22.19 Н 62 УДК 519.6 Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математи- ческой физики. Учебное пособие. Изд. 2-е, иерераб. и доп.— М.: Наука. Глав- ная редакция физико-математической литературы, 1984.—344 с. Классические ортогональные полиномы, сферические и гинергеометрп- чесние функции, а также функции Бесселя рассматриваются с единой точ- ки зрения как частные решения возникающего во многих задачах матема- тической физики и квантовой механики дифференциального уравнения оп- ределенного типа. Для решений этого уравнения с помощью обобщения формулы Родрига найдено интегральное представление, из которого полу- чены все основные свойства специальных функций. Построена также тео- рия классических ортогональных полиномов дискретной переменной как на равномерных, так и неравномерных сетках, установлена их связь с коэффи- циентами Клебша — Гордана и коэффициентами Рака. Рассматриваются приложения к задачам математической физики, квантовой механики и вы- числительной математики. Книга предназначена для студентов и аспирантов, научных работников и инженеров-исследователей, а также для всех, имеющих дело с матема- тическими расчетами. Она может быть использована при изучении теорети- ческой и математической физики. Рецензент доктор физико-математических паук М. II. Граев Арнольд Федорович Никифоров, Василий Борисович Уваров СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Редактор И. В. Викторенкова Техн. редактор Л. В. Лихачева Корректоры О. А. Бутусова, И. Я. Кришталь ИБ J у", При этом любое решение уравнения (3) при ц^^О (й=0, 1, ..; ..., ге—1) можно представить в виде y„(z) == (/'"'(z), где i/(z)—• некоторое решение уравнения (1). Рассмотренное свойство позволяет построить семейство част- ных решений уравнения (1), соответствующих определенным значениям К. Действительно, уравнение (3) при (in == 0 имеет частное решение Vn(z) =const. Так как y„(z) == ^"'(z), то это означает, что при л , i п (п — i} „ А == Д„ = — П-t — ———у——'- О- существует частное решение уравнения гппергеометрического типа y(z) = г/п(г), являющееся полиномом степени п. Такие ре- шения будем называть полиномами гипергеометрического типа. Полиномы i/n(z) являются в известном смысле простейшими ре- шениями уравнения (1)*). •) Впрочем, существование полиномиального решения уравнения (1) вы- вгекает из того факта, что оператор (!(г)d't/dгг-{-t(z)d/dz переводит любой полином степени п в полином той же степени, 18 Чтобы получить явное выражение для полинома уп^/, .уши"- жим уравнения (1), (3) на такие функции p(z), pn(z), которые позволят записать эти уравнения в самосопряженном виде; (ору')' + ^ру »= 0. (^ (.оргУпУ + WnVn " 0- (5) Здесь функции p(z), p„(z) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (арУ-тр, (6) (ар„)'- == TnPn. (7) Используя явное выражение для т„(г), нетрудно установить связь функций pn(z) и po(z) = p(z). Имеем (ор„)7рп ^ т + по' = (ор)7р + па', откуда P'n/Pn ^ P'/p + па'/а и, следовательно, p„(z)=o"(z)p(z), га = О, 1, ... (8) Перейдем теперь к получению явного выражения для^ поли- номов гипергеометрического типа. Так как орт == pm+i, ^m (z) ==• = Vm+i (г)» то (5) можпо переписать в виде PmVm = — —— (.Pm+lVm+l)'• гт Отсюда при т < п последовательно получаем РтУот =- — —— (Pm+lVm+l)' =3 гт ^ f_J-V—l-)(p^ v^r - ... = ^(Р^"-"', \, ^т!\ ^m+l/ " где An=(-irfl^ ^n-l. - (9) ft=0 Если функция y(z) является полиномом- степени п, т. е. y=y„(z), то Уn(z)=гг/S,")(z)г=const, и мы получаем следующее выражение для Уп (^ ^(^-^[Pn^l^-^. (10) rm \ / ^_ где i , , А^п-А^(К)\^, Вп=^уУ^- (11) 17 2 А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров отсюда, в частности, при т = U вытекает явное выражение для полиномов гипергеометрического типа: У"(z)=-pг|^)-[стt(z)P(г)](")• "=0,1,... (12) Таким образом, ' полиномиальные решения уравнения (1) определяются формулой (12) однозначно с точностью до норми- ровочного множителя. Эти решения соответствуют значениям 1^п = 0, т. е. К = ^ = - от' - п(п-^^ о", п = 0,1, . .. (13) Будем называть соотношение (12) формулой Родрига, так как оно было выведено Б. О. Родригом в 1814 г. для частного случая полиномов гипергеометрического типа — полиномов Лежапдра, для которых o(z) == 1 — z2, p(z) = 1. § 3. Интегральное представление для функций гипергеометрического типа Найдем теперь с помощью обобщения формулы Родрига част- ные решения уравнения гипергеометрического типа (2.1)*) при произвольных значениях ^. Для этого предварительно за- пишем равенство (2.12) для полиномиальных решений уравне- ния (2.1) в другом виде, используя интегральную формулу Коши для производных аналитической функции: ^'^'^^ о С Здесь Сп =5пге!/(2лг), С—замкнутый контур, охватывающий точку s == z, а функция p(z) является решением уравнения (ор)'==тр. Представление частного решения уравнения (2.1) при К = 7>„ в виде (1) дает возможность предположить, что при произволь- ном значении К частное решение этого уравнения можно искать в виде ^'^-^Ja^*' m с где С, — нормировочная постоянная, а величина v связана с по- стоянной К сооотношением, аналогичным (2.13): ^^'-^-^ст". (3) Покажем, что при определенном выборе контура С, который будем считать, вообще говоря, незамкнутым, это предположение оказывается справедливым. *) При ссылках на формулу из другого параграфа в качестве первой . цифры указывается его номер. 18 Теорема 1. Пусть функция piz; удовлетворяет, ypubiicnv.tv ta(z)p(z)]'=T(z)p(z), v — корень уравнения : ^+^'+^1^"=о, и пусть t .. Pv (S) == t^ (s) Р (S), U (Z) = J ^+1 ds- Тогда уравнение (2.1) имеет частные решения вида , , , , С С С ^ (s) р (s) , у (z) == Уу (z) == —— и (z) = —— \ ———— ds, " \ ' ———' Р (Z) \ ' Р (Z) J (s — 2^+1 ' С где Cv — нормировочная постоянная, если: 1) при вычислении производных u'(z), a" (z) можно менять местами дифференцирование по z и интегрирование по s, т. е. "^^^J^l^' u"(z)=(v+l)(v+2)f p^ ds; 'с (s-z) 2) контур С выбран так, что f^""-». <4> (t, — Z) s^ где s,, Sa — концы контура С. Доказательство. Получим дифференциальное уравне- ние для функции и(г). Имеем la(s)pv(s)]' = Tv(s)p,(s), где Tv(s) = t(s) + va'(s) (ср. с (2.7)). Проинтегрируем обе части уравнения по контуру С, предварительно умножив его на l^s—z)^2, п затем воспользуемся интегрированием по частям: о (s) Pv (s) ^ , ^ С а (s) р,, (s) Г т„ (s) р„ (s} -^=^,.+ (v + ^h-^^' j -^^ds- L С По условию (4) подстановка равна пулю. Разложим полиномы o(s), T,(s) по степеням s—г: о (s) - a (z) + ст' (z) (s - z) + -I. о" (z) (s - z)2, Ту {s} = Ту (Z) + Ту (Z) (S — Z). 2* 19 л^иммман во внимание формулы для и(г), и'(г), и" (z), прихо- дим к уравнению ir1^0^"'4"^^"'^"^^"20"""^1"!^^"^^- - После подстановки явного выражения для Tv(z) это уравнение можно записать в виде (3(г)и' + [2<т'(2)-т(г)]у'-(у+1)(т' + ^—^-о^и » 0. (5) Получим теперь с помощью (5) уравнение для функции t/v(z). Уравнение (5) — обобщенное уравнение гипергеометрического ти- па при t(z) - 2о' (г) - т (г), a(z) == - (v + 1) (т' + ^ст") a (z). Так как ^(z)==^p(z)y„(z), ^=1-^ то можно воспользоваться преобразованием из § 1, полагая то в качестве одного из концов контура можво выбрать s =» So. 20 б) ЕСЛИ Не IV "1' ^! <- U, ТО в качеств идтли юв г\иаи,ич "^" •гура можно взять точку s •=- z. в) В качестве конца контура можно выбрать также значение 5 as. oo, если lim^1^ ^0. .-^ (^-гГ+2 Таким способом можно построить несколько частных реше- ний уравнения (2.1), соответствующих различным видам конту- ра С и различным значениям v. Кроме того, число частных решений можно увеличить, если воспользоваться преобразова- нием, рассмотренным в § 1. Действительно, (2.1) можно рассматривать как обобщенное уравнение гипергеометрического типа, для которого o(z)—Xo(z), т(г)—т(г). В результате пре- образования исходное уравнение переходит в другие уравнения гипергеометрического типа. Построив для последних частные ре- шения, получим с помощью обратного преобразования новые частные решения для исходного уравнения. Так как уравнение (2.1) имеет лишь два линейно независимых решения, то любое •его решение должно являться линейной комбинацией двух ли- нейно независимых решений. Таким способом можно получить, в частности, функциональные соотношения для функций гипер- геометрического типа. При построении решений уравнения (2.1) будем ограничивать-, / •ся контурами простого вида — прямыми линиями или отрезками прямых линий, соединяющими точки Si и $2, для которых выпол- нено условие (6). Контуры такого вида можно выбрать, вообще говоря, лишь при некоторых ограничениях, наложенных на ко- эффициенты дифференциального уравнения гипергеометрическо- го типа. Распространение результатов, полученных при таких •ограничениях, на более общие случаи может быть произведено с помощью аналитического продолжения построенных решений. Напомним определение аналитического продолжения, которое <)удет играть важную роль в дальнейших рассуждениях *). Пусть •функция /(z) задана на множестве Е, принадлежащем области D. Если функция F(z) является аналитической в области D и сов- падает с }(z) на множестве Е, то функцию F(z) называют ана- литическим продолжением функции /(z) на-область D, Принцип аналитического продолжения. Если .множество Е содержит хотя бы одну предельную точку, при- надлежащую области D, то функция f(z) имеет не больше одного ^политического продолжения на область D. В частности, аналитическое продолжение будет единственным, если множество Е является отрезком, лежащим в D. Здесь и в дальнейшем под аналитической функцией будем подразумевать однозначную аналитическую функцию, В связи *) Изложение этих вопросов можно найти в [8, 13, 15]. 21 v этим, если при рассмотрении какой-либо функции возникает неоднозначность, будем проводить разрезы по некоторым линиям в комплексной плоскости, которые обеспечат выбор определен- ной ветви многозначной аналитической функции. При вычислении выражений вида (z — а)" возводимая в сте- пень комплексная величина берется с' наименьшим по модулю значением аргумента, совместимым с данным разрезом. Напри- мер, для выбора определенной ветви функции (1 — z)°(.l + z)", имеющей точки ветвления при z=—i и z=+l, достаточно сде- лать разрез вдоль действительной оси при zSs—1. В соответ- ствии с этим разрезом функция (l—z)" вычисляется- при I arg (1 — z) I < л, а функция (1 + z)" при 0 < arg z < 2л. Так как в качестве решений уравнения (2.1) мы будем ис- пользовать интегральное представление (2), то для аналитиче- ского продолжения решений этого уравнения по независимой переменной и параметрам, входящим в уравнение, удобно опи- раться на следующую теорему об аналитичности интеграла, за- висящего от параметра *). Теорема 2. Пусть С — конечная кусочно гладкая кривая в плоскости комплексной переменной s, D — область в комплекс- ной плоскости z. Если функция /(z, s) непрерывна по совокуп- ности переменных при s s С, z s D и при любом s е С анали- тична по z в области D, то функция F(z)=J/(z,s)ds с аналитиина в области D и F'(z)^^f'^z,s)ds. с Утверждение теоремы остается в силе и для равномерно схо- дящихся несобственных интегралов F(z). При исследовании ин- тегральных представлений для различных специальных функций удобно использовать следующий простой признак равномерной сходимости интегралов: если при всех s <= С, z s D непрерывная функция f(z, s) удовлетворяет неравенству 1/(z, s)l s$ (p(s) и ин- теграл \ (p(s)|ds| сходится, то интеграл ) f(z,s) ds равномерно с • с сходится по z в области D. Так как производные функций гппергеометрического типа у == у(г) являются в свою очередь функциями того же типа, то в результате их аналитического продолжения получаем аналити- ческое продолжение функций y'(z) и y"(z) по переменной z и по 'параметрам, от которых зависят эти функции. Интегральное представление для функции y(z) было построено из условия, что- *) Доказательство этой теоремы можно найти в [8, 13, 15]. 22 ОЫ Эта Ц>утш,11Н .удидясиэирд.иы у yulm^imw •.—.^-, .ч... —-..---_^— ограничениях на переменную z и параметры, от которых зависит эта функция. По принципу аналитического продолжения функ- ция .'/(z) будет удовлетворять этому уравнению во всей области, i! которой левая часть уравнения является аналитической функ- цией (правая часть, равная нулю, аналитична в любой области) *). В последующем изложении для изучения решений конкрет- ных уравнений гипергеометрпческого типа будет использоваться интегральное представление (2), а полученные результаты будут - распространены на более широкую область с помощью принципа аналитического продолжения. § 4. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования Рассмотрим общий метод получения различных соотношений для функций i/»(z), заданных интегральным представлением (3.2). Предварительно установим связь между функциями вида . , f о" (s) P (s) , ^^-J-^r^TT^'. с ' ' которые входят в определение функций y,(z) и их производных. Лемма. Между любыми тремя функциями Фу,^, (z) суще- ствуют линейные соотношения 2 А, (z) (р, ^ (г) = О i=i с полиномиальными коэффициентами Л,(г), если разности v, — У) и (i, — [i, являются целыми числами и выполнено условие ^^Р^^О. ^=0,1,..., (s-tf°