение, связывающее Xi и х^. Если в соответствии с (2.54) и (2.55) принять Xi •-•= 0, л-а ^ 0, то из (2.57) получится Ь < 0, что противоречит исходным данным о том, что Ь > 0. Следовательно, решение х^ = 0, х^ = 0 не подходит. Проверим, подходит ли решение л-i = 0, х^ =f= 0. При таком решении из (2.55) следует, что и = с^/а^. Это значение 1 не противоречит соотно- шению (2.54), но после подстановки в (2.53) дает Ci—(c.2/a2) ai>0, т. е. с-г/Ci •' Яг/"!. что противоречит исходным данным [неравенству (2.49)]. Следовательно, решение х^ = 0, л-г 4= 0 также не подходит. Проверяя аналогичным образом другое возможное решение, а именно х^=1=0, л'2 —: 0, находим, что это решение удовлетворяет всем условиям (2.52)—(2.59) и не противоречит исходным данным, т. е. действительно является решением задачи. Поэтому окончательно с учетом (2.60) полу- чаем х, = О, (2.61) При таких значениях переменных функция (2.46) имеет минимальное зна- чение, которое равно (2.61/) 61 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. В е н т ц е л ь Е. С. Исследование операций. М., «Сов. радио», 1972. 2. Г е р м е и е р Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М., «Наука», 1971. 3. Ч у ев Ю. В., Спехова Г. П. Технические задачи исследования операций. М., «Сов. радио», 1971. 4. Карлин С. Математические методы в теории игр, про- граммировании и экономике. М., «Мир», 1964. 5. Л ь ю с Р. Д., Р а и ф а X. Игры и решения. М., ИЛ, 1961. 6.Блекуэлл Д., Гиршик М. А. Теория игр и статистических решений М., ИЛ, 1958. 7.Эрроу К., Гурвиц Л., Удзава X. Исследо- вание по линейному и нелинейному программированию. М., ИЛ, 1962. 8. X е д л и Д. Нелинейное и динамическое программиро- вание. М., «Мир», 1967. 9. Ю д и н Д. Б., Г о ль штейн Е. Г. Линейное про- граммирование. М., «Наука», 1962. 10. Г о л ь д ш т е и н Е. Г., Юдин Д. Б. Новые на- правления в линейном программировании. М., «Сов. радио», 1966. П.Ромакин М. И. Элементы линейной алгебры и ли- нейного программирования. М., «Высшая школа», 1963. 12.3уховицкий С. И., Авдеева А. И. Линей- ное и выпуклое программирование. М., «Наука», 1967. 13. К ю н Г. П., К р е л л е В. Нелинейное программи- рование. М., «Сов. радио», 1966. 14. К о р б у т А. А., Ф и н к е л ь ш т е и н Ю. Ю. Дис- кретное программирование. М., «Наука», 1969. 15. Анисимо в-С пиридонов Д. Д. Методы и моде- ли больших систем, оптимального планирования и уп- равления. М., «Наука», 1969. 16. Ц ы п к и н Я. 3. Адаптация и обучение в автомати- ческих системах. М., «Наука», 1968. 17. Ц ы п к и н Я. 3. Основы теории обучающихся систем. М., «Наука», 1970. 18. Радиоуправление реактивными снарядами и космически- ми аппаратами. М., «Сов. радио», 1968. Авт.: Л. С. Гут- кин, Ю. П. Борисов, А. А. Валуев и др. 19. Г у т к и н Л. С. Теория оптимальных методов радио- приема при флуктуационных помехах. 2-е изд. М., «Сов. радио», 1972. 20. Математические основы современной радиоэлектроники. М., «Сов. радио», 1968. Авт.: И. А. Большаков, Л. С. Гут- кин, Б. Р. Левин, Р. Л. Стратонович. 21. Колосов А. А. Резонансные системы и резонансные усилители. М., Связьиздат, 1949, 358 '22. Вопросы статистической теории радиолокации. М., «Сов. радио». Т. 1, 1963, т. 2,1964. Авт.: П. Л. Бакут, И. А. Боль- шаков, Б. М. Герасимов и др. 23. Конторов Д. С., Голубев-Новожилов Ю. С. Введение в радиолокационную системотехнику. М., «Сов. радио», 1971. 24. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Т. 2. М., «Сов. радио», 1960. 25. Л е м а н Э. Проверка статистических гипотез. М., «Наука», 1964. 26. Математическая теория оптимальных процессов. М., Физ- матгиз, 1961. Авт.: Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе и др. 27. Б е л л м а н Р. Динамическое программирование. М., ИЛ, I960. 28. О к у н с н Ю. П. Опыт оптимального проектирования систем связи. Ленинградский дом научно-технической пропаганды, 1972. 29. Р а с с т р и г и н Л. А., С ы т е н к о Л. В. Много- канальные статистические оптимизаторы. М., «Энергия», 1973. 30. Б у с л е н к о Н. П., Ш р е и д е р Ю. А. Метод статистических испытаний. М., Физматгиз, 1962. 31. Проблемы планирования экспериментов. Сб. статей. Под ред. Г. К. Круга. М., «Наука», 1969. 32. Котельников В. А. Теория потенциальной по- мехоустойчивости. М., Госэнергоиздат, 1956. 33. Новейшая теория регулирования. Под ред. Л. Леондеса. М., «Наука», 1968. 34. В а л ь д А. Последовательный анализ. М., Физматгиз, 1960. 35. Д о б р о в Г. М. Прогнозирование науки и техники. М., «Наука», 1969. 36. Ш р е и д е р Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М., «Наука», 1971. 37. С и ф о р о в В. И. О влиянии помех на прием импульс- ных радиосигналов—«Радиотехника», 1946, т. 1, №1. 38. Д и к с о н Д. Проектирование систем: изобретательство, анализ и принятие решений. М., «Мир», 1969. 39. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М., «Наука», 1970. 40. Гранберг А. Г. Проблема транзитивности индиви- дуальных и коллективных решений при построении целе- вых функций. М., «Наука», 1966. 41. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике. М., «Наука», 1968. 42. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., «Наука», 1968. 43. В у л и х Б. 3. Введение в функциональный анализ. М., «Наука», 1967. 44. Шихан ович Ю. А. Введение в современную ма- тематику. М., «Наука», 1965. 45. Ц л а ф Л. Я. Вариационное исчисление и интеграль- ные уравнения. М., «Наука», 1970. 46. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М., Физматгиз, 1961. 47. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., «Наука», 1965. 359 48. Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. М., «Наука», 1968. 49. С е а Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М., «Мир», 1973. 50. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дис- кретными системами. М., «Наука», 1973. 51. В о л к о в и ч В. Л. Методы принятия решений по мно- жеству критериев (обзор). — В кн.: Труды семинара «Сложные системы управления». Киев, 1968, вып. 1. 52. В о л к о и и ч В. Л. Многокритериальные задачи и ме- тоды их решения. — В кн.: Сложные системы управле- ния. Киев, «Наукова Думка», 1969. 53. Борисов В. Л. Выбор решения в случае нескольких критериев или проблема векторной оптимизации.- «Информационный бюллетень Научного совета АН СССР по проблеме конкретных социальных исследований», 1969, вып. 2, № 14 (29). 54. П о д и н о в с к и и В. В. Применение процедуры ми- нимизации основного локального критерия для решения задач теории векторной оптимизации. — В кн.: Управ- ляемые системы, Новосибирск, 1970, вып. 6. 55. Подиновский В. В. Лексикографические задачи линейного программирования. — «Журнал вычислитель- ной математики и математической физики», 1972, № 6. 56. Подиновский В. В. Лексикографические задачи оптимизации в условиях неограниченности. — «Техни- ческая кибернетика», 1973, № 1. 57. Гуткин Л. С. О синтезе радиосистем по нескольким показателям качества. — «Радиотехника», 1972, т. 27, № 7. 58. Гуткин Л. С. О синтезе систем по безусловному кри- терию предпочтения. — «Техническая кибернетика», 1972, № 3. 59. Гуткин Л. С. О синтезе радиосистем весовым мето- дом. — В кн.: «Труды Московского энергетического ин- ститута. Радиотехнические системы», 1972, вып. 117. 60. Гут кин Л. С. О синтезе радиосистем комбинирован- ными методами. — В кн.: «Труды Московского энерге- тического института. Радиотехнические системы». 1972, вып. 117. 61. Гуткин Л. С. О применении метода крайних точек при синтезе по векторному критерию. I, II. — «Техни- ческая кибернетика», 1973, № 4, 5. 62. Ю р е н е в И. П. Выбор критерия и метод оптимиза- ции электронных схем. — «Радиотехника», 1971, т. 26, №6. 63. Иванов С. Р., Мулярчик С. Г., Норен- к о в И. П. Расчет оптимальных значений параметров электронных схем. —«Радиотехника», 1971, т. 26, № 11. 64. Робине он. Обзор методов проектирования систем управления полетом. — «Вопросы рекетной техники», 1969, № 9, 1969, № 10. 65. Батищев Д. П. Математические методы оптималь- ного расчета электронных схем. — «Известия вузов СССР. Радиоэлектроника», 1970, вып. 6. 66. Макаров И. М., Озерной В. М., Ястре- бов А. П. Принятие решения о выборе варианта слож- ной системы автоуправления. — «Автоматика и телемеха- ника», 1971, № 3. 360 67. С а л у к в а д з е М. Е. Об оптимизации векторных функционалов. — «Автоматика и телемеханика», 1971, № 8, 9. 68. Салуквадзе М. Е. О задаче линейного програм- мирования с векторным критерием качества. — «Автома- тика и телемеханика», 1972, № 5. 69. О з е р н о и В. М. Принятие решений (обзор). — «Ав- томатика и телемеханика», 1971, № 11. 70. Ларичев О. И. Человеко-машинные процедуры принятия решений (обзор). — «Автоматика и телемехани- ка», 1971, № 12. 71. Макаров И. М., Озерной В. М., Я с т р е- б о в А. П. Выбор принципа построения сложной систе- мы автоуправления на основе экспертных оценок. — «Автоматика и телемеханика», 1971, № 1. 72. Гуськов Ю. П. Оптимизация дискретных стохасти- ческих систем по двум критериям качества. — «Автома- тика и телемеханика», 1970, № 10. 73. Ш а п о т Д. В. О построении критериев качества тех- нических объектов. — «Техническая кибернетика», 1971, №6. 74. Крыжановский Г. А. Комплексные показате- ли качества для оптимального проектирования прибо- ров. — «Измерительная техника», 1971, № 3. 75. К о ж и н с к а я Г. И., Слуцкий Л. И.. Роль способа свертывания в векторной оптимизации. — «Авто- матика и телемеханика», 1973, № 3. 76. В и л к а с Э. И., М а п м а н а с Е. 3. К проблеме сложных решений (постановка и подходы). — «Киберне- тика», 1968, № 5. 77. Б а б ч у к В. Г. Выбор глобального критерия в задаче принятия сложного решения. — В кн.: Труды семинара «Сложные системы управления», вып. 2, Киев, «Наукова Думка», 1969. 78-Гермейер Ю. Б. О свертывании векторных крите- риев эффективности в единый критерий при наличии неоп- ределенности в параметрах свертывания. — В кн: «Ки- бернетику — на службу коммунизму». М., «Энергия», 1971. 79. Оперативное управление воздушным движением с учетом нескольких критериев оптимальности. — В кн.: Ки- бернетика и вычислительная техника, вып. 1. Киев, «Наукова Думка», 1969. Авт.: А. И. Волевич, В. Л. Вол- кович, Л. Ф. Д а р г е и к о и др. 80. Воробьев Н. Н. Развитие науки и теория игр. Проблемы общей и социальной прогностики. — Инфор- мационный бюллетень научного совета АН СССР по проблеме конкретных социальных исследований, 1969, вып. 2, № 14 (29). 81. Юттлер X. Линейная модель с несколькими услов- ными функциями. — «Экономика и математические мето- ды», 1967, т. 3, № 3. 82. Л е б е д е в Б. Д., Подиновский В. В., С т ы - рикович Р. С. Задачи оптимизации по упорядо- ченной совокупности критериев. — «Экономика и мате- матические методы», 1971, т. 7, №4. 83. Р а г е t о V. Cours d'economie politique, Lausanne, Rouge, 1896. 361 84. Zadeh L. A. Optimality and nonscalar-valued per- formance criteria. — «Trans. IEEE», AC-8, 1963, № 1. 85. С u n h a N., P о 1 a k E. Constrained minimization under vectur-valued criteria in finite dimensional spaces. — J. of Math. Anal. and Appl.», 1967, v. 19, № 1, July. 86. R e i d R. W., С i t г о n S. J. О векторных критериях качества, не допускающих полной оптимизации. — «Экспресс-информация. Сер. Техническая кибернетика», 1971, № 12. 87. В г i s k i n L. A. Method of infying multiple objective Functions. — «Management Science», 1966, v. 12, № 10, July. 88. G e о f f r i о n A. M. Solving bicriterion mathematical programme. — «Operation Research», 1967, v. 15, № 1. 89. Geoffrion A. M. Proper efficiency and the theory of vector maximization. — «J. of Math. Anal. and Appl.», 1968, у. 22, № 3. 90. К 1 i n g e r A. A. Improper solutions of the vector ma- ximum.—«Operation Research», 1967, v.l5, №3. 91. К 1 i n g e r A. A. Vector-valued performance criteria. — «Trans. IEEE» AC-9, 1964, № 1. 92. F i s h b u r n P. C. Methods of estimating additive uti- lities. —«Management Science», 1967, v.l3, №7. 93. Pishburn P. C. A note of recent developments in additive utility theories for multiple-factor situations. - • «Operation Research», 1966, v. 14. 94. F i s h b u r n P. C. Utility theory. — «Management Science», 1968, v.l4, № 5. 95. E с k e n r о d e R. T. Weighting multiple criteria. — «Management Science», 1965, v.l2. 96. П о д и н о в с к и и В. В. Методы многокритериальной оптимизации. Вып. 1. Изд. ВИА им. Ф. Э. Дзержинского, 1971. 97. П о д и н о в с к и и В. В. Лексикографические задачи оптимизации. Изд. ВИА им. Ф. Э. Дзержинского, 1972. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ. Аппроксимация стахостическая 76 БКП см. критерий предпочтения без- условный Вариация 158 Вектор параметров системы 35 — показателей качества 12 Вероятность ложной тревоги 92 — пропуска сигнала 92 Граница множества 338 Замыкание множества 337 Дискретный выбор системы 16 Дополнительное свойство нехудшей системы 277 Класс правил полный 292 — — минимально полный 292 Коэффициент конкордации 158 — правдоподобия 92 — ранговой корреляции 158 Критерий минимаксный 143 — — модифицированный 150 — предпочтения (оптимальности) 13 — — — безусловный 106, 294 — — — условный 106 Куна и Таккера теорема 59 — — условие 59 Лагранжа множитель 56 — функция 56 Матрица качества 108 Метод весовой 125, 198 — градиентный 72 — дискретного программирования 53 — интерполяции и экстраполяции 46 — Куна и Таккера 59 — линейного программирования 62 — минимаксный 42 — Монте-Карло 77 — нелинейного программирования 69 — неопределенных множителей Ла- гранжа 55 — последовательных приближений 41 — рабочих характеристик 123 — — — модифицированный 193 Метрика 335 Множество 331 вырожденное 331 дискретное 339 замкнутое 338 мощности континуума 334 несвязное 339 ограниченное 338 открытое 338 пустое 331 связное 339 счетное 334 точечное 331 эквивалентное 333 Ограничение на параметр 12 Оператор 340, 341 — детерминированный 34l — стохастический 342 Оптимизация параметров 16 Оценка экспертная 136, 157 Параметр системы варьируемый 11 — — внешний (выходной) 10 Пересечение множеств 332 Поверхность весовая 126, 275 — оптимальная 121 — рабочая 124 — — полярная 273 Подмножество 331 — собственное 332 Показатель качества 11 потенциальный 80 результирующий 129 стандартный 29 — неэффективности 255 Потенциальное значение показателя качества частное 120 Правило Байесово 86, 293 — неприемлемое 292 — приемлемое 292 — равномерно лучшее 292 Проектирование внешнее 10 — внутреннее 10 Пространство 331 линейное (векторное) 335 метрическое 335 га-мерное евклидово 336 нормированное 336 363 Ранг 158 Ранжирование 158 Решение базисное (опорное) 66 Риск средний 86 — условный 291 Связь динамическая 21 — конструктивная 21 — функциональная 21 Свойство /71-кратного минимума 11У 123 - строгой монотонности 122, 123 Симплекс-метод 68 Синтез системы 14 — векторный 15 — глобальный 15 — инженерный 15 — математическпи 15 — скалярный 15 — частный 16 — эвристический 15 — структуры 16 — функций связи 46 — целевых функций 46 Система допустимая 13 — — нехудшая 42 — минимаксная 42 — оптимальная 13 — самонастраивающаяся 42 — строго допустимая и3 «Сложность системы» 321 СРЦФ см. функция результирующая целевая субъективная ТВС см. теория векторного синтеза Теория статистических решений 291 Точка (вектор) 336 безусловно худшая 123 внутренняя 337 граничная 337 изолированная 337 крайняя 284 наиболее допустимая 222 иехудшая 110 предельная 337 предельно допустимая 226 прикосновения 337 стационарная 49 худшая 110 TCP см. теория статистических реше- ний УКП см. критерий предпочтения ус- ловный Упорядоченный набор 333 Уровень значимости 158 Условие равенства запасов 149 —- регулярности 59 — строгой монотонности 262 «Уступка» показателя качества 156 Фильтр линейный согласованный 93 Фильтрация биоитимальиая 253 Форма записи каноническая 62 Функционал 340 — целевой 39 Функция 339 — правдоподобия 85 — потерь 86 — — аддитивная 140 — связи (ограничений) 36 • — целевая 35 — — результирующая 131, 132 — — — субъективная i36 — частично обратная 271 — эффективности 151 —- — объективная 151 — — субъективная 151 Характеристика весовая 1ОД — рабочая 124 —- -- модифицированная 195 • — полярная 194 Экстремум целевой функции 48 безусловный 48, 49 внутренний 48 глобальный 48 граничный 48 локальный 48 условный 48, 50 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .... ............... 5 ЧАСТЬ I ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧ И МЕТОДОВ ПРО- ЕКТИРОВАНИЯ ................... 9 Г л а н а 1. Общая характеристика задач проектирования ..... 10 1.1. Введение ..... ............... 10 1.2. Обоснование исходных данных для синтеза . . . . 19 1.3. Общая характеристика задачи векторного синтеза 28 1.4. Особенности постановки задачи при дискретном выборе системы, оптимизации параметров и синте- зе структуры ..... ............. 35 1.5. Сущность методов сведения векторного синтеза к скалярному ..... ............. 40 1.6. Особенности решения задач синтеза при непол- ностью известных исходных данных ... .... 41 Г л а в а 2. Основные методы скалярной оптимизации параметров . 44 2.1. Определение целевых функций и функций связи 44 2.2. Основные виды экстремума целевой функции 48 2.3. Необходимые и достаточные условия существо- вания безусловного экстремума. .... ..... 49 2.4. Общая характеристика задачи отыскания услов- ного экстремума ..... .......... 50 2.5. Учет ограничений типа дискретности. ... . . 53 2.6. Учет ограничений типа равенств ... .... 55 2.7. Учет ограничений типа неравенств ... .... 57 2.8. Применение линейного программирования ... 62 2.9. Применение нелинейного программирования .... 69 2.10. Градиентные методы ..... ......... 72 2.11. Метод стохастической аппроксимации. .... . . 75 2.12. Метод статистических испытаний. Планирование экспериментов ...... .......... 77 Глава 3. Математические методы скалярного синтеза структуры и скалярного дискретного выбора системы ....... 79 3.1. Общая характеристика задач и методов скаляр- ного синтеза структуры .... ........ 79 3.2. Синтез структуры на основе теории статистичес- них решений. ..... ............ 84 365 3.3. Применение теории статистических решений при неполных априорных данных. .... ...... 89 3.4. Синтез обнаружителя сигнала .... ...... 90 3.5. Синтез m-канальной системы воспроизведения непрерывных сообщений ..... ....... 95 3.6. Скалярный дискретный выбор. Применение теории игр ...... ................ 98 Глава 4. Общая характеристика методов векторного синтеза . .103 4.1. Особенности векторного синтеза по сравнению со скалярным .... ............ 103 4.2. Методы, основанные на безусловном критерии предпочтения ...... ............ 110 4.3. Методы, основанные на введении результирующего показателя качества .... .......... 129 4.4. Минимаксные методы ..... ......... 143 4.5. Метод, основанный на введении показателя эф- фективности. ...... ............ 151 4.6. Метод, основанный на переводе всех показателей качества, кроме одного, в разряд ограничений. 154 4.7. Метод последовательных уступок [1] ... ... 156 4.8. О применении методов экспертных оценок . . . 157 4.9. Сравнение различных методов векторного синтеза 167 ЧАСТЬ 2 СИНТЕЗ ПО ДВУМ ПОКАЗАТЕЛЯМ КАЧЕСТВА ... 169 Глава 5. Дискретный выбор системы .......... 170 5.1. Общие соотношения ..... ......... 170 5.2. Отыскание левой нижней границы методом рабо- чих характеристик ..... ........... 174 5.3. Применение условных критериев предпочтения 177 Глава 6. Оптимизация параметров и синтез структуры (при т=2) 185 6.1. Общие соотношения ..... ......... 185 6.2. Отыскание левой нижней границы методом рабо- чих характеристик ..... .......... 189 6.3. Метод » модифицированных рабочих характерис- тик ...... ................ 193 6.4. Весовой метод. .... ............ 198 6.5. Определение характерных точек левой нижней границы ...... .............. 208 6.6. Применение условных критериев предпочтения 214 Глава 7. Примеры оптимизации параметров и синтеза структуры по двум показателям качества ........... 229 7.1. Оптимизация параметров следящей системы ... . 229 7.2. Синтез структуры обнаружителя сигнала ... . 241 7.3. Синтез структуры линейного фильтра при нали- чии внутреннего шума и пассивной помехи . . 247 7.4. Синтез по критерию «эффектирность — стоимость» 255 366 ЧАСТЬ 3 СИНТЕЗ ПО ТРЕМ И БОЛЕЕ ПОКАЗАТЕЛЯМ КАЧЕСТВА 261 Глава 8. Общие* соотношения при синтезе по т показателям качества ................... 262 8.1. Свойства оптимальной поверхности. .... . . 262 8.2. Метод рабочих характеристик .... .... 264 8.3. Области определения рабочей поверхности .... 268 8.4. Проверка строгой монотонности рабочей поверх- ности. ....... ............. 269 8.5. Метод модифицированных рабочих характери- стик ..................... 272 8.6. Весовой метод ..... ........... 273 8.7. Комбинированные методы отыскания нехудших систем ...... .............. 279 8.8. Определение крайних точек оптимальной поверх- ности ....... .............. 284 8.9. Применение условных критериев предпочтения 290 8.10. Связь основных положений теории векторного синтеза систем и теории статистических реше- ний ...... ............... 290 Глава 9. Примеры синтеза по трем и более показателям качества 300 9.1. Синтез структуры обнаружителя сигнала по трем показателям качества ..... ......... 300 9.2. Синтез структуры обнаружителя сигнала по че- тырем показателям качества .... ...... 302 9.3. Синтез структуры от-канальной системы воспро- изведения сообщений по т показателям качества 313 9.4. Дискретный выбор системы автоматического уп- равления ...... .............. 315 Глава 10. Заключительная характеристика различных методов век- торного синтеза ................ 320 10.1. Полное, частичное и временное игнорирование ряда показателей качества. Метод последова- тельных уступок ..... .......... 320 10.2. Применение безусловного критерия предпочте- ния. (Отыскание множества нехудших систем) 324 10.3. Применение условных критериев предпочтения 326 10.4. Заключительные замечания ..... ..... 327 Приложение 1. Множества, операторы, векторные неравенства . . . 331 Множества, пространства, векторы .......... 331 Функции, функционалы и операторы, векторные нера- венства ...... ................ 339 Приложение 2. Некоторые положения теории бинарных отношений . . 344 Бинарные отношения ... ............ 344 Отношения порядка ..... ........... 348 Список литературы .... ............ 358 Предметный указатель ................ 363 Гуткин Л. С. Г97 Оптимизация радиоэлектронных устройств по со вокупности показателей качества. М., «Сов. радио». 1975. 368 с. с ил. Рассматриваются методы отыскания радиоэлектронных устройств и систем, оптимальных по совокупности нескольких показагелей качест- ва. Рассмотрение иллюстрируется примерами. Книга рассчитана на широкий круг специалистов по радиоэлектро- нике и смежным отраслям науки п техники, а также на аспирантов п студентов старших курсов вузов. Г 30401-031 ^ еф2, 046(01)-75 ЛЕВ СОЛОМОНОВИЧ ГУТКИН ОПТИМИЗАЦИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ ПО СОВОКУПНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА Редактор И. Г. Звнгупова Художественный редактор В. Т. Сндоренко Обложка художника И. П. Леонова Технический редактор Г. 3. Кузнецова Корректор 3. Г. Галушкина Сдано в набор 11.Х—74 г. Подписано в печать 16.1—75 г. Т 03116 Формат 60Х90'/]в Бумага № 1 Объем 23 усл. п. л., 21,516 уч.-изд. л. Тираж 10300 экз. Зак. 1179 Цена 1 р. 72 к, Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693 Московская типография № 4 Союзполиграфпрома" при Государственном Комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, Москва, И-41, Б. Переяславская, 46.