BASES MATHEMATIQUE8 DTJ CALCITL DE8 PKOBABILITE8 par JACQUES VEVEV MASSON ET CIE, PARIS 1964 Ж. Неве Математические основы теории вероятностей Перевод с французского В. В. САЗОНОВА ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»-МОСКВА 1969 УДК 519.2 Автор книги известен своими работами по приме- нению методов функционального анализа и теории меры к вопросам теории вероятностей. Мастерски написанная книга содержит компактное и в то же время полное изложение оснований теории вероятностей. Включено много полезных дополнений и упражнений. Книга может служить хорошим учебником для студентов и аспирантов, желающих серьезно изучить теорию случайных процессов, и отличным справочни- ком для специалистов. Редакция литературы по вопросам математических наук Инд. 2-2-3 От переводчика Это издание заполняет пробел в вероятностной ли- тературе на русском языке. У нас нет книги неболь- шого объема, после изучения которой можно было бы читать монографическую и журнальную литературу по теории вероятностей. Со времени выхода в свет со- вершившей переворот в науке о вероятностях моногра- фии А. Н. Колмогорова „Основные понятия теории ве- роятностей" прошло уже более тридцати лет. Назрела потребность в книге, отвечающей современному состоя- нию теории вероятностей (даже если оставить в сто- роне вопрос об усовершенствовании аксиоматики Кол-, могорова). Благодаря тщательному отбору и продуманному изложению материала книга профессора Ж. Неве со- держит все основные сведения из теории меры и ин- тегриройнЙЭГТ^ужныё в "теории "вёро^ЯТйостей, а также йажнейшйе^вероятностные результаты, которые, будучи интересны и сами по себе, служат также инструментом при изучении других вероятностных проблем или ле- жат в основе более тонких и глубоких» вопросов (се- парабельность и измеримость случайных функций, мар- тингалы, марковские процессы и т. д). Автор включил в книгу такой нетрадиционный в вероятностном курсе материал, как компактные вероятностные меры и инте- грирование на топологических пространствах. Правда, в книге „не изложен один из самых мощных методов теории вероятностей —^етод^ар^(те^дст]1ч&с_ких,,ф,у^ Ций, однако достаточно полное его изложение имеется во многих учебных пособиях и монографиях. Удачно подобранные дополнения и упражнения по- могают более глубоко усвоить основной текст. Кроме того, в них намечены важные обобщения и применения излагаемых результатов. При всей лаконичности стиля От переводчика книга написана очень ясно. Тем не менее для чтения ее требуется достаточно высокая математическая куль- тура ^"желательно некоторое предварительное знаком- ство с элементами теории вероятностей. Перевод сделан с французского издания 1964 г. с учетом всех изменений и добавлений, внесенных ав- тором в английское издание 1965 г, 9 июня 1968 Москва В. Сазонов Предисловие Теория вероятностей и, в частности, теория случай- ных процессов и векторнозначных случайных величин в их современном состоянии не могут быть поняты без глубокого понимания теории меры. Для того, кто хо- чет принять участие в дальнейшем развитии теории вероятностей, недостаточно простого знакомства с фун- даментальными понятиями и результатами теории меры; необходимо также овладеть ее техническим аппаратом и научиться использовать его в новых ситуациях. С другой стороны, часто приходится слышать—и в некотором смысле это вполне оправдано—что теория вероятностей есть просто раздел теории меры; однако в пределах теории меры теория вероятностей выделяется природой тех вопросов, которые она старается разре- шить, природа же эта определяется не самой теорией меры, а философским и практическим содержанием понятия вероятности. С 1959 года профессор Неве читал этот курс на факультете наук в Париже. Нет необходимости пред- ставлять профессора Неве специалистам по теории ве- роятностей. Всего за несколько лет он привлек их вни- мание своими блестящими исследованиями; однако не всем так хорошо известно, как мне, насколько высоко ценят наши студенты и молодые ученые его живой и ясный метод преподавания. Читавшийся им курс, обо- гащенный его педагогическим опытом, лежит в основе настоящей книги. Книг по теории меры немало, часть из них богаче по материалу, и некоторые прекрасно написаны. Я уже указывал, однако, почему вероятностникам нужен курс, написанный специально для них; кроме того, для на- чинающих предпочтительна книга небольших размеров. При таком положении вещей естественно, что целью профессора Неве было написать книгу, объединяющую Предисловие результаты различных исследований, а вовсе не ориги- нальную монографию; автор не претендует на введение новых концепций или установление новых теорем. Тот факт, что каждая глава снабжена весьма полезными дополнениями и упражнениями, подчеркивает сущест- венно учебный характер книги. В этом отношении я хочу отметить два ее достоинства: во-первых, автор избегает громоздких обозначений, во-вторых, в изложение пред- мета, по су1цеству..сво5м.у„_абстра,ктного, он без коле- баний вводит пояснения, содержащие ту или иную ин- терпретацию, устанавливающие причинные связи и при- влекающие внимание к возможным ошибкам. Тем не менее книга отличается подлинной ориги- нальностью. Прежде всего, по содержанию — к тради- ционному материалу по теории меры и интегрирова- ния добавлены различные теоремы о построении ве- роятности посредством продолжения с алгебры на а-алгебру, с компактных подклассов на полуалгебры, с конечных произведений пространств на бесконечные произведения пространств (теоремы Колмогорова и • Тулчи) и т. д. Включены такие темы, как измери- мость, сепарабельность, построение случайных функ- ций, условные ожидания, мартингалы. Результаты общего характера иллюстрируются применениями к мо- ментам остановки, эргодической теории, марковским процессам, а также к ряду других областей. Все эти применения редко включаются в курсы теории меры— некоторые из них потому, что соответствующие резуль- таты лишь недавно были получены, другие — потому, что, будучи весьма важными для теории вероятностей, они не представляют, возможно, большого интереса с точки зрения общей теории меры. Оригинальность проявляется также в последователь- ности изложения. Особенно мне нравится то, что про- фессор Неве систематически выдвигает на первый план алгебраические структуры семейств событий (булевы алгебры, а-алгебры и т. д.) и избегает преждевре- менного введения топологических~"пЬнятий; в резуль- тате еще отчетливее выясняется значение последних. На протяжении всего изложения автору удалось подобрать весьма короткие и изящные доказательства, Предисловие так что, несмотря на небольшой объем книги, в ней содержится удивительно много материала. Изучаются, например, хотя и кратко, пространства Lp и даже— с помощью умелого использования дополнений и упраж- нений—теория статистических решений и достаточные статистики. подготовленных специалистов. Август 1965 Женева Нисколько не рискуя, я могу предсказать этой книге долгую жизнь и большой успех — и как учебнику для студентов, и как справочнику для Р. Форте Введение Предметом теории вероятностей является матема- тический анализ понятия случайности. Строгое построе- ние теории вероятностей, как и всякой математической дисциплины, возможно лишь на основе некоторой си- • стемы точных определений и аксиом. Формулировка таких математических основ и математическая разра- ботка теории исторически относятся к тридцатым го- дам нашего века. Именно к этому периоду теория меры и интегрирования на пространствах общей природы оказалась достаточно развитой, чтобы обеспечить тео- рию вероятностей фундаментальными определениями и снабдить ее весьма мощным аппаратом исследования. С тех пор многочисленные вероятностные исследо- вания, предпринятые как в чисто теоретическом, так и в практическом плане (в том числе и те, в которых использовались функциональные пространства), лишь подтвердили существование глубоких связей между теорией вероятностей и теорией меры. Эти связи на- столько близки, что некоторые авторы склонны считать теорию вероятностей не более как ветвью (хотя и иск- лючительно важной!) теории меры. Во всяком случае, если не ограничиваться изуче- нием весьма элементарных вероятностных моделей и, в частности, не отказываться от рассмотрения случай- ных функций, глубокое изучение теории вероятностей и математической статистики в настоящее время не- возможно без постоянного обращения к теории меры. Следует отметить, что предпринимались попытки тракто- вать .вопросы сходимости в теории вероятностей в узких рамках изучения функций распределения, однако этот подход приводит лишь к обманчивым упрощениям и еще более затемняет интуитивные основы этих вопросов. Настоящая 'книга содержит основной материал курса лекций, рассчитанного на студентов, уже вла- деющих некоторыми элементарными понятиями теории вероятностей. Назначение ее—дать солидную матема- тическую базу для изучения теории вероятностей. Эта книга может служить введением в теорию вероятностей Введение лишь для читателей с достаточно" высокой математи-ь. ^M^^.f^^y^^-^^^.^f^-^^-e'^^ "" ' "' - •• •-" :' ' ческой ^льтудои. "'Главная цель этого курса, следовательно,—научить читателя пользоваться мощным аппаратом теорий~мёры, что даст"ему возможность впоследствии разобраться в любом .вопросе теории вероятностей. Основной текст дополняется многочисленными упражнениями. Поскольку излагаемый предмет имеет довольно „технический" ха- рактер, мы настоятельно советуем прочитать и попы- таться решить большинство упражнений (для облегче- ния этой работы многие упражнения сопровождаются набросками решения). Следуя прочно установившейся к настоящему времени французской традиции для ввод- ных курсов, мы не даем библиографических справок в тексте и, за редкими исключениями, не указываем принадлежности излагаемых результатов их авторам. В конце книги читатель найдет краткую библиографию как к основному тексту книги, так и к дополнениям; в частности, большинство упражнений основано на ра- ботах, указанных в этой библиографии. Мы не хотели бы скрывать от читателя того факта, что теория меры — не единственный (хотя и основной) инструмент теории """вероятностей; мы не могли бы настаивать на том, чтобы читатель изучил, если он еще этого не сделал, основные понятия топологии, теорию метрических пространств и теорию гильбертовых и ба-*"' нУхбвых пространств. В ограниченных рамках этой кни"1"" гй невозможно было поместить какие-либо введения в эти теории. Некоторые упражнения, и даже отдельные части основного текста 1), используют понятия, заимст- вованные из этих теорий; однако начинающий читатель может пропустить их без боязни "потерять нить изло- жения;' в то же время более подготовленного чита- теля, возможно, заинтересуют указанные там связи с другими областями математики. Я хотел бы воспользоваться случаем поблагодарить профессоров Р. Форте, М. Лоэва и А. Тортра за их советы и поддержку. На окончательной форме изложения сказа- лась также реакция студентов, слушавших мой курс. )) Мы пометили иу апо-.""— - - СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ И СОКРАЩЕНИЙ В—конец доказательства (*) — трудная часть текста или трудное упражнение, требующие иногда знакомства с понятиями, не опре- деляемыми в этой книге —»• — знак сходимости =$• — знак импликации („влечет") (д.) с. в. — (действительная) случайная вели- чина (д.) с. ф.—(действительная) случайная функ- ция п. н.— почти наверное ') Мы пометили их звездочкой. ^К. Неве Глава I j Фундаментальными понятиями теории вероятностей I являются понятия события и вероятности. С аксиома- | тической точки зрения события представляют собой ' матем атические объекты,' которые можно 'комбинйро- j вать с гюмощью логических операций „нет", „и", „или" | (в собтветствий~(Г правилами, описанными в п. 1 насто- ящей главы), а вероятность есть числовая характери- стика класса событий, свойства которой по опреде- лению аналогичны свойствам частоты (см. п. 3). Другим важным понятием, которое нередко вво- дится как первичное понятие теории вероятностей, яв- ляется понятие элементарного события или, иными сло- вами, результата случайного эксперимента. Если огра- ничить&ягёйтественным соглашением рассматривать лишь те события и элементарные события, которые относятся к изучаемому эксперименту, то каждое элементарное событие по самому его определению необходимо опре- деляет либо реализацию, либо нереализацию каждого из событий. Введем множество и всех элементарных событий (возможных результатов рассматриваемого эксперимента) и идентифицируем каждое событие с под- множеством тех элементарных событий, которые реали- зуют это событие. Вероятность при этом становится функцией множества аналогичной объему, определен- ному на некоторых подмножествах евклидова простран- ства. Описанный подход представляет собой подход с точки зрения теории меры и будет развит в первой главе. Что касается вероятностей, то их мы определяем сначала на булевых алгебрах (или, как в п. 6, на бу- левых полуалгебрах), затем продолжаем на а-алге- бры и, таким образом, конструируем вероятностные ...w^ пространства • пространства. Этот подход имеет то преимущество, что он j явно выделяет весьма важную теорему -теории меры | о продолжении. Кроме того, при построении вероят- ностей в евклидовых пространствах, равно как и в произведениях пространств (см. гл. III), вероятности оказываются естественно определенными сначала на ал- гебрах и полуалгебрах. L1. События Первичным понятием теории вероятностей является понятие' события. Мы будем рассматривать события лишь с точки зрения их осуществления или неосуще- ствления. Анализ этого понятия приведет нас к тому, что мы наделим множество событий, которые мы рас- сматриваем в связи с некоторой определенной задачей, структурой булевой алгебры. Рассмотрим сначала два специальных события: не- возможное событие, обозначаемое 0, и достоверное событие, обозначаемое и. Каждому событию А поставим в соответствие до- полнительное событие, обозначаемое А1'. По определе- нию событие Ac реализуется тогда и только тогда, когда событие А не реализуется. Введем как аксиомы следующие свойства этой операции (они представляются „интуитивно" очевидными): (ЛТ=Л; 0е = и; Q^0. Каждой паре событий А, В поставим в соответствие следующие два события: объединение - А и В, пони- маемое как „А или В" и обозначаемое АЦВ или sup (Л, В), и пересечение А и В, понимаел^ое как „А и В" и обозначаемое А{}В, АВ или mi (А, В). По определению событие А [] В происходит тогда и только тогда, когда происходит по крайней мере одно из событий А, В, а событие А(}В происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В. Операции объединения и пересечения коммутативны и ассоциативны: А(]В=В[]А, АПВ=ВПА, (AUB)UC=AU(BUC), (АПВ)ПС=АП(ВПС), 1.1. События 17 так что всякое конечное непустое семейство событий [AI, i s /} имеет объединение (JA;==supA; и пересече- ние ^]Ai=infA,. Следующие формулы вводятся опять лил=л. ЛП0=0, Л U А' = Q, ЛПЛ =Л, A[]Q =Q, ЛПЙ-Л. / / как аксиомы ЛПЛ=0, AU0-0, Как аксиомы вводятся также следующие соотношения для произвольного конечного непустого семейства со- бытий {Л;, i г /}: (u^r-n^ (n^r=u^. V / / / \ l / i Наконец, операции объединения и пересечения ди- стрибутивны по отношению друг к другу: B^([JAA^[j(B(}A^, BUfn^rK5^). \i / i U ! i Структура, которая образуется на множестве собы- тий введенными определениями и аксиомами, называется структурой булевой алгебры. Весьма важны также сле- дующие вспомогательные понятия, которые опреде- ляются на булевой алгебре событий. Два события Л, В, такие, что Л ("I В == 0, называются взаимно исключающими или непересекающимися. Объе- динение непересекающихся событий мы называем сум- мой и обозначаем А+В .вместо. А[]В. Аналогично, если {Л;, is/}— заданное конечное непустое семейство попарно непересекающихся событий, то их объединение называется „суммой событий Л< (t's/)" и обозначается .SA; вместо ЦА[. 1 i 'Разностью двух событий Л, В называют событие АВ" и обозначают его Л — В. Симметрической разностью двух событий Л, В называют событие (А—В}+(В—А) и обозначают его ЛДВ. Событие А—В происходит тогда и .тодько тогда, когда событие Л происходит, а событие В не происходит. Событие ЛДВ происходит 2 Эак. 1368 ОГЛАВЛЕНИЕ От переводчика ....................... 5 Предисловие ........................ 7 Введение .....;.................... 11 Список обозначений и сокращений .............. 13 Глава I. Вероятностные пространства ............ 15 1.1. События ...................... 16 1.2. Испытания и элементарные события ......... 20 1.3. Вероятности ................... 26 1.4. Вероятностные пространства ............ 30 1.5. Продолжение вероятности ............. 38 1.6. Булевы полуалгебры, компактные классы и функции распределения на действительной прямой ...... 46 Глава II. Интегрирование случайных величин ........ 53 П. 1. Измеримые отображения .... ./ ......... 53 11.2. Действительные случайные величины ........ 55 11.3. Математическое ожидание действительных случайных величин ...................... 62 II. 4. Сходимость почти наверное и сходимость по вероят- ности ....................... 71 11.5. Равномерная интегрируемость и сходимость в сред- нем ........................ 79 II. 6. Пространства Lp .................. 85 *П. 7. Интегрирование на топологических пространствах 92 Глава III. Произведения пространств и случайные функции 105 III. 1. Произведение двух измеримых пространств .... 105 III. 2. Переходные вероятности и произведения вероятностей 109 III.3. Бесконечные произведения измеримых пространств и канонические вероятностные пространства, свя- занные со случайными функциями ......... 116 III. 4. Сепарабельность и измеримость случайных функций 126 III. 5. Непрерывность действительных случайных функций 136 III. 6. Моменты остановки ................ 144 Глава IV. Условные математические ожидания и мартингалы 151 IV. 1. Меры ........................ 151 IV. 2. Двойственность пространств Lp и ослабленная топо- логия в пространстве Z., .............. 1S3 3U9 Оглавление ————-——— . . . • • I73 IV. 3. Условные математические ожида»''^ '''.... 179 IV. 4. Независимость ......... ''..... 186 IV. 5. Теория мартингалов ...... • • • - цдйных ве- IV. 6. Центрированные последовательно1' •' ..... 207 личин ............. •„.„„яйны^' величин 216 IV. 7. Последовательности независимых '-•'•' Глава V. Эргоднческая теория и марковск»16 "Р0" <я п ппонзведении V.I. Теорема Ионеску Тулчи и теоре'1" t ..... 227 пространств .......... . • '.^' 'процессов V.2. Построение канонических марк01'-'" ..... 236 (дискретное время) .......'•'''.... 251 V. 3. Равномерная эргодическая теорем^ '"'''..... 261 V.4. Субмарковские операторы •••'''''.'.... 272 V. 5. Эргодическое разложение ..•••„''' ^ .... 283 V.6. Индивидуальная эргодическая теор- ' ' ' п„д Литература ...............•••''" 304 Указатель ................•'''' „дд Оглавление ..............•'''''