Harper's Series in Modern Mathematics 1. N. Herstein and Qian-Carlo Rota, Editors UNIVERSAL ALGEBRA P. M. COHN Reader in Pure Mathematics The University of London HARPER & ROW, Publishers New York, Evanston, and London 1965 П. КОН УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА Перевод с английского Т. M.БАРАНОВИЧ Под редакцией А. Г. КУРОША ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1968 Абелева группа 66 Абстрактная категория 119 Абстрактное отношение зависимости 269 — свойство 116 Абстрактный клон 147 Автоморфизм 63 Аксиома 221 — базисная 237 — бесконечности 18 — выбора 33 — основания 20 Аксиоматизируемый класс модрлей 221 — тип 225 Аксиоматический ранг 188 Аксиомы Пеано 264 Активная часть 284 Алгебра 55 — антикоммутативная 305 — булева 208 — вполне сжимаемая 146 — группоида 183 — идемпотентная 304 — индуктивная 265 — йорданова 317 — коммутативная 306 — лиева 308 — Линденбаума 224 — линейная 67 — относительно свободная 191 — полиадическая 224 — полугрупповая 183 — п-примальная 195 — Ж -проективная 156 — простая 75 — /-п-простая 193 — сжимаемая 146 — е%"-свободная 158 — с конечным числом образующих 94 — П-слов 131, 132 — Й-строк 131 — универсальная 152 — цилиндрическая 225 Алгебра частичная 68 — числовая 265 — элементарная 193 Алгебраическая система замыканий 59' Алгебраически замкнутое расширение 275 Алгебраический оператор замыкания 59 Алгебраическое замыкание алгебры. 278 — отношение зависимости 271 — расширение 275 Алфавит 132 Антиизоморфизм категорий 52 Аитикоммутативная алгебра 305 Антисимметричное соответствие 22 Арность 62, 204 ATOM 92, 211 Атомная формула 216 База фильтра 213 Базис 270 Базисная аксиома 237 Базисное произведение 309 Базисный ранг 188 Безу кольцо 93 Бесконечноместная операция 26 Бесконечный класс 19 Биективное отображение 25 Биекция 23 Биркгофа—Витта теорема 308 Биркгофа теорема 115 Бицентрализатор 144 Булеан 16 Булева алгебра 208 Булево кольцо 209 — пространство 231 Валентность 133 Взаимно однозначное отображение 2К — — соответствие 23 Витта формула 315 342 ПРЕДМЕТНЫП УКАЗАТЕЛЬ Вложение 25, 63, 206 Внутреннее прямое произведение 70 Возрастающий одночлен 184 Вота критерий 249 Вполне дистрибутивная булева ал- гебра 210 — инвариантная конгруэнция 177 — неупорядоченное множество 31 — приводимый модуль 148 — регулярное пространство 152 — сжимаемая алгебра 146 — упорядоченное множество 33 Выполнение тождества, отношения 176, 205 Высказывание 14 — коллективизируемое 15 Галуа соответствие 58 Гёделя теорема о полноте 222 Главный ряд 108 — фильтр 214 Гомоморфизм 63, 205 — клонов 141 Гомоморфное отображение 63 Гомоморфный образ 63 Граф 38, 139 — ориентированный 38 — связный 38 Группа 65 — ебелева 66 — — без кручения 117 — — делимая 194 — дробей 281 — с мультиоператорами 66 — — операторами 66 — симметрическая 69 Группоид 64 Двойственная категория 52 Двойственность 79 Дедекиндова структура 79 Дедекиндово сечение 61 Декартова степень 18 Декартово произведение 16, 21 Де Моргана тождества 210 Диагональ 22 Диагональный процесс Кантора 37 Диаграмма модели 240 Дизъюнкция 216 Дистрибутивная структура 81 Длина строки 133 — структуры 85 — элемента 85, 136, 302 Дополнение 16, 80 Допустимый морфизм 124 Дуальный идеал 212 Единица 65 Единичный оператор 141 Естественная эквивалентность функ- торов 53 Естественное отображение 27 — представление 148 — преобразование функтора 53 Естественный гомоморфизм 72 Жордана — Гёльдера теорема 85, 108 Зависимое подмножество 269 Зависимость стандартная 272 Задание алгебры 166 — — конечное 168 Закон 176 — альтернативности 303, 307 — антикоммутативности 305 — ассоциативности 78, 307 — дистрибутивности 66, 81 — идемпотентности 303 — коммутативности 78, 303 — модулярности 80 — поглощения 78 — эластичности 307 Замкнутое подмножество 270 Замкнутость относительно отобра- жений 26 —- — подалгебр 120 —- — прямых произведений 120 — — факторалгебр 120 Замыкание 57 — алгебраическое 278 — универсальное 220 Значение функции 16 Идеал 72, 212 Идемпотент 112 Идемпотентная алгебра 304 Изоморфизм алгебр 63 — категорий 51 — рядов 107 — структур 35 — 0-структур 206 — цепей 84 Импликация 216 Инвариантный ряд 108 Индекс 16 Индуктивная алгебра 265 — система 59 343 ПРЕДМЕТНЫ!"! УКАЗАТЕЛЬ Индуктивный класс 239 Индукция 264 — нётерова 33 — трансфинитная 33 Интервал 79 Инъективная алгебра 278 — оболочка 279 Инъективное отображение 25 Инъективный функтор 151 Инъекция 25 Исключительная йорданова алгебра 317 Истинность 205 Источник 24 Йорданово представление 318 — тождество 317 Иорданов элемент 324 Канонический морфизм 128 Кантора диагональный процесс 37 Кардинальное число 41 Категоричная теория 249 Категория 50 — абстрактная 119 — двойственная 52 — двойственная себе 54 — локальная 121 — наследственная 120 — полученная ограничением области — операторов 163 — регулярная 119 — резидуальная 121 Квазигруппа 66, 297 Квазимногообразие 252 Квантор общности 217 — существования 217 Кейслера теорема 258 Класс 13, 27 — аксиоматизируемый 221 — бесконечный 19 — конечный 19 — локально определимый 238 — моделей 238 — ограниченный 239 — открытых предложений 244 — относительно аксиоматизируемый 233 — полный 15 — пустой 15 — сублокально определимый 238 — типовой 230 — универсальный 15, 243 — хорновский 252 — эквационально полный 192 Класс элементарный 221, 233 Клон 141 — абстрактный 147 — действия Q 142 Ковариантный функтор 52 Коллективизируемое высказывание 15 Кольцо 66 — Везу 93 Коммутативная алгебра 306 — диаграмма 24 Компактное замыкание Стоуна—Чеха 152 Композиционный ряд 108 Композиция 141 — морфнзмов 50 Конечное задание алгебры 168 Конечноместная операция 26 Конечный класс 19 — характер 61 Конгруэнтность формул 224 Конгруэнция 71 — вполне инвариантная 177 — неразложимая в пересечение 115 — нетривиальная 73 — разделяющая 73 —- собственная 73 — совершенная 113 Контравариантный функтор 52 Конфигурация Паппа 70 Конъюнктивная нормальная форма 210> Конъюнкция 216 Координата 16 Коуниверсальный функтор 127 Критерий Вота 249 Крулля—Шмидта теорема 86, 88, lit Куроша—Оре теорема 91 Лёвенгейма—Сколема теорема 248 Левый отрезок 35 Лексикографическое произведение 49 Лемма о замещении 273 — Цассенхауза 106 — Цорна 32 Лиева алгебра 308 Лииденбаума алгебра 224 Линеариз-ация 316 Линейная алгебра 67 Линейно упорядоченное множество 23, 31 Логика высказываний 209 Локальная категория 121 — система подалгебр 115 Локальное свойство 116 Локально определимый класс 238 Лупа 66 344 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Максимальный идеал 212 — элемент 32 Мальцева условия 286, 287 Мёбиуса функция 315 Минимальное многообразие 192 Минимальный фильтр Фреше 213 — элемент 32 Многообразие 123, 177 Множество 13, 67 — вполне неупорядоченное 31 — — упорядоченное 33 — замкнутое 57 — линейно упорядоченное 23, 31 — направленное 32 — ограниченное сверху 32 — определяющих соотношений 165 — плотно упорядоченное 49 — счетное 44 — универсальное 18 — упорядоченное 23 — частично вполне упорядоченное 137 — — упорядоченное 23 Модель 221, 236 — стандартная 223 Модельно-замкнутое множество фор- мул 221 Модуль 66, 307 — вполне приводимый 148 — унитарный 67 Модулярная структура 79 Модулярный интервал 79 Мономорфизм 54, 63 Монотонный гомоморфизм 35 — изоморфизм 35 Морфизм 50 — допустимый 124 — обратимый 53 — обратный 53 — регулярный слева 203 — — справа 203 — тождественный 50 Мощность 41 Мультиоператор 66 Наибольший элемент 32 Наименьший элемент 32 Направленная категория 276 — полугруппа 288 — система 129 Направленное множество 32 Наследственное свойство 117 Наследственность 120, 238 Натуральное число 19, 67 Невозрастающая последовательность 138 Недостижимый элемент 100 Независимое подмножество 86, 269 Нейтральный элемент 64 Непересекающаяся сумма 128 Неподвижный элемент 324 Непрерывная сверху структура 100 Неприводимый элемент 90 Непротиворечивое множество формул 229 Неразличимые П-структуры 224 Неразложимая в пересечение конгру- энция 115 Неразложимый элемент 88 Несжимаемое расширение 275 Несократимая формула 250 Несократимое прямое произведение 118 — разложение 90 Нестандартная модель натуральны»: чисел 267 Нётерова индукция 33 Нетривиальная конгруэнция 73 — подкатегория 119 Нетривиальное многообразие 186 Нить 129 Нормализаторное условие 245 Нормальная форма 210 Нормальное распределение скобок 286 Нормальный ряд 107 Носитель 62, 125 — 0-структуры 205 Нулевая алгебра 304 Нулевой морфизм 51 — объект 50 Нульарная операция 26 Область значений 16 — операторов 62 — определения 16 — Оре 293 — предикатов 204 Обобщенная гипотеза континуума 256 Обобщенный принцип индукции 33 Оболочка 269 Образ 25 Обратимая трансляция 113 Обратное соответствие 22 Обратный морфизм 53 — переход 174 — предел 129 Обращающий оператор 324 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 345 Общее представление 318 Объединение 15, 94 — прямое 86, 128 — свободное 128 Объект 50 Ограничение модели 237 — области операторов 161 — операции 26 — отображения 26 Ограниченный класс 239 Одиночка 15 Одночлен 181 Оператор 62 — единичный 141 — замыкания 56 — обращающий 324 — постоянный 62 — проектирования 79 — производный 160 Операция 69 — п-арная 26 — конечноместная 26 Определяющее соотношение 165 Ориентированный граф 38 Оре область 293 Открытая формула 217 Относительно аксиоматизируемый класс 233 — свободная алгебра 191 Отношение 23 — зависимости 269 Отображение 24 Отождествление 27 Отрезок 34 Отрицание 216 Отрицательная составляющая 250 Отрицательное предложение 254 Пара 15 Пассивная часть 284 Пеано аксиомы 264 Пересечение 15 Переход к полным прообразам 27 Перспективность интервалов 84 Плотное действие П 144 Плотно упорядоченное множество 49 Подалгебра 62, 94 — Фраттини 99 Подкатегория 52 — полная 52 Подкласс 16 Подклон 141 Подмножество 16 Подобъект 54 Подпрямо неразложимая алгебра 115 Подпрямо разложимая алгебра 114 Подпрямое произведение 114 Подстановка 25 Подструктура 34 — П-структуры 205 Подчиненность категорий 125 Покрытие 38 Поле 68, 234 — множеств 208 Полиадическая алгебра 224 Полная булева алгебра 210 — диаграмма модели 240 — подкатегория 52 — структура 34 — Й-структура 205 — теория 229 Полное разложение 88 — действие Q 144 Полнота 0-структуры 205 Полный класс 15 — прообраз 27 Положительная составляющая 250 — формула 216 Положительное предложение 254 — число 19 Полугруппа 64 Полугрупповая алгебра 183 Полуспециальное представление 319 Порождающая алгебра 188 Порождающее множество 94, 270 Порядковое число 41 Порядковый тип 41 Постоянный оператор 62 Потенциально обратимое подмноже- ство 282 Правильное слово 309 Правый отрезок 35 Предельное порядковое число 49 Предикат 204 Предложение 218 — в пренексной нормальной форме 220 Представление алгебры йорданово 318 — — общее 318 — — полуспециальное 319 — — регулярное 318 — — специальное 317 — — — унитальное 323 — — универсальное 320 — — унитальное 232 — категорий 124, 148 — — естественное 148 — — резндуальное 149 Предупорядоченность 23 — по делимости 138, 140 Пренебрегающий функтор 125 346 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Пренексное предложение 220 Приведенное произведение 227 Приведенный элемент 174 Примальность 195 Примитивный класс 177 Принцип двойственности 79 — индукции 264 — — обобщенный 33 — локализации 240 — трапсфннитной индукции 33 Проблема тождества 170 Проективная алгебра 156 — плоскость 68 Проективный интервал 83 Проекция 25, 106 Произведение базисное 309 — декартово 16, 21 — кардинальных чисел 45 — лексикографическое 49 — морфизмов 50 — подпрямое 114 — приведенное 227 — прямое 63 — — внутреннее 70 — — несократимое 118 — свободное 157 — — с объединенной подгруппой 203 — соответствий 22 — тривиальное 227 Производная трансляция 161 Производный оператор 160 — предикат 207 Простая алгебра 75 Простой идеал 85 — интервал 85 Пространство моделей 225 Противоположная предупорядочен- ность 23 Прямая степень 63 Прямое объединение 86, 128 — произведение 63 Прямой переход 174 — предел 128 Пустой класс 15 Равномощные множества 23 Разбиение 27 Разделяющая конгруэнция 73 Разделяющее семейство конгруэнции 114 Ранг многообразия аксиоматический 188 — — базисный 188 — свободной алгебры 155 Расширение 68 Расширение алгебраически замкнутое 275 — алгебраическое 275 — несжимаемое 275 — отображения 26 — расщепляемое нулевое 307, 322 — сжимаемое 275 — структуры Q-алгебры 99 — 0-структуры 237 — элементарное 245 Расщепляемое нулевое расширение 307, 322 Регулярная категория 119 Регулярное представление 318 — действие полугруппы 292 Регулярный морфизм 203 Резидуальная категория 121 Резидуальное представление 149 — свойство 116 Рекурсивно разрешимая проблема тождества 170 Рефлексивное соответствие 22 Ряд главный 108 — инвариантный 108 — композиционный 108 — нормальный 107 Свободное объединение 128 — переменное 216 — произведение 157, 203 Свойство абстрактное 116 — замещения 92, 270 — конечных пересечений 213 — локальное 116 — наследственное 117 — резидуальное 116 — стойкое 243 — универсальное 123 Связанное переменное 217 Связанные элементы в структуре 80 Связная компонента графа 38 Семейство 16 Сжатие 171 — расширения 275 Сжимаемая алгебра 158 Сжимаемое расширение 275 Симметрическая группа 69 Симметричное соответствие 22 Система замыканий 55 — — алгебраическая 59 — — топологическая 56 — конечного характера 61 — направленная 129 — подмножеств 55 — — индуктивная 59 ПРЕДМЕТНЫГ1 УКАЗАТЕЛЬ 347 Система характера п 61 Слово 308 Собственная конгруэнция 73 — подалгебра 63, 96 Собственный идеал 212 — подкласс 16 Совершенная конгруэнция 113 Согласованность отображения 63 Сократимая формула 250 Соответствие 22 — Галуа 58 Специализация 101 Специальная йорданова алгебра 317 — лиевая алгебра 308 Специальное представление йордано- вой алгебры 317 — унитальное представление 323 Сравнимые элементы 31 Срезанное отображение 26 Стабилизатор 69 Стандартная зависимость 272 — модель 223 Стандартный алфавит 177 Степень декартова 18 — прямая 63 — элемента группоида 302 Стойкое свойство 243 CTOVHB—Чеха компактное замыкание 152 Строго минимальный элемент 137 Строка 131 Структура 33, 67, 77 — дедекиндова 79 — дистрибутивная 81 — модулярная 79 — непрерывная сверху 100 — полная 34 — с дополнениями 92, 207 — с отношениями (0-структура) 204 — О-алгебры 62 Структурный гомоморфизм 35 — изоморфизм 35 Сублокально определимый класс 238 Сумма кардинальных чисел 45 — непересекающаяся 128 — упорядоченная 49 Счетное множество 44 Сюръективное отображение 25 Сюръекция 25 Теорема Биркгофа о представлении 115 — Гёделя о полноте 222 — Жордана—Гёльдера 85, 108 — Кейслера 258 — компактности 229 — Крулля—Шмидта 86, 88, 111 — Куроша—Оре 91 — Лёвенгейма—Сколема 248 — о замещении 110 — — разложении отображений 27 — — факторах 29, 75 — об изоморфизме 74, 75 — — ультрапроизведениях 227 — — уплотнениях 84, 107, — плотности Шевалле—Джекобсона 147 — Типе 168 — Шрейера 107 — Шредера—Бернштейна 37 Теория 221 — категоричная 249 Типовой класс 230 Типе теорема 168 Тождества де Моргана 210 Тождественное отображение 25 Тождественный морфизм 50 Тождество 176 — йорданово 317 — Якоби 307, ЗО4 Топологическая система 56 Топологическое пространство 69 Топология произведения 144 Точка 292 Точная верхняя грань 32 — нижняя грань 32 Траектория элемента 77 Транзитивное отношение зависимости 270 — соответствие 23 Трансверсал 74 Трансляция 101, 161 — обратимая 113 — производная 161 — элементарная 101 Тривиальная алгебра 64 — подкатегория 119 — П-структура 205 Тривиальное произведение 227 Тривиальный фактор 107 Тавтология 219 Тарского цилиндрическая алгебра 225 Тело дробей 292 Теорема 221 — Биркгофа—Витта 308 Ультрапроизведение 227 Ультрастепень 227 Ультрафильтр 212 Универсальная алгебра 152 — ассоциативная оболочка 308 348 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Универсальная группа полугруппы 281 — линейная оболочка 305 — S^ -алгебра 152 Универсальное замыкание 220 — множество 18 — предложение 220 — представление 320 — свойство 123 Универсальный класс 15, 243 — морфнзм 123 — объект 123 — функтор 126 Унитальное представление 323 Унитарный модуль 67 Уплотнение ряда 107 — цепи 84 Упорядоченная группа 118, 234 — пара 15 — полугруппа 112 — сумма 49 Упорядоченное множество 23, 31 67, 234 Упорядоченность 23 — линейная 23, 31 — частичная 23 Условие единственности 233 — минимальности 33 — определенности 233 Условия Мальцева 286, 287 Фактор 72 Факторалгебра 72 Фактормножество 27 Факторобъект 54 Факторструктура 0-структуры 206 Фильтр 212 — главный 214 — Фреше 213 — — минимальный 213 Формула 216 — атомная 216 — Вюта 315 — несократимая 250 — открытая 217 — положительная 216 — хорновская 252 Фраттини подалгебра 99 Фреше фильтр 213 Функтор 52 — инъективный 151 — ковариантный 52 — контравариантный 52 — коуниверсальиый 127 — пренебрегающий 125 — универсальный 127 Функция 16 — Мёбиуса 315 Характеристическая функция 27 Хорновская формула 252 Хорновский класс 252 Хорновское предложение 252 Цассенхауза лемма 106 Цель 24 Центр группы 111 — клона 143 — кольца 70 Централизатор 93, 143 Центральный изоморфизм 112 Цепь 32, 84 Цилиндрическая алгебра Тарского 225 Цорна лемма 32 Частично вполне упорядоченное мно- жество 137 .— упорядоченное множество 23 Числовая алгебра 265 Числовое подмножество 19 Число кардинальное 41 — натуральное 19, 67 — порядковое 41 — — предельное 49 Шренера теорема 107 Шредера—Бернштейна теорема 37 Эквационально определимый класс 177 Эквивалентность 27, 53, 216 — особая 70 Эквивалентные объекты 53 — тождества 177 Экзистенциональное предложение 220 Элементарная алгебра 193 — трансляция 101 Элементарное отображение 245 — предложение 218 — расширение 245 Элементарно эквивалентные структу- ры 224 Элементарный класс 221, 233 Элемент максимальный 32 — минимальный 32 — наибольший 32 — наименьший 32 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Элемент недостижимый 64 — нейтральный 64 — неподвижный 324 — неприводимый 90 — неразложимый 88 — приведенный 174 — строго минималь-ный 137 Эквазигруппа 179 Элупа 179 Эндоморфизм 63 Эпиморфизм 63 Ядро отображения 28 Якоби тождество 307, 308 о%"-алгебра 119 й-алгебра 62 Q-алгебра частичная 68 ^-группа 117 А -замкнутость 120 а-категоричная теория 249 NA-кольцо 301 f -множество 57 ^-модуль 66 га-примальная алгебра 195 РП. -простая алгебра 193 УС -свободная алгебра 152 Л-система 127 и-слово 132 й-строка 131 NA-тело 301 Книга известного английского математика профессора Лон- донского университета П. Кона — первая в мировой литературе монография, специально посвященная теории универсальных алгебр. Это новое направление общей алгебры развивается сейчас очень бурно и оказывает существенное влияние на другие ее разделы. Блестяще написанная книга, несомненно, заинтересует не только всех алгебраистов, но и представителей других областей математики. Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам университетов и педвузов. Редакция литературы по математическим наукам ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Началом теории универсальных алгебр, если не говорить об ее предыстории, следует считать работы Г. Биркгофа, опубликованные в первой половине тридцатых годов. Эти работы были замечены алгебраистами, но некоторое время не вызывали откликов и продол- жений — общая алгебра в те годы еще далеко не достигла той ши- роты, которая характерна для нее в настоящее время, и задача уни- фицированного изложения основ различных ветвей общей алгебры еще не представлялась очень актуальной. С другой стороны, само понятие универсальной алгебры, т. е. множества, в котором задана произвольная система алгебраических операций, каждая от произволь- ного конечного числа аргументов, казалось слишком широким и по- тому слишком бедным содержанием для того, чтобы стать объектом самостоятельной теории. Оживление в этой области началось во второй половине соро- ковых годов — назовем работы Тарского и Шода, причем последний опубликовал на японском языке книгу, посвященную теории универ- сальных алгебр с бинарными операциями. В первой половине пяти- десятых годов начал свои исследования по универсальным алгебрам А. И. Мальцев. К настоящему времени уже накопилась столь боль- шая литература, посвященная универсальным алгебрам, что теперь с полным правом можно говорить о появлении нового раздела общей алгебры. Задачи этого раздела не исчерпываются объединением основ раз- личных «классических» ветвей алгебры, как это можно было бы за- ключить из первого абзаца предисловия автора к настоящей книге. Теория универсальных алгебр — это самостоятельная наука со своей собственной проблематикой и своими методами, так что понятие уни- версальной алгебры при всей его широте оказалось и пригодным для разностороннего изучения, и заслуживающим такого изучения. Вместе с тем теория универсальных алгебр все чаще оказывает существен- ное влияние на развитие других разделов алгебры. Конечно, появление этой новой алгебраической науки не означает ликвидации или принижения тех разделов алгебры, которые посвя- ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА щены изучению отдельных специальных типов универсальных алгебр, таких, как группы, кольца, структуры, полугруппы и т. д. Для срав- нения заметим, например, что появление теории полугрупп не озна- чало ликвидации или обеднения теории групп, хотя группа является частным случаем полугруппы, а появление теории колец не означало отмены теории полей, хотя поле есть частный случай кольца. Книги, посвященные современной теории универсальных' алгебр во всей ее широте, в печати пока не появились, хотя это, несом- ненно, не за горами. Основы теории изложены в одной из глав книги автора этих строк «Лекции по общей алгебре» (1962 г.). Им же по- священа книга известного алгебраиста, профессора Лондонского уни- верситета П. М. Кона, перевод которой предлагается сейчас внима- нию читателя. Эта книга представляет собой весьма яркое явление в современ- ной алгебраической литературе. Основы теории универсальных алгебр' излагаются в ней с большой широтой и на весьма высоком научном уровне. Отметим хотя бы, что автор систематически рассматривает категории универсальных алгебр—тесная связь теории универсальных алгебр с теорией неабелевых категорий является реальностью совре- менной алгебраической науки. Автор включил также в книгу две- главы, относящиеся к теории моделей — это молодая наука, погра- ничная между общей алгеброй и математической логикой и изучающая множества, в которых заданы некоторые системы конечноместных отношений (а не только операций, как в универсальных алгебрах). Что же касается последней, седьмой главы «Приложения», то отбор материала в ней полностью отражает личные научные интересы автора — она почти целиком относится к теории колец, хотя ясно, что в других разделах общей алгебры можно было бы найти не меньше- различных приложений. Несомненно, что появление этой книги будет весьма содейство- вать общему повышению уровня алгебраической культуры. Ее с поль- зой для себя прочтет каждый алгебраист, в каком бы специальном разделе общей алгебры он ни работал. Думаю, что эту книгу сле- дует включать в планы аспирантских экзаменов для любого аспи- ранта по общей алгебре, какова бы ни была его узкая специальность. Написана книга в общем прозрачно. Лишь немногие места по- кажутся читателю более трудными, в том числе, к сожалению, § 111.1 об универсальных функторах, играющий в книге фундаментальную. роль. Автор требует от читателя некоторой алгебраической подго- товки. Для необходимых справок читатель может воспользоваться хотя бы упомянутыми выше «Лекциями по общей алгебре», в на- стоящей книге неоднократно цитируемыми. Немногочисленные примечания редактора перевода ни в коей мере не имеют целью дать читателю полное представление о сегодняшнем состоянии теории универсальных алгебр и о разнообразии путей, ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА о которым ведутся в ней исследования, — этой цели не ставил перед "бой и автор книги, и она не могла бы быть достигнута при помощи примечаний. По этой же причине в библиографию при переводе „е внесено никаких добавлений. При подготовке примечаний я су- щественно использовал советы как переводчицы Т. М. Баранович, так и Других математиков, Приношу им всем мою искреннюю благодарность. Автор книги по моей просьбе любезно прислал два списка опе- чаток, исправлений и добавлений. Все замечания автора учтены при работе над переводом. А. Г. Курош Москва, октябрь 1967 г. ПРЕДИСЛОВИЕ Универсальная алгебра занимается изучением черт, общих для привычных алгебраических систем, таких, как группы, кольца, струк- туры и т. д.; при этом определяется настоящее место алгебраических понятий и часто обнаруживаются связи между на первый взгляд раз- личными понятиями, что помогает систематизации результатов. Идеи. содержащиеся здесь, на самом деле очень просты и возникают при естественном обобщении нескольких частных случаев. Однако нужно помнить, что этот подход обычно не дает решения всей проблемы, а только избавляет от тривиальных деталей, давая возможность скон- центрировать силы на сути данной проблемы. Цель этой книги состоит в том, чтобы дать простое изложение основных результатов универсальной алгебры. Книга не претендует на исчерпывающую полноту и даже на максимум общности там, где это привело бы к потере прозрачности изложения. Включенного в нее подготовительного материала достаточно для того, чтобы сде- лать текст доступным студентам старших курсов университетов, вла- деющим основами теории групп и колец и основными понятиями топологии (для чтения главы V). Только заключительный параграф книги (§ VII. 7) требует несколько большего знакомства с теорией представлений. Изложение концентрируется вокруг понятия алгебраической струк- туры, которое, грубо говоря, определяется как множество с конечно- местными операциями. Тот факт, что операции конечноместны. можно считать характерной чертой алгебры, и его следствия можно обна- ружить в главе II. Те, даже более -фундаментальные, следствия «з наличия операций, которые не зависят от их конечноместности, рассматриваются отдельно в главе I. Эта глава содержит также не- обходимые сведения из теории множеств, которые излагаются с точки зрения алгебраиста. Одним из основных средств при изучении произвольных алгебр является понятие свободной алгебры. Оно особенно важно для таких классов, как группы и кольца, которые полностью определяются тождествами,—т. е. для многообразии алгебр,—и это, возможно, 10 ПРЕДИСЛОВИЕ затемняет тот факт, что свободные алгебры существуют во многих классах алгебр, не являющихся многообразиями. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в главе III свободные алгебры исследуются, на- сколько возможно, вне связи с многообразиями, тогда как свойства, присущие исключительно многообразиям, рассматриваются отдельно в главе IV. Две упомянутые главы представляют собой единственные точки соприкосновения книги с гомологической алгеброй, и, вероятно, нужно сказать несколько слов об этой связи. Центральной частью- гомологической алгебры является теория абелевых категорий; эта теория глубоко развита, но она слишком узка для наших целей. Общая теория категорий, хотя и находится на более ранней стадии развития, имеет в своем распоряжении достаточно средств для полу- чения основных теорем о существовании свободных алгебр, но в ис- • следованиях, посвященных исключительно алгебре, эти результаты гораздо проще доказываются непосредственно. В частности, предпо- ложения, при которых здесь получаются эти теоремы, легче прове- ряются (в случае алгебр), чем соответствующие предположения, най- денные в общей теории категорий. Поэтому из теории категорий мы мало заимствовали сверх определений категории и функтора. Эти определения, безусловно, необходимы в любом удовлетворительном изложении теории свободных алгебр, и они дают возможность кратко формулировать результаты, не уводя слишком далеко от главной темы. Понятие алгебраической структуры в той форме, как оно опре- делено в главе II, слишком узко даже для многих алгебраических рассмотрении, и его нужно заменить понятием структуры с отно- шениями (т. е. множества с набором определенных на нем конечно- местных отношений). Кроме самих алгебраических структур, это по- нятие включает структуры с многозначными или не всюду опреде- ленными операциями. В настоящее время структуры с отношениями, удовлетворяющие данной системе аксиом,-— или модели — являются предметом интенсивного изучения, и здесь получены результаты уди- вительной силы и красоты. Развитый в книге аппарат универсаль- ной алгебры предоставил нам прекрасную возможность дать хотя бы короткое введение в теорию моделей, что и сделано в гла- вах V и VI. Материал для заключительной главы о приложениях отобран без какой бы то ни было системы. Сюда включены результаты, ко- торые можно получить на основе предыдущих глав и которые иллю- стрируют общую теорию, а также важны для других областей (та- ких, как построение натуральных чисел в § VII. 1 или теория пред- ставлений лиевых и йордановых алгебр в §§ VII.5—7) или интересны сами по себе (например, теорема Мальцева о вложимости полугрупп, § VII.3). ПРЕДИСЛОВИЕ II Хотя возникновение предмета этой книги можно отнести к прош- лому веку (трактат А. Н. Уайтхеда с тем же самым названием по- явился в 1898 г.), универсальная алгебра, как ее понимают теперь, начинает развиваться только с 30-х годов. Она появилась как есте- ственное развитие абстрактного подхода к алгебре, идущего от Эмми Нётер. По универсальной алгебре (как и другим областям математики) публикуется большое и притом из года в год растущее число статей, но удивительно, что большая часть этой теории все еще остается фольклором. Автору посчастливилось познакомиться с этим фольк- лором на чрезвычайно ярких и стимулирующих лекциях профессора Филиппа Холла в Кэмбридже в 1947—1951 гг. Они оказали на книгу много большее влияние, чем можно судить по этому упоминанию. С другой стороны, при ссылках автор часто отдает предпочтение более доступным работам, а не первоисточникам и при этом не пред- принимает никаких попыток включить замечания исторического харак- тера. Хотя такая попытка была бы, конечно, очень ценной для дан- ной книги, она задержала бы ее опубликование. По этой же причине библиография содержит помимо статей, непосредственно связанных с текстом, только небольшой подбор работ по универсальной алгебре. Автор позволил себе это, поскольку очень полную библиографию можно найти в Mathematical Reviews; кроме того, большая библио- графия по универсальной алгебре подготовлена Гретцером. Книга основана на курсе лекций, прочитанных мною в Йельском университете в 1961/62 учебном году. Я благодарен аудитории, со- стоявшей из таких хороших слушателей, а также многим друзьям, оказывавшим мне услуги при создании книги. В частности, Д. Коэн и Хиггинс прочли некоторые части рукописи и сделали много полез- ных предложений; Макдональд помогал при чтении корректур; Баутзл и Линтон проверили весь текст и обратили мое внимание на ряд не- точностей. Всем им я хотел бы выразить мою горячую благодарность. Я благодарен также издательству Харпер и Роу, которое охотно шло навстречу моим пожеланиям, и редактору, мистеру Кронквисту, за его помощь при подготовке рукописи к печати. П. М. Кон Лондон, январь 1965 ЗАМЕЧАНИЯ Центральной частью книги является глава II, и ее можно читать сразу после § 1.3, возвращаясь, если нужно, к дру- гим частям главы I. Ббльшую часть глав V и VI можно читать после главы II, и большую часть главы VII можно читать после главы IV. Все исключения из этих правил обычно указываются ссылками на соответствующую главу и параграф. Теоремы, предложения и леммы снабжены сквозной нумерацией; так, «теорема IV.3.5» означает результат но- мер 5 из § 3 главы IV. В ссылках внутри одной главы римские цифры опускаются. Конец доказательства отме- чается символом В- В библиографию включено помимо работ, на которые есть ссылки в тексте, несколько представляющих интерес статей относительно универсальной алгебры, однако биб- лиография никоим образом не претендует на полноту. Практически все статьи, внесенные в список, появились после 1900 г., и при ссылках на них мы указываем фамилию автора, а в квадратных скобках помещаем две последние цифры года публикации статьи; статьи, опубли- кованные в один и тот же год, снабжаются штрихами. ГЛАВА 1 МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ 1. АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Характерной чертой всякой математической теории является то, что она имеет дело с совокупностями или множествами объектов, причем между объектами этих множеств или между самими множе- ствами существуют некоторые соотношения, в то время как природа самих объектов совершенно несущественна. Рассматривая только те объекты, которые сами являются множествами, можно достичь неко- торого упрощения. На первый взгляд кажется, что это приводит к порочному кругу, но трудности могут быть преодолены, если начинать с пустого множества. С другой стороны, необходимо опи- сать те множества, которые могут быть членами других множеств, если мы хотим избежать противоречий, возникающих из рассмотре- ния «множества всех тех множеств, которые не являются членами самих себя» (парадокс Рассела). Введем поэтому термин «класс» для произвольных совокупностей объектов и будем отличать те классы, которые являются членами других классов, называя их множествами. Не вдаваясь в детали аксиоматики (отсылаем читателя для более по- дробного ознакомления к таким работам, как Бурбаки [54], Гёдель [40], Келли [55], Ван Хао и Макнотон [53]), перечислим аксиомы, выра- жающие главным образом те условия, при которых класс следует рассматривать как множество. Говоря формально, теория множеств имеет дело с объектами, называемыми классами, для которых определено бинарное отноше- ние А^В (1) (читается так: «Л есть член (или элемент) В» или «Л принадле- жит В»). Определим множество как класс, являющийся элементом некоторого класса. Таким образом, Л есть множество тогда и только тогда, когда Л находится в отношении (1) с некоторым классом В. Для выражения отрицания отношения (1) мы будем писать так: Л ^В. Классы мы будем обозначать прописными буквами, но те классы, которые в данном контексте появляются как элементы других клас- сов, часто будем обозначать строчными буквами. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода ................... 5 Предисловие ............................. 9 Замечания .............................. 12 Глава I. МНОЖЕСТВА и ОТОБРАЖЕНИЯ ................ IS 1. Аксиомы теории множеств .................. IS 2. Соответствия ........................ 22 3. Отображения и фактормножества ............... 24 4. Упорядоченные множества .................. 31 5. Кардинальные и порядковые числа .............. 41 6. Категории и функторы .................... 49 Глава II. АЛГЕБРЫ .......................... 55 1. Системы замыканий ..................... 55 2.. й-алгебры .......................... 61 3. Теоремы об изоморфизмах .................. 71 4. Структуры .......................... 77 5. Структура подалгебр ..................... 93 6. Структура конгруэнции ................... 101 7. Локальные и резидуальные свойства ............. 113 8. Структура категорий Q-алгебр ................ 119 Глава 111. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ .................... 123 1. Универсальные функторы .................. 123 2. Алгебры Q-слов ....................... 131 3. Клоны операций ....................... 141 4. Представления категорий Q-алгебр .............. 148 5. Свободные алгебры в категориях й-алгебр .......... 152 6. Свободные и прямые объединения 0-алгебр .......... 157 7. Производные операторы ................... 160 8. Представления 0-алгебр ................... 165 9. Проблема тождества ..................... 169 ОГЛАВЛЕНИЕ 351 Глава IV. МНОГООБРАЗИЯ ...................... 176 1. Определение и основные свойства .............. 176 2. Свободные группы и свободные кольца ........... 18Э 3. Порождение многообразии .................. 184 4. Представления в многообразиях алгебр ............ 195 - Глава V. СТРУКТУРЫ с ОТНОШЕНИЯМИ и МОДЕЛИ ........... 204 1. Структуры с отношениями над областью предикатов ..... 204 2. Булевы алгебры ....................... 207 3. Производные предикаты ................... 215 4. Замкнутые классы предложений и аксиоматизируемые классы моделей ........................... 221 5. Ультрапроизведения и теорема компактности ......... 226 6. Пространство моделей .................... 23Э Глава VI. АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЕ КЛАССЫ МОДЕЛЕЙ .......... 237 1. Ограничения и расширения ................. 237 2. Локальная определимость классов .............. 239 3. Элементарные расширения .................. 243 4. Р-замкнутые классы и квазимногообразия ........... 253 5. Классы, замкнутые относительно гомоморфных образов .... 253 6. Характеризация аксиоматизируемых классов моделей ..... 256 Глава VII. ПРИЛОЖЕНИЯ ....................... 264 1. Натуральные числа ...................... 264 2. Абстрактные отношения зависимости ............. 269 3. Проблема деления для полугрупп и колец .......... 283 4. Проблема деления для группоидов ........ ...... 297 5. Линейные алгебры ...................... 301 6. Лиевы алгебры ........................ 308 7. Йордановы алгебры ..................... 316 Библиография.......................... 329 Указатель обозначений ........................ 339 Предметный указатель ........................ 341