22.18 F 1 *^ УДК 519.6 Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982 (Оптимизация и исследование операций).—432 с. Книга посвящена созданию диалоговых человеко-машинных систем оптимизации. Основное внимание уделяется систематическому описа- нию алгоритмов решения задач нелинейного программирования и оп- тимального управления. На модельных примерах проводится сравни- тельный анализ алгоритмов. Показано, что наиболее высокую эффек- тивность использования методов оптимизации можно получить путем последовательного применения разных алгоритмов. Обсуждаются воп- росы организации человеко-машинного процесса расчетов, даны при- меры реализации диалоговых систем оптимизации. Книга предназначается для специалистов в области математичес- кого программирования, теории оптимального управления, инжене- ров, студентов старших курсов, аспирантов, применяющих и разви- вающих методы оптимизации. Илл. 19, библ. 237 назв. Юрий Гаврилович Евтушенко МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В СИСТЕМАХ ОПТИМИЗАЦИИ (Серия: «Оптимизация и исследование операций») Редактор И. Е. Морозова Техн. редактор Л. В. Лихачева. Корректоры Е. В. Сидоркина, В. П. Сорокина Ив №. 12119 Сдано в набор 11.01.82. Подписано к печати 2005.82. Т-11679. Формат 84Xl081/a2• Бумага тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 22,68. Уч.-изд. л. 23,32. Тираж 9000 экз. Заказ № 3671. Цена 2 р. 10 к. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. ^Кданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва. М-54, Валовая, 28 Отпечатано во 2-ой ТИПОР): Москва, Шубинский пер., |фии изд-ва «Наука». 10 Зак.1705. 1702070000—081 „ 053(02)-82 © Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1982 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ........................ 7 Основные обозначения ................... 10 Глава I. Введение в теорию оптимизации ........ 13 § 1. Выпуклые множества и выпуклые функции ..... 13 § 2. Дифференцируемость выпуклых функций ...... 21 § 3. Необходимые и достаточные условия локального экстре- мума функций многих переменных ......... 29 § 4. Необходимые и достаточные условия минимума функ- ций на множествах ................ 34 Свойства минимаксных задач ............. 38 Условия минимума в задачах нелинейного програм- мирования, не использующие Дифференцируемость . . 52 Условия минимума в задачах нелинейного программи- рования, использующие дифферепцируемссть .... 64 Необходимые условия минимума в задачах оптималь- ного управления .................. 78 Глава II. Теоремы о сходимости и их приложения к иссле- дованию численных методов .......... 88 § 1. Устойчивость по первому приближению ....... 88 § 2. Метод функций Ляпунова ............. 94 § 3. Теоремы о сходимости итеративных процессов .... 104 § 4. Сходимость процессов, порожденных многозначными отображениями .................. 116 § 5. Методы решения систем нелинейных уравнений ... 122 § 6. Численные методы отыскания минимакса ...... 141 Глава III. Метод штрафных функций .......... 159 § 1. Метод внешних штрафных функций ........ 159 § 2. Оценки точности метода штрафных функций ..... 173 § 3. Метод параметризации целевой функции ...... 185 § 4. Метод внутренних штрафных функций ....... 193 § 5. Метод линеаризации ................ 199 Глава IV. Численные методы решения задач нелинейного программирования, основанные на использовании модифицированных функций Лагранжа .... 206 § 1. Простейшая модификация функции Лагранжа .... 207 § 2. Модифицированные функции Лагранжа ....... 218 § 3. Обоснование сходимости метода простой итерации . . 224 § 4. Решение задач выпуклого программирования .... § 5. Редукция к максиминной задаче .......... § 6. Редукция к минимаксной задаче .......... Глава V. Релаксационные методы решения задач нелиней- ного программирования ............ § 1. Применение метода приведенного градиента для реше- ния задач с ограничениями типа равенства ..... § 2. Обобщение метода приведенного градиента ..... § 3. Дискретный вариант метода приведенного градиента § 4. Метод условного градиента ............. § 5. Метод проекции градиента ............. Глава VI. Численные методы решения задач оптимального управления .................. § 1. Основные расчетные формулы ............ § 2. Необходимые и достаточные условия минимума . . . § 3. Численные методы, основанные на редукции к задачам нелинейного программирования ........... § 4. Дискретные принципы минимума .......... § 5. Численные методы, основанные на использовании дис- кретных принципов минимума ........... § 6. Некоторые обобщения ............... § 7. Примеры численных расчетов ............ § 8. Приложение к дифференциальным играм ...... Глава VII. Диалоговые системы оптимизации ....... § 1. Общие принципы построения диалоговых систем . . . § 2. Библиотека программ решения задач безусловной минимизации ................... § 3. Примеры численных расчетов задачи безусловной минимизации ................... § 4. Библиотека программ для решения задач нелинейного программирования ................. § 5. Примеры численных расчетов задачи нелинейного про- граммирования .................. Приложение I. Дифференцируемость .......... Приложение II. Некоторые свойства матриц ...... Приложение III. Некоторые свойства отображений . . . Комментарии и библиография ................ Литература ........................ Адамар Дж. (Hadamard J.) 1. Sur les transformations ponctuelles Bull.—Soc. Math. France, 1906, 34, 71-84. Ад а м е и ко Г. М. 1. О решении классов задач минимизации.—Препринт ИМ АН БССР № 11.—Минск, 1976. А дач и Н. (Adachi N.) 1. On variable metric algorithm.—J. Optim. Theory Appl., 1971, 7, 391_409. А и зе кс Р. 1. Дифференциальные игры.—М.: Мир, 1967. Аким Э. Л., Энеев Т. М. 1. Определение параметров движения космического летательного аппарата поданным траркторных измерений.— Космические иссле- дования, 1963, 1, № 1, 5—28. Андерсон Д. (Anderson D.) 1. Iterative procedures for nonlinear integral equations.—J. Assoc. Comput. Mach., 1965, 12, 547—560. А н о р о в В. П. 1. Принцип максимума для процессов с ограничениями общего вида.— Автоматика и телемеханика, 1967, № 3, 5—15. Антипин А. С. 1. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа.—Препринт ВНИИСИ.— Москва, 1979. Баптист П., Стоер Дж. (Baptist P., Stoer J.) 1. On the relation between quadratic termination and convergence properties of minimization algorithms.—Numer. Math., 1977, 28, № 4, 367—391. Барбашин Е.А. 1. Введение в теорию устойчивости.—М.: Наука, 1967. Барнес Дж. (Barnes J.) 1. An algorithm for solving nonlinear equations based on the secant method.—Сотр. J., 1965, .8, 66—72. Батищев Д. И. 1. Поисковые методы оптимального проектирования.—М.: Сов. радио, 197R. Бахвалов Н.С. 1. Численные методы.—М.: Наука, 1973. Беллман Р. 1. Динамическое программирование.—М.: ИЛ, 1963. 2. Введение в теорию матриц.—М.: Наука, 1969. 420 ЛИТЕРАТУРА Бертсекас Д. (Bertsekas D.) !. Combined primal-dual and penalty methods for constrained mini- mization.—SIAM J. Control, 1975, 13, 521—544. 2. Multiplier Methods: A survey.—Automatica, 1976, 12, 133—145. 3. On the convergence properties of second-order multiplier methods.— J. Optim. Theory Appl., 1978, 25, № 3, 443—449. Биттнер Л. (Bittner L.) 1. Eine Verallgemeinerung des Sekantenverfahrens zur naherungsweisen Berechnunng derNullstellen einesnichtlinearenGleichungssystems.— Wiss. Z. Tech. Univ. Dresden, 1959, 9, 325—329. Болтянский В. Г. 1. Оптимальное управление дискретными системами.—М.: Наука, 1973. Брайсон А.,Денхем В. 1. Применение наискорейшего спуска к задачам оптимального управ- ления.— Ракетная техника и космонавтика, 1964, № 2. Бройден С. (Broyden С.) 1. A class of methods for solving nonlinear simultaneous equations.— Math. Сотр., 1965, 19, № 92, 577—593. 2. Quasi-Newton methods and their application to function minimiza- tion.—Math. Compt., 1967, 21, № 99, 368—381. 3. A new double-rank minimization algorithm.—Notices Amer. Math. Soc., 1969, 16, № 4, 670. Будак Б. М., Беркович Е. М., Соловьева Е. Н. 1. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управления.— ЖВМ и МФ, 1969, 9, № 3, 522—547. Бурдаков О. П. 1. Об одном принципе построения квази-ньютоновских методов решения систем уравнений.—В кн.: Всесоюзный научно-техни- ческий семинар «Численные методы нелинейного программирова- ния»: Тезисы докладов. Ч. I.—М.: 1979, 38—40. 2. О некоторых способах выбора длины шага в методе Ньютона.— В кн.: Исследования операций. Вып. 7.—М.: ВЦ АН СССР, 1979, 111-115. 3. Некоторые глобально сходящиеся модификации метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.—ДАН СССР, 1980, 254, № 3, 521—523. Бурова Н. К., Станевичене Л. И., Станевичюс А.— И. А., Шкляр П. Э. 1. Система линейного программирования ЛП/БЭСМ-6.—М.: ВЦ АН СССР, 1981. Васильев Ф.П. 1. Численные методы решения экстремальных задач.—М.: Наука, 1980. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. 1. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.—М.: Наука, 1973. Величенко В. В. 1. Численный метод решения задач оптимального управления.— ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 4, 635—647. 2. О задачах оптимального управления для уравнений с разрывными правыми частями.—Автоматика и телемеханика, 1966, № 7,20—30. ЛИТЕРАТУРА 421 3. Способ определения условного минимума функций многих пере- менных.—Автоматика и телемеханика, 1967, № 2, 171—172. 4. К задаче о минимуме максимальной перегрузки.— Космические исследования, 1972, 10, № 5, 700—710. Венец В. И., Рыбашов М. В. 1. Метод функций Ляпунова в исследовании непрерывных алгорит- мов математического программирования.—ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 3, 622—633. Воеводин В. В. 1. Линейная алгебра.—М.: Наука, 1980. Волконский В. А. 1. Оптимальное планирование в условиях большой размерности.— Экономика и матем. методы, 1965, 1, № 2, 195—219. Вольф Ф. (Wolf P.) 1. The secant method for simultaneous nonlinear equations. -— Comm. ACM, 1959, 2, 12-13. Габасов Р. 1. К теории оптимальных процессов в дискретных системах.—ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 4, 780—796. Габасов Р., Кириллова Ф. М. 1. К вопросу о распространении принципа максимума Л. С. Понтря- гина на дискретные системы.— Автоматика и телемеханика, 1966, № 11, 46—51. 2. Принцип максимума в теории оптимального управления.— Минск: Наука и техника, 1974. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. 1. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциаль- ные уравнения.—М.: Мир, 1978. Гантмахер Ф. Р. 1. Теория матриц.—М.: Наука, 1967. Гарсиа Поломарес У., Мангасарян О. (Garcia Paloma- res^U., Mangasarian 0.) 1. Superlinearly convergent quasi-Newton algorithms for nonlinearly constrained optimization problems.—Math. Prog., 1976, 11, № 1, 1_13 Г ей Д. (Gay D.) 1. Some convergence properties of Broyden's method.—SIAM J. Numer. Anal., 1969, 16, № 4, 623—630. Гей Д., Шнабель Р. (Gay D., Schnabel R.) 1. Solving systems of nonlinear equation by Broyden's method with projected updates. In: Nonlinear programming 3./Ed. 0. Mangasa- rian, S.* Robinson, R.Meyer.—N. Y.Academ. Press, 1978, 254— 281. " Гермейер Ю. Б. 1. Введение в теорию исследования операций.—М.: Наука, 1971. Глейзал A. (Gleyzal A.) 1. Solution of nonlinear equations.—Quart. J. Appl. Math., 1959, 17, 95—96. Глушков В. М., Каспшицкая М. Ф., Сергиенко И. В. 1. Вопросы формализации и решения одного класса задач дискрет- ной оптимизации.— ЖВМ и МФ, 1980, 20, № 6, 1384—1399. 422 ЛИТЕРАТУРА Глушков В. М., Олеярш Г. Б. 1. Диалоговая система планирования ДИСПЛАН.—Управляющие системы и машины, 1976, № 4, 123—124. Голиков А. И., Евтушенко Ю. Г. 1. Об одном классе методов решения задач нелинейного програм- мирования.—ДАН СССР, 1978, 239, № 3, 519—522. Голиков А. И., Жадан В. Г. 1. Итеративные методы решения задач нелинейного программиро- вания с использованием модифицированных функций Лагранжа.— ЖВМ и МФ, 1980, 20, № 4, 874—888. Гольдфарб Д. (Goldfarb D.) 1. A family of variable-metric methods derived by variational means.— Math. Сотр., 1970, 24, № 109, 23—26. Г о л ь ш т е и и Е. Г. 1. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения.—М.: Наука, 1971. Гольштейн Е. Г., Третьяков Н. В. 1. Модифицированные функции Лагранжа.—Экономика и матема- тические методы, 1974, 10, № 3, 568—591. Г par г Б., Стюарт Г. (Gragg В., Steward G.) 1. A stable variant of the secant method for solving nonlinear equa- tions.—SIAM J. Numer. Anal., 1976, 13, № 6, 889—903. Грачев Н. И., Евтушенко Ю. Г. 1. Некоторые численные методы решения игр с непротивополож- ными интересами.—В кн.: Исследование операций.—М.: ВЦ АН СССР, 1974, вып. 4, 219—235. 2. Вариант метода Ньютона для решения общей задачи нелинейного программирования.—В кн.: Исследование операций.—М.: ВЦ АН СССР, 1976, вып. 5, 54—58. 3. Численные методы отыскания седловых точек.—В кн.: Числен- ные методы нелинейного программирования. Тезисы II Всесоюз- ного семинара.— Харьков: 1976, 138—142. 4. Применение метода сингулярных возмущений для решения ми- нимаксных задач.—ДАН СССР, 1977, 233, № 3, 277—280. 5. Пакет программ для решения задач оптимального управления.— М.: ВЦ АН СССР, 1978. 6. Библиотека программ для решения задач оптимального управ- ления.—ЖВМ и МФ, 1979, 19, № 2, 367-387. Давиденко Д. Ф. 1. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений.—ДАН СССР, 1953, 88, 601—602. 2. О применении метода вариации параметра к построению итера- ционных формул повышенной точности для определения элемен- тов обратной матрицы.—ДАН СССР, 1965, 162, 743—746. Давидон В. (Davidon W.) 1. Variable metric method for minimization.—Argonne Nat. Lab. Rep. NANL-5990, 1959. Д а в ы д о в Э. Г. 1. О распределении ресурсов на графах.—В кн.: Системы распре- деления ресурсов на графах.— М.: ВЦ АН СССР, 1970. 2. Методы и модели теории антагонистических игр.—М.: МГУ, 1978. ЛИТЕРАТУРА 423 Данилин Ю. М. 1. Скорость сходимости методов сопряженных направлений.—Кибер- нетика, 1977, № 6, 97—105. Данилин Ю. М., Панин В. М. 1. О некоторых методах поиска седловых точек.—Кибернетика, 1974, № 3, 119—124. Данилин Ю. М., Пшеничный Б. Н. 1. О методах минимизации с ускоренной сходимостью.— ЖВМ и МФ, 1970, 10, № 6, 1341—1354. 2. Оценка скорости сходимости одного класса алгоритмов оптими- зации.—ДАН СССР, 1973, 213, № 2, 270—273. Данскин Дж. 1. Теория максимипа.—М.: Сов. радио, 1970. Демидович Б. П. 1. Лекции по математической теории устойчивости.—М.; Наука, 1967. Демьянов В. Ф. 1. К решению оптимальных задач в нелинейных системах автома- тического управления.—ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 2, 218—228. 2. Пакетный принцип минимакса.—Л.: Вестник ЛГУ, 1976, № 6, 35—39. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. 1. Введение в минимакс.—М.: Наука, 1972. 2. Вопросы теории и элементы программного обеспечения минимакс- ных задач.—Л.: ЛГУ, 1977. Демьянов В. Ф., Певный А. Б. 1. Численные методы разыскания седловых точек.—ЖВМ и МФ, 1972, 12, № о, 1099—1127. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. 1. Приближенные методы решения экстремальных задач.—Л.: ЛГУ 1968. Д е н н и с Дж. (Dennis J.) 1. On some methods based on Broyden's secant approximation to the Hessian.— In: Numerical methods for nonlinear optimiza- tion/Ed. Lootsma P., London: Academic Press, 1972. Денни с Дж., Морэ Дж. (Dennis J., More J.) 1. A caracterization of superlinear convergence and its application to quasi-Newton methods.—Math. Сотр., 1974, 28, № 126, 549—560. 2. Quasi-Newton methods motivation 'and theory.—SIAM Review, 1977, 19, № 1, 46-89. Джон Ф. (John P.) 1. Extremum problems with'inequalities as side conditions.—Studies and essays. Courant anniversary volume. New York: 1948, 187— 204. Диксон Л. (Dixon L.) 1. On quadratic termination and second order convergence: two pro- perties of unconstrained optimisation algoritms. In: Towards global optimisation/Ed. L. Dixon, G. Szego.— Amsterdam: North- Holl., 1975, 211—228. Диксон Л., Сегё Г. (Dixon L., Szego G.) 1. Towards global optimisation.—Amsterdam: North-Holl, 1975. 424 ЛИТЕРАТУРА Дородницын А.А. 1. Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля.—ПММ 1947 11, № 3, 313-328. Дубовицкий А. Я./.Милютин А. А. 1. Задачи на экстремум при наличии ограничений.—ЖВМ и Мф 1965, 5, № 3, 395—453. Евтушенко Ю. Г. 1. Численный метод поиска глобального экстремума функций/пере- бор на неравномерной сетке/.—ЖВМ и МФ, 1971 11 № 6 1390—1403. . . - , 2. Численный метод отыскания наилучших гарантированных оце- нок.—ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 1, 89—104. 3. Некоторые локальные свойства минимаксных задач—ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 3, 669—679. 4. Итеративные методы решения минимаксных задач.—ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 5, 1136—1149. 5. Методы поиска глобального экстремума.—В кн.: Исследование операций.—М.: ВЦ АН СССР, 1974, вып. 4, 39—68. 6. Некоторые численные методы нелинейного программирования.— Доклады конференции ИФИП по методам оптимизации, Ново- сибирск, 1974. 7. Два численных метода решения задач нелинейного программи- рования.—ДАН СССР, 1974, 215, № 1, 38-40. 8. Численные методы нелинейного программирования.—ДАН СССР 1975, 221, № 5, 1016—1019. 9. Численные методы решения задач нелинейного программирова- ния.—ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 2, 307—324. 10. Generalized Lagrange multiplier technique for nonlinear program- ming.—J. Optim. Theory Appl., 1977, 21, № 2, 121—135. 11. Применение обобщенных функций Лагранжа для решения задач нелинейного программирования.—В кн.: Исследование операций.—М.: ВЦ АН СССР, 1979, вып. 4, 3—23. 12. Численные методы решения экстремальных задач и их приме- нение в системах оптимизации: Автореферат докторской дис- сертации.—М.: ВЦ АН СССР, 1980. Евтушенко Ю. Г., Жадан В. Г. 1. Численные методы решения некоторых задач исследования операций.—ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 3, 583—598. 2. Применение метода функций Ляпунова для исследования схо- димости численных методов.—ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 1 101—112. 3. Релаксационный метод решения задач нелинейного программи- рования.—ЖВМ и МФ, 1977, 17, № 4, 890—904. Евтушенко Ю. Г., Павловский Ю. Н. (Evtushenko Yu., Pavlovsky Yu.) 1. Integrated optimization-simulation system for industry and regional planning.—IFIP, 1980, North-Holl, 651—658. Еремин И. И. 1. О методе «штрафов» в выпуклом программировании.—Тезисы кратких научных сообщений Международного математическо- го конгресса. Секция 14, Вычислительная математика.—М., 1966. ЛИТЕРАТУРА 425 2. Метод «штрафов» в выпуклом программировании.—ДАН СССР, 1967, 173, № 4, 748—751. Еремин И. И., Астафьев Н. Н. 1. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования.— М.: Hay кг, 1976. Еремин И. И., Мазуров В. Д. 1. Нестационарные процессы математического программирования.— М.: Наука, 1979. Ермольев Ю. М. 1. Методы решения нелинейных экстремальных задач.—Киберне- тика, 1966, № 4, 1—17. 2. Методы стохастического программирования.—М.: Наука, 1976. Ермольев Ю. М., Гуленко В. П. 1. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управле- ния.— Кибернетика, 1967, № 3, 1—20. Ермольев Ю.М., Гуленко В. П.,ЦаренкоТ. И. 1. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управле- ния.—Киев: Наукова думка, 1978. ЕфименкоВ. В., ЗагоруйкоА. С. 1. О программной реализации методов прямого интегрирования для задач многомерной минимизации.—ЖВМ и МФ, 1980, 20, № 3, 615—622. Зангвнлл У. (Zangwill W.) 1. Non-linear programming via penalty function.—Management Sci., 1967, 13, № 5, 344—358. 2. Нелинейное программирование. Единый подход.—М.: Сов. радио, 1973. И в а н и лов Ю. П. 1. Два алгоритма решения задачи выпуклого программирования.— В кн. Теория оптимальных решений. Киев: Изд-во ИК АН УССР, вып. 4, 1968. Иванов В. В., Людвиченко В. А. 1. Об одном методе последовательной безусловной минимизации решения задач математического программирования.— Киберне- тика, 1977, № 2, 1—8. Исаев В. К.» Сони н В. В. Ньютона численного реше- МФ, 1963, 3, № 6, 1114— 1. Об одной модификации метода ния краевых задач.—ЖВМ и 1116. 2 Вычислительные аспекты задачи об оптимальном перелете как краевой задачи.—ЖВМ и МФ, 1965, 5, № 2, 252—261. 3. Новый подход к проблеме аппроксимации и его приложения к вариационным и минимаксным задачам. Труды ЦАГИ, 1975, вып. 1646, 3—23. Канторович Л. В., А кило в Г. П. 1. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1977. Карпов В. Я., КорягинД. А., Самарский А. А. 1. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики.—ЖВМ и МФ, 1978, 18, № 2, 458— 467. Карманов В. Г. 1. Математическое программирование.—М.: Физматгиз, 1975. 426 ЛИТЕРАТУРА Кашин Г. М., Пшеничное Г. И., Флеров Ю. А. 1. Методы автоматизированного проектирования самолета.—М.: Машиностроение, 1979. К овал и к Дж., Осборн М., Руан Д. (Kowalik J., Osborne M., Ryan D.) 1. A new method for constrained optimization problems,—Math. Progr., 1969, 17, № 6, 973—983. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. 1. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.—М.: ИЛ, 1958. Корнилова Г. Ф. и др. 1. Пакет «Оптима-П» решения задач оптимального планирования для машины БЭСМ-6.—В кн.: Программы оптимизации.— Свердловск: Изд-во ИММ УНЦ АН СССР, 1974, вып. 5. Корт Б., Бертсекас Д. (Kort В., Bertsekas D.) 1. Combined primal-dual and penalty methods for convex program- ming.— SIAM J. Control, 1976, 14, № 2, 268—294. Костина М. А. 1. Некоторые способы управления итерационными процедурами в методах типа штрафных функций.—В кн.: Методы выпуклого программирования и приложения.—Свердловск: Изд-во ИММ УНЦ АН СССР, 1973, 32-41. К р асовск и и Н. Н. 1. Некоторые задачи теории устойчивости движения.—М.: Физ- матгиз, 1959. Красовский Н. Н., Субботин А. И. 1. Позиционные дифференциальные игры.—М.: Наука, 1974. Крылов И. А., Черноусько Ф. Л. 1. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления.—ЖВМ и МФ, 1962, 2, №6,1132— 1139. Кун Г., Таккер A. (Kuhn H., Tucker A.) 1. Nonlinear programming. Proc. Second Berkeley Symp. Math. Statistics, Probability.— Berkeley and Los Angeles Univ. Calif. Press, 1951, 481—492. 2. Линейные неравенства и смежные вопросы.—М.: ИЛ, 1959. Купцов В. И., Шуршкова Е. Г. 1. О сходимости модифицированного метода Ньютона.—В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. 14.— М.: Изд-во МГУ, 1970. Ланкастер П. 1. Теория матриц.—М.: Наука, 1978. Лебедев В. Н. 1. Расчет движения космического аппарата с малой тягой.—М.: ВЦ АН СССР, 1963. Луутсма Ф. (Lootsma F.) 1. Convergence rates of quadratic exterior penalty-function method for solving constrained-minimization problems.—Philips research reports, 1974, 29, № 1, 2—12. Ляпунов А. М. 1. Общая задача об устойчивости движения.—М.—Л.: Гостехиз- дат, 1950. ЛИТЕРАТУРА 427 Мак-Кормик Г. (McCormick G.) 1. Second order conditions for constrained minima.—SIAM J. Appl. Math., 1967, 15, № 3, 641-652. Мак-Кормик Г., Риттер К. (McCormick G., Ritter К.) 1. Methods of conjugate directions versus quasi-Newton methods.— Math. Progr., 1972, 3, № 1, 101—116. Ма л к и н И. Г. 1. Теория устойчивости движения.—М.: Наука, 1966. Мангасарян О. (Mangasarian О.) 1. Nonlinear programming.—Me. Graw-Hill Book Comapny, N. Y., 1969. 2. Unconstrained Lagrangians in nonlinear programming.—SIAM J. Control, 1975, 13, № 4, 772—791. МартинецДж. (Martinez J.) 1. Three new algorithms based on the sequential secant method.— BIT, 1979, 19, № 2, 236—243. Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С. 1. Доказательство некоторых асимптотических формул для реше- ния дифференциальных уравнений с малым параметром.—ДАН СССР, 1958, 120, № 5, 643—660. Мищенко Е. Ф., Р о з о в Н. X. 1. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релакса- ционные колебания.—М.: Наука, 1975. Мелешко В. И., Песина Р. И. 1. Разработка пакетов программ безусловной оптимизации на мо- дульном принципе.—Управляющие системы и машины, 1977, № 2, 35—40. Мехра Р., Дэвнс Р. (Mehra R., Davis R.) 1. A generalized gradient method for optimal control problems with inequality constraints and singular arcs.—IEEE Trans. Automa- tic Control, 1972, № 1, 69—79. Мифлин Р. (Mifflin R.) 1. Convergence bounds for nonlinear programming algorithms. — Math. Prog., 1975, 8, № 3, 251—271. Моисеев Н. Н. 1. Методы оптимизации.—М.: ВЦ АН СССР, 1969. 2. Численные методы в теории оптимальных систем.—М.: Наука, 1971. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. 1. Методы оптимизации,—М.: Наука, 1978. Моррисон Д. (Morrison D.) 1. Optimization by least squares.—SIAM J. Numerical Analysis, 1968, 5, № 1, 83—88. Нейман Д., Моргенштерн О. 1. Теория игр и экономическое поведение.—М.: Наука, 1970. Никайдо X. 1. Выпуклые структуры и математическая экономика.—М.: Мир, 1972. Ортега Дж., Рейнболдт В. 1. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.—М.: Мир, 1975. 428 ЛИТЕРАТУРА Охоцимский Д. Е. 1. К теории движения ракет.—ПММ, 1946, 10, № 2, 251—272. Охоцимский Д. Е., Энеев Т. М. 1. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искус- ственного спутника Земли.—УФН, 1957, 63, № la, 36—51. Панин В.М. 1. Решение систем нелинейных уравнений демпфированным мето- дом Ньютона при условии продолжимости.—В кн.: Теория оп- тимальных решений.—Киев: Изд-во ИК АН УССР, 1976, 39—51. Пауэлл М. (Powell M.) 1. A method for nonlinear constraints in minimization problems. — In: Optimization.—London: Acad. Press, 1969, 283—298. 2. A new algorithm for unconstrained optimization.—In: Nonlinear programming/ Ed. J. Rosen, 0. Mangasarian, K. Ritter. N. Y.: Acad. Press, 1969. Пауэре У., Ших С. (Powers W., Shich С.) 1. Convergence of gradient-type methods for free final time prob- lems.—AIAA J. Numer. Anal., 1976, 14, № 11, 1598—1603. Петржиковский Т. (Pietrzykowski T.) 1. An exact potential method for corstrained maxima.—SIAM J. Numer. Anal., 1969, 16, 299—304. Пирсон Д. (Pearson J.) 1. The discrete maximum principle.— Int. J. Control, 1965, 11,№2. 2. On variable metric methods of minimization.—Сотр. J., 1971, 12, № 2, 171—178. По лак Э. (Polak E.) 1. Численные методы оптимизации. Единый подход.—М.: Мир, 1974. 2. A modified secant method for unconstrained minimization.—Math. Progr., 1974, 6, № 4, 264—280. ПолакЭ., Теодору И. (Polak E., Teodoru I.) 1. Newton derived methods for nonlinear equations and inequalities.— In: Nonlinear programming 2/Ed. 0. Mangasarian, R. Meyer, S. Robinson,—Academic Press, 1975, 255—277. Поляк Б.Т. 1. Итерационные методы, использующие множители Лагранжа, для решения экстремальных задач с ограничениями типа равен- ства.—ЖВМ и МФ, 1970, 10, № 5, 1098—1108. 2. О скорости сходимосги метода штрафных функций.—ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 1, 3—11. Поляк Б. Т., Третьяков Н. В. 1. Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 1, 34—46. Понтрягин Л. С., Болтянский В.Г.,ГамкрелидзеР.В., Ми ще н к о Е. Ф. 1. Математическая теория оптимальных процессов.—М.: Физмат- газ, 1961. Пропой А. И. 1. О принципе максимума для дискретных систем управления. — Автоматика и телемеханика, 1965, № 7, 1177—1187. 2. Элементы теории оптимальных дискретных процессов.—М.: Наука, 1973. ЛИТЕРАТУРА 429 Пшеничный Б. Н. 1. Об одном алгоритме решения нелинейной задачи оптимального управления.—ЖВМ и МФ, 1965, 5, № 2, 236—241. 2. Метод Ньютона для решения систем равенств и неравенств. — Матем. заметки, 1970, 8, № 5, 635—640. 3. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.—М.: Наука, 1980. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. 1. Численные методы в экстремальных задачах.—М.: Наука, 1975. РаздольскийА. Р. 1. Схема решения задачи нелинейного программирования при уни- модальной целевой функции.—Изв. АН СССР. Сер. Техничес- кая кибернетика, 1973, № 4. Разумихин Б. С. 1. Физические модели и методы теории равновесия в программи- ровании и экономике.—М.: Наука, 1975. Рейнболдт В. (Rheinboldt W.) 1. Methods for solving systems of nonlinear equations.—Philadel- phia: Soc. Ind. Appl. Math., 1974. Розен Дж. (Rosen J.) 1. The gradient proiection method for nonlinear programming. — J. Soc. Ind. Appl., 1961, 9, № 4, 514—532. Рокафеллар P. (Rockafellar R. Т.) 1. Выпуклый анализ.—М.: Мир, 1973. 2. A dual approach to solving nonlinear programming problems by unconstrained optimization.—Math. Prog. 1973, 5, 354—373. 3. Augmented Lagrange miltiplier functions and duality in noncon- vex programming.—SIAM J. Control, 1974, 12, № 2, 268—285. Рыбашов М. В. 1. Метод дифференциальных уравнений в задаче отыскания экстре- мума функций с помощью аналоговых вычислительных машин.— Автоматика и телемеханика, 1969, № 5, 181—194. 2. Непрерывные алгоритмы продолжения решения конечных урав- нений, зависящих от параметров.—Автоматика и телемеханика, 1975, № 4, 11—18. Скалкина М. А. 1. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений.—ПММ, 1955, 19, 3,287—294. С к а ри н В. Д. 1. О методе штрафных функций для задач нелинейного програм- мирования.—ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 5, 1186-1199. Смольяков Э. Р. 1. Принцип максимума для задач с фазовыми ограничениями.— В кн.: Исследование операций.—М.: ВЦ АН СССР, 1971, вып. 2, 136-155. С о мае С. (Thomas S.) 1. Sequential estimation techniques for Quasi-Newton algorithms. — Cornell Univ., 1975, TR 75—227. Спедикато E. (Spedicato E.) 1. Quasi-Newton methods for nonlinear unconstrained minimization: a review.—In: Toward global optimisation 2/Ed. L. Dixon—Am- sterdam: North-Holl., 1978, 191—207. 430 ЛИТЕРАТУРА 2. Computational expirience with Quasi-Newton algorithms for mi- nimisation problems of moderately large size.—In: Toward glo- bal optimisation 2/Ed. L. Dixon—Amsterdam: North-Holl., 1978, 209—213. Спедикато Е., Гринстадт Дж. (Spedicato E., Greenstadt J.) 1. On some classes of variationally derived Quasi-Newton method;) for systems of nonlinear algebraic equations. — Numer. Math., 1978, 29, № 4, 363—380. Стоер Дж. (Stoer J.) 1. Einffinhrung in die Numerische Mathematik.—Berlin: Springer, 1976. 2. On the relation between quadratic termination and convergence properties of minimization algorithms. — Theory Numer. Math., 1977. 28, № 3, 343—366. С т р о н г и н Р. Г. 1. Численные методы в многоэкстремальных задачах.—М.: Наука, 1978. Табак Д., Куо Б. 1. Оптимальное управление и математическое программирование.— М.: Наука, 1975. Тихонов А. Н. 1. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые пара- метры при производных.—Матем. сб., 1952, 31, № 3, 576— 586. Торнхейм Л. (Tornheim L.) 1. Convergence of multipoint iterative methods.—J. Assoc. Comput. Mash., 1964, 11, № 2, 210—220. Третьяков Н. В. 1. Метод штрафных оценок для задач выпуклого программирова- ния.—Экономика и математические методы, 1972, 8, №5,740— 751. Уилсон Р. (Wilson R.) 1. A simplicial algorithm for concave programming—Boston: Harvard Univ., 1963. Ульм С. Ю. 1. Обобщение метода Стеффенсена для решения нелинейных опе- раторных уравнений.—ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 6, 1093—1097. 2. Об обобщенных разделенных разностях.—Изв. АН ЭССР, Сер. физ.-мат. наук, 1967, 16, № !, 13—26. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. 1. Вычислительные методы линейной алгебры.—М.: Физматгиз, 1960. Фан К., Гликсберг И., Г оффм а н A. (Fan К., Glicksberg I., Hofiman A.) 1. Systems of inequalities involving convex functions.—Proc. Amer. Math. Soc., 1957, 8, 617—622. Федоренко Р. П. 1. Приближенное решение задач оптимального управления.--М Наука, 1978. Фиакко А., Ма к-К о р м и к Г. 1. Нелинейное программирование. Методы последовательной безу- словной минимизации.—М.: Мир, 1972. ЛИТЕРАТУРА 431 Ф и хт е н гол ь ц Г. М. 1. Курс дифференциального и интегрального исчисления.—М.: Наука, 1959, т. II. Флетчер Р. (Fletcher R.) 1. A new approach to variable metric algorithms.—Сотр. J., 1970, 13, 317—322. Флетчер Р., ПауэллМ. (Fletcher R., Powell M.) 1. A rapidly convergent descent method for minimization.—Сотр. J., 1963, 6, № 2, 163—168. Франк М., Вольф Ф. (Frank M., Wolf P.) 1. An algorithm for quadratic programming.—Nav. Res. Log. Quart., 1956, 3, 95—110. Фуджи С., Фуджимото X., Оно М. (Fujii S., Fujimoto H., Опо М.) 1. Shifting method for constrained optimal control problems.—Bull. JSME, 1977, 20, № 140, 176—182. ХаархофП., БаесДж. (Haarhoff P., Buyes J.) 1. A new method for the optimization of a nonlinear function sub- ject to nonlinear constraints.—Сотр. J., 1970, 13, № 2, 171— 177. Халанай А., Векслер Д. 1. Качественная теория импульсных систем.—М.: Мир, 1971. Х алкин X. (Halkin Н.) 1. A maximum principle of the Pontryagin type for systems desc- ribed by nonlinear difference equations.—SIAM J. Control, 1966, 4, № 1. X а м а л а М. (Hamala M.) 1. Quasibarriar method for convex programming.—Abstracts IX Int. Symp. Math. Prog.—Budapest: Bolyay math. soc., 1976, 110— 111. Х а н С. (Han S.) 1. Superlinearly convergent variable metric algorithms for general nonlinear programming problems.—Math. Prog., 1976, 11, № 3, 263—281. 2. A globally convergent method for nonlinear programming.—J. Optim. Theory Appl., 1977, 22, № 3, 297—309. Хан С., Мангасарян О. (Han S., Mangasarian О.) 1. Exact penalty functions in nonlinear programming.—Math. Prog., 1979, 17, 251—269. Хасельгров С. (Haselgrove С.) 1. The solution of nonlinear equations with two-point boundary conditions.—Сотр. J., 1961, 4, № 3, 255—259. Хестенс M. (Hestenes M.) 1. Multiplier and gradient methods.—J. Opt. Theory Appl., 1969, 4, № 5, 303—320. Чараламбос К. (Charalambous С.) 1. A lower bound for the controlling parameters of the exact penalty functions.—Math. Prog., 1978, 15, 278—290. Чеботарев Н. Г. 1. Об одном критерии минимакса.—ДАН СССР, 1943, 39, 373— 376 (см. также Собр. соч., т. 2, Изд-во АН СССР, 1949). 432 ЛИТЕРАТУРА Ч е н ц о в И. П. 1. О применении градиентных методов к решению некоторых раз- рывных задач оптимального управления.—Кибернетика 1976 № 1, 87—91. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. 1. Вариационные задачи механики и управления.—М.: Наука, 1973. Ч и г и р ь С. А. 1. Об игровой задаче о долихобрахистохроне.—ПММ, 1976, 40, № 6, 1003—1013. Шаманский В. Е. 1. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ,—Киев: Наукова думка, 1966. 2. Об одной модификации метода Ньютона.—Укр. матем. ж., 1967, 19, 133—138. Шатровский Л. И. 1. Об одном численном методе решения задачи оптимального управ- ления.—ЖВМ и МФ, 1962, 2, № 3, 488—490. Шенно Д. (Shanno D.) 1. Conditioning of Quasi-Newton methods for function minimiza- tion.—Math. Сотр., 1970, 24, 647—656. Шенно Д., Фу К. (Shanno D., Phua К.) 1. Numerical comparison of several variable metric algorithms.— J. Opt. Theory Appl., 1978, 25, № 4, 507—518. Шепилов М. А. 1. Непрерывные аналоги метода штрафов для задач выпуклого программирования.—Экономика и математические методы, 1975, 11, № 1, 130—141. Шор Н. 3. 1. Методы минимизации недифференцируемых функций и их при- ложения.—Киев: Наукова думка, 1979. Шуллер Г. (Shuller G.) 1. On the order of convergence of certain Quasi-Newton methods.— Numer. Math. 1974, 23, 181—192. Э н е е в Т. М. 1. О применении градиентного метода в задачах теории оптималь- ного управления.—Космические исследования, 1966, 4, № 5, 651—669. Эрроу К. Дж., Гурвиц Л., Удзава X. 1. Исследования по линейному и нелинейному программированию.— М.: ИЛ, 1962. Яковлев В. М. 1. О дискретном принципе максимума.—Проблемы кибернетики, 1978, вып. 34, 247—257.