м. м. постников АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1973 5. Тривекторы . .................... 1 6. Векторное и смешанное произведения ....:...... 1 § 7. Линейные операторы .................. 1 1. Отображения и преобразования ............. 1 2. Кольцо линейных операторов .............. 1 3. Описание линейных операторов ............. 1 4. Обратимые линейные операторы ............. 1 5. Операторы, действующие по равенству координат ...... 1 6. Обратимые линейные операторы и ориентации ....... 1 7. Изометричные операторы ................ 1 8. Свойства изометричных операторов ............ 1 Глава 2. Метод координат .................. 1 § I*. Координаты па прямой, в. плоскости и в пространстве . . '. . . 1. Аффинные координаты ................. 2. Замена аффинных координат ........ ...... 3. Деление отрезка в данном отношении ........... 4. Прямоугольные координаты ............... 5. Полярные, сферические и цилиндрические координаты .... 6. Однородные координаты . ............... § 2. Уравнения линий и поверхностей .............. 1. Задание линий и поверхностей уравнениями .....;.. 2. Алгебраические линии . ................ 3. Параметрические уравнения линий и поверхностей ....'.. § 3. Координатно-аксиоматическое построение геометрии ...... 1. Основные положения аксиоматического метода ....... 2. Аксиоматика евклидовой геометрии ............] 3. Аксиоматика аффинной геометрии ............ 4. Афинная геометрия над полем комплексных чисел ...... 5. Вещественно-комплексная геометрия . .......... Дополнение. Аксиоматика Гильберта .......... Глава 3. Линии и поверхности первого порядка .......... § I*. Прямая на плоскости .................. '1. Прямая как линия первого порядка ........... 2. Параметрические и канонические уравнения прямой ..... 3. В.заимное расположение прямых на плоскости ........ 4. Полуплоскости, на которые прямая разбивает плоскость .... 5. Прямая на евклидовой плоскости ........... 1 . § 2*. Плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . • . . » . 1. Плоскость как поверхность первого порядка ........ 2. Параметрические уравнения плоскости ........... 3. Взаимное расположение плоскостей в пространстве ...... 4. Полупространства, на которые плоскость разбивает пространство 5. Плоскость в евклидовом пространстве ........... § З*. Прямая в пространстве ................. 1. Прямая в аффинном пространстве ... . . . . . . . » . 2. Взаимное расположение прямых и плоскостей ........ 3. Прямая в евклидовом пространстве ........,>. 4. Расстояние между двумя прямыми в пространстве . . . , i . Глава 4. Геометрии прямых, плоскостей и окружностей ....... § 1. Геометрия прямых на плоскости . . . . . . . . . , . . , . I*. Пучки прямых . . . . . . . . . . . . . . • . . » . 2. Расширенная плоскость ..,...........>. 3. Полнота и непротиворечивость аксиом геометрии расширенной плоскости ..................... 4. Координаты на расширенной плоскости ... ....... 5. Проективная плоскость ................ 6. Интерпретации проективной геометрии и их применения . . . 4 7. Конфигурационная геометрия . . ............ Дополнение. Трилинейные координаты ......... § 2. Геометрия плоскостей в пространстве ............ I*. Пучки плоскостей . . ; . . . . . . . . . . . . . . . 2*. Связки плоскостей .................. 3. Расширенное пространство ............... 4. Проективное пространство ............... Дополнение. О геометрии прямых в пространстве ..... § 3. Геометрия окружностей на плоскости ............ 1. Степень точки относительно окружности .......... 2. Связки окружностей . . . , . . . . . . . . . , . . . 3. Пучки окружностей .................. 4. Пучки как пересечения связок .............. 5. Прямые как окружности ................ 6. Окружности на вещественно-комплексной плоскости ..... Дополнение. Геометрии параболической и гиперболической связок ...................... Глава 5. Элементарная теория линий и поверхностей второго порядка . § I*. Линии второго порядка ................. 1. Параболы ...................... 2. Эллипсы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Гиперболы . ..................... 4. Уравнения эллипса, параболы и гиперболы в полярных коорди- натах ....................... § 2. Некоторые дополнительные свойства линий второго порядка . . . • 1. Эллипс, парабола и гипербола как конические сечения . . . . • 2. Взаимное расположение конических сечений и прямых . . . . • 3. Прямые, касающиеся конических сечений .......... 4. Семейства софокусных эллипсов и гипербол ......... 5. Диаметры конических сечений ............... 6. Теоремы Аполлония . . . . . ,,. . . . . . . . . . . . . § З*. Поверхности второго порядка ................ 1. Эллипсоиды . ..................... 2. Двуполостные гиперболоиды . .............. 3. Однополостные гиперболоиды . . , . . . . . . . . . . . , 4. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида . . . 5. Гиперболические параболоиды ............... 6. Эллиптические параболоиды . . . . . . . . . . . . . . 7. Конусы второго порядка ................. 8. Цилиндры второго порядка ................ Глава 6. Общая теория линий второго порядка .....,....' § I*. Классификация линий второго порядка . . . , . . . . . . . 1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости ....... 2. Инварианты уравнений линий вторбго порядка. . . . . . . ! 3. Определение вида линии второго порядка по инвариантам ее уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема един- ственности . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . i 5. Центры линий второго порядка . . . . . . . . . . . . . , 6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка . . . . . . . , 7. Приведение уравнений линий второго порядка к простейшему виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 8. Главные направления и диаметры линий второго порядка . . . ! Дополнение. Классификация поверхностей второго порядка . \ § 2. Проективная теория линий второго порядка . . . . . . . . . \ 1. Линии второго порядка на аффинно-проективной и проективной плоскостях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 2. Пересечение прямой и линии второго порядка . . . . . . . . \ 3. Поляры и полюсы .................. Дополнение. Поляры в пространстве ......... 4. Теорема Безу . ...........••••..•• Дополнение. Дифференциально-геометрическое истолкование кратности точки пересечения .............. 3. Геометрия линий второго порядка ............. 1. Пучки линий второго порядка .............. 2. Описание пучков линий второго порядка ......... Дополнение. Еще раз о пучках окружностей ...... 3. Линии второго порядка, проходящие через пять точек .... Дополнение. Поверхности второго порядка, проходящие че- рез девять точек ................... 4. Теорема Штурма .................. 5. Теорема Паскаля ................... 6. Квадратичные пучки прямых .............. 7. Фокусы линий второго порядка ............. Глава 7. Геометрические преобразования ............ § 1. Аффинные, проективные и ортогональные преобразования .... 1. Аффинные преобразования .......... ^ . . • . 1. Линейный оператор, индуцированный аффинным преобразованием 3. Общий вид афинных преобразований ........... 633 637 644 644 4. Проективные преобразования . ............. 5. Ортогональные преобразования ............. § 2. Разложение аффинных и ортогональных преобразований в компо- зицию более простых . ................ 1. Аффинные и ортогональные преобразования прямой ..... 2. Разложение аффинных преобразований плоскости и пространства 647 3. Разложение ортогональных преобразований плоскости .... 652 4. Разложение ортогональных преобразований пространства . . . 658 о. Представление движений пространства с помощью кватернионов 665 § 3. Конформные преобразования ....... 1. Инверсия относительно окружности .... 2. Пополненная плоскость . ....... 3. Свойства конформных преобразований . . 4. Конформные преобразования и ориентации . 5. Конформная геометрия . ....... § 4. Группы и геометрии .......... -Л, Геометрии с данной группой автоморфизмов 2. Простейшие геометрии аффинного типа . . 3. Геометрии Галилея и Пуансо ...... 4. Геометрия Минковского . ....... 5. Комплексная евклидова геометрия .... 6. Унитарная геометрия ......... 7. Геометрия Пуанкаре — Лобачевского . . . Михаил Михайлович Постников АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ М„ 1973 г., 752 стр. с илл. Редактор ф. И. Кизнер Технический редактор В. Н. Кондакова Корректоры О. А. Бутусова, Т. А. Панькова Сдано в набор 20/IV 1973 г. Подписано к печати 11/Х 1973 г. Бумага 60X90'/ie, тип. № 2. фиэ. печ. л. 47. Условн. печ. л. 47. Уч.-изд. л. 46,07. Тираж 34 500 экз. Цена книги 1 р. 82 к. Заказ № 624. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой. Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по_делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Измайловский проспект, 29