А. И. КОСТРИКИН ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Допдщено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов университетов ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1977 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ......................... Советы читателю ....................... ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ............... Дополнительная литература ................ Глава 1. Истоки алгебры ................. § 1. Алгебра вкратце ................... § 2. Некоторые модельные задачи ............ i !. Задача о разрешимости уравнений в радикалах . . , 2. Задача о состояниях многоатомнон молекулы . . . , 3. Задача о кодировании сообщения .......... 4. Задача о нагретой пластинке ............ § 3. Системы линейных уравнений. Первые шаги ...... 1. Терминология ................... 2. Эквивалентность линейных систем .......... 3. Приведение к ступенчатому виду .......... 4. Исследование сисгемы линейных уравнений ..... 5. Отдельные замечания и примеры .......... § 4. Определители небольших порядков .......... Упражнения ..................... § 5. Множества и отображения .............. 1. Множества .................... 2. Отображения ................... Упражнения ..................... § 6. Отношения эквивалентности. Факторизация отображений 1. Бинарные отношения ................ 2. Отношение эквивалентности ............ 3. Факторизация отображений ............. 4. Упорядоченные множества ............. Упражнения ..................... § 7. Принцип математической индукции .......... § 8. Арифметика целых чисел ............... 1. Основная теорема арифметики ........... 2. НОД и Н01< в Z ................. 3. Алгоритм деления в Z ............... Упражнения ..................... Глава 2. Арифметические линейные пространства. Матрицы . § 1. Арифметические линейные пространства ........ 1. Мотивировка ................... 2. Основные определения ............... 3. Линейные комбинации. Линейная оболочка ..... 4. Линейная зависимость ............... 4 ОГЛАВЛЕНИЕ 5. Базис. Размерность ................. Упражнения ..................... § 2, Ранг матрицы .................... 1. Возвращение к уравнениям ............. 2. Ранг матрицы ................... 3. Критерий совместности ............... Упражнения ..................... § 3. Линейные отображения. Действия с матрицами ..... 1. Матрицы и отображения .............. 2. Произведение матриц ................ 3. Квадратные матрицы ................ Упражнения ..................... § 4. Пространство решений ................ 1. Решения однородной линейной системы ....... 2. Линейные многообразия. Решения неоднородной системы 3. Ранг произведения матриц ............. 4. Классы эквивалентных матриц ........... Упражнения ..................... Глава 3. Определители .................. § 1. Определители: построение и основные свойства ..... 1. Построение методом полной индукции ........ 2. Основные свойства определителей .......... Упражнения ..................... § 2. Дальнейшие свойства определителей .......... 1. Разложение определителя по любому столбцу .... 2. Свойства определителей относительно столбцов .... 3. Транспонирование определителя ........... 4. Определители специальных матриц ......... 5. К построению теории определителей ........ Упражнения ..................... § 3. Применения определителей .............. 1. Критерий невырожденности матрицы ........ 2. Вычисление ранга матрицы ............. Упражнения ..................... Глава 4. Алгебраические структуры (группы, кольца, поля) § 1. Множества с алгебраическими операциями ....... 1. Бинарные операции ................. 2. Полугруппы и моноиды .............. 3. Обобщенная ассоциативность; степени ........ 4. Обратимые элементы ................ Упражнения ..................... § 2. Группы ....................... 1. Определение и примеры .............. 2. Системы образующих ................ 3. Циклические группы ................ 4. Симметрическая и знакопеременная группы ..... Упражнения ..................... § 3. Морфизмы групп ................... 1. Изоморфизмы ................... 2. Гомоморфизмы ................... ОГЛАВЛЕНИЕ 3. Словарик. Примеры ................ 1 4. Смежные классы по подгруппе ........... 1 5. Мономорфизм S„ —> GL (я) ............. 1 Упражнения ..................... 1 § 4. Кольца и поля .................... 1 1. Определение и общие свойства колец ........] 2. Сравнения. Кольцо классов вычетов ......... 1 3. Гомоморфизмы и идеалы колец ........... 1 4. Понятие о факторгруппе и о факторкольце .....! 5. Типы колец. Поле .................] 6. Характеристика поля ...............] 7. Замечание о линейных системах .,........! Упражнения ..................... Глава 5. Комплексные числа и многочлены ......... ' § 1. Поле комплексных чисел ............... 1. Вспомогательная конструкция ........... 2. Комплексная плоскость ............... ^ 3. Геометрическое истолкование действий с комплексными числами ...................... 4. Возведение в степень и извлечение корня ...... '. 5. Теорема единственности ............... i Упражнения ..................... '. § 2. Кольцо многочленов ......,..........; 1. Многочлены от одной переменной .......... '. 1. Многочлены от многих переменных ......... '. 3. Алгоритм деления с остатком ............ '. Упражнения ..................... '. § 3. Разложение в кольце многочленов ...........: 1. Элементарные свойства делимости .......... '. 2. НОД и НОК в кольцах .............. 3. Факториальность евклидовых колец ......... 4. Неприводимые многочлены ............. Упражнения ..................... § 4. Поле отношений ................... 1'. Построение поля отношений целостного кольца .... 2. Поле рациональных дробей ............. 3. Простейшие дроби ................. Упражнения ..................... Глава 6. Корни многочленов ................ § 1. Общие свойства корней ................ 1. Корни и линейные множители ........... 2. Полиномиальные функции .............. 3. Дифференцирования кольца многочленов ...... 4. Кратные множители ................ 5. Формулы Виета .................. Упражнения ..................... § 2. Симметрические многочлены .............. 1. Кольцо симметрических многочленов ........ 2. Основная теорема о симметрических многочленах . . . 3. Метод неопределенных коэффициентов ....,.., б ОГЛАВЛЕНИЕ 4. Дискриминант многочлена ............. 5. Результант .................... Упражнения .................... § 3. Алгебраическая замкнутость поля С .......... 1. Формулировка основной теоремы .......... 2. Поле разложения многочлена ............ 3. Доказательство основной теоремы .......... § 4. Многочлены с вещественными коэффициентами . . . . , 1. Разложение на неприводимые множители в R [Л'] . , 2. Проблема локализации корней многочлена ..... 3. Устойчивые многочлены .............. Упражнения ..................... ЧАСТЬ II. ГРУППЫ. КОЛЬЦА. МОДУЛИ ........ Дополнительная литература ................ Глава 7. Группы ..................... § 1. Классические группы малых размерностей ....... 1. Общие определения ................. 2. Параметризация групп SU(2), SO (3) ........ 3. Эпиморфизм SU (2) -г SO (3) ............ 4. Геометрическое изображение группы SO (3) .... Упражнения .................... § 2. Действие групп на множествах ........... 1. Гомоморфизмы О —>S (Q) .............. 2. Орбиты и стационарные подгруппы точек ...... 3. Примеры действий групп на множествах ...... 4. Однородные пространства .,,.,.,,..... Упражнения .................... § 3. Некоторые теоретико-групповые конструкции ..... 1. Общие теоремы о гомоморфизмах групп ...... 2. Разрешимые группы ................ 3. Простые группы .................. 4. Произведения групп ................ 5. Образующие и определяющие соотношения . . , . , Упражнения .................... § 4. Теоремы Силова ................... Упражнения .................... § 5. Конечные абелевы группы .............. 1. Примарные абелевы группы ............ 2. Основная теорема о конечных абелевых группах . . Упражнения .....,..,....,....., Глава 8. Элементы теории представлений .......... § 1. Определения и примеры линейных представлений . . . , 1. Основные понятия ................. 2. Примеры линейных представлений .......... Упражнения ..................... § 2. Унитарность и приводимость .............. 1. Унитарные представления .............. 2. Полная приводимость ................ Упражнения ..,..,..,...,......., ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Конечные группы вращении .............. 1. Порядки конечных подгрупп в SO (3; ........ 2. Группы правильных многогранников ........ Упражнения ..................... § 4. Характеры линейных представлений .......... 1. Лемма Шура и ее следствие ............ 2. Характеры представлений ............. Упражнения ..................... § 5. Неприводимые представления конечных групп . . , . . 1. Число неприводимых представлений ......... 2. Степени неприводимых представлений ........ 3. Представления абелевых групп ........... 4. Представления некоторых специальных групп . . . . Упражнения ..................... § 6. Представления групп SU (2) и SO (3) . , , . . . . . . . Упражнения ..................... § 7. Тензорное произведение представлений ......... 1. Контрагредиентное представление .......... 2. Тензорное произведение представлений ........ 3. Кольцо характеров ................. 4. Инварианты линейных групп ............ Упражнения ..................... Глава 9. К теории полей, колец и модулей ......... § 1. Конечные расширения полей .............. 1. Примитивные элементы и степени расширений . . . , 2. Изоморфизм полей разложения ........... 3. Конечные поля .....,.,.,..,..... 4. Формула обращения Мёбиуса и ее применения . . . . Упражнения ..................... § 2. Отдельные результаты о кольцах ........... 1. Новые примеры факториальных колец ........ 2. Теоретико-кольцгвые конструкции .......... 3. Теоретико-числовые применения ........... Упражнения ..................... § 3. Модули ....................... 1. Первоначальные сведения о модулях ......... 2. Свободные модули ................. 3. Целые элементы кольца ,,,........... Упражнения ..................... § 4. Алгебры над полем .................. 1. Определения и примеры алгебр ........... 2. Алгебры с делением (тела) ............. 3. Групповые алгебры и модули над ними ........ 4. Неассоциативные алгебры .............. Упражнения ..................... Дополнение. Жорданова нормальная форма матриц . . . . Предметный указатель .................... ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга написана без всяких претензий на оригинальность. Ее цель—отразить в систематическом изложении реально сложив- шийся за последние годы курс алгебры, читаемый студентам меха- нико-математического факультета Московского университета. Вполне естественная эволюция стандартных программ привела к необходи- мости хотя бы частичной модернизации учебной литературы по ал- гебре. К сожалению, живая ткань лекций при письменном изложении обросла столь многочисленными деталями и так деформировалась, что невольно вспоминается ироническое высказывание Бернарда Шоу: «Учебник можно определить как книгу, непригодную для чтения. Тем, что я остался совершенно необразованным человеком, я обязан тому, что никогда не мог читать учебники. И время, которое мне полагалось тратить на чтение учебников, я тратил на чтение настоя- щих книг—книг, написанных людьми, которые действительно умеют писать, чего никогда не бывает с авторами учебников» (1933 г., Из лекции, прочитанной в Гонконге). Слабое утешение состоит в том, что Б. Шоу, мыслящий весьма парадоксальными категориями, гово- рил не о математике. Формально книга разделена на два части, которые в первом приближении отвечают курсам алгебры, читаемым соответственно в первом и третьем семестрах. В части II предполагается, что чита- тель свободно владеет теорией абстрактных векторных пространств и линейных операторов,—материалом, который изучается в курсе линейной алгебры и геометрии второго семестра. Впрочем, арифме- тические линейные пространства векторов-строк излагаются в главе 2, ряд понятий линейной алгебры определяется по ходу дела в тексте, а небольшое дополнение содержит геометрическую теорию приведе- ния матрицы к жордановой нормальной форме. Таким образом, кни- гу можно изучать независимо от других источников. Значительная роль отведена упражнениям, помещенным в конце большинства параграфов. При наличии прекрасных сборников задач по алгебре казалось неразумным делать упор на числовые расчеты, поэтому упражнения носят преимущественно теоретический характер ПРЕДИСЛОВИЕ и служат развитию основной темы. В ряде случаев на них имеются ссылки в основном тексте, но все такие упражнения снабжены под- робными указаниями к их решению. Рекомендуется в эти указания заглядывать пореже и только после настойчивых самостоятельных попыток решения. Вероятно, трудно рассчитывать на то, что весьма скромного ко- личества лекционных часов окажется достаточным, чтобы охватить содержание всей книги. Это особенно относится к части II, материал которой нельзя отнести к традиционному по своему характеру. Этот материал дает достаточно пищи интуиции, но кое-какие «деликатесы» (вроде теоремы Силова, инвариантов линейных групп, представлений группы вращении или неассоциативных алгебр) сознательно рассчи- таны на любителей в качестве основы для дополнительных занятий. По-видимому, после изучения довольно трудной главы 7 следует ориентироваться либо на элементы теории представлений (глава 8), либо на общую теорию колец, модулей, полей, частично затронутую в главе 9 (углубляться в структурные вопросы мы не имели воз- можности). Первый вариант кажется более предпочтительным не только из-за своей геометрической направленности и близости к кур- су второго семестра, но и потому, что знание основных фактов теории представлений групп весьма полезно математикам, специализи- рующимся не обязательно по алгебре. Крайне желательно идею пред- ставлений групп, выраженную в книге на незначительном конкретном материале, закрепить более содержательным спецкурсом. В качестве примерных тем можно назвать теорию Галуа; группы, порожденные отражениями, включая кристаллографические группы; представления компактных групп и т. д. С другой стороны, глава 9 с ее теоретико- числовым уклоном в большей степени отвечает существующим учеб- ным планам. Какой бы вариант ни был избран, он заложит фунда- мент для последующего изучения алгебры*). В этом месте следует четко оговорить одно обстоятельство, не столь очевидное для студента-первокурсника. Курс высшей алгебры, вопреки саоему названию, ни в коей мере не отражает всего много- образия современной алгебры. Именно поэтому книга названа введе- нием в алгебру. Еще одно назначение этого введения — быть постав- щиком понятий и результатов, необходимых в других математических курсах. Насколько важно научиться алгебраическому языку, можно понять, лишь попробовав обойтись без него в самостоятельных заня- тиях математикой. *) Небольшие списки дополнительной литературы, не претендую- щие на полноту, помещены в начале каждой части книги. 10 ПРЕДИСЛОВИИ Несмотря на свой элементарный характер, традиционный курс алгебры представляет определенные трудности для усвоения из-за на- вязываемого им формального характера мышления. Автор постоянно имел это в виду и стремился подчеркнуть связи алгебры с другими разделами математики. Достойно сожаления, что за пределами книги остались элементы теории категорий и частично упорядоченных сис- тем. Но представлялось совершенно неразумным уподоблять вводный курс конгломерату абстрактных понятий, неизвестно для чего заго- тавливаемых впрок и убивающих интерес к предмету изучения ввиду беглости изложения. Многие из мыслимых вариантов обязательного курса алгебры, ог- раниченного и направляемого стандартной программой, «проигрыва- лись» на механико-математическом факультете МГУ. Можно надеять- ся, что настоящая реализация в книжной форме одного из последних вариантов курса окажется полезной для студентов и преподавателей других вузов, а также для лиц, впервые приступающих к самостоя- тельному изучению алгебр'.. Разумеется, порядок и полнота изложе- ния в лекционном курсе материала книги будут находиться в силь- ной зависимости от конкретной обстановки и от сложившихся тради- ций преподавания. Автор многим обязан опытному коллективу преподавателей ка- федры высшей алгебры МГУ и благодарит тех, кто дал ряд полезных советов по изложению курса. Все последующие конструктивные пред- ложения и сообщения о замеченных неточностях или опечатках будут приняты с большой признательностью. Л. Костр икин Звенигород, кюль 1976 г. ЧИТАТЕЛЮ \ Согласно общему плану^ изложенному в предисловии, схема за' висимости глав имеет следующий вид: о (пунктирная стрелка указывает на слабую зависимость). Понятно, что искушенному читателю (скажем, преподавателю или студенту второго курса) будет нетрудно начинать чтение практически с любого места, естественно,—при наличии готовности обращаться время от времени к определениям в предыдущих параграфах и гла- вах. Не все новые понятия вводятся в абзацах, начинающихся словом «Определение». Подробное оглавление и предметный указатель по- могут найти нужное место в книге. Каждая глава разбита на несколько параграфов, а каждый па- раграф—на несколько пунктов с собственными названиями. Внутри параграфа теоремы, предложения, леммы, следствия имеют свою собственную нумерацию: теорема 1, теорема 2, ...', лемма I, лем- ма 1, ... С этой примитивной, но весьма наглядной и экономной нумерацией при ссылках на утверждения из другого параграфа при- ходится писать теорема \ §j или даже теорема i §j гл. k, однако это не вызывает неудобств. Конец доказательства (или его отсутствие) отмечается зна- ком в. Для сокращения используются простейшие логические символы. Знак импликации ==> в записи А =ф В имеет простую смысловую нагрузку, что «Л влечет В» или «нз Л следует Вч>, в то время как «Л<=^В» означает эквивалентность высказываний А и В (... тогда 12 СОВЕТЫ ЧИТАТЕЛЮ и только тогда, когда ...). Квантор всеобщности V служит заме- ной выражения «для всех». Остальные обозначения понятны из кон- текста. Ниже приводится целиком греческий алфавит с указанием про- изношения букв. Наблюдаемая здесь путаница досадна, поскольку буквы греческого алфавита весьма употребительны в математике. ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ А аАльфа врБета г vГамма А 6Дельта Е еЭпсилон Z?Дзета Н т)Эта е еТэта I 1Йота К кКаппа л кЛамбда м ^Мю N V Ню s ^Кси 0 оОмикрон П лПи ррРо 2 оСигма Т тТау Г vИпсилон Ф (рФи х 7Хи У ^Пси и юОмега «Алгебра щедра—зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают» (Д а л а м б е р) ЧАСТЬ I ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ Эту часть можно считать алгеброй в миниатюре. Фун- даментальные понятия группы, кольца, поля, непривыч- ные для начинающего студента, вводятся по возможности неформально и в минимальных дозах, хотя общее коли- чество производных понятий получается довольно боль- шим. Их не нужно запоминать: они станут привычными после самостоятельной работы над задачами и упражне- ниями. Для удобства выделяется несколько наиболее употребительных алгебраических систем (группы (Z,+), iS„, Л„, GL (п.), SL (п); кольцо многочленов; поля Q, R, С и Zp), на фоне которых демонстрируется язык алгеб- ры. По традиции и по соображениям преемственности между школой и вузом вначале излагается техника мат- риц и определителей, используемая для отыскания и исследования решений систем линейных уравнений. На этом пути естественным образом возникают и основные алгебраические структуры. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. ван дер Варден Б. Л., Алгебра, «Наука», 1976. 2. Виноградов PI. М., Основы теории чисел, «Наука», 1972. 3. Дэвенпорт Г., Высшая арифметика, «Наука», 1965. 4. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, «Наука», изд. 7—12. о: Лен г С., Алгебра, «Мир», 1968. 6. П рос к у р я ков И. В., Сборник задач по линейной алгебре, «Наука», 1974. 7. Фаддеев Д. К., СоминскийИ.С., Сборник задач по выс- шей алгебре, «Наука», 1972. 14 ИСТОКИ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 1 Г л а в а 1 ИСТОКИ АЛГЕБРЫ С чего начинается алгебра? С некоторым приближе- нием можно сказать, что истоки алгебры кроются в искусстве складывать, умножать и возводить в степень целые числа. Формальная, но далеко не очевидная и не однозначная замена чисел буквами позволяет действовать по аналогичным правилам в пределах гораздо более об- щих алгебраических систем. Стало быть, попытка отве- тить исчерпывающим образом на поставленный вопрос увела бы нас не только в глубь веков, в тайны зарож- дения математической мысли. Более трудная часть отве- та была бы связана с описанием основных структур алгебры наших дней: групп, колец, полей, модулей и т. п. Но этому как раз и посвящена вся книга, так что цель главы 1 кажется пока недостижимой. К счастью, под абстрактной оболочкой большинства аксиоматических теорий алгебры скрываются вполне конкретные задачи теоретического или практического характера, решение которых служило в свое время сча- стливым, а иногда и неизбежным поводом к далеко иду- щим обобщениям. В свою очередь, развитая теория дава- ла импульс и средства к решению новых задач. Сложное взаимодействие теоретических и прикладных аспектов теории, присущее всей математике, в алгебре проступает весьма отчетливо и делает в какой-то мере оправданным принятый нами концентрический стиль изложения. После кратких общих замечаний, связанных с исто- рией предмета, мы сформулируем несколько задач, пред- варяющих содержание последующих глав. Одна из этих задач послужит отправной точкой для изучения систем линейных уравнений, теории матриц и теории определи- телей. Мы изложим метод Гаусса и получим первые све- дения о решениях линейных систем. Уже на этом этапе полезно ввести стандартные обоз- начения и терминологию, для чего мы дадим сжатый обзор теории множеств и отображений. Будут введены важные понятия отношения эквива- лентности и факторизации отображений. Далее, в связи с разъяснением принципа математической индукции уста- навливаются элементарные комбинаторные соотношения. АЛГЕБРА ВКРАТЦЕ § и 15 Наконец, приводимые в последнем параграфе простей- шие арифметические свойства системы целых чисел не только используются в дальнейшем, но и являются про- тотипом для построения аналогичной арифметики в более сложных алгебраических системах. Материал этой главы не выходит далеко за пределы школьной программы. От читателя требуется лишь готов- ность встать на несколько более общую точку зрения. Чтение можно начинать с § 3. § 1. Алгебра вкратце В наши дни не без основания говорят об «алгебраи- зации» математики, т. е. о проникновении идей и ^мето- дов алгебры как в теоретические, так и в прикладные разделы математики. Такое положение вещей, ставшее совершенно отчетливым к середине XX столетия, наблю- далось отнюдь не всегда. Как всякая область человече- ской деятельности, математика подвержена влиянию моды. Мода на алгебраические методы вызвана существом дела, хотя увлечение ею иногда переходит разумные границы. А так как алгебраическая оболочка, затмевающая содер- жание,—не меньшая беда, чем элементарное забвение алгебры, то не случайно достоинством той или иной книги уже считается (вполне резонно) умение ее автора избежать перегруженности алгебраическим формализмом. Если отвлечься от крайностей, то алгебра издревле составляла существенную часть математики. То же самое следовало бы сказать и о геометрии, но мы скроемся за крылатой фразой Софи Жермен (XIX век): «Алгебра— не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия—это просто алгебра, воплощенная в фигу- рах». С тех пор положение изменилось, но, кажется, «признано, что «природа» математических объектов есть, в сущности, дело второстепенное и что довольно неваж- но, например, представили ли мы результат в виде тео- ремы «чистой» геометрии или при помощи аналитической геометрии в виде алгебраической теоремы» (Н. Бурбаки). В соответствии с принципом «важны не математиче- ские объекты, а отношения между ними» алгебра опре- деляется (несколько тавтологически и совершенно непо- нятно для непосвященного) как наука об алгебраических 16 ИСТОКИ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 1 операциях, выполняемых над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики. В свою очередь, на основе алгебраических соображений получаются наиболее есте- ственные доказательства многих фактов из «высшей ариф- метики»—теории чисел. Но значение алгебраических структур—множеств с алгебраическими операциями далеко выходит за рамки теоретико-числовых применений. Многие математические объекты (топологические пространства, дифференциальные уравнения, функции нескольких комплексных перемен- ных и др.) изучаются путем построения надлежащих алгебраических структур, если и не адекватных изучае- мым объектам, то, во всяком случае, отражающих их су- щественные стороны. Нечто подобное относится и к объек- там реального мира. Определенное мнение на этот счет было высказано более 45 лет назад одним из творцов квантовой механики П. Дираком: «... Современная физика требует все более абстрактной математики и развития ее основ. Так, не- евклидова геометрия и некоммутативная алгебра, счи- тавшиеся одно время просто плодом воображения или увлечения логическими рассуждениями, теперь признаны весьма необходимыми для описания общей картины фи- зического мира». Алгебраические средства весьма полезны при иссле- довании элементарных частиц в квантовой механике, свойств твердого тела и кристаллов (в этой связи осо- бенно важна теория представлений групп), при анализе модельных задач экономики, при конструировании со- временных ЭВМ и т. д. и т. п. В свою очередь, алгебра питается живительными со- ками других дисциплин, в том числе математических. Так, например, гомологические методы алгебры выросли из недр топологии и алгебраической теории чисел. Не удивительно поэтому, что облик алгебры и точка зрения на алгебру менялись в разные эпохи. Мы не имеем возможности проследить подробно за этими изменениями не только из-за недостатка места, но главным образом потому, что описание истории предмета должно быть кон- кретным,—требование, которому можно удовлетворить лишь при основательном знакомстве с самим предметом, $U АЛГЕБРА ВКРАТЦЕ 17 Ограничимся схематическим перечислением имен и пе риодов. Древние цивилизации Вавилона Арифметические действия на мно и Египта. Греческая цивилиза жествах целых и рациональных ция. «Арифметика» Диофанта положительных чисел. Алгебраи (III в н. э.). ческие формулы в геометрических и астрономических расчетах. Формулировка задач на построе ние (об удвоении куба и трисек ции угла), занимавших алгебраи ческие умы в гораздо более позд нее время. Восточная цивилизация средних Алгебраические уравнения первой веков. Сочинение уроженца Хивы и второй степени. Возникновение Мухаммеда ибн Муса ал-хорезми самого термина «алгебра». (ок. 825 г.) «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала». Эпоха возрождения и Ренессанса. Решение общих алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени. Фибоначчи (Леонардо из Пизы) (ок. 1170—1250) С. Ферро (1465—1526) Н. Тарталья (1500—1557) И. Кардано (1501—1576) Л. Феррари (!522—1565) Ф. Виет (1540—1603) Создание современной алгебраи Р. Бомбелли (1530—1572) ческой символики. XVII—XVIII вв. Р. Декарт (1596—1650) Возникновение аналитической гео П. Ферма (1601—1665) метрии—прочного мостика между И. Ньютон (1643—1727) геометрией и алгеброй. Г. Лейбниц (1646—1716) Оживление деятельности в теории Л. Эйлер (1707—1783) чисел. Ж. Даламбер (1717—1783) Развитие алгебры многочленов. Ж.-Л. Лагранж (1736—1813) Интенсивные поиски общих фор Г. Крамер (1704—1752) мул для решений алгебраических П. Лаплас (1749-1827) уравнений. Первые подходы к до Вандермонд (1735-1796) казательству существования кор ня уравнения с числовыми коэф фициентами. Начала теории определителей. XIX в.—начало XX в. К. Ф. Гаусс (1777—1855) Доказательство основной теоремы П. Дирихле (1805—1859) о существовании корчей уравне Э. Куммер (1810—1893) ний с числовыми коэффициентами. Л. Кронекер (1823—1891) Интенсивное развитие теории ал гебраических чисел. 18 истоки АЛГЕБРЫ [ГЛ. 1 Р. Дедекинд (1831—1916) Е. И. Золотарев (1847—1878) Г. Ф. Вороной (1868—1908) А. А. Марков (1856—1922) П. Л. Чебышев (1821—1894) Поиски методов приближенного Ш. Эрмит (1822—1901) решения алгебраических уравне Н. И. Лобачевский (1792—1856) нии. Условия на коэффициенты, А. Гурвиц (1859—1919) обеспечивающие заданное распо ложение корней. А. Руффини (1765—1822) Решение проблемы о неразреши Н. X. Абель (1802—1829) мости общих уравнений степени К. Якоби (1804—1851) /г5»5в радикалах. Развитие теории Э. Галуа (1811—1832) алгебраических функций. Созда 0. Риман (1826—1866) ние теории Галуа. Начала теория Б. Коши (1789—1857) конечных групп, преимуществен К. Жордап (1838—1922) но на базе групп перестановок. Л. Силов (1832—1918) Г. Грассман (1809—1877) Интенсивное развитие методов Д. Сильвестр (1814-1897) линейной алгебры. А. Кэли (1821—1895) Возникновение, после открытия У. Гамильтон (1805—1865) кватернионов, теории гиперкомп Дж. Буль (1815—1864) лексных систем (такие системы С. Ли (1842—1899) теперь называются алгебрами). Г. Фробениус (1849—1918) В частности, в связи с развитием Ж. Серре (1819—1885) теории непрерывных групп (групп М. Нётер (1844-1922) Ли) были заложены основы тео Д. А. Граве (1863—1939) рии алгебр Ли. Важными главами А. Пуанкаре (1854—1912) математики стали алгебраическая Ф. Клейн (1849—1925) геометрия и теория инвариантов. У. Бернсайд (1852—1927) В XIX в. математика еще не до И. Шур (1885—1941) стигла тонкой 'дифференциации и Г. Вейль (1885—1955) многие крупные ученые творчески Ф. Энриквес (1871—1946) работали в различных ее обла Дж. Нейман (1903—1957) стях. Д. Гильберт (1862—1943) Первая половина XX столетия Э. Картан (1869—1951) была отмечена коренной перест К. Гензель (1861—1941) ройкой всего здамчя математики. Э. Штейннц (1871—1928) Алгебра, отказавшаяся от приви Э. Нётер (1882—1935) легии быть наукой об алгебраи Э. Артин (1898—1962) ческих уравнениях, решительно Дж. Биркгоф (1884—1947) встала па аксиоматический и го Н. Бурбаки «Элементы матема раздо более абстрактный путь тики». развития. Вошел в обиход язык теории колец, модулей, категорий, гомо- логии. Многие разрозненные теории уложены в общую схему уни- версальной алгебры. На стыке алгебры и математической логики родилась теория моделей. Старые теории обновились, расширив об- ласть своих применений. Примером здесь могут служить современная алгебраическая геометрия, алгебраическая топология, алгебраическая /(-теория, теория алгебраических групп. Несколько ярких взлетов испытала теория конечных групп. .2] НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 19 Вся алгебра находится сейчас в состоянии динамиче- ского развития. Крупные заслуги в этом принадлежат советским математикам. Высокий уровень алгебраических исследований в нашей стране многим обязан таким уче- ным как Н. Г. Чеботарев (1894—1947), О. Ю. Шмидт (1891—1956), А. И. Мальцев (1909—1967), А. Г. Курош (1908-1971), П. С. Новиков (1901—1975). § 2. Некоторые модельные задачи Формулируемые ниже четыре задачи стоят на разных уровнях. Первые три, сами по себе тоже неравноценные, предназначены исключительно для мотивировки исследо- вания полей разных типов, линейных пространств, групп и их представлений, т. е. тех алгебраических теорий, о которых речь будет ниже. «Решениям» этих задач посвя- щено много специальных монографий. Четвертую задачу, предваряющую изучение линейных систем, полезно по- пробовать тут же решить, не заглядывая в следующий параграф, где приводится нужное рассуждение. 1. Задача о разрешимости уравнений в радикалах. Из элементарной алгебры известна формула _—Ь±VЬ2^:4ac ,,. •^.2-————2о———— " для решений х^, х^ квадратного уравнения ах2 + bx + +с=0. Уравнение третьей степени х^ах^+Ьх+с^О под- становкой xi—i-x—-г я приводится к виду х3 + px-rC==Q. Это приведенное уравнение всегда имеет три корня х^, х^, Ху. Если положить D^—^—17q\ e=~\+,'~з, u= V^q^Y^D, .= y^-^-iV=3D (2) (кубические корни выбираются так, что uu==—Зр), то можно показать, что ^i=j("+y), х^^Е^+еи), X3=-^-(su+^v}. (3) Формулы (2) и (3), называемые формулами К.ардано 20 ИСТОКИ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 1 (1545 г.) и ассоциирующиеся также с именами других итальянских математиков эпохи Возрождения (С. Ферро, Н. Тарталья), равно как и формула (1), справедливы при любых буквенных коэффициентах а, Ь, с, р, q, ко- торым можно придать, например, произвольные рацио- нальные значения. Аналогичные формулы были найдены для корней уравнения четвертой степени и на протяже- нии почти трехсот лет предпринимались безуспешные попытки «решить в радикалах» общее уравнение пятой степени. Лишь в 1813 г. А. Руффини (в первом прибли- жении) и в 1827 г. Н. Абель (независимо и совершенно строго) доказали теорему о том, что общее уравнение xn+a^x'г~'^•+ . . .-га„==0 при п > 4 неразрешимо в ради- калах. Фундаментальное открытие в этой области было сделано двадцатилетним Эваристом Галуа в 1831 г. (оно стало известным лишь в 1846 г.), когда он дал универ- сальный критерий для разрешимости в радикалах любого (например, с рациональными коэффициентами), а не только общего уравнения степени п. Каждому многочлену (уравнению) степени п он сопо- ставил поле разложения и конечное семейство (мощности не более п\) автоморфнзмов этого поля, называемое те- перь группой Галуа поля (или исходного многочлена). Хотя мы и лишены возможности останавливаться более подробно на теории Галуа, в гл. 7 будет выделен чисто внутренними свойствами специальный класс так назы- ваемых разрешимых групп. Оказывается, что уравнение степени п с рациональными коэффициентами разрешимо в радикалах в точности тогда, когда разрешима соответ- ствующая ему группа Галуа. Пусть, например, дано уравнение пятой степени х5—ах—1=0, где а—некото- рое целое число. Ему отвечает группа Галуа Сд, зави- сящая каким-то сложным образом от a. Gy—циклическая группа порядка 4 (а все циклические группы разрешимы по определению) и уравнение х"—1=0, конечно, раз- решимо в радикалах. Напротив, G^ имеет то же строе- ние, что и симметрическая группа 5^ порядка 120, а последняя, как показано в гл. 7, неразрешима. Следо- вательно, неразрешимо в радикалах и уравнение л'5—х— —1=0. Отметим в заключение, что для практических нужд возможность выразить корень алгебраического уравне- >2] НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 21 иия в явном виде через радикалы существенного значе- ния не имеет; более актуальны разные приближенные методы вычисления корней. Но это обстоятельство не умаляет красоты достижения Галуа, оказавшего силь- нейшее идейное воздействие на последующее развитие математики. Начать с того, что именно Галуа заложил основы теории групп. Установленное Э. Галуа взаимно однозначное соответствие между подполями поля разло- жения и подгруппами его группы Галуа в XX веке обогатилось новыми абстрактными конструкциями и стало незаменимым средством исследования математических объектов. 2. Задача о состояниях многоатомной молекулы. Каж- дую молекулу можно рассматривать как систему частиц — атомных ядер (окруженных электронами). Если в началь- ный момент времени конфигурация системы близка к равновесной, то при определенных условиях частицы, входящие в систему, всегда будут оставаться вблизи положений равновесия и не будут приобретать больших скоростей. Движения такого типа называются колеба- ниями относительно равновесной конфигурации, а си- стема—устойчивой. Известно, что любое малое колебание молекулы вблизи положения устойчивого равновесия является суперпозицией так называемых нормальных колебаний. Во многих случаях удается определить потен- циальную энергию молекулы и ее нормальные частоты, принимая во внимание внутреннюю симметрию молекулы. Симметрия молекулярной структуры описывается точечной группой молекулы. Различные реализации этой конечной группы (ее неприводимые представления) и связанные с этими реализациями функции на группе (характеры представлений) определяют параметры колебаний моле- кулы. Например, молекуле воды НдО (рис. 1) отвечает чет- верная группа Клейна (прямое произведение двух цик- лических групп второго порядка), а молекуле фосфора Р, (рис. 2), имеющей вид правильного тетраэдра, в верши- нах которого расположены атомы фосфора,—симметри- ческая группа S.) порядка 24. Неприводимые представле- ния этих групп будут изучены в гл. 8. В настоящее время развитие структурной теории молекул трудно себе представить без помощи теории групп. 22 ИСТОКИ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 1 Гораздо более ранние применения теории групп отно- сятся к кристаллографии. Еще в 1891 г. великий рус- ский кристаллограф Е. С. Федоров, а затем немецкий ученый А. Шёнфлис нашли 230 пространственных кри- сталлографических групп, описывающих все имеющиеся Рис. Рис. 2. в природе симметрии кристаллов. С тех пор теория групп постоянно используется для исследования влия- ния симметрии на физические свойства кристалла. 3. Задача о кодировании сообщения. В конструиро- вании автоматических систем связи, наземных или кос- мических, обычно в качестве элементарного сообщения берется упорядоченная последовательность—строка (или слово) a==(0i, а'2> • • •> "-п} Длины п, где а,=0 или 1. Так как обычные, операции сложения и умножения по мо- дулю 2 хорошо приспособлены для выполнения на элек- тронной машине, а сами символы 0, 1 удобны для пере- дачи в виде электрических сигналов (1 и 0 отличаются фазой разделенных по времени сигналов или их нали- чием и отсутствием), то неудивительно, что поле GF (2) (см. § 4 гл. 4)—необходимый атрибут специалиста по переработке информации. Иногда удобно использовать в качестве а, элементы других конечных полей. С целью исключения влияния помех (атмосферных разрядов, космических шумов и т. д.), способных пре- вратить 0 в 1 и обратно, приходится брать а достаточно длинным и использовать специальную систему кодирова- ния—выбор такого подмножества {кода} 5д передаваемых строк (кодовых слов) из всего их множества S, чтобы было возможно восстановить а по полученному искажен- ному слову а', при условии, что произошло не слишком много ошибок. Так возникают коды, исправляющие ошибки. Алгебраическая теория кодирования, сильно развившаяся за последние годы и предложившая много остроумных 3] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯ. ПЕРВЫЕ ШАГИ 23 методов кодирования, имеет дело в основном со специ- альными линейными кодами, когда выбор 5д связан с построением специальных прямоугольных матриц и решением систем линейных уравнений, коэффициенты которых принадлежат заданному конечному полю. Про- стой пример такого кода будет приведен в гл. 5. 4. Задача о нагретой пластинке. Плоская прямо- угольная пластинка с тремя отверстиями (рис. 3) исполь- зуется в качестве клапана одного фантастического уст- ройства для получения низких температур. На клапан 100 нанесена квадратная сетка (решетка). Ее вершины, лежа- щие на четырех контурах, называются граничными, а все остальные вершины—внутренними. Непосредственное измерение показывает, что при любом нагревании или охлаждении температура в каждой внутренней вершине является средней арифметической величиной от темпера- тур ближайших четырех вершин—неважно, граничных или внутренних. Ожидается, что детали устройства, со- прикасаясь с различными участками контуров, сообщат соответствующим граничным точкам указанную на рис. 3 температуру. Возможно ли это, а если возможно, то однозначно ли при этом распределение температуры во внутренних точках? § 3. Системы линейных уравнений. Первые шаги Линейные уравнения ах=Ь и системы вида ах+Ьу==е, cx+dy^f \ ' с вещественными (действительными) коэффициентами а, Ь, с, d, e, f «решаются» в средней школе. Наша цель— 24 ИСТОКИ АЛГЕБРЫ [ГЛ. ! научиться оперировать с системой линейных алгебраиче- ских уравнений (или коротко: с линейной системой) са- мого общего вида: а^+а^ + ... +а^х^ == ^, а,^+а^+ . .. +а^„ = &а, О-тЛ + /о'\ а,пЛ + a,n2x2 + • • • + а^х^ -= О называют однородной системой, ассоциированной с систе- мой (2), или еще—приведенной системой для системы (2). Коэффициенты при неизвестных составляют прямо- угольную таблицу ац a;i2 ... ai„ | °21 ^-гг • • • a2r^ /01 am\ am2 • • • "mil >3] СИСТВМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПЕРВЫЕ ШАГИ 25 называемую матрицей размера тхп (тхд-матрицей или квадратной матрицей порядка п при m=n) и сокра- щенно обозначаемую символом (а;у) или просто бук- вой А. Естественно говорить об t-й строке (ац, а^, • • •, а-щ} матрицы (3) и о /'-м столбце "Я1/ который в дальнейшем, ради экономии места, будет изображаться строкой, заключенной в квадратные скобки: [ЯУ, а^-, ..., иду]. В случае квадратной матрицы говорят еще о главной диагонали, состоящей из элементов а^, а^, ..., а,,,,. Матрица (а^.), у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, обозначается иногда символом diag (Ящ а^, . • •, а'п„) и называется диагональ- ной матрицей, а при а^==а,^= ... =я„„=а—символом diag„(a) (скалярная матрица). Для обозначения матрицы diag„(l), называемой единичной матрицей, обычно исполь- зуется символ ?„ или буква Е, когда размер матрицы фиксирован. Наряду с матрицей (3) рассматривают еще расширен- ную матрицу (а,у | и,) системы (2), получаемую из (3) добавлением столбца [Ь^Ь^, ...,&„] свободных членов; для ясности он отделен от остальных столбцов верти- кальной чертой. Если каждое из уравнений системы (2) обращается в тождество после замены неизвестных х, числами х}, то набор из п чисел х\, х°г, ..., х°п называется решением системы (2), а х\—г-й компонентой, решения. Говорят также, что набор х\, х°ц, .. ., х°п удовлетворяет всем урав- нениям системы (2). Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Если же у системы есть решения, то она называется совместной и притом— определенной, коль скоро решение единственно. Решений может быть и более одного: тогда система называется неопределенной. Совместна ли данная система линейных Уравнений, а если совместна, то каковы все ее реше- ния,—вот ближайшие вопросы, на которые нужно полу- чить ответ. 2G ИСТОКИ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 1 Посмотрим еще раз на задачу п. 4 § 2. Пронумеруем все внут- ренние точки пластинки произвольным образом от 1 до 416 (именно столько их на рис. 3), добавим к ним 204 номера граничных точек и, в соответствии с заданным правилом вычисления температуры tf во внутренней точке с номером i, составим 416 соотношений типа / Ь ? а с е k а h te= Пусть, скажем, а, Ь, с<:416, a d > 416. Тогда это соотношение можно переписать в виде линейного уравнения -ta-tb-tc-V^e-td с правой частью ^=—273, —100, —50, 0, 50, 100 или 300 (возможны и другие варианты). Взятые вместг эти уравнения составят квадрат- ную линейную систему вида (2) с /г=;я=416. Коэффициенты при неизвестных /, равны 0 (их большинство), —1 или 4. Является ли эта система совместной и определенной? Мы получили иную, матема- тически точную формулировку задачи качественного характера. Вопрос о существовании и единственности весьма типичен для многих разделов математики, связанных с изучением физических явлений. 2. Эквивалентность линейных систем. Пусть нам дана еще одна линейная система «того же размера» aii^i + "12-^2 + .. • + al„^„ = Ь[, ... .^ ......... ^ (2') c'^n\x\ + ^'ma^s + • • • + a'mn^n. == ^'ra- Будем говорить, что система (2') получена из (2) при помощи элементарного преобразования типа (I), если в системе (2) все уравнения, кроме i-ro и k-ro, остались прежними, a i-e и /г-е уравнения поменялись местами. Если же в (2') все уравнения, кроме i-ro, те же, что и в (2), a t-e уравнение системы (2') имеет вид (a,i + са^} л-i + . . . + (а„, + са„„) л-„ = &, + cb„, (») где с—какое-то число (т. е. й^=й,у+са^, &»'=&,+с^), то полагаем, что к системе (2) применено элементарное преобразование типа (II). Линейные системы (2) и (2') называются эквивалент- ными, если обе они либо несовместны, либо совместны и обладают одними и теми же решениями. Условившись обозначать эквивалентность систем (в) и (Ь) символом (а) ~ (о), мы замечаем, что (а) ~ (а), из ^ 3] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПЕРВЫЕ ШАГИ 27 (а)-^ (Ь) следует (Ь)~(а), а из (а) ~ (Ь) и (b) ~ (с) сле- дует (а) ~ (с). Достаточный признак эквивалентности систем содер- жится в следующем утверждении. Теорема 1. Две линейные системы эквивалентны, если одна получается из другой путем применения ко- нечной последовательности элементарных преобразований. Достаточно доказать эквивалентность системы (2) и системы (2'), полученной из (2) путем применения одного элементарного преобразования. Заметим, что система (2) получается из (2') также в результате применения одного элементарного преобразования, поскольку эти преобразо- вания обратимы. Другими словами, в случае (I), пере- ставив еще раз местами уравнения с номерами i и k, мы вернемся к первоначальной системе; аналогично в случае типа (II), прибавив к t-му уравнению в (2') fe-e, умноженное на (—с), мы получим i'-e уравнение системы (2). Докажем теперь, что любое решение (х{, ..., х°п) си- стемы (2) является также решением системы (2'). Если было произведено элементарное преобразование типа (I), то сами уравнения вообще не изменились (изменился только порядок их записи). Поэтому числа х\, х\, ..., х°п, удовлетворявшие им ранее, будут удовлетворять им и после преобразования. В случае элементарного преобра- зования типа (П) уравнения, кроме f-го, не изменились, и поэтому решение (х{, х\, ...,х°п} им по-прежнему удовлетворяет. Что касается t'-ro уравнения, то оно при- обрело вид (*). Так как наше решение удовлетворяет i-му и /г-му уравнениям системы (2), то а^х\ + ... + а,„4 = Ь,, а^х\ + ... + а^х°п = Ь;,. Умножив обе части последнего тождества на с и приба- вив его к первому, мы получим, группируя члены, тож- дество вида (*) с Х(==х}. В силу отмеченной выше обратимости элементарных преобразований проведенное рассуждение показывает также, что, обратно, любое решение системы (2') будет решением системы (2). Осталось заметить, что несовместность одной системы влечет несовместность другой (рассуждение от против- ного). g Дополнение ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦ Этот «островок» линейной алгебры слегка освещается здесь лишь для того, чтобы подчеркнуть его сходство с § 5 гл. 7, где дана классификация конечных абелевых групп. Мы не сочли нужным настаивать в § 3 гл. 9 на объединяющей роли в этом вопросе модулей над коль- цами главных идеалов, поскольку разным категориям читателей, возможно, будет удобнее иметь прямые дока- зательства соответствующих фактов о группах и о линей- ных операторах. 1. Пытаясь разобраться с действием заданного линей- ного оператора А: V—>V, естественно поставить перед собой цель найти базис в V, наилучшим образом согла- сованный с А. Другими словами, в классе подобных мат- риц C~1AC, отвечающих оператору А, требуется найти матрицу, имеющую как можно более простой вид. По понятным причинам эта задача существенно связана с ос- новным полем Р, над которым определено векторное про- странство V. В дальнейшем считаем, что Р = С—поле комп- лексных чисел или любое алгебраически замкнутое поле. Пусть га = dim V и ^, ..., л„—корни характеристи- ческого многочлена tA (0 = ^ ^ = det (^-л) =tn + al<"-l + ... + а„ = = П(^-^), ai=-trA=-(^+...+^„), a„=(-l)"detA=(-l)"^...^. Комплексные числа л, являются также собственными значениями линейного оператора А', подпространства y^-i=={u^V\Av=\iV} отличны от нуля и их ненулевые векторы называются собственными векторами оператора А. Множество Spec(^) ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦ 483 всех попарно различных собственных значений (характе- ристических корней) оператора А называется его спект- ром. Аналогично говорят о спектре Spec (А) матрицы А. Отметим следующие факты. (i) Собственные векторы, принадлежащие к различ- ным собственным значениям, линейно независимы. Сум- ма ^ V^—прямая (вообще говоря, УУ^ не совпа- ^eSpec(A) дает с У). (И) Матрицу линейного оператора А всегда можно привести (в смысле подобия) к треугольному виду. Проще всего в этом убедиться рассуждением по ин- дукции. Нужно взять одномерное «/^-инвариантное под- пространство <(?!>(^=А^), перейти к факторпростран- ству V=y/<^>=^uj=uJ^.Таккак(^—л„_^)е„_^Уй+1, то {A—K„.^Vk^ cl^+i и, стало быть, fAWV=Il(л-к.^v= = {A—^)...{A-K^)V,c(^—^). . .(A— ^_^)ViC: с(^-л^) ... (^—л„_^)1/,с= ... с(^—л^)У„_1=0. Но ^(^)У=0 ^ ^(^)=0.1 484 ДОПОЛНЕНИЕ (iv) Минимальный многочлен h^(t}=h^(t) оператора (унитарный многочлен минимальной степени т s^n, анну- лирующий Л и Л) является делителем характеристи- ческого многочлена f^ (t), делящимся на все линейные мно- жители t—К, ^^Spec(^). Деление с остатком f^ (t)=q(t}-h^ (t)+r (/), degr (/)<; < deg/г^ (/), и свойства f^ {.Л} == 0=/i^ (^) показывают, что г(А)==0, откуда r(t)=0. Если, далее, К—собствен- ное значение оператора Л, то Av='kv ==> 0==Ьл {Л)и == =h^(K}u =>/^)=0 => (t-}.)\h^(t). Пример. Линейный оператор Л'- V—>V называется нильпо- тентным, если c/l'л=0', т—индекс нильпотентности, если ^ст-1 ^ 0. Пусть ^-^v^O. Тогда векторы v, AV, ..., vi"1'1» линейно независимы. Действительно, всякая нетривиальная линейная зависимость имеет вид ЛЙУ+«l^;г+lУ+•••+c^,/,-l-^^'a-lt'=0, (Xfess/n-l. Применение оператора t,^™"1"* к обеим частям этого равенства привело бы нас к соотношению Лm~\v=Q, противоречащему вы- бору v. Итак, индекс нильпотентности от оператора Л не превосходит n=d\mV. Пусть т=п и „^"-^^О. Введем следующие обозначе- ния для базисных векторов: e^^^/l"-^, e2=^"-2e^ ••-. <'„ _ i == ,/fc еп=е. Тогда ^ei==0, ^бд=ед-1, k > 1, и матрицей оператора у^ в базисе {е^, .,., еЛ будет жорданова клетка О 1 О О 0 1 000 О О О О О О 000 000 О 1 О О Если, например, V=<1, X, X2, .... X"-I>(Q— пространство многочленов степени < п над Си Л =~Гу— оператор дифференциро- йл вания, то матрицей этого оператора в базисе {е,}, е{=—^Х1, будет как раз клетка J„, о- Более общо, назовем (верхней) клеткой Жордана раз- мера тхт (или порядка т), соответствующей собствен- ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦ 485 ному значению X, матрицу К 1 0 ... О О О Х 1 ... О О , о о ?. ... о о •/т, >. = . О О О ... К 1 о о о ... о \ Заметим, что !^,\—^E=J Jm-l _;_ п /от _ Л " т. о -г= и, J т п — '-'. „,,„—нильпотентная матрица: В частности, (t—К}"—минимальный многочлен клет- ки Жордана J т, ?. и К—ее единственное собственное зна- чение: Spec (Jm,}.}== {Ц- Если и (t)—произвольный многочлен, то м(^) и'(\}1\\ ц"(Л)/2! ...и'"'-1'^)/^—!)! О и (К) и'- (?i)/l! ... ы^-2»^)/^-^)! u(Jm,\)= О О О ... и (К) так что с Jт, ^ гораздо легче оперировать, чем с произ- вольными матрицами. Основная теорема. К^аждая квадратная мат- рица А порядка п над алгебраически замкнутым полем Р (в частности, над С) подобна прямой сумме жордано- вых клеток. Именно, существует невырожденная матри- ца С, для которой т„ К, •т., К. т„ К, О (жорданова нормальная форма J (Л) матрицы Л). С точ- ностью до перестановки клеток жорданова нормальная форма матрицы единственна. Так как минимальные многочлены подобных матриц совпадают, то из основной теоремы и из замечаний, сде- ланных по поводу жордановой клетки J^,\, следует, что ^(t)=(t-K^...(t-K,^, где {Х,^, ..., К, }= Spec (Л) и т,—максимальный поря- док жордановой клетки, отвечающей собственному зна- чению ^.. 492 ДОПОЛНЕНИЕ формулой (6) устанавливается также единственность жордановой формы J {А). До сих пор о матрице С, осуществляющей подобие J (A)==C-1AC, ничего не говорилось. Но так как теперь А и J (А)—из- вестные нам матрицы, то С=(с,,) можно найти из одно- родной системы линейных уравнений CJ (Л)—ЛС=0 порядка п2. Пусть С\, ..., С,-—ее фундаментальная си-- стема решений. Вообще говоря, не все С,—невырожден- ные матрицы, но так как жорданова нормальная форма J (А) существует, то det (