517.2 Б 91 УДК 517.397 АННОТАЦИЯ Настоящей книгой открывается перевод части трактата Бурбаки «Элементы матема- тики», посвященной теории интегрирова- ния в локально компактных топологиче- ских пространствах; излагается теория меры и интегрирование мер. Книга рассчитана на математиков—на- учных сотрудников, аспирантов и студен- тов старших курсов университетов и педа- гогических институтов. Н. Бурбаки Интегрирование (меры, интегрирование мер) М., 1967 г., 396 стр. Редактор В. В. Абгарян Техн. редактор Я. Ф. Брудно Корректоры И. Я. Нришталь и Т. С. Плетнева Сдано в набор 9/III 1967 г. Подписано к печати 1/IX 1967 г. Бумага 60x9()/ie, тип. Nil. физ. печ. л. 24.75+2 вкл. Условн. печ. л. 25,625. Уч.-изд. л. 23,85. Тираж 35 000 экз. Цена книги 1 р. 97 к. Заказ М 907 Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Московская типография № 16 Главполиграфпрома Комитета по печати при Советр Министров СССР. Москва, Трехпрудный пер., 9. 2-2-3 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение . ........................... Глава I. Неравенства выпуклости ............... 1. Основное неравенство выпуклости ............ 2. Неравенства Гёльдера и Минковского .......... 3. Полунормы Np ..................... Исторический очерк .................... Глава II. Пространства Рисса ................. § 1. Пространства Рисса и вполне решеточные пространства .... 1. Определение пространств Рисса ............ 2. Порождение пространства Рисса его положительными элементами ....................... 3. Вполне решеточные пространства ............ 4. Подпространства н произведения вполне решеточных про- странств ........................ 5. Полосы во вполне решеточном пространстве ....... 6. Топологии в упорядоченных векторных пространствах . . . § 2. Линейные формы на пространстве Рисса ............ 1. Положительные линейные формы на пространстве Рисса 2. Относительно ограниченные линейные формы ....... Глава III. Меры на локально компактных пространствах ..... § 1. Меры на компактном пространстве ............. 1. Определение меры ................... 2. Примеры мер ...................... 3. Произведение меры на непрерывную функцию ...... 4. Положительные меры .................. 5. Один способ определения меры ............. 6. Норма меры ...................... § 2. Меры на локально компактном пространстве ......... 1. Непрерывные функции с компактным носителем ..... 2. Определение меры ................... 3. Произведение меры на непрерывную функцию ...... 4. Положительные меры .................. 5. Один способ определения меры ............. 6. Ограниченные меры ................... 6 ОГЛАВЛЕНИЕ 7. Широкая топология в пространстве мер .......... § 3. Носитель меры ....................... 1. Сужение меры на открытое множество. Определение меры посредством локальных данных ............. 2. Носитель меры ..................... 3. Характеризация носителя меры ............. 4. Меры с компактным носителем ............. 5. Точечные меры. Меры с конечным носителем ....... 6. Дискретные меры .................... § 4. Интегралы от непрерывных вектор-функций ......... 1. Определение интеграла от непрерывной вектор-функции 2. Свойства интеграла от непрерывной вектор-функции . . . 3. Приложение: центры тяжести .............. § 5. Произведения мер ..................... 1. Произведение двух мер ................. 2. Свойства мер-произведений ............... 3. Широкие пределы мер-произведепий ........... 4. Произведение конечного числа мер ............ 5. Бесконечные произведения мер ............. 6. Проективные пределы мер ............... Глава IV. Продолжение меры. Пространства IP ........ § 1. Верхний интеграл от положительной функции ......... 1. Верхний интеграл от положительной полунепрерывной снизу функции ........................ 2. Внешняя мера открытого множества ........... 3. Верхний интеграл от положительной функции ...... 4. Внешняя мера произвольного множества ......... 5. Абстрактные меры ................... § 2. Пренебрежимые функции и множества ............ 1. Положительные прснебрежпмые функции ........ 2. Пренебрежимые множества ............... 3. Свойства, справедливые почти всюду ........... 4. Классы эквивалентных функций ............. 5. Функции, определенные почти всюду ........... 6. Классы эквивалентности функций со значениями в R . . . 7. Случаи абстрактных мер ................ § 3. Пространства L13 ...................... 1. Неравенство Минковского ................ 2. Полунормы Л'р ..................... 3. Пространства ^"р .................... 4. Функции, интегрируемые в р-й степени ......... 5. Свойства функций, интегрируемых в р-й степени ..... 6. Фильтрующиеся множества в LP и возрастающие последо- вательности в L'1' ................... ОГЛАВЛЕНИЕ 7. Теорема Лебега ..................... 1 8. Соотношения между пространствами J?^ (1 <1 р <^ + со) 1 9. Случай абстрактных мер ................ 1 § 4. Интегрируемые функции и множества ............ Г 1. Продолжение интеграла ................. 1 2. Свойства интеграла ................... 1 3. Предельный переход в интегралах ............ 1 4. Характеризация интегрируемых числовых функций .... 1 5. Интегрируемые множества ................ 1 6. Критерии интегрируемости множества .......... 1 7. Характеризация ограниченных мер ........... 1 8. Кланы и аддитивные функции множества ......... 1 9. Приближение непрерывных функций размещенными функ- циями ......................... 1 10. Продолжение меры, определенной на семействе множеств 1 11. Случай абстрактных мер ................ 1 § 5. Измеримые функции и множества .............. 1 1. Определение измеримых функций и множеств ....... 1 2. Принцип локализации. Локально Пренебрежимые множе- ства .......................... '- 3. Элементарные свойства измеримых функций ....... 4. Пределы измеримых функций .............. 5. Критерии измеримости .................. 6. Критерии интегрируемости ............... 7. Случай абстрактных мер ................ § 6. Неравенства выпуклости .................. 1. Теорема о выпуклости ................. 2. Неравенство о среднем ................. 3. Пространства L^ .................... 4. Неравенство Гёльдера .................. 5. Приложение: соотношения между пространствами L^, (1 < Р < + оо) ..................... Глава V. Интегрирование мер ................ ; § 1. (^-плотные семейства компактных множеств .......... 1. Индуцированная мера .................. 2. ji-плотные семейства компактных множеств ........ 3. Критерий измеримости .................. 4. Локально счетные семейства ......... § 2. Существенно интегрируемые функции ........... , 1. Существенный верхний интеграл ............ 2. Существенно интегрируемые функции .......... § 3, Интегрирование положительных мер ............. 1. Функции со значениями в пространстве мер ....... 2. Повторные интегралы от полунепрерывных снизу функций О ОГЛАВЛЕНИЕ 3. Повторные интегралы от произвольных положительных функций ........................ 4. Повторные интегралы от функций со значениями в банахо- вом пространстве .................... 5. Суммируемые семейства положительных мер ....... § 4. Интегрирование положительных точечных мер ..... 1. Семейства точечных мер ............... 2. Верхние интегралы от положительных функций относитель- но интеграла от точечных мер .............. 3. Измеримость относительно интеграла от точечных мер . . . 4. Интегрирование функций со значениями в банаховом про- странстве относительно интеграла от точечных мер ..... § 5. Меры, определенные при помощи числовых плотностей ..... 1. Локально интегрируемые функции ........... 2. Меры, определенные при помощи числовых плотностей . . . 3. Интегрирование относительно положительной меры с бази- сом [А ......................... 4. Свойства мер с базисом у, ................ 5. Характеризация мер с базисом ^ ............ 6. Эквивалентные меры ................. 7. Независимые меры ................... 8. Приложения: I. Двойственность пространств L1' ... 9. Приложения: II. Функции мер ......... ... 10. Рассеянные меры; атомические меры .......... § 6. Образы меры ........................ 1. Образ положительной меры .............. 2. Интегрирование относительно образа положительной меры 3. Свойства образа положительной меры .......... 4. Образ меры произвольного знака ............ 5. Приложение: замена переменного в интеграле Лебега . . . § 7. Интегрирование относительно индуцированной меры ..... 1. Интегрирование относительно индуцированной меры . . . 2. Свойства индуцированных мер ............. § 8. Произведения мер ...................... 1. Интегрирование относительно произведения двух мер . 2. Критерии измеримости относительно произведения двух мер 3. Другие свойства произведения двух мер ......... 4. Интегрирование относительно конечного произведения мер 5. Приложение: мера евклидова шара в R" ......... Исторический очерк (главы 11—V) ........... (I) L. E u 1 e r, Opera Omnia: De formulis integralibus dupli- catis (1), т. XVII, Leipzig — Berlin (Teubner), 1915, стр. 289—315. (II) G. Lejeune-Dirichlet, Sur la convergence des series trigononietriques qui servent a representer une fon- ction arbitraire entre des limites donnees, J. de Crelle, т. IV (1829), стр. 157—169 (=Werke, т. I, стр. 118—132, Berlin (G. Reiiner), 1889). (Ill) В. R i e m a n n, Gesammelte mathematische Werke, 2-e изд., Leipzig (Tcubner), 1892. Русский перевод: Р и м а н Б., Сочинения, М.— Л., Гостехиздат, 1948. (IV) G. С a n t о г, Gesammelte Abhandlungen, Berlin (Sprin- ger), 1932. На русском языке: Кантор Г., Ученье о мно- жествах, СПб., 1914. (V) G. P e a n о, Applicazioni geometriche del calculo in- finitesimale, Turin, 1887. (VI) С. J о r d a n, Cours d'Analyse, t. I, 2-е изд., Paris (Gauthier- Villars), 1893. (VII) С. А г z e 1 a; a) Sulla integrabilita di una serie di funzioni, Rendic. Ace. dei Lincei, (4), т. I (1885), стр. 321—326; b) Sulla integrazione per serie, ibid., стр. 532—537 и 566—569. (VIII) T. S t i e 1 t j e s, Recherches sur les fractions continues, Ann. Fac. Sci. de Toulouse, т. VIII (1894), J. 1 a J. 122. Русский перевод: Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, Харьков — Киев, 1936. (IX) E. В о r e I, Lecons sur la theorie des fonctions, Paris (Gauthier-Villars), 1898. (X) H. L e b e s g u e: a) Integrals, longueur, aire, Annali di Mat., (3), т. VII (1902), стр. 231—359; Русский перевод: Лебег А., Об измерении величин, М., 1938; Ь) Lecons sur 1'integration et la recherche des fonctions primitives, Paris (Gauthier-Villars), 1904. Русский перевод: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, М., Гостехиздат, 1934. с) Sur les series trigonometriques, Ann. Ее. Norm. Sup., (3), т. XX (1903), стр. 453—485; d) Sur 1'integration des fonctions discontinues, Ann. EC. Norm. Sup., (3), т. XXVII (1910), стр. 361—450. (XI) W. H. Y о u n g: a) On upper and lower integration, Proc. Lond. Math. Soc., (2), т. II (1905), стр. 52—66; Ь) A new method in the theory of integration, Proc. Lond. Math. Soc., (2), т. IX (1911), стр. 15—50. (XII) G. Vital i: a) Una proprieta delle funzioni misurabili, R. Its. Lombardo, Rendiconti, (2), т. XXXVIII (1905), стр. 599—603; b) Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali, Rendic. Ace. Sci. di Torino, т. XLIII (1908), стр. 229—236. (XIII) E. F i s с h e r, Sur la convergence en moyenne, C. R. Acad. Sci., т. CXLIV (1907), стр. 1022—1024. (XIV) G. F u b i n i, Sugli integrali inultipli, Rendic. Ace. dei Lincei, (5), т. XVI (1907), стр. 608—614. (XV) F. R i e s z: a) Sur les systemes orthogonaux de fonctions, C.R. Acad. Sci., т. CXLIV (1907), стр. 615—619; b) Unter- suchungen uber Systeme integrierbarer Punktionen, Math. Ann., т. LXIX (1910), стр. 449—497; с) Sur certains systu- mes singuliers d'equations integrales, Ann. EC. Norm. Sup., (3), т. XXVIII (1911), стр. 33—62; d) Sur quelques notions fondamentales dans la theorie generale des operations li- neaires, Ann. of Math., (2), т. XLI (1940), стр. 174—206. (XVI) D. Egoroff, Sur les suites de fonctions mesurables, C.R. Acad. Sci., т. CLII (1911), стр. 244. (XVII) J. Radon, Theorie und Anwendungen der absolut addi- tiven Mengenfunktionen, Sitzungsber. der math. natur- wiss. Klasse der Akad. der Wiss. (Wien), т. CXXII, Abt. IIa (1913), стр. 1295—1438. (XVIII) С. Caratheodory, Vorlesungen fiber reelle Funktio- nen, Leipzig — Berlin (Teubner), 1918. (XIX) P. J. D a n i e 1 1: a) A general form of integral, Ann. of Math., (2), т. XIX (1918), стр. 279—294; b) Integrals in an infinite number of dimensions, Ann. of Math., (2), т. XX (1919), стр. 281-288. (XX) О. N i k о d у m, Sur une generalisation des integrales de M. J. Radon, Fund. Math., т. XV (1930), стр. 131—179. (XXI) S. В о с h n e r, Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind, Fund. Math., т. XX (1933), стр. 262—276. (XXII) J.von Neumann, On rings of operators. Ill, Ann. of Math., (2), т. XLI (1940), стр. 94—161. (XXIII) A. Kolmogoroff, Grundbegriffe der Wahrscheinlich- keitsrechnung, Berlin (Springer), 1933. Русское издание: УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ Глава § п° Абсолютная непрерыв- ность одной меры относи- тельной другой ..... V 5 5 Абстрактная мера .... IV 1 5 Аддитивная функция мно- жества ........ IV 4 8 Атомическая мера ..... V 5 10 Базис (мера с базисом \\.) . .V 5 2 Барицентр ....... Ill 4 3 Вполне аддитивная мера IV 4 5 Вполне решеточное про- странство ....... II 1 3 Гёльдера неравенство ... I 2 и IV 6 4 Двойной интеграл .... .III 5 1 Дискретная мера .... .III 2 2 Егорова теорема .IV 5 4 Измеримая на А функция V 5 3 — функция ........ IV 5 1 — —, определенная на измеримом подмножестве1У 5 3 Измеримое множество IV 5 1 Изобильное подпростран- ство ......... .III 2 5 Индуцированная мера VI 1 и V 7 2 — — на открытом мно- жестве ......... III 3 1 Глава § п° Интеграл двойной .... III 5 1 — верхний от положи- тельной функции .... IV 1 3 и IV 1 5 — кратный ....... Ill 5 4 — п-кратный ...... Ill 5 4 — от непрерывной век- тор-функции с компакт- ным носителем .... III 4 1 — — — числовой функ- ции с компактным носите- лем .......... III 1 1 и III 2 2 — — семейства мер V 3 1 — — существенно инте- грируемой функции ... V 2 2 — — функции на А (или V 5 3 распространенной на Л) V 5 3 — существенный верхний V 2 1 Интегрируемая функция IV 4 1 Интегрируемое множе- ство .......... IV 4 5 Клан подмножеств некото- рого множества .... IV 4 8 Класс эквивалентности функций ....... .IV 2 4 — — —, определенных почти всюду ..... IV 2 5 Конечная почти всюду функция ......... IV 2 6 Кратный интеграл ... III 5 4 393 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ Глава § п° Лебега мера: см. Мера Ле- бега Лебега — Никодима тео- рема ..........V5 5 Лебега теорема ...... IV 3 7 и IV 4 3 Лебега — Фубини теоре- ма ........... У ?, 1 Лемма Фату ....... IV 1 3 Линейная форма относи- тельно ограниченная . . .II 2 1 — — положительная ... II 2 2 Локализации принцип для измеримых функций . . IV 5 2 — — — мер ....... Ill 3 1 Локально y.-интегрируе- мая на А функция . . .V 5 1 — — функция ....... V 5 3 — почти всюду справедли- вое свойство ...... IV 5 2 — пренебрежимая функ- ция ......... IV 5 2 — пренебрежимое множе- ство .......... IV 5 2 на открытом жестве ..... Лебега на компактном интервале ....... III 1 — — R ........ Ill 2 — — R2 ....... .Ill 5 — — R» ....... Ill 5 на локально компакт- ном пространстве . . . III 1 и III 2 — счетное семейство .... V 1 4 Максимум по мере (|-1- максимум) ....... IV 6 2 Мера абстрактная . . . . IV 1 5 — атомическая ..... V 5 10 — внешняя ....... IV 1 4 — дискретная ..... III 2 2 — индуцированная V 1 1 и V 7 2 —, — на открытом мно жестве ....... III 3 1 Глава § п" Мера, не содержащая массы в некотором открытом мно- жестве ......... III 3 2 — ограниченная .... , III 2 6 —, определенная при по- мощи масс ....... III 1 2 и III 2 2 — плотности g относи- тельно у, . ...... Ill 1 3 и III 2 3 — положительная . III 1 4 и III 2 4 — Радона .... III 1 1 и III 2 2 — рассеянная . . . V 5 10 — с базисом (1 . . V 5 2 —, сосредоточенная на А V 5 7 — точечная .... III 3 5 Меры независимые . . V 5 6 — эквивалентные V 5 7 Минимум по мере ((i-ми- нимум) ......... IV 6 2 Минковского неравенство I 2 и IV 3 1 Множество измеримое (или ^-измеримое) ...... IV 5 1 — интегрируемое (или (^-интегрируемое) ... IV 4 5 — локально пренебрежи- мое .......... IV 5 2 — ^-плотное компактных подмножеств ...... V 1 2 —, несущее функцию V 5 7 — пренебрежимое (или l-i-пренебрежимое) .... IV 2 2 —, существенно ^-инте- грируемое ....... .V 2 2 Моментов проблема .... III 1 5 Моменты меры ...... III 1 5 y.-измер имая функция . . .IV 5 1 |х-мз.ие^)ил<ос множество . . IV 5 1 ^-интегрируемая функ- ция .......... IV 4 1 ^-интегрируемое множе- ство .......... IV 5 4 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ 394 Глава § п° . IV 6 2 IV 6 2 \и-максимум ....... y.-минимум [{.-пренебрежимая функ- ция .......... -Vf 2. и IV 2 y.-пренебрежимое множе- ство .......... IV 2 ^.-приспособленная пара V 4 и-собственное отображе- ние (или собственное от- носительно у,) ...... V 6 и V 6 ^-согласованное семейство V 3 ^-эквивалентные функции IV 2 Независимые меры .... .V 5 Непрерывность абсолют- ная одной меры относи- тельно другой ..... .V 5 Неравенство Гёльдера .... I и IV 6 — Минковского ...... IV 6 — о среднем ........ IV 6 Норма меры ....... III 1 и III 2 Носитель, бесконечно удаляющийся по фильтру III 3 2 — мер ы . ........ .1113 2 — функции ....... .Ill 2 1 п-кратный интеграл . . .Ill 5 4 Образ меры ....... .V 6 1 и V 6 4 Общая масса ограниченной меры ......... .Ill 16 и IV 4 7 Ограниченная мера . . . .Ill 2 6 — по мере функция .... IV 6 3 — — — числовая функ- ция .......... .IV б 2 Ограниченное подмноже- жество из еЛ1 (Е) . . .III 2 7 Определенная почти всюду пренебрежимая функция IV 2 5 .V 1 2 V 5 2 III 2 5 Глава § п° Определенная почти всюду функция ........ IV 2 5 Относительно ограничен- ная линейная форма . .II 2 2 Отображение [^-собствен- • ное (или собственное от- носительно ц) ...... V 6 и V 6 — широко y.-измеримое . . .V 3 — широко непрерывное . , .V 3 V 4 1 Пара ^.-приспособленная Плотность (мера плот- ности g относительно ^) ........... — ((1-плотное множество) Подпространство изо- бильное ....... — положительно изобиль- ное .......... Показатели сопряженные Положительно изобильное подпространство . , . Полоса во вполне решеточ- ном пространстве . . . Последовательность, схо- дящаяся почти всюду . Почти всюду справедливое свойство ........ Пренебрежимая функция 1 — —, определенная почти всюду ......... Пренебрежимое множество Принцип локализации для измеримых функций . . — — — мер ...... Проективный предел мер . Произведение бесконечного числа мер ...... — двух мер ....... — конечного числа мер . , — меры на локально ин- тегрируемую числовую функцию ........ III 2 5 IV 6 4 .III 2 5 .II 1 5 .IV 2 5 .IV 2 3 IV 2 1 IV 2 4 .IV 2 5 IV 2 2 .IV 5 2 •III 3 1 .III 5 6 III 5 5 III 5 1 III 5 4 .V 5 2 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ 395 Глава § и' Произведение меры на непре- рывную функцию ... III 1 3 и III 2 3 Пространство вполне ре- шеточное ....... .II 1 3 — локально компактное с мерой ......... III 2 2 — Рисса ...... ... .II 1 1 Радона мера .......III1 1 и III 2 2 Размещенная измеримая функция ........ IV 5 5 — функция ........ IV 4 8 Рассеянная мера. ..... .V 5 10 Рисса пространство ... .II 1 1 — теорема ........ II 1 5 Ряд, сходящийся почти всюду . . ........ .IV 2 5 •сюду .IV 5 2 .IV 2 3 о счет ов ... .V 1 4 мер . . .V 3 1 эр . . . .V 3 5 затели IV 6 4 а мно- V 5 7 ункции 1,1 1 6 Свойство, справедливое ло- кально почти всюду — — почти всюду . . , Семейство локально счет- ное подмножеств . . — ^-согласованное мер . — суммируемое мер . . Сопряженные показатели Сосредоточенная на мно- жестве мера ..... .V Среднее значение функции 1-1 Сужение лиры на откры- тое множество .... .III 3 1 Сумма прямая упорядо- ченная ........ .II 1 4 Суммируемая функция IV 4 1 Суммируемое семейство мер ...........V 3 5 Существенно ^-интегри- руемая на А функция . .V 5 3 — — функция V 2 2 — ^-интегрируемое мно- жество .........V2 2 Сходимость в смысле среднего квадратического .... .IV 3 3 — — среднем ..... . . IV 3 3 — — — порядка п .... IV 3 3 Счетная выпуклость (тео- Глава § п° рема) Теорема Егорова — Лебега . . . ,1V 3 2 ..... .IV 5 ..... .IV 3 и IV 4 — Лебега — Никодима . . .V 5 — Лебега — фубини ... .V 8 — о счетной выпуклости , . IV 3 — Рисса ......... .II 1 Топология сходимости в смысле среднего квадратического IV 3 — — — среднем III 2 — — — — порядка р ... IV 3 Точечная мера ...... .III 5 прямая сум- Упорядоченная ма .... •II 1 Фату лемма ........ IV 1 3 Функция, зависящая лишь от конечного числа пере- менных ........ .III 5 5 — измеримая (или (х-из- грируемая (или J. пегрируемая) . . . .IV 4 1 ч р-й степени . . .IV 3 4 тая почти всюду IV 2 6 лъно пренебрежи- IV 5 2 меримая) ....... .IV 5 1 интегрируемая (или ^-интегрируемая) . , — в р-й степени , конечная почти всюду локально пренебрежи- мая ......... , не зависящая от пере- менных с индексом i ^ J III 5 5 , ограниченная по мере IV 6 2 и IV 6 3 , определенная почти, всюду ......... .IV 2 5 пренебрежимая (или )И- пренебрежимая) . . . . . IV 2 1 и IV 2 4 размещенная (или Ф- размещенная) ...... IV 4 8 — измеримая ...... IV 5 5 суммируемая ...... IV 4 1