ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА Е. А. БАРБАШИН ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1967 517.2 Б 24 УДК 517.91 АННОТАЦИЯ В настоящей книге излагается курс лекций по тео- рии устойчивости, прочитанный автором в Уральском государственном университете им. А. М. Горького. Первая глава посвящена методу функций Ляпунова. Особое место уделено развитию теории устойчивости при любых начальных возмущениях. Рассмотрены так- же методы построения функций Ляпунова для нели- нейных систем. Во второй главе рассмотрены методы стабилизации систем, параметры которых могут изме- няться в широких пределах. Здесь изложены вопросы устойчивости систем с переменной структурой. Третья глава посвящена исследованию устойчивости решений уравнений, заданных в функциональных пространствах. Изложены новейшие достижения в этой области, полу- ченные как автором книги, так и другими учеными. Особое место уделяется вопросам устойчивости при импульсных возмущениях, задаче .о накоплении возму- щений, а также вопросам теории программного регу- лирования. Для понимания материала книги необходимо знать курс математики в объеме втузовской программы. В случае необходимости привлечения математической конструкции, выходящей за пределы указанной про- граммы, автор дает полное описание этой конструкции со ссылкой на первоисточник. Книга может быть рекомендована студентам, аспи- рантам, научным работникам и инженерам, которые занимаются прикладными вопросами математики и желают расширить свои знания по теории устойчи- вости. 2^3 70-Ь7 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ................................. 5 Глава 1. Метод функций Ляпунова ................ ^ § 1. Оценка изменения решений ............... 10 § 2. Определение устойчивости. Вывод уравнений воз- мущенного движения ................... 15 § 3. Функции Ляпунова..................... 17 § 4. Теоремы Ляпунова об устойчивости.......... 20 § 5. Теорема об асимптотической устойчивости..... 23 § 6. Теоремы о неустойчивости................ 26 § 7. Примеры ........................... 28 § 8. Линейные системы ..................... 31 § 9. Построение функций Ляпунова в виде квадратич- ных форм для линейных систем дифференциаль- ных уравнений ....................... 35 § 10. Оценка решений линейных систем ........... 38 § 11. Теоремы об устойчивости по первому приближе- нию .............................. 40 § 12. Устойчивость в целом ................... 45 § 13. Проблема Айзермана ................... 47 § 14. Примеры ........................... 50 Глава II. Устойчивость систем регулирования с перемен- ной структурой ....................... 59 § 1. Предварительные замечания. Постановка задачи. . 59 § 2. Стабилизация системы второго порядка ....... 65 § 3. Стабилизация системы третьего порядка. Условия существования скольжения. ............... 71 § 4. Стабилизация системы третьего порядка. Устойчи- вость системы........................ 74 § 5. Стабилизация системы я-го порядка. ......... 83 § 6. Стабилизация системы с ограничителем в критиче- ском случае одного нулевого корня.......... 87 § 7. Нелинейные системы с переменной структурой. Регулирование по координате х ............ 92 § 8. Нелинейные системы с переменной структурой. Регулирование по координате х и ее производным 102 § 9. Исследование системы третьего порядка с раз- рывной поверхностью переключения ......... 108 Г t ОГЛАВЛЕНИЕ § 10. Система с форсированным скользящим режимом 123 § 11. Пример системы третьего порядка с форсирован- ным скользящим режимом ................ 132 Глава III. Устойчивость решений дифференциальных урав- нений в банаховом пространстве. .......... 140 § 1. Банахово пространство. ................. 140 § 2. Дифференциальные уравнения в банаховом про- странстве ........................... 147 § 3. Примеры дифференциальных уравнений в банахо- вых пространствах ..................... 156 § 4. Задача о накоплении возмущений на конечном интервале времени ..................... 162 § 5. Задача о накоплении возмущений на бесконечном интервале времени. Теоремы об устойчивости ну- левого решения однородного линейного уравнения 164 § 6. Теоремы об устойчивости решений нелинейных уравнений .......................... 182 § 7. Устойчивость по отношению к импульсным воздей- ствиям ............................. 194 § 8. Задача осуществления движения по заданной тра- ектории ............................ 201 Литература ................................ 215 ПРЕДИСЛОВИЕ В основу данной книги положены лекции, прочитанные ав- тором в Уральском государственном университете им. А. М.Горь- кого для студентов-математиков старших курсов. Эти лекции посещали также научные работники и инженеры, интересую- щиеся приложением методов теории устойчивости. Указанное обстоятельство явилось причиной ряда специфических особен- ностей предлагаемого курса. С одной стороны, автором руко- водило стремление дать слушателям-математикам представ- ление о современном уровне развития теории устойчивости, показать связь этой теории с другими областями математики, познакомить с новейшими методами исследования, наконец, изложить результаты самого автора и его учеников. С другой стороны, автор понимал, что слушатели не должны были уходить с лекций, унося в голове только голые математи- ческие конструкции. Поэтому на лекциях каждый математи- ческий факт обсуждался с точки зрения его применимости и ценности в прикладных вопросах. К сожалению, мы не нашли возможным включить все такие обсуждения в эту книгу, однако специфика подбора материала отражает в достаточной степени указанную выше ситуацию. В первой главе рассматриваются вопросы метода функций Ляпунова. Этот метод был развит в книге А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», вышедшей из печати в 1892 г. Дальнейшему развитию метода функций Ляпунова были посвящены известные монографии А. И. Лурье [22], Н. Г. Четаева [26], И. Г. Малкина [8], А. М. Летова [23], Н. Н. Красовского [7], В. И. Зубова [138] у нас в СССР и Ж. Ла-Салля, С. Лефшеца [II], В. Гана [137] за рубежом. В нашей книге, далеко не претендующей на полноту, не изложены даже в полном объеме те теоремы, которые вошли в знаменитую монографию А. М. Ляпунова. Здесь нами рас- о ПРЕДИСЛОВИЕ смотрены только автономные системы. В линейном случае мы ограничились обзором функций Ляпунова только в виде квад- ратичных форм. В нелинейном случае не обсуждается вопрос об обратимости теорем об устойчивости и неустойчивости. С другой стороны, в первой главе подробно обсуждаются вопросы устойчивости при любых начальных возмущениях. Как известно, эта теория возникла в 1950—1955 гг. Первые существенные результаты в этой области принадлежат Н. П. Еру- гину [133—135,16]. А. И. Лурье и И. Г. Малкину принад- лежит заслуга привлечения к указанным вопросам метода функций Ляпунова. Значительную роль в развитии теории устой- чивости в целом сыграли теоремы типа теорем 5.2, 6.3, 12.2, приведенных в первой главе. В этих теоремах свойство устой- чивости обусловливается наличием функции Ляпунова, имею- щей знакопостоянную, а не знакоопределенную, как это тре- буется в некоторых теоремах Ляпунова, производную по времени. Особая роль этих теорем объясняется тем, что почти любая попытка построения простых функций Ляпунова для нелинейных систем приводит к функциям с указанным свойством. При изложении материала первой главы в любом удобном случае показывается методика построения функций Ляпунова. В конце главы даны примеры, каждый из которых представ- ляет самостоятельный интерес. Вторая глава посвящена вопросам устойчивости систем с переменной структурой. С математической точки зрения такие системы представляют весьма узкий класс систем диф- ференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Однако именно благодаря этому факту автору вместе с его сотрудниками удалось построить более или менее полную и стройную теорию для рассматриваемого класса систем. Следует отметить важность исследования устойчивости сис- тем с переменной структурой, так как такие системы позво- ляют осуществлять стабилизацию объектов с существенно переменными параметрами. Часть результатов второй главы получена совместно с инженерами, которые осуществляли как разработку отдельных направлений теории, так и моде- лирование исследуемых систем. Метод функций Ляпунова также нашел здесь свое приме- нение, однако заинтересованный читатель может познакомиться с содержанием этой главы независимо от предыдущей. ПРЕДИСЛОВИЕ В третьей главе обсуждаются вопросы устойчивости реше- ний дифференциальных уравнений в банаховых простран- ствах. Намерение включить эту главу в книгу появилось в силу следующих обстоятельств. Прежде всего, к моменту начала работы над этой главой не было монографий и фун- даментальных работ, посвященных указанным вопросам, за исключением статей Л.Массера и Д. Шеффера [94, 95, 139, 140]. Автором руководило также желание продемонстрировать роль методов функционального анализа в теории устойчивости.' Первый результат в этом направлении принадлежит М. Г. Крей- ну [99]. В дальнейшем Л. Массера и Д. Шеффер, опираясь, в частности, на метод М. Г. Крейна, значительно развили тео- рию устойчивости в функциональных пространствах. К момен- ту завершения работы над этой главой вышла из печати кни- га М. Г. Крейна [75]. Однако различие научных интересов автора указанной выше книги и автора данной книги привело к тому, что пересечение результатов имеет место только в общих вопросах. Отметим особенности изложения материала в третьей гла- ве нашей работы. Нами дана трактовка задачи о накоплении возмущений как задача отыскания нормы оператора, преоб- разующего входной сигнал в выходной. Далее, значительное место уделено теоремам Л. Массера и Д. Шеффера, причем снова эти теоремы рассматриваются с точки зрения накопле- ния возмущений, но уже на полубесконечном интервале времени. В настоящее время стала очень распространенной точка зрения на устойчивость, как на устойчивость по отношению к возмущению входного сигнала. Предположим, что некоторое звено системы автоматического регулирования преобразует вход- ной сигнал в некоторый сигнал. Закон преобразования этих сиг- налов задается некоторым оператором. Устойчивость состоит в том, что малое возмущение входного сигнала вызывает малое воз- мущение выходного сигнала. С математической точки зрения указанное свойство соответствует свойству непрерывности рас- сматриваемого оператора. Представляет интерес дать внутрен- нюю характеристику таких операторов. Как правило, эта харак- теристика сводится к описанию асимптотического поведения матрицы Коши (переходных функций). Именно в таком плане мы и рассматриваем результаты § 5 и 6. Следует заметить, что асимптотическое поведение матрицы Коши линейной системы полностью характеризуется поведе- ПРЕДИСЛОВИЕ нием реакции звена на импульсное воздействие. Таким обра- зом, теоремы § 5 и 6 можно рассматривать как теоремы, описывающие поведение реакции системы на импульсный сиг- нал в зависимости от поведения системы при действии воз- мущений других типов. Поэтому большое внимание уделено вопросам преобразования импульсных воздействий. Здесь на базе понятия функций ограниченной вариации и понятия инте- грала Стилтьеса строится элементарная теория устойчивости по отношению к импульсным воздействиям. Указанный подход позволяет рассматривать вопросы устойчивости в смысле Ляпу- нова (т. е. вопросы устойчивости по отношению к начальным возмущениям) и вопросы устойчивости по отношению к посто- янно действующим возмущениям с единой точки зрения. Последний параграф третьей главы посвящен вопросам про- граммного регулирования. Материал § 6 и 7 изложен так, что- бы применение его для решения задачи осуществления движе- ния по заданной траектории не представляло затруднений. Единственное, что здесь потребовалось для развития теории,— это привлечение методов и результатов теории среднеквад- ратических приближений. Следует отметить, что третья глава требует от читателя несколько большей математической подготовки. В этой главе мы используем основные понятия функционального анализа, с которыми можно познакомиться, например, по книге [71]. Однако для удобства читателя все основные определения и положения функционального анализа, которыми мы пользу- емся в третьей главе, приведены в § 1 этой главы. В конце книги приведена подробная библиография работ, имеющих отношение к вопросам, рассматриваемым в книге. Автор благодарен Н. Н. Красовскому за ценные замечания и советы. В. А. Табуева, Е. И. Геращенко, В. Л. Гасилов, С. Т. Зава- лишин, А. Ф. Клейменов, Л. В. Киселев указали мне ряд недо- четов, допущенных при оформлении работы. Ю. К. Сергеев провел моделирование некоторых результатов второй главы. Всем указанным товарищам автор приносит свою глубокую благодарность. ГЛАВА 1 МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА А. М. Ляпунов установил ряд общих достаточных условий устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения, опи- сываемого системой обыкновенных дифференциальных урав- нений. Сводя вопрос устойчивости невозмущенного движения к вопросу устойчивости положения равновесия, А. М. Ляпу- нов связывал факт устойчивости или неустойчивости с нали- чием функции v (xi, ..., Хп), производная которой по време- ни, взятая согласно системе дифференциальных уравнений, обладает определенными свойствами. Однако значение функций Ляпунова далеко не исчерпыва- ется проблемой установления факта устойчивости, как и неустой- чивости. Знание функции Ляпунова для конкретной системы автоматического регулирования позволяет дать оценку измене- ния регулируемой величины, оценку времени протекания пере- ходного процесса (времени регулирования), оценку качества регулирования. С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т. е. многообразие всех начальных возмущений, исчезающих во времени, можно оценить влияние постоянно действующих возмущений. Знание функции Ляпунова позво- ляет решить вопрос о наличии или отсутствии перерегулиро- вания, с помощью этих функций можно решать задачи устой- чивости «в большом», т. е. оценивать область начальных воз- мущений, не выходящих с течением времени за пределы задан- ной заранее области. В некоторых случаях знание функции Ляпунова позволяет также решить вопрос о наличии периоди- ческого решения. Одним из наиболее трудных и интересных вопросов тео- рии устойчивости был вопрос об обращении теорем Ляпуно- ва. Необходимо было выяснить, являются ли достаточные 10 МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА [ГЛ. I условия устойчивости и неустойчивости, указанные А. М. Ляпу- новым, необходимыми условиями. Этот вопрос оказался важ- ным не только в силу стремления к логической завершенно- сти теории. Обращение теорем Ляпунова, осуществленное в работах К. П. Персидского [141], Л. Массера [4], Е. А. Бар- башина [25], И. Г. Малкина [142], Н. Н. Красовского [7], обе- спечило уверенность в силе метода функций Ляпунова, как универсального метода для решения задач устойчивости. Однако методы построения функций Ляпунова, хорошо разработанные указанными авторами, хотя и позволили уста- новить факт существования этих функций, но не были настоль- ко эффективными, чтобы ими можно было пользоваться при исследовании конкретных систем. Следует заметить, что для автономной линейной системы способ построения функций Ляпунова был указан еще самим А. М. Ляпуновым. Этот способ дает возможность получить также функцию Ляпунова в достаточно малой окрестности положения равновесия нелинейной системы. Значительно более трудной является проблема построения функции в заданной области фазового пространства нелинейной системы. В направ- лении решения этой проблемы работали многие математики и механики; ими создан достаточно богатый запас конкретных функций Ляпунова для нелинейных систем специального вида, но до настоящего времени не существует надежного, простого и хорошо разработанного алгоритма, позволяющего постро- ить функцию Ляпунова для любой нелинейной системы. В этой главе, наряду с изложением теорем об устойчи- вости и неустойчивости, мы даем примеры использования функ- ций Ляпунова для решения задач оценки времени регулирова- ния, оценки области допустимых возмущений, оценки области притяжения и т. д. Кроме того, нами указаны наиболее распространенные приемы построения функций Ляпунова для нелинейных сис- тем и приведены соответствующие примеры применения этих приемов. § 1. Оценка изменения решений Рассмотрим систему дифференциальных уравнений -dt == xi {х1' •••• х^ t)> l = 1' 2- • • •' "• (L1) §4 ОЦЕНКА ИЗМЕНЕНИЯ РЕШЕНИЙ 11 Предположим, что правые части системы (1.1), т. е. функции Xi (х^ ..., х^, 0, непрерывны в некоторой открытой области D, которая может совпадать со всем пространством. Предпо- ложим, кроме того, что функции Л', (л-i, .... -л",,, t) удовле- творяют в любой замкнутой области О, лежащей в D, усло- виям Липшица по переменным Xi, ..., Ху Известная теорема гарантирует в этом случае существование единственного реше- ния Xi=Xi(t, х\, ..., х'п),1== 1, 2, ...,п, удовлетворяющего начальным условиям л-; (ty, х'[, .. „ x'n) = х}. Заметим, что решение х == -к, (t, х\, ..., x4i) может суще- ствовать не для всех значений t,—oo<^t<^co, а только на некотором конечном промежутке. Если же решение определе- но для любого значения t, то назовем это решение продол- жаемым. Если решение не выходит за пределы некоторой ограниченной области, то оно будет продолжаемым [З]. Суще- ствуют и другие, более общие критерии продолжаемости; мы их приводим в третьей главе. Правые части системы (1.1) мы будем трактовать в дальней- шем как проекции переменного вектора скорости X(Xi, Ху, ..., Х^), а величину t будем истолковывать как время. Тогда систе- ма (1.1) задает закон движения начальной точки Мц(х\,..., Хп, t) п-}- 1-мерного фазового пространства по траектории Xi==X,(t, Х^, ...,Х°п), 1==\, 2, ..., Л. В дальнейшем систему (1.1) мы часто будем записывать в векторной форме, т. е. в виде chc dt =Х(х, t). (1.2) Решением этой системы будем считать векторную функцию л-(0 с проекциями Xi(t), ..., x^(t). Через || х || обозначим норму вектора х. В простейшем случае норма вектора может совпадать с евклидовой длиной вектора, т. е. определяться по формуле х .1 xt \'/2 Норма может быть определена и другим способом; укажем ЛИТЕРАТУРА К главе I Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Физматгиз, 1959. Б е л л м а н Р., Теория устойчивости решений дифференциаль- ных уравнений, ИЛ, 1954. Не мы ц к и и В. В., С т е п а н о в В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1949. М a s s е г a J. L, On Liapounoffs condition oi stability, Ann. oi Math., 1949 50, № 3. Г а н т м а х е р Ф. Р., Теория матриц, Гостехиздат, 1953. Барбашин Е. А. и Красовский Н. Н., Об устойчи- вости движения в целом, ДАН СССР, 1952 86, вып. 3. Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчи- вости движения, Физматгиз, 1959. М а л к и н И. Г., Теория устойчивости движения, Гостехиз- дат, 1952. Алимов Ю. И., К вопросу о построении функций Ляпунова для линейных дифференциальных уравнении с постоянными коэффициентами, Сиб. матем. журнал, 1961 2, № 1. 10. Ч е т а е в Н. Г., О выборе параметров устойчивости механи- ческой системы, ПММ, 1951 15, вып. 2. 11. Ла-Салль Ж., Л е ф ш е ц С., Исследование устойчивости пря- мым методом Ляпунова, М. «МИР», 1964. 12. А и з е р м а н М. А., Об одной проблеме, касающейся устой- чивости в большом динамических систем, УМН, 1949 4, вып. 4. 13. К р а с о в с к и и Н. Н., Теоремы об устойчивости движений, определяемых системой двух уравнений, ПММ, 1952 16, вып. 5. 14. Плисе В. А., Некоторые проблемы теории устойчивости дви- жения в целом, Изд. ЛГУ, 1958. 15. М а л к и н И. Г., Об устойчивости систем автоматического регулирования, ПММ, 1952 16, вып. 4. 16. Е р у г и н Н. П., Об одной задаче теории устойчивости си- стем автоматического регулирования, ПММ, 1952 16, вып. 5. ЛИТЕРАТУРА К р а с о в с к и й Н. Н., Об одной задаче устойчивости движе- ния в целом, ДАН СССР, 1953 88, № 3. Б а р б а ш и н Е. А., О построении функций Ляпунова для нелинейных систем, Тр. Первого Международного конгресса международной федерации по автоматическому управлению, АН СССР, 1961, стр. 742-751. К р а с о в с к и и Н. Н., Об устойчивости движения в целом при постоянно действующих возмущениях, ПММ, 1954 18, вып. 1. Б а р б а ш и н Е. А., Об устойчивости решения одного нели- нейного уравнения третьего порядка, ПММ, 1952 16, выи. 3. Железное Е. И., Об устойчивости в целом одной нелиней- ной системы трех уравнений, Тр. Уральского политехн. ин-та, 1958, сб. 74. Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автома- тического регулирования, Гостехиздат, 1951. Л е т о в А. М., Устойчивость нелинейных регулируемых си- стем, Физматгиз, 1962. А и з е р м а н М. А., Г а н т м а х е р Ф. Р., Абсолютная устой- чивость регулируемых систем, АН СССР, 1963. Барбашин Е. А., Метод сечений в теории динамических систем, Матем. сб., 1951 29, вып. 2. Ч е т а е в Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, 1956. К главе II Долго л ем ко Ю. В., Скользящие режимы релейных систем непрямого регулирования. Тр. Второго Всесоюзного совещания но теории автоматического регулирования, 1, М.-Л., АН СССР. Н е и м а р к Ю. И., О скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования, Автом. и телемех., 1957 18, № 1, 27-33. Flugge-Lotz J., Discontinuons automatic control, Princeton, 1953 (русский перевод «Метод фазовой плоскости в теории релейных систем», Физматгиз, 1959). Лето в А. М., Условно устойчивые регулируемые системы (об одном классе оптимальных регулируемых систем), Автом. и телемех., 1957 18, № 7. Барбашин Е. А., Печорина И. Н., Эйдинов Р. М., Применение систем автоматического регулирования с перемен- ной структурой для регулирования одного класса линейных ста- тических объектов. Автом. и телемех., 1963 24, № 1. Б а р б а ш и н Е. А., Т а б у е в а В. А., Об одном способе ста- билизации систем регулирования третьего порядка с большим коэффициентом усиления. I. Автом. и телемех., 1962 23, № 10, Б а р б а ш и н Е. А., Т а б у е в а В. А., Об одном способе ста- билизации систем регулирования третьего порядка с большим коэффициентом усиления. II. Автом. и телемех., 1963 24, № 5, ЛИТЕРАТУРА 217 34. Б а р б а ш и н Е. А., Т а б у е в а В. А., Эйдинов Р. М., Об устойчивости одной системы регулирования с переменной структурой при нарушении условий скольжения, Автом. и теле- мех., 1963 24, № 7. Барбашин Е. А., Т а б у е в а В. А., Теорема об устойчи- вости решения одного дифференциального уравнения третьего порядка с разрывной характеристикой, ПММ, 1963 27, № 4. 36. Барбашин Е. А., Т а б у е в а В. А., Теоремы об асимпто- тической устойчивости решений некоторых дифференциальных уравнений третьего порядка с разрывными характеристиками ПММ, 1964 28, № 3. 37. Б а р б а ш и н Е. А., Геращенко Е. И., О стабилизации систем регулирования, ПММ, 1964 28, № 4. 38 Б а д к о в В. М., Барбашин Е. А., Об одном методе ста- билизации систем регулирования при ограниченных допусти- мых значениях параметров регулятора, Изв. АН СССР, Техни- ческая кибернетика, 1964, № 2. 39 Геращенко Е. И., Об устойчивости движения в гиперпло- скости скольжения для некоторых систем автоматического регулирования с переменной структурой (с дополнениями С. В. Емельянова-и В. А. Тарана), Изв. АН СССР, Техниче- ская кибернетика, 1963, № 4. Геращенко Е. И., О сгепени устойчивости нелинейных систем в скользящем режиме, Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1964, № 2. О форсировании уравнения, 1965 41. Барбашин Е. А., Геращенко Е. И., скользящих режимов. Дифференциальные 1, №. 1. Об одном и телемех., прин- 1965 Барбашин Е. А., Геращенко Е. И. ципе построения следящих систем, Автом. 26, № 6. Т а б у е в а В. А., 43. Б а р б а ш и н Е. А., Г е р а щ е н к о Е. И., Эйдинов Р. М., Некоторые вопросы теории синтеза систем автоматического регулирования с переменной структурой, Доклад на Третьем Всесоюзном совещании по автоматическому управлению, 1965. 44. Г е р а щ е н к о Е. И., К вопросу о синтезе релейных систем, Автом. и телемех., 1965 26, № 10. 45. Г е р а щ е н к о Е. И., Клейменов А. Ф., Анализ одной нелинейной системы методом разделения движений. Дифферен- циальные уравнения, 1965, № 10. Геращенко Е. И., Киселев Л. В., Об устойчивости одной системы регулирования с форсированным скользящим режи- мом. Дифференциальные уравнения, 1965, № 12. 47. Эйдинов Р. М., К оценке времени переходных процессов в системах автоматического регулирования с переменной струк- турой, Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1965, № 5. 40. 42 46.