Н. Н. ЛЕБЕДЕВ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ИЗДАНИИ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА • 1963 . ЛЕНИНГРАД ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .......................... 8 Глава I. Гамма-функция ..................... 11 !1.1. Определение гамма-функции ................ 11 1.2. Функциональные соотношения для гамма-функции ...... 13 1.3. Логарифмическая производная гамма-функции ........ 16 1.4. Асимптотическое представление гамма-функции для боль- ших [ г\.......................... 20 § 1.5. Определенные интегралы, связанные с гамма-функцией ... 25 § 1.6. Сведения о таблицах гамма-функции ............ 26 Упражнения ........................... 27 Глава II. Интеграл вероятности и связанные с ним функции . . 30 § 2.1. Интеграл вероятности и его основные свойства ....... 30 § 2.2. Асимптотическое представление для интеграла вероятности при больших значениях г \ ................. 32 § 2.3. Интеграл вероятности от мнимого аргумента. Функция Р(г) 33 § 2.4. Интеграл вероятности от аргумента х V'i . Интегралы Френеля 35 § 2.5. Приложение к теории вероятностей .............. 38 § 2.6. Приложение к теории теплопроводности. Остывание плоской поверхности нагретого тела ................ 39 § 2.7. Приложение к теории колебаний. Поперечные колебания бесконечного стержня под действием внезапно приложенной сосредоточенной силы ................... 41 § 2.8. Сведения о таблицах интеграла вероятности и родственных ему функций ........................ 43 Упражнения ........................... 45 Глава III. Интегральная показательная функция и родственные ей специальные функции ................ 47 § 3.1. Интегральная показательная функция и ее основные свойства 47 § 3.2. Асимптотическое представление интегральной показательной функции для | г \ -> оэ ................... 50 § 3.3. Интегральная показательная функция с мнимым аргументом. Интегральные синус и косинус ............... 51 § 3.4. Интегральный логарифм .................. 55 § 3.5. Приложение к радиотехнике. Излучение линейного полувол- нового вибратора ...................... 57 § 3.6. Сведения о таблицах интегральной показательной функции и других родственных ей функций .............. 60 Упражнения ........................... 61 I* Глава IV. Ортогональные полиномы ............... § 4.1. Общие замечания об ортогональных полиномах ...... § 4.2. Полиномы Лежандра. Определение и производящая функция § 4.3. Рекуррентные соотношения и дифференциальное уравнение для полиномов Лежандра ................. § 4.4. Интегральные представления для полиномов Лежандра . . . § 4.5. Ортогональность полиномов Лежандра ........... § 4.6. Асимптотическое представление полиномов Лежандра для больших значений индекса п ................ § 4.7. Разложение функций в ряды по полиномам Лежандра . . . § 4.8. Примеры разложений функций в ряды по полиномам Ле- жандра .......................... § 4.9. Полиномы Эрмита. Определение и производящая функция . § 4.10. Рекуррентные соотношения и дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита .................. § 4.11. Интегральные представления для полиномов Эрмита . . . . § 4.12. Интегральные уравнения для полиномов Эрмита ...... § 4.13. Ортогональность полиномов Эрмита ............ § 4.14. Асимптотическое представление полиномов Эрмита для боль- ших значений индекса п .................. § 4.15. Разложение функций в ряды по полиномам Эрмита . . . . § 4.16. Примеры разложений функций в ряды по полиномам Эрмита § 4.17. Полиномы Лагерра. Определение и производящая функция § 4.18. Рекуррентные соотношения и дифференциальное уравнение для полиномов Лагерра .................. § 4.19. Интегральные представления для полиномов Лагерра. Связь между полиномами Лагерра и Эрмита ........... § 4.20. Интегральное уравнение для полиномов Лагерра ...... § 4.21. Ортогональность полиномов Лагерра ............ § 4.22. Асимптотическое представление полиномов Лагерра для больших значений индекса п ................ § 4.23. Разложение функций в ряды по полиномам Лагерра . . . . § 4.24. Примеры разложений функций в ряды по полиномам Лагерра § 4.25. Приложение к теории распространения электромагнитных волн вдоль длинных линий. Отражение от конца линии, замкнутой на сосредоточенную индуктивность ....... § 4.26. Сведения о таблицах ортогональных полиномов ...... Упражнения ........................... Глава V. Цилиндрические функции ............... § 5.1. Введение ......................... § 5.2. Функции Бесселя с целым положительным значком .... § 5.3. Функции Бесселя с произвольным значком ......... § 5.4. Общее представление цилиндрических функций. Функции Бесселя второго рода ................... § 5.5. Разложение в ряд функции Бесселя второго рода с целым значком .......................... § 5.6. Функции Бесселя третьего рода .............. S 5.7. Функции Бесселя мнимого аргумента ........... { 5.8. Цилиндрические функции с индексом, равным половине не- четного целого числа ................... § 5.9. Вронскиан системы решений уравнения Бесселя ...... § 5.10. Интегральные представления для цилиндрических функций ОГЛАВЛЕНИЕ § 5.11. Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента ............ § 5.12. Теоремы сложения для цилиндрических функций ..... § 5.13. Нули цилиндрических функций ............. § 5.14. Разложение произвольных функций в ряды и интегралы пс цилиндрическим функциям ................ § 5.15. Определенные интегралы, содержащие цилиндрические функции ......................... § 5.16. Цилиндрические функции с вещественными положительнымр аргументом и значком .................. § 5.17. Функции Эйри ...................... § 5.18. Сведения о таблицах цилиндрических функций ...... Упражнения .......................... Глава VI. Приложение цилиндрических функций к задачам мате- матической физики .................. § 6.1. Введение ........................ § 6.2. Разделение переменных в уравнении А я -= —, -,.„ -(- , , ди , + и „- 4 c» в цилиндрической системе координат .... § 6.3. Применение метода частных решений к краевой задаче для цилиндра. Пример из теории теплопроводности ...... § 6.4. Краевая задача для области, ограниченной двумя параллель- ными плоскостями .................... § 6.5. Краевая задача для клиновидной области ........ § 6.6. Пример из электростатики. .Поле точечного заряда, поме- щенного вблизи края тонкой проводящей плоскости . . . § 6.7. Приложение к теории теплопроводности. Задача об охлажде- нии цилиндра ...................... § 6.8. Приложение к теории дифракции ............ Глава VII. Сферические функции ............... § 7.1. Введение ........................ § 7.2. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение я его ре- шение с помощью рядов ................ § 7.3. Сферические функции Лежандра ............ § 7.4. Интегральные представления для сферических функций . . § 7.5. Функциональные соотношения для сферических функций . § 7.6. Представление сферических функций с помощью рядов § 7.7. Вронскиан системы решений уравнения Лежандра .... § 7.8. Рекуррентные соотношения ............... § 7.9. Сферические функции с целым положительным индексом. Связь с полиномами Лежандра ............. § 7.10. Сферические функции с индексом, равным половине нечет- ного целого числа .................... § 7.11. Асимптотические представления сферических функций при больших значениях | м [ .................. § 7.12. Присоединенные сферические функции ........... § 7.13. Сведения о таблицах сферических функций ....... Упражнения ........................... Глава VIII. Приложение сферических функций к задачам мате- матической физики .................. § 8.1. Введение ......................... § 8.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в сферической системе координат ..................... § 8.3. Применение метода частных решений к краевой задаче для сферической области ................... § 8.4. Пример из электростатики. Поле точечного заряда, поме- щенного внутри полой проводящей сферы ......... § 8.5. Применение метода частных решений к краевой задаче для конической области .................... § 8.6. Разделение переменных в уравнении Лапласа в вырожден- ных эллипсоидальных координатах ............. § 8.7. Краевые задачи для эллипсоидов вращения ........ § 8.8. Пример из математической физики. Притяжение вытянутого однородного эллипсоида .................. § 8.9. Краевая задача для гиперболоида вращения ........ § 8.10. Тороидальные координаты ................. § 8.11. Краевая задача для тора. Пример из электростатики .... § 8.12. Краевая задача для области, ограниченной двумя пересекаю- щимися сферами ..................... § 8.13. Биполярные координаты и их приложения к краевым зада- чам математической физики ................ § 8.14. Приложение сферических функций к интегрированию уравне- ния Гельмгольца ..................... Глава IX. Гипергеометрические функции ............ § 9.1. Гипергеометрический ряд и его аналитическое продолжение § 9.2. Элементарные свойства гипергеометрической функции . . . § 9.3. Предел суммы гипергеометрического ряда при г -> 1 и /?(^-»-р)>0 ..................... § 9.4. Гипергеометрическая функция, рассматриваемая как функ- ция своих параметров ................... § 9.5. Функциональные соотношения для гипергеометрической функ- ции ............................ § 9.6. Специальные функциональные соотношения ......... § 9.7. Формулы для аналитического продолжения гипергеометриче- ской функции в особых случаях .............. § 9.8. Представления различных функций через гипергеометриче- скую функцию ....................... § 9.9. Вырожденная гипергеометрическая функция ........ § 9.10. Дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеоме- трической функции и его интегралы. Вырожденная гипер- геометрическая функция второго рода ........... § 9.11. Интегральные представления для вырожденных -ипергеоме- трических функций .................... § 912. Асимптотические представления вырожденных гипергеоме- трических функций для больших значений аргумента .... § 9.13. Представления различных функций через вырожденные ги- пергеометрические функции ................ § 9.14. Обобщенные гипергеометрические функции ........ § 9.15. Сведения о таблицах гипергеометрических функций .... Упражнения .......................... Глава X. Функции параболического цилиндра. ......... § 10.1. Разделение переменных в уравнении Лапласа в параболиче- ских координатах ..........••.•••••••• § 10.2. Функции Эрмита первого рода ............... § 10.3. Функциональные соотношения для функций Эрмита .... § 10.4. Рекуррентные соотношения для функций Эрмита ...... § 10.5. Интегральные представления для функций Эрмита ..... § 10.6. Асимптотические представления функций Эрмита для боль- ших значений аргумента .........••••••••• § 10.7. Приложение к математической физике. Краевая задача для параболического цилиндра ............••••• § 10.8. Приложение к квантовой механике ............. Упражнения ...........-•••••••••••••••• Литература ..............••••••••••••• ЛИТЕРАТУРА Адамов А. А. [1] Вестник Петерб. политехн. ин-та, 5, 127—143, 1906. Б а р я с (Barnes Е. W.). [1] Quart. J., 39, 97—204, 1908. [2] Proc. London Math. Soc. (2), 6, 141—177, 1908. Бейли (Bailey W. N.). [1] Generalized hypergeometric series, Cambridge Tracts, No 32, Cam- bridge, 1935. Бейтман (Bateman H.). [1] Partial Differential Equations of Mathematical Physics, N. Y., 1944. [2] Математическая теория распространения электромагнитных волн, Физматгиз, 1958. Бурунова H. М. [1] Справочник по математическим таблицам, Дополнение № 1, Изд. АН СССР, 1959. Бухгольц (Buchholz H.). [1] Die Konfluente hypergeometrische Funktion, Mit besonderer Beriick- sichtigung ihrer Anwendungen, Berlin, Springer, 1953. В а т с о H (Watson Q. N). [1] Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949. [2] Cambridge Phil. Trans., 22, 290, 1918. Гаусс (Gauss С. Р.). [1] Qes. Werke, III, 123—163. [2] Oes. Werke, III, 207—229. Гобсон (Hobson E. W.). [1] Теория сферических и эллипсоидальных функций, ИЛ, 1952. [2J Phil. Trans. of the Royal Soc., 187 (A), 443—531, 1896. Градштейн И. С. и РыжикИ.М. [1] Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Физматгиз, 1962. Гринберг Г. А. [1] Избранные вопросы математической теории электрических и магнит- ных явлений. Изд. АН СССР, 1948. Грэй и Метьюз (Gray A. and Mathews О. В.). [1] Функции Бесселя и их приложения к физике и механике, ИЛ, 1949 Г у р с a (Goursat Ё). [1] Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (2), 10, 3—142, 1881. Джексон (Jackson D.). [1] Ряды Фурье и ортогональные полиномы, ИЛ, 1948. Джефрис Г. иДжефрис Б. (Jeffreys H. and Jeffreys В.). [1] Methods of Mathematical Physics, Cambridge, 1950. Диксон и Феррар (Dixon A. and Ferrar F.). [1] Quart. J. Math., 4, 193, 1933. [2] Quart. J. Math., 4, 297, 1933. Диткин В. А. и Кузнецов П. И. [1J Справочник по операционному исчислению, Гостехиздат, 1951. 356 ЛИТЕРАТУРА Зоммерфельд (Somrnerfeld A.). [1] Волновая механика, ГТТИ, 1933. Ингам (Ingham A. E.). [1] Распределение простых чисел, ОНТИ, 1936. Клейн (Klein F.). [1] Vorlesungen tiber die Hypergeometrlsche Funktion, Leipzig, 1833. Kopayc (Korous J.). [1] Rozpravy Ceske Acad., (2), 37, № 40, 28, № 11, 34, 1928. Кошляков Н. С. [1] Mess. of Math., 55, 152—160, 1926. К о ш л я к о в Н. С., Г л и н е р Э. Б., С м и р н о в М. М. [1] Основные дифференциальные уравнения математической физики, Физ- матгиз, 1962. Кузьмин Р. О. [1] Бесселевы функции, ОНТИ, 1955. Куммер (Kummer Е. Е.). [1] J. flir Math, 15, 39—83, 127—172, 1836. Курант и Гильберт (Courant R. und Hllbert D.). [1] Методы математической физики, т. I. Гостехиздат, 1952. Лаврентьев М. А. и ШабатБ.В. ' [1] Методы теории функций комплексного переменного, Гостехиздат, 1951. Лангер (Langer R. Е.). [1] Trans. Am. Math. Soc., 33 (1), 23—64, 1931. [2] Trans. Am. Math. Soc., 34 (3), 447—480, 1932. Лебедев А. В. и Федорова P.M. [1] Справочник по математическим таблицам, Изд. АН СССР, 1956. Лебедев Н. Н. 1] Прикладная математика и механика, 13, вып. 5, 465—476, 1949. 2] ДАН СССР, 52, № 8, 661—664, 1946. 3] Прикладная математика и механика, 11, 251—258, 1947. 4] Некоторые интегральные преобразования математической физики, Автореф. дисс., Изд. ЛГУ, 1951. Лебедев Н. Н., СкальскаяИ.П., УфляндЯ.С. [1] Сборник задач по математической физике, ГИТТЛ, 1955. ' Левин В. И. и ГросбергЮ.И. [1] Дифференциальные уравнения математической физики, Гостехиздат, 1951. Л е н з е (Lense J.). [1] Kugelfunktionen, Leipzig, 1950. Лёш и Шоблик (Losch F. und Schoblik F.). [1] Die Fakultat (Oamma-funktion) und verwandte Funktionen, Leipzig, 1951. Лурье А. И. [1] Операционное исчисление, Гостехиздат, 1950. Магнус и Оберхеттингер (Magnus W. und Oberhettinger F.). [1] Formein und Satze fur die speziellen Funktionen der mathematischen Physlk, Berlin, 1948. Мак Роберт (Mac Robert Т. М.). [1] Spherical Harmonics. An elementary treatise on harmonic functions with applications, N. Y., Dover, 1948. Нильсен (Nielsen N.). [1] Handbuch der Theorie der Oamma-funktion, Leipzig, 1906. [2] Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten, Leip- zig, 1906. ЛИТВРАТУРА 357 Норлунд (Horlund N. Е.) [1] Sur les fonctlons hypergeometrlques d'ordre superleur, Mat. Fvs Skr Dan. Vid. Selsk, 1, № 2, 1956. з • • Оберхеттингер (Oberhettinger F.). [1] Tabellen zur Fourier Transformation, Berlin, 1957. Рнекстыньш Э.Я. [1] Ученые зап. Латв. гос. ун-та., 8, № 2, 67—72, 1956. Р и м а н (Riemann О. F. В.). [1] Oes. Math. Werke, S. 67—84. Ровен (Robin L.). [1] Fonctlons spheriques de Legendre et fonctions spheroldales, t. I, II, III Paris, 1957. С а н с о н е (Sansone О.). [1] Orthogonal Functions, Interscience Publishers, N. Y.—London 1959 Cere (Szego 0.). [1] Ортогональные многочлены, Физматгиз, 1962. Смирнов В. И. [1] Курс высшей математики, т. III, ч. 2, Гостехиздат, 1951. [2] Курс высшей математики, т. IV, Гостехиздат, 1951. С н е д д о н (Sneddon I.). [1] Преобразования Фурье, ИЛ, 1955. С но у (Snow С.). [1] Hypergeometric and Legendre Functions with Applications to Integ Eguations of Potential Theory, Washington, 1952. Coнин Н. Я. [1] Math. Ann., 16, 1880. Стеклов В. А. [1] Изв. Харьковского матем. об-ва, (2), 10, 97—200, 1907. Стрэттон (Stratton J. A.). [1] Теория электромагнетизма, Гостехиздат, 1948. Тихонов А.Н. и Самарский А. А. [1] Уравнения математической физики, Гостехиздат, 1951. Т р и к о м и (Tricomi F.). [1] Zeitschr. fur angew. Math. und Phys., 6 (4), 257—273, 1955. [2] Ponctions hypergeometrigues confluentes, Paris, Gauthier-Villars, I960. Уиттекер и Ватсон (Whittaker Е. Т. and Watson 0. N.). [1] Курс современного анализа, т. I, II, ГТТИ, 1934. Уиттекер и Робинсон (Whittaker Е. Т. and Robinson О.). [1] Математическая обработка результатов наблюдений, ГТТИ, 1933. Успенский И. В. [1] Ann. Math., (2), 28, 593—619, 1927. Фихтенгольц Г.М. [1] Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II, Гостех- издат, 1951. [2] Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III, Гостех- издат, 1949. Флетчер (Fletcher А.). [1] A Tables of Complete Elliptic Integrals. Phil. Mag., 36, 517, 1940. Флетчер, Миллер и Розенхед (Pletcher A., Miller J. С. Р. and Rosenhead L.). [1] An Index of Mathematical Tables, N. Y., 1946. Фок В. А. [1] ДАН СССР, 39, 279—283, 1943. [2] Таблицы функций Эйри, Изд. НИИ-108, 1946. [3] Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности, Изд. АН СССР. 1946, 358 ЛИТЕРАТУРА Франк иМизес (Prank Ph. and Mises R.). [1] Дифференциальные и интегральные уравнения математической (Ьи- зики, ОНТИ, 1937. • Хил л (Hill E.). [1] Proc. Nat. Acad. of Sci., 12, 261—269, 348—352, 1926. Черри (Cherry Т. М.). [1] J. Lond. Math. Soc., 24, 121—130, 1949. [2] Proc. Lond. Math. Soc., 51, 14—45, 1949. [3] Trans. Amer. Math. Soc., 86, 224—257, 1950. Шохат, Хил л и Уолш (Shohat J., Hill E., Walsh J. L.). [1] A Bibliography on Orthogonal Polinomials. Bulletin of the National Research Council, No 103, Washington, 1940. Э р д е и и (Erdelyi A.). [1] Асимптотические разложения, Физматгиз, 1962. Эрдейи, Магнус, Оберхеттингер, Трикоми (Erdelyi A., Mag- nus W., Oberhettinger P., Tricomi F.). [1] Higher Transcendental Functions, vol. I, II, HI, McOraw-Hill Book Company, Inc. N. Y. — Toronto — London, 1953. [2] Tables of Integral Transforms, vol. I, II, McQraw-Hill Book Company Inc., N. Y. — Toronto — London, 1954. Николай Николаевич'Лебедев Специальные функции и их приложения Редактор Г. П. Акало» Техн. редактор А. А. Лукьянов Корректор Р. Н. Лужкова Сдано в набор 5/Х 1Уо2 г. Подписано к печати 8/VI -1963 г. Т-0151». Бумага 60х90'/„. Физ. печ. л. 22,5. Усл. печ. л. 22,5. Уч.-иэд. л. 22,-М. Тираж 9500 экз. Цена книги 1 р. 31 к. Заказ № 736 I осударственное издательство физико-математической литературы. Москва, В-71. Ленинский проспект, 15. Типография № 2 им. Евг. СоколоаоЭ У1-1Б и ПП Лен^овнархоза. .Ленинград. Измайловский пр.. 29.