ББК 22.25 Д81 УДК 531+681 Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Д81 Равномерные численные методы решения задач с погра- ничным слоем: Пер. с англ.—М., Мир, 1983.—200 с., ил. Книга ирландских математиков, содержащая разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Наряду с теоретическими результатами приведены численные"^ четы и программы на языке Фортран, сформулированы нерешенные проблемы Для математиков-прикладников, специалистов по механике сплошной среды,' д 1702070000—152 041(01)—83 21—83, ч. 1 ББК 531 Редакция литературы по математическим наукам © 1980 by Boole Press Limited © Перевод на русский язык, «Мир», 1983 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Предлагаемая вниманию советских читателей книга известных ирландских математиков посвящена методам исследования и по- строения на равномерной сетке схем с равномерной сходимостью. При наличии малых параметров при старших производных в ре- шении краевой (стационарной или нестационарной) задачи могут возникнуть пограничные слои либо внутренние переходные слои с большими градиентами решений. Это приводит к снижению по- рядка сходимости и неравномерной сходимости на равномерных сетках. Чтобы сохранить преимущества равномерной сетки, необ- ходимо в аппроксимирующую разностную схему ввести подгоноч- ные коэффициенты, которые и обеспечивают равномерную точность аппроксимации на равномерной сетке. Это делает схему адапти- руемой и удобной для приложений. Основной анализ авторы проводят для линейного случая, и результаты, излагаемые в книге, следует рассматривать как под- ход, который может оказаться полезным и в нелинейном, так важ- ном для приложений, случае, например для методов интегриро- вания пограничного слоя. Книга дает ясное, популярное изложе- ние важной проблемы, которая привлекает внимание многих математиков-прикладников. Авторы излагают и анализируют ре- зультаты советских математиков, внесших важный вклад в про- блему равномерной сходимости для краевых задач с пограничным и внутренними слоями. К сожалению, авторы не касаются такого важного подхода к улучшению сходимости, как метод подвижной сетки, который с успехом применяется во многих задачах газо- вой динамики. Книга будет полезна широкому кругу читателей, занимающихся вычислениями в области математической физики и механики сплош- ной среды. Н. Н. Яненко 196 Литература Экхаус, де Ягер (W. Eckhaus, E. M. de Jager) (1966) Asymptotic solutions of singular perturbation problems for linear differen- tial equations of elliptic type, Arch. Rational Mech. Anal., 23, pp. 26—86 Зле (В. L. Ehle) (1969) On Pade approximations to the exponential function and A-stable for the numerical solution of initial value problems. University of Vaterloo, Depart- ment of Applied Analysis and Computer Science, Research Report No CSSR 2010. Эль-Мистикави, Ведь (Т. M. El-Mistikawy, M. J. Werle) (1978) Numerical method for boundary layers with blowing — the exponential box scheme, AIAA J., 16, pp. 749—751. Энрайт, Халл (W. H. Enright, Т. E. Hull) (1976) Comparing numerical methods for the solution of stiff systems of ordinary differential equations arising in chemistry, Numerical methods for differen- tial systems, eds. L. Lapidus, W. E. Schiesser, Academic Press. Энрайт, Халл, Линдберг (W. H. Enright, Т. E. Hull, B. Lindberg) (1975) Comparing numerical methods for stiff systems of ordinary differential equa- tions, BIT, 15, pp. 10—48. Ямагути (M. Yamaguti) (1976) On some systems of evolution equations in mathematical biology, Functio- nal analysis and numerical analysis, ed. H. Fujita, Tokyo and Kyoto. Работы советских авторов Алексеевский M. В. (1979) О разностной схеме для дифференциального уравнения с малым пара- метром при старшей производной. — В сб.: Разностные методы мате- матической физики. — M.: изд. Моск. ун-та, с. 36—60. *(1981) Разностная схема высокого порядка точности для сингулярно возму- щенной краевой задачи. — Дифф. ур., т. XVII, № 7, с. 1171—1192. Бахвалов H. С. (1969) К оптимизации методов решения краевых задач при наличии погра- ничного слоя. — Журнал вычислительной математики и математической физики, т. 9, № 4, с. 841—859. (1971) Об оптимизации методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений с сильно осциллирующими решениями. — Журнал вычисли- тельной математики и математической физики, т. 11, № 5, с. 1318—1322. (1975) Осреднение "нелинейных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами.—ДАН СССР, т. 225, № 2 с 249— 252. Боглаев Ю. П. (1970) О двухточечной задаче для одного класса обыкновенных дифференциаль- ных уравнений с малым параметром при производной. — Журнал вычи- слительной математики и математической физики, т. 10, № 4, с. 958_968. (1976а) Итерационный метод приближенного решения сингулярно возмущенных задач, ДАН СССР, т. 227, с. 1033—1036. (1976b) Параметрическая регуляризация некоторых классов сингулярно воз- мущенных задач. — ДАН СССР, т. 227, № 3, с. 524—527. (1977) Итерационный метод прогонки приближенного решения нелинейных сингулярно возмущенных краевых задач, — ДАН СССР, т, 228 № 6 с. 1241—1244. ' " * • Литература, добавленная редактором перевода, Литература 197 Вишик M. И., Люстерник Л. А. (1955) Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифферен- циальных уравнений с малым параметром, — УМН, 12:5 (77), с. 3—122. Гущин В. А., Щенников В. В. (1974) Об одной монотонной разностной схеме второго порядка точности. — Журнал вычислительной математики и математической физики, т. 14, № 3, с. 789—792. Емельянов К. В. (1970) О разностной схеме для дифференциального уравнения с малым пара- метром при старших производных. — В сб.: Численные методы меха- ники сплошной среды. Новосибирск, т. 1, № 5, с. 20—30. (1973) Разностная схема для трехмерного эллиптического уравнения с ма- лым параметром при старших производных. — Тр. Ин-та мат. и мех. Уральского научного центра АН СССР, вып. 11, с. 30—42. (1975) О разностном методе решения третьей краевой задачи для дифферен- циального уравнения с малым параметром при старшей производной. — Журнал вычислительной математики и математической физики, т. 15, № 6, с. 1457—1465. (1976а) Разностная схема для уравнения ей" -4- ха [х) и'— b {x) u=f(x),— Тр. Ин-та мат. и мех. 'Уральского научного центра АН СССР, вып. 21, с. 5—18. (1976b) О разностной схеме для уравнения вДо + аи„ = / (х). — Труды Ин-та мат. и мех. Уральского научного центра АН СССР, вып. 21, с. 19—37. (1978) О разностной схеме для обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром. — Журнал вычислительной математики и мате- матической физики, т. 18, № 5, с. 1146—И53. *(1980) Разностная схема для дифференциального уравнения с малым пара- метром при старшей производной. — В сб.: Численные методы меха- ники сплошной среды, Новосибирск, т. 11, № 5, с. 54—74. *(1982) Усеченная разностная схема для линейной сингулярно возмущенной краевой задачи. ДАН, т. 262, № 5, с. 1052-1055. Ильин А. M, (1969) Разностная схема для дифференциального уравнения с малым парамет- ром при старшей производной. — Матем. заметки, 6, вып. 2, с. 237— 248. Красносельский M. А„ Вайнико Г. M., Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Сте- ценко В. Я. „ .. т (1969) Приближенное решение операторных уравнении. — M.: Наука, Лисейкин В. Д. *(1982а) О численном решении одномерных интегро-дифференциальных урав- нений с малым параметром при старшей производной. — В сб.Числен- ные методы механики сплошной среды, т. 13, № 2, с. 71 —80. *(1982b) 0 численном решении обыкновенного дифференциального уравнения вто- рого порядка с малым параметром при старшей производной. — В сб.: Численные методы механики сплошной среды, т, 13, № 3, с. 98—106, Лисейкин В. Д., Яненко H, H. *(1981) О равномерно сходящемся алгоритме численного решения обыкновен- ного дифференциального уравнения второго порядка с малым парамет- ром при старшей производной. — В сб.: Численные методы механики сплошной среды, т. 12, № 2, с. 45—56. Самарский А. А. П971) Введение в теорию разностных схем, — M,: Наука. Шишкин Г. И. (1978а) Разностная схема для решения эллиптических уравнений с малым» параметрами при производных. Banach Centre Publications, vol. 3, War saw, с. 89—92. (1978b) Разностная схема для решения эллиптического уравнения с малы\, параметром в области с криволинейной границей.—Журнал вычисли] тельной математики и математической физики, т. 18, № 6, с. 1466—1475 1 (1979а) Численное решение эллиптических уравнений с малым параметре-^ при старших производных. —ДАН СССР, т. 245, № 4, с. 804—808. (1979b) Численное решение эллиптических уравнений с малым параметрои. при старших производных. I. Равномерная относительно параметр,'. сходимость приближенного решения. — Численные методы механик» сплошной среды, Новосибирск, т. 10, № 4, с. 107—124. (1979с) Численное решение эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных. II. Аппроксимация производных. — В сб.: Численные методы механики сплошной среды, т. 10, № 5, с. 127—143. *(1982) Разностная схема для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения. — В сб.; Численные методы механики сплошной среды, т, 13, № 2, с. 147—164. Шишкин Г. И., Титов В. А. (1976) Разностная схема для дифференциального уравнения с двумя малыми параметрами при производных. — В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, т. 7, № 2, с. 145—155. (1978) Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциаль- ного уравнения с малым параметром при производной. — В сб.: Чис- ленные методы механики сплошной среды, Новосибирск, т. 9, № 7, с. 112— 121, " ' ' , Предисловие редактора перевода ....................... о Предисловие .................................. 6 Возникновение пограничного слоя ...................... 9 Часть 1. Задачи с начальными данными .................. 12 1. Введение ............................ 12 2. Непрерывная задача ..................... 13 3. Классические разностные схемы ............... 16 4. Необходимые условия ..................... 18 5. Некоторые равномерно сходящиеся разностные схемы . . 20 6. Постоянные подгоночные параметры ............. 24 7. Оптимальные оценки ошибок ................. 28 8. Экстраполяция ......................... 31 9. Схемы высокого порядка ................... 35 10. Системы ............................. 43 .11. Нелинейные задачи ...................... 47 12. Заключительные замечания и нерешенные задачи ..... 4S Часть 11. Краевые задачи ........... ................ 5( 1. Введение ............................ 51 2. Примеры ..................... ....... 5 3. Асимптотические разложения ................ 5 4. Историческая перспектива .................. 5 5. Необходимые условия ..................... 6 6. Самосопряженная задача ................... ? 7. Несамосопряженная задача .................. (- 8. Самосопряженные задачи в консервативной форме ..... 1 9. Несамосопряженные задачи в консервативной форме ... ' 10. Постоянные подгоиочные параметры ............. ' 11. Задачи со смешанными граничными условиями ...... V 12. Схемы высокого порядка ................... 1 13. Системы ............................. 1 14. Нелинейные задачи ...................... 1 15. Заключительные замечания и нерешенные задачи ..... 1 Часть III. Численные результаты ...................... 1 1. Введение ............................ ' 2. Сравнение методов подгонки со стандартными методами 3. Экспериментальное определение порядка равномерной схо- димости ............................ 4. Тестовые задачи ........................ 5. Программы ........................... Приложения .................................. Приложение А ......................... Приложение Б ........................ Обозначения и термины ............................ Обозначения ............................ Термины .............................. Литература ...................................