32.81 Д26 УДК 62-50 FEEDBACK SYSTEMS: INPUT—OUTPUT PROPERTIES C. A. DESOER Department of electrical engineering and computer sciences Univercity of California Berkeley, California M. VIDYASAGAR Department of electrical engineering and computer sciences Montreal, Canada Academic Press Hew York San Francisco London 1975 A subsidiary of Harcourt Brace lovanovich. Publishers Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. Дезоер Ч., Видь я- с агар M. — M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.— 280 с. Авторы продолжают направление, разрабатывающее общий теоретико-функциональ- ный взгляд на проблемы теории управления и выясняющее аспекты, общие для систем, описанных самыми разнообразными операторами н еще недавно изучавшихся порознь, Ядро книги составляют теоремы о существовании, единственности, ограниченности, ре- шений замкнутых систем, используемые аатем при исследовании устойчивости. Основы математического аппарата (теория функций) изложены в первых главах. Многочислен- ные примеры и упражнения разъясняют излагаемый материал. Илл. 22, библ. 116 назв. 1502000000—070 д 053(02)-83180"83 Copyright © 1975, by Academic Press Tne. All Right Reserved. © Издательство «Наука». Главная редакция физико-иатеиатическов литературы, 1983 ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора перевода ............................ 5 Предисловие .................................. 7 Обозначения .................................. 10 Глава 1. Статические нелинейности .................... 11 1. Секторные условия ........................... 11 2. Статическая нелинейность с линейной обратной связью ...... 14 3. Нелинейность со многими входами и выходами ........... 17 Библиографический комментарий ..................... 18 Глава 2. Нормы ............................... 19 1. Норма: определение и примеры .................... 19 2. Эквивалентные нормы .......................... 22 3. Соотношения между нормированными пространствами ....... 24 4. Геометрическая интерпретация нормы ................ 27 5. Норма линейного отображения .................... 29 6. Два примера ............................... 33 7. Норма и спектральный радиус .................... 37 8. Мера матрицы .............................. 39 Библиографический комментарий ..................... 45 Глава 3. Общие теоремы .......................... 46 1. Постановка задачи ........................... 47 2. .Теорема о малом коэффициенте роста .................' 50 3. Теорема о малом коэффициенте роста по приращениям ...... 54 4. Ограниченность .............................. 56 5. Теорема существования и единственности .............. 57 6. Теорема о преобразовании контура .................. 61 7. ^-устойчивость ............................. 63 8. Общий вид уравнения замкнутой системы .............. 64 Библиографический комментарий ..................... 65 Глава 4, Линейные системы ........................ 67 0. Введение .......;.........;;.............. 67 1. Линейные системы с обратной связью с дробно-рациональными пе- редаточными функциями ........................ 68 2. Необходимые и достаточные условия устойчивости: метод факто- ризации ................................. 73 3. Линейные системы с динамической обратной связью (случай дроб- но-рациональной передаточной функции) ............... 85 4. Системы с обратной связью, описываемые операторами свертки . . 94 5. Графический критерий устойчивости ................. 106 6. Дискретные системы .......................... 112 7. Линейные нестационарные системы .................. 122 8. Системы с медленно изменяющимися параметрами ......... 141 9. Линеаризация .............................. 144 Библиографический комментарий ..................... 152 Г 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 5. Применение теоремы о малом коэффициенте роста ...... 153 1. Непрерывные системы -—LP- устойчивость .............. 153 2. L^ycTc^HBocTb — круговой критерий ................ 155 3. Метод экспоненциального взвешивания— /."-устойчивость .... 159 4. Дискретные системы—IP-устойчивость ................ 163 5. Линейные системы с медленно изменяющимися параметрами. . . . 164 6. Пример нелинейной системы ...................... 165 7. Существование периодических решений ................ 168 8. Критерий Попова ............................ 172 9. Неустойчивость ............................. 174 Библиографический комментарий ..................... 184 Глава 6. Пассивность ............................ 185 0. Введение ................................. 185 1. Обоснование из теории цепей ..................... 186 2. Скалярное произведение ........................ 187 3. Общие положения ........................... 189 4. Пассивные системы: определение и примеры ............. 190 5. Теорема о пассивности ......................... 197 6. Критерий Попова ......•• .................... 202 7. Дискретный случай ........................... 207 8. Критерий средней логарифмической вариации ............ 210 9. Теория усилителей ........................... 215 10. Связь теорем о пассивности и о малом коэффициенте роста ... 232 11. Обратимость отображения 1+Н ................... 237 12. Теоремы о неустойчивости ...................... 241 Библиогрчфический комментарий ..................... 244 Приложение А. Интегралы и ряды ................... 246 A.I. Регулярные функшщ ......................... 246 А.2. Интегралы.............. . ............. 248 А.З. Ряды.................................. 250 Приложение В. Преобразование Фурье ................. 251 B.I. Li-теория. ...... . . . . . .......... 251 8.2. ^-теория .....,'.. ', ..'.'.. '. ................ 252 8.3. Преобразование Лапласа ...................... 253 Приложение С. Свертки ......................... 254 C.I. Введение. . .... , ......................... 254 С.2. Свертка функций ........................... 255 С.З. Свертка меры и функции ...................... 257 С.4. Свертка последовательностей .................... 259 Приложение D. Алгебра ......................... 260 D.I. Алгебры ................................ 260 D.2. Идеалы ................................ 263 D.3. Обращения в алгебре ц/f ...................... 264 Приложение Е. Лемма Беллмана—Гронуолла ............. 266 Литература ................................... 270 Предметный указатель ............................ 276 ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА В современной теории управляемых систем довольно контрастно начали проявляться два, в некотором смысле альтернативных, подхода, один из которых базируется на концепции пространства состояний, другой—на концепции «вход—выход». Описание поведения управляемой системы в пространстве со- стояний предполагает возможность ее декомпозиции до элемен- тарного уровня, описания поведения каждого ее элемента и свя- зей между ними. Тем самым для построения математической мо- дели системы в пространстве состояний необходима довольно детальная информация о ее внутренней структуре и образующих ее элементах. К настоящему времени развиты довольно эффективные методы исследования поведения управляемых систем в пространстве со- стояний. К ним прежде всего относятся методы анализа устойчи- вости, основы которых были заложены А. И. Ляпуновым и затем развиты в многочисленных работах советских и зарубежных уче- ных. Существенный прогресс был достигнут в статистическом анализе управляемых систем. Большинство результатов теории оптимального управления, аналитического конструирования регуляторов, теории фильтрации и стохастического управления связано с использованием математи- ческих моделей систем в пространстве состояний. Однако, если обратиться к истории теории управляемых систем, а затем «заглянуть» в ее будущее, то можно обнаружить довольно явную тенденцию роста сложности объектов этой теории и как ее следствие — уменьшение достоверной информации о внутрен- нем устройстве этих объектов. Так, например, определение коор- динат состояния для описания пространственного движения лета- тельного аппарата не представляет сейчас больших затруднений, тогда как «назначение» координат состояния, характеризующих рост растения, является совсем нетривиальной проблемой. Сложность современных объектов теории управляемых систем не только в том, что «трудно» построить модель в пространстве состояний. Возможно, это сделать «легко», но размерность этой модели столь велика, что изучение ее поведения становится без- надежным. 0 ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА В этой ситуации концепция «вход — выход» приобретает явную конкурентоспособность. Она предполагает, что внутреннее устрой- ство системы неизвестно, что доступной является информация о входе и выходе, и нацеливает на исследование преобразования вход—выход, которое описывается в общих терминах функцио- нального анализа. Такой подход с теоретической точки зрения открывает воз- можности создания теории систем, опирающейся на достаточно общие и универсальные ее понятия. Он оказывается полезным и для инженера, так как в определенном смысле возрождает при- вычные для него понятия передаточных функций и импульсных характеристик линейных систем, развивает их на системы других классов, открывает возможность практического использования более общей характеризации систем, чем это делается в методах пространства состояний. Предлагаемая вниманию советского читателя книга посвящена изложению методов анализа устойчивости и смежных вопросов в управляемых системах, описываемых в терминах «вход—вы- ход». Она написана известными специалистами в этой области проф. Дезоером и проф. Видьясагаром. В данной книге рассмат- ривается широкий круг проблем, связанных с анализом устойчи- вости линейных систем с сосредоточенными и распределенными па- раметрами, дискретных и нелинейных систем. Большинство резуль- татов формулируется в виде частотных критериев, и в этом смысле представляет собой обобщение метода В. М. Попова. Следует отметить, что способ изложения материала, принятый авторами, весьма своеобразен и потребует у читателя некоторой адаптации. Однако затраченные усилия с избытком компенси- руются той информацией, которая может быть извлечена из этой книги. Ю, Попков ПРЕДИСЛОВИЕ За последние 15 лет теория нелинейных систем с обратной связью совершила большой скачок в своем развитии. С одной стороны, этот успех обусловлен новыми достижениями в теории функций Ляпунова, основными среди которых являются фунда- ментальные работы Зубова, Иошидзавы и Хана. Поэтому в нашей книге мы отказались от изложения теории функций Ляпунова. С другой стороны, методы функционального анализа, впервые при- внесенные в теорию нелинейных систем с обратной связью Санд- бергом и Цеймсом, развивались не менее быстро, что привело к получению многочисленных результатов, связанных с опреде- лением вход-выходных свойств нелинейных систем с обратной связью. Главное достоинство этих методов состоит в том, что с их помощью можно исследовать системы с распределенными парамет- рами почти с той же легкостью, как и системы с сосредоточен- ными параметрами, причем изучение систем с одним входом и с многими входами и выходами ведется по одной и той же схеме. Все это в равной мере относится как к непрерывным, так и к дискретным системам. По этим причинам в нашей книге основное внимание уделяется исследованию свойств систем с обратной связью с многими вхо- дами и выходами, содержащими подсистемы с распределенными параметрами, и особенно подробно изучаются непрерывные си- стемы. Наша цель состоит в развитии важнейших методов, при- водящих к выявлению основных вход-выходных свойств систем с обратной связью. Однако мы не пытались дать энциклопеди- чески исчерпывающее решение задач, решаемых этими методами. При изложении материала мы скорее считали необходимым найти золотую середину между иллюстрацией различных методов на простых примерах и дальнейшим развитием наиболее сильных и менее известных результатов. Читателями нашей книги могут быть инженеры-разработчики с хорошей математической подготовкой, интересующиеся пробле- мами теории нелинейных систем с обратной связью. Основная часть материала составила курс лекций, прочитанных в Беркли для студентов инженерного факультета в период их подготовки к экзаменам на звание магистра. Опыт показал, что те студенты, которым на младших курсах читался серьезный курс математичес- в ПРЕДИСЛОВИЕ кого анализа, а на старших—курс теории управления, усваивали материал без особых затруднений. Рассчитывая на такого рода читательскую аудиторию, мы все же сочли необходимым изло- жить в первых двух главах математический аппарат, постоянно используемый в следующих главах. Полезные математические факты, доказательство которых могло бы слишком сильно увести нас в сторону от основного пути, собраны в 5 приложениях. Кроме того, предполагаемый уровень знаний нашей аудитории по- зволяет нам при обосновании различных подходов обращаться к аналогиям из законов сохранения энергии и рассуждениям, при- нятым в, теории управления и в теории цепей. Мы также пола- гаем, что читатели легко поймут такие термины, как «положитель- ная обратная связь», «прямая ветвь замкнутой системы», «пере- даточная функция» и «импульсная характеристика». В главе 1 приводится несколько простых свойств систем с об- ратной связью, приведенные здесь же примеры простейших не- линейных систем призваны проиллюстрировать связь и независи- мость задач существования, единственности, непрерывной зависи- мости и ограниченности решений уравнений этих систем. В главе 2 рассматриваются многочисленные свойства норм, норм операторов и нормированных пространств, необходимые для понимания последующего материала. Теоремы, представленные в главе 3, носят очень общий и абстрактный характер; помочь читателю разобраться в них должны разнообразные практические примеры, приведенные здесь же. Глава 4 посвящена исследованию линейных систем. В главе 5 показано, каким образом можно использовать тео- рему о малом коэффициенте роста 1): в каждом из девяти разделов указанная теорема привлекается для изучения свойств отдель- ного класса систем с обратной связью. Наконец, в главе 6 намечен общий структурный подход к понятию «пассивности» и обсуждаются вопросы применения теоремы о пассивности. Короче говоря, мы сочли необходимым изложить здесь основ- ные результаты и важнейшие методы таким образом, чтобы читателю в дальнейшем было нетрудно разобраться в современ- ных работах по тематике книги. Несколько слов о нашей совместной работе. Дезоер разрабо- тал план книги и к зиме 1973 года почти полностью написал первые три главы и приложения. В то же время новейшие исследования оттеснили черновые наброски остальных трех глав в разряд устаревших. Видьясагар, который и ранее интересовался возможностью написания такого рода книги, совместно с Дезое- 1) В переводе говорится о «коэффициенте усиления» везде, где речь идет о технических реализациях. По отношению же к операторам представляется более удобным говорить о «коэффициенте роста». Автор в обоих случаях упо- требляет термин «gain». [Прим. перев.) ОБОЗНАЧЕНИЯ 9 ром пересмотрел материал первых трех глав; последние главы были написаны заново. Эта работа была проделана в Беркли летом 1973 года. Ответственность за все ошибки несут оба автора. При работе над книгой, в которой с единой точки зрения рассмотрены многочисленные результаты, полученные различ- ными исследованиями более чем за десятилетний период, авторы столкнулись с трудной задачей: как отметить научный вклад отдельных исследователей? Одно время Дезоер пытался собрать достаточно полную библиографию, однако очень скоро был вынуж- ден оставить свои попытки из-за чрезмерно большого ее объема. Поэтому было решено ссылаться на те работы, в которых мы почерпнули либо новые для нас оригинальные методы, либо решение отдельных проблем. Таким образом, ссылаясь на работы отдельных авторов, мы вовсе не утверждаем этим их приоритета. Решение всех вопросов, касающихся приоритетов и различий работ разных авторов, мы предоставляем историкам науки. Тем не менее мы приносим извинения всем тем, в отношении которых в этом вопросе могли быть допущены ошибки, и заверяем этих авторов в непреднамеренности наших ошибок. Подготовка книги включала в себя большую долю предвари- тельных исследований, которые были бы невозможны без под- держки и поощрения со стороны ряда организаций и учрежде- ний. Дезоер считает себя обязанным Национальному научному фонду, Национальному бюро по аэронавтике и космическим исследованиям (НАСА), Программе объединенных служб по элек- тронике и Калифорнийскому университету. Нам также приятно поблагодарить тех, кто внес свой вклад в многочисленные дис- куссии и уточнения, а также коллег и бывших студентов, при- нимавших активное участие в напряженной работе семинара по нелинейным системам с обратной связью. Как говорил Э. А. Гил- лемин, «мы не можем назвать кого-либо без упоминания всех остальных, а назвать имена всех нельзя из-за опасений забыть того или другого». Видьясагар признателен руководству универ- ситета сэра Джорджа Вильямса (университет Конкордия), кото- рое сделало возможным его пребывание в Беркли, а также Национальному научно-исследовательскому центру Канады за научную поддержку. ОБОЗНАЧЕНИЯ е/^ алгебра со сверткой в качестве -операции умножения элементов a7f?2 алгебра с двусторонней сверткой в качестве операции умножения элементов [а, Ь] замкнутый интервал: {х е R | a sS; x s$ Ь} (а, Ь] интервал: {х <= R I а < -с^ Ь} В (х; г) открытый шар радиуса г с центром в точке х В (x, г) замкнутый шар радиуса г с центром в точке х 10 ОБОЗНАЧВНИЯ С поле комплексных чисел С+ замкнутая правая комплексная полуплоскость: {г s С ! Рег^О} С" линейное пространство упорядоченных п-ок из С (pmxn кольцо матриц, содержащих от строк и п столбцов, элементы кото- рых принадлежат С о% пространство функций со скалярным произведением {/: а7" -»- <<»} •V ^^'е расширенное пространство функций со скалярным произведением Ж нормированное пространство функций {f: У-г У \ \\f[ < 00} Xf расширенное нормированное пространство функций LP (R) [LP (R^)] пространство функций {/: R-»-R} таких, что функция t\—*• \f(t)\P интегрируема над полем R [или R^., соответственно]; обычно р= = 1, 2, со IP пространство последовательностей z=(2o, г^, г^, ...) таких, что ряд со ^ Zft |Р СХОДИТСЯ о R поле действительных чисел R+ множество неотрицательных действительных чисел {< е R ] .х ^ 0} R" линейное пространство упорядоченных п-ок из R рдхт кольцо матриц, содержащих п строк и от столбцов, элементы кото- рых принадлежат R R [s] коммутативное кольцо многочленов от s R (s) коммутативное поле рациональных функций от s sgnx функция, равная 1, 0 и —1, при х<0, х==0 и^>0 соответ- ственно Z кольцо целых чисел: {..., —1, О, 1, ...} Z+ множество неотрицательных целых чисел: {О, 1, 2, ...} | • обозначает модуль действительного или комплексного числа, норму вектора из R" или С» I! •! обозначает норму (в общем случае), норму функции, например |/|, или норму линейного оператора (Л | Igll^ а^-норча функции g II/!],, норма функции /, как элемента пространства LP ==> знак импликации («следует», «влечет») <=> знак эквивалентности. Жирным шрифтом выделены операторы, обычно отображения Хц в ЗЕ,,. Определения, уравнения, утверждения, теоремы, замечания и т. д. про- нумерованы по разделам. Хотя в нумерации могут быть пропуски, недоразу- мений возникнуть не должно. При ссылках на пункты внутри одного раздела используются только но- мера пунктов, например: «определение (3)», «следствие (11)». При упоминании пунктов из других разделов той же главы указывается номер раздела и номер пункта: «определение (2.3)», «теорема (7.1)». Ссылки из других глав допол- няются номером главы: «уравнение (2.3.2)», «теорема (3.2.1)». Рисунки пронумерованы по главам. Каждый термин выделен курсивом в его определении. Глава 1 СТАТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ В этой главе мы хотим привлечь внимание читателя к некото- рым важным особенностям теории нелинейных систем. Большин- ство линейных задач, встречающихся в технических приложениях, имеет ту особенность, что для любого разумного входного воз- действия решение существует, причем является единственным и непрерывно зависит от входного воздействия. В некоторых слу- чаях (особенно важных на практике) ограниченное входное воз- действие вызывает появление на выходе системы ограниченного сигнала. Ниже мы покажем, что в нелинейных системах перечис- ленные четыре свойства: существование, единственность, непре- рывная зависимость решения и конечность коэффициента усиле- ния — вовсе не всегда сохраняются даже в очень простых примерах, а именно, в статических нелинейных системах с линейной обрат- ной связью. Кроме того, в этой главе мы определим некоторые наиболее полезные классы нелинейностей. Здесь рассматриваются только статические системы. В разделе 1 определяются нелинейности, удовлетворяющие секторным условиям, и приводятся отдельные их математические модели. В разделе 2 вводится понятие линей- ной обратной связи и устанавливаются соотношения между харак- теристиками разомкнутой и замкнутой систем. В последнем раз- деле рассматриваются нелинейности с несколькими входами и выходами. 1. СЕКТОРНЫЕ УСЛОВИЯ 1.1. Нелинейность с одним входом Простейший статический нелинейный элемент имеет один вход и один выход, связь между которыми описывается характери- стикой <р. Выходной сигнал y(t) в момент t определяется соотноше- нием у (t) = (р[и (t)} для всех t. В общем случае ср является отно- шением между действительными числами и вовсе не обязательно функцией. Если бы мы в наших дальнейших рассуждениях до- пустили, что характеристика <р зависит от времени, т. е. y(t)== =q>[u(t), t], то потребовалось бы внести единственное изменение: все неравенства должны выполняться для любых t. 1. Определение. Пусть qr. R-^-C?, причем (р(0)=0. Будем гово- рить, что (р принадлежит сектору (ki, Ьч) тогда и только тогда, когда k^e2 < еср (е) < k^e2 для любых eeR таких, что е^О. Ана- логичным образом, будем говорить, что (р принадлежит сектору 12 ГЛ. I. СТАТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ [ki, k^') тогда и только тогда, когда k^e2 sS еф (е) << k^e1 для любых esR таких, что е=т^0, Секторные условия можно задать несколькими способами. Мы перечислим их в теореме эквивалентности. 2. Теорема эквивалентности. Пусть ki, ky. s 1R, причем fci 0, то из условия (i) следует, что (V) 1 Ф2 (е) ^ еф (е) ^ 1 ф2 (е) Ve e R. Кц Й1 До казательство. (!)<=> (ii). Поскольку (ii) выполняется при е=0, необходимо рассмотреть только те случаи, когда е^О. Умножая (i) на е2, полу- чим (ii). Умножая (ii) на е"2, приходим к (i). (iii) <=> (iv). Учитывая, что k-^ky. = с2 — г2, выполним ряд преоб- разований: (<р - k^e) (ср - k^e) = (р2 - 2 k^^- фе + k^e2 = (ф - се)2 - ^е2, откуда следует, что (iii) (ii). Заметим, что (прие^О) ^е2 ^ ^ie2. Тогда из нера- венства, полученного умножением (iii) на е2, следует, что еф (е) заключено между k^e2 и h^. (i)=>(v). При ^i>0 из (i) вытекает, что ф (е)/е> 0 для любых е ф 0. Обращая (i) и умножая результат на ф2 (е), приходим к (v). (v)^>(i). Возможен случай, когда ф(е)==0 для любых е. 1.2. Нелинейность с многими входами В этом случае качественно ничего не изменится, если предпо- ложить, что число входов конечно. Поскольку ниже во все нера- венства входят только скалярные произведения, мы будем рас- 1. СЕКТОРНЫЕ УСЛОВИЯ 13 сматривать гильбертово пространство е5Г. В большинстве прило- жений e%"==R". 4. Эквивалентные условия. Обозначим через оУУ гильбертово пространство с действительным скалярным произведением <• •) и нормой || •|. Пусть ф: е%"-)-с%" и ф (8) = 6, где 6 — нулевой вектор пространства еЖ'. Пусть ki и ^—действительные числа, причем fei-ss^. Тогда условия (iii') и (iv') эквивалентны: (iii') <Ф(е)-Й1е!ф(е)-^е><0 Уее^Г; 0'V) ^(e)-^!2^2}^2 Ves^T, где h+k., 2 ' или ki+ki= 2с, /г^^с2-^. Доказательство. Эквивалентность становится очевидной после раскрытия скалярного произведения из левой части (iii') и выделения полных квадратов: • О 5s <Ф (е) — k^e | ф (е) — k^e) = =<Ф (е) 'ф (е)> -2^^- <ф (е) \ е> + (с2 -/•2) <е| е> = Ч^-се!2-/-2!^2. Упражнение 1. Привести геометрическую интерпретацию определения (1) с помощью графика (р. Упражнение 2. Привести геометрическую интерпретацию условий (iii') и (iv') в пространстве R* для k==\, 2 и га. (Для случая k=2 график (р (е) дол- жен лежать в диске радиуса т\е'\ с .центром в точке се.) Упражнение 3. Предполагая, что 0 < ki as k^, привести интерпретацию следующих неравенств в пространстве R2: ki" е ,2 ^ <(р (е) е) sS k^ : е ^ Ve s R», ^- ' <Р(е),2 s? <Ф (е) ;е)щ^- .(р (е) я Ve e R'. Упражнение 4. Пусть (р: s% ->-э%", ф(6)=-в и 0<^<йа. Показать, что (все неравенства выполняются аля любых е е W )'• <е i ф (е)> -ss. ki ;i е f ==> е",, ;| q? (e) • Ф (е) Е8! (Ь) <е! Ф (е)> •ss. ^ " ф (е) ;2 =^ " е:: ф (е); э$ ft, ; е У. 14 ГЛ. 1. СТАТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ 2. СТАТИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ С ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Простейшим примером нелинейной системы с обратной связью является статическая нелинейность, охваченная линейной обрат- ной связью. Сначала мы рассмотрим систему с одним входом и одним выходом. 2.1. Постановка задачи и геометрическая интерпретация Пусть (р: R->-R и (р(0)=0. Пусть коэффициент обратной связи равен \/k, причем k^Q. Уравнения системы с обратной связью, изображенной на рис. 1.1, имеют вид 1. 2. г/=(р(е)=(рс("), и=е+-^ (р(е). Если для любого заданного и е R уравнение (2) разрешимо отно- сительно е, то (1) определяет характеристику замкнутой системы <Рс: "—*•'/• Uo- Рис. 1.1. Геометрическая интерпретация уравнения (2) приведена на рис. 1.2, где решениями (е, (р (е)) уравнения (2) являются точки ... пересечения графиков v if ^ 3. {{е, у)|г/=ф(е), e<=R}, 4. {(е, y)\y=ku-ke, eeR; и, k — заданные постоянные числа}. Поэтому (е, у) представляет собой решение (1) и (2) в том и только том случае, когда графики (3) и (4) пересекаются. 5. Замечание. Характеристика замкнутой системы (рс вовсе не обязательно является функцией. Если же (рс— функция, то ее область определения не всегда содержит все множество R. 2. НЕЛИНЕЙНОСТЬ С ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 15 \6. Замечание. На этом простом примере видно, что при изу- чении нелинейных систем следует различать вопросы существова- ния, единственности, непрерывной зависимости (от входного воз- действия) решений, конечности коэффициента усиления системы. Упражнение 1. В каждом случае (а)—(е) выбрать (р(-) и k так, чтобы (a) для некоторого и уравнение (2) не имело бы решений; (b) для некоторого и уравнение (2) имело бы несколько решений; (c) для некоторого и уравнение (2) имело бы бесконечно много решений; (d) для некоторого и решение е не являлось бы непрерывно зависящим от и; (e) при и->-иу, где Ну— конечное число, е->-со. Упражнение 2. Привести пример характеристики (р: R->-R такой, что (a) для любого и е R уравнение (2) имело бы единственное решение е, и (b) не существовало бы конечного числа Ь такого, что если ое[—1, I], то е е [— Ь, Ь}, т. е привести пример системы, в которой «ограниченному входному воздействию» не всегда соогветствует «ограниченный выходной сигнал». 2.2. Секторные условия В дальнейшем мы будем считать, что характеристика (рс может представлять собой либо функцию, отображающую подмножество множества R в R, либо отношение на множестве R2, т. е. мно- жество упорядоченных пар (и, (рс (")) из RxR. В обоих случаях выражение «характеристика (рс принадлежит сектору [а, Ь]» озна- чает, что график (рс принадлежит сектору [а, Ь}, т. е. множеству {(и, у) aus^ys^bu}. 7. Теорема. Для системы, заданной уравнениями (1) и (2): 8. у принадлежит сектору [0, оо) тогда и только тогда, когда (рс принадлежит сектору [0, k); 9. (р принадлежит сектору (—k, оо) тогда и только тогда, когда (рс принадлежит сектору (—оо, k). Док а з а т ел ьст во. Заметим, что при e^Q fc{U) (р(е) <Р(е) е 1,1 <Р(в)' 1+T-Г или 10. (Р(е) е <Рс(") " - ,, 1 V(e)' 1+ k e Зависимость (pc(u)/u от <р(е)/е изображена на рис. 1.3. Эквива- лентность утверждений (8) и (9) вытекает непосредственно из этого графика. 11. Замечание. В теореме (7) не утверждается ни то, что для каждого и s R решение (рс (") существует, ни то, что оно един- 16 ГЛ. 1. СТАТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ ственно, ни то, что оно непрерывно зависит от и. Этой теоремой устанавливается лишь связь графиков функции (р и отношения <рс(и). Например, согласно теореме (7), если и^О и определено одно или несколько отношений срс(и), то из того, что характе- Рис. 1.3. Систика ср принадлежит сектору 3, оо), вытекает, что 0 г$ <рс (")/" < <^k. Иначе говоря, если (р принадле- жит сектору [0, оо), то «коэффициент усиления прямой ветви» нелинейной системы с обратной связью принад- лежит сектору [0, k). Таким образом, ограниченное входное воздействие и вызывает появление ограниченного выходного сигнала <рс(") независимо от того, единственно ли решение (рс (и). Это первый из многочислен- ных примеров, с которыми мы стол- кнемся позднее, где вопрос конечности коэффициента усиления может быть разрешен без решения проблем существования, един- ственности и непрерывной зависимости решения. 2.3. Соотношения между производными Как и раньше, (р: R->-R, причем q>(0)==0. Предположим, что функция <р дифференцируема на R и —^<(р'(е)<оо для всех е е R. Тогда отображение ei—*-u, определенное соотношением (2), а именно 12. является дифференцируемым и имеет положительную производ- ную на R. Следовательно, соответствующее обратное отображение ui—^e дифференцируемо и имеет положительную производную. Композиция u»—»-(pc(u) дифференцируемых отображений и»—*-е и е»—»(р (е) = (рс (") также дифференцируема. Согласно (1) d(fc W _ dy (е) _ d0 и (рс, как функция от у, определяется соотношениями (1) и (2). Тогда (a) если (р': lR-»-(—fe, оо), то (i) отображение (рс: и >—* у дифференцируемо и — оо < <^(u)-[0, оо) тогда и только тогда, когда (p'c: R->-[0, k). Доказательство. (ai) следует из приведенных выше рассуждении и равенства (10); (aii) становится очевидно после рассмотрения производной соотношения (2) по е; (aiii) выполняется, поскольку, согласно (1) и (2), (рд(0)=0; (Ь) следует непосредственно из (13). Упражнение 3. Что можно сказать об области определения отображения и\—*-е, если выполняется условие (а) теоремы (14)? Показать, что с увеличе- нием и возрастает и е, однако у==фс(") может уменьшаться на некоторых интервалах. Упражнение 4. На примере уравнения у=у(х), где (р: R-»-R и (р' (х) > О при любых х е R, показать, что вопросы существования и единственности могут решаться независимо друг от друга, (а) Показать, что в случае, когда для некоторого заданного у существует решение Ху, это решение является единственным. (Ь) Привести пример, когда при некоторых (р и у уравнение y*=if(x) не имеет решения. 3. НЕЛИНЕЙНОСТЬ СО МНОГИМИ ВХОДАМИ И ВЫХОДАМИ Здесь мы только перечислим результаты для случая, когда и, е и у являются элементами пространства R". Сначала вниманию читателя предлагается подготовительное упражнение. Упражнение 1. Обозначим через < • | • ) действительное скалярное произве- дение в линейном пространстве X. Пусть х, у е Х и 1. iE-^+У x-x~y ~~ 1 » x~~2~• Тогда 2. Следующее утверждение обобщает теорему (2.7). 3. Утверждение. Пусть (р: R"-»-R", причем (р(9)=6. Пусть (п X я)-матрица К. является матричным коэффициентом усиления ветви обратной связи (см. рис. 1.4) системы с обратной связью, 18 ГЛ. 1. СТАТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ и=е+К(р(е), у = (р (е) = ц>с (и). заданной уравнениями 5. у = (р (е) = срс (")• Пусть Ai, Лг е: R"^ и с Л— '^^a ,4 — ^"^а о. л———о——i -1———о——• Тогда (a) <(р (е) - Л^; (р (е) - Лгб) = | (р (е) - Ле ||2 - Ц Ае f; (b) следующие неравенства эквивалентны: (i) <(р (е) - Aie! <р (е) - А^е} < 0 Ve e= R»; (И) l(f>(e)-Aef^\\Aef Vee=R"; (iii) <(Ai/( + Л <Рс (") - ^li" (Л2/<+/)<Рс(")-^2")^0 Vu e R»; (iv) ]] (/ + AK) (pc (u) - Au f < i ЛК(рс (") - Л" II2 VM e R". Доказательство. Утверждение (а), эквивалентность не- равенств (i) и (И), (iii) и (iv) следуют непосредственно из упраж- нения 1. Эквивалентность (i) и (iii) следует из (4) и (5), если подставить и—Ксрс(") вместо е и (рс(») вместо ср(е). ... ^ ^1-^1 .Г^'^ Рис. 1.4. Совершенно очевидно, что прежде чем изучать динамику си- стем, необходимо развить методы описания входных воздействий. Для этого в следующей главе мы рассмотрим понятие нормы. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ Материал этой главы хорошо известен специалистам. Анало- гичные результаты можно найти, например, у Джонсона [57], Тетачара и др. [91]. Глава 2 НОРМЫ В этой главе мы введем ряд понятий и фактов, которые не однократно понадобятся нам впоследствии. Необходимо все время помнить, что норма является своего рода мерной линейкой для измерения векторов пространства R", а также действительных и векторных функций, как элементов соответствующих пространств. Кроме того, мы будем применять норму для измерения «коэффи- циента роста» линейных операторов. В разделе 1 приводятся определение нормы и многочисленные примеры, часто используемые в следующих главах. В разделе 2 определяется понятие эквивалентности норм и доказывается, что все нормы в конечномерных пространствах эквивалентны. В раз- деле 3 устанавливаются отношения включения между некоторыми нормированными пространствами, необходимые для дальнейших исследований. Геометрическая интерпретация нормы приводится в разделе 4; эта интерпретация дает наглядное представление о понятии нормы и способе определения различия между нор- мами. В разделе 5 вводится понятие нормы линейного отображе- ния. Два примера отображений типа свертки приводятся в раз- деле 6. В разделе 7 подробно рассматривается связь между нор- мой и спектральным радиусом. И, наконец, в разделе 8 вводится и обсуждается понятие меры матрицы, тесно связанное с поня- тием нормы. Мера матрицы используется для нахождения верх- них и нижних оценок решений дифференциальных уравнений и разрешения вопросов существования и единственности этих реше- ний в точках равновесия. 1. НОРМА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ 1. Определение. Пусть Е — линейное пространство над полем К. (Обычно в качестве К рассматриваются R или (D.) Нулевой вектор пространства Е обозначается через 6. Будем говорить, что функ- ция р: ?->-R+ является нормой в пространстве Е тогда и только тогда, когда (i) х е Е и х ^ Q ==> р {х) > 0; (ii) р (ax) = | к! р (х) VcxeK, V^ е Е; (iii) р (х-}-у) s^ р (х)-{-р (у) V,v, у е Е (неравенство тре- угольника). Замечание. В заданном линейном пространстве Е норму можно определить различными способами. Однако, задавая некоторую 20 ГЛ. 2. НОРМЫ норму р в линейном пространстве Е, мы определяем нормиро- ванное пространство (Е, р). Пример 1. Рассмотрим в качестве линейного пространства Е пространство С". Условие х е (С" означает, что х =-= (л'1, Хч,..., Хп), где х, е (D для любых i. Мы часто будем пользоваться следую- щими нормами в (С"'. 2. 3. 4. Hi=S \x^\'> 1=1 / n \1/P Wp= S i^l" • '1=1 ' |x|oo=max|A:.|. t где 1 -ss p < oo; Норма || д; la называется евклидовой нормой элемента х. Упражнение 1. В пространстве R" определить нормы, аналогичные приве- денным выше. Изобразить множество {х [ ^ х\\р^= 1} при р=1, 2, 4, со в про- странстве R2. Пример 2. Пусть Е — пространство бесконечных последователь- ностей комплексных чисел: -v=(Si, Sz. •••). W Si s (D при f= =1, 2, ... На подходящих собственных подмножествах простран- ства Е часто используются следующие нормы: 5. nii=i; s>i; (=1 / oo M/P 6. W„=( S 1^1" 1<р<оо; ''.1=1 / 7. B;)c]]oo=sup ||,|. t>l Соответствующие нормированные пространства обозначаются через I1, IP, 1е0. Мы употребили выше выражение «на подходящих собственных подмножествах пространства ?», поскольку нормы, определенные соотношениями (5) — (7), обладают тем свойством, что множество М == {х е Е \ р (х) < ею} является линейным подпространством про- странства Е (через р(х) обозначена любая из норм (5)—(7)). Этот факт вытекает непосредственно из неравенства Минковского: дей- ствительно, если л-i, Хъ е М, то A-i+^eM, так как p(^i)+ +P(X2)^P{Xi+Xi). Пример 3. Пусть Е = [f: R-»-R | ^—локально интегрируемая (по Лебегу) функция}. На подходящих собственных подмноже- ствах пространства Е часто используются следующие нормы: 8. ixk^\\x(t}\dt; 9. ix^p={\\x(t)\^'dty/p, 1^/?<оо; 10. Hoo=esssup|;t(0|=inf{aeR!t.i[{a}]=0}, ( d К 1. ЙОРМА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ 21 где через (А [Л] обозначена лебегова мера множества а^1). Соот- ветствующие нормированные пространства обозначаются через L1, LP и г,00. В более общем случае, задав положительную, непрерывную и ограниченную на R функцию w: R-^-R, норму \х\р можно опре- делить выражением 11. \x\p={\w^t}\x{t}\^>dt}\'p, 1^<оо. Норма |^||оо определяется соответствующим образом. Пример 4. Пусть E={f: |R-»-R", f=(fi, /2, •••, fn\ все функ- ции fi локально интегрируемы (по Лебегу)}. Обозначая символом | • | произвольную норму в R", определим 12. lflp={\\f(t)\''dt)1"', 1^-co. Прокомментировать полученные 3. Теорема. Все нормы в пространстве (D" эквивалентны. 2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ 23 Доказательство. (a) Сначала покажем, что любая норма Ц.Ц в пространстве С" является непрерывной функцией в том смысле, что каким бы способом х (= С" ни стремился к х г С", действительное число | х j стремится к || х ||. Обозначим через л:, и Xi t'-e компоненты векторов х и х в некотором базисе {е^, е^, ..., е„}. Известно, что из х-^х. следует, что л-,-^, для t=l, 2, ..., п. Используя аксиомы нормы для любых х, х е С", получаем In [| " \x-U=^(Xi-x^ei <^ ^-^i.ie.l. Следовательно, из х-»-х вытекает, что Ц х | ->-1| х ||. (b) Пусть S^={xf=G'^\^x^=='\.}. Очевидно, что множество Soo ограничено. Кроме того, оно зам- кнуто, поскольку является прообразом множества {1} относительно непрерывного отображения |-|оо. Пусть через Щ] обозначена про- извольная норма в пространстве С". Тогда непрерывная функция г-Ч|г|, ограниченная на замкнутом и ограниченном множестве 5оэ, достигает своих максимума и минимума в точках г„, и г^ соответ- ственно. Таким образом, 0<||г„ Пусть х— произвольная точка из С", причем x^Q, X/{X\m^.Sw ПОЭТОМУ тогда Отсюда Таким образом, нормы Ц-Ц и |.|со эквивалентны. Эквивалент- ность любой другой пары норм, например, |.| и ||-|' устанавли- вается в силу свойства транзитивности. 4. Обозначения. Начиная с этого момента, мы будем вычислять нормы в пространствах R" и С", нормы в пространствах функций и нормы линейных операторов. Некоторые авторы используют символ |-| для обозначения первой из этих норм и Ц-Ц—для двух последних. Мы же будем обозначать через | • нормы в R" и С", а через |-I—нормы в пространствах функций и нормы линей- ных операторов. Кроме того, через | • | мы будем обозначать абсолютное значение чисел из R и С. б. Замечание. В бесконечномерных пространствах свойство эквивалентности всех норм выполняется вовсе не всегда. Например, в пространстве бесконечных последовательностей (пример 2, раз- 24 ГЛ. 2. НОРМЫ дел 1), если л-г-(1, 0, 0, ...), ^=(1, 2-1, 0, ...), то ^з=(1, 2-1.3-1, 0, ...),.. |^Доо=1 V&SZ+, и последовательность {л;;;} сходится. Однако l^li-»-00 при k-f-co. 6. Пример. Пусть Е — пространство последовательностей, члены которых принадлежат (С", т. е. х е Е в том и только том случае, когда x==(Si, ^2, •••) и ?(S(D" при t'=l, 2, ... Обозначим через |-| произвольную норму в (D". Тогда ]^| представляет собой неотрицательное число, равное норме вектора Si в пространстве (D". Теперь на некоторых подходящих подмножествах пространства Е можно определить нормы 7. 8. 9. <=1 il/p Ир= Sim • 1^<00•• \^i / |A;|co==sup |S,|. Соответствующие нормированные пространства обозначаются сим- волами 1\, 1'п и 1^. Проверить, что при определении пространства 1'п с использованием различных норм в пространстве С" мы приходим к одним и тем же собственным подмножествам пространства Е. 3. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НОРМИРОВАННЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ В дискретных системах входное воздействие полностью задается соответствующей последовательностью чисел. Поэтому мы будем рассматривать пространство последовательностей, члены которых принадлежат R (или (С). Определяя в этом пространстве нормы соотношениями (1.5)—(1.7), мы получаем нормированные прост- ранства /1, /р и /°°. 1. Теорема. Для любого целого числа /?е(1, со) выполняется цепочка строгих включений I1 cr IP с. /°°. Доказательство. Пусть n;==(Si, ^2. •••)> № 6;е С при любых t e Z+. Выберем произвольное целое число /?е[1, со). со Если х<=11', то ^\^i\P<.oo. Тогда для любого целого k l^l^ f;|^|"1 ••.(\\xW. Отсюда, переходя к пределу при N ->оо, получаем, что, как только х е I1, || х \\р а$ | х ||i < оо. Следовательно, I1 cr I'3. 1, Упражнение 1. Используя пример 2.6, проверить что 3. ^ с: 1^ с: ^ для целых чисел р е (1, оо), и показать, что (3) представляет собой цепочку строгих включений. В непрерывных системах входные воздействия и выходные сигналы являются функциями времени t, причем обычно <^0. Для упрощения изложения мы будем использовать теорию инте- грала Лебега1). Будем говорить, что функция f: R+-^-[R локально интегрируема в том и только том случае, когда / интегрируема на любом ограниченном интервале, т. е. на любом интервале [а, Ь], где Оэ$аа$й<оо. Будем говорить, что функция f: R+-»-R принадлежит прост- ранству LV для любого заданного ре[1, оо) в том и только том случае, когда / локально интегрируема и J°|/(0|^o Говоря о esssup|/(0|, мы имеем в виду следующее определение: esssup ,/(Q 1= inf [a \f(t)\-^a почти везде}, <>о т. е. неравенство |/'(0|а$а выполняется везде, за исключением множества меры нуль, и esssup является наименьшим числом, удовлетворяющим этому неравенству. В дальнейшем мы будем писать sup вместо esssup. ') Читатель, слабо знакомый с теорией интеграла Лебега, может считать, что все функции являются кусочно-непрерывными '(см. Приложение А). 26 ГЛ. 2. НОРМЫ Необходимо раз и навсегда понять, что элементами простран- ства LP являются классы эквивалентности в том смысле, что если / и g г L1', но 1/-gb==0, то функции f и g (которые могут быть различными функциями) рассматриваются, как один и тот же элемент пространства LP. Эти соображения позволяют нам употреблять sup x{t}\ вместо esssup x (О!, поскольку всегда найдется функция y(t) из того же класса эквивалентности, что и x(t), такая, что ess sup | л: (0 | = ^sup\y(t)\. 6. Упражнение 2. Пусть /(0=sin< при 1 Показать что sup /(Q|=1, sup g(0,=2, '>о <>o О и g (0=1 при t>0, g(0)=2. !! / ^оо ii б ' оо Пусть задано некоторое число р, причем ре[1, ею]. Хорошо известно, что линейное пространство Lf с нормой || • \\р полно, т. е. каждая последовательность Коши сходится в Lf к некото- рому элементу из L1'. Полные нормированные пространства назы- ваются банаховыми пространствами. 7. Утверждение. Если функция /: 1R+-»-R принадлежит L1 П L", то f eLP при р s[l, оо). Доказательство. Поскольку f е L1, мера Лебега мно- жества /, где /={/ |/(015=1}, конечна. Поэтому, учитывая, что ^(=L°°, получаем: \ \f(t) \P dt ^ ;/ dt^\ \f\pdt для всех /?е[1, оо). Iе Iе Из выведенных неравенств следует справедливость утверждения. Связь пространств L1, L2 и L" легко показать на диаграмме Венна (рис. 2.1). Диаграмма иллюстрирует тот факт, что из f е L1 П ^-°° следует / е L2. 8. Упражнение 3. Рассмотрим функции, отображающие R+ в R и заданные следующими выражениями: 1 1+< !+<• 1+< 1 1+Г 1 1+^ ^4: < -* e-t', f,: 11 1 +t2 Показать, что эти функции удовлетворяют отношениям включения, изобра- женным на диаграмме Венна (рис. 2.1). 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НОРМЫ 27 9. Упражнение 4. Пусть [а, Ь]—ограниченный интервал, т. е. а и ft конечны. Показать, что L1 [а, Ь] =э LP [а, ^^^[а, Ь], где 1 ь \ LP[a,b}=U: [а,Ь \ -^ R ^ / (f) \P dt ax s К при любых а, г$1. Множество К из Е называется поглощающим в том и только том случае, когда хеЕ=^ существует число 7,(д;)^0 такое, что хеК(х}К- Множество [у\у==\х, \ е R+} называется лучом Ох 2. Теорема. Пусть Е — линейное пространство. (A) Если N: ?-»-1R+—норма в пространстве Е, то единичный шар, связанный с N (•), а именно, множество В=={хе=Е N(x)^l}, является выпуклым, уравновешенным и поглощающим множеством, причем В пересекается с каждым лучом Ох на конечном интер- вале, т. е. для любого хе=Е существует ^/у<оо такое, что Ох[}В={у1у=\х,О^К^Кк}. (B) Если множество К. с Е является выпуклым, уравновешен- ным и поглощающим и, кроме того, К. пересекается с каждым лучом Ох на конечном интервале, то функция рк: ?'->-[R+, опре- деленная ^ виде 3. рк{х)=Ш{К\К>0 и хе=Щ, является нормой в пространстве Е. 4. Замечание. Необходимость условия пересечения множества К. с лучом очевидна. В самом деле, пусть К с: R2 и К. = {(х, у) хе sR, |г/|^1}. Легко заметить, что К— выпуклое, уравновешен- ное и поглощающее множество, однако pi, не является нормой: pi.{Xo)=0 при Хо=(1, 0). Доказательство. (А) По условию N— норма. (i) Множество В выпукло, поскольку из условия х, у Е В вытекает, что N (х) s=s 1, N (у) а$ 1. Рассмотрим произвольное число ^s[0, 1]. Тогда N[Kx+(l-K)y}^N{Kx)+N[{l-K}y]= ^KN{x)+(\-K)N(y)^l. Следовательно, Кх+(\—К}у принадлежит В для всех Хе[0, 1]. (И) Множество б уравновешено, так как, если хеб, то N (х) aS 1. Поэтому при любых ) а 1 ^ 1 N (хх) == | ее | N (х) а$ i а | <$ 1, т. е. <хх е В для всех | ос | ^ 1. (Hi) Множество В является поглощающим, поскольку для любого хеЕ N(x) > 0 при х ^= 6. Доказательство проведем методом «от противного». В. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 29 Допустим, л-о^В, но рк(Хо)=0=т1{К\К>0, Хо е \К}. Тогда при любых ?i>0 Xo0 х у v PKW+H Р^(У)+е ~^' Поскольку К выпукло (ниже для упрощения мы опустим индекс К), Р(х)+е х. Р(у}+е У v Р(х)+р(у)+2е р(х)+е ^ p(x)+p(y)+s p(y)+s -= \- Поэтому для любых, в>0 х+у<=[р(х)+р(у)-[-2е,]К, т. е. Р (х +{/)/Ae=?(E,E). Кроме того, можно определить операцию умножения отображе- ний А и В как композицию отображений Л и В: 3. {АВ)х==А(Вх) >fxe=E, VA, В<=Х{Е, Е). Отметим, что операция умножения некоммутативна. Легко про- верить, что (i) операция умножения, определенная cuuTnoiiie,.iiti'.i ('.,.i, ;лсо- циативна; 30 ГЛ. 2. НОРМЫ (ii) операции сложения и умножения дистрибутивны; (iii) операции умножения и умножения на число коммутативны; (iv) /, тождественное отображение Е в Е, является единицей относительно операции умножения. Таким образом, множество SS (Е, Е) с тремя операциями, определенными соотношениями (1)—(3), представляет собой (не- коммутативную) алгебру с единицей1). 4. Замечание. Приведенные в этой главе определения и резуль- гаты легко распространить на линейные отображения линейного пространства Е в линейное пространство F. Однако в разделе 5.2, где вводится понятие нормы отображения, необходимо строго различать понятия нормы в области определения и нормы в обла- сти значений. Для того чтобы избежать усложнения обозначений, мы ограничимся лишь изучением пространства Х(Е, Е), т. е. случаем, когда область определения и множество значений являются одним и тем же пространством. 5.2. Норма отображения Пусть | • | обозначает норму в пространстве Е и А е Х (Е, Е}. Определим функцию |-|, отображающую подмножество множества 3В {Е, Е) в R+, соотношением 5. tA|]=supf^-). х.^е \ " / 6. Утверждение. Определение (5) эквивалентно следующему определению: 7. |Л||= sup | Аг\. |г|=1 8. Определение. Функция || А | называется нормой линейного отображения. А, порожденной нормой \ \. Чтобы показать, что (5) и (7) эквивалентны, положим z = ==х[\х\. Тогда \Аг А -Ах Соотношение (7) имеет геометрическую интерпретацию. Пусть ^—выпуклое, уравновешенное, поглощающее множество, соот- ветствующее норме |-|, т. е. единичный шар К, == [х е Е \ \ х | as$ I}. Пусть через АК обозначен образ множества К при отображении Л. Тогда (7) эквивалентно соотношению 9. ||A||=inf{^|A/<<=^}. i) Общие определения и свойства алгебр кратко освещены в Приложе' нии D. Б. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 31 Короче говоря, [| A g представляет собой наименьший коэффициент X, при котором множество VC включает в себя множество Л/С. 10. Теорема. Пусть А — невырожденное линейное отображе- ние С" в С", | • | — произвольная норма в пространстве (D", а ||-||— порожденная ею норма на множестве (/1хп)-матриц, элементы которых принадлежат С- Тогда (а) существует постоянное число р, зависящее только от га • |, такое, что 11. А !',71-1 det Л (b) в евклидовом пространстве р^1. Доказательство. (а) Согласно определению эквивалентности норм и в силу Теоремы (2.3), существуют постоянные числа ст; и схщ такие, что |Л и ss? Кот тах ,10,1, c^max a-if Тогда (11) следует из формулы Крамера. (b) Матрица Л допускает полярное разложение в виде Л = UH, где U— унитарная матрица, т. е. U*U==I, а Я—эрмитова мат- рица. Заметим, что | det Л [ = [ det U | det Н \ = | det H \ Поскольку матрица Л невырождена и H'г==A*A, то Я—поло- жительно определенная матрица. Обозначим через fti, h^, ..., /i„ характеристические числа матрицы Н, причем будем полагать для определенности, что hi -^h^-^... -eshn. Из свойств нормы отобра- жения, порожденной евклидовой нормой (см. (1.18)), следует 12. Поэтому 13. Л л-1! 1 Л-11|=| Н-Ц 1 hi J_ hi . W1 ЬЛ ••• ^л !! A |j"-1 det// II А Д"-1 det Л | Отметим, что неравенство (13) превращается в равенство при /ia == hy =... = hn. Действительно, правая часть (13) больше левой п части (13) П (^г) Р83- k=2 5.3. Непрерывные линейные отображения Пусть {Е, | • |)— нормированное пространство над полем К, а символом |-1 обозначена норма отображения в некотором под- пространстве пространства Х (Е, Е). Определим множество 32 ГЛ. 2. НОРМЫ S;(E, E}: 14. Х(Е, E}==\A^X(E, ?)|||A|-R: 1. Н: u^—>Hu=h*u Vue=L° т. е. 2. {Hu)(t}-=\h{t-x)u{x)dT, V/e=R+.' о Предполагается, что |[/lli=f[ft(0|^0 Г ' 1 == sup sup \h(t—T:)u(T:}dx ass |]a||=l[/>0 ^ J Г < 1 а$ sup sup \ | h (t — т) 11 и (т) I (h \. |]"||=1|_<>об J Поскольку 1 и I == 1, iHi-^sup\\h(t-x)\dx^\ \h(t'},(it'. 005 о Следовательно, 5. Из неравенства (5) следует, что Н — непрерывное линейное ото- бражение L" в Iю. Отсюда же вытекает, что |/i||i представляет собой верхнюю оценку для нормы отображения Н: L^-^L00. Покажем, что j/iji равна норме отображения |]Я|. Рассмотрим последовательность входных воздействий У], Ыг, ... таких, что |и;|==1, и положим для t==\, 2, 3, ...: щ: т н-» iii (т) == sgn [h (t - т)], т е R+, < <= Z+ и /i(<)=0 при f<;0. Вычислим значение реакции на воздействие Ut(-) в момент времени t: (/i*u<)(0=^/i(f-T)]dT<|]/i*u<|]oo,^=l,2,3,..., о где |-|оо обозначает норму в пространстве Е. Отсюда с учетом (5) при t==l, 2, 3, ... получаем t со \ \ h (т) \dx ^ || h * щ ||оо < || Н |К ^ ] /i (т) 1 (h = || /i ||i. о о Полагая <-»-оо, приходим к равенству |//1| = |/i|| i. — ~ т-г ,-. г о /ir^\ (t. m . in I || f I -- - Пример 2. Пусть ^L^R)^/: R-»-R --Г-—--Г — -^ ^ -, i. , -, - . . линейное отображение, определенное в пространстве L2 в виде Н: ui—*-Hu, где 00 6. (Яи) (<)=•= \ h {t - т) и (т) dr V-0 при ю-*-оо (см. Приложе- ние B.I.I). Рассматривая все приведенные ниже интегралы над полем [R и используя равенство Парсеваля и теорему о свертке, получим 1 Ни |i = || h * u II = \ (ft * u) (Q (/г * u) (t} dt == J = -^ ^ (/^") (/(о) (и'*")* (/to) dco = ^ J | h (/(о) ;21 и (/и) |2 do. Согласно теореме Парсеваля, [^^^«^—^^["(/со)2^^!. Следовательно, для любых и таких, что |и|2=1, | Ни || < тах [| h (/со) |2]. шеК Таким образом, норма отображения Н удовлетворяет неравенству 9. | Н Ца < тах | h (/(о) . 0 " [ехр (— 'kt2} cos t0o<] = При Х-»-0 последнее выражение стремится к л [б (со — соо) + +6(ю+юо)1, где 6 (^—дельта-функция Дирака. Выберем в каче- стве coo точку, в которой функция (о >—» | h (/со) | достигает макси- мума, и для каждого \ выберем нормирующий множитель п (К) так, чтобы норма Функции u„ [t) = п {К) [ехр (— ^2)] cos <0о<. а* 36 ГЛ. 2. НОРМЫ равнялась единице. Так как |й(/со) непрерывна, то | /i * иЛ у_о. max ?I(JQ))|. (О Таким образом, 1 Н Цг = max [ h (/ю) |. (О 10. Замечание. Полученные результаты могут быть распро- странены на случай, когда и и h*u являются вектор-функциями, т. е. отображениями R+ в 1R". Это обобщение предлагается в каче- стве упражнения. Упражнение 1. Пусть функция и: R+-»-R" локально интегрируема, Н пред- ставляет собой матричную импульсную функцию, т. е. Н: R^.->-^п х ". Пред- положим, что элементы hn(') (», ;'==!, 2, ..., п) матрицы Н принадлежат L1. Обозначим через Н линейный оператор вида Н. и»—» Ни^Н *и, где W (Я»и)(0=^ H(t-t}u{i)d-c. о Показать, что (11), (12) и (14) удовлетворяют определению нормы отображения (a) ueL^'(R^): |u|oo==max sup | "; (0 |;' показать, что для нормы ото- i t ^ О бражения П со п 1Я|оо=тах< ^ '/г;/(т)' Дт; ' б /=i п. 1/Ло (Ь) и е Ц (R+): . " 11|°Г 1] 1"' (i) (г<й; показать- что для нормы отобра' о (=1 жения Н 12. 13. ^ =тахтах?1,[Я*(/(й)*^(;й))] тах <в i и \i (М) является f-м собственным значением 1) эрмитовой матрицы М: 00 П (с) MeL„(R+): |,M^—t V \u^(t)\dt; показать, что для нормы отобра- б <=1 жения Н 14. 00 П |Я1'1=тах^ У, hi/(t)\dt. I о t==i 1) Напомним, что собственные значения эрмитовой матрицы являются дей- ствительными числами. 7. НОРМА И СПЕКТРАЛЬНЫЙ РАДИУС 87 7. НОРМА И СПЕКТРАЛЬНЫЙ РАДИУС С"х" и Пусть А 1. Величина г (А} называется спектральным радиусом А. 2. Упражнение 1. Показать, что для любой нормы отображения 2а. /-(Л)й5|Л]. Для заданной матрицы А мы попытаемся найти норму в про- странстве С", порождающую «минимальную» норму А. Докажем для этого следующую теорему. 3. Теорема.' Пусть через N обозначено множество всех норм в пространстве (С". Тогда для любой матрицы ЛеС"^" sup ^^(Л). хеС" '• 1 4. inf i-iewl^ec" В силу определения точной нижней грани (4) эквивалентно неравенству (2а) и утверждению о том, что для любого е >• 0 и любой матрицы ЛеС"^ существует норма в С" такая, что порожденная ею норма удовлетворяет неравенству 5. |Л|<$г(Л)+в. Доказательство. Обозначим через J жорданову форму матрицы Л; тогда существует неособенная матрица Р такая, что .^РЛР-^Л+У, где Л—диагональная матрица, а элементами матрицы U являются нули и единицы, причем все ненулевые элементы расположены на диагонали, проходящей над главной диагональю. Для некото- рого малого числа б>0 определим неособенную матрицу Di D=diag[l, 6-1, б-2, ..., 6-t»-1»]. Тогда DJD~l=A-\-f:>U. Определим следующую норму |'| в С": х <—> | DPx \^, где | • It — евклидова норма в пространстве С". Порож- денная ею норма имеет вид: Л J = max I Ax х\=\ max DPx 1,= | DPAx \ъ. •.DPAP-lD-lг=(A+W)г•, получаем DPAx Полагая z=DPx, поэтому [ЛЦ2^ max <(А+6С/)г (Л+6[/)г>^ < max^] Az || + 261 (Uz \ Uz} | + 621 Uz 1} < г2 (Л) + 2бл (Л) + 52. |г|,=1 или 1Л1^г(Л)4-б. Выбирая б^а, приходим к неравенству (5). 38 ГЛ. 2. НОРМЫ Использование полученного результата затруднено тем, что выбор нормы в соотношении (4) зависит от вида матрицы А. Однако наша теорема весьма эффективна в тех приложениях, где речь идет лишь об одной матрице, поскольку подбор нормы в этих случаях не вызывает затруднений. Упражнение 2. Пусть N—некоторая норма в пространстве (С"- Показать, что функция xi—>• N (Рх) является нормой в С" тогда и только тогда, когда Р— неособенная матрица, принадлежащая ([У^". Показать, что в случае, когда Р—особенная матрица, функция р: х i—*• N (Рх) удовлетворяет аксиомам (ii) и (iii) нормы (см определение (2.1.1)) и аксиоме (i'): i') р (х) Ss 0 Vx e= С", заменяющей аксиому (i). Функция р называется полунормой. Упражнение 3 (теорема о сжимающем отображении). Мы приведем форму- лировку теоремы о сжимающем отображении в форме, удобной для приложе- ний. Доказательство теоремы от этого практически не меняется, и его можно найти в обычном учебнике. Теорема. Пусть (Р, ^—метрическое пространство и (аУЗ, [ .;|)—банаховс пространство Пусть ру е Р и Хц е sffS. Рассмотрим два замкнутых шара: B^[psP\d(P,p,)^rp}, Если (i) функция /: Вр х Вду -*• е50 непрерывна в Вр х Вда, (ii) существует некоторое число k < 1 такое, что (iii) ||/ (Р, Хо)-^1^(1-6)^ I/ (Р, x)-f (р, х'} , ^ k | х-х' | Vp е Вр, Уж, х' VpeB^ Pi -'«» то (а) для любых р е Вр итеративный процесс *n+i (Р) = / [Р. Хп (Р)], Ху (р} = Ху сходится к единственной непрерывной функции х: бр-»-йд такой, что Ч(Р)"ИР, S(p)] Vp (Ь) сходимость является равномерной по р в Вр, т. е. для заданных k я Вр В^(Р)-^(Р)|^^я VP«=fip, VneZ+. (Указание: для решения задачи проверить, что Хд (р) е В^ при всех я ^ 1 и всех р <= Вр.) В общем случае любая функция гипа f (р, •), отображающая множество б» в банахово пространство еУЗ и удовлетворяющая неравенству вида (ii), назы- вается сжатием множества В х, с/а • Упражнение 4. Пусть А—непрерывное отображение банахового простран- ства Е в самое себя. Число К е С будем называть спектральным числом ото- брожения А тогда и только тогда когда отображение А—Ki необратимо в пространстве Е. Сиетпрол. Ь[. (А) .тюбраменил А назовем множество всех 8. МЕРА МАТРИЦЫ 39 r(A)= sup | ^ . ^eSp(A) спектральных чисел А, а спектральным радиусом—положительное число (а) Показать, что (A_V)-I=_ ^ ^-'*+i'Afe, ft==o причем ряд сходится абсолютно в Ж [Е, Е) при | ^ | > [ А Э. (Ь) Показать, что (А —К1)~1 <=. Х (Е, Е) при | Х | > | A J. Упражнение 5. Пусть Л, В е Х (Е, Е) и Е—банахово пространство. Показать, что в общем случае неравенства г(АВ)-Щ A S/-(B), r(AB)?^r(A)r (В) могут не выполняться. (Указание: рассмотреть две (2х2)-матрицы, одна из которых нильпотентна.) 8. МЕРА МАТРИЦЫ Обозначим через • | некоторую норму в пространстве (С" и через | • | — порожденную ею норму в пространстве (С"^. Функция 1-1: (С'^"-*-!^. является выпуклой и поэтому в каждой точке ХеС"^ имеет одностороннюю производную по направлению в любом направлении ЛеС^", т. е. предел lim е\о существует для всех Х и всех А. Односторонняя производная по на- правлению функции ||-|] в точке/ е С" х "в направлении А называется мерой матрицы А и обозначается у, (Л). Таким образом, 1. ^i(A)=lim 8\0 /+9ЛЦ-1 в Факт существования этого предела мы докажем ниже в лемме (4). Понятие меры матрицы возникло в теории дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнение x(t)=A (t)x(t), где Л (0—непрерывная функция. Будем считать, что односторонняя производная в положительном направлении функ- ции t\—»• \ ф (t) |, где ф (<)—решение дифференциального уравнения, ограни- чена, т. е. 2. D+|(p(0,= lim 8\0 == lim b\o (р(0+ел(р(р(0 - Ф(Р| е ; lim е\о Отсюда с учетом (1) 3. D+|(p(0 <5Ц(Л(0) ф(<)|. Неравенство (3) сильнее обычного неравенства D+ y(0 О 6Ц6) = | / + 6Л 1 - 1 ss 1 - 81 Л i - 1 = — 61 Л |, что доказывает лемму. Свойства меры у.. Для удобства мы перечислим ряд свойств меры ^ в следующей теореме. 5. Теорема. Пусть Л, В е ^пхп и мера ^ определена соотно- шением (1). Тогда 6. (а) ^(/)=1, ti(— /)=—!, ^(0)=0. (Замечание: из того, что [г (Л) = 0, вовсе не следует, что Л =0); 7. (b) -||ЛК-^(-Л)<(1(Л)^ВЛ||; 8. (с) р-(сЛ)=ф,(Л) ус 5г 0; 9. (d) 1А(Л+с/)=|л(Л)+с yceR; 10. (е) max[(z(A)-ti(—B), —|i(—'A)+^(B)]< <^(Л+В)<^(Л)+|А(В); (f) функция ^: ^"-^-R выпукла на (D"""; 11. ^[U+(1-^)5]<^H)+(1-^^(5) V^s[0, I], 12. (g) |[х(Л)-^(й)|^|(1(Л-В)|<||Л-В|, |^(Л)-^(5) <]^(В-Л)|<||Л-В1; 13. (h) 14. (i) —р-(—Л)И -^(—Л)й;/?е^(Л)<^(Л), t=l, 2, .... /г; Ах\ и—^(Л)|х| Ах и.—|л,(Л)|х|<]Лл:| Vх ^С". не всегда ограничено сверху (Замечание: значение числом [А (Л) | х |); (j) Пусть • | — норма в пространстве (D" и Р е (D"'"1 — неособен- ная матрица. Обозначим через ц,р меру матрицы, определенную С помощью нормы, порожденной нормой | • |р, т. е. функцией 8. МЕРА МАТРИЦЫ 41 х*—*- \х р-= \ Рх\. Тогда 15. [tp (Л) = [i {PAP-1); (k) Если матрица Л неособенная, то 16. _-^(_Л)^(|Л-1||)-1^ДЛ||. Доказательство, (а) немедленно вытекает из Определе- ния (1); (b) Поскольку 9 > 0, то из неравенства треугольника следует, что ||/+ела-1 ^ 1+9 il^ll-l ,д, 1-9|А||-1 -ЛЦ-1 |/+2еЛ||-1+Д/-28Л1|-1 2 Наконец, соотношение между (г (Л) и —VL (—Л) следует из 0=|/+26(Л-Л)||-1 (с) При с=0 равенство (8) вытекает из (6). При с>0 ||/+8сЛ!|—1 Щ+свА^—1 - —— ^ .————————————————— с8 Так как 00, то с6\0 при 9\0. i;+e(A+c/)|-i (l+ce)l/+TT^Л^l (d) /+ 1+с9 А -1 -+С. 1+с9 Отсюда получаем равенство (9), поскольку для любых с е R при 9\0 6/(1+с8)\0. (е) |/+9(Л+5)|-1=у(|/+26Л+/+29В|-2)^ <^(||/+26Л||-1)+у (I /+2651-1). Отсюда при 6\0 следует, что ^ (Л+fi)^^ (Л)+|л(5). Из этого неравенства вытекает, что 18. ^(Л)=^(Л+В-В)<^(—В)+^(Л+5) и 19. }г(В)=^(Л+В-Л)<^(—Л)+^(Л+5), т. е. выполняется и первое неравенство (10). 42 ГЛ. 2. НОРМЫ (f) Выпуклость функции [i вытекает из (8) и второго нера- венства (10). (g) Второе неравенст о (12) следует из (7). Чтобы убедиться в справедливости первого неравенства (12), заменим В на —В в (18): ^(Л)-^(В)^(Л-В). Заменяя Л на —Л в (19), получим ^(В)-и(Л)^(В-Л), откуда и следует утверждаемое. (h) Обозначим через е е С" нормированный собственный век- тор матрицы Л, принадлежащий собственному значению X,; поэтому Ле=Х,е и ||/+9(—Л)|^]е-9^е|. Тогда |/+6(-Л)1|--1 6 |е—9^е —1 При 9\0 правая часть этого неравенства стремится к ReX„ a левая—к •—р,(—Л). Из неравенства Ц/+6Л11-1 е 1+8^1—1 6 при 6\0 получаем второе неравенство (13). (i) При 6>0 , л,., \х-[х-6Ах) ] AX | —— ————————g \x—(I—QA)x 1д.|—1/—ел1!|л;| б где, переходя к пределу, мы отмечаем, что левая часть не зависит от 9. Второе неравенство (14) получается аналогичным образом, если заменить Л на —Ли учесть, что Л^|=|—Л^|; (j) |/+еЛ|1р== sup \x+QAx\p= itlp^i = sup \Px+вPAP-lPx\=\\I+QPAP-l^. |P.t!p=l (k) Согласно (14), —^{—A)\x\^\Ax\ и inf \Ax ^ЦЛ-1!)-1, !х|=1 откуда следует первое неравенство (16). Чтобы получить второе неравенство, вычислим норму обеих частей равенства ЛЛ-1"/. 8. МЕРА МАТРИЦЫ 43 24. Теорема. Пусть х = (х^, х^, ..., Хп) е С" и Л = (ау) е С"" Тогда п |^!i=S \xi\\ !|ABi==max^ ay); 1=1 ' i ^i(A)=max Re (a„) + ^ I ay I ; ' i t-f-f I " \l/' I^l2=(Sl^i2 ; ||Лj,=[max?..(Л!tЛ)^^/2; \i=i / i ' J !л-2(Л)=тах[А;(Л+Л*)/2]; i \x\w= max | ^ ; I Л ||oo = max ^ | ац [; ' ' / ^со(Л)=тах Re(a„)+^ [ay ' Доказательство. Вычисление меры p., (Л) (f = 1, 2, оо) является простым упражнением на использование определения. (Л* обозначает, как обычно, матрицу, комплексно сопряженную матрице Л.) Упражнение 1. Показать, что (Хд (Л) == 0,«если А ^ 0 и матрица Л является кососимметрической или косоэрмитовой матрицей. Упражнение 2. Пусть Л s R"""—особенная, положительно полуопреде- ленная, симметрическая матрица. Показать, что у,^ (—Л)=0. 26. Комментарии. Согласно Теореме (24) fi (Л) легко вычислить при /?=!, оо или оценить при р=2. ^(Л) может быть меньше соответствующей нормы | Л |. И, наконец, мера ^ (Л) может быть отрицательной. В качестве приложения понятия меры матрицы приведем два утверждения. В первом из них мы установим верхнюю и нижнюю границы для решений линейного дифференциального уравнения, а во втором—достаточное условие существования и единствен- ности рабочей точки в теории цепей. 27. Теорема. Пусть 0 для всех t, из (31) вытекает неравенство Р+п (О "(О ^^исм. интегрируя которое, приходим к второму неравенству в (29). Первое неравенство в (29) доказывается сходным образом. Во многих приложениях часто бывает необходимо определить рабочую точку (или точку устойчивости) систем, описываемых уравнением 32. x=.f(x)+u, где и, xeR" и f: R''-»-R". Задача состоит в нахождении такого xeR", что f(x)=—и. При этом важно знать, разрешимо ли уравнение при любом и е R", и если разрешимо, то является ли решение единственным. Приводимая ниже теорема устанавливает достаточное условие существования и единственности решений. Обозначим через Df{x) производную функции f в точке х, т. е. якобиан функции / в точке х. 33. Теорема. Пусть f: R''-^R"— непрерывно дифференцируемая функция. Тогда, если существует функция т: R+->-R такая, что 34. =R», где т(ст)>0 для всех (х>0 и 35. \ т (d) da = оо, то Xt—»f{x) является ^-диффеоморфизмом пространства R" на самое себя, т. е. функция f представляет собой непрерывно диф- ференцируемую биекцию R" на R", имеющую непрерывно диффе- ренцируемое обращение. Таким образом, для любого u e R" урав- нение (32) имеет решение х, зависящее от х в (^-образе. L БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИИ 46 Доказательство. Справедливость теоремы может быть уста- новлена с помощью теоремы Пале, если мы покажем, что, во-первых, det [Df (х)] ф 0 для любых x<=R", и, во-вторых, из \х\->~оо вытекает | f{x} |-»-co. Первое из этих условий выполняется, так как для любых г/eR", отличных от нуля, \Df(x)y =\-Df{x)y\^-ti[Df{x}~\\y'^m(\x\)\y\>0 (здесь мы использовали (14) и предположение (34)). Для доказательства второго условия разложим функцию / по теореме Тейлора в окрестности нуля С": f(x}=f(0)+ \Df(Kx)d)}x. о i Отсюда, последовательно используя неравенства (14), (11) и (34), получаем \f(x)\^ \^(Kx}d^x -\f{0)\^-^[{Df(Kx)d^\x\-\f(0)\^ Lo J lo J i i ^~^[Df(Kx)]dK\x\-\f(Q)\:^^m(K\x\}dK\x\-\f{0)\=» о о 1*1 =S /и(")"Лх-|/(0)|, о . , - - - убеждаясь в справедливости второго условия, как следствия предположения (35). 36. Замечание. Теорема останется справедлива, если неравен- ство (34) заменить неравенством 37. y,[—Df(x)}^-m(\x\)<0 v^sR». БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ Определения и факты, касающиеся понятий нормы и эквива- лентности норм, изложены обычным образом [108, 41, 44, 55]. Примеры читатель может опустить. Понятие нормы оператора введено в техническую литературу Сандбергом в его многочислен- ных статьях, опубликованных с 1963 года, а также Цеймсом примерно в то же время (см. библиографию в конце книги). Понятие меры матрицы введено Дальквистом [23]. Неравенство (8.29) можно найти в книге Коппеля [21]. Теорема (8.33) дока- зана Дезоером и Ханедой в статье [36]. Глава 3 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ Эта глава содержит общие результаты, поскольку абстрактные рассуждения позволяют сэкономить время. Действительно, пред- положим, что мы решили дюжину частных задач и обнаружили, что в их решениях существует некая общая схема. Естественно, было бы полезным извлечь из нее суть того подхода, который привел нас к решениям задач; тогда, столкнувшись с новой про- блемой, мы бы знали, как приступить к ее решению. Такой под- ход, конечно, очень заманчив, но какова его цена? Построение общего подхода к различным задачам требует от исследователя особой тщательности. В самом деле, при решении какой-либо конкретной задачи отдельные ее особенности хорошо известны и понятны, что, в сущности, и используется в решении без особых оговорок. Иными словами, знакомство с предметом исследования порождает убеждение в том, что задача легче, чем она есть на самом деле. При общем подходе все необходимые свойства должны быть точно сформулированы, а каждый шаг рассуждении тща- тельно исследован. С другой стороны, часто случается, что неко- торые довольно простые абстрактные рассуждения приводят к весьма общим и полезным теоремам. Ряд теорем такого рода здесь и приводится. В первом разделе мы опишем общую схему исследований, которая будет использована в дальнейшем. В следующих разделах мы сформулируем, докажем и обсудим теорему о малом коэффициенте роста в общей форме и в форме для приращений, v В разделе 4 доказывается теорема об ограниченности решения, имеющая интересное обращение. В разделе 5 доказывается весьма общая теорема существова- ния и единственности, с помощью которой удается доказать, что большинство систем с обратной связью, часто применяемых в практике, в ответ на заданные входные воздействия воспроиз- водят выходной сигнал однозначным образом. Раздел 6 посвящен доказательству теоремы преобразования Контура, которую можно трактовать как теорему устойчивости эквивалентных систем. В заключительном разделе вводится понятие •C-устойчивости и рассматриваются основные свойства систем с обратной связью. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 47 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Большинство систем с обратной связью можно представить в виде, приведенном на рис. 3.1. Символами Ui и из обозначены входные воздействия, символами у\ и г/г— выходные сигналы, а символами е^ и еч— сигналы ошибки; щ, yi и е, (t'=l, 2) яв- ляются функциями времени, обычно определенными для t^ 0 или Уг. Рис. 3.1. для t e Z+ и принимающими значения из R, R" (иногда С"), из некоторого нормированного или гильбертова пространства. В наи- более общем виде наша задача состоит в следующем: при неко- торых заданных заранее предположениях об операторах Hi и Нг показать, что если функции Ui и Ug принадлежат некоторому классу, то функции е\, е^, yi и г/а также принадлежат этому же классу. Система с обратной связью описывается уравнениями 1. "i=ei+//2(?2, 2. u-а^'}-множество всех функций, отображающих <^Г в аУ. Функциональное пространство ff является обычным линейным пространством над полем С (или (R) с определенными в нем пото- чечными операциями сложения и умножения на число: (f+g}(t)=f(t)+g(t) V/.geJ^, V^eer, (af)[t)=af(t} V^SaF, V< e=.eT, Va e= (С (или R). Для каждого Tes?~ через Рт обозначено линейное отображение пространства <У в самое себя такое, что :^), 4. где Qy— нулевой вектор пространства V. Линейность Рт следует из определения. Отображение Рт представляет собой проектор в пространстве аГ, так как Paт=Pт• Функцию fr мы будем назы- вать срезкой функции / в точке Т. Введем в пространстве of некоторую норму || • | и определим нормированное линейное подпространство Х линейного простран- ства aF'. 5. X={f: ^Г-^||Л<оо}. (Обычно lfi=\\f(t)\dt или 1Л-S 1^)1.' Определим также расширенное нормированное пространство Хц, соответствующее нормированному пространству cSf: 6. ^={Л ^--^|УТе^ПМ<^}. Мы будем полагать в дальнейшем, что норма |-[, используе- мая в определениях пространств 56 и У-е (см. (5) и (6)), удовле- творяет следующим условиям: 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 7. (i) для любых f^S^e возрастает; 8. (ii) для любых / е Х \]т Полезно ввести обозначение: отображение Т\—>-|/т-1 монотонно f\\ при T—fco. РтХ,-=\^Х,\^]т\. Принимая во внимание условия (7) и (8), мы можем перефор- мулировать определения (5) и (6) пространств Х и Х^. функция f принадлежит Ж в том и только том случае, когда действительная функция Ti—-Ц ^г1 ограничена на множестве а^; функция f при- надлежит j?< в том и только том случае, когда функция Т\—»-|/г1 отображает вГ в R (здесь ограничение на рост функции отсутст- вует!). Если в качестве °01 выбираются R или R", а в качестве Ц-Ц—^-норма, то вместо символа Х мы будем использовать обо- значения If или L'n, а вместо Xn—ife или Ifne. В дискретном случае будут использоваться символы IP, l^. If; и 1^. Упражнение 1. (a) Выберем в качестве Х пространство L°°. Пусть /: 11—*• exp (fl). Опре- делить, является ли функция / элементом L'33 или L^°. (b) Привести примеры последовательностей, принадлежащих 1\, но не при- надлежащих I1, и последовательностей, принадлежащих 1у , но не являющихся элементами /°°. Упражнение 2. Рассмотрим сужение Ру на множестве Х (но обозначе- ние РТ сохраним для дальней шего) Показать, что |Р,-|^1. Таким образом, Р,. представляет co6o,"i непрерывны,"! линейный оператор, заданный на X, прячем его норма не превосходит 1. Большинство моделей, применяемых в теории систем, является неантисипативными. Поэтому мы должны ввести понятие неанти- сипативного отображения. Отображение Н'. Хц->Хе называется неантисипативным тогда и только тогда, когда 9. Упражнение 3. Считая, что отображения //i. Яд: Хц ->- Хц неантисипа- тивны, показать, что отображение Н^Нц также неантисипативно. (Указание: учесть, что суперпозиция двух функций ассоциативна.) Упражнение 4. Пусть h s L1 (R) и и <= L2 (R). Показать, что отображение Н: Z.2 (R) -> L2 (R) иида Н: и • Hu==h * и, т. е. (Hu)(f)= I /1(<--т)и(т)йт, t в | неантисипативно тогда н только тогда, когда h(t)=:0 почти везде на интервале (~ао,0). Упражнение 5. Показать, что условие (7) выполняется вовсе не для любых норм ||.[| в пространстве У. 50 ГЛ. 3. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ (Указание: рассмотреть пространство мер [i, заданных на R^.; опреде- лить норму, как в Приложении (С.3.3); показать, что ||^т|> :^" "рч некото- ром (г.) Упражнение 6. Выполнение введенного в рамках общих положений усло- вия (7) не всегда является необходимым. Рассмотрим в качестве X класс функ- ций, преобразуемых по Фурье (согласно изложенному в Приложении В, L1 а X, VCLX, 6(t)esX, ...). Пусть feX^ и f^P^ e. Ж. Определим норму функции /J-: -.Ж, VTeR, II fr II -^Р asR где fy—преобразование Фурье функции f„, (a) Показать, что для f e L2 (R) приведенное выше соотношение является нормой. (b) Пусть / (f}==ei\ (—f)—0,26 (<—10-з), где через 1 (t) обозначена функ- ция «единичный скачок». Показать, что ;: PJ!|=| fy \\ > | /|. Упражнение 7. Некоторые типы соединений неантисипативных подсистем не являются неантисипативными. Привести пример. (Указание: рассмотреть дискретную систему с обратной связью, где «i, ?1, 1/1: Z+-»-R, "2s О- Яа—тождественное отображение, (Я^) (п) =—е^ (п) + -)-ei (п— 1) для всех п <= Z+.) Обсудить, что произойдет, если слегка изменить Н^ так, чтобы (Н^е^) (п) = =-(l-t-e)ei(n)+ei(re-l), где е<1. Упражнение 8. Пусть Hi, Н^. Же -»- Жц- Показать, что Н, (I + Н,Н,)-1 ° (/ + Н,Н^ Hi. если Hi— линейное отображение, а отображения (1-}-НцН^~1 и (/-(-/^//в)"1 определены в пространстве сй?е и переводят Хц в самое себя. Привести струк- турную схему, соответствующую этому равенству. Показать, что равенство может нарушиться, если отображение Н^ не будет линейным. Упражнение 9. В рамкях приведенных выше общих положений допустим, что функция Ue тождественно равна нулю. Полагая, что отображение [1-\-Н^Н^~1 определено в пространстве Х,, и переводит J?,, в JPp, показать, что для системы с обратной связью, изображенной на рис. 3.1 и заданной уравнениями (1) и (2), У1 = Hi (I + Н.^Н^)-1 Ui Vui a X,. Упражнение 10. Приведем второе определение неантисипативного отобра- жения. Пусть, как и раньше, Н: ^ёц-^-^е- Отображение Н называется неан- тисипативным тогда и только тогда, когда для любых Т е ST и любых х, уе^е 10. Р.,.х=Руу=^РуНх=Рт.Ну. Показать, что определения (9) и (10) эквивалентны. 2. ТЕОРЕМА О МАЛОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ РОСТА Теорема о малом коэффициете роста является весьма общей теоремой, устанавливающей достаточные условия того, что «огра- ниченное входное воздействие» вызывает «ограниченную реакцию». Теорема сформулирована так, чтобы совершенно отделить вопросы ограниченности от вопросов существования, единственности и т. д. 1. Теорема. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.1. Пусть Hi, Яд: Х,->Х„ ei, e^e.X,- Определим Ui и Uy, соотно- 2. ТЕОРЕМА О МАЛОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ РОСТА 51 шениями 2. 3. «i == ei + H^, из = ea —Н^. Предположим, что существуют постоянные числа pi, рг, ViS^O» V2 Э* 0 такие, что 4. K^i^T-IKYilkirll+Pi, 5. \\(Н^}т\\^Ъ\\егт\\+^ Тогда, если YiV2Хе существуют такие действительные числа pi и yi, что 8а. K^i^rKViB^II+Pi V^e^, VT(=^-. Очевидно, что число Yi неодназначно определяется неравенст- вом (8а). Интуитивно ясно, что нас интересует то наименьшее yi, при котором (8а) еще выполняется. Назовем коэффициентом роста оператора Hi число у (Hi) вида 8b. vi(//i)=inf{vi e|R+| 3pi: (8a) выполняется}. Эта точная нижняя грань часто обозначается через у (Hi) или •yi. Используя введенный термин, переформулируем теорему (I): если у (Hi)y(H^), произведение коэффициентов роста операторов Hi и //г, меньше 1, то в предположении, что решение существует, любая пара ограниченных входных воздействий («i, щ) определяет пару ограниченных реакций (г/i, уу), а отображение (ui, Ua) i—*- >—»• (-R, Hi и Яз отображают ^""(R^) в самое себя, ич=0. Кроме того, Hiei==g*e^, где g— заданная функция, принадлежащая L1 (R+), и (Н^) (t) = =Ф[в2(<), f], где (р: RxR+-^К—непрерывная функция, принадлежащая сек- тору [0, k). Предположим, что для всех «i е L" (R+) существует единственное решение е^, у^ s ^(R^). Построить ограничения на число k и функцию g( •) так, чтобы из Ui е U" (R+) следовало, что t/i е Ь03 (R^.). Показать, что при найденных условиях существует число от такое, что !!yi'!o3^'"l!"i!L Vui е г,00 (R.,.). Упражнение 3. Повторить упражнение 2 для дискретной системы, т. е. для случая, когда Ui, R, Hi и Нц отображают г" в самое себя и т. д. Упражнение 4. Рассмотрим систему с обратной связью, для которой йд s О и //2=Л т. е. (/+//i)ei=Hi. Предположим, что Hi: Х->-Х и (/ +Hi}-1: X-*• -г Ж. Показать, что в этом случае у [(/ + //i)~1] < со тогда и только тогда, когда существуют постоянные числа в и (З^, причем в > 0, такие, что "(/+//i)e||S5eM+p; VeeJ?. Если Мг ^з 0, нет смысла рассматривать коэффициенты роста Hi и Нч отдельно друг от друга: в таких случаях удобнее ввести «коэффициент усиления замкнутого контура» H^Hi. Следующее следствие иллюстрирует эту идею. 15. Следствие. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.1, где U2=a0. Пусть Яь Н^. Х.-^Х^, е^ е Х^. Определим Ui: 16. "1=61+^262, 17. e2=^i(?i. Предположим, что существуют постоянные числа V2iSsO> ViSsO, P2i и pi такие, что =V2i|eirl|+p2i, ;Yi|eir8+Pi ~~~ l—Tzi Vi 11(//2^l)r|| , : 11(/^i)r« Тогда, если Yai- —>-^бе. Пусть, кроме того, существуют постоянные числа fi и ^ такие, что для любого Т г вГ и любых ^, ^' е J?g 2. 3. |(Я^)г-(Я^)г||^Т1||^-Гг|, I (Н^)т - (Н^'}т I ^ V21 Sr - Ут I. Тогда, если ViV2 < 1, то (i) для любых «i, »a (= Xe существует единственное решение е\, ^2, t/i, г/2 е Хц, которое можно построить методом последова- тельных приближений; (И) отображение («i, и.г)^—^(е\, е^) является равномерно непре- рывным на множествах Рт'5б,>^Рт'У.~ и ХхХ; (iii) если, кроме того, решение, со^ветствующее Ui==Ua=0, принадлежит Ж, то Hi, u-t,<=.X-=^>e^ бг s-S?. 4. Комментарии. (а) Если отображение Hi линейно, то предположение (2) пре- вращается в следствие предположения (2.4). Действительно, если для некоторого Yi IK^iSM^TillSrI V^e^, УГе^Г. то (b) Теорема о малом коэффициенте роста по приращениям позволяет ответить на вопросы о существовании, единственности, ограниченности и непрерывной зависимости решения. (c) Простым упражнением является доказательство того, что из неравенств (2) и (3) вытекает неантисипативность отображе- ний Hi и Н^ S ТЕОРЕМА О МАЛОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ 55 5. Определение. Для заданного неантисипативного оператора Hi. Х,,—>-Хе, удовлетворяющего неравенству (2), точная нижняя грань множества гсех действительных чисел Vi, при которых (2) все еще выполняется, называется коэффициентом роста по при- ращениям оператора Hi. Обычно это число обозначают через у (Hi) или просто через Vi- Доказательство, (i) Из уравнений (1.1) и (1.2) e-t = Uz + [Hi (ui — H следовательно, f является сжатием. Поэтому при любых Т е ^Г и любых Ui, 44 е Х^ решение е^т однозначно определяется как элемент пространства Рт^е- То же самое можно утверждать и о решении е-^т, поскольку из (1.1) и неантисипатив- ности оператора Нг следует, что eiT == UIT — (Н^т)т- (И) ДЛЯ ЛЮбОГО ТееУ И ЛЮбыХ («i, Ua), ("!> U^eS'eX'^e существует единственное решение (ei, e^), (е[, е[} е^Х^е- Кроме того, eiT = HIT - (Н^г)т, е\т == и'\т - (Н^т}т- Вычтем второе равенство из первого и вычислим нормы обеих частей получившегося равенства. Тогда, используя неравенство треугольника, получим: leiT — e'iT I ==51| "ir - и'\т ! + Та 1 е^т — е'чт !• Аналогичным образом: I ear - е'2т || ^ II "аг - U'IT II + Vi В ^г - е\т 1. Из этих неравенств следует, что о. \е1т—е\т '• 1—YiVa откуда вытекает справедливость утверждения (И). 264 ПРИЛОЖЕНИЕ С. СВЕРТКИ Степень этого многочлена зависит от обобщенной функции, например, Х [fie1»] «= s". 5. Теорема. Функция / является преобразованием Лапласа функции f: R+-»-R, принадлежащей L*, тогда и только тогда, когда (a) функция f аналитична при стХ); (b) для некоторого М<оо (зависящего от f) 00 \ \}(10 + /to) j2 dtu «sS /И при всех о > 0. П раложиние О СВЕРТКИ C.I. ВВЕДЕНИЕ Для двух заданных функций и и h, отображающих R+ в R, можно вычислить (при некоторых условиях) их свертку и * h, определяемую интегральным соотношением t 1. (u*/i)'(<)=^/i(<-T)u(T)dT=-oo. При таком предположении (А) все полюсы функции h{s) принадлежат открытой левой полуплоскости тогда и только тогда, когда h e L1. Если (А) выполняется, то (i) функция h убывает не медленнее экспоненты, т. е. для некоторого /1щ <: оо и некоторого а >• О | /i (t) К h^ V< e R+; (\\) h(t)=»h(0+)f)(t)+hi_(t), где функция /ii(<) убывает не медленнее экспоненты, причем значение h (0-(-), возможно, равно нулю. Естественно, что й(04-)= lim sh(s). с. а. СВЕРТКА ФУНКЦИИ 255 (НО Если и е L1, то yel^f}^, yeL1 и, кроме того, функ- ция у непрерывна и у (i}->0 при f-»-oo. Если ueL2, то у е L2 П •L00, yeL2 и, кроме того, у непрерывна и i/(Q-»-0 при t->oo. (iv) При 1^/?^со, если usL'1, то у, ye L7' и функция у непрерывна. Положения (i) и (И) очевидны, a (iii) и (iv) вытекают из тео- ремы (С.2.14). Упражнение 1. Пусть выполняется условие (А) и при некотором целом m>l lim sm^lh(s}=c, где с—постоянное число. Сформулировать дополни- |Э|~>00 тельные положения. (Указание: рассмотреть функции h, h, ..., /i1"".) С.2. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ гЛ-теория 1. Теорема. Пусть и, v, w: R+-»-R. Если и, v, sueL1, 2. 3. и * au e L1 и u*a)==ay*u и (u*u)* ву==и*(о*оу). ||u*wJi^|u[r||ay|i; 4. Комментарий. Линейное пространство L1, в котором свертка выбрана в качестве операции умножения, представляет собой алгебру, поскольку операции сложения, умножения на число и умножения удовлетворяют всем необходимым аксиомам (см. При- ложение D). Более того, эта алгебра является банаховой, так как || и * w ||i га; | и ji • || w li и пространстве L1 полно. В соответствии с (3) алгебра является коммутативной банаховой алгеброй, не обладаю- щей, однако, единичным элементом. Упражнение 1. Обсудить возможность применения теоремы (1) в теории систем. Рассмотреть реакцию различных типов взаимного соединения линейных стационарных подсистем с импульсными характеристиками из L1. Доказательство теоремы (1) основано на применении теоремы Тонелли. Так как все интегралы рассматриваются над R+, мы будем опускать пределы интегрирования. Оценим |®*и|: 5. | (w * и) (t) | = | ^ ои (t - т) и (т) (h -si \\ w (t - т) и (т) dx, причем интеграл в правой части (5) может принимать бесконечные значения для некоторых t. Кроме того, вычислим || и * w |i: 6. \\ (w * и) (t) I dt <$ \ | \\ w {t - т) i | и (т) ] dt] dt. Рассмотрим другой повторный интеграл: 7. ^1^-т)]|У(т) dt dx= 8. ^^\u(x)\[\\w(t-x)[dt]dx= 9. то 250 ПРИЛОЖЕНИИ С. СВЕРТКИ Неравенство (6) очевидно, однако интеграл в правой части (6) может быть расходящимся. Повторный интеграл (7) с обратным порядком интегрирования, равный интегралу (8), ограничен в силу неравенства (9). По теореме Тонелли интеграл (6) сходится, поскольку сходится повторный интеграл (7). Таким образом, установлена справедливость (2). Формула (3) вытекает из (2) и теоремы Тонелли. 10. Следствие. Пусть W: V^^-R^" и и: R+-»-R". Если все элементы W и и принадлежат Z/, то 11. \W*u | W где 12. \u^\\u(t}\dt, \W•||i^|lF (0' dt H | и (t) I — некоторая норма функции и (t) в пространстве R", а | W (t} — порожденная ею норма матрицы в R'""1. 13. Замечание. Если и, t»eL1, то (a) функция w * и может быть не ограничена (на IR+) и раз- рывна; (b) предел функции vs*u при ^->-оо может быть отличен от нуля; (c) функция w*u'=»wu ограничена, равномерно непрерывна и стремится к нулю при <и—»-оо; (d) функция а) * и может не принадлежать L1. Упражнение 2. Пусть /: R+fR и /: t^—^(\+t)~'l•^t)~'/^. Пусть g: R+-»-R, причем g(t)=f(l —t) при t 0 существует t' >t Т такое, что I (g * ф) (<') | ^ Т. /.''-теория 14. Теорема. Пусть и, w. R+—»-R и <ое[1, оо]. Если и<=.]У и w е L1, то 15. \\w*u Доказательство. Предположим, что 1<:р«<оо, тогда \(w*u)(t)\-s^\ w(t-r)\1"1 u(^:)\•[w(t-г)'\l"'dx. Первый сомножитель, согласно теореме (1), принадлежит прост- ранству L1', а второй — пространству L'1. Следовательно, согласно неравенству Гельдера, | (w * и) (0 j ^ [S) w {t - т) 11 и (т) [Р drf [\ | w {t - т) |»/» ^1/?. С 3. СВЕРТКА МЕРЫ И ФУНКЦИИ 267 (Заметим, что последний сомножитель мажорируется }w У" Л Взяв глнормы от обеих частей и используя теорему (1), находим: Ew^utp^lwl^^iw^-T^iu^^dTJ^}''^ <1^В^1"'1^1"1р°1^Ы1«|р. При р-=\ неравенство (15) превращается в хорошо известное неравенство (2). При р=оо неравенство (15) очевидно, поскольку мы можем взять существенную точную верхнюю границу (ess sup) по и от интеграла свертки. 16. Замечания. (I) Неравенство (15) теоремы (14) распространимо на вектор- ный и матричный случай аналогично тому, как это сделано в следствии (10). (II) В теореме (14) функция w*u может быть не ограничена, разрывна и ее предел при /-»-оо может быть отличен от нуля. (III) Если w е L1 и и е L2, то существует более точная оценка (см. (3.6.7)) | w * и |д =s? max [ w (jw) ; | u ja. Ю Кроме того, можно показать [93, б], что w*u=wu. (IV) Неравенство (15) становится строгим неравенством только при ^==1, ос;, так как jwji является нормой отображения и»—* t-*w»y, переводящего 1" в Iю (см. (2.6.3)). Упражнение 3. Если w е L1 и и б L°°, то (a) функция w • и равномерно непрерывна (Указание: использовать утверждение (А.2.4)); (b) предел w*u при /->-оо не обязательно равен нулю. (Указание: вспомните о реакции некоторых систем на ступенчатое воздействие!) Упражнение 4. Если w е L2 и u e L2, то (a) w * и ==itu e L1; (b) 4)УнкlIИя w*u принадлежит L00, равномерно непрерывна и (it»» и} (<)->-0 при / -»- оо. Упражнение 5. Наложим более строгие ограничения на функцию w. Пусть it> е L1 П /-с", тогда w е L1' при 1 ^ р -S со. Если, кроме того, ч в L1, то функ- ция w * и е 1^ П ^сс является равномерно непрерывной и стремится н нулю при / ->• со. (Указание: учесть, что w * и е L1.) Упражнение 6. Проверить подробно теорему (14) для случая, когда и (<) е R" и W {I) e R""". Убедиться в справедливости каждого шага доказательства, используя свойства нормы, нормы отображения и т. д. С.З. СВЕРТКА МЕРЫ И ФУНКЦИИ Моделями физических систем часто являются их импульсные характеристики, которые в своем представлении могут содержать б-нмпульсы. Это обстоятельство вынуждает нас изучать не импульс- 268 ПРИЛОЖЕНИЕ С. СВЕРТКИ ную характеристику системы w, а ее переходную функцию [А. Например, если w представляет собой сумму локально интегри- руемой функции uyi и б-импульсов: 00 1. w(t)^Wi(t)+'^a^(t-t„), 0«i«2«»<..., то соответствующая функция ^ имеет вид: (х(0=^ w(t'}dt' о— 2, <+ и состоит из суммы \ Wi(t')dt' и «ступенек» высотой ось появ- о— ляющихся при tk (k=0, I, 2, ...). Верхним пределом интеграла выбрана величина t-{-, поскольку мы требуем, чтобы функция [i была непрерывна справа. Функция р,, заданная соотношением (2), является частным случаем меры на множестве R+. В частности, мера интервала (а, Ь] равна ^(Ь)—^(а). Обычно [69] интеграл измеримой функции f: R+-»-R существует и обозначается через ^(f): S/^=^(/). Пусть 3. M=sup ti(f) , где точная верхняя грань берется по всем непрерывным функ- циям f: R+-*-R с компактным носителем, обладающим свойством: sup | f{t) К 1. <>0 4. Определение. Мера ^ называется ограниченной тогда и только тогда, когда |[J,Ji(<)!oo, то [mg—f-0 при t->oo. С.4. СВЕРТКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Пусть а = (йо, QI, 02, ...) и b = (Ьц, bi, Ь^, ...)— последователь- ности действительных чисел, т. е. функции, отображающие Z+ в R. Свертка а и b определяется как последовательность у: 1. где 2. а*Ь=(уо, Vi, Va, •••), n Тя3 S aя-*fc*^ "=0, 1, 2, ... Заметим, что свертка двух последовательностей из I1 является последовательностью, также принадлежащей /1. Точнее говоря, справедлива следующая теорема. 3. Теорема (Апостол [2]). Если а и b — последовательности из I1 и 4. ^а„=а и ^Ь»=Р, о о то 5. а*Ь(=11 и с учетом обозначения (2) б. i;v„=ap; i;iv„i^(^i^iV^i&,i\ о о 'о ' ' о ' Поскольку неравенство Гельдера выполняется для последова- тельностей, справедлива следующая теорема. 7. Теорема. Пусть р е [1, ею]. Тогда, если последовательность а принадлежит /'', а последовательность Ь принадлежит I1, то 8. 9. Замечание. Соотношения (5) и (8) выполняются и в тех случаях, когда члены последовательностей а и Ь принадлежат R"^" или любому нормированному пространству при условии, что 260 ПРИЛОЖЕНИЕ D. АЛГЕБРЫ в последнем случае определена операция умножения двух элемен- тов и |а& |<;; a i|]] b i| для всех а и 6. Действительно, внимательно рассматривая определения и соответствующие доказательства и учитывая общее определение сходимости в нормированных прост- ранствах (А.2.2) и свойства нормы, можно убедиться, что спра- ведливость каждого шага доказательства не нарушается. Приложение D АЛГЕБРЫ Здесь вводятся некоторые общие определения и устанавли- ваются факты, связанные с алгебрами, подробно обсуждаются свойства алгебр в^ и в^"-^'1 и, наконец, формулируются отдель- ные полезные теоремы обращения. D.I. АЛГЕБРЫ 1. Определение. Линейным, пространством называется множе- ство V элементов в совокупности с полем К и двумя операциями: сложением (т. е. отображением VxV-^-V}. определенным на V, и умножением на число (т, е. отображением УхК->У), причем сложение обладает свойствами • ссоциативности и коммутативности, относительно сложения существует нулевой вектор 9 и для каждого элемента v s V существует ему противоположный элемент —veV; операция умножения на число является ассоциативной, дистри- бутивной относительно сложения и, кроме того, lo=u для любых os V. 2. Определение. Если на множестве 'V, кроме умножения на число, определить умножение элементов, то v превратится в ал- гебру. Строго говоря, множество е^ называется алгеброй над полем К в том и только том случае, когда (1) а^ — линейное пространство над К (следовательно, на мно- жестве а^ определены операции сложения и умножения на число); (2) определено умножение элементов, т. е. отображение (х,у)>—- |—- ну, переводящее о^ х wf в о^ и обладающее свойством ассо- ци.тивности: (ху) г = х (уг) = хуг Vx, у. г е а^\ (3) умножегие дистрибутивно относительно сложения: х (у-{-г) = ху + хг, (у + г) х = ух + гх \/х, у, г s э^\ (4) умножение ч умножение на число коммутативны: (ах)(ру)=(ар)(^) Уа, ре К, ^х,у=:в^. D. I. АЛГЕБРЫ 261 3. Замечания. (a) Аксиомы (3) и (4) можно выразить иначе, а именно: умно- жение является билинейным отображением из а^Ха-^ в в^ (над полем К). (b) Если умножение элементов коммутативно, то алгебра назы- вается коммутативной. (c) Алгебра o/l вовсе не обязательно должна обладать единич- ным элементом, т. е. элементом е таким, что ех = хе = х для любых х s а^. (d) Если множество А, удовлетворяющее аксиомам (1)—(4), является, кроме того, банаховым пространством над полем К (т. е. полным нормированным пространством) и если g ху || ^ [ х ]] || у | для любых х, у е в^, то А называется банаховой алгеброй. Если е^ имеет единичный элемент е, то норма обычно выбирается так, чтобы || е j == 1. 4. Примеры. 1. Множество всех {п х п)-матриц с элементами из поля К вместе с обычными операциями сложения, умножения и умножения на число представляет собой некоммутативную алгебру с единичным элементом (в качестве единицы выступает единичная матрица). 2. Класс всех линейных непрерывных отображений из ё в ё, где ё— п[ оизвольное нормированное линейное пространство, является некоммутативной алгеброй с единичным элементом. (В качестве умножения здесь принята композиция линейных ото- бражений.) 3. Пусть &^=L1(R) с операцией свертки, выбранной в каче- стве произведения элементов, ат^ представляет собой коммутатив- ную алгебру без единицы. (Единицей является функция 6 (t), не принадлежащая L1 (R).) 4. Пусть элементы множества е^ представнмы в следующем виде: 5. ^ Ыо+2^-<.). ^о. 1 0. t<0, где g„ <= L1 (R+); gi е R при любых f и 00 ^ g,! i. (i) Обобшип результат на случай, кощя ; е L^ (8^+) и а> е о^'1'" (У качание: использовать теорему (2.6.7).) Расширения 11. Определение. Пусть о е R. Определим алгебру в^ (о) как множество, состоящее из элементов вида (5), где, кроме того, мы требуем, чтобы 12. D. 2. ИДЕАЛЫ 263 13. S \gk е-^те. о; (b) функция g ограничена при Re s э- о; в действительности sup Res>a '(s) :Ui (с) функция (о !—•• g (о -|- /и) непрерывна и ограничена на R 15. Определение. Пусть oeR и а-^" (ст) — множество всех упорядоченных п-ок g=(gi, ga. •••> gn) таких, что g; е а^ (ст) при t'=l, 2, ..., п. Аналогичным образом, пусть в^^" (а)— множество всех (пхп)-матриц G==(gy) (f, /'==!, 2, ..., п) таких, что gij e а^ (а). Упражнение 6. Показать, что в/^"^'1 (о) является некоммутативно ' бана- ховой алгеброй с единицей. Упражнение 7. Пусть Я s д/^"'"'". Будем полагать, что Н определяет отображение L в самое себя, причем Н: и i—•• Н * и. Определим в простран- стве R" <°°-норму соотношением | x(f) ==max , Xi (i) . i Показать, что норма отображения Н имеет вид jffHmax ^ ih^.}^, i /'-l где hij—(i, 0-элемент матрицы Н. D.2. ИДЕАЛЫ 1. Определение. Множество оУ называется идеалом коммутатив- ной алгебры o^f тогда и только тогда, когда (a) <г7 — линейное пространство и в7 с:а^; (b) t е <г7 => ix e sS7' для любых х е а^. 2. Определение. Алгебра е^ и пустое множество ф являются идеалами алгебры о^ и называются тривиальными идеалами в^'. Идеал в7 алгебры о^ называется собственным идеалом в//' тогда и только тогда, когда <э7 ^= ф и в7^в^, т. е. а7—непустое собственное подмножество о^. 264 ПРИЛОЖЕНИЕ D. АЛГЕБРЫ Упражнение 1. Рассмотрим коммутативную алгебру всех диагональных (пхл)-матриц с элементами из R. Показать, что множество U всех диагональ- ных матриц X, для которых ;сц=0, является идеалом Упражнение 2. /,' (R^.) является идеалом алгебры ел?', определенно!' выше. Упражнение 3. Рассмотрим алгебру <з^== {/ е L1 (IR); свертка в качестве умножения}. Показать, что множество U^{fe.p:i1 f (;(0())==0 для некоторого фиксированного Юц} является идеалом алгебры ^?. Упражнение 4. Рассмотреть алгебру о/! из примера D1 4.4. Показать, что множество ^=={/Sp.^': /(s„)==0 для некоторого фиксированного ,<ц. где Re $о 5-0}—идеал алгебры в/f. 3. Теорема. Пусть в^ — коммутативная алгебра с единицей е и U — собственный идеал алгебры О g(s)|>0. : в^'• Показать, что неравенство использовать лемму Римгна — Упражнение 1. Предположим, что g s L1 с (2) никогда не выполняется. (Указание: Лебега.) Доказательство теоремы (1 Необходимость. Пусть х — обратный элемент для g, т. е. g*J:==6. Поскольку g, хе.а'^, для любых s таких, что Re s^O, g (s) x (s) = 1. Кроме того, так как х е а^', то SUP !Л-(5)|^|Л-Ь<00. Rcs^-O Следовательно, для любых s таких, s что Res^O, \g(s)\=\x(s)-l^^xV. Достаточность. Доказательство этой части теоремы см. у Хилла и Филлипса [51]. D 3, ОБРАЩЕНИЯ В АЛГЕБРЕ wf 265 Все окончательно проясняется, если отметить следующее. Если бы существовало s„ е (D такое, что Re So S* 0 и g (So) = 0, то функ- ция g принадлежала бы собственному идеалу алгебры в^ и не имела бы обратного элемента из е^. Поэтому для того, чтобы в ®^ существовал элемент, обратный g, для любых s е (С таких, что Re s$s 0, должно выполняться неравенство l g (s) | >• 0. С другой стороны, если в области ResssO существовала бы последователь- ность {s»}, для которой l g (Si,) \ —г оо при is»l-^-oo, изображение по Лапласу функции g"1 не обладало бы свойством ограниченности при ResSiO. 3. Следствие. Пусть G е в^"'", тогда G имеет обратный эле- мент в ^"х" в том и только том случае, когда 4. inf det С (s)' > 0. принять во внимание = в.^ == ЗБ (ст?) следует и следствие (3) для алгебр Доказательство очевидно, если правило Крамера и то, что из /,gi s^f(s}g(s). Упражнение 2. Сформулировать теорему (1) в^ (о) и е^я"" <о). Дискретный случай Здесь мы сформулируем аналог приведенной выше теоремы (1) для дискретного времени. Рассмотрим все односторонние последовательности, и, в частности, последовательности из пространства / с» \ ^^==(go, gi, ^2, ...)!g,<=R, ^ Igil^gKoo}. Линейное про- V С •' странство l1 превращается в коммутативную алгебру с единицей, если в качестве операции умножения использовать свертку после- довательностей. Согласно теореме (С.4.3), пространство l1 замкнуто относительно этой операции умножения. Упражнение 3. Проверить, что пространство Г со сверткой, введенной в качестве умножения, является алгеброй над полем I? в соответствии с опре- делением (D.I.2). Пусть g е l1', определим функцию g(Z)=|^2-*. li=0 Нетрудно доказать следующую теорему. 5. Теорема. Если gel1, то (а) г<—••g (г')—аналитическая функция от г при ]2l>-l; 268 ПРИЛОЖЕНИЕ D. АЛГЕБРЫ (b) функция 9 i—»g-(e'9) равномерно непрерывна на интервале [О, 2я]; (c) g (г) 1-ssjg-H для любых [г =5-1; (d) g(z)-^ga при \г\-^оо. Сформулируем теорему Винера [98] — аналог теоремы 1. 6. Теорема. Пусть (односторонняя) последовательность g = = (go, gi, gt, • • •), где go ф 0, принадлежит пространству /1. Тогда g имеет обратную последовательность из I1 в том и только том случае, когда кривая 7. представляющая собой образ интервала [0, 2л] в (D, не проходит через начало координат и не окружает его. 8. Теорему (6) можно переформулировать следующим образом. Пусть g е /1, тогда g имеет обратный элемент, принадлежащий /i, в том и только том случае, когда inf \g(z) >• 0. г >1 Эквивалентность (6) и (8) вытекает из утверждения (d) теоре- мы (5) и принципа аргумента. Упражнение 4. Вместо алгебры I1 рассмотрим алгебру I1 (р). Пусть 0-R локально интегрируемы; (И) g5s0 и k^sO; {W)ge=LT; (iv) функция gk локально интегрируема на IR. Тогда, если функция и: |R+->-!R удовлетворяет условию 2. u(t)^f(t)+g(t^k(r)u(r)dx V ? (т^) dTi ch-2... dTn = n " I ft t-l 10. -g(OS[(n- l)!]-1^^!)^^)^! *(T)? "2 -? •/з + •; 1 + hi) hofo + Vi, "»^/з+(1+^)(1+^)/1о/о+ +(l+/l2)/lJl+/I^, что ЛЕММА БЕЛЛМАНА — ГРОНУОЛЛА 369 Неравенство (16) нетрудно получить по индукции. Отметим, з (a) если /1,^/1л для некоторого /i^ и любых t, то Uk^fk+hM Z O+W-'-Vi; 0«<:te (b) если fi-^fM Для некоторого /м и любых (', то Uk^fM П (l+^•)• 0. 64. Pa ley R. E. A. C., Wiener N. Fourier transforms. — Amer. Math. Soc Coil. Publ., v. XIX, New Providence, 1934. 65. Ре r kins W. R. Sensitivity analysis.—In.: Стиг J. B. (ed.). Feedback Systems, New York, McGraw-Hill, 1972. ЛИТВРАТУРА 273 66. P о p о v V. М. Some Properties of the Control Systems with Irreducible Matrix-Transfer Functions.—Seminar on Differential Equation» and Dyna- mical Systems, Lecture Notes in Mathematics 144.—New York: Spriiiger- Verlag, 1970. 67. R a "i a r a j a n S., Thathachar M. A. L. Z^-stabi-lity of time-va- rying systems with global conditions on the time-varying gain.—Int. J. Syst. Sci., v. 3, № 4, pp. 385—394, Dec. 1972. 68. Rosenbrock H. H. State Space and Multivariable Theory.—New York: Wiley-Interscience, 1970. 69. Roy den H. L. Real Analysis.—New York: The Macrnlllan Co., 1963. 70. Saeks R. Causality In Hilbert space.—SlAM Rev., v. 12, № 3, pp. 357—383, July 1970. 71. Saeks R, Resolution Space, Operators Systems. — New York: Sprin- ger-Verlag, 1973. 72. Sandberg I. W. On the properties of systems that distort signals (I and II).—Bell Sys. Tech. J., v. 42, pp. 2033—2047, Sept. 1963; v. 43, pp. 91—112, Jan. 1964. 73. Sandberg I. W. On truncation techneques In the approximate ana- lysis of periodically time-varying networks.—IEEE Trails. Circuit Theory, v. CT-11. № 2, pp. 195—201, June 1964. 74. Sandberg I. W. On the j?j-boundness of solutions of nonlinear fun- ctional equations.—Bell Sys. Tech. J., v. 43, pp. 1581—1599, July 1964. 76. Sandberg 1. W. A frequency domain condition for stability of feed- back systems containing a single time-varying nonlinear element.—Bell Sys Tech. J., v. 43, pp. 1601—1608, pt. II, July, 1964. 76. Sandberg I. W. Feedback-domain criteria for the stability of nonli- near feedback systems.—Proc. NEC. v. 20. pp. 737—740, 1964. 77. Sandberg I. W. On the boundedness of solutions of nonlinear inte- gral equations.—Bell Sys. Tech. J., v. 44, pp. 439-453, Mar. 1965. 78. Sandberg 1. W. A stability criterion for linear networks containing time-varying capacitors.—IEEE Trans. Circiut Theory, v. CT-12, № 1, pp. 2—12, Mar. 1965. 79. Sandberg I. W. Some results on the theory of physical systems go- verned bynonlinear functional equations.—Bell Sys. Tech. J., v. 44, pp. 871—898, May—June 1965. 80. Sandberg I. W. An observation concerning the application of the contraction mapping fixed-point theorem and a result concerning the norm- boundedness of solutions of nonlinear functional equations.—Bell Sys. Tech J., v. 44, pp. 1809--1812, 1965. 81. Sandberg I. W. Some stability results related to those of V. M. Po- pov.-Bell Sys. Tech. J., v. 44, pp. 2133—2148, Nov. 1965. 82. Sandberg I. W. Conditions for tlie causality of nonlinear operators defined on a function space.—Q. of Appl. Math., v. XXIII, № 1, pp. 87—91, Apr. 1965, 83. Sandberg I. W. On the stability of linear systems containing a time-varying element with restricted rat" of variation.—IEEE Int. Conv. Rec. (USA), v. 14, pt. 7, pp, 173—182, 1966. . 84. Sandberg 1. W. On generalizations and extensions of the Popov criterion.—ГЕЕА Trans. Circuit Theory, v. CT-13. № 1, pp. 117—118, Ma;-. 1966. 85. Sctiwartz L. Theorie des Distributions.—Paris: Hermann, 1966. 86. Skoog R. A., Blankenship G. L. Generalized pulse-modulated feedback systems: norms, gains, Lipschitz constants, and stability. — IEEE Trans. Automat. Control, v. AC-15, № 3, pp. 300—315, June 1970. 87. S u n d a re s ha n M. K., Thathachar M. A. L. La-stability of nonlinear time-varving systems—conditions involving noncausal multi- pliers.—IEEE Trans. Automat. Control, v. AC-17, №4, pp. 504—510, Aug. 1972. 274 ЛИТЕРАТУРА 88. Sundareshan М. К., Thathachar М. A. L. Time domain cri. teria for the L'-stability of nonstationary feedback systems.—IEEE Trans. Automat. Control, v. AC-18, № 1, pp. 80—81, Feb. 1973. 89. S u n d а г esha n М. К., Thathachar M. A. L. Generalized factoriza- bility conditions for stability multipliers.—IEEE Trans. Automat. Con- trol, v. AC-18, № 2, Apr. 1973. 90. Takeda S., Be г gen A. R. Instability of feedback systems by orthogonal decomposition of La.—IEEE Trans. Automat. Control, v. AC-18, № 6, pp. 631—636, Dec. 1973. 91. Thathachar M. A. L., Srinath M. D., Krishna G. Stabi- lity with nonlinearity in a sector.—IEEE Trans. Automat. Control, v. AC-11, № 2, pp. 311—312, Apr. 1966. 92. Thomasian A. J. The Structure of Probability Theory with Appli- cations.—New York: McGraw-Hill, 1969. 93. Titmarsh E. C. Theory of Fourier Integrals.—New York: Oxford Univ. Press, 1938. [Русский перевод: Титчмарш E. Введение в теорию интегралов Фурье.—М.—Л.: Гостехиздат, 1948.] 94. Vidyasagar M. Input-output stability of a broad class of linear time-invariant multivariable feedback systems.—J. SIAM Control, v. 10, pp. 203—209, Feb. 1972. 95. Vidyasagar M. Ln-stability of time-varying linear feedback sy- stems.—IEEE Trans. Automat Control, v. AC-17, № 3, pp. 412—414, June 1972. 96. Vidyasagar M. Some applications of the spectral radius concept to nonlinear feedback stability.—IEEE Trans, Circuit Theory, v, CT-19, № 6, pp. 608—615, Nov. 1972. 97. Wang S. H. Design of Linear Multivariable Systems.—Ph. D. Thesis, Univ. of California, 1971. 98. Wiener N. The Fourier Integral and Certain of Its Applications.— Cambridge Univ. Press, London and New York, 1933. [P у с с к и и пе- ревод: Винер H. Интеграл Фурье и некоторые его приложения.— М.: Физматгиз, 1963.] 99. Willems J. С. Stability, instability, invertibility and causality.— J. SIAM Control, v. 7, pp. 645—671, Nov. 1969. 100. Willems J. C. Some results on the LP-stability of linear time-varying systems.—IEEE Trans. Automat. Control, v AC-14, № 6, pp. 660—665, Dec. 1969. 101. Willems J. C., Brockett R. W. Some new rearrangement ine- qualities having application in stability analysis.—IEEE Trans. Automat. Control, v. AC-13, № 5, pp. 539—549, Oct. 1968. 102. Willems J. C. A survey of stability of distributed parameter sy- stems.—In: Control of Distributed Parameter Systems. Publ by the ASME for the JAAC, Aug. 1969. 103. Willems J. C. The Analysis of Feedback Systems.—Cambridge, Mas- sachusetts: MIT Press, 1971. 104. W о 1 о v i с h W. A. The determination of state-space representation for linear multivariable systems.—In: Second IFAC Symp. Multivariable Tech. Contr. Syst., Diisseldorf, Germany, October 1971. 105. Wu M. Y., Desoer C. A. LP-stability (lag рай со) of nonlinear time-varying feedback systems.—J. SIAM Control, v. 7, № 2, pp. 356—364, May 1969. 106. Wu M. Y., Desoer C. A. Input-output properties of multiplp-input- multiple-output discrete systems, pt. II.—J. Frankli i Inst., v. 290, № 2, pp. 85—101, Aug. 1960. 107. Yoshlzawa Т. Stability Theory by Liapunov's Second Method.—To- kyo: Maruzen, 1966. 108. Yosida К. Functional Analysis.—New York: Academic Press, 1965. [Русский перевод: Иосида К. Функциональный анализ.—М.: Мир. 1967.] ЛИТЕРАТУРА 275 109. Youla D. C., Castrlota L. J., CarUn H. J. Bounded real scattering matrices and the foundations of linear passive network theory —IRE Trans Circuit Theory, v. CT-4, № 1, pp 102—124, Mar. 1959. 110. Zanies G. On the stability of nonlinear time-varying feedback sy- stems.—Proc. NEC, v. 20, pp. 725—730, 1964. 111. Zames G. Nonlinear time-varying Feedback systems—conditions for L„-boundedness derived using conic operators on exponenlially weighted spaced.—In: Proc. 3rd Allerton Conf., Oct. 1965. 112. Zames G On the input-output stability of nonlineai time-varying feedback systems, pts. 1 and II.—IEEE Trans. Automat. Control, v. AC-11, № 2. pp. 228—238, Apr. 1966; № 3, pp. 465-477, July 1966. 113. Zames G., Falb P. L. On stability of systems with monotone and odd monotone nonlinearitles.—IEEE Trans. Automat. Control, v. AC-12, № 2, pp. 221—222, Apr. 1967. 114. Zames G., Falb P. L. Stability conditions for systems with mono- tone and slope restricted nonlinearities.—J. SIAM Control, v. 6, № 1, pp. 89—108, Feb. 1968. 115. Zames G„ Kallman R. R. On spectral mapping, higher order circle criteria, and periodically varying systems.—IEEE Trans. Automat. Control, v. AC-15, № 6, pp. 649—652, Dec. 1970. 116 Зубов В. И. Методы А. М. Ляпунова и их применение.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгебра банахова 261 — коммутативная 261 —, обращение элементов 264 — в^(о) 262 — в^"^ (о) 263 —е» 226 —^ 228 —<». 228 — -л' '" _ р /Р °° 20 — L1. I2, L"' 21, 25, 26 — LP 25 — LV |а, й| 27 — L", (R+), 1^ (R) 27 —X (?, E) 29 — X (?, E} 32 Пространство X, 56, 48 — e%", e%"» i89 Радиус спектральный 37, 39 Разность возвратная 82 — — матричная 82 Римана—Лебега лемма 252 Ряды 253 —, сходимость 253 Свертка, определение 254 — последовательностей 259 —, свойства 255, 256 — функций 255 Сектор 11 Секторное условие, определение 11, 15 — —, эквивалентность 12, 13, 17 Система автономная 171 — линейная 67 —, линеаризация 144 — многоконтурная 67 — нелинейная 144 — нестационарная 120 — одноконтурная 67 — с медленно меняющимися параме- трами 164, 181 Спектр < тображения 38 Спектральное число 38 Спектральный радиус 37, 39 Срезка функции 49 Существование решений 57 — — периодических 168 Георема об ограниченности 56 — о коэффициенте роста 50 — — — — по приращениям 54 — о неустойчивости 177 181, 242 — о пассивности 197 — о преобразовании контура 61 — о сжимающем отображении 38, 50, 54, 58, 168 —— Парсеваля 252 — Попова, см. Критерий Попова — существования и единственности ?8 — Тонелли 249 Траектория опорная 145 — фазовая 144 Уравнение замкнутой системы 64 Усилители 215 Условие Липшица 61, 140 Устойчивость в целом 142 — равномерная 142 — экспоненциальная 69, 79 — X 63 278 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Устойчивость L°° 121, 127, 139, 159 — LP 121, 127, 139, 153 — L2 155 — L1 127 139 — /" 141 Функция абсолютно непрерывная 247 — выпуклая 39 — —. производная по направлению 39 — локально интегрируемая 20, 21 25 — обобщенная 261 — передаточная замкнутой системы 96 — — правильная 96 — — строго правильная 96 —« — экспоненциально устойчивая 96 — почти периодическая 117 Функция регулярная 246 — ступенчатая 246 Факторизация матриц, теорема 74 — —, процедура 76 — операторов с помощью логарифмов 224 — — — — проекторов 228 — передаточных функций 98, 100, 119 Характеристика 12, 13, 17 Характеристическое уравнение 90 Эквивалентность норм 22 — секторных условий 12, 13, 17 Ч. Деэоер, М. Видьясагар Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения Редактор Д. С. фурманов Техн. редактор И. Ш. Аквельрод Корректоры О. Л. Бутусова, К. Я. Строева ИБ № 11711 С^»1но в набор 27.10.82. Подписано к печати 21.03.83. Формат 60х90'/ц. Бумага тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 17,5. Уч.- мэд. л. 18,4. Тираж 3600 экз. Заказ № 647. Цена 3 р. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 1Б Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно- техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государст- венном комитете СССР по делам издательств, по- лиграфии и книжной торговли, 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский ар,, 16. Отпечатано в типографии .V» 2 иэд-ва «Наука», 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер. № Зак. 2841 ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 117071, Москва, В-71,Ленинский проспект, 15 j ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ: Бутковскнй А. Г., Самойлеико Ю. И. Управление квантовоме- ханиическими процессами. В книге впервые систематически излагается подход с позиций теории управления к проблеме целенаправленного воздействия на микропроцессы, описываемые квантовомеханическими закономер- ностями. Даются точные постановки задач управления, сформулиро- ванные в терминах чистых и смешанных состояний квантовых си- стем, операторов физических величин, средних значений и момен- тов распределений. В качестве управляющих воздействий рас- сматривается, в частности, возмущение гамильтониана внешними физическими полями. Освещаются также принципиальные поло- жения теории динамических систем с запасенной энергией и от- рицательной восприимчивостью. Ч. ДЕЗОЕР, М. ВИДЬЯСАГАР СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ: ВХОД-ВЫХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ Перевод с английского А. С. БЕРНШТЕЙНА Под редакцией Ю. С. ПОПКОВА МОСКВА <НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1983