22.16 Л 55 УДК 517 Л и з о р к и н П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.— 384 с. Для студентов инженерно-физических и физико'технических специальностей вузов с повышенной математической подготовкой. Материал в книге освещается с современных позиций, с при- влечением идей и методов функционального анализа. С этой целью в нее включены главы, посвященные функциональным про- странствам, анализу Фурье и первоначальным сведениям по тео- рии операторов. Книгу можно рассматривать также как введение в круг идей и методов функционального анализа на основе классического ап- парата дифференциальных и интегральных уравнений. В силу своего «промежуточного» характера книга будет полезна инже- нерно-техническим работникам, пользующимся этим аппаратом и желающим ознакомиться с более современным его освещением. ^0203^072 053(02^-81 10-81. 1702050000 Издательство <:Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1981 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие....................................... 6 Введение ......................................... 9 Раздел I ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка ......... 12 § 1. Геометрическая интерпретация уравнения y'=:f(x, у) и его реше- ния. Интегральные кривые. Задача Коши .............. 12 § 2. Вспомогательные предложения ...................... 21 § 3. Теорема существования и единственности (локальный вариант) 27 § 4. Продолжение решения ........................... 39 § 5, Общее решение. Зависимость решения от начальных данных ... 48 § 6. Корректность задачи Коши. Зависимость решения от параметров. О приближенных решениях ........................ 56 § 7. Уравнение в дифференциалах ...................... 65 Глава 2. Первоначальные сведения о системах дифференциальных урав- нений и уравнениях старшего порядка .................... 74 § 1. Определения и предварительные соображения ............ 74 § 2. Нормальные системы дифференциальных уравнений ........ 79 § 3. Сведение уравнения п-го порядка к системе. Следствия ...... 85 Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения (л. д. у.) порядка п (задача Коши) ................................... 89 § 1. Сведение задачи Коши для л. д. у. к интегральному уравнению Вольтерра и ее разрешимость ...................... 89 § 2. Однородное л. д. у. п-го порядка ................... 95 § 3. Неоднородные л. д. у. Метод вариации постоянных ,....,., 102 § 4. Линейные дифференциальные уравнения порядка я с постоянными коэффициентами ............................... 103 1* Р аздел II АНАЛИЗ ФУРЬВ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Глава 4. Функциональные пространства и ортогональные разложения § 1. Понятие нормированного пространства. Функциональные прост- ранства ..................................... § 2. Системы элементов нормированного пространства .......... § 3. Евклидово пространство и ортогональные системы в нем ..... § 4. Ряды Фурье в евклидовом пространстве ............... § 5. Дополнительные сведения о пространствах CLp, об их расшире- нии, пополнении (и сужении) ...................... § 6. Ряды Фурье по полиномам Лежандра ................. § 7. Ортогональность с весом. Случай бесконечного промежутка; по- линомы Эрмита ............................... Г л а в а 5. Тригонометрические ряды Фурье ................... § 1. Предварительные сведения ........................ § 2. Основные вопросы теории тригонометрических рядов. Тригоно- метрические ряды Фурье (ТРФ) ..................... § 3. Условия поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Принцип локализации ........................... § 4. Условия равномерной сходимости ТРФ. Об абсолютной сходи- мости тригонометрического ряда ......... ........... § 5. О рядах Фурье непрерывных функций. Метод суммирования Фейера .................................... § 6. Тригонометрическая система— ортогональный базис в Ц(—л, л). Следствия .................................. § 7. Дифференцирование и интегрирование ТРФ ............. § 8. Дополнительные сведения ........................ Глава 6. Интегральные уравнения ....................... § 1. Классификация линейных интегральных уравнений ........ § 2. О линейных уравнениях ......................... § 3. Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром ........... § 4. Теорема о разрешимости (общий случай) ............... § 5. Альтернатива Фредгольма ......................... § 6. Метод последовательных приближений (метод итераций) ..... § 7, Первоначальные сведения об операторах в нормированных и евклидовых пространствах ........................ § 8. Самосопряженный интегральный оператор .............. § 9. Билинейное разложение симметричного ядра и его итераций . . § 10. Разложение истокообразной функции (теорема Гильберта — Шмидта) ................................... § 11. Билинейное разложение ядра и его итераций (продолжение) . . § 12. Интегральное уравнение с симметричным ядром .......... § 13. Заключительные замечания ....................... Глава 7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка (краевые задачи, решение рядами, специальные функции) ....... § 1. Линейный дифференциальный оператор второго порядка ..... § 2. Регулярная краевая задача и задача Штурма—Лиувилля (пред- варительные сведения) ..................••.•••••• § 3. 6-функция, элементарное решение, функция Грина ......... § 4. Эквивалентность задачи Штурма—Лиувилля интегральному урав- нению. Теорема Стеклова ......... ................ § 5. Общая краевая задача. Задача с параметром. Симметризуемые задачи .....................•.••••••••>••••• § 6. Уравнения с полиномиальными и рациональными коэффициен- тами. Обыкновенные и особые точки. Решение рядами ,..,., § 7. Уравнения Гаусса, Бесселя и др. Цилиндрические функции и др. § 8. О сингулярных краевых задачах .................... Предметный указатель .................•••••••••••• Указатель сокращений .............•••••••••••••••• Указатель обозначений, пространств .,.......,,.,,,..,••< 378 УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 7 отличающиеся от полиномов Эрмита Я„ (х) множителем е 2. Это явствует из изложенного. Ясно также, что lim ?„(x)==0. (8.29) X —* _t:CO Часто соотношение (8.29) присоединяют к уравнению (8.28) в ка- честве краевого условия. Следует отдавать себе отчет, что в этом нет необходимости, если оговорена квадратичная суммируемость решения. х а dw ~dx. Аналогично, замена оу=е 2x2 у переводит уравнение Лагерра в уравнение (8.30) формально самосопряженное в пространстве CLz[0, со). При ^,==/1 его решениями являются функции Лагерра х о V0n-=e ^^^(х), отличающиеся от полиномов Лагерра L^(x) множителем е 2^2. Эти решения являются собственными функциями уравнения (8.30) при соответствующих краевых условиях. Например, при о=0 рассматривается краевая задача J (xw')'-^w+y.w=0, (8.31) w (0) ограничено при условии, что решение ищется в CLg [0, со). Ее собственными значениями являются числа \а==п-\-^, соответствующими соб- х ственными функциями — van (х) ==е 2 L,°n (х). Последние зануляются на бесконечности, т. е. lim Wn (х) = О, (8.32) и поэтому вместо оговорки о принадлежности решения ву к Lz[0, со) можно к задаче (8.31) присоединить условие (8.32). Замечание. Краевое условие в нуле (8.27а), соответс1вен- i;o (8.276), можно заменить более общим: lim у'(х)\<оо (^ограниченность i/(x} вблизи нуля), (8.27'а) х-^о lim \у(х) | <; оо (= ограниченность решения вблизи нуля). ^-° (8.27'б) ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Альтернатива Фредгольма 270 Базис нормированного пространства 134 Бесселя неравенство 150 — функция второго рода 361 — — первого рода 361 Билинейный ряд ядра интегрального оператора 299 Вариации постоянных метод 103 Вейерштрасса теорема 133 — — вторая 230 Векторное поле 65 Вложение пространств 163 Вронского определитель (=вронскиан) 96 Гамма-функция 364 Гегенбауэра дифференциальное уравне- ние 369 — полиномы 370 Гельдера неравенство 157, 184 Гильберта—Шмидта теорема 307 Гильбертова теорема 334 Гипергеометрическая функция 357 Грина функция 332 Дини лемма 310 Дирака дельта-функция 326 Дирихле ядро 205 Дифференциальное выражение второго порядка 319 — — — — в самосопряженной форме 321 — — — — регулярное 322 — — — — сингулярное 322 — уравнение (д. у.) 12, 74 — — Бернулли 39 — — в полных дифференциалах 71 — — линейное 36 — — — однородное 95 Дифференциальное уравнение одно- родное 20 — —, разрешенное относительно про- изводной 74 — — Риккати 47 — — с разделяющимися переменными 19 Задача Коши 15, 69 — — корректная 57 Изоклин метод 18 Интегральная кривая 15, 69, 74 Интегральное представление полино- мов Лежандра 174 — уравнение 21 — — Вольтерра 91, 251 — — неоднородное 251 — — однородное 251 — — транспонированное 262 — — Фредгольма 250 Интегрирующий множитель 73 Итерации ядра интегрального опера- тора 277 Карлесона теорема для ТРФ 201 Квазиполином 112 Коши данные (^начальные данные) 77, 80 — задача 15, 69, 77, 80 — теорема для ТРФ 201 — форма решения д. у. 49, 87 — формула 77 Коши—Буняковского неравенство 140 Краевая задача 323 — — однородная 323 — — регулярная 324 — — сингулярная 365 Краевое условие 323 — — второго рода 325 — — первого рода 325 — — третьего рода 325 380 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Кратность характеристического числа интегрального оператора 253 Лагерра полиномы 363 Лапласа формула для полиномов Ле- жандра 175 Лежандра полиномы 143 — присоединенные функции 371 Линейная зависимость (независимость) 96, 129 — оболочка системы элементов 130 Линейно плотная система 130 Линейный оператор 279 — — непрерывный 282 — — ограниченный 281 Липшица константа 22 — условие 22 Метод итераций решения интеграль- ного уравнения 271 Минковского неравенство 159, 184 Начальные данные (=данные Коши) 16 Норма 116 — линейного оператора 281 Нормированное пространство 116 Носитель функции 185 Область замкнутая 13 — открытая 13 Общее решение д. у. 16, 78, 87 Общий интеграл д. у. 16, 79 — — — — канонический 16 Обыкновенная точка д. у. 345 Окрестность точки 32 — — замкнутая 33 — — открытая 32 Оператор 279 — интегральный 252 — линейный 279 — — дифференциальный 2-го порядка 320 — — непрерывный 282 — — — самосопряженный 285 — — — сопряженный 284 — — ограниченный 281 Определяющее уравнение 350 Парсеваля равенство 150 Последовательность линейно незави- симая В целом 134 — сходящаяся по метрике 127 — по норме 117 — фундаментальная по норме 118 Продолжение решения д. у, 39 Промежуточный интеграл д. у. 79 Пространство Банаха (=-банахово) 118 Пространство евклидово 136 — линейное 116 — — нормированное 116 — — — полное (==банахово) 118 — метрическое 126 Пфаффова форма 71 Разрешающее ядро интегрального опе- ратора 278 Регулярное число интегрального опе- ратора 254 Рекуррентные соотношения для поли- номов Лежандра 173 — — — — Эрмита 189 Решение д. у. 14, 74 — — •— непродолжимое 40 — — — общее 16, 78 — — — — в форме Коши 49, 87 — — — особое 68 — — — параметрическое 68 — — — е-приближенное 63 — интегрального уравнения 21, 251 — системы д. у. 80 — — — — элементарное 328 Римана лемма 206 Рисса—Фишера теорема 202 Сглаживающее ядро 185 Система д. у. 80 — — — нормальная 79 — элементов ортогональная 141 — — ортонормированная 141 — — — с весом 181 Скалярное произведение 136 Слабо сингулярная точка д. у. 348 Собственная функция задачи Штурма— Лиувилля 336 — — интегрального оператора 253 Собственное значение задачи Штурма— Лиувилля 336 — — линейного оператора 283 Спектр линейного оператора точечный 283 — — — характеристический 283 Стеклова теорема 339 Суперпозиции принцип для решения "д. у. 330 Тригонометрический многочлен 198 — ряд 198 _- _ Фурье 200 Уравнение в дифференциалах 66 — дифференциальное Бесселя 356 — — Гаусса (^гипергеометрическое) 357 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 381 Уравнение дифференциальное Геген- бауэра (=ультрасферическое) 358 — — Лагерра 356 — •— Лежандра 359 — — присоединенных функций Ле- жандра 373 — — специальных функций 356 — — тригонометрических функций 356 — — Чебышева 359 — — Эрмита 356 Условие Т 332 — — для задачи Штурма—Лиувилля 336 Фейера метод суммирования ТРФ 225 — ядро 226 Фундаментальная система решений л. д. у. 99 — -— собственных функций интеграль- ного оператора 293 Функции, ортогональные с весом 182 Функция абсолютно интегрируемая 164 — весовая 181 — гладкая 202 — Грина регулярной краевой задачи 332 — истокообразная 306 — кусочно-гладкая 203 — периодическая 195 — полигональная 232 Функция финитная 185 Характеристическое значение (=число) интегрального оператора 253 — — — — кратное 254 — — — — простое 253 — уравнение 107 Чебышева многочлены 183 Шварца неравенство 139 Шмидта процесс ортогонализации 144 — формула 314 Штурма—Лиувилля задача 335 — — — правильная 337 — — — симметризуемая 343 Эрмита полиномы 189 — функции 193 Ядро интегрального уравнения 91 — — — Вольтерра 251 —— — — вырожденное 255 — — — итерированное 277 — — — остаточное 294 — — — повторное 309 — — — простое 251 — — — симметричное 290 — — — транспонированное 263 — — — Фредгольма 250 — ~ — эрмитово-симметричное 290