ББК 22.162 Т16 УДК517 Рецензенты: кафедра высшей математики МИФИ (зав. кафедрой — проф. А. И. Прилепко); Ш. А. Алимов—д-р физ.-мат. наук, проф. (МГУ им. М. В. Ломоносова). Талдыкин А. Т. Т16 Элементы прикладного функционального анализа: Учеб. пособие.—М.: Высш. школа, 1982.—383 с. В пер.: 1 р. 10 к. В книге изложены основы аналитического аппарата теории функций со значениями в нормированных пространствах (и особенно в пространствах со скалярным произведением). Показаны также приложения этого аппарата при изучении операторных уравнений, в теории случайяых процессов и в теории управления движением. Предназначается для студентов университетов. 1702050000—340 001(01)-82 38-82 ББК 22.162 517.2 Издательство «Высшая школа», 1982 ПРЕДИСЛОВИЕ Выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, носит условный характер и преследует главным образом! методи- ческую цель—сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Рассмотрение в функциональном анализе различных задач с более общей, более абстрактной точки зрения позволяет обнару- жить общие глубокие закономерности и связи, так как при этом не имеющие значения детали каждой отдельной задачи опуска- ются и уже не заслоняют существа дела; становится яснее и род- ство различных по форме и происхождению задач. Выявление общего для целого класса задач, различных по своему конкретному содержанию, создание методов решения классов задач помогают ориентироваться в математических проблемах и создают картину математического мира, т. е. специфическое математическое миро- воззрение. Функциональный анализ имеет множество приложений в раз- личных областях математики; его методы проникают и в смежные технические дисциплины. Очень сложно в одной книге дать обзор всех прикладных методов функционального анализа. Поэтому в предлагаемой книге освещаются лишь некоторые из них, играющие важную роль и наименее освещенные в литературе. В основном для целей приложений излагаются основы аналитического аппа- рата теории функций со значениями .в нормированных простран- ствах, особенно в пространствах со скалярным произведением, и показаны приложения этого аппарата при изучении операторных уравнений, в теории случайных процессов и теории управления. Векторные функции, заданные на счетном множестве точек (по- следовательности или системы векторов) в пространстве со ска- лярным произведением, изучаются в довольно общем виде без предположений об ортогональности "или нормированности векторов. В этом изучении важнейшую роль играет матрица Грама (скаляр- ных произведений) векторов системы. Приведена классификация систем, изучены их свойства, в особенности связанные с аппрок- симациями и разложениями с помощью векторов системы, т. е. из- ложена теория систем векторов, в том числе многомерных и бес- конечномерных. Векторные функции непрерывного аргумента изу- чаются с помощью так называемой функции Грама. Линейные операторные уравнения рассматриваются без предположения о самосопряженности их операторов. Для них среди других форму- лируются теоремы о представлении их решений или в виде аппро- ксимаций, или в виде рядов, в частности по собственным и при- соединенным элементам оператора. Затем излагаются вариацион- ные методы решений уравнений. При довольно широких условиях последовательность случай- ных величин или случайных векторов можно трактовать как век- торную функцию дискретного аргумента, а случайную величину непрерывного аргумента—как векторную функцию непрерывного аргумента, поэтому развитый аналитический аппарат можно при- менить при изучении стохастических последовательностей и слу- чайных функций непрерывного аргумента. Этот аналитический аппарат нашел применение и при анализе задачи об осуществле- нии движения по заданной траектории в гильбертовом простран- стве. Основной материал книги в течение ряда лет был содержанием спецкурса и спецсеминара для студентов и аспирантов факультета прикладной математики—процессов управления Ленинградского университета. Он будет полезен широкому кругу студентов и ис- следователей, заинтересованных в изучении и использовании при- кладных методов математики. Книга состоит из шести глав, которые делятся на параграфы, параграфы—на пункты. Нумерация пунктов обозначается двумя числами, разделенными точкой. Первое число обозначает номер параграфа в главе, а второе—номер пункта в параграфе. Фор- мулы имеют нумерацию в каждом параграфе, также состоящую из двух чисел, разделенных точкой. Первое число означает номер параграфа, а второе—номер формулы в параграфе. Основные тео- ремы нумеруются отдельно в каждом параграфе. Автор приносит самую глубокую благодарность рецензентам книги: профессору факультета вычислительной математики и ки- бернетики Московского государственного университета им.М. В. Ло- моносова доктору физико-математических наук Ш. А. Алимову, заведующему кафедрой высшей математики Московского инже- нерно-физического института профессору А. И. Прилепко и со- трудникам этой кафедры профессору В. И. Чистякову и доцентам А. А. Новикову и А. И. Павлову за критические замечания и советы, способствовавшие устранению некоторых ошибок и упущений. * Автор будет признателен за любые замечания и суждения, спо- собствующие устранению недостатков этой книги. Автор ГЛАВА I ПРОСТРАНСТВА. ОТОБРАЖЕНИЯ § 1. ПРОСТРАНСТВА 1.1. Множества. Множеством, называют собрание или совокуп- ность объектов, объединенных по какому-нибудь признаку. При этом объекты совокупности называются элементами или точками множе- ства. Когда объект а является элементом множества Е (принадле- жит множеству Е), пишут a f_E или Е^ а. Если же а не является элементом множества Е (не принадлежит этому множеству), пишут а^Е илиа^Е. Множество F, все элементы которого принадлежат множеству Е, называется подмножеством или частью множества Е. При этом пишут Fc? или E^>F {F включено в ?). Часть множе- ства, вообще говоря, определяется каким-либо свойством. Может оказаться, что ни один элемент множества Е этим свойством не об- ладает, и тогда говорят, что такое подмножество F есть пустое мно- жество. Пустое множество обозначается символом 0. По определе- нию пустое множество входит в любое множество Е: 0c?. Очевидно, что ЕсЕ. Если Fc? и GdF, то Gc?. Это означает, что отношение включения с: транзитивно. Множество элементов из Е, не принадлежащих некоторой его части А, называется дополнением к множеству Л в Е и обознача- ется СдЕ, или часто СА. Очевидно, что ССЛ=Л, и если ЛсВ, то СЛзСЙ. Если Л и В—две части множества Е и Лз В, то разность Л—В, или А\В, есть множество элементов Л, не принадлежа- щих В. Этот же символ разности двух множеств Л и В в общем случае, по определению, есть множество элементов Л, не принадле- жащих множеству В. Если ЛсВ и ВсЛ, то говорят, что множества Л и В совпадают (равны), и пишут А=В. Объединением (суммой) E\JF (или E+F} называется множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Е или F. Объединением (суммой) OE^!'^EЛ множеств ?, называется множе- (• V I ) ство, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств ?j. Операция объединения коммутативна: E()F=F\JE и ассоциативна: {Е [jF) UG=? (J (F\JG). Очевидно, что E\JiE=E, и если FcE, то E\JF=E. Пересечением Е П F множеств Е и F называется множество эле- ментов, принадлежащих одновременно Е и F. Пересечением П E^ i множеств J5, называется множествб, состоящее из элементов, общих ЛИТЕРАТУРА 1. Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М., 1974. 2. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967. 3. Б е резин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. М., I960. 4. Бернштейн С. Н. Теория вероятностей. М., 1934. 5. Бурбаки Н. Интегрирование. М., 1970. 6. В у лих Б. 3. Введение в функциональный анализ. М., 1967. 7. Гохберг И. Ц., К р е и н М. Г. Введение в теорию линейных несамо- сопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М., 1965. 8. Г у pea Э. Курс математического анализа. Т. III, ч. 2. М., 1934. 9.Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифферен- циальных уравнений в банаховом пространстве. М., 1970. 10. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. I. М., 1962. 11. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем. М., 1974. 12. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М., 1956. 13. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М., 1975. 14. Зубов В. И. Математические, методы исследования систем автомати- ческого регулирования. 2-е изд. Л., 1974. 1.5. Канторович Л. В., А кило в Г. П. Функциональный анализ в нор- мированных пространствах. М., 1959. 16. Канторович Л. В., Крылов В. И. Численные методы высшего ана- лиза. М., 1949. 17. К а т о Т. Теория возмущений линейных операторов. М., 1972. 18. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов. несамосопряженных операторов.—Усп. мат. наук, 1971, т. 26, вып. 4(166)» с. 5—41. 19. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1972. 20. Красносельский М. А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М., 1969 (Авт.: М. А. Красносельский, Г. М. Ёайникко, П. П. Заб- рейко, Я. Б. Рутицкий, В. Я. Стеценко). 21.Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движе- ния. М„ 1959, 22. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.„ 1976. » — 381 — 23. Крейн с. l. линейные уравнения в банаховом пространстве. М., 1971 24. К р е и н С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967. 25. К уран т Р., Гильберт Д. Методы математической физики. I. М. J Уоо. 26. Л оэ в М. Теория вероятностей. М., 1962.. 27. Л юстер'ник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М., 1951. 28. М и х л и н С. Г. Вариационные методы в математической физике. М. 29. М и х л и н С. Г. Численная реализация вариационных методов. М., 1966. , 30. Никольский С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах.—Изв. АН СССР. Математика, 1943, т. 7, с. 147_162. 31. Плеснер А. И. Спектральная теория линейных операторов 1—Усп мат. наук, 1941, т. 1, вып. 9, с. 3—123. ,j2. Плеснер А. И., Р о х л и н В. А. Спектральная теория линейных опе- раторов.—Усп. мат. наук, 1949, т. 1, вып. 1(11), с. 71—191. 33. П о н т р,я г и н Л. С. Математическая теория оптимальных процессов М., 1976. 34. Радон И. О линейных функциональных преобразованиях и функцио- нальных уравнениях.—Усп. мат. наук, 1936, вып. 5, с. 200—227. 35. Р и с с Ф. О линейных функциональных уравнениях.— Усп. мат. наук 1936, вып. 1; с. 175—199. ' 36. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М., 1954. 37. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. М., 1951. 38. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 5. М., 1969. 39. Талдыкин А. Т. Системы и ряды элементов. М., 1971. 40. Талдыкин А. Т. О линейных уравнениях — Диф. уравнения, 1975 т. XI, № 6, с. 1118—1127. ' ' • 41. Талдыкин А. Т. О существовании собственных значений и о полноте систем собственных и присоединенных элементов у линейных оператооов _ ДАН СССР, 1953, т. 92, № 6, с. 1121—1124. ' 42. Т а л д ы к и н А. Т. О признаках базиса гильбертова пространства — ДАН СССР, 1974, т. 216, № 3, с. 505—508. г Репина. 43. Тихонов А. К., Ар сени н В. Я. Методы решения некоторых задач. 44. Т о лето в Г. П. Ряды Фурье. М., 1951. 45. Функциональный анализ./Под ред. С. Г. Крейна. М., 1972. 46. 'Я г л о м А. М. Спектральные представления для различных 'классов слу- чайных функций.—Труды IV Всесоюз. мат. съезда, 1964, т. 1, с. 250—273. 47.Fisz M. Wahrschein iighkeitsrechnung und Mathematische'Statis tik Berein, 1462. 48.Lewin S. Integralgleichungen und Funktionalraume.— Мат сб 1932 т. 39, 4, с. 3—72. 49. Lewin S. Ober einige mit der Konvergenz im Mittel verbundenen Eigenschaften von Funktionenfolgen.—Math. Zs. 1930, Bd. 32., S. 491—511 50. Schauder I. Ober lineare vollstetige Operationen.—Studia Math. II, 1930, S. 183—196. 51. Wintrier A. Spektraltheorie der unendlichen Matrizen. Leipzig, 1929. ОГЛАВЛЕНИЕ Александр Тихонович Талдыкин ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Заведующая редакцией Е. С. Гридасова. Редактор А. И. Селиверстова. Младшие редакторы: С. А. Доровских, Н. П. Майкова, Н. Г. Закалюкина. Художественный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор Р. С. Ро- дичева. Корректор Г. И. Кострикова. ИБ № 3595 Изд. № ФМ—685 Сдано в набор 20.10.81. Подп. в печать 17.05.82. Формат бахОО'/^. Бум. тип. № 3. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 24 усл. печ. л. 24 усл. кр.-отт. 24.35 уч.-изд. л. Тираж 10000 экз. Зак. № 510. Цена 1р. 10 к. Издательство «Высшая школа», Л^осква, К-51. Неглинная ул., д. 29/14 Типография изд-ва «Уральский рабочий», Свердловск, просп. Ленина, 49.