ББК 32.81 К 70 УДК 681.5.01 :51 Рецензент доктор технических наук, профессор Л. Т.Кузин Коршунов Ю. М. К70 Математические основы кибернетики: Учеб. по- собие для вузов.—3-е изд., перераб. и доп.—М.: Энергоатомиздат, 1987.—496с.: ил. при исследовании оптимизации сложных систем Изложены основы математического аппарата, используемого и описании кибернетических моделей и методов По сравнению с изданием 1980 г. ULit Ими.юцпп \..ivJJ..ii±Ju> ^..^.^-.. -_„ ,^ в книгу добавлены новые разделы по векторным производным, много- мерному нормальному распределению и гауссовским марковским слу- чайным процессам, матричным моделям систем, фильтрации сигна- лов и др. Для студентов, обучающихся по специальности «Автоматика и телемеханика». К 1502000000-033 051(01)-87 106-87 ББК 32.81 © «Энергия», 1980 Энергоатомиэдат, 1987 с изменениями ПРЕДИСЛОВИЕ Вопросы кибернетики как науки об общих закономер- ностях процессов управления в системах различной физи- ческой природы [1—6] занимают в последние годы все больше и больше места в дисциплинах, связанных с изуче- нием управляемых систем. Чрезвычайно актуальными эти вопросы являются для специальности «Автоматика и теле- механика», в которой изучению различных аспектов авто- матического управления посвящен целый ряд дисциплин учебного плана. В таких дисциплинах, как «Основы кибернетики», «Ме- тоды оптимизации», «Оптимальные и адаптивные системы», «Управление сложными системами», широко применяют методы оптимизации основанные на использовании линей- ного, нелинейного и динамического программирования, теории игр, теории статистических решений, методы пла- нирования эксперимента, методы теории расписаний и массового обслуживания. В основе всех этих методов ле- жат общие математические понятия теорий множеств и отношений, графов, многомерных пространств и линейных преобразований, теории вероятностей и математической статистики. Общность математических основ для многочис- ленных методов оптимизации позволяет изложить их весь- ма компактно и с единых позиций, что в значительной степени облегчает изучение перечисленных дисциплин и установление связи между ними. В третье издание книги (второе вышло в 1980 г.) вне- сены некоторые изменения: переработана глава, посвящен- ная теории вероятностей и методам математической ста- тистики; рассмотрены многомерные распределения вероят- ностей, случайные процессы, модели линейных динамиче- ских систем; введены разделы, знакомящие с теориями оценивания, фильтрации и основными понятиями киберне- 1ики; увеличено число примеров, иллюстрирующих теоре- тический материал. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Винер Н. Кибернетика. М.: Советское радио, 1968. 2. Управление. Информация. Интеллект/ Под ред. А. И. Берга, JB. В. Бирюкова, Е. С. Геллера, Г. Н. Поварова. М.: Мысль, 1976. 3. Бир С. Кибернетика и управление производством. М.: Физмат- Гиэ, I960. 4. Эшби У. Р. Введение в кибернетику. М.: Изд-во иностр. лит., )'1959. 5. Кузин Л. Т. Основы кибернетики. Т. 1. Математические основы кибернетики. М.: Энергия, 1973. 6. Кузин Л. Т. Основы кибернетики. Т. 2. Основы кибернетических моделей. М.: Энергия, 1979. 7. Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. М.: Энергия, 1972. 8. Гуд Г. X., Макол Р. Э. Системотехника. Введение в проектиро- вание больших систем. М.: Советское радио, 1962. 9. Шихакович Ю. А. Введение в современную математику. М.: Наука, 1965. \ 10. Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная матема- тика для инженера. М.: Энергия, 1980. 11. Берж К. Теория графов и ее применение. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 12. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968. 13. Форд Л. Р., Фалкерсон Д. Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966. 14. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 15. Харкевич А. А. Борьба с помехами. М.: Наука, 1965. 16. Вопросы статистической теории распознавания/ Ю. Л. Бара- баш, Б. В. Барский и др. М.: Советское радио, 1967. 17. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1978. 18. Гильберт А. Как работать с матрицами. М.: Статистика, 1981. 19. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Наука, 1964. 20. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964. 21. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968. 22. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967. 23. Смирнов В. Н., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероят- ностей я математической статистики. М.: Наука, 1965. 24. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. 25. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964. 26. Налимов В. В., Чернова Н. А. Статистические методы плани- рования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965.. 480 ' , 27. Налимов В. В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971. 28. Финни Д. Введение в теорию планирования эксперимента, М.; Наука, 1970. 29. Вознесенский В. А. Статистические методы планирования экспе- римента в технико-экономических исследованиях. М.: Финансы и ста- тистика, 1981. 30. Основы автоматического управления/ Под ред. В. С. Пугачева. М.; Физматгиз, 1963. 31. Вентцель Е. С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972. 32. Чермен У., Акоф Р., Арнов Л. Введение в исследование опе- раций. М.: Наука, 1968. 33. Болтянский В. Г. Математика и оптимальное управление. М.: Знание, 1968. 34. Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических систе- мах. М.: Наука, 1968. 35. Кобринский Н. Е., Майминас Н. Е., Смирнов А. Д. Экономи- ческая кибернетика. М.: Экономика, 1982. 36. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. ; 37. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 38. Карр Ч., Хоув Ч. Количественные методы принятия решений в управлении и экономике. М.: Мир, 1966. 39. Хедли Д. Нелинейное и динамическое программирование, М.: Мир, 1967. 40. Краснощеков П. С. Математические модели исследования опе- раций. М.: Знание, 1984. 41. Корбут А. А., Финкельштейн Ю. Ю. Дискретное программиро- вание. М.: Наука, 1969. 42. Дюбин Г. Н., Суздаль В. Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1984. ; 43. Карпелевич Ф. И., Садовский Л. Е. Элементы линейной алгеб- ры и линейного программирования. М.: Физматгиз, 1963. 44. Юдин Д. Б., Голыцтейн Е. Г. Задачи и методы линейного программирования. М.: Советское радио, 1964. 45. Данциг Д. Линейное программирование, его применения и обоб- щения. М.: Прогресс, 1966. 46. Математика и кибернетика в экономике. Словарь-справочник. М.: Экономика, 1975. 47. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М.: Советское радио, 1974. 48. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. М.: Наука, 1967. 49. Первозванский А. А. Поиск. М.: Наука, 1970. 50. Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1958. 51. Понтрягин Л. С., Болтянский Р. В., Гамкрелидзе Р. В., Ми- щенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Нау- ка, 1983. 52. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управ- ления. М.: Наука, 1969. 53. Розоноэр Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в тео- рии оптимальных систем// Автоматика и телемеханика, 1959, № 10—12. t. 20. С. 1320—1334, 1441—1458. 1561—1578. 54. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 31-804 481 56. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. М.: Нау- ка, 1964. 56. Веитцель Е. С. Элементы динамического программирования. М.: Наука, 1964. 57. Блекуэлл Д., Гиршик М. А. Теория игр и статистических ре- шений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 58. Мак-Кинси Д. Введение в теорию игр. М.: Физматгиз, 1960. 59. Нейман Д., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое по- ведение. М.: Наука, 1970. 60. Чернов Г., Мозес Л. Элементарная теория статистических ре- шений. М.: Советское радио, 1962. 61. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи, Т. 1. М.: Советское радио, 1961. 62. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз, 1960. 63. Башаринов А. Е., Флейшман Б. С. Методы статистического последовательного анализа и их приложения. М.: Советское радио, 1962. 64. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении.. М.: Связь, 1976. 65. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления. М.: Мир, 1973. 66. Медич Дж. Статистически оптимальные оценки и управление. М.: Энергия, 1973. 67. Коршунов Ю. М., Бобиков А. И. Цифровые сглаживающие и преобразующие системы. М.: Энергия, 1969. 68.. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управ- ления. Оптимизация, оценка и управление. М.; Мир, 1972. 69. Справочник по системотехнике/ Под ред. Р, Макола. М.: Со- ветское радио, 19.70. 70. Рыжик И. М., Градштейн И, С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.—Л.: Гостехиэдат, 1951. 71. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. М.: Связь, 1966. ' 72. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных- си> стем. М.: Наука, 1971. ' 73. Танаев В. С., Шкурба В. В. Введение в теорию расписаний. M.i Наука, 1975. 74. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. М.: Мир, 1971. 75. Бигель Дж. Управление производством. М.: Мир, 1973. 76. Риггс Дж. Производственные системы. М.: Прогресс, 1972. 77. Бурков В. И., Ловецкий С. Е. Комбинаторика и развитие тех- ники. М.: Знание, 1968. 78; Мудров В. И. Задача о коммивояжере. М.: Знание, 1969. 79. Розенберг В. Я., Прохоров А. И. Что такое теория массового обслуживания. М.: Советское радио, 1962. 80. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 81. Полляк Ю. Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М.: Советское радио, 1971. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгоритм 19 Алфавит 15, 100 — двоичный 16 Анализ регрессионный 225 Антирефлективность 63 Антисимметричность 63 Вайеса формула 158 Базис 284 Брахистохрона 61 Вариация 325 Вектор 45, 108 — математических ожиданий 180 — матрицы собственный 128 Вектерные производные 137 Вектор транспонированный 109 Векторы ортогональные 117 Вероятность 149 — апостериорная 153, 158, 402 — априорная 153 — условная (безусловная) 155 Внутренняя точка множества 139 Возмущение 254 Выборка случайная 205, 478 Выборочное среднее 210 Гауссовский 200 Генерирующее соотношение 237 Гиперплоскость, 140 ---——•"•—• ГиперНЯоскость опорная 146 — разделительная 146 Гиперсфера 138 Градиент 314 Граница множества 33, 139 Граф 67 — биохроматический 75 — наименьшей длины 82 — неориентированный 70 — полный 456 — частичный 68 марковский процесс График сетевой 441, 446 — соответствия 49 — функции 56 Графы изоморфные 72 Действие байесовское 983 Дерево 72 — игры 349 Диаграмма переходов 193 — Эйлера—Венна 40 Дисперсия 169 Длина пути 68 Дополнение множества 4в — события 149 Дуга 67 — насыщенная 86 Зависимость линейная 119 Задача вариационная 323 — двухальтернативная 397, 403, 405, 416 — детерминированная 262, 268 Задача коммивояжера 454 — линейного программирования 263, 282 — — — двойственная 300 — на составление расписания 440 — одношаговая 240, 261 — оптимизация классическая 262, ... 280 — оценивания 418 — стохастическая 264, 268 — транспортная 89, 287 Задачи комбинаторные 441, 454 Закон больших чисел 207 Значение матрицы собственное 130 Значимость статистическая 220 Игра 344 — с нулевой суммой 346 — с полной ^(неполной) инфор- мацией 349 ЗГ 483 Игра справедливая 354 — с седловой точкой 354 — статистическая 380, 384 — — без эксперимента 385 — — с единичным эксперимен- том 393 — — с последовательными выбор- ками 409 Интеграл вероятностей 164 Интенсивность отказов 191 Интервал доверительный 215 Инцидентность 69 Канал обслуживания 468 — связи 14 Кибернетика 9 Класс 105 — информации 349 Ковариация 178 Кодирование 15 Коды помехоустойчивые 102 Комбинация выпуклая 142 — линейная 142 Композиция соответствий 50, 53 Компоненты вектора 109 — связности 71 Контраст определяющий 238 Контур 69 — гамильтонов 456 Кортеж 45 Коши неравенство 115 Коэффициент корреляции 179 Коэффициент регрессии 225 Критерий 19 — качества управления 61, 245, 273 — согласия 220 Линия регрессии 177 Марковская цепь 192 Марковский процесс 199, 340 Математическое ожидание 165, 167, 176 Матрица 117 — единичная 124 — игры 347 — инциденций 69 — квадратная 117, 123 Матрица ковариационная 181 — коммутирующая 122 — невырожденная 126 — нулевая 124 — обратная 126 484 Матрица переходов 193 — потерь 382 . — симметрическая 132 — смежности 69 — транспонированная 122 Медиана 105, 161 Метод ветвей и границ 462 — Гомори 305 — максимального правдоподобия 212 — Монте-Карло 460 — наименьших квадратов 104, 178, 227 Метрика 98 Механизм случайного выбора 344, 356 Минимум глобальный (абсолют- ный) 274 — локальный (относительный) 274 — слабый (сильный) 274 Многогранник выпуклый 147 Множества в общем положении 37 — счетные (несчетные) 30 Множество 24 —— бесконечное 25, 30 — внутренней (внешней) устойчи- вости 76 —— выпуклое 143 — замкнутое 139 — конечное 25, 139 — ограниченное 139 Множество открытое 139 — пустое 26 — универсальное 39 — упорядоченное 44, 65 Множитель Лагранжа 281 Мода 161 Модель 19 Моменты случайной величины 168 Надежность 191 Невязка 226 Неравенства Чебышева 205 Несимметричность 63 Норма 112 — вектора 115 Область определения (значений) соответствия 49 — остановки 412 Оболочка выпуклая 144 Образ 52, 105 Образец 106 Обратная связь 19 Объединение множеств 35 — событий 148 Объект управления 252 Ограничения на процесс управ- ления 246, 327 Окрестность 139 Оператор 61, 271 Определитель квадратной матри- цы 124 Ортогональные векторы (функ- 'ции) 117 Отказ 191 Отклонение среднеквадратичное 170 Отношение 62 — доминирования 65 — порядка 64, 73 — правдоподобия 403 — строгого порядка 65 — эквивалентности 63, 74 Отображение 51 Отрезок 142 Оценка 208 — байесовская 419 — наименьших квадратов 421 — несмещенная 209 — состоятельная 209 — точечная 214 — эффективная 209 Пари 168 Переменная выходная 255 — состояния 252 Переменные базисные (свобод- ные) 284 Пересечение множеств 36 Петля 69 План последовательной выборки 409 Планирование сетевое 441 — эксперимента 230 Плотность вероятности 160 — — условная 175 Поверхность отклика 224 Подграф 68 Подмножество 27 Подпространство инвариантное 128 — линейное 111 Полный факторный эксперимент 232 Полупространство 141 Поток 84 — наибольший 86 — полный 86 Преобразование 271, 411 — единичное 119 — линейное 118 — нулевое 119 — обратное 125 — подобия 131 Принцип байесовский 390, 399, 419 — максимального правдоподобия 212, 403 — максимума 328 — мйнимакса 388, 399 — равных возможностей 152 Программа 438 Программирование динамическое 328, 331 — линейное 263, 282 — квадратичное 311 — математическое 263 — нелинейное 263, 306 — целочисленное 264, 304 Проекция кортежа 45 — множества 48 Произведение множеств прямое 46 Производственная функция 247 Пространство 96 — банахово 112 Пространство выборок 394 — евклидово 99, 114 — исходов эксперимента 148 — линейное 107 — — нормированное 112 — метрическое 98 — решений 253, 261 — сообщений 101 — состояний природы 254, 381 — факторное 224 Процесс гауссовский марковский 200 — многошаговый 185, 241, 271, 329 — независимых испытаний 186 — случайный 185 — с независимыми значениями 186 — эргодический 196 Прямая 142 — связь 18 Путь 68 —гамильтонов 456 485 Путь кратчайший 76, 80 — критический 449 Работа критическая 446 — фиктивная 447 Равенство множеств 27 Равновесие статистическое 471 Разбиение множества 41 Разность множеств 38 Разрез транспортной сети 85 Ранг матрицы 127 Распределение вероятностей 150, 159 — — апостериорное 402 — — биномиальное 188 — — нормальное 163 — — Пуассона 189 — — равномерное 162 — — совместное 173 — — Стьюдента 218 — — условное 394 — - X2 211 — — экспоненциальное 191 Расстояние 96 Ребро 70 Регрессия 177 Резервы времени 444 Рефлективность 63 Решение базисное 285 Риск ожидаемый 399 Связность графа 71 Сеть транспортная 84 Сигнал 14 Симметричность 63 Симплекс-метод 293 Система кибернетическая 11 — множеств 36 — счисления 16 Ситуация конфликтная 265, 343 Скалярное произведение векторов Скачок единичный 59 Сложение по модулю 2, 102 Случайная величина 150 — — двумерная 173 — — непрерывная 158 — — центрированная 169 Событие 148 События независимые 157 — несовместные 148 Сообщение 14, 100 Соответствие 48 — взаимно-однозначное 28 486 Соответствие обратное 50 Состояние природы 241, 254 Среднее арифметическое 104 Срок директивный 440, 446 Статистик 381 Статистика математическая 203 Стационарные точки функции 136, 274 Степень вершины графа 71 — множества 47 Стратегия 345 — байесовская 390 — доминирующая 371 — допустимая 386 — минимаксная 359, 365, 388 — оптимальная 362 — полезная 371 — смешанная 355, 383 — чистая 355, 382 Структура 96 Сужение функции 57 Тождества де-Моргана 44 Точка множества крайняя 146 — стационарная 136, 274 Транзитивность 63 Упорядочение работ 443 Управление 12, 18, 239, 255 — адаптивное 268 — допустимое 255 — конечным состоянием 268 — оптимальное 246, 268, 332 Уравнение матрицы характеристи- ческое 129 — регрессии 225 Уравнения размножения н гибели 471 Факторы 223 Фильтрация 425 Фильтр Калмана 434 — с конечной памятью 428 — с растущей памятью 431 — экспоненциальный 435 Форма квадратичная 135 — — положительно (отрицатель- но) определенная 135 —— линейная 283 Функционал 60, 324 Функция 54 — выпуклая 277 — импульсная 59 — Лагранжа 281 Функция обратная 57 — потерь 347, 357, 382 — правдоподобия 212 Функция распределения вероятно- стей 159 — решающая 396 — риска 397, 413 — с дискретным временем 60 — с непрерывным временем 58 — целевая 261, 266, 273 — штрафа 267, 306 Ход личный (случайный), 344 Цена игры 352, 362 — теневая 300 Центральная предельная теорема 207 Цепь 70 — марковская 187, 192 Цикл 70 Частота 151 Числа матрицы характеристиче- ские 128 Число внутренней (внешней) ус- тойчивости 76 — степеней свободы эксперимента 229 — хроматическое 75 — циклическое 75 Шар 138 Эксперимент 381, 394 — активный 225, 239 — единичный 394 — пассивный 225 Экспоненциальное сглаживание 436 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . Указатель обозначений Глава 1. Введение ....... 1.1. Предмет кибернетики . 1.2. Передача и кодирование информация 1.3. Понятие об управляемой системе . 1.4. Сложные системы ..... Задачи к гл. 1 ........ Г л а в а 2. Основные понятия теории множеств 2.1. Конечные и бесконечные множества ...... 2.1.1. Основные определения . . ...... 2.1.2. Понятие подмножества , . ...... 2.1.3. Взаимно однозначное соответствие между мно- жествами .. . .......... 2.1.4. Счетные и несчетные множества ..... 2.1.5. Верхняя и нижняя границы множества .... 2.2. Операции над множествами ........ 2.2.1. Предварительные замечания .,.,... 2.2.2. Объединение множеств . . ...... 2.2.3. Пересечение множеств ........ 2.2.4. Разность множеств . . . ...... 2.2.5. Универсальное множество . . ..... 2.2.6. Дополнение множества ........ 2.2.7. Разбиение множества . . ...... 2.2.8. Тождества алгебры множеств , ..... 2.3. Упорядочение элементов и прямое произведение множеств 2.3.1. Упорядоченное множество ; . ..... 2.3.2. Прямое произведение множеств ...... 2.3.3. Проекция множества . ....... 2.4. Соответствия . . . ......... 2.4.1. Определение соответствия . . ..... 2.4.2. Обратное соответствие . ....... 2.4.3. Композиция соответствий . ...... 2.5. Отображения и функции . ........ 2.5.1. Отображения и их свойства ....... 2.5.2. Отображения, заданные на одном множестве . 2.5.3. Функция ............ 2.5.4. Обратная функция . ........ 2.5.5. Функция времени . . ....... 2.5.6. Понятие функционала . ....... 2.5.7. Понятие оператора , , , . . . . .'. 2i6. Отношения ...... 2.6.1. Свойства отношении . 2.6.2. Отношенне эквивалентности 2.6.3. Отношение порядка . 2.6.4. Отношение доминирования . Задачи к гл. 2 ....... Глава 3. Основы теории графов 3.1. Основные определения теории графов ..... 3.1.1. Теоретико-множественное определение графа . • 3.1.2. Неориентированные графы . . ..... 3.1.3. Изоморфизм графов . . ....... 3.1.4. Отношение порядка и отношение эквивалентности на графе .............. 3.1.5. Характеристики графов ........ 3.2. Задача о кратчайшем пути ......... 3.2.1. Постановка задачи . ........ 3.2.2. Нахождение кратчайшего пути в графе с ребрами единичной длины ........... 3.2.3. Нахождение кратчайшего пути в графе с ребрами произвольной длины .......... 3.2.4. Построение графа наименьшей длины .... 3.3. Транспортные сети . .......... 3.3.1. Основные понятия . . ....... 3.3.2. Задача о наибольшем потоке ...... 3.3.3. Транспортная задача . . ...... Глава 4. Элементы линейной алгебры и выпуклые множества 4.1. Метрические пространства и расстояния . ... 4.1.1. Понятие о расстоянии . ....,., 4.1.2. Определение метрического пространства 4.1.3. Примеры метрических пространств ..... 4.2. Использование метрических пространств в некоторых задачах кибернетики . . . . . . . . . 4.2.1. Пространство сообщений . ...... 4.2.2. Понятие о помехоустойчивых кодах .... 4.2.3. Сглаживание ошибок в экспериментальных данных 4.2.4. Задача распознавания образов ...... 4.3. Линейные пространства ......... 4.3.1. Определение линейного пространства .... 4.3.2. Действия над векторами . . ..... 4.3.3. Линейная зависимость и независимость векторов 4.3.4. Линейное подпространство . ...... 4.3.5. Размерность линейного пространства .... 4.4. Евклидовы пространства . ....,>., 4.4.1. Линейное нормированное пространство 4.4.2. Скалярное произведение векторов ..... 4.4.3. Угол между векторами. Ортогональные векторы 4.5. Матрицы и линейные преобразования ...... 4.5.1. Понятие матрицы . . ....... 4.5.2. Линейное преобразование . . . . . . . 4.5.3. Операции над матрицами . ...... 4.5.4. Транспонированная матрица . ...... 4.6. Квадратные матрицы . ......... 4.6.1. Особенности квадратных матриц. Нулевая и еди- ничная матрицы . . ......... 4.6.2. Определитель квадратной матрицы ..... 4.6.3. Обратная матрица и решение систем линейных уравнений , . . .......... 4.6.4. Инвариантное подпространство. Собственные век- торы и собственные значения матриц . . . 4.6.5. Диагонализация матриц . ....... 4.7. Симметрические матрицы и квадратичные формы . 4.7.1. Собственные векторы и собственные значения ве- щественных симметрических матриц ...... 4.7.2. Диагонализация симметрических матриц . 4.7.3. Квадратичные формы . , ...... 4.7.4. Использование квадратичных форм при отыскании экстремумов функций многих переменных .... 4.7.5. Векторные производные ........ 4.8. Выпуклые множества . ,.....,.; 4.8.1. Понятие гиперсферы . : : : .... 4.8.2. Ограниченные и конечные множества .... 4.8.3 Открытые и замкнутые множества ..... 4.8.4. Гиперплоскости и полупространства .... 4.8.5. Прямая и отрезок. Средневзвешенное по элемен- там множества ............ 4.8.6. Выпуклые множества . ....... 4.8.7. Выпуклая оболочка конечного множества . 4.8.8. Разделительная и опорная гиперплоскости . Задачи к гл. 4 .............. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики . . . ........... 5.1. Понятие вероятности . . ........ 5.1.1. События и пространство исходов эксперимента 5.1.2. Понятие вероятности . . ...... 5.1.3. Вероятность события . . ...... 5.1.4. Способы приписывания вероятностей исходам эксперимента . . ........ 5.1.5. Вычисление вероятностей сложных событий 5.2. Условные вероятности 5.2.1. Понятие условной вероятности ...... 5.2.2. Формула полной вероятности , ..... 5.2.3. Определение апостериорных вероятностей. Форму- ла Байеса ............. 5.3. Непрерывные случайные величины и их распределения 5.3.1. Понятие непрерывной случайной величины . . , 5.3.2. Функция распределения вероятностей .... 5.3.3. Плотность вероятности . . ...... 5.3.4. Равномерное распределение вероятностей . 5.3.5. Гауссовское (нормальное) распределение вероят- ностей . . . ........... 5.4. Числовые характеристики случайных величин . . , 5.4.1. Понятие о числовых характеристиках .... 5.4.2. Математическое ожидание случайной величины 5.4.3. Математическое ожидание функции от случайной величины , , ,.....,,... 490 5.4.4. Моменты. Дисперсия. Среднеквадратичное откло- нение . . . ........ 5.6. Двумерные случайные величины . ...... 5.5.1. Понятие двумерной случайной величины 5.5.2. Распределение вероятностей для непрерывных дву- мерных случайных величин . . ..... 5.5.3. Математические ожидания для двумерной случай-' ной величины ............ 5.5.4. Регрессия и корреляция . . . . . '. . '. 5.6. Многомерное гауссовское распределение вероятностей 5.6.1. Вектор математических ожиданий и ковариацион- ная матрица ............ 5.6.2. Гауссовское распределение вероятностей случайно- го вектора ............. 5.6.3. Нормальное распределение вероятностей двух случайных векторов . . ........ 5.6.4. Условное нормальное распределение вероятностей 5.7. Случайные процессы с дискретным временем .... 5.7.1. Понятие о случайных процессах с дискретным вре- менем . . ............ 5.7.2. Процесс независимых испытаний с двумя исхода- ми. Биномиальное распределение вероятностей . 5.7.3. Распределение Пуассона ........ 5.7.4. Экспоненциальное распределение. Понятие о на- дежности . . . ...,..,... 5.7.5. Марковские цепи .......... 5.7.6. Гауссовские марковские процессы ..... 5.7.7. Примеры гауссовских марковских процессов 5.8. Элементы математической статистики . . . . . . ' 5.8.1. Предмет математической статистики .... 5.8.2. Понятие случайной выборки ....... 5.8.3. Предельные теоремы теории вероятностей . 5.8.4. Критерии статистических оценок ..... 5.8.5. Несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии ............. 5.8.6. Нахождение оценок по методу максимального правдоподобия . . .,.....,.. 5.8.7. Оценка параметров по методу доверительных интервалов . . . .......,., 5.8.8. Проверка статистических гипотез. Понятие о кри- терии согласия . . .......... 5.8.9. Оценка влияния некоторого фактора на характер случайной величины . ......... 5.8.10. Проверка гипотезы о дисперсиях. Понятие о F- распределении . . ,.,..,.... 5.9. Регрессионный анализ и планирование эксперимента 5.9.1. Задача регрессионного анализа . ..... 5.9.2. Определение коэффициентов регрессии по данным пассивного эксперимента . . ....... 5.9.3. Понятие о планировании эксперимента .... 5.9.4. Полный факторный эксперимент ..... 5.9.5. Понятие дробных реплик . ...... Задачи к гл. 5 .............. Глава 6. Структура и математическое описание задач опти- мального управления . . . . . ... . 6.1. Основные черты процесса управления . . . . . . G.i.i. Понятие об управлении ........ 6.1.2. Виды задач управления . . . . . . . , 6.1.3. Понятие об исследовании операций . . . . . 6.2. Оптимизация процесса управления . . . . . . 6.2.1. Критерий качества управления ...... 6.2.2. Ограничения, накладываемые на процесс управ- ления . . . ........... 6.2.3. Постановка задачи оптимального управления . 6.3. Математическое описание объекта управления . 6.3.1. Производственно-экономические модели 6.3.2. Структура объекта управления ...... 6.3.3. Уравнения движения объекта управления . 6.3.4. Линейные модели динамических систем .... 6.3.5. Дискретные линейные системы . . , . . . 6.4. Классификация задач оптимального управления . . . 6.4.1. Одношаговые задачи принятия решения 6.4.2. Динамические задачи оптимизации управления 6.4.3. Управление конечным состоянием ..... 6.5. Многошаговые процессы управления . . . . . . 6.5.1. Поведение динамической системы как функция на- чального состояния ..........'. 6:5.2. Представление динамического процесса в виде последовательности преобразований . ...... i 6.5.3. Многошаговый процесс управления . .... 6.5.4. Критерий качества управления при многошаговом процессе . . . ........... 6.6. Основные понятия теории оптимизации ..... 6.6.1. Общая постановка задачи оптимизации . 6.6.2. Ограничения на допустимое множество . . . 6.6.3. Выпуклые и вогнутые функции ...... 6.6.4. Свойства выпуклых (вогнутых) функций . 6.6.5. Классическая задача оптимизации . . . . 6.6.6. Функция Лагранжа . . ....... Глава 7. Линейное и нелинейное программирование , 7.1. Постановка задачи линейного программирования . , 7.1.1. Основные определения . ....... 7.1.2. Примеры задач линейного программирования . 7.1.3. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования . . ......... 7.2. Решение задачи линейного программирования 7.2.1. Алгебра симплекс-метода . ...... 7.2.2. Табличный метод нахождения оптимального ре- шения . . . ........... 7.2.3. Получение начального допустимого базисного ре- шения . . . ........... 7.2.4. Двойственная задача линейного программирования 7.2.5. Понятие о целочисленном программировании . 7.3. Нелинейное программирование ........ ; 7.3.1. Постановка задачи . . . ...... 7.3.2. Метод штрафных функций . ....,, 492 7.3.3. Ограничения типа равенств и неотрицательность переменных . . ........... 7.3.4. Условия Куна—Таккера . . . . . . . . 7.3.5. Квадратичное программирование . .... 7.4. Итеративные методы поиска оптимума ..... 7.4.1. Постановка задачи ......... 7.4.2. Градиентный метод . . ....... 7.4.3. Метод наискорейшего спуска (подъема) ... 7.4.4. Алгоритм Ньютона . ........ 7.4.5. Учет ограничений и многоэкстремальные задачи ^Задачи к гл. 7 .............. Глава 8. Динамическое программирование , . с « . , 8.1. Оптимальное управление как вариационная задача . 8.1.1. Математическая формулировка задачи оптималь- ного управления . . ......... 8.1.2. Трудности, связанные с решением вариационной задачи , . . ........... 8.2. Метод динамического программирования , . » . . 8.2.1. Дискретная форма вариационной задачи . 8.2.2. Рекуррентное соотношение- метода динамического программирования . . ......... 8.2.3. Вычислительные аспекты динамического програм- мирования . . . ..... ,,,... 8.2.4. Управление конечным состоянием . 8.2.5. Рекуррентное соотношение для марковских про- цессов . . . ........... Задачи к гл. 8 . . ........ Глава 9. Теория игр . . .......... 9.1. Предмет теории игр . . ........ 9.1.1. Игра как модель конфликтной ситуации . 9.1.2. Понятие стратегии . , ....... 9.1.3. Формальное описание игры двух лиц . . . . 9.1.4. Верхняя и нижняя цены игры . . . . . 9.2. Цены и оптимальные стратегии игр . ..... 9.2.1. Игра с седловой точкой ........ 9.2.2. Чистые и смешанные стратегии ...... 9.2.3. Функция потерь при использовании смешанных стратегий . . . .......... 9.2.4. Верхняя и нижняя цены игры при использовании смешанных стратегий .......... 9.3. Основная теорема теории игр ........ 9.3.1. 5-игра ............. 9.3.2. Нижняя и верхняя цены игры в 5-игре 9.3.3. Теорема о минимаксе . . ...... 9.3.4. Геометрическая иллюстрация принципа минимакса 9.4. Решение игр , . .......... 9.4.1. Доминирующие и полезные стратегии .... 9.4.2. Нахождение оптимальных стратегий . . . 9.4.3. Геометрическая иллюстрация принципа минимакса в игре 2Хга . , . . . . . . . ... Задачи к гл. 9 . г .......... Глава 10. Теория статистических решений (статистические игры) 10.1. Структура статистических игр ....-• s 10.1 Л. Стратегические я статистические игры . 10.1.2. Пространство стратегий природы ..... 10.1.3. Пространство стратегий статистика и функция потерь .........iii.» 10.1.4. Примеры статистических игр . ..... 10.2. Статистические игры без эксперимента ..... 10.2.1. Представление статистической игры без экспери- мента в виде 5-игры . ......... 10.2.2. Допустимые стратегии в статистических играх 10.2.3. Принципы выбора стратегий в статистических играх ............... 10.2.4. Геометрическая трактовка байесовских стратегий 10.3. Статистические игры с проведением единичного экспе- римента .............. 10.3.1. Постановка задачи ......... 10.3.2. Пространство выборок . . ...... 10.3.3. Решающая функция ......... 10.3.4. Функция риска . ......... 10.3.5. Принципы выбора стратегии в играх с единич- ным экспериментом ........... 10.4. Использование апостериорных вероятностей 10.4.1. Определение числа стратегий в играх с прове дением эксперимента . . ....... 10.4.2. Апостериорное распределение вероятностей . 10.4.3. Принцип максимального правдоподобия . 10.4.4. Определение байесовского решения на основе использования апостериорных вероятностей . , . . 10.4.5. Двухальтернативная задача . ..... И0.5, Статистические игры с последовательными выборками 10.5.1. Предварительные замечания . ..... 10.5.2. Использование апостериорного распределения вероятностей для определения последовательных байе- совских правил . . . . . . . . 1 г -"'.* 10.5.3. Правило последовательных выборок ! . . , 10.5.4. Функция риска 'ЩпГ оптимальном последователь- дом пр15вйлё .'.".......,.. 10.5.5. Определение областей остановки для двухаль- тернативной задачи при усеченной последовательной выборке . . ... ....,,.. 10.6. Оценивание параметров и фильтрация , , . . . 10.6.1. Задача оценки параметров , ..... 10.6.2. Оценки метода наименьших квадратов . 10.6.3. Анализ точности оценки метода наименьших квадратов . . . ..<«,,.... 10.6.4. Применение метода наименьших квадратов для оценки параметров нелинейных объектов .... 10.6.5. Постановка задачи фильтрации ..... 10.6.6. Фильтрация по методу наименьших квадратов 10.6.7. Представление вектора оценок с помощью весо- вых коэффициентов . . ........ 10.6.8. Фильтры с растущей памятью ..... 10.6.9. Экспоненциальные фильтры , , , . , . 494 Задачи к гл. 10 . Глава 11. Задачи теории расписаний и массового обслуживания 11.1. Предмет теории расписаний . ....... 11.1.1. Общие сведения . . ....... 11.1.2. Постановка задачи теории расписаний . 11.1.3. Виды задач на составление расписаний . 11.2. Сетевое планирование и управление ...... 11.2.1. Понятие сетевого графика. Составление перечня работ . . ............ 11.2.2. Упорядочение (ранжировка) работ .... 11.2.3. Определение резервов времени ..... 11.2.4. Построение сетевого графика . . . , . , 11.2.5. Коррекция распределения ресурсов .... 11.2.6. Оптимизация срока выполнения комплекса работ 11.2.7. Вероятностные методы сетевого планирования 11.3. Комбинаторные задачи на составление расписания . 11.3.1. Понятие о комбинаторных задачах .... 11.3.2. Задача коммивояжера ........ 11.3.3. Представление задачи коммивояжера в виде графа . . ............ 11.4. Примеры задач, сводящихся к задаче коммивояжера 11.4.1. Задача Гамильтона ........ 11.4.2. Транспортные задачи . . ...... 11.4.3. Оптимизация программирования для ЭВМ . 11.4.4. Определение оптимальной последовательности обработки детален на двух станках ...... 11.5. Методы решения задачи коммивояжера . ... 11.5.1. Применение метода Монте-Карло ..... 11.5.2. Сведение к задаче целочисленного линейного программирования . . ......... 11.5.3. Метод ветвей и границ . . ..... 11.5.4. Применение метода ветвей и границ к решению задачи коммивояжера .......... 11.6. Задачи массового обслуживания ....... 11.6.1. Основные понятия. Термидология .... 11.6.2. Дифференциальные уравнения системы массово- го обслуживания . . ......... 11.6.3. Система массового обслуживания с отказами 11.6.4. Одноканальная система обслуживания с ожи- данием . . ............ 11.6.5. Многоканальная система обслуживания с ожи- данием .............. i! 6.6. Статистическое моделирование систем массового обслуживания ............ Список литературы . ............ Предметный указатель . . .......... УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Юрий Михайлович Коршунов МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КИБЕРНЕТИКИ Редактор издательства В. И. Петухова Художественный редактор Т. А. Дворецкова Технический редактор Г. В. Преображенская Корректор Г. А, Полонская ИБ № 1692 Сдано в набор 25.09.86 Подписана в печать 27.11.86 Т-22Э98 Формат 84X^08^/э^ Бумага типографская № 2 Гарнитура литературная Печать высокая Усл. печ. л. 26,04 Усл. кр.-отт. 26,04 Уч.-изд. л. 27,75 Тираж 21 000 экз. Заказ 804 Цэна 1 р. 20 к. Энергоатоаиздат. 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10 Набрано в ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Крас» ного Знамени МПО «Первая Образцовая типография имени А. А. Жда- нова» Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, Валовая, 28 Отпечатано во Владимирской типографии Союзполиграфпрома при Го- сударственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7