22.16 Л.22 УДК 517 P. Lankaster Theory of matrices Academic Press New York — London 1969 Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ.—М-: Наука. Главная редакция фи- зико-митематнчсскон литера гуры, 1982.—272 с. Книга предназначена быть основой для спецкурсов и справочным пособием для всех интересующихся прикладными аспектами теории матриц. Ее можно рассматривать кан хорошее дополнение к обычному курсу линейной алгебры (первые две главы — изложе- ние линейной алгебры па матричном языке). Строгое изложение основ теории матриц сочетается в ней с обсуждением приклад- ных вопросов, отчасти классических, отчасти новых. 1702030000—079- Л —————————— 31-82. 053 (02)-82 © Перевод на русский язык, Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1978. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.....................................".. 7 Глава 1 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, АЛГЕБРА МАТРИЦ И ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ .1. Связанные векторы в трехмерном пространстве ............. 9 .2. Пространства о%п и 'en •••••••••-•--•••-••..•..... 11 .3. Внутренние произведения ........................... 13 ; .4. Линейные комбинации ............................. 15 ,5. Матричная алгебра ............................... 10 .6. Разбиения матриц ............................... 20 1.7. Вектор-столбцы и вектор-строки ...................... 22 1.8. Аннулируемое подпространство и область значений .......... 24 1.9. Линейная зависимость и размерность ................... 25 1.10. Свойства базисных векторов ......................... 30 1.11. Определение функции определителя .................... 32 1.12. Свойства определителей ............................ 34 1.13. Присоединенная и обратная матрицы ................... 37 1.14. Формула Бине—«оши ............................ 39 1.15. Ранг матрицы .................................. 42 1.16. Решение уравнении .............................. 45 1.17. Правило Крамера ............................... 47 Смешанные упражнения ............................ 49 Глава 2 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 2.1. Характеристическое уравнение ....................... 51 2.2. Кратность собственного значения ..................... 53 2.3. Собственные векторы .............................. 55 2.4. Преобразования подобия и простые матрицы .............. 56 2.5. Спектральная теорема и многочлены от матриц ............. 60 2.6. Ортогональные и квазиортогональные векторы ............. 63 2.7. Ортонормированные системы ......................... 65 2.8. Специальные типы патриц ......................... 69 2.9. Эрмитовы матрицы............................ 70 2.10. Унитарно подобные преобразования .................. 74 2.11. Идемиотентцые матрицы и проекции. ................. 77 Г ОГЛАВЛЕНИЕ 2.12. Эрмитовы и квадратичные формы ............ 80 2.13. Метод приведения Лагранжа . ............. 84 2.14. Определенные матрицы . ............... 87 2.15. Теория малых колебаний и одновременное приведение квадратич- ных форм . .................... 92 2.16. Колебания с внешними силами .............. 95 Смешанные упражнения . ............... 97 Глава 3 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД 3.1. Введение ...................... 100 3.2. Экстремальные собственные значения и отношение Релея ... 100 3.3. Свойство стационарности отношения Релея ......... 1.02 3.4. Вариационное описание собственных значений ........ 104 3.5. Задачи со связями . ................. 105 3.6. Теорема Куранта—Фишера . ............. 107 3.7. Приложения к теории малых колебаний .......... 112 Смешанные упражнения . ............... 113 Глава 4 МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН И НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4.1. Введение . . ................... 115 4.2. Алгебра 7,-матрпц . ................. 115 4.3. ^.-матрицы с матричными аргументами .......... 119' 4.4. Аннулирующие многочлены . .............. !21 4.5. Приведенная присоединенная матрица и минимальный многочлен 125' 4.6. Элементарные операции и эквивалентность ^,-матриц ..... 128 4.7. Приведение ^-матриц эквивалентными преобразованиями к простей- шему виду . .......... ......... 130 4.8. Эквивалентные преобразования матриц из Упхп ....... 132 4.9. Инвариантные многочлены и каноническая форма Смита -. . . . 133 4.10. Подобие ....................... 135 4.11. Первая естественная нормальная форма ........... 137 4.12. Элементарные делители над полем комплексных чисел .... 139 4.13. Вторая естественная нормальная форма и жорданова нормальная форма . . ..................... 142 Смешанные упражнения . ............... 145 Дополнение к главе 4 ................. 146 Глава 5 ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ 5.1. Введение . . ................... 148 5.2. Интерполяционные многочлены .............. 148 5.3. Определение функции от матрицы ............ 150 5.4. Спектральное разложение для f(A) ............ 155 5.5. Свойства компонентных матриц ............. 157 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 5.6. Последовательности и ряды матриц .................. 161 5.7. Свойства некоторых элементарных функций ............. 165 5.8. Использование контурных интегралов ................. 166 5.9. Приложения к решению дифференциальных уравнений ....... 169 Смешанные упражнения ......................... 173 Глава 6 НОРМЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ 6.1. Матричные нормы ............................ 175 6.2. Векторные нормы ............................ 180 6.3. Индуцированные матричные нормы .................. 184 6.4. Абсолютные векторные нормы ..................... 189 6.5. Нижние грани .............................. 191 6.6. Поле значений .............................. 193 Глава 7 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ОЦЕНКИ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 7.1. Возмущения в решении линейных уравнений ............. 195 7.2. Теорема Гершгорина ........................... 198 7.3. Теорема Шура .............................. 201 7.4. Возмущение собственных значений простои матрицы ........ 204 7.5. Аналитические возмущения ....................... 208 7.6. Возмущение компонентных матриц ................... 210 7.7. Возмущение некратного собственного значения ............ 212 7.8. Оценка коэффициентов возмущения .................. 213 7.9. Возмущение кратного собственного значения ............ 216 7.10. Редукционный процесс .......................... 221 Глава 8 ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ 8.1. Введение ................................. 223 8.2. Прямое произведение .......................... 223 8.3. Собственные значения составных матриц ............... 226 8.4. Решение линейных матричных уравнений ............... 227 8.5. Уравнение АХ+ХВ=С ........................ 228 8.6. Коммутирующие матрицы ........................ 230 8.7. Теория устойчивости Ляпунова ..................... 233 8.8. Критерий Рауса—Гурвица ....................... 237 Глава 9 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 9.1. Введение ................................. 243 9.2. Теорема Перрона—Фробениуса ..................... 245 О ОГЛАВЛЕНИЕ 9.3. Приводимые матрицы .......................... 250 9.4. Примитивные и импримитивные матрицы ............... 251 9.5. Стохастические матрицы ......................... 253 9.6. Цепи Маркова .............................. 256 Дополнение 1. Некоторые теоремы из анализа ........... 259 Д9полнение 2. Обобщенная обратная матрица ............ 261 Дополнение 3. Рекомендации для дальнейшего чтения ....... 264 Алфавитный указатель .............................. 266 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга написана в основном для студентов по специаль- ностям: прикладная математика, инженерное дело и различные естественные науки (биология, химия и др.), которые желают получить полное знакомство с теорией матриц, включая некото- рые наиболее важные достижения теории за приблизительно последние двадцать лет. Однако ввиду не совсем обычного содер- жания последних глав я думаю, что многое здесь заинтересует также и математика. Имея в виду предполагаемую аудиторию, я не счел себя обя- занным придерживаться всех математических абстракций, в то же время стремился всюду к строгому изложению, которое было бы приемлемо как для математиков, так и для их собратьев- прикладников. Мы сочли также совершенно необходимым при- вести нетривиальные приложения. Некоторые из них разбира- ются в деталях, другие же появляются в упражнениях и примерах. Некоторые из этих приложений принадлежат области численных методов, и было бы возможно включить значительно большее количество таких приложений. Однако, чтобы книга не стала слишком громоздкой и чтобы не отклониться от основной линии развития теории, я должен был тщательно себя ограничить во избежание искушения перегрузить книгу численными методами. Хотя предварительные знания для читателя не предполага- ются обширными, они включают в себя полное владение алгеб- рой в объеме колледжа (в частности, сюда входят комплексные числа и полиномиальные уравнения), годовой курс дифферен- циального и интегрального исчисления и некоторое знакомство с алгеброй связанных векторов. Тем не менее опыт показывает, что, исходя из требуемого уровня восприятия студентов, мате- риал следует излагать на третьем курсе. Его достаточно для полного годового курса. Главы 1, 2 и 4 охватывают материал, излагаемый во многих местах и предназначенный для полугодо- вых курсов, и мы рекомендуем главы 1, 2, 4 и 5 как ядро любого курса, основанного на данной книге. Затем могут быть усвоены главы 3, 6 и 7—9, в зависимости от интересов препода- вателя и аудитории. Вторая часть главы 7 и § 5.8 используют теорию функций комплексной переменной, но эти разделы неза- висимы от остальной части книги и могут быть при необходи- мости пропущены. 8 ПРЕДИСЛОВИЕ Сокращение упр. используется одновременно для обозначе- ния как примеров, так и упражнений. Так как предполагается, что студенты уделят внимание как тем, так и другим, то лишь малое количество из них может быть пропущено. Следует под- черкнуть, что упражнения и примеры составляют существенную часть книги, а так как я придерживаюсь взгляда, что матема- тика может быть усвоена лишь при помощи активного действия, то всякий серьезный читатель этой книги должен быть готов выполнить по крайней мере 50 % упражнений. Большинство упраж- нений довольно простые, там же, где могут возникнуть некото- рые трудности, даются краткие советы или указания для их полного решения. Отметим также, что некоторые из упражнений используются в изложении теории. Используемые таким образом упражнения отмечены звездочкой. Каждая глава делится на параграфы. Так, § 5.3—это третий параграф главы 5. Теоремы нумеруются при помощи номера параграфа, так что теорема 5.3.2—это вторая теорема из § 5.3. Упражнения нумеруются последовательно 1, 2, 3,... в каждом параграфе. Книга такого рода во многом, естественно, должна быть обя- зана более ранним публикациям на эту тему. В данном изложе- нии теории я воспользовался несколькими предыдущими рабо- тами, наиболее важные из которых упомянуты в дополнении 3. Однако я могу выделить «Теорию матриц» Гантмахера как осо- бенно важный для справок труд и как ценный источник идей. Я благодарен нескольким машинисткам за помощь на различных стадиях подготовки рукописи, а особенно Лезии Хорелак за всегда квалифицированное содействие. Мои коллеги Ричард К. Гай и Девид Л. Рой помогли детальными и конструктивными замечаниями по главе 1 и Джон Г. Рокне принял участие в окончательном корректировании. Я искренне благодарен всем троим. Но так как я один несу ответственность за ошибки в тексте, прошу обратить на них мое внимание. Питер Ланкастер Глава 1 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, АЛГЕБРА МАТРИЦ И ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1.1. Связанные векторы в трехмерном пространстве Наша цель в этой главе—ввести понятие линейного прост- ранства и, в частности, тех пространств, которые понадобятся нам при изучении матриц. Начнем с основного понятия: упоря- доченная п-ка чисел есть га чисел, расположенных в определен- ном порядке. Повторения одного и того же числа в упорядочен- ной п-ке допустимы, но если положения двух неравных чисел в упорядоченной п-ке меняются, то в результате получается новая упорядоченная п-ка, не равная первоначальной. Нашей ближайшей целью является введение алгебры упорядоченных /г-ок, т. е. мы хотим исследовать способы их комбинирования и преобразования друг в друга. Многие читатели, по-видимому, знакомы до некоторой степени с алгеброй упорядоченных троек вещественных чисел, но, воз- можно, в другом виде. Мы имеем в виду изучение алгебры связанных векторов в трехмерном евклидовом пространстве. Чтобы начать наш анализ с того, что будет знакомо для большинства читателей, мы кратко (и с некоторой опорой на интуицию) обсу- дим алгебру связанных векторов и затем покажем, как изложен- ные идеи могут быть обобщены на изучение упорядоченных п-ок и на понятие п-мерного пространства. С точкой Р, имеющей декартовы координаты (JC], х»_, л:з), ассоциируется связанный вектор х. Начало О системы координат, т. е. (О, 0, 0), определяет нулевой вектор. Точка Р однозначно определяет либо х, либо упорядоченную тройку вещественных чисел (д-i, л-2, л"з). Рассматривая х и (л-i, Хг, Ху) как различные обозначения одного и того же вектора, будем писать X={Xi, Д-2, Ху). Длина вектора х задается формулой л"! =Ух;+х.]+^, а его направление определено углами 61, 9a, 63, где Os$6,s=;n и cos0,==— i=l, 2, 3. I л j Это направляющие косинусы вектора х (рис. 1)*). *) Направляющие косинусы не определены для нулевого вектора. —Прим. перке. 264 ДОПОЛНЕНИЯ Таким образом, можно написать х = Хц -г (х — Хо) == A'c + (I — А'А) х. Применяя часть (и) леммы, получаем Я л-II2 41-Уо В2 4-II А--л-о!!2. Следовательно, | л' || $г || Хо || с равенством в том и только в том случае, когда х = Хо. ^ Упр. 1. Найти обобщенную обратную к матрице 1 1 Л = 20 -1 3 и показать, что единственным приближенным решением урав- нения Ах-=с, определяемым теоремой 2, будет > 1 и 1 * нЦю • если с= ^ • Упр. 2. Обобщить понятие «приближенное решение» и затем теорему 2 с тем, чтобы включить в рассмотрение уравнение АХ=С, где А, X, С—комплексные матрицы, порядки которых ограничены лишь условием, что написанное уравнение имеет смысл. ЛИТЕРАТУРА К ДОПОЛНЕНИЮ2 Grevill Т. N. The pseudoinverse of a rectangular matrix.—SIAM Rev., 1959, 1, p. 38—43. Penrose R. A. A generalized inverse for matrices.—Proc. Cambridge Phil. Soc., 1955, 51, p. 406—413. ДОПОЛНЕНИЕ 3 РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ Справочные работы общего характера Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.: Наука, 1967. McDuffee С. С. The theory of matrices.—N. Y.: Chelsea, 1959. Маркус М., Мин к X. Обзор по теории матриц и матричным нера- венствам.—М.: Наука, 1972. Работы, относящиеся к главам 1—4 Finkbeiner D. T. Introduction to matrices and linear transforma- tion.—San Francisco: Freeman, 1966. Халмош П. Конечномерные векторные пространства.—М.: Физ- матгиз, 1963. Hamburger H. L., GrimshawM. E. Linear transformations inn- dimensional vector space.—London; N. Y.: Cambridge Univ. Press, 1956. Hohn F. E. Elementary matrix algebra.—N. Y.: Macmillan, 1964. ДОПОЛНЕНИЯ 265 Mirsky L. An introduction to linear algebra.—London; N. Y.: Oxford Univ. Press (Clarendon), 1961. Perils S. Theory of matrices.—Mass.: Addison—Wesley, 1958. Глава 5 Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.: Наука, 1967. Rinehart R.F. The equivalence of definitions of a matrix function.— Amer. Math. Monthly, 1955, 62, p. 395—414. Глава 6 Householder A.S. The theory of matrices in numerical analysis.— Boston: Ginn (Blaisdell), 1964. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. H. Вычислительные методы линейной алгебры.—М.: Физматгиз, 1963. Ostrowski А. М. Ober Normen von Matrizen.—Math. Z., 1955, 63, S. 2—i8. Глава 7 Householder A.S. The theory of matrices in numerical analysis.— Boston: Ginn (Blaisdell), 1964. К a to T. Perturbation theory for linear operators.—N. Y.: Springer, 1966. Wilkinson J. H. The algebraic eigenvalue problem.—London; N. Y.: Oxford Univ. Press (Clarendon), 1965. Глава 8 Беллман Р. Введение в теорию матриц.—М.: Наука, 1976. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.: Наука, 1967. McDuffee С. С. The theory of matrices.—N. Y.: Chelsea, 1959. Ostrowski A. M., Schneider H. Some theorems on the inertia of general matrices.—J. Math. Anal. Appl., 1962, 4, p. 72—84. Глава 9 Беллман Р. Введение в теорию матриц.—М.: Наука, 1976. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.: Наука, 1967. Varga R. S. Matrix iterative analysis.—N. Y.: Prentice-Hall, 1962. АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгоритм деления 117 Ассоциативность 10, 17 Базис 26 Бак (R. С. Buck) 260 Беллман (R. Bellman) 265 Бендиксон (I. Bendixon) 203 Блок 20 Варга (R. S. Varga) 265 Вектор единичный 11 — нормального вида 95 — нормированный 64 — нулевой 9 — порядка /г 13 — связанный 9 — собственный левый 55 — — ограниченный 106 — — правый 51 Вектор-столбец 22 Вектор-строка 22 Векторы биортогональн'ые 63 — квазибиортогональные 59, 64 — квазиортонормированные 64 — ортогональные 14, 63 — ортонормированные 63 Вероятность условная 256 Вид колебания 93 Возмущение линейное 216 — относительное 195 Гамбургер (Н. L. Hamburger) 264 Гамильтон (W. R. Hamilton) 120, 121 Гантмахер Ф. Р. 264, 265 Гармоника нормальная 95 Грань нижняя матрицы 191 Граф направленный 245 — сильно связный 245 Гревил (Т. N. Grevill) 264 Гримшо (М. Е. Grimshaw) 264 Делитель левый 117 — общий 122 — — наибольший (НОД) 122 — правый 117 — Делитель элементарный 140 — — линейный 140 — — нелинейный 140 Дельта кронекеровская 19 Диагональ главная 19 Дистрибутивность 17 Длина 9, 14 Дополнение алгебраическое 34 Дополнения 77 — ортогональные 77, 105 Зависимость линейная 25 Задача общей интерполяции Эрмита 149 Закон инерции Сильвестра 84 Значение собственное 51 — — ограниченное 106 — функции на спектре матрицы 151 — ^.-матрицы левое 119 — — правое 119 Индекс импримитивности 252 — собственного значения 146 — формы 84 Интеграл от вектора 96 — — матрицы 167 — частный 171 Като (Т. Kato) 217, 221, 265 Квадрика центральная 87 Кели (A. Cayley) 120 Клетка жорданова 142 Комбинация линейная 15 Коммутативность 10, 18 Компонента матрицы 155 Координаты нормальные 95 Корень скрытый 139 Косинус направляющий 9 Коши (А. L. Cauchy) 109 Кратность геометрическая 55 — скрытого корня 141 — собственного значения 54 Критерий Грама 68 — Рауса-Гурвица 237 Курант (R. Courant) 105 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 2Г>7 Ляпунов А. М. 233—235, 237 Макдаффи (С. С. McDuffee) 230, 265 Маркус (М. Marcus) 264 Матрица 16 — Ваидермонда 37 — дефектная 58 — диагональная 19 — — каноническая 130 — единичная 19 — ндемпотентная 61 — импримитивная 252 — квадратная 17 — квазидиагональная 138 — кососимметрическая 69 — косоэрмитова 70 — многочленов 116 — неособая 38 — неотрицательная 243 — неприводимая 243 — нильпотентная 62 — нормальная 75 — нулевая 18 — обратная 38 — — обобщенная 261 — определенная 87 — — отрицательно 87 — — положительно 87 — ортогональная 70 — особая 38 — перестановочная 82 — приводимая 243 — примитивная 252 — присоединенная 37 — — приведенная 123 — простая 58 — прямоугольная 17 — с доминирующей диагональю 200 — симметрическая 69 — скалярная 19 — сопровождающая 137, 240 — сопутствующая 60 — стохастическая 253 — транспонированная 17 — треугольная 37 — унитарная 70 — устойчивая 223, 233 — элементарная 129 — эрмитова 69, 217 Матрицы Гурвица 237 — коммутирующие 18 — подобные 56 — — ортогонально 73 — — унитарно 73 — соответствующие 17 Минк (Н. Mine) 264 Минор 36, 39 — главный 39 Мирский (L. Mirsky) 265 Многочлен аннулирующий 121 — инвариантный 133 — Лагранжа 149 — минимальный 122 — неприводимый 122 — приведенный 121 — с матричным аргументом 60 — характеристический 51 Многочлены взаимно простые 122 Множество выпуклое 183 — замкнутое 259 — ограниченное 259 Монотонность абсолютной векторной нормы 189 Независимость линейная 25 Неравенство Шварца 14, 41 Норма векторная 180 — — абсолютная 189 — Гёльдера 179, 182 — евклидова 179 — матричная 175 — — индуцированная 184 — — обобщенная 176 — Фробениуса 179 Нормы согласованные 181 Область значений матрицы 24 Оболочка выпуклая 183 Образ пространства 24 Окрестность 259 Оператор самосопряженный 72 Операция бинарная 12 — — замкнутая 12 — элементарная левая 128 — — правая 128 Оси квадрики главные 87 Остаток левый 117 — правый 117 Островский (А. М. Ostrowski) 265 Отношение Релея 100 — — обобщенное 103 — эквивалентности 56 Пенроуз (R. A. Penrose) 264 Перестановка 32 Перлис (S. Perils) 265 Перрон (О. Perron) 249 Подпространства дополнительные 77 Подпространство )6 — аннулируемое 24 — собственное 16 Поле алгебраически замкнутое 51 — значений 193 Порядок матрицы 17 — минора 39 Последовательность матриц расходя- щаяся 161 — — сходящаяся 161 268 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Правило параллелограмма 10 Преобразование 23, 56 — конгруэнтное 81 — подобия 56 — эквивалентное 128, 129 Проекция 15, 79 Произведение внешнее 23 — внутреннее 14, 23 — прямое 223 — скалярное 13 Производная вектора 93 — матрицы 93, 167 — определителя 49 Пространство бесконечномерное 26 — линейное 11 — —, натянутое па систему векторов 16 — —, порожденное системой векто- ров 16 — собственное левое 55 — — правое 55 — столбцов 24 Радиус спектральный 178 Разбиение 20 — квадратной матрицы симметричное 21 Разложение определителя по столбцу 34 — — — строке 34 — спектральное 155 Размерность 26 Райнхарт (R. F. Rinehart) 265 Ранг матрицы 43 — по минорам 43 — — столбцам 42 — — строкам 42 — формы 84 — ^.-матрицы 133 Раус (Е. J. Routh) 109 Резольвента 167 Релей (Lord Raylegh) 109 Реллих (F. Rellich) 217 Рефлексивность подобия матриц 56 Решение нетривиальное 23 — приближенное в смысле наимень- шего квадратичного отклонения 262 — тривиальное 23 Рудин (W. Rudin) 260 Ряд матриц 163 — — расходящийся 163 — — сходящийся 163 — Пюизье 209 Связь 106 Сегмент прямой 183 Сигнатура 84 Симметричность подобия матриц 56 След 52 Сложение векторов 13 Смит (il. J. S. Smith) 134 Спектр матрицы 60 Стационарность отношения Релея 102 Степень ^.-матрицы 116 Сумма векторов 10 — кронекеровская 227 — матриц 17 — прямая 77 Сфера единичная 100, 182 Теорема Аполлония 15 — Гершгорина 198 — Кели — Гамильтона 120 — Куранта—Фишера 108, 112 — о вычетах 167 — — параллелограмме 15 — об остатке 117, 119 — Перрона — Фробениуса 247—249 — Пи4)агора 15 — спектральная 60 — Шура 201 Теплиц (О. Toeplitz) 74 Тождество Коши 41 — Якоби 174 Точка предельная 259 Транзитивность подобия матриц 56 Транспозиция 32 Угол 10, 63 Уилкинсон (J. H. Wilkinson) 265 Умножение матриц 17, 18 — на скаляр 13, 17 Уравнение неоднородное 23 — однородное 23 — характеристическое 51 Уравнения алгебраические линейные 23 Фаддеев Д. К. 265 Фаддеева В. H. 265 Финкбейнер (D. Т. Finkbeiner) 264 Фишер (Е. Fischer) 105 Форма каноническая Смита 134 — квадратичная 80 — нормальная естественная вторая 142 — — — первая 138 — — жорданова 143 — эрмитова 80 Формула Бине — Коши 39, 44 — Лиувилля 174 — Орландо 237 Фробениус (G. Frobenius) 120, 134, 230, 249 Функция 11 — аддитивная 34 — аналитическая 166 — непрерывная 259 — однородная 34 —, определенная на спектре 151 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Функция от матрицы 151 — целая 164 Халмош (Р. R. Halmos) 264 Хаусхолдер (А. S. Householder) 265 Хирш (К. A. Hirsch) 203 Хон (F. E. Hohn) 264 Цепь Маркова 257 — — однородная 257 Циркулянт 233 Частное левое 117 — правое 117 •• Частота собственная 93 Число условное 197 — — спектральное 197 Шар 183, 259 — единичный 183 Шнейдер (H. Schneider) 265 Шур (I. Schur) 74, 201 Эквивалентность матриц 133 — ^.-матриц 129 Элемент матрицы 16 п-ка чисел упорядоченная 9 р-норма 179 ^.-матрица .116 — регулярная 116 Питер Ланкастер ТЕОРИЯ МАТРИЦ Редактор В. В. Донченко Технический редактор Е. В. Морозова Корректор Н. Б. Румянцева 11Б № 12124 Сдано в набор 14.01.82. Подписано к печати 14.05.82. Формат 60X90'/i8. Бумага офсетная. Литературная гарнитура. Высо- кая печать. Условн. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 16. Тираж 21 000 экз. Заказ № 269. Цена 1 р. 40 к. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое объе- динение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союэполи- графпроча при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ле- нинград, П-136, Чкаловский пр., 15. Отпечатано в типографии №4 издательства «Наука», Тип. зак. 268. 630077, Новосибирск, 77, ул. Станиславского, 25. ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 ИМЕЕТСЯ В ПРОДАЖЕ: Ван дер В а р д е н Б. Л. Алгебра: Пер. с нем.: Под ред. Ю. И. Мерзлякова.—2-е изд.—Наука, 1979—624 с.—Зр. В книгу включены главы: числа и множества, группы, коль- ца, тела и поля, векторные и тензорные пространства, целые рациональные функции, теория полей, продолжение теории групп, теория Галуа, упорядоченные и вполне упорядоченные множества, бесконечные расширения полей, вещественные поля, линейная алгебра, алгебры, теория представлений групп и алгебр, общая теория идеалов коммутативных колец, теория идеалов в кольцах многочленов, целые алгебраические элемен- ты, нормированные поля, алгебраические функции одной пере- менной и топологическая алгебра. Приобрести данную книгу можно в местных книжных ма- газинах, распространяющих научно-техническую литературу. При отсутствии ее на месте заказы следует направлять по адресу: 103050, Москва, К-50, ул. Медведева, 1, магазин № 8 Москниги, отдел «Книга-почтой». Литература будет выслана наложенным платежом. 25G ГЛ. 9. НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ где С (К), 'ф (X) — приведенная присоединенная матрица и мини- мальный многочлен для Р. Если 5 (л) == (/д — P)V и с (^—харак- теристический многочлен матрицы Р, то многочленное тождество В W ^ С W С (Ц ^ {}.) означает, что можно также написать • поэ 5(1) P03 = с11' (1) ' Еще одна возможность возникает, если отождествить 2ц с сопутствующей матрицей Gi из теоремы 2.5.1. Таким образом, в случае, когда Р неприводима, существуют положительные пра- вый и левый собственные векторы х, у соответственно с собствен- ным значением 1, для которых у'х==\ и Р^^ху'. (9.5.4) 9.6. Цепи Маркова Неотрицательные матрицы возникают во многих физических задачах. Мы коснемся вкратце одной задачи теории вероятностей, которая использует некоторые из полученных ранее в этой главе теорем. Для простоты мы рассмотрим физическую систему, которая может быть полностью описана п различными состояниями. Обо- значим эти состояния через Si, 53, ..., s„. Мы предположим, что систему возможно наблюдать в моменты времени ty < ^ < ^ <... и отмечать ее состояние в каждый из этих моментов. Мы пред- положим, кроме того, что абсолютная вероятность нахождения системы в состоянии s, в момент времени tr для i = 1, 2, ..., п и /-=0, 1, 2, ... равна pi(tr). Так как система должна быть в одном из п состояний в момент времени tr, то имеем ^р,(^)=1, /-=0, 1, 2, »=i (9.6.1) Предполагается, что при всех i и /' мы можем определить вероят- ность того, что система в момент времени tr переходит в состоя- ние s, после того, как она в момент времени tr-i находилась в состоянии Sy. Таким образом, мы предполагаем, что известны условные вероятности q^^r^r-i), i, /=1, 2, ..., п, перехода в момент времени tr в состояние s;, если задано, что в момент времени tr-i система находилась в состоянии s/. Правила теории вероятностей тогда означают, что п Pi{tr)= ^%-(trlfr-l)P/(tr-l) /•=1 9.6. ЦЕПИ МАРКОВА 257 или в матричном виде pr=Q(ir, ir-ilPr-i, где положено J^=IPi(^) Рз(^) ••• Pn(ts}\\, г=1, 2, (9.6.2) s=0, 1, 2, ..., и Q(fr, tr-\} — матрица из Р прими- тивна. Так как P==Q', то Q имеет собственное значение 1 и правый и левый собственные векторы X, у из (9.5.4) будут левым и правым собственными векторами для Q соответственно. Таким образом, существуют правый и левый собственные векторы |(==.у) и 1](=л") для Q с собственным значением 1, для которых il'§==l и (У°=|'П'. Имеем тогда Р„=(т]'/?о) ^, так что, каков бы ни был начальный вектор ру, предельный вектор будет пропорционален §. Но рг удовлетворяет условию (9.6.1) при каждом /-, так что ру, удовлетворяет тому же условию. Таким образом, если определить положительный вектор § так, что дом возможном выбоое рц. ^\ i=i ;;=1, то р^ при каж- 358 ГЛ. 9. НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ Тот факт, что ^>0, означает, что можно закончить любым из п состоянии Si, $2, ..., s,. Мы доказали, что: если Q—мат- рица условных вероятностей, соответствующая некоторой одно- родной цепи Маркова, и Q неприводима, то предельные абсолют- ные вероятности /),(/,) существуют <=>Q примитивна. Кроме того, если Q примитивна, то р;(^)>0 при 1=1, 2, .... п и эти вероятности являются компонентами {должным образом нормализованного) правого собственного вектора для Q, соответ- ствующего собственному значению 1. ДОПОЛНЕНИЕ 1 НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ИЗ АНАЛИЗА В этом дополнении мы обсуждаем без доказательства некото- рые важные теоремы из анализа, которыми мы воспользовались. несколько раз в основной части книги. Эти результаты форму- лируются в настолько общем виде, насколько это нужно для наших приложений, хотя они могут быть доказаны так же легко и в более общем контексте. Приведем сначала некоторые опре- деления. . Напомним, что любая векторная норма в ^?п может быть использована в качестве расстояния (§ 6.2). Для заданной вектор- ной нормы h на "ё\ мы определяем окрестность Nr(x) точки х е ^я как множество точек у в ^п, для которых h (у — х) s?? r (т. е. это есть шар с центром в л" и радиусом г, см. упр. 12 из § 6.2). Если е^ — некоторое множество точек в ^„, х г %"„ будет предельной точкой для вУ, если каждая окрестность для х содержит некоторую точку р е. <У с р=^х. Множество <§^ назы- вается замкнутым., если каждая предельная точка для еУ при- надлежит -У, и еУ ограничено, если существуют такие К'5s 0 и х е 'ё'п, что h (у — х) < К для всех у s <У. Мы можем сформу- лировать теперь первый результат: Теорема 1. Пусть Х — замкнутое и ограниченное множество вещественных чисел и М, т — верхняя и нижняя грани для чисел х в X. Тогда М, т е X. Доказательство является непосредственным выводом из опре- делений. Рассмотрим теперь некоторую функцию / со значениями в %'зд, определенную на в^. <= ^'я. Мы говорим, что / непрерывна в х е вУ, если для заданного е > 0 существует такое 6 > 0, что из у s г eyf's (х) следует fi{f(y}-f(x))