517.6 К 34 УД К 513.83 GENERAL TOPOLOGY by John L. Kelley Professor oj Mathematics University of California D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, New Jersey TORONTO LONDON NEW YORK 1957 Общая топология. К е л л и Дж. Л., 19G8 г. Монография посвящена общей, или теоретико-множественной, топологии. В ней собраны наиболее важные результаты из этой об- ласти математики. Большое внимание в книге уделено таким фун- даментальным вопросам, как сходимость по направленному множе- ству, топологические произведения и фактор-пространства, метриза- ционные теоремы, теория бикомпактных пространств, равномерная топология, теория функциональных пространств и др. В прекрасно подобранных упражнениях излагается большой дополнительный ма- териал, касающийся связей между общей топологией, функциональ- ным анализом и алгеброй. Книга предназначена для студентов и аспирантов механико- математических факультетов университетов, а также для научных работников в различных областях математики, интересующихся ме- тодами общей топологии и их приложениями. 200-67 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому изданию .............. 5 Предисловие автора ..................... 11 Глава О Предварительные сведения ............... 13 Множества (13). Подмножества и дополнения; объедине- ния и пересечения (14). Отношения (20). Функции (25). Упорядочения (29). Алгебраические понятия (34). Веще- ственные числа (37). Счетные множества (44). Карди- нальные числа (48). Порядковые числа (59). Декартовы произведения (51). Принцип максимально :ти Хаусдорфа (53). Глава 1 Топологические пространства ............. 60 Топологии и окрестности (60). Замкнутые множества (63). Точки накопления (65). Замыкание (66). Внутрен- ность и граница (69). Базы и предбазы (72). Переход к индуцированной топологии; отделенность (78). Связные множества (82). Задачи (84). Глава 2 Сходимость по Мору — Смиту ............. 91 Введение (91). Направленные множества и направленности (95). Поднаправленности и предельные точки (101). По- следовательности и подпоследовательности (105). Классы сходимости (106). Задачи (110) Глава ^ Произведения и фактор-пространства ...... 119 Непрерывные отображения (120). Произведения про- странств (125) Фактор-пространства (131). Задачи (140) Глава 4 Вложения и метризация ................ 152 Существование непрерывных функций (153). Вложение в кубы (157) Метрические и исевдометрические про- странства (161) Метризация (169). Задачи (177). Г- 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 5 Бикомпактные пространства .............. 183 Эквивалентные утверждения (1УЗ). Бикомпактность и акси- омы отделимости (190). Произведения бикомпактных про- странств (193). Локально бикомпактные пространства (197). Фактор-пространства (200). Бикомпактные расширения (201). Лемма Лебега о покрытии (209). Паракомпактность (212). Задачи (219). Глава 6 Равномерные пространства .............. 233 Равномерность и равномерная топология (235). Равномер- ная непрерывность; произведение равномерностей (241). Метризация (246). Полнота (253). Пополнение (260). Би- компактные пространства (263). Только для метрических пространств (267). Задачи (272). Глава 7 Функциональные пространства (пространства отобра- жений) ........................ 286 Поточечная сходимость (286). Бикомпактно открытая то- пология и совместная непрерывность (291). Равномерная сходимость (297). Равномерная сходимость на бикомпакт- ных множествах (302). Бикомпактность и равностепенная непрерывность (305). Однообразная непрерывность (309). Задачи (313). Добавление Элементарная теория множеств ............ 325 Классификационная схема аксиом (326). Классификацион- ная схема аксиом (продолжение) (328). Элементарная ал- гебра классов (329). Существование множеств (332). Упо- рядоченные пары; отношения (335) Функции (336). Впол- не упорядочение (339). Порядковые числа (343). Целые числа (349). Аксиома выбора (350). Кардинальные числа (о53). Библиография ...................... 361 Предметный указатель .................... 377 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Книга Келли «Общая топология» является очень по- пулярным руководством по общей топологии; книга мо- жет служить, во-первых, учебником для лиц, желающих систематически овладеть основами этой области матема- тики, и, во-вторых, справочным пособием для многочис- ленных категорий математиков, сталкивающихся в своей работе с теми или иными понятиями или теоремами, от- носящимися к топологическим пространствам, их непре- рывным отображениям, равномерной топологии и т. д. Общетопологические концепции и факты заняли в по- следнее время большое место в самых разнообразных областях математики, и поэтому книга такого типа, как книга Келли, стала нужна очень многим математикам весьма различных специальностей. В этом — первая при- чина успеха названной книги. Вторая причина связана с тем, что в огромном множестве определений и фактов, составляющем современную общую топологию, автору учебника необходимо сделать тот или иной, но доста- точно строгий выбор: нельзя объять необъятное. Выбор, сделанный Келли примерно тринадцать лет назад, был сделан удачно, вернее, вниманию читателя предложен один из удачных вариантов такого выбора (я думаю, впрочем, что если бы автор писал свою книгу не в 1950—1953 гг., а в 1965—1968 гг., то отбор основных фактов для учебника был бы иногда несколько иным, что и естественно в применении к быстро развивающейся области математики). Но несомненно, что и сейчас, как и десять лет тому назад, книга Келли может хорошо вы- полнять те основные свои назначения, о которых ска- зано выше. Поэтому перевод ее на русский язык вполне целесообразен, и многочисленные настойчивые пожелания ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ осуществить, наконец, этот перевод раздаются среди советских математиков уже не первый год. Автор перевода — А. В. Архангельский — является не только одним из лучших знатоков современной общей топологии, но и, несомненно, одним из тех математиков молодого поколения, которым эта область науки обязана многими из самых лучших и самых ярких своих дости- жений за последние годы. Если к этому прибавить, что А. В. Архангельский обладает даром излагать свои мыс- ли легким и весьма современным (на мой взгляд, иногда даже слишком современным!) языком, то надо думать, что выбор переводчика сделан удачно. Это суждение вполне подтверждается и при подробном знакомстве с переводом: он не только точно передает содержание подлинника, но и сохраняет общий литературный стиль его. Поэтому весь перевод представляется мне удачным. Теперь — краткий обзор содержания книги. Она от- крывается вводной главой (имеющей порядковый номер нуль), в которой собраны определения и элементарные предложения, касающиеся таких понятий, как множе- ство, подмножество, отношение, функция (отображение одного множества в другое), порядок, а также простей- шие понятия алгебраического характера: группа, гомо- морфизм, кольцо, идеал и т. п. В этой же главе идет речь о действительных числах, а также о счетных множе- ствах, кардинальных числах (мощностях) и порядковых числах. Следует заметить, что аксиоматически построен- ному элементарному введению в абстрактную теорию множеств посвящено еще специальное Добавление в кон- це книги. Наконец, в той же «нулевой» главе содержится и хаусдорфов принцип максимума (эквивалентный прин- ципу трансфинитной индукции и принципу Куратовского о возможности исключения трансфинитных чисел из ма- тематических рассуждении); принцип этот в свое время (1922 г.) произвел большое впечатление. В первой главе излагаются элементарные свойства топологических пространств: открытые множества (ле- жащие, как обычно, в основе определения), окрестности (определенные по Бурбаки, а не согласно классическому определению Хаусдорфа), точки накопления (почему-то предпочтенные принятым у нас точкам прикосновения), ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 7 замкнутые множества, базы и т.д.—обычный материал! Здесь же, естественно, излагается и понятие связности. Вторая глава посвящена сходимости по направлен- ному множеству (в Америке принято название «сходи- мость Мора — Смита»; г, книге Келли дана ссылка на работу этих авторов 1922 г.). Следовало бы помнить, что это самое понятие на два десятилетия ранее было от- крыто талантливым одесским математиком С. О. Шату- новским. На мой взгляд, следует очень приветствовать, что сходимость по направленному множеству (в частно- сти, такое трудное понятие, как «подпоследовательность по направленному множеству») подверглась в книге тщательному исследованию. Английский термин net ка- жется мне очень неудачным; русский термин «последо- вательность по направленному множеству» слишком дли- нен. Переводчик предлагает — быть может, несколько компромиссный — термин «направленность»; вероятно, это — лучший выход из положения. Третья глава посвящена топологическим произведе- ниям (А. Н. Тихонов) и фактор-пространствам, а следо- вательно, и фактор-отображениям. Фактор-отображения, введенные автором этого предисловия в совместной книге с Хопфом ([I], стр. 65), приобретают в новейшее время все возрастающее значение в топологии. В частности, весьма замечательные исследования, касающиеся этих отображений, принадлежат самому А. В. Архангель- скому. Специальными случаями фактор-отображений яв- ляются как замкнутые, так и открытые отображения, и исследования А. В. Архангельского, в частности, осве- щают взаимные связи, существующие между этими и другими классами фактор-отображений. Эти исследова- ния А. В. Архангельского составляют часть новой главы общей топологии, которую естественно назвать «общей теорией непрерывных отображений топологических про- странств». После уже упомянутого введения понятия фактор-отображения, а также замкнутого отображения в книге П. С. Александрова и Хопфа, первые результаты по общей теории непрерывных отображений получены в Москве И. А. Вайнштейном. В последние годы эта тео- рия развивалась стремительно и очень интересно глав- ным образом в работах талантливых молодых советских 8 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ топологов: А. В. Архангельского, Б. А. Пасынкова, В. И. Пономарева (в работах последнего существенное развитие получила, в частности, теория неприводимых совершенных отображений, см. [З], [6]). К этой же об- ласти относятся очень интересные работы американских математиков: Глисона (предваряющие часть основных результатов Пономарева), Стоуна, Майкла, Исбелла и др., английского тополога Даукера, а также работы японских ученых: Морита и его учеников. Замечатель- ная факторизационная теорема принадлежит югослав- скому математику С. Мардешичу. Выделение фактор-отображений как одного из важ- нейших классов непрерывных отображений является удачной особенностью книги Келли, хотя в этой книге о фактор-отображениях сообщаются лишь самые эле- ментарные сведения. Это естественно — все развитие тео- рии произошло в конце пятидесятых и в начале шести- десятых годов, т. е. уже после выхода книги Келли. В четвертой главе доказываются классические тео- ремы Урысона и Тихонова о погружении вполне регу- лярных пространств в соответствующие «кирпичи» — гильбертов и тихоновский, т. е. в топологическое (тихо- новское) произведение счетного, соответственно, любого множества отрезков. В этой же главе доказываются и метризационные теоремы Бинга и Нагата — Смирнова и метризационная теорема Урысона как их частный слу- чай. Здесь же вводится понятие псевдометрического про- странства. Не могли получить отражения в книге метри- зационные теоремы совершенно нового типа, доказанные в начале шестидесятых годов П. С. Александровым и А. В. Архангельским, Пятая глава посвящена теории бикомпактных про- странств. Несколько удивляет отсутствие теоремы, ха- рактеризующей бикомпакты (бикомпактные хаусдор- фовы пространства) как регулярные пространства, замк- нутые во всяком объемлющем хаусдорфовом простран- стве. Не упоминается и знаменитая теорема Стоуна, характеризующая бикомпакты как те хаусдорфовы про- странства, все замкнутые подмножества которых абсо- лютно замкнуты, т. е. замкнуты во всяком объемлющем хаусдорфовом пространстве. Сама эта «абсолютная» ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 9 замкнутость (теперь предпочитают говорить «//-замкну- тость») упоминается лишь мимоходом; в частности, остаются в стороне работы М. Катетова и др. Центральной теоремой главы заслуженно является классическая теорема А. Н. Тихонова о бикомпактности топологического произведения любого числа бикомпакт- ных пространств. На мой взгляд, слишком бегло осве- щены бикомпактные расширения. Впрочем, это объяс- няется тем, что основная теорема Ю. М. Смирнова, свя- зывающая бикомпактные расширения с пространствами близости, и основывающаяся на этой теореме последую- щая работа П. С. Александрова и В. И. Пономарева, пе- рефразирующая теорему Ю. М. Смирнова так, что она превращается в способ построения всех бикомпактных расширений данного вполне регулярного пространства методом центрированных систем открытых множеств, уже не могли оказаться в сфере внимания автора, когда он писал свою книгу. То же относится и к очень интерес- ным работам Е. Г. Скляренко. Однако метод центриро- ванных систем открытых множеств, найденный и приме- ненный еще в 1939 г. П. С. Александровым к построению максимального бикомпактного расширения (расширения Стоуна—Чеха) и явившийся основой многих дальней- ших исследований (С. В. Фомина, частично Ю.М. Смир- нова, В. И. Пономарева, С. Илиадиса и др.), мог бы найти свое место в книге Келли. Паракомпактные пространства попадают в ту же пя- тую главу. В настоящее время мы видим в паракомпакт- ных пространствах один из важнейших классов тополо- гических пространств. Однако новейшее развитие теории этих пространств также относится уже к годам после на- писания книги Келли, поэтому не удивительно, что в эту книгу они вошли только в самом коротком изложении, занимающем всего лишь один небольшой параграф. На пятой главе заканчивается изложение собственно теории топологических пространств. Шестая глава книги посвящена равномерной тополо- гии, которую Келли понимает как теорию равномерных структур в смысле А. Вейля. Очень важно, конечно, что эта теория, вызывающая интерес математиков самых различных специальностей, изложена в элементарном 10 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ учебнике. Однако нельзя не пожалеть, что в книге Келли даже не упомянуты пространства близости. Эти про- странства, определение которых восходит еще к Рису, были введены В. А. Ефремовичем; однако В. А. Ефремо- вич интересовался определенными им пространствами лишь с точки зрения возможных приложений к конкрет- ным геометрическим объектам. Общая теория про- странств близости была, как известно, построена Ю. М. Смирновым в [I], [5], [б], и эта теория, несомненно, принадлежит к значительнейшим достижениям современ- ной общей топологии. Но и исследования Ю. М. Смир- нова не могли стать известными Келли до окончания им работы над его учебником. Последняя, седьмая, глава книги Келли посвящена функциональным пространствам, которые в значительной степени исследуются именно с точки зрения равномерной топологии (равномерная сходимость, равностепенная не- прерывность семейств функций и т. д.). Интересной особенностью книги, рекомендуемой се- годня вниманию советского читателя, является наличие в каждой ее главе особого добавления, состоящего из упражнений, связанных именно с данной главой. Помимо «упражнений» в собственном смысле слова, в этот раздел попали и многие теоремы, казавшиеся автору слишком специальными, чтобы быть помещенными в основной текст книги. В большинстве случаев с соображениями ав- тора можно согласиться. Но все же, как мне кажется, не всегда. Приведу только один пример: в раздел «упраж- нений» попала знаменитая теорема, называемая теперь «теоремой Вейерштрасса — Стоуна»; очевидно, это не только одна из важнейших теорем общей топологии, !IQ и одна из самых «нужных» для всей вообще математики. Переводчик кое-где дополнил перевод своими немно- гочисленными примечаниями. Все эти примечания ка- жутся мне существенными; их могло бы быть и боль- ше — книга бы от этого только выиграла. Но и такая, какая она есть, книга, несомненно, будет иметь успех у широкого круга советских математиков различных воз- растов и специальностей. Болшево - Комаровка 5 ноября 1906 П. Александров ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА Эта книга является систематическим обозрением об- щей топологии в той ее части, которая уже нашла при- менение в различных областях математики. Специальное ее назначение — быть основой современного анализа; мне очень хотелось назвать свою книгу «Что каждый мо- лодой аналитик должен был бы знать», — друзьям с тру- дом удалось отговорить меня от этого. Основой для книги послужили различные курсы лек- ций, прочитанные автором в Чикагском университете в 1946—1947 гг., в Калифорнийском университете в 1948— 1949 гг. и в Туланском университете в 1950—1951 гг. Ее следует рассматривать одновременно и как справочник, и как учебник. Эти два качества не очень хорошо ужи- ваются. Как справочный обзор книга содержит полное— в разумных пределах — изложение материала, более ши- рокое и полное, чем принято давать в обычных курсах. Справочный характер книги проявился во многих дета- лях; например, я старался включить все наиболее рас- пространенные термины — они перечислены в предмет- ном указателе. С другой стороны, учебный характер книги проявился в спокойной манере изложения, харак- терной для первых глав. В этой же связи в книге появ- ляется предварительная глава, выпадающая из плана систематического обзора. Она содержит те из необходи- мых для чтения данной книги сведений, которые, судя по моему опыту, оказываются неизвестными для многих студентов. Наиболее серьезные из результатов, включенных в главу 0, относятся к теории множеств, систематический обзор которой дан в Добавлении. Это добавление совер- шенно не зависит от предшествующей части книги. В остальном изложение последующего материала ка- ждый раз предполагает знание предыдущего. 12 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА В техническом оформлении книги есть несколько нов- шеств. Иногда перед названием параграфа стоит звез- дочка; это указывает на то, что здесь мы уклоняемся от главной линии. Ряд тем, не менее, а иногда и более ин- тересных, чем включенные в собственно текст, вынесен в раздел упражнений, к которому следует отнестись как к неотъемлемой части книги. Частью—это простые упражнения, назначение которых—помочь лучше усвоить затронутые понятия. Другие — противоречащие при- меры; ими отмечаются границы возможных теорем. В не- которых упражнениях развиваются маленькие теории, интересные сами по себе. Ряд упражнений подводит нас к применениям общей топологии в различных областях математики. К последним всегда даются ссылки. В би- блиографию включено большинство недавних работ с но- выми результатами, естественно укладывающимися в рамки этой книги, и несколько ранних выдающихся работ. Ряд работ относится к другим-областям математики. Теоремы седьмой главы, связанные с понятием «одно- образной непрерывности», являются результатом нашей совместной работы с А. П. Морсом; они публикуются здесь с его разрешения. Многое из того хорошего, что есть в изложении теории множеств, данном в Добавле- нии, взято из неопубликованной системы Морса; я бла- годарен ему за разрешение сделать это. Впрочем, он не несет ответственности за допущенные мной небрежности. Я признателен также Альфреду Тарскому за ряд бесед, темой которых была теория множеств и логика. Я благодарен многим моим коллегам, читавшим всю рукопись или ее части и сделавшим ценные замечания. Особенно я обязан Исааку Намиоке, поправившему пе- чальное множество ошибок и прояснившему много ту- манных мест книги; он предложил также много усовер- шенствований. Хуго Рибейро и Поль Халмош также чрезвычайно помогли мне ценными советами. Наконец, я шлю самые теплые слова благодарности Туланскому университету за поддержку во время изгото- вления рукописи. Эта книга была написана в 1950— 1952 гг. в Туланском университете и пересмотрена в 1953 г. Беркли, Калифорния 1 февраля 1955 Дж. Л. К. Глава О ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Для понимания этой книги надо знать только некото- рые свойства вещественных чисел и, кроме того, надо обла- дать в разумных пределах тем неоценимым качеством, которое обычно называют математической зрелостью. Все определения и основные теоремы, существенные для дальнейшего, собраны в этой главе. Изложение в до- статочной мере замкнуто, но многие детали опускаются— особенно это относится к обсуждению числовой системы. Наиболее глубокие результаты этой главы — теоремы из теории множеств; систематическое их изложение дано в Добавлении. Поскольку основное назначение нулевой главы — служить в дальнейшем для ссылок, мы предла- гаем читателю, просмотрев первые два параграфа, обра- титься к главе 1, возвращаясь к остальной части данной главы по мере надобности. Многие из следующих ниже определений повторяются затем в основном тексте при первом появлении соответствующего понятия. МНОЖЕСТВА Мы будем иметь дело с множествами и с элементами множеств. «Множество», «класс», «семейство» и «сово- купность»—для нас синонимы*); символ (: будет обо- значать отношение принадлежности элемента множеству. Таким образом, х^:А тогда и только тогда, когда х является членом (или «элементом», или «точкой») множества Л. Два множества совпадают тогда и только *) По техническим причинам (они излагаются в Добавлении) стоит различать два типа совокупностей. Термин «множество» бу- дет сохранен за теми из классов, которые сами могут быть элемен- тами классов. Это различие не играет особой роли в данной книге: за единственным нетривиальным исключением каждый класс, кото- рый в ней встретится (до Добавления), будет одновременно и мно- жеством.