ББК 22.152 ФЗЗ УДК 515.12 Рецензенты: кафедра математического анализа УДН им. П. Лумумбы (зав. кафедрой профессор В. М. ФИЛИППОВ), доктор физ.-мат. наук А. А. МАЛЬЦЕВ ФЗЗ Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции: Учеб. по- собие. - М.: Изд-во МГУ, 1988. - 252 с. ISBN 5-211-00082-Х. В учебном пособии, представляющем собой изложение курса лекций, читаемых авторами на механико-математическом факульте- те МГУ, рассмотрены основные понятия те'ории топологических пространств: спектры, произведения и степени топологических про- странств, пространства замкнутых и бикомпактных подмножеств, пространства отображений и др., и их приложения к другим об- ластям математики. Для студентов математических специальностей вузов. !702040000(4309000000—122 ф ________-———————————g2_gs ЬЬК. 22. \ог 077(02)—88 ISBN 5—211—00082—X © Издательство Московского университета, 1988 г. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Глава первая. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ..... 8 § 1. Топологические пространства и непрерывные отображения . . 8 § 2. Аксиомы отделимости. Лемма Урысона. Теорема Брауэра—Тит- це—Урысона о продолжении функций ....... 12 § 3. Метрические пространства. Полные и топологически полные про- странства. Некоторые стандартные метрические пространства . 17 § 4. Бикомпактные пространства. Лемма Александера. Теорема Вей- ерштрасса—Стоуна. Компактность в метризуемых пространствах 27 Глава вторая. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 35 § 1. Определения произведения топологических пространств и отоб- ражений ............... 35 § 2. Послойное и веерное произведение отображений и пространств 37 § 3. Теоремы Тихонова ............. 39 § 4. Примеры топологических произведений и следствия из теорем Тихонова. Бикомпактные расширения ........ 43 § 5. Операции над покрытиями. Нульмерные и п-мерные пространства 49 § 6. Диадические бикомпакты ........... 56 Глава третья. ОБРАТНЫЕ СПЕКТРЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТ- РАНСТВ ................. 67 § 1. Определение и элементарные свойства обратных спектров . . 67 § 2. Связь спектров и произведений ......... 76 § 3. Теорема о спектральном представлении отображений ... 80 Глава четвертая. ПРОСТРАНСТВА ЗАМКНУТЫХ ПОДМНОЖЕСТВ . 84 § 1. Верхний и нижний пределы последовательности множеств . . 84 § 2. Предел сходящейся последовательности множеств .... 88 § 3. Топология Виеторнса ............ 89 § 4. Пространство exp*J ............ 95 § 5. Пространство замкнутых подмножеств бикомпакта .... 96 § 6. Пространство бикомпактных подмножеств ...... 97 § 7. Метрика Хаусдорфа ............ 98 ' § 8. Заключительные замечания .......... 102 Глава пятая. ПРОСТРАНСТВО ОТОБРАЖЕНИЙ ....... 104 § 1. Метрика и норма равномерной сходимости ...... 104 § 2. Бикомпактно-открытая топология и топология поточечной сходи- мости в пространстве непрерывных отображений .... 105 § 3. Бикомпактно-открытая топология пространства отображений ло- кально бикомпактного пространства ........ 109 Глава шестая. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ...... 111 § 1. Полунепрерывные снизу отображения . . . . . . . 111 3 § 2. Полунепрерывные снизу отображения с выпуклыми значениями 113 § 3. Симплициальные комплексы и нервы покрытий . . . . . 116 § 4. Экви-/.С"-семейства . . . . . . ...... 120' § 5. Полунепрерывные снизу отображения в банахово пространство со значениями из экви-LC"-семейства . . ..... 125 § 6. Теорема о продолжении селекции для отображения со значения- ми из экви-г-С"-семейства ........... 131 § 7. Полунепрерывные сверху отображения ....... 135 § 8. Связь с топологией Виеторнса .......... 138 Глава седьмая. КОВАРИАНТНЫЕ ФУНКТОРЫ В КАТЕГОРИИ БИКОМ- ПАКТОВ ................. 139 § 1. Функторы экспоненциального типа . . ...... 139- § 2. Экспоненты канторовых дисконтинуумов ....... 142' § 3. Пространство мер. Функторы вероятностных мер .... 145 § 4. Функтор суперрасширения ........... 156' § 5. Нормальные и монадичные функторы ........ 161 Глава восьмая. ПРОСТРАНСТВА ДУГУНДЖИ И ПРОСТРАНСТВА МИ- ЛЮТИНА ................ 172 § 1. Теорема Хана—Банаха и тензорное произведение мер . . . 172' § 2. Регулярные операторы ............ 174 § 3. Операторы продолжения и усреднения ....... 177 § 4. Пространства Милютина ........... 180' § 5. Пространства Дугунджи и нуль-мягкие отображения . . . 185. § 6. Несовпадение классов Милютина и Дугунджи ..... 194 Глава девятая. ПРОСТРАНСТВА ЧАСТИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕН- ЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ........... 199 § 1. Пространства частичных отображений ....... 199' § 2. Компактность в пространстве частичных отображений . . . 206 § 3. Непрерывность зависимости решений обыкновенных дифферен- циальных уравнений от начальных условий и правой части . 214 § 4. Сходимость последовательностей пространств решений . . 220 § 5. Теорема Кнезера ............. 225 § 6. Автономные и близкие к ним пространства . . . . . . 230' § 7. Теорема о существовании стационарной точки ..... 236 § 8. Теорема Пуанкаре—Бендиксона ......... 240 § 9. Некоторые геометрические свойства пространств решений . 246 § 10. Заключительные замечания .......... 249 Литература . . . . . . . . . . . . . . . , 252 ПРЕДИСЛОВИЕ Топология возникла в результате пересмотра с общей точки- зрения ряда фундаментальных фактов геометрии и математиче- ского анализа. Но уже вскоре после возникновения топологии ста- ло ясно, что в ее рамках можно не только обсуждать свойства объектов, возникших в других пределах математики, но, идя по пути, подсказанному приложениями, «конструировать» новые то- пологические объекты. Так вошли в топологию и в математику в целом такие понятия, как произведение топологических про- странств, пространство отображений, пространство замкнутых подмножеств. Эта книга написана как учебник общей топологии,, в котором изучение подобных конструкций стоит в центре изло- жения. При этом не ставилось целью поместить в относительно небольшую по объему книгу полное описание всех таких конструк- ций, их свойств и приложений, имея в виду достаточно конкрет- ный круг читателей — студентов-математиков, которые специали- зируются как в общей топологии, так и в других областях мате- матики, уже имеют некоторую начальную подготовку по топологии и могут при необходимости продолжить изучение топологии по- другим источникам. Книга содержит материал ряда спецкурсов, прочитанных на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ. Ее содержание можно разделить на три части. В первой излагаются первоначальные понятия и факты общей то- пологии. К ней относятся первая глава, часть второй и отдельные- куски других глав. Изложение материала в ней, хотя формально строгое, все-таки достаточно конспективно. Здесь приводится лишь минимум сведений из этой части топологии, необходимый для дальнейшего изложения. Ядро книги—вторая часть (гл. II—VI), в которых указыва- ются способы построения по одним топологическим объектам дру- гих, новых о.бъектов — «основные конструкции». К ним относятся произведения топологических пространств и отображений, обрат- ные спектры и их пределы, пространства отображений, простран- ства замкнутых множеств, пространства частичных отображений и т. д. К этой же части примыкает изложение теорем Э. Майкла о селекциях многозначных отображений, теоремы о зависимости от счетного числа координат функции, определенной на произве- дении пространств, спектральная теорема о гомеоморфизме. .^ Далее даем примеры применения этих основных конструкций •и методов общей топологии к современным исследованиям. Это составляет содержание третьей части книги. Здесь прослежива- ются три темы. Первая из них связана с последовательным изуче- нием диадических бикомпактов, пространств Милютина, про- странств Дугунджи, нуль-мягких отображений. Дальнейшее дви- жение в этом направлении, выходящее уже за рамки этой книги, приводит к исследованию все более геометрических объектов: га-мягких отображений, абсолютных ретрактов и экстензоров, бес- конечномерных многообразии. С исследованиями по этому направ- лению, проводимыми в нашей стране, можно познакомиться по работам А. Н. Дранишникова, М. М. Заричного, А. В. Иванова, В. В. Федорчука, А. Ч. Чигогидзе, Е. В. Щепина. Из зарубежных авторов в первую очередь следует отметить X. Торунчика (Поль- ша) и его учеников, Дж. Вэста, Т. Чепмэна, Р. Эдвардса и членов возглавляемой ими большой американской школы геометрической топологии. Вторая тема связана с ковариантными функторами в катего- рии бикомпактов. Эта проблематика в настоящее время интен- сивно разрабатывается в направлении исследования геометриче- ских свойств конкретных функторов и в направлении изучения •классов абстрактных функторов, выделяемых наложением тех или иных ограничений. Из советских топологов, занимающихся этой тематикой, кроме уже перечисленных выше, следует отметить В. Н. Басманова, а из зарубежных—Д. Кертиса (США). Для бо- лее детального ознакомления с этой проблематикой можно реко- мендовать обзорные статьи [7, 8 и II]. Третья тема развивается в гл. IX, написанной по мотивам не- давних работ В. В. Филиппова. В ней прежде всего вводится но- вый топологический объект—пространство частичных отображе- ний, представляющих интерес в связи с тем, что на его основе возникает довольно естественным образом аксиоматический под- ход к значительной части теории обыкновенных дифференциаль- ных уравнений. Собственно, изучению самого пространства ча- стичных отображений посвящены только первые полтора парагра- фа главы, а ее основная часть содержит изложение приложения этого понятия к теории обыкновенных дифференциальных уравне- ний. При этом мы не покидаем пределов топологии: в нашем из- ложении дифференциальные уравнения упоминаются только для того, чтобы показать, что развиваемая теория имеет вполне кон- кретную основу, непосредственно связанную с уравнениями. Вне пределов книги остается то, что мы тем самым распространяем топологическую часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений на многие типы уравнений с особенностями в правой части: возникают новые (но уже не полностью топологические) методы проверки аксиом теории для пространств решений урав- нении с особенностями. Без дополнительных пояснений пользуемся общепринятыми обозначениями теории множеств и некоторыми ее теоремами. Все 6 необходимые сведения такого рода можно найти в книге П. С. Александрова «Введение в теорию множеств и общую топо- логию» [I]. В частности, предполагаем, что читатель знаком с такими понятиями и фактами наивной теории множеств, как ча- стично упорядоченное множество, упорядоченные и 'вполне упоря- доченные множества, порядковые и кардинальные числа, аксиома выбора, теорема Цермело, лемма Цорна, принцип трансфинитной индукции, равенство т^т для бесконечного кардинального числа т. Кардинальные числа отождествляются с соответствующими на- чальными порядковыми числами и поэтому обозначаются тем же символом ©а. Через |Л| обозначается мощность множества Л. Как уже было сказано, в некоторых случаях наше обсуждение- ряда понятий общей топологии конспективно. При необходимости для более полного знакомства с ними можно воспользоваться книгами [1, 2]. Ссылки внутри книги делаются следующим образом: «см. II.6.26» означает «смотри пункт 26 шестого параграфа второй- главы», а «см. 1.12» означает «смотри пункт 12 первого параграфа этой же главы». Некоторые доказательства, как правило сводящиеся к автома- тической проверке выполнения соответствующих условий или яв- ляющиеся простой комбинацией ранее установленных фактов,. оставлены читателю в качестве упражнения. Проведя эти доказа-' тельства полностью, читатель может убедиться в хорошем пони- мании .предыдущего материала. ЛИТЕРАТУРА 1. Ал ек с а и д р о в П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию.. М.: Наука, 1977. 2. Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973. 3. Ал екс a ii др о в П. С. Комбинаторная топология. М.—Л.: ОГИЗ, 1947. 4.Маркушевич И. А. Теория аналитических функций. Т. 2. М.: Наука,. 1968. 5. Мищенко А. С. О финально компактных пространствах//Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, № 6. С. 1224—1227. fi. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949. 7. Ф е д о р ч у к В. В. О некоторых геометрических свойствах ковариантных функторов/УУспехи математических наук. 1984. Т. 39. № 5. С. 169—208. 8. Федорчук В. В. Мягкие отображения, многозначные ретракции и функто- ры//Успехи математических наук. 1986. Т. 41. № 6. 9. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой ча- стью. М.: Наука, 1985. 10. Филиппов В. В. Об обыкновенных дифференциальных уравнениях с осо- бенностями в правой части//Математические заметки. 1985. Т. 38, № 6. С. 832—851. 11. Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов//Успехи математи- ческих наук. 1981. Т. 36, № 3. С. 3-62.