ББК 22.18 Т46 УДК 519.85 (023) Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Т46 Математические задачи компьютерной томо- графии. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987.— Рроблемы науки и технического прогресса.— 160 с., ил. 55 к. 25 000 экз. Томография — это метод получения изображений внутренних частей непрозрачных тел. Он позволяет диагностировать внутрен- нюю структуру объектов. При отом получают очень большой объем информации, обрабатываемой с помощью ЭВМ. В вычис- лительных томографах удалось объединить получение большого количества информации и ее интерпретацию. В книге приводит- ся краткое изложение метода, его математическое обоснование. алгоритмы решения и сведения о разработке математического обеспечения. Для конструкторов диагностических устройств и для лиц, связанных в своей работе с применением ЭВМ к решению диагностических задач. 1702070000—175 ББК 22.18 т 053 (02)-87 45-87 519.85(023) Рецензент доктор физико математических наук Н. Г. Преображенский ©Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической Литературы, W1 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .............. 3 Глава I. Вычислительная диагностика и компьютерная то- мография ............. 7 § 1. Вычислительная диагностика. Компьютерная томогра- фия и области ее применения ....... 7 § 2. Основные уравнения компьютерной томографии ... 16 § 3. Связь основного уравнения компьютерной томографии о интегральной геометрией Радона — Хелгасона ... 32 § 4. Некорректность задачи решения основного уравнения компьютерной томографии ......... 38 Глава II. Применение принципа регуляризации к задачам вычислительной диагностики и компьютерной томогра- фии ............... 45 § 1. Сущность принципа регуляризации ...... 45 § 2. О построении регуляризирующих операторов ... 47 § 3. Локальная регуляризация ......... 52 § 4. Построение регулярпзирующих алгоритмов для двумер- ной компьютерной томографии с прямолинейным рас- пространением излучения ......... 64 § 5. О нелинейной компьютерной томографии .... 79 Глава III. Математическое моделирование в компьютерной томографии ............. 82 § 1. Сущность математического моделирования и задачи, ре- шаемые с его помощью .......... 82 § 2. Математическое моделирование в диагностике плазмы, не обладающей осевой симметрией ....... 88 § 3. Математическое моделирование компьютерных томогра- фов ............... 94 Глава IV. О структуре систем автоматической обработки результатов диагностических измерений ..... 120 § 1. О системном подходе к вычислительной диагностике и компьютерной томографии ......... 120 § 2. Программное обеспечение ......... 123 § 3. Вычислительные визуализирующие комплексы . . . 130 Приложение 1. О построении математических моделей переноса излучения в рентгеновских компьютерных то- мографах для медицинской диагностики ..... 136 Приложение 2. О построении последовательности ус- тойчивых приближенных решений линейных некоррект- но поставленных задач методом локальной регуляриза- ции ............... 143 Приложение 3. О системе программного обеспечения для математического моделирования компьютерных то- мографов . . . .......... 150 Список литературы ............ 155 I* 8 ПРЕДИСЛОВИЕ 1. Одним из основных направлений ускорения науч- но-технического прогресса является компьютеризация важнейших отраслей народного хозяйства и науки. Ком- пьютеризация приводи г к качественным изменениям многих традиционных направлений науки и техники и порождает новые направления. Так, широкое внедрение вычислительной техники в интроскопию и неразрушаю- щий контроль различных изделий привело к возникно- вению новой области знаний — вычислительной диагно- стики. Под вычислительной диагностикой понимается сово- купность методов и средсгв, предназначенных для изу- чения характеристик исследуемых объектов по резуль- татам косвенной информации о них, обрабатываемой с помощью вычислительной техники. Принципиальное от- личие вычислительной диагностики от традиционной за- ключается в том, что она имеет дело с большим объемом информации об исследуемом объекте, обработка и интер- претация которой невозможна без применения современ- ных методов вычислительной математики, развитого про- граммного обеспечения и высокопроизводительных средств вычислительной техники. Внедрение вычислительной диагностики в медицину позволяет не только существенно повысить эффектив- ность диагностики, но и облегчает и ускоряет разработку новых методов лечения больных. Использование вычис- лительной диагностики для контроля промышленной про- дукции, машин и механизмов, производственных процес- сов и управления ими открывает возможности разработ- ки и внедрения новых технологий производства различ- ных промышленных изделий. Большое значение имеет вычислительная диагностика и при контроле за состоя- нием окружающей среды, в астрофизике и геофизике, а также в различных областях физики, хпмпи, биологии, кристаллографии и других отраслях знаний. Даже такое неполное перечисление приложений вычислительной ди- 4 агностики позволяет считать ее важным фактором уско- рения научно-технического прогресса. 2. В настоящее время известно достаточно большое число методов реализации вычислительной диагностики. Один из перспективных методов связан с использовани- ем принципа компьютерной томографии. Стремительный прогресс метода компьютерной томографии обусловлен его преимуществом перед известными методами диагно- стики. Преимущество этого метода заключается в том, что его информативность о каждом элементарном объеме исследуемого объекта во много раз выше, чем в других известных методах вычисли гелыюй диаг- ностики. Высокая эффективность метода компьютерной томографии впервые была продемонстрирована на при- мерах его использования в медицине и биологии. По оценкам некоторых ученых внедрение метода компьютер- ной томографии «революционизировало» медицинскую диагностику и электронную микроскопию биологических макромолекул [14, 56]. Создание компьютерных томогра- фов (А. Кормак и Г. Н. Хаунсфилд) и их применение в биохимии (А. Клуг) отмечены Нобелевскими премиями ,(1979, 1982 гг.). Определяющую роль в достижении таких результатов играет математическое проектирование компьютерных томографов, осуществляемое с помощью математического моделирования их узлов и позволяющее достигать вы- сокого качества изображения. 3. Основные математические задачи вычислительной диагностики (в том числе и компьютерной томографии) сводятся к решению операторных уравнений I рода. Из- вестно, что задачи решения таких уравнений являются некорректно поставленными [48]. При нахождении их приближенных решений необходимо использовать мето- ды регуляризации, позволяющие учитывать дополнитель- ную информацию о решаемой задаче. Разнообразие та- кой информации порождает многочисленные алгоритмы решения основных математических задач вычислитель- ной диагностики. Одна из главных проблем — выбрать среди всех допустимых алгоритмов в каком-то смысле лучшие. Для компьютерной томографии критерием такого рода отбора алгоритмов может быть, например, качество изо- бражения. Можно также указать следующие математи- ческие проблемы, решение которых пмеег большое прак- тическое значение. «Оптимальное» проектирование раз- 6 личных узлов диагностических систем, создание устройств для диагностики, функционирующих в условиях непол- нозаданпой информации, ц математическая коррекция результатов диагностических измерений, искаженных влиянием физических процессов и аппаратуры. Для решения указанных, а также других проблем вычислительной диагностики целесообразно использовать математическое моделирование, т. е. имитацию па ЭВМ всех существенных операций, производимых диагности- ческим устройством, а также формальное описание ис- следуемого объекта и физических процессов. Осуще- ствляя все это па ЭВМ, мы получаем возможность про- водить вычислительные эксперименты с диагностически- ми устройствами, иными словами, экспериментировать с диагностическими устройствами, не создавая их реально. Часто при этом удается исследовать такие их характе- ристики, которые нельзя изучить, экспериментируя с ре- альным диагностическим устройством. Вопросам теории и методологии рентгеновской компь- ютерной томографии посвящена работа [56]. Однако в ней нашли отражение результаты исследований лишь за- рубежных авторов. То же можно сказать о книге [14], носящей обзорный характер. В книге [39] рассмотрены некоторые применения компьютерной томографии к ди- агностике плазмы. Цель настоящей книги — изложить методологические основы построения вычислительных алгоритмов решения математических задач вычислительной диагностики и компьютерной томографии и показать, как эти алгорит- мы можно использовать в практике проектирования ди- агностических устройств и как создавать для них соот- ветствующее математическое обеспечение. Книга предназначена для инженеров-математиков и научных работников, занимающихся вопросами матема- тического моделирования па ЭВМ различных диагности- ческих устройств и разработкой для них математическо- го обеспечения. Она будет полезна также конструкторам различных диагностических устройств и компьютерных томографов. Мы выражаем благодарность А. В. Пестрякову, Ю. В. Дорофееву и А. М. Смирнову за помощь, оказан- ную ими при проведении математического моделирова- ния рентгеновских компьютерных томографов, а также в проведении экспериментальных измерений спектров химического сдвига на ЯМР-томографе. Глава I ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ДИАГНОСТИКА И КОМПЬЮТЕРНАЯ ТОМОГРАФИЯ Рассматриваются основные уравнения наиболее рас- пространенных в настоящее время рентгеновской, уль- тразвуковой томографии и томографии, основанной на явлении ядерного магнитного резонанса (ЯМР), с уче- том общей схемы получения основного уравнения компь- ютерной томографии и отмечается связь математических задач компьютерной томографии с задачами интеграль- ной геометрии, понимаемой в смысле Радона — Хелга- соыа. § 1. Вычислительная диагностика. Компьютерная томография и области ее применения Понятие диагностика в настоящее время означает «учение о методах и принципах распознавания болезней и постановки диагноза», а понятие техническая диагно- стика используется для обозначения методов «установ- ления и изучения признаков, характеризующих наличие дефектов в машинах, устройствах, их узлов, элементах и т. д. Она осуществляется либо внешним осмотром, ли- бо при помощи диагностической аппаратуры или диаг- ностической программы»*). Под вычислительной диагностикой мы будем пони- мать определение количественных или качественных характеристик х различных материальных объектов по измеренной косвенной информации о них у = Ах. Во многих случаях решение задач вычислительной диагно- стики требует применения ЭВМ. Рассмотрим, например, диагностику высокотемпера- турной плазмы [31], в которой нашли применение раз- личные физические экспериментальные методы атомной и молекулярной спектроскопии, ядерной физики, астро- *) Советский энциклопедический словарь/Под ред. А. М. Про- хорова.— М.: Сов. энциклопедия, 1985, 7 физики и т. д. При этом измеряется косвенная инфор- мация у о физических характеристиках х плазмы, под- лежащих определению. Так обстоит дело в рентгенов- ских методах определения пространственного распреде- ления электронной температуры плазмы, в определении пространственного распределения плотности электронов плазмы методом интерферометрии и с помощью лазер- ного рассеяния, а также в других методах определения параметров плазмы (рис. 1.1). ^ U Источник Рис. 1.1. Схема диагностики высокотемпературной плазмы [31] Пусть х=' /(г)—пространственное распределение не- которого изучаемого параметра плазмы, а плазменное образование обладает цилиндрической симметрией. До- статочно общая схема измерений в этих методах может быть следующей (рис. 1.2). Пусть детектор регистрирует интегральное излучение от различных элементов плазменного объема, наблюдае- мых под углом 9 <= [0, л). Зарегистрированный сигнал при 6 е [0, л) обозначим через cp(a;'). В этом случае 8 связь между искомым распределением /(г) и сигналом 0 — мощность источника, б (и) — дельта-функция Дирака, Го — координаты источника, йц — направление коллимации источника, Ец — энергия рентгеновских фо- тонов источника. С помощью оператора S/ вида (2.2) можно прибли- женно описать процессы переноса рентгеновского излу- чения в биоткапях, происходящие, например, в компь- ютерных томографах СТ-1010 фирмы EMI, Ltd. (Ве- ликобритания), СРТ-1000, СРТ-ЮООМ (СССР) и им по- добных, реализующих так называемую параллельную схему сканирования с поступательно-вращательным дви- жением источника и связанного с ним одного или не- скольких детекторов излучения. Типичным для этой схе- мы является то, что она основана на учете только пер- вичных фотонов источника. Из (2.2) легко видеть, что задача нахождения опе- ратора S/ , обратного Sf, достаточно проста. Действи- тельно, решая уравнение (2.2) относительно /р(г, и, Е) и осуществляя замену переменных r=={x, у)-^(1, 6), где р==(1, 6)—нормальные координаты прямой на пло- скости, получаем S7\ = Со ехр (- J / (х, у) do\ == Iy (I, Q, Е,), ^ ^ [ Г(;,9) j ' ' где Со—поток источника излучения, а Т{1, 6)—линия, вдоль которой распространяется излучение. Для указанной схемы сканирования характерно по^ ступательно-вращательное движение линии пары источ- ник—детектор (а следовательно, и Г(р)). Чтобы это формализовать, рассмотрим семейство линий {Г(р)), ин- вариантное относительно вращения вокруг начала коор- динат, совпадающего с некоторой заданной точкой внут- ри исследуемого объекта. Пусть U — оператор, переводящий функцию /,, (Z, 6, Ец) в функцию У{1, О): L'/^-ln^'6'^ =^0). (2.4) ^ ru,9) 18 Тогда в случае использования мопоэпергетического ис- точника рентгеновского излучения из (2.3) и (2.4) по- лучим основное уравнение компьютерной томографии вида US^c^ f f(x,y)do^y(l,Q). (2.5) г('г,б) Большое разнообразие способов аппаратной реализа- ции рентгеновской компьютерной томографии появляется и при использовании рассеянных фотонов. Например, схе- мы сканирования, использующие так называемую веер- ную геометрию в томографах IV поколения, характери- зуются наличием широкого пучка испускаемых источ- ником рентгеновских фотонов. Такая схема положена в основу компьютерного томографа Pfizer 0450 (США) и др. В отличие от ранее упомянутых томографов, в по- следних нельзя обойтись без учета влияния рассеяния при переносе излучения, которое в зависимости от ис- пользуемой энергии источника может быть либо рэлеев- ским, либо комптоновским. Пусть функция потока излучения I представима в виде (2.1). Тогда уравнение для In тг-кратно рассеян- ных рентгеновских фотонов имеет вид [53] 5//„-Й.У7„+ ^ + / (г, Е) 1ц - [ dE' J So (и, Е, Q', E')In,,dQ'-(l - б„,) - ?, == /о (г, И, Е) б„о, ге=0,1,.,., (2.6) где бпо — символ Кропекера. Решение этого уравнения можно записать в виде 00 In (r, Q, Е} = j рхр {- / (г, Е) s} 7„ (г - ^0, и, Е) ^, (2.7) о где Е2 In = [ dE' J ^ (и, Е; ft', Е') /„_, (г, ft', Е') dQ',, n=i,2, ..., Т, =I,(r,Q,E). 2* 19 Используя формулы (2.6), (2.7), можно свести pe-i шение уравнения переноса к вычислению последователь- ности многократных интегралов /„. Таким образом, в данном случае оператор S/ 1 задается неявно. Основ- ное уравнение компьютерной томографии будет иметь вид US,T1 (/о) = У, (2.8) где U — оператор, переводящий функцию потока /(г, И, Е) рентгеновского излучения в измеряемый при томографических исследованиях сигнал У. Легко видеть, что уравнение (2.8) нелинейно отно- сительно функции /(г, Е). Физические процессы, проис- ходящие при распространении рентгеновских фотонов в биотканях, можно формально описать так, что основное уравнение компьютерной томографии будет являться ли- нейным уравнением относительно некоторого эффектив- ного коэффициента ослабления излучения (подробнее об этом см. в приложении 1). В этом случае оператор SJ1 можно взять в виде ^ S^ST,== J^-o(P,^t)exp(- J f(r,E)do\dE. (2.9) Е^ [ Г(0) J Здесь Ус(р, Е, t) — некоторая положительная функция; t — вектор, компоненты которого являются числовыми или функциональными параметрами, характеризующими свойства исследуемого объекта, источника и детекторов излучения, а также конструкцию компьютерного томо- графа; /(г, Е) — пространственно-энергетическое распре- деление линейного коэффициента ослабления рентгенов- ского излучения. Если функция /(г, Е) представима в виде /(г,Д)=/(г)+А(Д), -(2.10) где /1 (Е] — монотонно убывающая аналитическая функ- ция на отрезке [Ei, Ег], малая в некотором смысле по сравнению с /(г), то можно построить операторы S/ (Ер{),: аппроксимирующие оператор S/ 1 и имеющие вид (сы. приложение 1) 57' (^ег) ^о== Ф.' et [Р- ^о (Р, Е, t)] ехр (- У / (г, Z?„r) dffi, 1 Г(.о) I Е,^-[Е„Е^. (2.11) 20 2.2. Ультразвуковая томография. Этот термин нужда- ется в пояснении, поскольку он используется в техни- ческой литературе для характеристики самых разных способов диагностики объектов с помощью ультразвука. По нашему мнению, ультразвуковая томография — это не совсем удачный термин, принятый для обозначения способов ультразвуковой диагностики, в которых суще- ственно использование современной вычислительной тех- ники для нахождения решений различных обратных за- дач. Проанализировать все мыслимые способы ультра- звуковой томографии не представляется возможным. Ограничимся рассмотрением двух, принципиально раз- ных подходов к ультразвуковой томографии. Эти под- ходы основаны на различных допущениях, позволяющих решать волновое уравнение, описывающее акустическое поле в неоднородной среде. Математическое описание распространения гармони- ческих волн в неоднородной среде без источников дается уравнением Гельмгольца [16] V^+fe2^, у, z}u^=0, (2.12) где и\х, у, z)—скалярная волновая функция, k (x, у, z) — волновое число, равное а>/с(х, у, z). Сущность первого подхода состоит в следующем. Пусть функция и(х, у, z) представима в виде [16] 00 и (ж, у, z) = Ло (x, у, z) + ^ — An (x, у, z) ехр [ik^ {x, у, z)},; n=l "о где fp(x, у, z)—эйконал (фаза волны). Пусть 5/(qp)= Е= (Vcp)2 — f(x, у, z), где f(x, у, z) —показатель прелом- ления [16]. Очевидно, уравнение 5/(ср)=0 относительно (р явля- ется нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Если траектория луча Г(р) (peR3) определена, то обратный оператор «S^1 (cp) имеет вид ^71 (^ = / (ж. У> 2) da' Г(0) Введем тождественный оператор U. Тогда основное урав- нение ультразвуковой томографии имеет вид Г/=[/5/-^)= [ / (г) rfo = (р (р), г = (x, у, z) e R3. Г(0) (2.13) 21 Оператор Т может служить достаточно хорошей ма тематической моделью ультразвуковой компьютерно! томографии лишь в тех случаях, когда исследуемы! объект однороден по плотности, вариации показател; преломления достаточно малы и явления дифракции не существенны. Безусловно, эти требования резко сужаю область применимости этой модели, а ультразвуковьк томографы, основанные на ее использовании, малоэф фективны на практике. В работе [67] изучалось влияние указанных факта ров на качество томограмм и были сделаны следующщ выводы. Для частот, характерных для медицинских ис следовании (от 2 до 5 МГц), сказывается влияние диф ракционных эффектов. Если вариации А/ становятся по рядка 10% от/и более, то качество томограмм резке ухудшается. Изменение плотности биотканей отрицатель но сказывается на качестве томограмм. Описанная мо дель исследовалась в [67], а с точки зрения диагностп ческих возможностей в практической медицине — в [68] К сожалению, ни к каким практическим выводам эп изучения не привели. Все это позволяет сделать вывод что приближение геометрической акустики недостаточно адекватно описывает распространение ультразвука в био- тканях человеческого тела. Для решения уравнения (2.12) можно воспользовать- ся приближениями Рытова и Борна [64]. В этом в заключается сущность второго подхода. Например, в при- ближении Рытова не делается никаких предположении о длине волны излучения. Поэтому можно надеяться учесть и дифракционные эффекты. Однако при этом тре- буется достаточная малость величин (А/)2 и |Уф12. Это означает, что математическая модель, использующая приближение Рытова, применима только для объектов, которые не содержат неоднородпостей с акустическии пмпедансом, достаточно сильно отличающимся от аку- стического импеданса окружающей среды, т. е. прибли- жение Рытова позволяет учитывать дифракцию лишь в средах с достаточно слабыми рассеивателями в смысле изменения акустического импеданса. Например, это при- ближение достаточно хорошо описывает распространение ультразвука в мягких биологических тканях, но если пытаться использовать его при диагностике легких или желудка человека, то такие попытки окажутся безре- зультатными. Таким образом, второй подход позволяет в некоторых случаях учесть явления дифракции в квази- 22 однородных в смысле акустического пыпеданса средах, до он оставляет открытым вопрос о применимости уль- тразвуковой томографии для диагностики объектов с до- статочно сильными рассеивателями. 2.3. Общая схема получения основного уравнения компьютерной томографии. Пусть функции ср, ^ и р суть характеристики соответственно поля излучения, источни- ков излучения и результатов томографических измере- нии, а функция / характеризует искомую плотность про- странственного распределения интересующей нас физи- ческой величины. Предположим, что функции ср, ^, р и / суть элементы соответственно линейных нормирован- ных пространств Ф, У, У и ST. Пусть задано семейство {Sj} операторов 5/: Ф ->- У, зависящих как от парамет- ра от функции / s у ц осуществляющих отображение Ф в У. Тогда процесс распространения излучения в ис- следуемых объектах можно описать соотношением 5/ср-^, (р^Ф, ^еУ. ,(2.14) Во многих случаях операторы S/ такие, что существуют операторы S'y~1, обратные S/ и ограниченные из V в Ф (например, когда 5/—дифференциальные операторы). В этих случаях решение уравнения (2.14) можно запи- сать в виде <р==57^. (2.15) В компьютерной томографии типичны случаи, когда измеряют пе функции (р, а их косвенные проявления — интегралы от (р по некоторым многообразиям. Формаль- но это означает, что существует оператор С/, действую- щий из пространства Ф в пространство У, такой, что Ucp=p, (реф, ре У. (2.16) Подставляя (2.15) в (2.16), получаем соотношение вида Tf^usT^-pt которое мы будем называть основным уравнением (отно- сительно /) компьютерной томографии. Заметим, что соотношения (2.14)—(2.16) описывают п гораздо более широкий класс задач. Следуя общей схе- ме, можно получить основные уравнения различных ви- Дов компьютерной томографии. При этом основные урав- нения определяются выбранными физцко-математически- ыи моделями этих видов и могут быть как линейными, 23 так и нелинейными задачами относительно прострап ствепного распределения интересующей нас физически; величины. 2.4. ЯМР-томография. В описанных выше рентгенов ских и ультразвуковых схемах сканирования исследуе мых объектов используются механические системы, а яв ления ослабления (или кинематические особенности] при распространении излучения в объектах служат ос новой для применения принципа компьютерной томо графин. ЯМР-томография основана на взаимодействш достаточно малых изменяющихся во времени магпитньп полей со слабосвязанными с решеткой *) ядрами неко торых атомов (например, водорода) в мягких биотка нях. В целях наглядного объяснения сущности ЯМ1 рассмотрим следующую физическую модель. Представим себе вращающийся вокруг своей оси вол чок, причем его ось отклонена от вертикали на некого рый угол. Такое вращение дает представление о прецес спи. При определенных условиях векторы ядерных мо ментов прецессируют относительно вектора магнитно! индукции Во. Частота прецессии пропорциональна маг- нитной индукции Во поля, в которое помещают иссле- дуемый объект. При этом спины протонов ориентиру- ются вдоль магнитного поля (поляризация). Если тепер! па постоянное магнитное поле Во наложить неоднород- ное поле G (с помощью градиентных систем), то про- тоны в различных точках пространства будут прецесси- ровать с различными частотами. Можно так исказит! постоянное однородное магнитное поле, что с одинаковы- ми частотами будут прецессировать векторы ядерных мо- ментов, расположенные па определенных многообразиях, например па линиях или плоскостях. Если с помощью радиочастотных импульсов вывести затем протоны из по- ложения равновесия, то они будут излучать энергию в виде сигналов свободной индукции. Таким образом реа- лизуется принцип компьютерной томографии. Совокупность способов аппаратной реализации прин- ципов компьютерной томографии, основанных на исполь- зовании явления ЯМР, будем называть ЯМР-томо- графпей. Свойства исследуемых объектов, изучаемых с помощью ЯМР-томографии, характеризуются равновесной ядерной намагниченностью Л/е(1') и временами продольной 7\(г) *) См., например, [I]. 24 и поперечной Га (г) релаксации, определяющими время «возвращения» спина ядра атома к равновесному со- стоянию [58]. Величина Му(г} характеризует простран- ственное распределение релаксирующих ядер атомов исследуемого вещества, а величины 7'i(r), Т^(т)—связи ядер атомов с решеткой. Характерной чертой ЯМР-томографип является воз- можность определения самих величин Me (r), Ti(t), Тг^}, а также функционалов от них по косвенной информа- ции. Конкретный способ ЯМР-томографии определяется как используемым физическим приближением, так и эк- спериментальными возможностями. Покажем па некото- рых примерах, как может быть получено основное урав- нение ЯМР-томографип. Первое, что необходимо выяснить,— это как форма- лизовать основные физические процессы ЯМР. Другими словами, как построить оператор 5/, где под символом / будем понимать распределение какой-либо из указанных физических величин. В рентгеновской томографии опе- ратор Sf представлял собой интегро-дифференциальный оператор Больцмана, с помощью которого описывался процесс переноса рентгеновских фотонов в веществе. В случае ЯМР-томографии оператор Sf должен характе- ризовать временные изменения ядерной намагниченно- сти спиновой макросистемы в зависимости от величин ^е, 7\, Т,. Обращаясь к теории ЯМР в жидких неметаллических парамагнетиках, которыми являются и мягкие биоткани, можно построить оператор Sf. Для этого будем исходить из уравнения Блоха, справедливого для магпиторазбав- ленных образцов: ffi^^lMxBl-^A-^-^""'. (2.") где B(f, r)—индукция полного магнитного поля, M(f, г)—намагниченность исследуемого объекта, М == == {ЛГс, My, Л/;}, 'Y — гиромагнитное отношение. Уравнение (2.17) можно физически интерпретировать следующим образом. Пусть на спиновую систему, состоя- щую из ансамбля спинов ядер атомов, идентичных друг ДРУгу, с момента t = 0 воздействует возбуждающее ее магнитное поле В, (входной сигнал). В результате это- fo воздействия спиновая система переходит в повое кван- говое состояние. После прекращения воздействия В, она начинает возвращаться к равновесному состоянию 25 Глава III МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ Оператор, определяемый основным уравнением ком- пьютерной томографии (или вычпслр1тельной диагности- ки), можно считать математической моделью физиче- ских процессов, происходящих при диагностических из- мерениях, В этой главе рассматриваются некоторые задачи, возникающие при математическом моделировании вычислительной диагностики и компьютерной томогра- фии, а также показывается эффективность математиче- ского моделирования при математическом проектирова- нии компьютерных томографов. § 1. Сущность математического моделирования и задачи, решаемые с его помощью При изучении различных объектов (явлении) перво- степенное значение имеет определение их количествен- ных характеристик /. Однако во многих случаях не пред- ставляется возможным (или затруднительно) непосред- ственно измерять эти характеристики и фиксируется лишь некоторая косвенная информация и=А}, где опе- ратор А определяется природой изучаемого объекта (яв- ления) и измерительным (экспериментальным) комплек- сом. Сущность математического моделирования заклю- чается в том, что строится оператор А (или совокуп- ность операторов), адекватно описывающий исследуемый объект, физические процессы и измерительную установ- "У) формализуются количественные характеристики / исследуемого объекта и измерения и и по косвенной ин- формации и определяются характеристики /, для чего решается уравнение А] = и относительно /. Возможны три способа аппаратной организации полу- чения диагностической информации: 1) с одного ракурса; 2) с достаточно малого числа ракурсов (~10); 3) с достаточно большого числа ракурсов (•~100 и более), 8? Третий способ реализуется в компьютерной томогра- фии при диагностике несимметричных объектов. Если объект обладает аксиальной симметрией, то для его диаг- ностики достаточно получить информацию с одного ра- курса, Если же объект не обладает никакой симметрией, то для восстановления его количественных характеристик надо получить информацию с бесконечно большого числа ракурсов. Спрашивается, что же мы получаем на прак- тике, когда восстановление осуществляется при конечном числе ракурсов (пусть даже достаточно большом) ? Ответ на этот вопрос вытекает из самой постановки задачи решения основного уравнения компьютерной то- мографии, а именно: мы находим приближения к точ- ному решению, т. е. к такому, которое соответствует точной правой части уравнения при условии, что число ракурсов бесконечно большое. При построении прибли- жений можно использовать различную дополнительную информацию о точном решении, в частности о степени его симметрии. В этом смысле компьютерная томогра- фия использует минимальную информацию о степени симметрии, а одноракурсная вычислительная диагности- ка — максимальную. Промежуточные случаи предпола- гают использование другой дополнительной информации о степени симметрии исследуемых объектов. Значение математического моделирования существен- но при конструировании компьютерных томографов, ко- торые представляют собой достаточно сложные системы, состоящие в свою очередь из более мелких подсистем или элементов. Все они должны быть согласованы друг с другом так, чтобы достигалась целевая функция томо- графа на заданном классе исследуемых объектов. Если для проектирования томографов применять физическое моделирование, то, во-первых, дело сведется к перебору всех возможных вариантов (сочетаний) элементов и подсистем томографа, который (даже если и осуществим) потребует значительного времени; во-вторых, оно потре- бует больших затрат материальных ресурсов. Если же в целях сокращения затрат времени и средств воспользо- ваться методом экспертных оценок, то результат будет за- висеть от субъективных представлений самих экспертов. Таким образом, традиционные способы конструирова- ния устройств и систем могут оказаться недостаточно эффективными при создании компьютерных томографов. Это утверждение можно распространить также и на многие другие методы вычислительной диагностики. G* 83 Математическое моделирование позволяет существен- но сократить как время проектирования, так и объем материальных затрат. Оно реализуется с помощью со- временных быстродействующих электронно-вычислитель- ных устройств и основано на использовании методов математической физики и вычислительной математи- ки [43]. Сформулируем решаемые с помощью математическо- го моделирования задачи компьютерной томографии. Они во многом совпадают с задачами, возникающими в вы- числительной диагностике. В настоящее время компьютерная томография (вы- числительная диагностика) применяется для изучения структуры различных классов объектов: 1) органов че- ловеческого тела; 2) промышленных объектов или си- стем; 3) объектов, сред или систем, изучаемых совре- менной экспериментальной физикой, и многих других. Учитывая многообразие и различие указанных объектов, математическое моделирование компьютерных томографов целесообразно проводить в несколько этапов. Этап I. Определение (выбор) класса функций, ха- рактеризующих основные свойства исследуемых объек- тов, сред или систем, а также их конечно-разностной (или конечномерной) аппроксимации. Рассмотрим в качестве примера построение класса Х функций, моделирующих пространственные и контраст- ные неоднородности головного мозга человека. Исходя из анализа типичных структур головного мозга, в качест- ве Х можно взять класс функций х, финитных в про- странстве R3 и имеющих ограниченную полную вариацию, а в качестве его дискретного аналога Хк рассматривать конечномерное множество ступенчатых функций, опре- деленных на некоторых разбиениях носителя указанных финитных функции на конечные семейства попарно не пересекающихся подмножеств. Значения функций х е X или х е Хя характеризуют величину некоторого физиче- ского параметра исследуемого объекта. При использовании рентгеновского излучения в ка- честве такого параметра можно взять линейный коэф- фициент ослабления излучения или плотность биотканп. Заметим, что упомянутое выше разбиение носителя функ- ции х е X характеризует как типичную форму простран- ственных неоднородностей, так и их эффективный диа- метр, под которым мы понимаем наименьший диаметр связного множества, содержащего эти неоднородности. 84 Этап II. Построение математической модели Af = и, описывающей физические процессы, происходящие при распространении излучения в исследуемом объекте, сре- де или системе (или при эмиссии их собственного из- лучения) для заданной геометрии томографических из- мерений, а также выбор среди построенных моделей такой, которая в некотором смысле лучше отвечала бы цели проводимого томографического исследования. Пояс- ним смысл постановки этой задачи на примере рент- геновской и ультразвуковой компьютерной томогра- фии [49]. В рентгеновской компьютерной томографии можно использовать различные математические модели распро- странения излучения в веществе, основой для получения которых является интегро-дифференциальное уравнение Больцмана, описывающее перенос излучения в веществе. Точное решение этого уравнения найти затруднительно, и поэтому приходится использовать различные прибли- жения. Если схема томографических измерений такая, что источник излучения можно считать точечным коллими- рованным и монохроматичным (в известной мере эти предположения оправданы для таких РКТ, как СТ-1010, EMI, Ltd. (Великобритания), СРТ-1000 (СССР)), то про- цесс распространения рентгеновского излучения в ква- зиоднородных биологических объектах можно описать с помощью уравнения f ^(.r^^-ln7^ _"' . -о Г(;,9) (1.1) где ц(а", ?/)— линейный коэффициент ослабления рент- геновского излучения, 1(1, 9)—интенсивность прошед- шего через объект излучения, /о — интенсивность излу- чения источника. Если источник излучения полихроматичен, то модель (1.1) становится неадекватной реальному процессу и вместо нее мы должны рассматривать уравнение Е. exp - J ^ (х, у, Е) da \dE = Г(;,6) -^.О), (1.2) где т| (/?)—спектральная плотность источника излуче- ния, г"'"'(i7, 6)—энергетический фактор накопления, 85 а линейный коэффициент ослабления ц становится зави- сящим от энергии рентгеновских фотонов. Модель (1.2) целесообразно использовать также в случаях, когда ис- следуемый объект не является квазиоднородным. В ультразвуковой компьютерной томографии распро- странение ультразвука в биотканях можно описать с по- мощью приближений геометрической акустики и прибли- жений Рытова — Борна. В приближении геометрической акустики пренебрегают явлениями дифракции и получают уравнение вида T^n=s J Атг (х, у) > ХХХХ/РЕ = NNN, где ХХХХ—имя потока, NNN— число его повторений, В циклически повторяющийся по- ток необходимо включить одну из программ PARQ или PAMQ в зависимости от способа изменения параметра. В зависимости от системных соглашений любая про- грамма из СМКТ или некоторая их последовательность может быть запущена на реализацию соответствующего алгоритма через монитор LTA путем вызова соответству- ющего потока обработки по его имени. Обрабатывающие 152 потоки реализованы с помощью аппарата командных файлов ОС РАФОС, а имя обрабатывающего потока опре- деляется мнемоникой команды монитора управления за- даниями. Командный файл, соответствующий обрабаты- вающему потоку с именем ХХХХ, имеет спецификацию ZXXXX.COM. Длина имени потока может составлять от одного до четырех символов. В системе моделирования вычислительных томографов выделено три уровня обрабатывающих потоков: элемен- тарные, последовательные и циклические. Элементарные обрабатывающие потоки обеспечивают вызов отдельных загрузочных модулей по их имени с загрузкой необходи- мых драйверов внешних устройств перед началом вы- полнения программы и выгрузкой их после завершения выполнения программы. Обрабатывающие потоки второго уровня обеспечивают автоматическое выполнение после- довательности потоков первого уровня при соблюдении информационных связей между ними. Для вызова после- довательного обрабатывающего потока необходима одна команда LTA, что позволяет минимизировать действия оператора при выполнении длинных последовательностей программ. Циклические обрабатывающие потоки — потоки треть- его уровня — являются расширением последовательных обрабатывающих потоков в том смысле, что заданная последовательность программы может быть автоматиче- ски повторена с помощью ключа LTA указанное 'RE' число раз без вмешательства оператора. Эта возможность используется в СМКТ при равномерном изменении неко- торого параметра модели с заданным шагом. Для под- держки изменения параметра модели последней програм- мой в циклическом обрабатывающем потоке должна быть программа PARQ при аддитивном изменении параметра или PAMQ при его мультипликативном изменении. По- мер изменяемого параметра и шаг его изменения зада- ются в элементах 238 и 239 файла MODPAR.DAT. Для обрабатывающих потоков первого уровня их име- на совпадают с именем программ из СМКТ, поэтому да- лее они рассматриваться не будут. Приведем в качестве примера содержимое командного файла ZRP.COM, реали- зующего элементарный поток обработки для программ восстановления, реализующей алгоритм глобальной регу- ляризации: LOAD АР; загрузить драйвер векторного процессора; RUNRP; запустить программу RP (реконструкции); 153 UNLOAD АР; выгрузить драйвер. Последовательные обрабатывающие потоки можно раз- делить на три группы: подготовительные, сквозные и анализирующие. Для версии СМКТ, ориентированной на математическое моделирование РКТ с параллельной гео- метрией сканирования, выделены пять подготовительных потоков. Поток подготовки вспомогательных массивов для восстановления: BREC, Он состоит из последовательности программ ТКР и FILTER. В дальнейшем для наглядности и простоты описания последовательных и циклических потоков будем пользоваться диаграммами вида <имя по- тока) : <имя программы) -»- <имя программы) [-*- <имя про- граммы)]. Квадратные скобки указывают необязательные компоненты программы потока, а символ <->-» на цикли- ческий характер потока. В этих обозначениях поток BREC можно записать как BREC: ТКР -> FILTER. Поток формирования точного решения TXIS служит для задания начальных геометрических и плотностных характеристик моделируемого объекта и получения его точного образа в формате томографического изображения TXIS: RVQ-^XIS. Три потока служат для формирования в файле RASRYB.DAT значений функции Ф(1, 6, Е). Поток BFE: RVQ ->- LKO - WRITR - POLM обеспечивает про- ведение всех этапов расчета Ф(1, 9, Е). В потоке BLKO: RVQ -- LKO — POLM изменения в файле RASRYB.DAT обусловливаются только за счет изменения зависимости ц(Д) и значения Еа при сохранении данных о функциях •х(Е) и г|(^) ив файла RASPAR.DAT. Напротив, поток BWRT: RVQ -- WRITR -- POLM позволяет рассчитать Ф(г, 6, Е), не меняя информации в файле RASLKO.DAT. Такое детальное разбиение на потоки, а не использова- ние одного потока BFE позволяет уменьшить затраты на диалог с программами WRITR и LKO, когда изменяются параметры лишь одной из них, СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ В. Теория магнитной релаксации.— М.: 1. Александров И. Наука, 1975. 2. А р е ф ь е в а М. В. Асимптотические оценки точности опти- мальных решений уравнений типа свертки Ц ЖВМ и МФ.— 1974.— Т. 14, № 4. 3. А р с е п и н В. Я., Пергамент М. И., Рахматули- на А. X., Тихонов А. Н. Постановка задач для разработки математических методов автоматической обработки эксперимен- тальных данных II Отчет ИПМ АН СССР.— 1973. 4. А р с е н и н В. Я. Об одном способе приближенного решения интегральных уравнений первого рода типа сверток Ц Тр. МИ АН СССР.— 1973.— Т. 133. Б.Арсеиин В. Я., Загонов В. П., Трахониотов- с к а я Р. А. О численном решении интегральных уравнений первого рода типа свертки на неравномерных сетках.— Пре- принт/ИШ! АН СССР.- М., 1978.- № 141. 6. А р с е н и н В. Я., Т и м о н о в А. А. Об использовании допол- нительной информации при построении на основе локальной регуляризации алгоритмов нахождения приближенных реше- ний интегральных уравнений I рода типа свертки.— Препринт/ ИПМ АН СССР.-М., 1983.-№ 41. 7. А р с е н и н В. Я., Т и м о н о в А. А. О построении регуляри- зирующих операторов, близких к оптимальному, для одномер- ных и многомерных интегральных уравнений I рода типа свертки Н ДАН СССР.— 1985.— Т. 284, № 6. 8. Б а к у ш и н с к и и А. Б. Один общий прием построения регу- ляризирующих операторов для линейного некорректного урав- нения в гильбертовом пространстве // ЖВМ и МФ.—1967.— Т. 7, № 3. 9.Бакушинский А. Б. Регуляризирующий алгоритм на ос- нове метода Ньютона — Канторовича для решения вариацион- ных неравенств // ЖВМ и МФ.—1976.—Т. 16, № 6. 10. Бахвалов Н. С. Численные методы. Т. 1.—М.: Наука, 1975. 11. Ban дер Зил А. Шум.—М.: Сов. радио, 1973. 12. В а и н и к к о Г. М. Анализ дискретизационных методов.— Тарту: Изд-во Тарт. ун-та, 1976. 13. В а и н ш т е и н Б. К. Трехмерная электронная микроскопия биологических макромолекул // УФН.—1973.— Т. 109, вып. 3. 14. Введение в современную томографию/Под ред. К. С. Тернового, М. В. Синькова — Киев: Наук. думка, 1983. 15. Винокуров В. А. О понятии регуляризуемости разрывных отображений Ц ЖВМ и МФ.—1971.—Т. 11, М 5. 16. Виноградов М. В., Руденко О. В., Сухоруко в А. П. Теория волн.— М.; Наука, 1979. 155 17. Владимиров В. С. Обобщенные функции.—М.: Наука, 1975. IS. В л а с о в П. В., Свиридов И. К. Лауреаты Нобелевской премии за 1979 г. по медицине — Г. Н. Хаунсфплд и А. М. Кор- мак II Природа.—1980.—№ 1. 19. Г е л ь ф а н д И. М., Граев М. И., В и л е н к и н Н. Я. Инте- гральная геометрия и связанные с ней вопросы теории пред- ставлений. Сер.: Обобщенные функции.— М.: физматгиз, 1962, вып. 5. 20. Гончарен и и А. В., Леонов А. С., Я г о л а А. Г. О ре- шении двумерных уравнений Фредголъма 1-го рода с ядром, зависящим от разности аргументов // ЖВМ и МФ.—1971.— Т. 11, № 5. 21. Гон ч а рек и и А. В., Леонов А. С., Я гол а А. Г. Неко- торые оценки скорости сходимости регуляризованных прибли- жений для уравнений типа свертки // ЖВМ и МФ.—1972.— Т. 12, № 3. 22. Г у с е и н о в А. И., М у х т а р о в X. Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений.— М.: Нау- ка, 1980. 23. 3 а г о н о в В. П. О решении операторных уравнений I рода с априорной информацией о производной.— Препринт/ИПМ АН СССР.—М., 1983.—№ 124. 24. К а р л и н С. Математические методы в теории игр, програм- мировании и экономике.— М.: Мир, 1964. 25. К а р п о в В. Я., К о р я г и н Д. А., Самарский А. А. Принципы разработки пакетов программ для задач математи- ческой физики,— Препринт/ИПМ АН СССР.— М., 1977.— № 86. 26. К л ю е в В. В., К у р о з а е в В. П., В а и н б е р г Э. И. Совре- менное состояние и перспективы развития компьютер- ной аксиальной томографии: Обзор.— М.: Ин-т интроскопии, 1979. 27. К о н о в а л о в А. П., Я н е н к о Н. Н. Модульный принцип построения программ как основа создания пакета прикладных программ решения задач механики сплошной среды // Комп- лексы программ математической физики.— Новосибирск, 1972. 28. К о р н е и ч у к Н. П. Сплайны в теории приближений.— М.: Наука, 1984. 29. К и с е л е в Н. А., М и р з а б е к о в А. Д. Лауреаты Нобелев- ской премии 1982 г. // Природа.—1983.—№ 1. 30. К р и к с и н Ю. А. О решении линейных некорректных задач методом локальных невязок // ЖВМ и МФ.— 1984.— Т. 24, № 12. 31. Кузнецов Э. П., Щеглов Д. А. Методы диагностики высокотемпературной плазмы.— М.: Атомиздат, 1980. 32. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., III и ш а т с к и и С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа.— Но- восибирск: Наука, 1980. 33. Лент Р. М. Алгоритмы реконструкции с использованием интегральных преобразований // ТИИЭР.— 1983.— Т. 71, № 3. 34. Луис А. К., Н а т т е р е р Ф. Математические проблемы ре- конструктивной вычислительной томографии // ТИИЭР.— 1983.—Т. 71, № 3. 35. М а р ч у к Г. И. Методы вычислительной математики.— М.: Наука, 1972. 36. М о р о з о в В. А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации // ЖВМ и МФ.— 1966.- Т. 6, № 1. 156 37. П е т р о в с к и и А. Д. Методика и техника исследований по радиоволповому просвечиванию и основные результаты работ на примере некоторых месторождений // Уч. зап. САИГИМС.— 1962.— № 8. 38. П о д и н о в с к и и В. В. Методы многокритериальной оптими- зации. I.— М.: Изд-во акад. им. Ф. Э. Дзержинского, 1971. 39. Преображенский Н. Г., П и к а л ов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы.— Новосибирск: Наука, 1982. 40. Р о м а н о в В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа.— Новосибирск: Наука, 1972. 41. Р у б а ш о в И. Б., Б а ч и н с к и и В. А., Федосеева О. П. и др. Теоретические основы и практическая реализация компьютерной томографии // Электротехника.—1980.— № 11. 42. С а м а р с к и и А. А. Введение в теорию разностных схем.— М.: Наука, 1971. 43. Самарский А. А. Современная прикладная математика и вычислительный эксперимент // Коммунист.— 1984.— № 18. 44. С а н т а л о Л. Интегральная геометрия и геометрические ве- роятности,— М.: Наука, 1983. 45. С т е и н И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.— М.: Мир, 1973. 46. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных за- дач и методе регуляризации Ц ДАН СССР.—1963.— Т. 151, № 3. 47. Т и х о н о в А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач И ДАН СССР.— 1963.— Т. 153, № 1. 48. Т и х о н о в А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некор- ректных задач.— М.: Наука, 1986. 49. Т и х о н о в А. Н., Арсенин В. Я., Р у б а ш о в И. В., Т и- м о п о в А. А. О постановке основных задач вычислительной томографии.— Препринт/ИПМ АН СССР.— 1982.— № 141. 50. Т и х о н о в А. Н., Арсенин В. Я., Т и м о н о в А. А. О воз- можности определения количественных характеристик плазмы методом вычислительной томографии.— Препринт/ИПМ АН СССР.— 1982.— № 167. 51. Т и х о н о в А. Н., Арсенин В. Я., Р у б а ш о в И. Б., Т и- м о н о в А. А. О постановке и приближенном решении неко- торых обратных задач ЯМР-интроскопии Ц ДАН СССР.— 1984.— Т. 275, У& 1. 52. Т и х о н о в А. Н., Арсенин В. Я., Р у б а ш о в И. Б., Т и- м о н о в А. А. Первый советский компьютерный томограф // Природа.— 1984.— № 4. 53. Ф а н о У., Спенсер Л., Бергер М. Перенос гамма-излу- чения.— М.: Госатомиздат, 1963. 54. Ф а р р а р С. Т., Б е к к е р Е. Д. Импульсные Фурье-методы в ЯМР-спектроскопии.— М.: Мир, 1973. 55. Хелгасон С. Преобразование Радона.—М.: Мир, 1983. 56. Х е р м е н Г. Восстановление изображения по проекциям. Ос- новы реконструктивной томографии.— М.: Мир, 1983. 57. Х и м м е л ь б л а у Д. Прикладное нелинейное программиро- вание,— М.: Мир, 1975. 58. X и н m о У. С., Лент А. X. Основы ЯМР-визуализации: От уравнения Блоха к уравнению визуализации II ТИИЭР.— 1983.-Т. 71, № 3. 59. В о у е г L. Laser tomographic method for flame front move- ment studies I] La Recherche.— 1981.— V. 12. 157 60. В г а с е w e 11 R. N. Strip integration in radio astronomy ,/ Austral. J. Phis- 1965.- V. 9. 61. Bruker NMR tomography sistems for medicine and biomedicine // Medical Report,— 1982. 62. С a g n i s э о А., С a g n a g е В., R о s е Ч о R. // С. R. Acad. Sci.- 1978.- V. 287. 63. С h a m b е г 1 i n D. D., M i n e r b о G. N. et al. Noninterceptivo transverse beam diagnostics // IEEE Trans. Nucl. Sci.— 1981.— V. NS-28. 64. D e w a n e у A. J. A filtered back-propogation algorithm for diffraction tomography // Ulrason. Imag.— 1982.— V. 4. 65. D о г у R. А., Р е n g Y,— К. M. High-Pressure flux conserving tokamak equilibria // Nucl. Fusion.-1977.-V. 17. 66. E m m e г m a n P. J., Goulard R. et al. // J. Energy.— 1980.- V. 4. 67. G г e e n 1 e a f J. F., Thomas P. G., R a j a g о р о 1 a n B. Effect of diffraction on ulrasonic computer — assisted tomo- graphy II Acoustical Holograph!.— N.-Y.; Plenum Press, 1983. 68. G r e e n 1 e a f J. F., B a h n R. C. Clinical imaging with trans- missive ulrasonic computerized tomography Ц IEEE Trans. Bio- med. Eng- 1981.- V. BME-28. 69. H о с h M., Day A. Imaging of paramagnetic centers in dia- mond II Sol. State Comm.— 1979.— V. 30. 70. I w a t а К., N a g a t a R. Calculation of refractive index distri- bution from interferograms using born and Rytov's Approxima- tion If Jap. J. Appl. Phis.-1975.-V. 14. 71. John F. Bestimmung einer Funktion aus ihren Integralen uber gewisse Manningfaltigkeiten // Math. Ann.—1934.— V. 10. 72. К r u g e r P. P., Morris R. A., W e с k s u n g G. W. Appli- cations of industrial computerizid tomography at Los Alamos Sci. Lab И IEEE Trans. Nucl. Sci.— 1981.— V. NS-28. 73. L о u i s A. K. Orthogonal functions series expansion and the null space of the radon transform // Siam J. Math. Anal.— 1984. 74. L u d w i g D. The radon transform on euclidean spaces Ц Comm. Pure Appl. Math.— 1966.— V. 19. 75. M а у d a n D., S с h е р р L. А., С h о Z. H. A new design for high speed computerized tomography Ц Optik Lett.—1979.— V. 4. 76. M о г е W. Е., G a r m i г е G. P. The X-ray structure of the vela supernova remnant // Astrophis. J.—1975.—V. 199. 77. N a 11 е г е г F. A Sobolev spaces analysis of picture recon- struction II SIAM J. Appl. Math.-1980.-V. 39. 78. N a v a r r о А. Р., Р а г e v K., D u n 1 a p J. L. Two dimensio- nal spatial distribution of volume emission from line integral data II Rev. Sci. Instrum.— 1981.— V. 52. 79. R a d о n J. Uber die bestimmung von funktionen durch ihre integralwerte langs gewisser mannigfaltigkiten Ц Leipzig: Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss.— 1917. 80. S a n d e r s о n J. G. IEEE Trans. Nucl. Sci.— 1979.— V. NS-26. 81. S с h 1 a p p e r G. А., В г u g g e r R. M. et al. A demonstration of filtered neutron beam computed tomography: evalution of A 37Pin fuel assembly phanton // Materials Eval.— 1981.— V. 39. 82. S с u d d e r H. J. Ц Proc. IEEE.— 1978.— V. 66. 158 83. Smith К. Т., Solmon D. С., Wagner 8 L Practice! and mathematical aspects of the problemof re^rSI objects from radiographs // Bul. Ams - 1977.- V 83 """"e sio^af^J ^ ^•' ^е81 c, M- Construction of three-dimen- Ippi Optdce.x-f^l973SЛOШ12п'ultl-d'гect'on interferom^ -iat. , 85. Tichonov A N. Arsenin V. Ja. et al. On determination ^ aer ?^т^ plasma temperature // 12-th European Conf RR ^ ^ r lnteractlon wth matter.- Leipzig, 1979. ^ t^ c-' '4" Л L- Mode1 studies of laser absorption ApToptic0"1^-11^ 2°? remote air pollutioD ^^^f 87' ^."-V:"^" Ragsda11 w- c-. SPr^e W. С. / AIAA J.- Андрей Николаевич Тихонов Василии Яковлевич Арсении Александр Анатольевич Тимонов МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ Серия: «Проблемы науки и технического прогресса» Редактор И. В. Викторенкова Художественный редактор Г. М. Коровина Технический редактор Е В. Морозова Корректоры Е. Ю. Рычагова, О. U. Bepew-h М. Л. Медведская ИБ М 32405 Сдано в набор 12,02.87. Подписано в печать 07.09.87. Т-19343. Формат 84Х108/32. Бумага тип. М 1. Печать высокая. Гар- нитура обыкновенная новая. Усл. печ. л. 8,4. Усл. кр.-отт. 8,93. Уч.-изд. л. 8,74. Тираж 25 000 экз. Заказ M 677, Цена 55 коп, Ордена Трудового Красного Знамени иэд-во «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71. Ленинский проспект, 15 4-я типография издательства «Наука» 630077 Новосибирск 77, Станиславского, 25 Томограмма головного мозга с отмирающими тканями (вверху) . Томограмма головного мозга с опухолью (внизу) ПРОБЛЕМЫ НАУКИ И ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА А.П.ТИХОНОВ В. Я. АРСЕНИН А. А.ТИМОНОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ Томограмма головного мозга здорового человека (вверху) Томограмма головного мозга с гематомой (внизу) МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1887.