ББК 22.162+22.19 Д94 УДК 517.312 Дэвенпорт Дж. Д 94 Интегрирование алгебраических функций: Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 192 с. Книга английского математика содержит замкнутое и подробное описа- ние новых алгоритмов аналитического интегрирования. В частности, в ней, представлены известные результаты Риша, Излагаются теоретические основы таких алгоритмов, включающие большой объем сведений из алгебраической геометрии, приведены новые результаты. Для программистов и математиков, для студентов и аспирантов мате- матических специальностей. -1702070000-275 „ д 041(01)-85 29-85-4- ББК 22.162+22.19 517.2+518 Редакция литературы по математическим наукам © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1981 All Rights Reserved. Authorized translation from English language edition published by Springer-Verlag Berlin—Heidelberg— New York © Перевод на русский язык, «Мир», 1985 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Предлагаемая читателю книга является первой в мировой литературе монографией, в которой описаны общие алго- ритмы символьного интегрирования или, другими словами, нахождения первообразных в «явном виде». Интерес к вопро- сам символьного интегрирования или, общее, символьного решения дифференциальных уравнений значительно возрос за последние годы. Это связано прежде всего с тем, что ком- пьютерные системы символьных вычислений оказались мощ- ным средством повышения производительности труда физи- ков, математиков, инженеров и других специалистов. Сказан- ное касается как теоретических исследований, так и в особенности прикладных работ, включая промышленные. С помощью таких систем получены как яркие теоретические результаты, так и решение огромного числа прикладных за- дач, которые вряд ли удалось бы решить достаточно быстро без применения компьютерных систем символьных вычис- лений. Компьютерные интеграторы, т. е. комплексы программ для нахождения интегралов в символьном виде, являются, как правило, частью более широких систем символьных вы- числений. На Западе из таких систем очень распространены системы MACSYMA и различные версии системы REDUCE. В книге Дэвенпорта описаны эксперименты, выполненные им на базе очень популярной системы REDUCE-2. Она доста- точно хорошо известна и в СССР. Однако не нужно думать, что знакомство с системой REDUCE-2 сколько-нибудь суще- ственно для понимания предлагаемой книги или разработки интеграторов. Книга Дэвенпорта посвящена прежде всего алгоритмам—как описанию собственно процедур, так и крат- кому изложению тех математических знаний, на которых эти алгоритмы основаны. Как же ставится задача символьного интегрирования? Обычно ее формулируют следующим образом. Пусть задан класс функциональных выражений или, используя термин, принятый в математической логике, термов. Например, задан Предисловие редактора перевода класс выражений, которые можно построить с помощью су- перпозиции из переменной х, рациональных чисел, числа л, операций сложения, умножения, взятия абсолютной вели- чины, функции sin и какой-нибудь функции, неинтегрируемой в элементарных функциях. Нужно построить алгоритм, ко- торый бы по любому терму из рассматриваемого класса да- вал ответ, имеет ли этот терм 'первообразную в этом же классе и если да, то находил бы для первообразной соответ- ствующее выражение. Из известной теоремы Д. Ричардсона следует, что для описанного класса термов такой алгоритм невозможен. Таким образом, задача символьного интегриро- вания в общей постановке неразрешима. Это относится и к задаче нахождения определенных интегралов в «явном виде», и к различным модификациям описанной выше задачи. Однако наибольший интерес для приложений—а прило- жениями в данном случае являются компьютерные интегра- торы, — представляют частные классы функций. Хорошо из- вестно, как искать неопределенный интеграл от рациональ- ной функции—его всегда можно построить. Если расширить поле рациональных функций конечным числом алгебраически независимых экспонент, то, хотя мы получим функции, во- обще говоря, не интегрируемые в этом классе, задача о су- ществовании первообразной и ее построении, когда она су- ществует, останется алгоритмически разрешимой. Более того, имеется достаточно эффективный алгоритм (алгоритм Ри- ша) для ее решения. Он кратко описан в гл. 4. Основным результатом Дэвенпорта является разрешаю- щий алгоритм для другого в некотором смысле крайнего случая—случая конечного алгебраического расширения поля рациональных функций. Им же описан ряд полезных сообра- жений о дальнейшем расширении применимости соответству- ющей методики. Алгоритм Дэвенпорта, конечно, не столь эф- фективен как алгоритм Риша уже на уровне теоретических оценок вычислительной сложности. Оценки его эффективности упираются в весьма трудные вопросы алгебраической геомет- рии, которая вообще играет в вопросах символьного интегри- рования ключевую роль. Разумеется, практические интеграторы наряду с общими процедурами типа алгоритмов Риша и Дэвенпорта содержат в том или ином числе различные эвристические приемы инте- грирования—например те, которые в изобилии можно найти в учебниках по классическому математическому анализу или соответствующих справочниках. Роль последних может ока- заться существенной для ускорения решения простых или очень специальных задач. Однако более принципиальное зна- чение для построения перспективных интегралов играют об- щие алгоритмы. Имеющаяся в настоящее время алгорнтмика Предисловие редактора перевода позволяет строить довольно хорошие практические интегра- торы. В последние годы весьма интенсивно ведутся исследова- ния в области вычислительных аспектов алгебраической гео- метрии. Это касается как базисных алгоритмов типа разло- жения многочленов на неприводимые, так и задач типа вычисления оценки кручения дивизоров на алгебраической кривой. Алгоритмы разложения многочленов на неприводи- мые являются составной частью всех известных общих алго- ритмов интегрирования. Недавно в разработке эффективных алгоритмов для этой задачи был достигнут, по крайней мере в теоретическом плане, существенный прогресс1). Это полезно иметь в виду, поскольку Дэвенпорт ссылается на более ранние работы, а алгоритмы разложения многочле- нов на неприводимые во многом определяют эффективность процедур, в которые они входят. Интересную информацию об алгоритмах символьных вы- числений, относящихся к интегрированию, содержит сборник Computer Algebra. Symbolic and Algebraic Computation.— 2nd edition. Eds. B. Buchberger, G. E. Collins, R. Loos, Sprin- ger Verlag, 1983.2) Систематическим источником информации об алгоритмах и системах символьных вычислений является АСМ SIGSAM Bulletin, а также соответствующие тома серии Lecture Notes in Computer Science, издаваемой издательством Springer. Информация о советских работах в этой области по большей части содержится в трудах конференций по сис- темам символьных вычислений. При чтении книги Дэвенпорта нужно иметь в виду, что она написана «на скорую руку», по горячим следам разра- ботки и реализации разработанного автором алгоритма ин- тегрирования. Такой стиль изложения имеет свои плюсы и минусы. С одной стороны, можно весьма быстро получить довольно цельное представление об алгоритмах и относя- щихся к ним вопросах теории. С другой стороны, такое изло- жение требует значительных усилий при восстановлении де- талей, особенно касающихся обоснования правильности ал' горитмов. Внимательный читатель найдет широкое поле для работы по усовершенствованию многих из описанных ') См. Lenstra А. К., Lenstra H. W., Lovasz L. Factoring polynomials with rational coefficients.—Preprint Math. Centrum Amsterdam IW 196/82, 1982; Chistov Л. L., Grigorycv D. Yu. Polynomial-time factoring of the multivariable polynomials over a global field. — LOMI, Preprint Ё—Б—82, Leningrad 1982. 2) В издательстве «Мир» готовится русский перевод. Предисловие редактора перевода алгоритмов. Хочется надеяться, что эта книга послужит хо- рошим стимулом для разработки и построения систем симво- лических вычислений и вообще для исследований в области вычислительных аспектов алгебраической геометрии. При переводе книги в качестве основного источника тер- минологии, касающейся алгебры и теории алгебраических функций, использовалась книга: Ван-дер-Варден. Алгебра. Пер. с англ.—М.: Наука, 1976. Л. О. С лисенка ОТ АВТОРА Я хотел бы выразить свою благодарность всем тем, кто сделал возможной эту работу. Мне не удалось бы справиться с программированием, не пользуясь советами опытных спе- циалистов д-ров Дж. П. Ффитча и А. Ч. Нормана по вопро- сам их Лисп-системы, а также советами проф. А. Херна, д-ра А. Нормана и м-ра Р. Холла относительно системы REDUCE-2. Я благодарен также миссис П. Мур за любезное разрешение ввести некоторые из принадлежавших ей изме- нений в систему REDUCE-2. Я благодарен директору и сотрудникам вычислительного центра Кембриджского университета, где были выполнены поч- ти все описанные здесь исследования, за обеспечение моих казавшихся бесконечными вычислений и за советы. Особенно ценной была помощь М. Гая и Ч. Томсона. Реализация си- стемы интегрирования в Исследовательском центре IBM име- ни Томаса Дж. Уотсона опиралась на советы Дж. Гарри, а реализация MTS была осуществлена с помощью м-ра У. Дод- жа и миссис Дж. Кавинесс из Политехнического института Ренсселара и м-ра М. Александера из Мичиганского универ- ситета. Многочисленные улучшения в программу разложения на множители были введены д-ром Д. Дамом (Барроуз кор- порейшн), который обнаружил и несколько ошибок. Многие затруднения с интерфейсом Лисп-системы были обнаружены и устранены Д. Моррисоном (Университет штата Юта). Я весьма благодарен многим математикам, советами ко- торых я пользовался, особенно профессору сэру Питеру Суин- нертон-Дайеру, д-ру Б. Берчу, проф. Д. Льюису, проф. С. Мак- лейну, д-ру Р. Ришу, проф. А. Шинцелю и проф. М. Зингеру. Своим первоначальным знакомством с вычислительными ма- шинами и алгебраической геометрией я обязан д-ру Н. Сте- фенсу. Обсуждение специальных значений параметров в гл. 6 основано на беседах с д-ром П. Нойманом и участни- ками семинара Оксфордского университета по теории чисел. Я хотел бы также выразить признательность за помощь, которую оказали мне многочисленные беседы с д-ром Дж. Ффитчем, проф. Б. Кавинессом, участниками семинара в Политехническом институте Ренсселара, д-ром Р. Джексом От автора и д-ром Д. Яном из Исследовательского центра IBM имени Томаса Дж. Уотсона, а также с членами группы MACSYMA в Массачусетском Технологическом институте (особенно с Б. Трейгером). Я очень благодарен проф. П. Суиннертон-Дайеру и проф. Херну, которые прочли предварительный вариант этой книги, за их многочисленные комментарии и предложения. Профес- сор М. Зингер также прочел один из вариантов рукописи и сделал много ценных замечаний. Первые варианты этой книги были подготовлены Вычислительным центром Кем- бриджского университета, и я благодарен д-ру А. Герберту и М. Джонсону за их советы по поводу обработки текстов. Нынешний вариант был подготовлен в Исследовательском центре IBM имени Томаса Дж. Уотсона с помощью Иоркта- унского языка макетирования, и я благодарен консультантам по обработке текстов мисс К. Кини и м-ру Ч. Томсону за их советы. В заключение я хотел бы выразить благодарность моей матери за ее помощь (особенно при составлении списка ли- тературы) и д-ру А. Норману, моему руководителю, за не- устанные советы и ободрение. Дж. Дэвенпорт Глава Т ВВЕДЕНИЕ В этой работе рассматривается следующий вопрос: когда алгебраическая функция интегрируема? Мы можем придать этому вопросу другой вид, проясняющий наше понимание интегрируемости: когда по данной алгебраической функции мы можем найти выражение, составленное из алгебраических функций, логарифмов и экспонент, производная которого равна данной функции, и каково это выражение? Этот вопрос можно рассматривать чисто математически как проблему алгоритмической разрешимости, но наш инте- рес носит более практический характер и его источник— требования компьютерной алгебры. Итак, наша цель — напи- сать программу, которая по данной алгебраической функции либо выдаст выражение для ее интеграла, составленное из алгебраических функций, логарифмов и экспонент, либо до- кажет, что такого выражения нет. КОМПЬЮТЕРНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВООБЩЕ В этом разделе') я кратко рассмотрю всю проблему на- хождения неопределенного интеграла с помощью вычисли- тельной машины и разъясню соотношение между поставлен- ной выше задачей и компьютерной алгеброй вообще. Простейший класс функций, которые мы могли бы поже- лать проинтегрировать,—это многочлены. Здесь решение чрезвычайно просто: все многочлены интегрируемы и алго- ритм состоит в простой замене аХ"- на aX"+l/(ra4- 1). Следующий класс—рациональные функции, и снова лю- бая рациональная функция интегрируема. Однако решение уже не столь непосредственно, как в предыдущем абзаце. Прежде всего интеграл от рациональной функции уже не обязан быть рациональной функцией, а может содержать логарифмы. Во-вторых, для того чтобы интегрировать рацио- нальные функции, нам, возможно, придется расширить поле констант (простой пример этой ситуации приведен в работе ') Этот раздел основан на недавнем обзоре компьютерного интегри- рования (Norman & Davenport, 1979). Я благодарен д-ру Норману за мно- гочисленные полезные обсуждения. 184 Литература (Yun & Gustavson,1979) Yun.D.Y.Y., & Gustavson.F., Fast Computation of the Rational' IIenniie Iuicipo!aiit and Solving Toepiitz Sysiems of'Equations via the Extended Euclidean Algorithm. Proc. EUROSAM 79, pp. 58-65. (Zimmer,1972) Zimmer.H.G., Computational'Problems, Methods, and Results in Algebraic Number Theory. Lecture Notes in Mathematics 262, Springer-Verlag, Berlin- Heidelberg-New York, 1972. (Zimmer et al.,1979) Bartz,H., Fischer,K., Folz,H. and Zimmer.H.G., Some Computations relating to Torsion Points of Elliptic Curves over Algebraic Number Fields. Proc. EUROSAM 79 pp. 108-118. lZippel,1977) Zippel, R.E.B., Radical Simplification Made Easy, Proc. 1977 MACSYMA Users' Conference, pp. 361-367. (Zippel,1979) Zippel.R.E.B., Probabi!i';!ic Algorithms for Sparse Polynomials. Proo. EUROSAM 79, pp. 216-226. Список книг, имеющихся на русском языке Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 2-е изд.—М.: Наука, 1972. ван дер Варден Б. Л. Алгебра.—М.: Наука, 1976. Демьяненко В. А. О кручении эллиптических кривых. — Изв. АН СССР, сер. мат., т. 35, 1971, с. 280—307. Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру.—М.: ИЛ, 1959. Ленг С. Введение в алгебраические и абелевы функции.—М.: Мир, 1976. Мамфорд Д.. Геометрическая теория инвариантов. — В кн.: Дьёдонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов.—М.: Мир, 1974. Манин Ю. И. Алгебраические кривые над полями с дифференцирова- нием.—Изв. АН СССР, сер. мат., т. 22, 1958, с. 737—756. Манин Ю. И. Рациональные точки алгебраических кривых над функцио- нальными полями.—Изв. АН СССР, сер. мат., т. 27, 1963, с. 1395— 1440. Манин Ю. И. р-кручение эллиптических кривых равномерно ограничено. — Изв. АН СССР, сер. мат., 1969, с. 459—465. Уиттекер Э. Т., Ватсон Г. Н. Курс современного анализа. — М.: ГТТИ, ч. I, 1933; ч. II, 1934. Чебышев П. Л. Об интегрировании иррациональных дифференциалов. — В кн.: Чебышев П. Л. Избранные математические труды.—М.: ГОНТИ, 1946. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии.—М.: Наука, 1972. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 20, Абелева группа свободная 31 Абелево многообразие 73 Абсолютная неприводимость 22 Алгебраическая геометрия 26 — группа 73 — кривая 26 — функция 51 — часть интеграла 54 Алгебраические выражения 19, 113 — — единственность 21, 22 — — представление см. Представ- ление алгебраических выражений — соотношения 19 Алгебраическое замыкание 86 — многообразие 73 Алгоритм АЛГ-ФАКТОРИЗАЦИЯ 168 — АЛГ-ФАКТОРИЗАЦИЯ 2 169 — БЕСКВ-НОРМА 167—168 — ВХОЖДЕНИЯ 107 — ГРАНИЦА-КРУЧЕНИЯ (вари- ант 1) 103, 104 — ГРАНИЦА-КРУЧЕНИЯ (вари- ант 2) 107, 108 — ДИВИЗОР-В-ФУНКЦИЮ 46, 47 — ЗНАМЕНАТЕЛЬ-АЛГЕБРАИ- ЧЕСКОГО 99, 100 — КОНЕЧНЫЙ-ПОРЯДОК-ЭЛ- ЛИПТИЧЕСКИЙ 97, 98 — КОУТС 35, 36 — КОУТСА 14, 34, 35, 120, 121 ^- ЛЮТЦ-НАГЕЛЬ 95, 96 — МАКСИМАЛЬНАЯ-СТЕПЕНЬ 102 - НАХОЖДЕНИЕ-АЛГЕБРАИ- ЧЕСКОЙ-ЧАСТИ 61, 62 - НАХОЖДЕНИЕ-ПОРЯДКА- ПО-МАНИНУ 82—84 - ПРИМИТИВНЫЙ-ЭЛЕМЕНТ 169—170 - РАЗЛОЖЕНИЕ-БЕСКВАДРАТ- НОЕ 171, 172 - РЕДУКЦИЯ -К-НОРМАЛЬНО- МУ-БАЗИСУ 38, 39 - РЕДУКЦИЯ-К-ЦЕЛОМУ-БА- ЗИСУ 37, 38 - РИШ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ 55, 56 - ФОРМА_ВЕЙЕРШТРАССА 67, 68 Базис 35 — нормальный целый 42 — целый 35, 40 Бирациональные преобразования 27 Вложенные выражения 153 Высота алгебраического числа 93 Вычет дифференциала 33 Граница Мазура 70, 138 Группа кручения 65 Дефект кривой см. Род кривой Дивизор 31 — главный 31 — дифференциала 32 186 Предметный указатель — линейно эквивалентный нулю 31 —— не эквивалентный нулю 31 '— рационально эквивалентный нулю 31 — с кручением 31, 65 — функции 31 — эффективный 31 Дифференциал 32 — второго рода 33 — первого рода 32 Дифференциальная алгебра 52 Дифференциальное поле 53 — расширение поля 53 Модульный подход 101 Не-р-часть группы 102 Неинтегрируемость алгебраическая 1.24 — логарифмическая 124 Ненормированные пол-иномы 21 Неособая модель кривой 27 Оператор Гаусса — Манина 79 — Пикара — Фукса 79 Идеал неразветвленный 92 — разветвленный 92 Индекс ветвления 28, 39, 92 Интеграл Чебышева (пример) 142- 143 — чисто алгебраический 54 — элементарный 51 Каноническая форма 19 Кольцо классов вычетов 92 Компьютерная алгебра 11 Компьютерное интегрирование 11, 12 Кратная точка 27 — — обычная 27 Кривые бирационально эквивалент- ные 27 Кручение 65 Логарифм 53 Логарифмическая часть интеграла 54, 122 Логарифмически неинтегрируемая функция 154, 155 Локальный параметр 28 Параметр Гаусса — Манина 85 Плейс 14, 26 — базисный 25, 29 — лежащий над 26 — неразветвленный 39 — разветвленный 28 — центрированный 26 Поле алгебраических чисел 39, 90 — классов вычетов 102 — характеристики 0 53 Полюс 35 Порядок дифференциала 32 — функции в плейсе 28 Представление алгебраических вы- ражений 23 — — — примитивность 23 — — — с многими переменными 23, 24 Преобразование кривых 27 — —.бирациональное 27 Преобразования подынтегрального выражения 117 Примитивный элемент 23, 39 Принцип Лапласа 58 Простое радикальное расширение 17 Метод Кали 71, 72 Модуль 35 Разложение Пюизо 14, 28, 30 — — вычисление 30 Расширение на трансцендентные функции 121, 124 Предметный указатель 187 Рационализирующая подстановка 32 Рациональная часть интеграла 122 Рациональное простое число 91 Редукционный шаг 41 — — на бесконечности 42 Результат Мазура 69 Решение линейных уравнений 115— 117 Род кривой 32 Ряд Лорана 28 Система REDUCE-2 17, 18 — — изменения 126—131 — SAINT 16 — SIN 16 Специализация 102 Список 28, 29 Степень дивизора 31 Структура данных 29 Сумма двух функций (пример) 163 Теорема Лютца—Нагеля 94, 114 — Риша 54, 55 Унпформизующая переменная см. Локальный параметр Уравнение Пикара — Фукса 79 Целая точка кривой 93 Целые элементы поля 91 Хорошая редукция 102 Экспонента 53 Элементарное расширение 54 Эллиптическая кривая 33, 65, 66 Эллиптические интегралы 124 Якобиева группа дивизоров 65 Якобиево многообразие 74 IBM 730/165 17 IBM 730/168 85 K/k-слел многообразия 81 р-часть группы 102 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода .............. 5 От автора ....................... 9 Глава 1. Введение ....... .............. 11 Компьютерное интегрирование вообще .......... 11 План книги (1) ............... .... 12 Пример ....................... 13 План книги (2) .............. ...... 13 Теоретические ограничения ................ 15 Краткий обзор предшествующих работ ........... 16 Учет машинного времени ................ 17 Глава 2. Алгебраические вычисления ...... ........ 19 Алгебраические соотношения ............... 19 Единственность алгебраических выражений ........ 21 . Представление алгебраических выражений ......... 23 Соображения, связанные с реализацией .......... 25 Алгебраическая геометрия ................ 26 . Разложения Пюизо .................. 28 Структуры данных для плейсов ............. 28 Вычисление разложений Пюизо ............. 30 Дивизоры ...................... 31 Дифференциалы ................... 32 Глава 3. Алгоритм Коутса .,,,.. ............ 34 Введение . . ................ .... 34 Описание алгоритма .................. 35 Доказательство корректности алгоритма. Шаги [1]—[31 . . . 39 Доказательство корректности алгоритма. Шаги [4]— [51 ... 42 Обобщения ..................... 43 Алгоритм Коутса и дифференциалы ............ 43 Реализация ..................... 49 Выводы ....................... 53 Глава 4. Теорема Риша ...... ............. 61 Введение ..............•.••••.. 51 Дифференциальная алгебра ............... 52 Теорема Риша .................... В4 Доказательство теоремы Риша .............. 5? Алгебраическая часть ..,....,..,,..... 80 Оглавление 189 Частичный алгоритм .................. 62 Соображения эффективности ............... 63 Глава 5. Задача о дивизорах с кручением . . ......... 64 Введение ...................... 64 Эллиптические кривые ................. 65 Результат Мазура ................... 90 Приложение исследований Мазура ............ 70 Метод Кэли ..................... 71 Якобиевы многообразия ................ 73 Глава 6. Операторы Гаусса — Манина ... ......... 75 Введение ...................... 75 Пример ........................ 76 Уравнения Пикара — Фукса ............... 78 Операторы Пикара — Фукса как гомоморфизмы ....... 80 Дивизоры конечного порядка .............. 81 Реализация ..................... 84 Специальные значения параметров ............ 86 Глава 7. Эллиптические интегралы. Окончание .... ..... 90 Поля алгебраических чисел ............... 90 Эллиптические кривые ................. 92 Теория Лютца — Нагеля ................ 93 Точка зрения Харди .................. 9в Реализация ..................... 98 Глава 8. Кривые над полями алгебраических чисел . . ..... 101 Произвольный род .................. 101 Хорошая редукция .................. 102 Кручение над конечными полями ............. 104 Пример .. ..................... 106 Вычислительные соображения . . ............ 108 Пример над алгебраическими полями ........... 109 Глава 9. Выводы ...... ............... 112 Состояние теории ................... 112 Состояние реализации ................. 112 Необходимые дополнительные процедуры .......... 114 Выводы для системы алгебраических вычислений ....... 118 Будущие теоретические исследования ........... 120 Расширение на трансцендентные функции .........'. 121 Виды неинтегрируемости ............. 124 Резюме ••••••••.....,..'.'.,'.'.'.'. 126 Приложение 1. Изменения, внесенные в систему REDLICE-2 .... 126 1. Распечатка .................... 126 2. Дифференцирование ................. 127 3. Наибольшие общие делители ............. 128 4. Алгебраические выражения .............. 129 190 Оглавление б. Разложение на множители .............. 130 G. Единственность алгебраических выражений . ....... 131 Приложение 2. Примеры ..... ............. 132 Пример 1. Простое логарифмическое выражение ....... 132 Пример2. 1/SQRT((X*»2—1)*(X**2-K**2)) . ......... 133 Пример 3. Пример с кручением .............. 137 Пример 4. Модулярная кривая .............. 139 Пример 5. Интеграл Чебышева . . ........... 142 Пример 6. Вложенные выражения ............ 153 Пример 7. Логарифмически неинтегрируемая функция ..... 154 Пример 8. Сумма двух функций ............. 163 Приложение 3. Алгоритмы работы с алгебраическими выражениями 167 Литература ......... .............. 174 Предметный указатель .................. 185 1 УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ! Ваши замечания о содержании кни- ги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Риж- ский пер., д. 2, издательство «Мир». -